Matematica financeira regular 4

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PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO

AULA 04 – DESCONTO SIMPLES
Olá, amigos!
Espero que estejam todos bem! Antes de darmos início à nossa aula de hoje,
resolvendo as questões pendentes da semana passada, permitam-me um esclarecimento,
dirigido aos que pretendem fazer a concurso do ISS de São Paulo, cujo edital foi divulgado na
semana passada.
Já recebi diversos e-mails, perguntando-me se este Curso cobre todo o programa do
ISS. Na realidade, cobriria algo em torno de 90%. Ora, para dar oportunidade a todos e não
prejudicar absolutamente ninguém, resolvi que vou acrescentar duas aulas ao cronograma
original, nas quais pretendo explicar os 10% restantes do ISS-SP. Ok? São poucos temas de
acréscimo, e os que não forem prestar este concurso só irão ganhar, por passar também a
conhecer ainda mais alguns assuntos adicionais! Concordam?
Ótimo! Esclarecimento prestado, passemos à resolução do nosso...

...Dever de Casa

17. (TTN ESAF) O valor atual racional de um título cujo valor de vencimento é
de $ 256.000,00 , daqui a sete meses, sendo a taxa de juros simples, utilizada
para o cálculo de 4% ao mês, é :
a) $ 200.000,00 d) $ 190.000,00
b) $ 220.000,00 e) $ 210.000,00
c) $ 180.000,00

Sol.: O enunciado começa falando sobre o Valor Atual, que se trata de um elemento próprio de
uma operação de Desconto! Certo? Daí, falou-se no termo racional. Ora, racional é um tipo de
Desconto, mais conhecido por Desconto por Dentro!
Dito isto, fica claro que vamos trabalhar uma operação de Desconto nesta questão! Um
pouco mais adiante, o enunciado usou a palavra simples, de sorte que já identificamos tudo o
que precisamos saber sobre esta questão: é de Desconto, no regime Simples e na modalidade
de Desconto por Dentro!
Um último detalhe: a questão nos fala ainda em um tal de valor de vencimento! O que
vem a ser isto? Ora, o valor de vencimento é mais um sinônimo (muito pouco utilizado em
prova) de Valor Nominal. Ok? Só isso!
O esquema ilustrativo que resolve operações de Desconto Simples por Dentro é o
seguinte:

N
A 100+i.n
100
D
i.n

Assim, trabalhando com Valor Atual e Valor Nominal, formaremos a seguinte equação:
A N
=
100 100 + i.n
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E uma vez que taxa e tempo já estão na mesma unidade, podemos fazer o copiar-colar,
para, enfim, fazermos as contas. Teremos:
A N A 256.000
= = A=200.000, Resposta!
100 100 + i.n 100 100 + 4 x7

18. (BNB 2004 ACEP) Em uma operação de desconto racional com antecipação de 5
meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa de desconto foi 5% ao
mês. Qual o valor de face desse título?
a) R$ 10.000,00 d) R$ 40.000,00
b) R$ 10.666,67 e) R$ 160.000,00
c) R$ 32.000,00

Sol.: Este enunciado fala expressamente em Desconto Racional, o que nos remete ao Desconto
por Dentro! Nada é especificado acerca do regime desta operação, se simples ou se composto!
Assim, por convenção, adotaremos o Desconto Simples.
Resumindo: estamos diante de uma questão de Desconto Simples por Dentro!
A questão nos forneceu o valor descontado! Já sabemos que este é sinônimo de Valor
Atual. E nos pediu que calculássemos o valor de face, ou seja, o Valor Nominal. Assim,
trabalhando no esquema ilustrativo do Desconto Simples Racional, com os elementos Atual e
Nominal, formaremos a seguinte equação:
A N
=
100 100 + i.n
E considerando que taxa e tempo já estão na mesma unidade, lançamos os dados na
equação e teremos o seguinte:
A N 8000 N
= = N=10.000 Resposta!
100 100 + i.n 100 100 + 5 x5

19. (TTN-89 ESAF) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por
um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de
$29.500,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, é de:
a) $ 24.000,00 d) $ 18.800,00
b) $ 25.000,00 e) $ 6.240,00
c) $ 27.500,00

