1. Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS
Chapitre 5 - Caractéristiques géométriques des sections
SOMMAIRE
I - Centre de gravité................................................................................................................. 64
1°/ Définition.................................................................................................................................... 64
2°/ Théorèmes de Guldin................................................................................................................ 65
II - Moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan....................... 66
1°/ Définition.................................................................................................................................... 66
2°/ Moment statique dans un système d’axes orthonormés ........................................................ 66
3°/ Moment statique des surfaces composées................................................................................ 66
III - Moment quadratique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan .............. 66
1°/ Définition.................................................................................................................................... 67
2°/ Théorème de Huygens............................................................................................................... 67
3°/ Moment quadratique des surfaces composées........................................................................ 68
4°/ Rayon de giration ...................................................................................................................... 68
IV - Applications...................................................................................................................... 68
1°/ Moment statique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés. ........................................... 68
2°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés..................................... 68
3°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport aux axes de symétrie. ............................ 69
Formulaire Centre de gravité.................................................................................................. 70
Formulaire Moment quadratique........................................................................................... 71
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2. Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS
I - CENTRE DE GRAVITE
x
y
z
O
M1
G
Mi
Mn
1°/ Définition
Considérons, dans l’espace, un solide
comme étant constitué d’un ensemble de n
points matériels M1, M2, …, Mi, …, Mn, de
masse respective dm1, dm2, …, dmi, …,
dmn.
Ce solide est de volume V.
Par définition, le centre de gravité de l’ensemble des n points est le point G tel que :
0dm.GM
V
i =∫ G est aussi appelé centre de masse.
Pour déterminer la position de G dans le repère (O, x, y, z), il faut mettre cette définition
sous une forme plus facile à exploiter :
OGOMOMGOGM iii −=+= ( ) 0dm.OGOM
V
i =−⇒ ∫
0dm.OGdm.OM
VV
i =−⇔ ∫∫
0dmOGdm.OM
VV
i =−⇔ ∫∫
0m.OGdm.OM
V
i =−⇔ ∫
m
dm.OM
OG V
i∫=⇔ (1)
Soient xi, yi et zi les coordonnées du point Mi. On obtient à partir de la relation (1) les
coordonnées xG, yG et zG du centre de gravité G :
m
dm.x
x V
i
G
∫=
m
dm.y
y V
i
G
∫=
m
dm.z
z V
i
G
∫=
→ Cas où le matériau est homogène : cte=ρ avec Vm ρ= et dVdm ρ= . La relation
devient :
V
dV.x
x V
i
G
∫=
V
dV.y
y V
i
G
∫=
V
dV.z
z V
i
G
∫=
Les coordonnées du centre de gravité sont alors indépendantes de la nature du matériau.
→ Cas où le solide est d’épaisseur constante e : V = e.S et dV = e.dS, avec S la surface du
solide. La relation devient :
S
dS.x
x S
i
G
∫∫=
S
dS.y
y S
i
G
∫∫=
S
dS.z
z S
i
G
∫∫=
Dans ce cas, G est appelé centre de surface.
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3. Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS
Propriété : Si un solide possède un plan, un axe, ou un centre de symétrie, son centre de
gravité est situé respectivement dans le plan de symétrie, sur l'axe de symétrie ou au centre de
symétrie.
2°/ Théorèmes de Guldin.
1er
théorème :
« La surface engendrée par une ligne plane tournant autour d’un axe de son plan mais ne le
traversant pas est égale au produit de la longueur de la ligne par la longueur de la
circonférence décrite par le centre de gravité de cette ligne. »
Exemple : Détermination du centre de gravité d’un demi-cerceau :
R
G
ZG
Surface décrite par la rotation du demi-cerceau = 4 π R²
Longueur de la ligne = π × R
Circonférence décrite par G = 2 π zG
⇒ 4 π R² = π R × 2 π zG
π
=⇔
R2
zG
2ème
théorème :
« Le volume engendré par une surface plane tournant autour d’un axe de son plan mais ne
le traversant pas est égale au produit de la surface par la longueur de la circonférence
décrite par le centre de gravité de cette ligne. »
Exemple : Détermination du centre de gravité d’une plaque semi circulaire :
R
G
ZG
Volume engendré par la rotation de la plaque = 3
R
3
4
π
Surface du demi disque =
2
R2
π
⇒ 3
R
3
4
π =
2
R2
π
× 2 π zG
π
=⇔
3
R4
zG
REMARQUE : Les théorèmes de Guldin ne peuvent pas servir à la détermination des centres de
gravité des volumes.
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4. Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS
II - MOMENT STATIQUE D’UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE DE SON
PLAN.
1°/ Définition
Mi
S
dSi
ri
Δ
Considérons une surface plane S
constituée de n points matériels M1, M2,
…, Mi, …, Mn, de surface élémentaire dS1,
dS2, …, dSi, …, dSn et un axe Δ situé dans
son plan.
Théorème 1 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe situé dans son
plan est égal au produit de la surface par la distance de son centre de gravité à l’axe
considéré.
On appelle moment statique de la surface S par rapport à l’axe Δ la quantité :
( ) ∫∫=Δ
S
i dSrSW ri étant la distance de dSi à Δ.
