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Se entiende por análisis estructural al estudio y determinación de tensiones,
deformaciones y reacciones, que ocurren en una estructura al ser sometida a acciones exteriores
que pueden ser: cargas, efectos térmicos, movimiento de apoyos, deformaciones impuestas, etc.
El análisis estructural provee los fundamentos sólidos para producir buenos diseños
estructurales, al ocuparse de establecer la relación entre causas y efectos.
El desarrollo del proyecto de una estructura, proceso que se conoce como “diseño
estructural”, se apoya en normas y preceptos que surgen del análisis estructural, así como
también en reglas prácticas y empíricas que dependen fuertemente de la modalidad o carácter
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  1. 1. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -1- Capítulo 1 Introducción al análisis de estructuras de barras 1.1- Conceptos generales Se entiende por análisis estructural al estudio y determinación de tensiones, deformaciones y reacciones, que ocurren en una estructura al ser sometida a acciones exteriores que pueden ser: cargas, efectos térmicos, movimiento de apoyos, deformaciones impuestas, etc. El análisis estructural provee los fundamentos sólidos para producir buenos diseños estructurales, al ocuparse de establecer la relación entre causas y efectos. El desarrollo del proyecto de una estructura, proceso que se conoce como “diseño estructural”, se apoya en normas y preceptos que surgen del análisis estructural, así como también en reglas prácticas y empíricas que dependen fuertemente de la modalidad o carácter del proyectista. El análisis estructural propende a dar soluciones únicas y precisas. Por otro lado, el diseño estructural está influenciado por aspectos prácticos y subjetivos que hacen que dos diseños igualmente correctos o válidos puedan ser muy distintos entre sí. En este curso se estudia la formulación y resolución de problemas estáticos y dinámicos para estructuras de barras, en general, en régimen elástico. Se presentan los métodos generales para abordar cualquier tipo de estructura, indicándose modalidades corrientes de estos métodos para la resolución de tipos particulares de configuraciones estructurales.
  2. 2. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -2- 1.2- Tipos de estructuras de barras y modelos de análisis Los dos tipos básicos de estructuras que se estudian en este curso son “reticulados” y estructuras de “alma llena”. Las estructuras de tipo “reticulado” consisten en barras prismáticas conectadas en nudos a los que convergen los ejes baricéntricos de las piezas concurrentes. Las cargas exteriores se suponen aplicadas en los nudos que se asume que no tienen capacidad de transmitir momentos flectores de una barra a otra adyacente (Figura 1.1). Suponiendo que el sistema descripto sea “inicialmente estable”, es decir, que sea por lo menos isostático (o hiperestático), las cargas se equilibran mediante esfuerzos axiales en las barras. Figura 1.1 Las estructuras de “alma llena” poseen nudos rígidos capaces de transmitir momentos flectores entre las barras (Figura 1.2). Este tipo de estructuras presenta una gran cantidad de variantes; la Figura 1.2.a muestra una viga tipo “Vierendell” en la que las cargas se equilibran fundamentalmente a través de esfuerzos cortantes y flectores en las barras, aunque también con alguna participación de las fuerzas axiales. Figura 1.2 )a )b Nd Ad )c
  3. 3. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -3- Si a esta estructura se le colocan tensores según las diagonales y se supone que estos tensores no tienen capacidad alguna de transmitir flexión, el sistema continúa siendo de tipo nudos rígidos, pero los esfuerzos flexionales se reducen apreciablemente y las cargas aplicadas en los nudos son resistidas en una mayor proporción que en la Figura 1.2.a por fuerzas axiales. La representación gráfica de la relación entre la fuerza en una diagonal Nd y el área Ad de la sección de las diagonales, para un determinado estado de cargas exteriores, presenta la forma indicada en la Figura 1.2.c. La contribución del tensor resulta nula para valores de Ad próximos a cero, por lo que la deformación del bastidor, y por lo tanto el alargamiento del tensor l∆ , es independiente de Ad . El esfuerzo crece proporcionalmente con el área: . . ∆ = E l Nd Ad l Dicha curva tiene una asíntota que corresponde al valor límite de carga axial que puede tomar la diagonal. Ello se debe a que, si bien a mayor Ad corresponde mayor Nd , para grandes secciones Ad comparables con las áreas de las restantes barras, el sistema comienza a comportarse casi como un reticulado y el valor de carga axial tiende al que se obtiene por medio de dicho modelo de cálculo, valor que naturalmente es acotado. Este ejemplo pone de manifiesto que una estructura de nudos rígidos podría analizarse, bajo ciertas condiciones de proporción entre sus miembros, como si fuese un reticulado. En tal caso, los esfuerzos de flexión que seguramente aparecen, son de menor importancia y se los considera “secundarios”. En realidad, las estructuras cuya configuración permite calificarlas como reticulados ideales (también denominadas “celosías” o “cerchas”) en la mayoría de los casos se construyen con nudos que no son articulaciones perfectas, sino que presentan una cierta rigidez que depende del sistema de unión entre las barras. Cuando se usan remaches o bulones es necesario introducir chapas de nudo que permiten la transferencia de esfuerzos entre las distintas barras que convergen al nudo, y la disposición de esos remaches o bulones producen cierto grado de rigidez a los giros relativos entre las barras. Si se trata de uniones mediante cordones de soldadura, la rigidez al giro relativo resulta aún más notable. Sin embargo, como se menciona más arriba, si la configuración (geometría del conjunto más las propiedades mecánicas de las barras) es de tipo reticulado, la rigidez al giro relativo de los nudos introduce ciertos esfuerzos de flexión y corte en las barras; estas solicitaciones se consideran “secundarias” ya que no son indispensables para equilibrar las cargas exteriores, y merecen un tratamiento especial en el proceso de diseño.
  4. 4. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -4- Elección del modelo adecuado La definición de un modelo de cálculo que refleje la realidad física requiere el desarrollo de cierto juicio basado en resultados de análisis detallados de casos similares. La sensibilidad a la elección del modelo adecuado se va adquiriendo con la experiencia. Un camino aconsejable para desarrollar esa experiencia consiste en analizar una misma estructura con modelos diferentes variando parámetros tales como la rigidez relativa para determinar cuál es el esquema principal o primario de transmisión de las cargas. De lo contrario, un analista puede trabajar continuamente con un único esquema basado simplemente en el hecho que “no se cae” sin advertir que está dimensionando las componentes en forma ineficaz. Hay que establecer el esquema primario o fundamental de: Fuerzas axiales o bien Flexión-Corte-Normal para la transmisión de las cargas a tierra. Como esto no siempre es obvio se debe adquirir sensibilidad experimentando distintos modelos para una misma estructura y comparando los resultados. El caso de la Figura 1.2.b, aún para pequeña rigidez relativa de las barras de los tensores, presenta un esquema primario de reticulado por ser “más fácil” (en realidad es más “rígido” y por lo tanto requiere menos deformaciones) transmitir cargas por efecto axial. Este hecho fortuito permite analizar como reticulado ideal a muchas estructuras cuyos nudos son relativamente rígidos como consecuencia de las uniones soldadas o remachadas. Por otro lado, no a todo lo que se asemeja a un reticulado conviene siempre analizarlo como tal. Cuando se debe analizar una torre para antena como la indicada en la Figura 1.3 puede resultar más conveniente adoptar un modelo de viga continua con propiedades equivalentes de corte y flexión, propiedades que deberán calcularse previamente de acuerdo con criterios que se describen más adelante. Las riendas o cables de la estructura funcionan como apoyos elásticos.
  5. 5. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -5- Figura 1.3 1.3- Ecuaciones para el análisis de sólidos deformables En la Figura 1.2.b, se define como esquema “primario” o “fundamental” el constituido por el reticulado de igual forma con los nudos articulados. Esa estructura es estáticamente determinada o isostática y los esfuerzos axiales en la barras pueden ser obtenidas por consideraciones estáticas únicamente (equilibrio). Como ya se indicó, la verdadera estructura de la Figura 1.2.b equilibra parte de las cargas con esfuerzos de flexión en sus barras en una proporción que depende de la rigidez relativa de sus miembros; por lo tanto, salvo para valores muy extremos de Ad , la repartición de cargas no puede calcularse con consideraciones estáticas únicamente. El concepto de “rigidez”, como relación entre esfuerzos y deformaciones de una pieza, se torna crucial. En este ejemplo, la elongación de las diagonales causada por las fuerzas axiales Nd deberán ser compatibles con los desplazamientos de los nudos extremos, valores que a su vez dependen de las fuerzas en las barras de la viga. Estas condiciones adicionales a las de equilibrio se denominan ecuaciones de compatibilidad, y resultan necesarias para definir unívocamente los esfuerzos y las deformaciones del sistema hiperestático. Resumiendo, se puede concluir que para realizar el análisis estructural es necesario, en general, definir y resolver ecuaciones simultáneas de: a) Equilibrio b) Compatibilidad c) Relaciones de rigidez Los grandes métodos generales de análisis estructural corresponden a diferentes modalidades de eliminación de incógnitas en las ecuaciones a), b) y c), cuyos significados son: Realidad Fisica (Reticulado) Modelo Estructural (Alma llena) K equivalente ( . )E I equivalente ( . )cA G equivalente
  6. 6. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -6- a) Se refiere a la suma de fuerzas y la suma de momentos iguales a cero. b) Establecen condiciones de congruencia geométrica y se las conoce también como relaciones cinemáticas. c) Se refieren a las propiedades constitutivas del material que relacionan los esfuerzos (axial, flector, corte o torsión) con las respectivas deformaciones específicas (axial, curvatura flexional, distorsión al corte, y ángulo unitario de torsión). Nótese que las condiciones de compatibilidad son independientes tanto del tipo de material como de las secciones de las barras (ambas determinan la rigidez). Por ejemplo, en el caso de la Figura 1.2.b establecen que los extremos de los tensores permanecen unidos a los nudos de la columna en que se insertan. 1.4- Grado de hiperestaticidad Para un modelo isostático es posible determinar todas las fuerzas (internas y externas) utilizando únicamente ecuaciones de equilibrio, aunque es corriente que por norma de diseño las estructuras tengan que cumplir ciertas condiciones de máxima deformación. La práctica corriente limita la flecha (por ejemplo a 1/500 o 1/800 de la luz según el caso y tipo de estructura) de modo que para resolver completamente el problema se debe recurrir a los tres tipos de ecuaciones ya mencionados, aún para las estructuras isostáticas. El concepto de grado de hiperestaticidad es el aspecto central para la formulación del Método de las Fuerzas que se desarrolla en el primer tercio del curso; posteriormente se estudia el método de los desplazamientos, donde el concepto de hiperestaticidad se torna irrelevante desde el punto de vista del análisis estructural. De todos modos, más allá de la importancia relativa de la hiperestaticidad, o “redundancia estructural” para el desarrollo del método de análisis estructural, debe destacarse que la redundancia estructural es de fundamental importancia para el diseño de las estructuras, que deriva de la existencia de caminos alternativos para equilibrar las cargas aplicadas en el caso de falla o deterioro en algunas de sus componentes. En este tipo de fallas se enmarcan la formación de rótulas plásticas imprevistas, asentamiento de las fundaciones, u otros defectos o situaciones imprevistas en el comportamiento de una estructura. De no existir redundancia, la estabilidad del conjunto depende del funcionamiento correcto de todas las componentes y no hay margen para fallas locales. Por lo tanto, se debe tener presente que la redundancia estructural es reconocida como uno de los aspectos más significativos al momento de diseñar una estructura y establecer los márgenes de seguridad frente a los distintos tipos de solicitaciones.