Sol.: Mais uma questãozinha de Desconto Simples por Dentro. O único diferencial aqui foi que a
taxa foi fornecida em termos anuais (36% ao ano) e o tempo de antecipação está em meses (6
meses). Assim, no intuito de cumprir a exigência universal da matemática financeira, ou seja,
de colocar taxa e tempo na mesma unidade, podemos dizer apenas que seis meses é o mesmo
que meio ano (6m=0,5a). Certo?
Daí, trabalhando o esquema ilustrativo do Desconto Simples por Dentro, com os
elementos Atual e Nominal, teremos:
A N A 29500
= = A=25.000 Resposta!
100 100 + i.n 100 100 + 36 x0,5



20. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três
meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês.
Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e
racional.
a) R$ 9.810,00 d) R$ 9.200,00
b) R$ 9.521,34 e) R$ 9.000,00
c) R$ 9.500,00

Sol.: Estamos diante daquele tipo de enunciado que mistura os dois tipos de Desconto Simples.
Ele começa relacionando elementos de uma operação de Desconto Simples por Fora, e depois
propõe que este seja alterado para a modalidade de Desconto Simples por Dentro.
Se estamos bem lembrados, existe uma relação entre os dois tipos de Desconto Simples,
que é expressa pela seguinte equação:

⎡ ⎛ i.n ⎞⎤
Df = Dd .⎢1 + ⎜ ⎟⎥
⎣ ⎝ 100 ⎠⎦

Trata-se, conforme vimos na aula passada, de uma verdadeira fórmula de atalho, e que
poderá ser empregada diante de enunciados semelhantes a esse.
A única observação a ser feita é que devemos, também aqui, cumprir a exigência
universal da Matemática Financeira, e trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade.
Neste caso, em que esta exigência já se vê cumprida, resta-nos aplicar os dados na
fórmula. Teremos:

⎡ ⎛ i.n ⎞⎤ ⎡ ⎛ 3 x3 ⎞ ⎤
Df = Dd .⎢1 + ⎜ ⎟⎥ 9810 = Dd .⎢1 + ⎜ ⎟⎥ Df=9.000,00 Resposta!
⎣ ⎝ 100 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 100 ⎠⎦

Definitivamente, esta não é a questão mais demorada da prova! Muito pelo contrário:
talvez seja uma das de mais rápida resolução! Próxima.

21. (ACE MICT/1998/ESAF) O desconto simples racional de um título descontado à
taxa de 24% ao ano, três meses antes de seu vencimento, é de R$ 720,00.
Calcular o valor do desconto correspondente caso fosse um desconto simples
comercial.
a) R$ 43,20 d) R$ 763,20
b) R$ 676,80 e) R$ 12.000,00
c) R$ 720,00

Sol.: Questão semelhante à anterior. O único diferencial deste enunciado é que a exigência
universal ainda não está cumprida, uma vez que temos uma taxa anual (24% ao ano) e o
tempo de antecipação em meses (3 meses).
Podemos trabalhar de duas formas distintas: 1ª) deixando a taxa em termos anuais e
dizendo que 3 meses é uma fração do ano (3 meses = ¼ ano); 2ª) deixando o tempo em
meses e usando o conceito de Taxas Proporcionais, para concluir que 24% ao ano é o mesmo
que 2% ao mês (24%a.a./12=2%a.m.).
Das duas formas, chegaremos rigorosamente ao mesmo resultado. Suponhamos que eu
quero trabalhar com a unidade mensal, ok? Aplicando a fórmula do atalho que relaciona os dois
tipos de desconto simples, teremos:


⎡ ⎛ i.n ⎞⎤ ⎡ ⎛ 2 x3 ⎞ ⎤
Df = Dd .⎢1 + ⎜ ⎟⎥ Df = 720.⎢1 + ⎜ ⎟⎥ Df=763,20 Resposta!
⎣ ⎝ 100 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 100 ⎠⎦

22. (Fiscal PA 2002/ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto simples
comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a uma taxa de
desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto simples racional, calcule o
valor do desconto correspondente à mesma taxa.
a) R$ 1.000,00 d) R$ 920,00
b) R$ 950,00 e) R$ 900,00
c) R$ 927,30