2°/ Moment statique dans un système d’axes orthonormés
Théorème 2 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe (O, x) de son
plan est égal au produit de la surface par la coordonnée yG du centre de cette surface.
Soit dans un repère (O, x, y) : ( ) S.ySW G)x,O( = et ( ) S.xSW G)y,O( =
Démonstration : Moment statique de la surface plane S par
rapport à l’axe (O, x) :
S
x
y
O
Mi
dSi
yi
( )
( ) S.ySW
S
dS.y
y
dSySW
Gx
S
i
G
S
ix
=⇒
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
=
∫∫
∫∫
Théorème 3 : le moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan
passant par le centre de cette surface est nul.
La démonstration est évidente : si 0yG = alors ( ) 0SW )x,O( =
3°/ Moment statique des surfaces composées
Le moment statique d’une surface S, composées de plusieurs surfaces S1, S2, …, Sn, est égal
à la somme arithmétique des moments statiques des n surfaces :
( ) ( ) ( ) ( )n21 SW...SWSWSW ΔΔΔΔ +++=
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5. Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS
III - MOMENT QUADRATIQUE D’UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE
DE SON PLAN
1°/ Définition
Considérons toujours la même surface plane S
constituée de n points matériels Mi, de surface
élémentaire dSi, et un axe Δ situé dans son plan.
On appelle moment quadratique de la surface S par rapport à l’axe Δ la quantité :
Mi
S
dSi
ri
Δ
( ) ∫∫=Δ
S
2
i dSrSI ri étant la distance de dSi à Δ.
Dans un repère orthonormé (O, x, y) :
et( ) ( ) ∫∫=
S
2
ix,O dSySI ( )( ) ∫∫=
S
2
iy,O dSxSI
2°/ Théorème de Huygens
Théorème de Huygens :
« Le moment quadratique d’une surface plane S par rapport à un axe quelconque Δ de son
plan est égal au moment quadratique de cette surface par rapport à un axe ΔG parallèle à Δ
et passant par le centre de gravité G de la surface S, augmenté du produit de l’aire de la
surface S par le carré de la distance entre les deux axes. »
Gir
Mi
S
dSi
ΔG
d
G
Δ
Théorème de Huygens :
( ) ( ) 2
d.SSISI G
+= ΔΔ
Démonstration :
Par définition : ( ) ∫∫=Δ
S
2
i dSrSI
Remplaçons ri par sa valeur drr Gii += :
( ) ( )∫∫ +=⇒ Δ
S
2
i dSdrSI G
( ) ( )∫∫ ++=⇔ Δ
S
2
i
2
i dSddr2rSI GG
( ) ∫∫ ∫∫∫∫ ++=⇔ Δ
S S
2
S
i
2
i dSddS.rd2dS.rSI GG
( ) ( ) 2
S
S
i
d.SSISI
considéréetionsecladesurfaceSdS
gravitédecentredudéfinition0dS.r
G
G
+=⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
ΔΔ
∫∫
∫∫
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6. Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS
Remarque : le moment quadratique caractérise l’aptitude d’une section à tourner autour d’un
axe :
- plus le moment quadratique est grand, plus la section a du mal à tourner autour de
l’axe,
- plus l’axe s’éloigne du centre de gravité, plus le moment quadratique est grand.
3°/ Moment quadratique des surfaces composées
Le moment quadratique d’une surface S, composées de plusieurs surfaces S1, S2, …, Sn, est
égal à la somme arithmétique des moments quadratiques des n surfaces :
( ) ( ) ( ) ( )n21 SI...SISISI ΔΔΔΔ +++=
4°/ Rayon de giration
Il est défini comme la racine carrée du moment d’inertie divisée par l’aire S de la surface :
S
I
i x
x = ou , de mêmeSiI
2
xx ⋅=
S
I
i y
y = ou .SiI
2
yy ⋅=
IV - APPLICATIONS
1°/ Moment statique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés.
Par définition : ( ) S.ydSySW G
S
2
i)x,O( == ∫∫
ici, S = b × h et
2
h
yG = ,
d’où ( )
2
bh
SW
2
)x,O( =
2°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés.
( )( ) ∫∫ ∫∫∫∫ ===
S
h
0
2
b
0
2
i
S
2
ix,O dyydxdy.dxydSySI
[ ]∫ ==
b
0
b
0 bxdx
3
h
3
y
dyy
3h
0
3
h
0
2
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=∫
d’où ( )( )
3
bh
SI
3
x,O =
x
y
h
b
G
O
b
x
y
h
G x’
y’
x
y
dS
O
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7. Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS
3°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport aux axes de symétrie.
On applique le théorème d’Huygens : ( ) ( ) 2
d.SSISI G
+= ΔΔ
⇒ ( ) ( ) 2
G)'x,G()x,O( y.SSISI +=
⇔ ( ) ( ) 2
G)x,O()'x,G( y.SSISI −=
⇔ ( )
23
)'x,G(
2
h
).bh(
3
bh
SI ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⇔ ( )
12
bh
SI
3
)'x,G( =
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8. Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS
FORMULAIRE : CENTRE DE GRAVITE
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9. Mécanique des structures Caractéristiques géométriques des sections TS
FORMULAIRE : MOMENT QUADRATIQUE
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