  7. 7. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -7- En el Método de las Fuerzas, las dimensiones del sistema de ecuaciones que se plantea y resuelve para hallar la distribución de esfuerzos es igual al grado de hiperestaticidad. Por lo tanto, el grado de hiperestaticidad determina el volumen del esfuerzo de cálculo necesario para hallar la solución, de allí su importancia operativa en el análisis estructural. Al margen de estas cuestiones computacionales, se insiste que las estructuras isostáticas tienen un único mecanismo o esquema para equilibrar las cargas, mientras que en las hiperestáticas, si falla un mecanismo, pueden en ciertas condiciones comenzar a trabajar de una manera distinta y aún equilibrar las cargas a través de un mecanismo alternativo. Por ejemplo, si la viga continua de dos tramos de la Figura 1.4 llega a fluencia por el momento flector sobre el apoyo central, puede desarrollar una rótula plástica y trabajar como dos vigas simplemente apoyadas hasta que comience a plastificarse en el interior de los tramos. Para que sea posible esta distribución de esfuerzos es indispensable que la viga presente capacidad de deformación plástica sin que pierda su capacidad portante. Esto no ocurriría para una viga de material frágil, ya que en ese caso al llegar al máximo momento se produciría una falla frágil, y el mecanismo de redistribución de esfuerzos no alcanzaría a desarrollarse. (Figura 1.5) Figura 1.4 Figura 1.5 )a M κ pM Ley momento - curvatura para un material elasto-plástico ideal M κ rM )b Ley momento-curvatura para un material frágil linealmente elástico l
  8. 8. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -8- 1.5- Vigas prismáticas de eje recto (ecuación de la elástica) Las barras prismáticas son aquellas que tienen una sección transversal constante a lo largo de su desarrollo y su eje longitudinal es recto. El caso de una viga de sección continuamente variable puede ser aproximado por tramos rectos de sección constante. Sea una pieza prismática sometida a acciones de corte, flexión, axial y torsional descripta a través de las variables ( )Q x , ( )M x , ( )N x y ( )tM x donde x es la variable independiente sobre el eje de la pieza. En la Figura 1.6 se indican los esfuerzos asumiendo que no hay carga axial ni momento torsor distribuido en el tramo dx , es decir, sólo hay flexión y corte. Figura 1.6 Como ya se ha visto en el curso de Resistencia de Materiales, para el cálculo de la elástica o deformación de la viga en flexión son necesarios los tres ingredientes básicos antes mencionados. a) Equilibrio Equilibrio de fuerzas: . ( ) 0Q q dx Q dQ+ − + = ∴ dQ q dx = (Ec. 1.1) Equilibrio de momentos: . . ( . ). ( ) 0 2 Inf orden superior dx M Q dx q dx M dM− − − + + = 14243 ∴ dxQ Q dQ+ M Mt N M dM+ N Mt + ++ Convención de signos de la elastica ( )q + ( )Q + ( ) ( )M κ+ + ( ) ( )Mθ + + y ( )y +
  9. 9. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -9- dM Q dx = (Ec. 1.2) b) Ley de Hooke De la misma manera que se asocia la deformación específica ε al esfuerzo normal, se asocia la curvatura κ al momento flector a través de las relaciones: . N A E ε = ; . M E I κ = ; Siendo 1 d r dx φ κ = = . . d M E I dx φ = (Ec. 1.3) A éstas se puede agregar la relación entre el corte y su distorsión asociada γ : . Q Ac G γ = Por simplicidad, en el presente análisis no se tiene en cuenta la contribución del corte a la elástica. c) Compatibilidad Recordando que las secciones planas perpendiculares al eje baricéntrico permanecen planas y perpendiculares a la línea baricéntrica (elástica) después de la deformación, se tiene: dy dx φ = (Ec. 1.4) Una vez planteados los tres tipos de ecuaciones se pueden hacer las siguientes sustituciones: Derivando (Ec. 1.4) y sustituyendo en (Ec. 1.3) queda: 2 2 . . d y M E I dx = (Ec. 1.5) Derivando (Ec. 1.5) y sustituyendo en (Ec. 1.2) se tiene: 3 3 . . d y Q E I dx = (Ec. 1.6) Derivando (Ec. 1.6) y sustituyendo en (Ec. 1.1) se tiene: y x θ dy dx
  10. 10. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -10- 4 4 . . d y q E I dx = (Ec. 1.7) La (Ec. 1.7) se designa habitualmente “ecuación diferencial de la elástica”. Resulta conveniente destacar que la ecuación de la elástica es una ecuación de equilibrio donde la incógnita que es el desplazamiento “y” se expresa como función de la carga “q ”. Asimismo, se debe notar que no es lo mismo resolver (Ec. 1.7) que (Ec. 1.1). La ecuación (Ec. 1.7) no puede resolver el equilibrio sin considerar la deformación mientras que (Ec. 1.1) es sólo una de las ecuaciones diferenciales de la viga. Debe tenerse presente que al utilizar (Ec. 1.7) da lo mismo que la viga sea isostática o hiperestática porque este planteo es equivalente a estar resolviendo el problema por el Método de Rigidez (nota: el Método de Rigidez, también llamado Método de los Desplazamientos se estudia en detalle más adelante) Ejemplo: Figura 1.7 Solución Homogénea: 2 3 0 0 1 2 3. . .Y C C x C x C x= + + + Solución Particular: Se propone una solución tal que derivando cuatro veces dé una constante. 4 .p pY C x= Resulta fácil obtener de la ecuación (Ec. 1.7) la relación entre pC y q : 24. . p q C E I = 2 3 4 0 0 1 2 3. . . . 24. . p q Y Y Y C C x C x C x x E I = + = + + + + Para calcular las cuatro constantes es necesario aplicar las cuatro condiciones de borde: l A B x q cte=
  11. 11. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -11- En A: (0) 0Y = (0) (0) 0 dY dx φ= = En B: ( ) 0Y l = 2 2 ( ) ( ) 0 . d Y M l l dx E I = = Se puede apreciar que la hiperestaticidad no aparece en este análisis. Si se considera el caso isostático u otras condiciones de apoyo sólo es necesario cambiar las condiciones de borde. Figura 1.8 En A: (0) 0Y = 2 2 (0) 0 d Y dx = En B: ( ) 0Y l = 2 2 ( ) 0 d Y l dx = Derivamos (Ec. 1.2) y reemplazando en (Ec. 1.1): 2 2 d M q dx = (Ec. 1.8) Que aparenta ser un camino más sencillo porque permite encontrar la distribución del momento flector integrando dos veces la carga dato “q”. Sin embargo, la (Ec. 1.8) no podrá resolverse a menos que el sistema sea isostático. Si, por ejemplo, a la viga de la figura se le agrega la condición de que los extremos no giren, se torna indispensable considerar los desplazamientos para obtener la solución del problema. La hiperestaticidad puede acarrear complicaciones cuando se la plantea de una determinada manera (Método de las Fuerzas) pero si se utiliza el Método de los Desplazamientos, la solución se obtiene sin mayor esfuerzo a pesar del grado de hiperestaticidad. 1.6- Conceptos generales de la estática de sistemas deformables La estática es la parte de la mecánica que estudia el planteo y resolución de las condiciones o ecuaciones de equilibrio. “Equilibrio estático” es la condición que se da cuando no se producen aceleraciones en las componentes o en el conjunto del sistema. l A B x q cte=
  12. 12. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -12- Considérese en primer lugar configuraciones estructurales que en sus condiciones de servicio sufren deformaciones “pequeñas”. La “pequeñez” de las deformaciones será precisada cuantitativamente más adelante; por el momento será suficiente con aclarar que la forma de la estructura en su conjunto o algunas de sus componentes no cambia apreciablemente de forma al actuar las cargas exteriores. Sea el reticulado “ideal” (con articulaciones perfectas en la intersección de los ejes baricéntricos de las barras) de la Figura 1.9.a , que se puede apreciar es isostático. Figura 1.9 En la Figura 1.9.b se esquematiza en escala distorsionada la configuración deformada correspondiente a una carga P en el extremo del voladizo. Dado que se estima que las deformaciones son pequeñas, es posible plantear las ecuaciones de equilibrio como si las fuerzas en las barras actuaran en la dirección original. En realidad esto resulta sólo una primera aproximación, pero de esta manera se simplifica el cálculo ya que se reduce al caso de un sistema rígido estudiado en el curso anterior de “estática”. O sea que los esfuerzos en la barras se pueden calcular por los procedimientos de la estática sin tener en cuenta la deformabilidad de las barras. Configuración Original P Configuración Deformada )a )b
  13. 13. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -13- Figura 1.10 Supóngase ahora que se agrega una barra que vincule los puntos B y C (Figura 1.10). Esta estructura no es más isostática y no es posible por consideraciones estáticas exclusivamente determinar los esfuerzos de todas las barras. Se designa con T al esfuerzo de la barra CB y se analiza cómo varía T en función del área A de la sección transversal de la barra CB manteniendo constante las restantes barras. Al tender A a cero, la barra se hace infinitamente flexible, por lo que la fuerza T tiende a cero. Naturalmente 0T = cuando 0A = . Al aumentar A, la fuerza T aumenta ya que en forma relativa la barra se hace más rígida frente a la estructura original. Si A → ∞ , T debe tender a un limite finito (dicho valor corresponde a la reacción de apoyo móvil perpendicular a BC actuando en C ). En forma cualitativa se espera una ley de variación de T en función de A como se indica en la Figura 1.11. Figura 1.11 Un caso conceptualmente similar es la torre de alma llena arriostrada con un tensor según la Figura 1.12. T A Límite C B