Sol.: É provável que você não agüente mais tanta questão parecida...! Mas estou certo de que
não vai ter raiva nenhuma quando uma questão igualzinha surgir na sua prova!
Resolver várias questões parecidas é, na verdade, uma técnica de aprendizagem. Faz
com que a memorização se consolide. Na hora da prova, os passos de resolução estarão todos
automatizados: bastará que você ligue o piloto automático e a questão estará resolvida sem
maiores esforços. (Haja vista a história do Demétrio Pepice, que resolvia entre duas e três mil
questões de provas passadas por semana, e tirou o primeiro lugar nacional no último AFRF, com
uma nota jamais antes alcançada)!
Então vamos lá! Mais uma em que usaremos o atalho! Verificando que taxa e tempo já
se encontram na mesma unidade (i=3% ao mês e n=3 meses), resta-nos aplicar a fórmula.
Teremos:

⎡ ⎛ i.n ⎞⎤ ⎡ ⎛ 3 x3 ⎞ ⎤
Df = Dd .⎢1 + ⎜ ⎟⎥ 981 = Dd .⎢1 + ⎜ ⎟⎥ Dd=900,00 Resposta!
⎣ ⎝ 100 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 100 ⎠⎦
23. (AFPS 2002/ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um
desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento.
Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto
racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de
desconto mensal.
a) R$ 890,00 d) R$ 981,00
b) R$ 900,00 e) R$ 1.090,00
c) R$ 924,96

Sol.: Vemos que este enunciado propõe a troca de um tipo de desconto simples por outro.
Concordam? Daí, pensaremos: será que é possível utilizar a fórmula do atalho? Vamos tentar.
Teremos:

⎡ ⎛ i.n ⎞⎤
Df = Dd .⎢1 + ⎜ ⎟⎥
⎣ ⎝ 100 ⎠⎦
Conferindo os dados que dispomos no enunciado, vemos que a equação acima
apresenta, neste instante, duas variáveis. Ou seja, são dois os elementos desconhecidos!
Quais? Desconto por Dentro (Dd) e a taxa (i).
Ora, sabemos que não é possível descobrir duas variáveis dispondo de apenas uma
equação. Nosso primeiro passo, portanto, será o de descobrir a taxa desta operação! Para
tanto, usaremos os dados fornecidos para a operação de Desconto Simples por Fora, quais
sejam:
N=10.900,
Df=981,
n=3 meses

i=?
O esquema ilustrativo do Desconto Simples por Fora é o seguinte:

N
A 100
100-i.n
Df
i.n

Daí, construindo a equação que envolve o Valor Nominal e o valor do Desconto, teremos:
N D
=
100 i.n
A exigência da fórmula vocês já conhecem: taxa e tempo na mesma unidade! Assim, se
trabalharmos com o tempo em meses (n=3 meses), chegaremos, ao final das contas, a uma
taxa na mesma unidade, ou seja, a uma taxa mensal. Teremos:
N D 10.900 981
= = i=3%a.m.
100 i.n 100 3.i
E agora, sim: já temos elementos suficientes para aplicarmos a fórmula do atalho do
Desconto Simples. Aplicando-a, teremos:

⎡ ⎛ i.n ⎞⎤ ⎡ ⎛ 3 x3 ⎞ ⎤
Df = Dd .⎢1 + ⎜ ⎟⎥ 981 = Dd .⎢1 + ⎜ ⎟⎥ Dd=900,00 Resposta!
⎣ ⎝ 100 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 100 ⎠⎦

É isso! Passemos agora às explicações do nosso assunto de hoje: a Equivalência Simples
de Capitais.

Equivalência Simples de Capitais

De início, duas boas notícias:
1ª) É impossível errar uma questão de Equivalência de Capitais, uma vez que usaremos
uma receita, um passo a passo, para resolvê-la;
2ª) Todas as questões de Equivalência serão resolvidas por meio da mesma receita, ou
seja, se você souber resolver uma questão de Equivalência, então saberá resolver todas elas!
Por primeiro, precisamos aprender a reconhecer uma questão de Equivalência. E isso é
facílimo! São, basicamente, duas situações que nos levarão a este reconhecimento.
Uma questão tratará de Equivalência de Capitais:
1º) Quando existirem duas diferentes formas de pagamento para uma mesma
obrigação.
Suponhamos que eu fiz uma compra hoje, e acertei de pagar R$1000 daqui a um mês e
mais R$2000 daqui a dois meses. Ok? Quando chegou no vigésimo nono dia, véspera do
pagamento dos mil reais, eu estava completamente, digamos, liso. Sem um centavo no bolso.
O que eu fiz? Peguei o telefone e liguei para o meu credor. E lhe disse: olha, eu devo, não


nego, mas quero pagar de uma outra forma! O credor, muito paciente, responde: Certo, como é
que você quer pagar agora? E eu lhe esclareço: quero pagar por meio de duas parcelas iguais,
nas datas três e quatro meses.
Se formos desenhar esta situação, teríamos o seguinte:

2000 X X
1000

1m 2m 3m 4m

O que esta questão nos apresenta? Apresenta-nos uma situação em que existem duas
formas diferentes de pagamento para a mesma compra! Ou seja, duas formas de liquidar uma
mesma obrigação! Assim, se a forma original de pagamento, aquela que havia sido
originalmente contratada, tiver que ser alterada, substituída, modificada por outra forma de
pagamento qualquer, estaremos diante de uma questão de Equivalência!
Claro! Para que eu, que estou pagando, não saia perdendo, e para que o meu credor
também não saia perdendo, será preciso que a segunda forma de pagamento seja equivalente
à primeira!
Daí o nome: Equivalência de Capitais!

2ª) Quando estivermos diante de uma situação de empréstimo.
Suponha que eu estava meio sem dinheiro (o que não está nada longe da verdade!), e
resolvi fazer um empréstimo! Ora, se eu peguei dinheiro emprestado hoje, há de se supor que
terei que devolver no futuro. Certo?
Assim, para que eu, que tomei o dinheiro emprestado, não saia perdendo, e para que a
pessoa que me emprestou o dinheiro também não saia perdendo, é preciso que as parcelas de
devolução sejam equivalentes ao valor que eu tomei emprestado!
Compreendido?
Agora que já sabemos reconhecer a questão de Equivalência, aprenderemos qual o passo
a passo que usaremos para resolvê-la! Vamos fazer isso, resolvendo o seguinte exemplo.

Exemplo: João comprou hoje um computador, e acertou de pagar por ele uma parcela de
R$1000 daqui a trinta dias, e mais outra parcela de R$2000, daqui a sessenta dias. Por não
dispor de numerário suficiente, solicitou à loja alterar aquela forma de pagamento que havia
combinado originalmente, propondo uma nova forma de pagamento: duas parcelas iguais,
noventa e cento e vinte dias após a compra. Considerando na operação uma taxa de 10% ao
mês, e o Desconto Simples Comercial, obtenha o valor das novas prestações. Adote a data focal
cento e vinte dias.
Sol.: Vamos, por meio deste exemplo, conhecer toda a receita de resolução para uma questão
de Equivalência. Ok?
O passo inicial consiste em desenhar a questão! Teremos:
2000 X X
1000



30d 60d 90d 120d

Desenhar a questão consiste em representar, na linha do tempo, os valores descritos no
enunciado, nas datas respectivas. Ou seja, o desenho da questão deverá ser um retrato fiel do
que está previsto no enunciado!
Até aqui, tudo bem? Adiante.
Logo após fazermos o desenho, teremos que definir entre quais parcelas deverá se
verificar a equivalência. Ora, se estivermos neste primeiro modelo, em que existem duas
formas de pagamento, fica claro que as parcelas da segunda forma de pagamento devem ser
equivalentes às parcelas da primeira forma de pagamento.
Assim, chamaremos as parcelas da forma original de pagamento de primeira obrigação
(representadas por I); e chamaremos as parcelas da nova forma de pagamento de segunda
obrigação (representadas por II). Teremos:
2000 X X
1000

30d 60d 90d 120d
(I) (I) (II) (II)

Adiante. O próximo passo consiste em colocar taxa e tempos na mesma unidade. Assim,
como a taxa fornecida é mensal (10%a.m.), passaremos a tratar 30 dias, 60 dias, 90 dias e
120 dias, respectivamente, como 1 mês, 2 meses, 3 meses e 4 meses. Teremos:
2000 X X
1000

1m 2m 3m 4m
(I) (I) (II) (II)