  14. 14. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -14- Figura 1.12 Para poder calcular la fuerza T será necesario determinar la “deformabilidad” de la torre sin el tensor, ya sea ésta de reticulado o de alma llena. La determinación de la “deformabilidad” requiere el cálculo de la elástica que describe la posición en el espacio de la estructura deformada. La modalidad operativa del cálculo de estas deformaciones es distinta según sea un reticulado o un elemento de alma llena, y será estudiado en detalle en las secciones que siguen. Desde el punto de vista global, sin embargo, en el Método de las Fuerzas se procede de la siguiente manera: 1) Determinación de la elástica de la torre sola bajo la acción de las cargas exteriores P . 2) Imposición de las condiciones de compatibilidad de deformaciones entre la torre y el tensor. Estas condiciones llevan a la determinación del esfuerzo en el tensor 3) Cálculo de los esfuerzos y deformaciones de la torre bajo la acción de las cargas exteriores P y del esfuerzo en el tensor T , considerado también como una fuerza exterior. Ejemplo: Sea ahora el ejemplo de la viga con un apoyo elástico central según la Figura 1.13. Figura 1.13 / 2l q / 2l hSección A P
  15. 15. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -15- Interesa conocer el diagrama de momentos flectores de la viga y el esfuerzo axial en la barra de apoyo. Se supondrá que el módulo elástico de la viga y de la columna es E en ambas componentes. De acuerdo a lo indicado antes, la determinación de la fuerza de reacción R que se genera en la barra central requiere los siguientes pasos: 1) Determinar la elástica de la viga sola, o sea, simplemente apoyada en los extremos. Por integración de la ecuación de la elástica se sabe que la flecha al centro 0δ es: 4 0 5 . 384 . q l E I δ = 2) Para establecer la condición de compatibilidad entre la viga y la barra debe reconocerse que esta última genera una fuerza concentrada R . Para ello se calcula el efecto que R− tiene sobre la barra y el que R+ tiene sobre la viga. La viga bajo la acción de R , se deforma con una flecha central 1δ , según la ecuación de la elástica dada por: 3 1 1 . 48 . R l E I δ = − (hacia arriba) La barra bajo R− se deforma: 2 . . R h A E δ = La condición de compatibilidad establece que debe existir continuidad de desplazamiento vertical en la unión de la viga y de la barra. Por eso: 0 1 2δ δ δ+ = ∴ 4 3 5 . 1 . . 384 . 48 . . q l R l R h E I E I A E − = 4 3 5 . 384 48. q l IR l h I A = + (Ec. 1.9) Nótese que R es independiente de E , cuando E es uniforme para toda la estructura. Si se mantiene I constante, la ley de variación de R es función de A está dada por la (Ec. 1.9) y tiene el aspecto indicado en la Figura 1.14. Figura 1.14 R A maxR
  16. 16. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -16- La asíntota horizontal corresponde al valor máximo de la reacción central que ocurre cuando A → ∞ o sea que se tiene un apoyo rígido al centro. Según (Ec. 1.9) se tiene que : max 5 . . 8 R q l= 3) El diagrama final de momentos flectores se obtiene por superposición de la parábola debido a P y del triángulo debido a R (Figura 1.15) Figura 1.15 El vértice A del triángulo puede resultar por debajo del vértice de la parábola B (según Figura 1.15) o por encima del mismo, según el valor de R , que a su vez depende de la rigidez de la barra. En todo el desarrollo de este ejemplo se han empleado dos hipótesis de linealidad que son independientes entre sí. Por un lado, el material de la barra y de la viga cumple con la ley de Hooke. Por otro lado, al sufrir pequeñas deformaciones, la ecuación de la elástica es lineal, o sea que a doble carga corresponde el doble de deformación. La primera hipótesis se refiere al material de la estructura y la segunda al comportamiento cinemático de la misma. Estas hipótesis son aceptables en muchas situaciones prácticas, aunque deben reconocerse los tipos de casos donde estas simplificaciones no son apropiadas. Como ejemplo ilustrativo de estructuras con comportamiento no lineal, se puede mencionar al cable tendido de la Figura 1.16.a. Figura 1.16 )a )b l BA δ P BA A B
  17. 17. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -17- Su forma corresponde a la curva funicular del peso propio del cable y que pasa por puntos de apoyo. Al aplicar una carga concentrada P el cable cambia apreciablemente de forma (Figura 1.16.b) y aún cuando sea de material linealmente elástico, el comportamiento de la estructura será no lineal, es decir que la relación entre la flecha δ y la magnitud de la carga no es lineal, por efectos cinemáticos. Se dice que la estructura posee “no linealidad geométrica”. Otro ejemplo de este tipo es la viga cargada axial y transversalmente al mismo tiempo (Figura 1.17). Figura 1.17 El diagrama de momentos flectores tiene dos componentes. Una debido a V de variación lineal en función de x, y tiene la forma de un triángulo. Otra debido a P , tiene una forma suave, sin quiebres y se debe a la excentricidad de P con motivo de la deformación provocada por V . Naturalmente esta última componente no aparecerá si se planteara la ecuación diferencial de la elástica suponiendo el eje longitudinal recto. Esta parte del diagrama es función no lineal de P , o sea que, a doble P no corresponde doble momento adicional. En este caso, dependiendo del valor de P a considerar, puede ocurrir el fenómeno de inestabilidad de forma o pandeo en el cual los momentos flectores provocados por P no pueden ser equilibrados sino con grandes deformaciones transversales de la viga. l P V P
  18. 18. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -18- Ejercicio Nº 1: Dado el sistema hiperestático simétrico del croquis, cuyas barras son del mismo material, se pide: a) Expresar la fuerza en la barra central ( )1N en función de la relación de áreas 1 2 A A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ suponiendo todas las barras en el periodo lineal. b) Expresar la tensión en la barra central ( )1σ en función de su área 1A suponiendo fijos 2 2 0,1A cm= y 1000P Kg= . c) Graficar 1N en función de 1A para 2 2 0,1A cm= y 1000P Kg= suponiendo que la tensión de fluencia para ambas barras es 2 2600f Kg cm σ = . Ecuaciones de equilibrio: Se plantea una ecuación de equilibrio de fuerzas verticales en el nudo A . ( ) ( ) 2 2 2 320 240 400l cm= + = 320 cos( ) 0.80 400 α = = 2N P 2N 1N α 240 240 320 ( )1 ( )2 ( )2 A P
  19. 19. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -19- 1 2 20,80. 0,80. 0V F N N N P= + + − =∑ Ecuación de equilibrio: 1 21,60.N N P+ = (Ec. 1.10) Ecuaciones de compatibilidad: Se plantea una condición geométrica que establece que el desplazamiento de los extremos A de las barras ( )2 y ( )1 son iguales. Aceptando la hipótesis de pequeñas deformaciones se obtiene el alargamiento de las barras ( )2 proyectando el desplazamiento A sobre la dirección original de las barras: 2 .cos( )l α∆ = ∆ (Ec. 1.11) Para barra ( )1 : 1l∆ = ∆ (Ec. 1.12) Para barra( )2 : 2 0,80.l∆ = ∆ (Ec. 1.13) Ecuación de compatibilidad: 2 10,80.l l∆ = ∆ (Ec. 1.14) Nótese que (Ec. 1.10) y (Ec. 1.14) son válidas aunque alguna barra entre en fluencia y sólo se basan en la hipótesis de deformaciones pequeñas que permitió formular: 1º) La ecuación de equilibrio (Ec. 1.10) en el sistema indeformado y 2º) la ecuación cinemática (Ec. 1.11). Ecuaciones constitutivas: Son las ecuaciones que definen el comportamiento del material, es decir la relación Eσ − . Se supondrá un material elasto-plástico con el siguiente diagrama: Ecuaciones constitutivas: . . ...... 2600 2600. ... i i ii i A E l lN A en fluencia σ ⎧ ∆ <⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ (Ec. 1.15) σ ε 2600 α 2 2600f Kg cm σ =
  20. 20. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -20- (Ec. 1.16) a) Suponiendo todas las barras en el período lineal se puede despejar 1l∆ y 2l∆ a partir de (Ec. 1.15) y llevarlas a (Ec. 1.14). Luego despejando 2N en función de 1N , que llevado a (Ec. 1.10) permite finalmente despejar 1N . 1 1 2 1,024 1 / P N A A = + (Ec. 1.17) Estos resultados son válidos si 1 2600σ < y 2 2600σ < . Nótese que para llegar a (Ec. 1.17) se deben utilizar necesariamente ecuaciones constitutivas, ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad. b) Haciendo 2 0,10A = en (Ec. 1.17) y dividiendo por 1A , se tiene: 1 1 1 1 1 1000 0,1024 . 1 N A A A σ = = ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( )1 1 1000 0,1024A σ = + (Ec. 1.18) En (Ec. 1.18) se puede apreciar que si 1 0A → , 1 2 1000 9765 0,1024 Kg cm σ → ≈ lo que demuestra que para valores pequeños de 1A la barra central entra en fluencia. Haciendo 1 2 2600 Kg cm σ = en (Ec. 1.18) permite despejar el área mínima para la cual no hay fluencia. 2 1 1000 2600 0,1024 Kg A cm < + ∴ 2 1 0.28A cm> Por lo tanto la expresión (Ec. 1.17) debe limitarse: (Ec. 1.19)1 1 1 1 2600..................0 0.28 1000 ..... 0.28 0,1024 A A A σ ≤ ≤⎧ ⎪ = ⎨ ≥⎪ +⎩ (Ec. 1.20) c) Según (Ec. 1.19) la fuerza que toma la barra central es muy pequeña si el área 1A tiende a cero o es muy pequeña ( 1 12600.N A= cuando 2 1 0.28A cm< ) y en tal caso debe considerarse la posibilidad de que las barras ( )2 también entren en fluencia. La máxima fuerza 2N resulta:
  21. 21. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -21- ( )2 max 0,10.2600 260N Kg= = Valor que llevado a (Ec. 1.10): ( ) ( )1 2min max 1,60. 1000N N Kg+ = De donde: ( )1 min 584N Kg= Como se sabe que: 1 12600.N A= ( ) 2 1 min 0.225A cm= (Ec. 1.21) 1A 0 0,10 0,225 0,25 0,282 0,50 1,00 2,00 10,00 1σ 2600 2600 2600 1660 907 476 99 1N 584 650 734 830 907 951 990 2σ 2600 2188 1664 1062 581 304 63 2N 260 219 166 106 58 30 6,30 ( )I 144424443 ( )II 144424443 ( )III 14444444244444443 ( )I 1000 ( ):Zona I No hay equilibrio 2 1A cm⎡ ⎤⎣ ⎦ 800 600 400 200 [ ]1N Kg 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 0,225 0,282 ( )II ( )III ( ) (1): : (2) : Barra Fluencia Zona II Barra Elástica ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ ( ):Zona III Todas las barras elásticas
  22. 22. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -22- Ejercicio Nº 2: Dado el sistema simétrico del ejercicio anterior cuyas barras tienen igual sección 2 1 2 0,10A A cm= = y el mismo material 2 2600f Kg cm σ = . Se pide: a) Determinar la máxima carga portante uP . b) Determinar la carga que produce la primera fluencia. c) Graficar la relación P − ∆ y calcular la rigidez de los distintos tramos. d) Determinar si existe alguna relación entre las áreas 1A y 2A de modo que las barras ( )2 y ( )1 entren simultáneamente en fluencia. a) La carga última se obtiene cuando entran en fluencia todas las barras. La fuerza en cada barra se obtiene a partir del área y la tensión de fluencia fσ . 1 2600.0,10 260N Kg= = 2 2600.0,10 260N Kg= = Llevando a (Ec. 1.10): (260) 1,60.(260) uP+ = 676uP Kg= (Ec. 1.22) b) Haciendo 1 2 1 A A = en (Ec. 1.17) resulta: 1 0,494. 1 1,024 P N P= = + (Ec. 1.23) Valor que llevando a (Ec. 1.10): σ ε 2600 α 2 2600f Kg cm σ = 6 2 2,10 10 Kg E x cm = 240 240 320 ( )1 ( )2 ( )2 A P
  23. 23. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -23- 2 0,3162.N P= (Ec. 1.24) Como las áreas son iguales, la barra central tiene mayor tensión y es la primera en entrar en fluencia. 1 1 1 4,94. 2600 4,94.f N P P A σ σ= = ⇒ = = 526,24fP Kg= (Ec. 1.25) c) Durante el período lineal elástico el desplazamiento se puede obtener indistintamente a partir de (Ec. 1.12) o (Ec. 1.13) calculando los alargamientos de las barras a partir de la ley de Hooke (Ec. 1.15). De (Ec. 1.12): 1 1 6 6 .320 (0,494. ).320 0,10.2,10 10 0,10.2,10 10 N P l x x ∆ = ∆ = = 0,000753.P∆ = (Ec. 1.26) La (Ec. 1.26) es válida mientras las barras ( )2 y ( )1 se comportan linealmente. A partir de la definición de rigidez K , en el período lineal: . 0,000753. P P P K U K U P = ∴ = = 1328 Kg K cm = (Ec. 1.27) Cuando la carga es mayor que fP , (Ec. 1.12) y (Ec. 1.13) mantiene validez, pero 1l∆ no puede calcularse en la hipótesis lineal (ley de Hooke). Utilizando la (Ec. 1.13), y la ley de Hooke que sigue válida para las barras ( )2 (hasta que dichas barras entren también en fluencia y se produzca el colapso del sistema): 2 2 26 .400 0,00238. 0,80 0,80.(0,10.2,10 10 ) l N N x ∆ ∆ = = = 2N se calcula teniendo en cuenta que 1 1. 2600.0,10 260fN cte A Kgσ= = = = mientras dura la fluencia. Empleando (Ec. 1.10) que mantiene validez a pesar de la fluencia, se tiene: 2 2 260 (260) 1,60. 1,60 P N P N − + = ∴ = 260 0,00238. 1,60 P −⎛ ⎞ ∆ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  24. 24. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -24- 0,38675 0,001488.P∆ = − + (Ec. 1.28) La rigidez del segundo tramo se obtiene a partir de la definición de rigidez para los casos no lineales: 0 lim U P dP K U dU∆ → ∆ = = ∆ De (Ec. 1.28) se tiene 672. 260P = ∆ + , derivando se tiene: * 672 Kg K cm = (Ec. 1.29) Recuérdese que la validez de (Ec. 1.28) y (Ec. 1.29) está limitada al valor de fP . f uP P P< < . Nota 1: la carga de fluencia puede incrementarse en un 28% antes que se produzca el colapso. Nota 2: la rigidez del sistema estructural se reduce a la mitad al entrar en fluencia la barra central. d) Las expresiones (Ec. 1.23) y (Ec. 1.24) desarrollados para 1 2A A= muestran que la barra ( )1 entra primero en fluencia. Corresponde preguntarse si es posible lograr que las barras entren simultáneamente en fluencia con una relación apropiada de 1A y 2A . Llamando 2 1 A A λ= y empleando (Ec. 1.17): 676 1,28.u fP P= ≈ * 672K = [ ]cm∆ 600 500 400 200 [ ]P Kg 0,20 0,40 0,60 0,80 0,396 0,619 700 300 100 1,00 526,24fP = 260 1328K =
  25. 25. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -25- 1 1 1,024. P N λ = + (Ec. 1.30) Llevando (Ec. 1.30) a (Ec. 1.10) permite despejar: 1 2 1,60 P N N − = 2 0,64. 1 1,024. N λ λ = + (Ec. 1.31) Si se pretende que: 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 N N A N A A A N σ σ= ∴ = ∴ = 0,64.λ λ∴ = ¡¡¡ !!!No hay solución Alternativa: Por la ley de Hooke, tenemos .Eσ ε= 1 1 1 1 2 12 2 2 2 . 320 320 0,64!!! 0,80. . 320 400 l E l l E l ε σ σ σ ε σ ⎫∆ ∆ = = ∴ = ∆ ⎪ ⎪ =⎬ ∆ ∆ ⎪= = ∴ = ∆⎪ ⎭ 2 10,64.σ σ= !!!! Conclusión: Si todas las barras están en el periodo lineal, la tensión en la barra ( )1 es mayor que en las barras ( )2 independientemente del valor de las áreas.
  26. 26. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -26- Ejercicio Nº 3 Determinar el diagrama que relaciona el valor de la carga P y el desplazamiento de su punto de aplicación en la viga de la Fig.(c). Se supone que el material se comporta elasto-plásticamente según la Fig.(a) y que la sección tiene un diagrama momento-curvatura indicado en la Fig.(b). Este ejemplo supone que al entrar en fluencia las fibras externas, entra en fluencia toda la sección, vale decir que el modulo plástico de la sección pW es igual al modulo elástico. ( ) 3512 80,63 / 2 6,35 p I W W cm h = = = Para perfiles doble T la relación 1,10pW W ≈ . Tomando el factor de forma igual a la unidad se busca simplificar el cálculo y lo que es más importante, poner de manifiesto que las estructuras hiperestáticas pueden, en general, desarrollar formas alternativas de equilibrar la carga después de entrar en fluencia. Para determinar la carga de fluencia fP debemos determinar donde ocurre el máximo M en el periodo elástico y su valor en función de P . Siendo este un problema hiperestático no es posible determinar directamente el diagrama de M (momentos flectores). 150 P 150 300 A B C 4 512Sección doble T I cm= 12,70 .( )Fig c σ ε 2600 2 2600f Kg cm σ = .( )Fig a M K f pM M= .( )Fig b
  27. 27. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -27- Solución del problema hiperestático: De las tres reacciones verticales sólo se pueden calcular dos empleando ecuaciones de equilibrio estático. Nótese que si se conociera por ejemplo la reacción BR la determinación de las restantes reacciones y los esfuerzos internos resulta un simple problema de estática. Durante el periodo elástico vale el principio de superposición y por lo tanto el efecto simultaneo de P y BR es igual a la suma de los efectos por separado. Las vigas isostáticas de las figuras (II) y (III), pueden resolverse totalmente llegando a la ecuación de la elástica. Mientras que la viga hiperestática de la fig. (I) debe cumplir una condición cinemática extra, además de las ecuaciones de equilibrio estático. Dicha condición establece que el desplazamiento del punto B debe ser nulo. Descomponiendo dicho desplazamiento como la suma de los desplazamientos de las vigas de las figuras (II) y (III), se obtiene la llamada “Ecuación de compatibilidad”: 0B B P RBδ δ+ = (Ec. 1.32) Nótese que esta ecuación no es una ecuación de equilibrio y que a partir de ella se puede determinar BR . Para hallar los desplazamientos se recurre al resultado conocido de la elástica: 1δ P A B a b 2δ x z ( )2 2 2 1 . . .( ) . . . 6. . . 6. . . A P a b l b P b x l b x x a l E I l E I θ δ + = = − − < ( )2 2 2 2 . . .( ) . . . 6. . . 6. . . B P a b l a P a z l a z z b l E I l E I θ δ + = = − − < TABLA BR = + P A .( )fig II B C B Pδ P A C .( )fig III B RBδ A C BR .( )fig I
  28. 28. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -28- La ecuación de compatibilidad resulta: 0,0028773717. 0,0041852679. 0BP R− = 0,6875.BR P= La solución de la viga de la fig. (I) se obtiene como suma de la solución de las vigas de las figuras (II) y (III). Cálculo de BR : 450. 300.(0,6875. ) 600. 0C AM P P R= − − =∑ 0,40625.AR P= 0,6875.P P A B C .( )Solución viga fig I 0,40625.P 0,09375.P D D δ 60,9375.P 28,125.P D RBδ A B B RBδ D .( )Solución viga fig III 3 4,1852679 10 .B P BRδ − = − × ( )2 2 2300 300 . 600 300 300 6 600 . B B RB R E I δ − × × = − − × × .( )Solución viga fig II 3 2,8773717 10 .B P Pδ − = ×D Pδ P A B B Pδ D ( )2 2 2150 300 . 600 150 300 6 600 . B P P E I δ × × = − − × ×
  29. 29. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -29- Cálculo de D δ : ( )2 2 2150 450 . 600 150 450 6 600 . D P P E I δ × × = − − × × ( )2 2 2300 150 . 600 800 150 6 600 . D B RB R E I δ × × = − − × × D D D P RBδ δ δ= + 0,0003760202.D Pδ = Determinación de la carga de fluencia fP y su correspondiente desplazamiento Esto resulta muy simple porque se tiene expresado el máximo momento flector M y el desplazamiento δ , en función de P . max max 60,9375. 2600 80.63 f f PM W σ σ= ∴ = = 3440fP Kg= Este mismo resultado se logra igualando el momento flector máximo al momento de fluencia fM . . 2600 80,63 209638f fM Wσ= = × = 209638 .pM Kg cm= 60,9375. 209638fP = 3440fP Kg= El desplazamiento del punto D al comenzar la fluencia (plastificación) resulta: 0,0003760202 3440,2D fδ = × 1,29D f cmδ = Determinación de la carga última uP : Cuando la carga es mayor que la carga de fluencia fP la sección D no resiste más que el pM y se comporta como una rótula plástica. Los incrementos de carga P∆ por sobre fP producen que la estructura se comporte como una viga isostática articulada en D.
  30. 30. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -30- Nótese que esta “descomposición” no significa validez del principio de superposición de las estructuras lineales porque las estructuras de la .( )fig ii y .( )fig iii son diferentes. Aquí queda claro que la estructura de la .( )fig i , que es hiperestática, tiene una alternativa para resistir la carga aun después que la sección D se ha plastificado totalmente. Es importante destacar que una estructura isostática no posee dicha propiedad. El caso de la .( )fig ii ya fue resuelto totalmente. Concentrándose ahora en el caso de la .( )fig iii , resulta simple por ser isostático. El momento flector sobre el apoyo B en el caso de la .( )fig i se obtiene sumando los valores correspondientes a los casos de las .( )fig ii y .( )fig iii . ( )28,125. 3440,2 150. 96755 150.B M P P= + ∆ = + ∆ La máxima carga maxP∆ que la viga de la .( )fig i puede resistir es aquella para las cual el momento flector en B es igual al momento plástico. ( )max B PM M P P= ⇒ ∆ = ∆ y por lo tanto ( )maxf uP P P+ ∆ = Para el valor uP (carga última) se forma una nueva rótula plástica en B y la estructura se transforma en un mecanismo (estructura hipostática) P∆ A C B 150.BM P= ∆ = + P A B C D fδθ fP P> fP A B C D Pδ∆ P∆ A B C θ fP P P∆ = − .( )fig i .( )fig ii .( )fig iii D DD
  31. 31. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -31- max96755 150. 209638P+ ∆ = max 752P Kg∆ = Se puede calcular el desplazamiento ( )max D P δ ∆ superponiendo el desplazamiento por la flexión del voladizo DB con el desplazamiento de cuerpo rígido del extremo D causado por la rotación del extremo B. ( ) ( ) ( ) 3 max 752 150 150 752 300 .150 3. . 3. . D P E I E I δ ∆ × × × = + ( )max 2,36D P cmδ ∆ = Diagrama de Carga - Desplazamiento: 4193 [ ]D cmδ 5000 4000 2000 [ ]P Kg 1,00 2,00 3,00 4,00 1,29 3,65 3000 1000 5,00 3340 δ P l 3 . 3. . P l E I δ = TABLAS . 3. . M l E I θ = M θ l uP P> A C B PM D PM PMPM No hay equilibrio COLAPSO⇒
  32. 32. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -32- ( )max 3440 752u fP P P= + ∆ = + 4193uP Kg= ( )max 1,29 2,36D D D Pu Pf P δ δ δ ∆ = + = + 3.65D Pu cmδ = Nótese que durante el primer tramo elástico la rigidez resulta: 2 3440,2 2660 1,2936 Kg cm = Al formarse la rotula plástica en D se reduce a: 2 752,54 318 2,3621 Kg cm = Mientras que al formarse la segunda rotula plástica la rigidez se hace cero. Procedimiento alternativo: El comportamiento de la estructura después de la formación de la rotula plástica en la sección D de la .( )fig i , puede analizarse directamente sin descomponerlo en los estados de las figuras .( )fig ii y .( )fig iii . Basta suponer una rotula en el punto D y los momentos plásticos PM actuantes sobre cada extremo que concurre a D. La carga última se tiene cuando el momento flector en B es igual al momento plástico PM . 150. 419280 209638uP − = 4193uP Kg= Para calcular el desplazamiento en D causado por uP se determina el desplazamiento del punto D como perteneciente a la viga DBC. P A C B 150. 1397,6 300B M P= = × 209638209638 D 3440P > 209638 1397,6( ) 150 AR cte= = 209638( )D M cte=
  33. 33. CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -33- Cálculo de la carga última uP por Trabajos virtuales. Cuando se conocen donde se van a forma las rotulas plásticas resulta muy simple determinar la carga última donde un desplazamiento virtual de cuerpo rígido al mecanismo formado por las rotulas y en equilibrio a través de los momentos plásticos PM . Ecuación de T.V. ( ). . . .0 . 150. 0p p p p uM M M M Pδθ δθ δθ δθ− − − + + = 3. . 150. . 0p uM Pδθ δθ− + = 2 209638 150 uP × = 4193uP Kg= uP A C B PM PM PMPM Sistema en equilibrio 150 150 300 δθ Diagrama de desplazamientos virtuales 150 2795u AP R− = 300209638PM = δ M l 2 . 2. . M l E I δ = TABLA
  34. 34. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -1- Capítulo 2 Energía interna de deformación 2.1- Energía interna de deformación en sólidos elásticos Se dice que un sólido es elástico si para cualquier carga exterior P , la relación P U− (Figura 2.1) se cumple mediante una única ley a través de los ciclos de carga y descarga (U es la componente del desplazamiento del punto de aplicación de la carga P en la dirección de dicha carga) Figura 2.1 En otros términos, un sólido es elástico cuando no se observan ciclos de histéresis en el diagrama P U− a través de los ciclos de carga y descarga. El trabajo desarrollado por la fuerza exterior durante la deformación del sólido está representado por el área rayada del diagrama P U− (Figura 2.1) Si la carga crece lentamente de modo de no producir aceleraciones y el sólido es elástico (por lo que el diagrama de cargas es reversible), entonces todo el trabajo externo We de la carga queda almacenado en forma de energía interna de deformación, Wi . .= ∫We P dU (Ec. 2.1) P U
  35. 35. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -2- Wi We= (Ec. 2.2) Cuando se trata de sólidos elásticos, el trabajo de las fuerzas exteriores es por definición igual a la energía interna de deformación. La energía elástica acumulada en el cuerpo deformado se restituye cuando el sólido recupera su forma primitiva. Por lo tanto, Wi es energía potencial elástica de deformación. Cuando un sólido es elástico y el diagrama P U− es una línea recta (Figura 2.2) se dice que es un sólido linealmente elástico. Figura 2.2 Para el caso de un resorte de rigidez K constante resulta: .P K U= (Ec. 2.3) que corresponde al gráfico de la Figura 2.2, donde la recta tiene pendiente K . Llevando la ecuación (Ec. 2.3) a (Ec. 2.1) tenemos según (Ec. 2.2): ( ) 1 2 1 0 1 . . . . 2 = = =∫ U Wi We K U dU K U (Ec. 2.4) valor que coincide con el área rayada del triángulo de la Figura 2.2. Introduciendo la ecuación (Ec. 2.3) a (Ec. 2.4) se tiene: 2 11 . 2 P Wi K = (Ec. 2.5) 1 1 1 . . 2 We P U= (Ec. 2.6) Tanto (Ec. 2.4) como (Ec. 2.5) son expresiones numéricamente iguales para sólidos linealmente elásticos, pero se debe destacar que en (Ec. 2.4) Wi es función de las deformaciones y en (Ec. 2.5) de los esfuerzos. A continuación se analiza el caso en que la carga aplicada en el extremo del resorte (de rigidez constante) se aplica en forma repentina en vez de realizarse gradualmente. P U 1P 1U
  36. 36. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -3- En este caso, en la expresión de Wi sigue apareciendo el factor ( )1 2 dado que la carga P que toma el resorte depende sólo de su deformación ( P es proporcional a U ). 1 1 1 . . 2 =Wi P U (Ec. 2.7) Sin embargo, la energía potencial debida a la carga aplicada en este caso no sería igual a 1 11 2. .P U (ya que la misma se aplica en forma brusca) sino que ahora es: 1 1.=We P U (Ec. 2.8) Figura 2.3 De las (Ec. 2.7) y (Ec. 2.8) puede demostrarse que la deformación máxima que se desarrollará será el doble que la deformación que habría tenido si la carga se aplicaba en forma gradual, es decir que el factor de amplificación dinámica por la aplicación repentina (instantánea) de la carga es igual a 2. Este tema se abordará en detalle en el capítulo sobre Dinámica Estructural Para sólidos linealmente elásticos Wi puede calcularse por cualquiera de las expresiones (Ec. 2.4), (Ec. 2.5) y (Ec. 2.6), aun en el caso de que la carga no crezca muy lentamente (siempre que K cte= ). A continuación se desarrollan las expresiones de Wi para estructuras de barras de materiales que siguen la ley de Hooke. P U 1P 1U We P U 1P 1U Wi
  37. 37. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -4- 2.2- Cálculo de la energía interna de deformación Wi Causado por el esfuerzo axial N : Figura 2.4 Se considera un tramo de barra de longitud infinitesimal dx para el cual resulta N cte= , entonces el trabajo externo infinitesimal vale: 1 1 . . . . . 2 2 dWe N dx Wi dWe N dxε ε= ∴ = =∫ ∫ (Ec. 2.9) Ecuación que se cumple para sólidos elásticos en general. Si se supone válida la ley de Hooke (sólido linealmente elástico), se tiene: . . . N l l N l A E l A E ε ∆ ∆ = ∴ = = (Ec. 2.10) Donde: l = Longitud de la barra E = Módulo de elasticidad A = Área de la sección ε =Deformación específica longitudinal Llevando la ecuación (Ec. 2.10) a (Ec. 2.9): 2 0 1 . 2 . l N Wi dx A E = ∫ (Ec. 2.11) Que expresa Wi en función del esfuerzo normal N para el caso lineal. También puede expresarse: 2 0 1 . . . 2 l Wi A E dxε= ∫ (Ec. 2.12) Que expresa Wi en función de la deformación específica para el caso lineal. dx N N dx N N .dxε
  38. 38. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -5- Wi Causado por el Momento Flector M : Figura 2.5 Considerando un tramo de viga de longitud infinitesimal dx , para el cual se supone M cte= , el trabajo externo infinitesimal vale: 1 . . 2 dWe M dθ= .d dxθ κ= 0 1 . . . 2 κ= =∫ ∫ l Wi dWe dx M dx (Ec. 2.13) d dx θ κ = = Curvatura longitudinal La (Ec. 2.13) vale para sólidos elásticos en general. Si se supone válida la ley de Hooke. (Sólido linealmente elástico) . . . M M d dx E I E I θ κ= ∴ = (Ec. 2.14) Llevando (Ec. 2.14) a (Ec. 2.13) tenemos: 2 0 1 . 2 . l M Wi dx E I = ∫ (Ec. 2.15) Esta última expresa Wi en función del Momento flector M para sólidos linealmente elásticos. Puede también escribirse: 2 0 1 . . . 2 l Wi E I dxκ= ∫ (Ec. 2.16) La anterior expresa Wi en función de la curvatura para el caso lineal. dθ dx M M
  39. 39. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -6- Wi Causado por el Esfuerzo de Corte Q : Figura 2.6 Considerando un tramo de viga de longitud infinitesimal dx , para el cual se supone Q cte= , el trabajo externo infinitesimal vale: 1 . . 2 dWe Q du= .du dxγ= 0 1 . . . 2 γ= =∫ ∫ l Wi dWe dx Q dx (Ec. 2.17) La (Ec. 2.17) vale para sólidos elásticos en general. Si se supone válida la ley de Hooke . . .c c Q Q du dx A G A G γ= ∴ = (Ec. 2.18) Llevando (Ec. 2.18) a (Ec. 2.17) se tiene: 2 0 1 . 2 . l c Q Wi dx A G = ∫ (Ec. 2.19) 2 0 1 . . . 2 l cWi A G dxγ= ∫ (Ec. 2.20) Tanto (Ec. 2.19) como (Ec. 2.20) corresponden a sólidos linealmente elásticos. ( . )cA G = Es la rigidez al corte. cA = Es el área de corte que es en general menor que el área de la sección y depende de la forma de la misma. Q du Q γ dx
  40. 40. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -7- Wi Causado por el momento torsor Mt Figura 2.7 Procediendo de la misma manera se tiene: 1 . . 2 dWe Mt dα= .d dxα θ= 0 1 . . . 2 θ= =∫ ∫ l Wi dWe dx Mt dx (Ec. 2.21) Si se introduce la ley de Hooke: . . .p p Mt Mt d dx G J G J α θ= ∴ = (Ec. 2.22) Reemplazando (Ec. 2.22) en (Ec. 2.21): 2 0 1 . 2 . l p Mt Wi dx G J = ∫ (Ec. 2.23) 2 0 1 . . . 2 l pWi G J dxθ= ∫ (Ec. 2.24) Que corresponden a sólidos linealmente elásticos. θ = Es la deformación específica (giro por unidad de longitud). ( . )pG J = Es la rigidez a la torsión. pJ = Es el momento polar de inercia sólo para el caso de secciones circulares o anulares. Para secciones no circulares no es el momento polar de inercia sino un parámetro generalizado que se define en la teoría general de la torsión de secciones no circulares. Mt dx dα Mt
  41. 41. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -8- Wi Para el caso de solicitaciones combinadas Debe notarse que para cada tipo de solicitación corresponde un tipo de deformación independiente. Así, ε depende exclusivamente de N , κ depende exclusivamente de M , etc.; aún en el caso que las solicitaciones sean simultáneas. Por lo tanto, la energía total para este caso se obtiene como la suma de los distintos términos: 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 . . . . 2 . 2 . 2 . 2 . l l l l p c M Mt N Q Wi dx dx dx dx E I G J A E A G = + + +∫ ∫ ∫ ∫ (Ec. 2.25) 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 l l l l p cWi E I dx G J dx A E dx A G dxκ θ ε γ= + + +∫ ∫ ∫ ∫ (Ec. 2.26) Según se puede apreciar en (Ec. 2.25) y (Ec. 2.26), Wi es una función cuadrática en los esfuerzos o en las deformaciones específicas y por lo tanto resulta: 0Wi ≥ (Ec. 2.27) Obsérvese que si se duplica la carga, la energía Wi se hace 4 veces mayor. Por esta razón, no es correcto sumar la energía correspondiente a una carga iP con la energía correspondiente a otra jP calculadas independientemente; se requiere determinar primero los esfuerzos totales como superposición de esfuerzos debidos a las distintas cargas y recién calcular la energía interna que es una función cuadrática de las cargas. En las expresiones (Ec. 2.25) y (Ec. 2.26) debe considerarse para la flexión dos términos correspondientes a los momentos flectores respecto a los dos ejes principales de inercia, para los cuales las deformaciones (curvaturas) son independientes. Lo mismo ocurre con el esfuerzo de corte que debe considerarse según las direcciones de los dos ejes principales de inercia. Notar que se cumple: 0 . . 0 l i jE d dx =∫ cuando i j≠ Donde: iE = Es un esfuerzo determinado, como ser: , , , .N M Q Mt jd = Es la distorsión asociada al esfuerzo jE .