A seguir, aprenderemos que toda questão de Equivalência se resolve por meio de
operações de Desconto! Assim, como próximo passo, teremos que, na leitura do enunciado,
descobrir qual o regime e qual a modalidade do Desconto que será adotado para aquela
resolução.
No caso deste enunciado, foi expresso que adotaremos o Desconto Simples Comercial,
ou seja, o Desconto Simples por Fora. Assim, sejam quantas forem as operações de Desconto
que tenhamos que realizar nesta resolução, todas elas serão de Desconto Simples por Fora,
conforme ficou definido pelo enunciado!
Como próximo passo, iremos localizar a data focal. O que vem a ser a data focal? Trata-
se de uma data de referência, para a qual iremos projetar todas as parcelas do desenho, por
meio de operações de Desconto! Duas regras hão de ser observadas no tocante à Data Focal da
questão de Equivalência Simples:
1ª) Quem manda na data focal da equivalência simples é a questão!


Ou seja, estaremos obrigados a adotar qualquer data focal que for sugerida pelo
enunciado da questão de Equivalência Simples;
2ª) No caso do silêncio do enunciado da questão de Equivalência Simples sobre a data
focal, adotaremos, obrigatoriamente, a data zero.
Ok?
Mas este enunciado foi claro, ao indicar que a data focal desta operação é a data cento e
vinte dias (4 meses). Teremos, finalmente, que:

2000 X X
1000

1m 2m 3m 4m
(I) (I) (II) (II)
DF

O que fizemos até aqui foi desenvolver uma série de passos iniciais de preparação. Ou
seja, a questão agora está pronta para ser efetivamente resolvida.
Agora passamos à resolução efetiva. Para tanto, nosso próximo passo será o seguinte:
projetar todas as parcelas do desenho para a data focal. E como faremos isso? Já foi dito: por
meio de uma operação de Desconto! Qual tipo de desconto? Aquele que ficou previamente
definido!
No caso do nosso exemplo, faremos operações de Desconto Simples por Fora, e
projetaremos todas as parcelas do desenho, uma por uma, para a data focal (4 meses).
Teremos:
E
1000

0 3m
DF

Observem que entre o valor R$1000 e a data focal existem 3 meses de distância. Viram?
O nosso interesse é saber quanto valerá a parcela R$1000 quando projetada para a data focal.
Assim, podemos chamar esse valor de E. (Poderíamos ter chamado do que bem quiséssemos).
Descobriremos o valor E por meio de uma operação de desconto simples por fora.
Teremos que o valor R$1000 funcionará como sendo o valor atual, e o valor E como sendo o
valor nominal. Teremos:
E
1000
100-i.n 100

0 3m
DF


E 1000
= E=1428,
100 100 − 10 x3
Esse valor encontrado ficará guardado para o final da questão!
Projetando agora a parcela R$2000 para a data focal, teremos:
F
2000
100-i.n 100

0 2m
DF

Observem que há dois meses de distância entre a parcela R$2000 e a data focal.
Chamaremos o valor projetado na data focal de valor F. Trabalhando com o esquema ilustrativo
do Desconto simples por fora, teremos:
F 2000
= F=2.500,
100 100 − 10 x 2
Este resultado também ficará de molho, esperando o final da questão.
Trabalhando agora com a parcela X, e projetando-a para a data focal, por meio de outra
operação de desconto simples por fora, teremos:
G
X
100-i.n 100

0 1m
DF

G X
= G=1,1X
100 100 − 10 x1

Percebamos que neste passo da resolução, quando estamos projetando as parcelas do
desenho para a data focal, estamos sempre à procura do valor sobre a data focal. Vejamos
de novo:
E
1000
100-i.n 100
Aqui, procuramos pelo valor E.

0 3m
DF

F

Aqui, procuramos pelo valor F.

2000
100-i.n 100

0 2m
DF

G
X
100-i.n 100 Aqui, procuramos pelo valor G.