  42. 42. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -9- 2.3- Aplicaciones del postulado Wi We= 1- Calcular la flecha δ en la viga simplemente apoyada de la Figura 2.8 cargada en el centro del tramo. Figura 2.8 1 . . 2 We P Wiδ= = 2 2 0 0 1 1 1 . . . . 2 2 . 2 . l l c M Q P dx dx E I A G δ = +∫ ∫ (Ec. 2.28) Se desprecia la energía de deformación por corte frente a la de flexión. Esto equivale a despreciar la deformación por corte frente a la deformación por flexión (suele ser menor del 1%). ( ) . 2 P M x x= Por simetría, la energía en toda la viga es dos veces la energía correspondiente a la mitad. /2/ 2 2 2 2 3 2 3 2 0 0 1 1 . 1 1 . . . . 2. . . . . 2 2 2 . . 2 2. . 3 2 48. . ll P x P x P l P dx E I E I E I δ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∫ Finalmente: 3 . 48. . P l E I δ = (Ec. 2.29) El postulado de igualdad entre We y Wi permite calcular el desplazamiento del punto de aplicación de la única fuerza actuante. (Ver el primer miembro de (Ec. 2.28)). l x P ( )M x
  43. 43. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -10- 2- Calcular la flecha en la viga simétrica de la Figura 2.9 Figura 2.9 Tramo Momento flector Limites A-D 1 3 . . 2 P x 10 4 l x≤ ≤ D-C 2 2 2 3 3 . . . . . . 2 4 8 2 l P P x P x P l x ⎛ ⎞ + − = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 20 4 l x≤ ≤ (Ec. 2.30) 1 1 1 1 . . . . . . . . 2 2 2 2 i i D C EWe P P P Pδ δ δ δ= = + +∑ 2 1 . 2 . M Wi dx E I = ∫ (Se desprecian las deformaciones de corte). Haciendo We Wi= se tiene una única ecuación con tres desplazamientos incógnitas ( , , )D C Eδ δ δ . (En rigor, por simetría resultan sólo dos incógnitas). El problema puede ser resuelto en forma aproximada asumiendo una “forma” para la elástica. A tal efecto, se supone una elástica aproximada con forma de parábola simétrica respecto al centro con un parámetro 0δ a determinar: x x y 0 0δ l 1x P PP 2x P PP x A BCD E
  44. 44. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -11- 2 0 2 . 1 4. x y l δ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (Ec. 2.31) Wi se calcula en forma exacta a partir de los momentos dados en (Ec. 2.30). 2 2/4 / 4 2 3 1 1 2 2 0 0 1 3 3 23 . . 2. . . . . . . . . 2 . 2 8 2 384 . l l P P l Wi P x dx P l x dx E I E I ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫ ∫ (Ec. 2.32) Se puede calcular We en forma aproximada utilizando (Ec. 2.31). ( )( / 4) (0) ( /4) 1 . . 2 l lWe P y y y− ⎡ ⎤≅ + +⎣ ⎦ ( /4) ( / 4) 0 3 . 4 l ly y δ− = = ; (0) 0y δ= 0 0 1 3 3 5 . . . 1 . . 2 4 4 4 We P Pδ δ ⎛ ⎞ ≅ + + ≅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (Ec. 2.33) Igualando (Ec. 2.32) y (Ec. 2.33): We Wi= 2 3 0 23 . 5 . . . 384 . 4 P l P E I δ≅ 3 0 . 20,86. . P l E I δ ≅ (Ec. 2.34) El resultado que se obtiene con procedimientos exactos es: 3 0 . 20,21. . P l E I δ = (Ec. 2.35) La (Ec. 2.34) presenta sólo un 3% de error en defecto. También es posible aproximar la elástica por una sinusoide del tipo: 0 . . x y sen l π δ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (Ec. 2.36) 0 1 3 . . . . 2 4 2 4 We P sen sen sen π π δ π ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≅ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 01,207. .We Pδ≅ (Ec. 2.37) x x y 0 l
  45. 45. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -12- La energía interna se determina en forma exacta en (Ec. 2.32) mientras que (Ec. 2.37) es una aproximación del trabajo externo basada en (Ec. 2.36). Igualando We con Wi tenemos: 2 3 0 23 . . 1,207. . 384 . P l P E I δ≅ 3 0 . 20,15. . P l E I δ ≅ (Ec. 2.38) Este resultado presenta un error en exceso del 0.3%.
  46. 46. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -13- 3- Calcular el área de corte para una sección rectangular Figura 2.10 La tensión de corte τ(y) no es constante en la altura de la viga y su valor en función del momento estático S(y) se encuentra utilizando el teorema de Jouravski: ( ) ( ) y y rect Q S b I τ ⋅ = ⋅ ; 3 . 12 rect b h I = ( ) /2 2 2 ( ) . . . 2 4 h y y b h S y b dy y ⎛ ⎞ = = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 2 ( ) 2 6. 1 . . 4 y Q y b h h τ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (Ec. 2.39) ( ) ( ) y y G τ γ = (Ec. 2.40) Para obtener la energía de deformación por corte en el tramo dx debe integrarse primero en la altura de la viga(variable y) y luego integrarse a lo largo de la viga (variable x): ( ) /2 2 2 2 ( ) 0 0 /2 0 1 1 1 6 . . . . . . . . . . . . 2 2 2 5 . . c l l h l c y h dA Q Wi A G dx b dy G dx dx b h G γ γ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ (Ec. 2.41) ( ).cdA b dy= = Área de corte infinitesimal donde la tensión es constante ( ) ( ).y y Gτ γ= Comparando (Ec. 2.41) con (Ec. 2.19) resulta: dx y b h dQ .dQ dAτ= dx dy .dA b dy= ( )yτ ( )yτ
  47. 47. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -14- 2 2 6 . 5 . . .c Q Q b h G A G = 5 . 6 cA A= (Ec. 2.42) Conclusión: En lugar de considerar la tensión de corte variable a lo largo de la altura de la viga según la expresión (Ec. 2.39) se puede considerar una tensión constante mτ actuando sobre el área de corte cA a los efectos del cálculo de la elástica incluyendo las deformaciones por corte de una viga de sección rectangular: 5 . . 6 m c Q Q A b h τ = = (Ec. 2.43)
  48. 48. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -15- 4- Área de corte para una viga reticulada En casos de estructuras livianas del tipo de la Figura 2.11 que se construyen con hierros redondos soldados con frecuencia no conviene tratarlas como reticulado por el elevado número de barras sino como una barra de alma llena con propiedades equivalentes. Figura 2.11 Donde: A = Área de cordón ; mA = Área de montante ; dA = Área de diagonal Se busca una viga de alma llena equivalente que tenga igual deformación por flexión y corte que la viga reticulada. El momento de inercia se calcula por el teorema de Steiner. Se puede despreciar los momentos de inercia de las barras respecto a su propio eje. 2 2 4. . . 2 h I A A h ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (Ec. 2.44) La determinación del área de corte cA de la viga equivalente requiere el cálculo de la energía de deformación por corte. Para un tramo de viga de longitud “a ” se tiene: Figura 2.12 a A dA mA 2 h 2 Q mF a α dF
  49. 49. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -16- El sistema de apoyos deslizantes sólo permite deformaciones por corte. Se considera la mitad del corte actuando sobre cada una de las caras del reticulado. 2 m Q F = ; 2. ( ) d Q F sen α = (Ec. 2.45) El corte se traduce en fuerzas axiales en las diagonales y en los montantes cuyos valores están dados por (Ec. 2.45). La energía de deformación es: 2 2 ( ) ( )1 1 2. . . 2 2. . d m d m d m F F Wi E E A A l l ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (Ec. 2.46) El coeficiente 2 en (Ec. 2.46) resulta de considerar las dos caras verticales del reticulado. Se ha considerado sólo un montante ya que existe uno por módulo que se repite (el montante de la izquierda se lo considera perteneciente al modulo anterior). Introduciendo (Ec. 2.45) en (Ec. 2.46): 2 2 1 . . 2 2. . ( ) 2. d m d m l lQ Wi E A sen Aα ⎡ ⎤⎛ ⎞ = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (Ec. 2.47) En el caso de una viga de alma llena la energía de deformación por corte está dada por (Ec. 2.19). Integrando en un tramo de longitud “a ”: 2 1 . . 2 .c Q Wi a A G = (Ec. 2.48) Igualando (Ec. 2.47) y (Ec. 2.48) y observando que: cos( )dl a α= .tan( )ml h a α= = 2 1 . 1 tan( ) 2. . ( ).cos( ) 2. c d m E A G A sen A α α α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (Ec. 2.49) Este valor puede ser del orden del 10% del área de la sección transversal (4. )A por lo que las deformaciones por corte no resultan siempre despreciables frente a las deformaciones por flexión y deben tenerse en cuenta en los cálculos. Para resolver problemas hiperestáticos es necesario calcular deformaciones y esas deformaciones deben considerar los esfuerzos de corte a través del área de corte cA .
  50. 50. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -17- Una vez determinado el diagrama de M podemos hallar la máxima solicitación en los cordones (que son los que absorben la flexión), a partir del máximo momento flector: max max max 2 . . . 2 c M M M h r W I A h σ = = = max 2. . c M A h σ = (Ec. 2.50) r = Distancia del eje neutro a la fibra más alejada. Como alternativa se puede considerar que el momento flector M esta equilibrado por fuerzas F en los cordones tales que: Figura 2.13 4. . 4. . . 2 2 h h M F Aσ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Y llegamos a (Ec. 2.50). Los esfuerzos máximos en las barras diagonales y montantes (que absorben el corte) se calculan según (Ec. 2.45) a partir del máximo corte. max 2 m m m m Q F F A σ= ∴ = ; max 2. ( ) d d d d Q F F sen A σ α = ∴ = (Ec. 2.51) .F Aσ= F 2 h
  51. 51. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -18- 5- Determinación de la constante elástica de un resorte de paso grande. Se aplican dos fuerzas que comprimen el resorte y se determinan los esfuerzos en una sección genérica. Figura 2.14 Para calcular Wi se utiliza la ecuación (Ec. 2.25): ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 0 . . . .cos . .cos1 1 1 1 . . . . 2 . 2 . 2 . 2 . l p c P R sen P R P sen P Wi dl dl dl dl E I G J A E A G α α α α = + + +∫ ∫ ∫ ∫ (Ec. 2.52) Como todos los esfuerzos son constantes a lo largo del desarrollo del resorte salen fuera del signo de la integral. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 . . . .cos . .cos1 . . 2 . . . .p c P R sen P R P sen P Wi dl E I G J A E A G α α α α⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ (Ec. 2.53) El largo " "l del resorte puede deducirse de la Figura 2.15: Figura 2.15 ( ) 2. . . cos R n dl l π α = =∫ n = Número de vueltas del resorte El trabajo externo resulta: α l ( )2. . .R nπ P P s α s P s s .M P R= ( ). .M P R sen θ= ( ). .costM P R θ= ( ).N P sen θ= ( ).cosQ P θ= α P
  52. 52. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -19- 1 1 . . . . 2 2 P We P P K δ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Haciendo Wi We= se despeja la constante del resorte: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 cos . .cos cos . 2. . . . . . .p c K R sen R sen R n E I G J A G A E α α α α α π = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥+ + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (Ec. 2.54) Despreciando la contribución de las deformaciones por esfuerzo de corte y normal; y considerando un alambre circular de diámetro “d” de acero se obtiene: 4 4 . 64 . 32 0,40. P d J d J G E π π ⎫ = ⎪ ⎪ ⎪ = ⎬ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎭ ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 . .cos 5 128. . .cos . 4 E d K R sen n α α α = ⎡ ⎤ +⎢ ⎥⎣ ⎦ (Ec. 2.55) Si α es pequeño la flexión deja de tener importancia y el resorte trabaja fundamentalmente a la torsión (y al corte).
  53. 53. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -20- 6- Calcular el desplazamiento vertical ( )vδ del punto de aplicación de la única carga que actúa sobre la estructura. Figura 2.16 1 . . 2 vWe Pδ= La energía interna es la suma de la energía de todas las barras. Wi Para una barra es según (Ec. 2.6) un medio del producto del esfuerzo jN por la elongación je . 1 . . 2 j jWi N e= ∑ Suponiendo el material lineal se tiene por Hooke: . j j j N e A E l = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Si se impone la condición Wi We= . 2 1 1 . . . .2 2 j v j N P A E l δ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 2 1 . . j v j N A EP l δ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ (Ec. 2.56) P
  54. 54. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -21- Ejercicio Nº 1: Comprobar que la energía de deformación es igual al trabajo de deformación cuando un fleje de largo " "l se lleva a la forma circular mediante momentos iguales y opuestos actuando en los extremos. Se puede asegurar que la forma final es una circunferencia porque al ser el momento constante en todo el fleje y el momento de inercia también constante tendremos curvatura constante. 1 . M r E I = (Ec. 2.57) Trabajo externo: Es el trabajo del momento a través del giro: 1 . . 2 2. We M θ θ π ⎫ = ⎪ ⎬ ⎪= ⎭ .We M π= Energía de deformación: es la energía de deformación por flexión: 2 0 1 1 . . . . 2 . 2 . l M M Wi dx M l E I E I ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ Según (Ec. 2.57): 1 . M K r E I = = Además: 2. .l rπ= Reemplazando: 1 1 . . .2. . 2 Wi M r r π ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ .Wi M π= Luego: We Wi= l M M r
  55. 55. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -22- Ejercicio Nº 2: Determinar el valor de la máxima fuerza elástica que puede proveer la arandela y el valor que tendrá ∆. 2 2 0,20 2 8 8400 2 21000 1 60f Kg R mm G mm Kg a mm E mm Kg b mm mm σ σ = = = = = = = El máximo momento torsor ocurre en la sección S. 2. .tM P R= La máxima tensión de corte ocurre en el punto A: 3 4 3 4 4,07 2 4,37 . 0.1667 12 . 0.4577 a b a b I mm a b J mm α β β =⎧ = ⇒ ⎨ =⎩ = = = = De Tablas 1l 2l θ ( )( )1. . . 1 costM P l P R θ= = − ( )2. . .M P l P R sen θ= = R P P ∆ a b
  56. 56. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -23- max 2 2 2 8 . 4,07 32,60. . 2 1 tM P P a b τ α × × = = × = × max 1 . 30 2 f fτ τ σ= = = Trabajo externo: 1 . . 2 We P= ∆ 0,92P Kg= Energía de deformación: 2 2 1 1 . . 2 . 2 . t Torsión Flexión M M Wi Wt Wf dx dx G J E I = + = +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2. 2 3 2 3 2 3 2.2 0 0 . . 1 . . . . . 0 .cos . 0,1945 . 2. . 2. . 2 2 . P R P R P R Wf sen d sen flex E I E I E I π π π θ θ θ θ= = − = =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ( ) ( )( ) ( ) 2. 2 3 2 3 2 0 . 1 . . 1 cos 2.cos . .3. . 0,5312 2. . 2 . P R P R Wt d torsión G J G J π θ θ θ π= + − = =∫ 1 .0,92. 0,1945 0,5312 2 We Wi= ⇒ ∆ = + 1,58mm∆ =
  57. 57. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -24- Ejercicio Nº 3: Determinar el máximo valor aproximado de la flecha para el caso de la viga del croquis. Suponiendo una elástica: La energía de deformación (por flexión) se calcula en forma exacta (Wi ). 2 . . . 2 2 q l x M x q= − 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 3 5 4 0 0 0 1 1 . . . . . . . . . . . 2 2. . 2. . 4 4 2 2. . 12 20 8 ll l M q l x q x q l x q l x x l x Wi dx dx E I E I E I ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = + − = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ∫ 2 5 2 5 . 1 1 1 . . 2. . 12 20 8 240. . q l q l Wi E I E I ⎡ ⎤ = + − =⎢ ⎥⎣ ⎦ El trabajo externo We se calcula aproximadamente en base a una cierta “forma” de la elástica. Caso a): ( ) / 2 /2 2 01 1 0 12 / 2 0 . .4.1 2 . . . . . . 1 . 2 2 3 l l l q lx We q dx y q dx l ω ω − ⎛ ⎞ = = − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ Igualando: Wi We= 2 5 0. .. 240. . 3 q lq l E I ω = ∴ 4 0 . 80. . q l E I ω = q . 2 q l . 2 q l x q 2x 1x l 2 1 0 2 0 2 4. ) . 1 ) . . x a y l b y sen x l ω π ω ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  58. 58. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -25- Caso b): ( ) /2 /2 0 2 0 2 2 0 /2 0 . .1 2 . . . . . . . . 0,3183. . . 2 2 l l l q l We q dx y q sen x dx q l l ωπ ω ω π− ⎛ ⎞ = = = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ Igualando: Wi We= 2 5 0. .. 240. . q lq l E I ω π = ∴ 4 0 . . 240 . q l E I π ω = Nota: el valor exacto de la flecha es: 4 0 5 . . 384 . q l E I ω = Caso a), error: 3,99 % ; Caso b), error: 0,53 % Nótese que la elástica propuesta es simétrica y cumple con las condiciones de contorno.
  59. 59. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -26- Ejercicio Nº 4: Determinar cuanto se puede incrementar la distancia " "a sin superar la tensión de fluencia 2 45f Kg mm σ = . Se adopta un radio medio mR . 1 21 . 14,78 2 2 2 m h h R R mm ⎛ ⎞ = + + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ El momento de inercia Iθ : 33 40 180 2. . 1,57 1,93. 3,512 12 hb h b I h θ θ π =⎧⎛ ⎞ = = + ⇒ ⎨⎜ ⎟ =⎝ ⎠ ⎩ La tensión debida a la flexión compuesta es: ( )( ) ( )( ) 2 . . 1 cos .cos . . 6 mP R P b h b h θ θ θ σ − − = + P θ ( )( ) ( ) . . 1 cos .cos f mN P R N P θ θ = − = − 2h P a P α 1h R b 1 2 2 2 13,50 15,00 3,50 40º 2,00 21000 2,00 8400 R mm a mm h mm Kg h mm E mm Kg b mm G mm α = = = = = = = =
  60. 60. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -27- ( )( ) ( ) 2 14,78. 1 cos cos . 0,70 2. 1,57 1,93.2. 1,57 1,93. 6 Pθ θ θ σ θ π θθ ππ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟= − ⇒ ≤ ≤ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ +⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2,38 max 8,43.Pσ σ= = 8,43. 45P = ⇒ 5,33P Kg= Calculando la energía despreciando el esfuerzo de corte y normal: ( )( ) ( )( ) 2 22 33,14 3,14 3,142 3 3 0,7 0,7 0,7 . . 1 cos 1 cos1 2. . . . 26,21. . .2 . . 1,57 1,93. 12 m m P RM Wi R d d d b hE I E θ θ θ θ θ θ π ⎡ ⎤ − − = = =⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ Resolviendo por trapecios: 5n = ; 0,489∆ = 0 1 2 1. ... 2 n n f f f f f − +⎛ ⎞ =∆ + + + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 0,1757=∫ [ ]gradosθ [ ]radθ ( )( ) 2 3 1 cos 1,57 1,93. θ θ π − ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 40 0,698 0,0068 68 1,187 0,0322 96 1,675 0,0695 124 2,164 0,0997 152 2,653 0,1082 180 3,141 0,0933 ( )f θ θ0,70 3,14
  61. 61. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -28- 4,60Wi = El trabajo externo: 0 0 1 . . 2,66. 2 We Pδ δ= = We Wi= 02,66. 4,60δ = ⇒ 0 1,70mmδ =
  62. 62. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -29- Ejercicio Nº 5: Calcular el descenso de la viga en voladizo cuya sección se indica en el croquis. 100 1000 P Kg l mm = = Despreciar deformación por corte Determinación del centro de gravedad: El centro de gravedad coincide con el centro de simetría O. Determinación de los momentos de inercia: Aplicando el teorema de Steiner: ( ) ( ) ( ) 3 3 240 4 4 60 40 4 32 .2 400106,87 12 12 xI ⎡ ⎤× × = + × × + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) 3 3 24 40 60 4 40 4 18 .2 146666,67 12 12 yI ⎡ ⎤× × = + × × + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )40 4 32 18 .2 184320xyI = × × × =⎡ ⎤⎣ ⎦ Determinación de los ejes principales: minI 2θ maxIxyI xIyI xyI I Círculo de Mohr P l 4 4 40 68
  63. 63. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -30- ( ) 2 2 max 497064,6 2 2 x y x y xy I I I I I I Iα + +⎛ ⎞ = = + + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) 2 2 min 49708,7 2 2 x y x y xy I I I I I I Iβ + +⎛ ⎞ = = − + =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) 2. tan 2 1,454xy x y I I I θ = = − 27,74ºθ = Determinación de las componentes de desplazamiento: En la dirección de los ejes principales: ( ) 2 0 . . . . l P x P dx E I α α α β δ = ∫ 3 . 3. . P l E I α α β δ = 3 46,55 (1000) 14,87 3 21000 49708 mmαδ × = = × × 3 85,5 (1000) 2,83 3 21000 497064 mmβδ × = = × × h δ v δ βδ αδδ θ Pα x .M P xα= 46,55Pα = 85,5Pβ = β α 100
  64. 64. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -31- ( ) ( ).cos .h senα βδ δ θ δ θ= − ( ) ( ). .cosv senα βδ δ θ δ θ= − 9,40v mmδ = ⇓ 11,80h mmδ = ⇒ Nota: la carga vertical produce un desplazamiento que no es vertical.