0 1m
DF

Então, não esqueçam: estamos sempre em busca do valor sobre a data focal.
Voltemos ao nosso enunciado! Falta projetar alguma parcela do desenho para a data
focal? Sim! A última parcela X. Ora, mas esta parcela já está sobre a data focal!
Assim, concluímos: quanto vale o X que está na data 4 meses, se projetada para a data
focal? Vale ele próprio: X. Claro! Não precisamos projetá-lo para lugar algum. Aquela parcela X
já está onde queremos que esteja! Certo?
Passamos, finalmente, ao último passo de resolução: vamos aplicar a equação de
equivalência de Capitais, segundo a qual:

Σ(I)df = Σ(II)df
Traduzindo: a soma das parcelas da primeira obrigação, depois de projetadas para a
data focal, é igual à soma das parcelas da segunda obrigação, também depois de projetadas
para a data focal. Vamos analisar a primeira parte da equação: Σ(I)df.
Olhando para o desenho da questão, vemos que as parcelas de primeira obrigação são
as parcelas de R$1000 e de R$2000. E quando elas foram projetadas para a data focal,
resultaram nos seguintes valores: E=1428 e F=2500.
É a soma desses dois valores que irá compor a primeira parte da equação de
equivalência.
Vejamos o complemento da equação: Σ(II)df.
As parcelas de segunda obrigação eram as duas parcelas X, nas datas três e quatro
meses. Projetadas para a data focal, resultaram, respectivamente, em 1,1X e no próprio X.
A soma desses dois valores formará a segunda parte da equação de equivalência.
Finalmente, teremos que:

Σ(I)df = Σ(II)df
1428 + 2500 = X + 1,1X
2,1X = 3.928 X=1.870, Resposta!

Pronto! Já sabemos como resolver QUALQUER questão de Equivalência Simples de
Capitais! Todas se resolvem do mesmo jeito que acabamos de ver!
Vamos passar a mais um exemplo: uma questão de prova recente do AFRF. Vamos a ela.

AFRF-2002-2) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$4.620,00 que vence dentro
de cinqüenta dias, mais o capital de R$3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de
R$4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia.
a) R$10.940,00 d) R$ 12.640,00
b) R$11.080,00 e) R$ 12.820,00
c) R$ 12.080,00

Sol.: Este enunciado foi muito direto. Não veio falando em duas formas de pagamento, nem em
situação de empréstimo feito hoje para ser devolvido no futuro.
Foi uma questão direta: qual o valor hoje que será equivalente a essas três outras parcelas?
Comecemos fazendo o desenho da questão:

X

4.620,00

4.000,00 3.960,00

-20d 0 50d 100d

O desenho dessa questão trouxe uma novidade: vemos que foi descrito um valor
(R$4.000,00) que era devido numa data anterior à de hoje. Ou seja, uma data no passado.
Chamaremos esta data no passado de (-20dias). Ora, não existe, a rigor, data negativa. Usamos o
sinal de menos apenas para efeitos didáticos, e para nos lembrarmos que estamos numa data
anterior ao dia de hoje, ou seja, uma data no passado, distante 20 dias do dia de hoje.

Feito isso, definiremos as parcelas de primeira e segunda obrigação. Teremos:

X

4.620,00

4.000,00 3.960,00

-20d 0 50d 100d
(II) (I) (II) (II)

Na seqüência, verificamos que taxa e tempos já estão na mesma unidade (diária).

A seguir, precisamos definir qual o regime e a modalidade do desconto que será adotado.
Nada foi dito expressamente sobre nossas operações de Desconto. Teremos que achar os dados
nas entrelinhas da questão. Percebemos que apareceu a palavra simples no nosso enunciado.
Portanto, estamos no Regime Simples, ou seja, na equivalência simples de capitais.
Todavia, na leitura da questão, não encontramos a palavra comercial ou a palavra racional,
ou uma das espressões por dentro ou por fora. Então vamos procurar o que foi dito sobre a taxa
dessa operação. E o enunciado disse: “... taxa de juros simples...”.
Daí, conforme já é do nosso conhecimento, se, na operação de desconto, a taxa é de juros,
então usaremos o Desconto Racional.
Conclusão: as operações de Desconto dessa questão serão todas de Desconto Simples
Racional, ou Por Dentro.


O próximo passo consiste em localizar a data focal. O enunciado nada disse acerca da Data
Focal, logo, como estamos no Regime Simples, seguiremos a convenção e adotaremos,
obrigatoriamente, a data zero como nossa data de referência.

Portanto, nosso desenho completo desta questão, após a conclusão dos passos preliminares,
é o seguinte:

X

4.620,00
4.000,00 3.960,00

-20d 0 50d 100d
(II) (I) (II) (II)
DF

Começaremos a projetar para a data focal as parcelas todas do desenho.

O único valor de primeira obrigação que há na nossa questão é o valor “X”, que já está sobre
a Data Focal. Portanto, não precisaremos transportar esse valor para lugar nenhum. Ou seja, ele já
está onde queremos que esteja.
E o seu valor, na Data Focal, já sabemos: é o próprio X.

Trabalhando agora com a parcela R$4.000,00, que está vinte dias atrás da Data Focal.
Teremos:
E

4.000,00

-20d 0
DF

A operação será, conforme definido anteriormente, de Desconto Simples por Dentro. O lado
do Desconto por Dentro é o lado do Atual. Teremos, portanto, que:

E

4.000,00

100 100+i.n

-20d 0
DF

Nossa equação será a seguinte:

4.000 E
=
100 100 + i.n


E
Daí: 40 = E = 40x102 E=4.080,00
100 + 0,1x 20

O valor encontrado “E” ficará guardado para o terceiro passo da questão.

Na seqüência, trabalharemos a parcela R$4.620,00 na data cinqüenta dias. Transportaremos
essa parcela para a Data Focal, por meio (novamente) de uma operação de Desconto Simples por
Dentro. Teremos:

4.620,00
F

100 100+i.n

0 50d
DF

Resolvemos chamar de valor “F” a projeção da parcela R$4.620,00 transportada para a Data
Focal. Poderíamos chamá-la do que quiséssemos.
Nossa equação será a seguinte:

F 4.620
=
100 100 + 0,1x50

462.000
Daí: F= E: F=4.400,00
105
Por fim, temos ainda uma última parcela do desenho, no valor de R$3.960,00, e que está
sobre a data 100 dias. Levaremos esta parcela para a Data Focal, por meio de uma operação de
Desconto Simples por Dentro (conforme havia sido definido no quarto passo preliminar).
Teremos que:
3.960,00
G

100 100+i.n

0 100d
DF

Daí, nossa equação ficaria assim:

G 3.960
=
100 100 + 0,1x100

396.000
Daí: G= E: G=3.600,00
110
Agora, aplicamos a equação de equivalência. Teremos:

∑ (I)DF = ∑ (II)DF

O resultado do primeiro passo efetivo foi: X.

Os resultados do segundo passo foram: E=4.080,00 ; F=4.400,00; e G=3.600,00.


Aplicando esses resultados, nossa equação de equivalência assim:
X=E+F+G Daí: X = 4.080 + 4.400 + 3.600

E: X = 12.080,00 Resposta!

É isso! Na seqüência, apresento-lhes algumas questões do Dever de Casa dessa semana.

Dever de Casa
30. (TTN-92) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de $3.000,00 com 45
dias de prazo, e outra de $8.400,00 , pagável em 60 dias. O negociante quer
substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias de prazo. Sabendo-se
que a taxa de desconto comercial é de 12% a.a. e usando a data zero, o valor
nominal dessa dívida será:
a) $ 11.287,00 d) $ 11.300,00
b) $ 8.232,00 e) $ 8.445,00
c) $ 9.332,00

31. (AFTN-85) João deve a um banco $190.000 que vencem daqui a 30 dias. Por não
dispor de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90
dias. Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de
desconto comercial simples de 72% a.a., o valor do novo título será de:
a) $ 235.000,00 d) $ 243.000,00
b) $ 238.000,00 e) $ 245.000,00
c) $ 240.000,00

32. (AFTN-96) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento
contratado. Este financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros
simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custas nem taxas
para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações.
Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais e
sucessivas de $11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias.
Condições desejadas: pagamento em 3 prestações iguais: a primeira ao final do
10º mês; a segunda ao final do 30º mês; a terceira ao final do 70º mês.
Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor
unitário de cada uma das novas prestações é:
a) $ 8.200,00 d) $ 11.200,00
b) $ 9.333,33 e) $ 12.933,60
c) $ 10.752,31

33. (AFRF 2005 ESAF) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$
50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com
prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos
respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por
um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto
comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem
considerar os centavos, será igual a:
a) R$ 159.523,00 d) R$ 162.220,00
b) R$ 159.562,00 e) R$ 163.230,00
c) R$ 162.240,00

Bons estudos! Forte abraço a todos e fiquem com Deus!


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