  65. 65. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -32- Ejercicio Nº 6: Calcular el corrimiento del punto “A” en el extremo de la viga en voladizo. La sección es un perfil “L” de alas iguales, y la carga vertical actúa en el centro de gravedad del perfil. 2 2 21000 1000 8400 40 :60 60 10 Kg E l mm mm Kg G P Kg PNL mm = = = = × × Centro de gravedad: . 60 5 50 35 18,64 110 i iA x x A × + × = = = ∑ . 60 30 50 5 18,64 110 i iA y y A × + × = = = ∑ Momento de inercia: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 210 60 50 10 ' 600 11,36 500 13,64 351669 12 12 xI × × = + × + + × = ' 351669,4yI = ( ) ( ) ( ) ( )600 11,36 13,64 500 16,36 13,64 204574xyI = × × − + × × − = P l A y 'y 'x x 5 35 30 11,36
  66. 66. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -33- Ejes principales y momentos de inercia: 45ºθ = ; 4 35,16 20,45 55,62I cmα = + = ; 4 35,16 20,45 14,71I cmβ = − = Componentes de desplazamiento según ejes principales por flexión: 3 3 . 28,28 1000 3,05 3. . 3 21000 147100 P l mm E I α α β δ × = = = × × 3 3 . 28,28 1000 0,81 3. . 3 21000 556200 P l mm E I β β α δ × = = = × × Componentes de desplazamiento horizontal y vertical: 3,05 0,707 0,81 0,707 1,58hδ = − × + × = − ⇐ 3,05 0,707 0,81 0,707 2,73vδ = × + × = ⇓ Giro de la sección por torsión: Centro de A ϕ Torsión t Aδ 28,2828,28 40 α β 1,58 0,81 2,73 3,05 maxI 35,16 2θ minI
  67. 67. CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -34- ( ) ( ) 3 33 . 60 10 60 10 . 545,6 100036666 0,001773 3 3 . 8400 36666 40 13,64 545,6 i i t t l t M lJ G J M ϕ ⎫× × ×⎪= = + = = = =⎬ ×⎪= × = ⎭ ∑ Descenso del punto A por el giro por torsión: . 0,00177 55 0,097t A rδ ϕ= = × = ⇓ Desplazamiento vertical total: 2,73 0,097 2,83A t v v Aδ δ δ= + = + = ⇓ 2,83A vδ = ⇓ 1,58A hδ = ⇐
  68. 68. CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -1- Capítulo 3 Trabajos Virtuales 3.1- Principio de los trabajos virtuales En el curso de estática se ha utilizado el Principio de los Trabajos Virtuales (P.T.V) como una forma alternativa de plantear ecuaciones de equilibrio y determinar el valor de alguna fuerza o solicitación incógnita. También se lo aplicó al estudio de líneas de influencia de reacciones o solicitaciones en sistemas isostáticos. “Es condición necesaria y suficiente para que un sistema esté en equilibrio que el trabajo virtual sea nulo para cualquier desplazamiento vitrual”. Este principio, que aparentemente no agrega información desconocida, resulta no obstante, muy útil por sus importantes aplicaciones. Definiciones: Desplazamiento virtual: es todo desplazamiento compatible con sus vínculos externos y con las condiciones de continuidad internas del sistema estructural. Ejemplos se ilustran en la Figura 3.1.
  69. 69. CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -2- Figura 3.1 Resulta fundamental tener presente que los desplazamientos virtuales se aplican a las fuerzas internas y externan que actúan en un sistema pero no al material que lo constituyen. Por lo tanto, para generar un desplazamiento virtual no hay que vencer la rigidez o elasticidad del material, y por lo tanto un desplazamiento virtual no está asociado a ninguna fuerza o conjunto de fuerzas que lo produzcan. Notación: :δ Como prefijo de una variable significa que se trata de un valor virtual de la variable cuyo nombre figura después de esa letra. :eWδ Es el trabajo virtual de las fuerzas exteriores. :δ iW Es el trabajo virtual de las fuerzas interiores. El concepto de fuerza interna es el siguiente: Considérese una pieza traccionada sometida a la carga exterior P. Imagínese al cuerpo como constituido de diversas secciones planas sobre las que se ejercen las acciones transmitidas por los bloques de material entre secciones; esas acciones son las fuerzas internas. δ δ δ 2uδ 1uδ
  70. 70. CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -3- Al aplicar el Principio de Trabajos Virtuales al conjunto de todas las secciones es necesario considerar las fuerzas externas y las fuerzas internas reales que actúan sobre el sistema. Si se designa con juδ al desplazamiento virtual de la sección “j” se tiene: ( )1 1 2 2 1 . . . 0 e i n i jj j W W P u P u F u δ δ δ δ δ = + + =∑1442443 1442443 (Ec. 3.1) Figura 3.2 En la sumatoria se tiene dos valores de iF para cada una de las secciones excepto para la secciones extremas (en total son 2(n -1) fuerzas internas iF , donde n es el número total de secciones consideradas incluyendo las secciones extremas). La sumatoria puede reagruparse de la siguiente manera ( ) ( ) 1 11 1 . . n i i j i jj j j W F u F uδ δ δ − ++ = ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∑ Si no actúan fuerzas exteriores en los bloques resulta: ( ) ( ) 1i ij j F F + = − Además se puede dividir y multiplicar por x∆ sin alterar el valor de la sumatoria. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 . . . . n n k i j j ij k k j k k u F u u F x x δ δ δ − − + = = ∆ ⎡ ⎤− = ∆ ⎣ ⎦ ∆ ∑ ∑ Nótese que al reagrupar la sumatoria iWδ que estaba expresado en función de los desplazamientos virtuales absolutos de las secciones queda expresado en función de los juδ iF 1P 2P iF
  71. 71. CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -4- alargamientos virtuales de los bloques, es decir el producto de la deformación virtual específica δε por dx. En el límite la sumatoria se transforma en una integral: 0 . . l i iW F dxδ δε= ∫ (Ec. 3.2) Figura 3.3 Si se aisla un bloque como el de la Figura 3.3 (limitado por dos secciones) se observa que las fuerzas internas son iguales y opuestas a los esfuerzos “ N ”: iN F= − ∴ 0 . . l iW N dxδ δε= −∫ (Ec. 3.3) El Principio de Trabajos Virtuales puede expresarse entonces con la siguiente expresión: 0e iW Wδ δ+ = (Ec. 3.4) En el caso general se tendrá: 0 0 0 0 . . . . . . . . l l l l i tW N dx M dx M dx Q dxδ δε δκ δθ δγ= − + − + − + −∫ ∫ ∫ ∫ (Ec. 3.5) Se debe enfatizar que las distorsiones virtuales iδε no son causadas por las solicitaciones reales iN . Tampoco es indispensable asociar los desplazamientos virtuales a algún sistema de esfuerzos virtuales iNδ . Llamando iN a un esfuerzo genérico ( ), , , tN M Q M y iδε a la distorsión especifica asociada al mismo, se tiene: 0 . . l iW N dxδ δε= −∫ ( )i j F ( ) 1i j F + 1jN + jN
  72. 72. CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -5- . . .δ δε=∑ ∑∫ i iP u N dx (Ec. 3.6) En el caso de fuerzas distribuidas, el primer miembro contendrá integrales. Observaciones: Se debe destacar que (Ec. 3.6) es totalmente general y vale para cualquier material ya que las distorsiones virtuales iδε son completamente arbitrarias. No es necesario asociar a las deformaciones virtuales un sistema de cargas o esfuerzos internos. La expresión (Ec. 3.6) es válida tanto para desplazamientos virtuales pequeños como grandes; siempre que para grandes desplazamientos se tenga en cuenta que el equilibrio se establece en el sistema deformado y se calculan correctamente los iN . La expresión (Ec. 3.6) equivale a decir que “para todo sistema en equilibrio el trabajo virtual de las fuerzas es igual al trabajo virtual interno”. Téngase presente que la expresión (Ec. 3.6) se obtuvo generalizando el concepto de trabajo virtual de fuerzas actuando sobre partículas que resulta independiente del concepto de energía interna asociada a un medio continuo elástico. Es conveniente destacar que en el caso de energía interna las deformaciones ε son causadas por los esfuerzos N , mientras que en trabajos virtuales las deformaciones son arbitrarias y no está asociadas necesariamente a fuerzas u otras causas. Debe notarse que en las expresiones del trabajo virtual no figura el valor 1 2 como en el caso de energía interna porque el desplazamiento virtual (y por lo tanto iε y iuδ ) ocurre después que las fuerzas iP ya estaban actuando, y consecuentemente iN ya tienen su valor final. Verificación del Principio de Trabajos Virtuales Sea el caso de una viga simplemente apoyada cuya única carga externa es un momento BM aplicado en el extremo “B”.
  73. 73. CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -6- Figura 3.4 Se impone arbitrariamente un desplazamiento virtual a partir de la posición deformada de la viga en la forma: 0 . . x y sen l π δ δ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (Ec. 3.7) ( ) 0 . . .cos d y x dx l l δ π π δθ δ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0.B x l l π δθ δθ δ= = = − ( ) 0. . .e i i BW P u M l π δ δ δ ⎛ ⎞ = = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 0. .e BW M l π δ δ= − (Ec. 3.8) La curvatura virtual se obtiene derivando dos veces la elástica virtual: ( )2 2 02 2 . . . d y x sen dx l l δ π π δκ δ ⎛ ⎞ = = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (Ec. 3.9) ( )( ) 0 0 ( ). ( ). . l l i xW M x d M x dxδ δθ δκ= − = −∫ ∫ BM .x B x M M l = yδ yδ + ++ Convención de signos de la elastica ( )q + ( )Q + ( ) ( )M κ+ + ( ) ( )Mθ + + y ( )y + .dQ q dx= .dM Q dx= .d dxθ κ= .dy dxθ= dy dx θ = d dx θ κ =
  74. 74. CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -7- 2 0 0 2 0 0 . . . . . . . . . . . . l l i B B x x x x x W M sen dx M sen d l l l l l l l δπ π π π π δ δ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∫ ∫ Recordando que: ( ) ( ) ( ). . .cosx sen x dx sen x x x= −∫ Se tiene: 0. .i BW M l π δ δ= (Ec. 3.10) De modo que se verifica que la suma de los T.V. es nula: 0e iW Wδ δ+ = (Ec. 3.11) Para que sea válida la (Ec. 3.11) se deben cumplir dos condiciones: 1º) El equilibrio de fuerzas: Las fuerzas externas ( ), ,A A BM R R están en equilibrio y las fuerzas internas ( )( ), ( )M x Q x cumplen con las condiciones de equilibrio interno. 2º) El desplazamiento virtual es compatible (no hay quiebres en la elástica virtual) 3.2- Formulación de las ecuaciones de equilibrio a partir del Principio de Trabajos Virtuales 2) Determinar el valor de la reacción de apoyo " "BR en la viga del ejemplo (1) Figura 3.5 BM BM BR ( ) ( ) ( ) B B B M x M R l x Q x R = + − = Bδθ Byδyδ
  75. 75. CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -8- Se introduce un desplazamiento virtual de la forma: 2 y x xδ = − (Ec. 3.12) 2 ( )By y l l lδ δ= = − ( ) 2. 1 d y x dx δ δθ = = − ( ) ( )2 2 2 d d y dx dx δθ δ δκ = = = Nótese que la curvatura virtual es constante, mientras que la curvatura real, causada por el M real es en general variable. ( ) . M x E I κ = . . .e i i B B B BW P u R y Mδ δ δ δθ= = +∑ ( ) ( )2 . . 2. 1e B BW R l l M lδ = − + − ( ) ( ) 0 0 . . . . 2 .δ δκ= − = − + −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ l l i B BW M dx M R l x dx Si se supone que el sistema de fuerzas de la Figura 3.5.b está en equilibrio, como el desplazamiento virtual es compatible se puede aplicar la ecuación (Ec. 3.11) de T.V. ( ) 2 2 2 . . .2. . . . .(2) 0 2 B B B B B B B We Wi l R l R l M l M M l R l R δ δ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ − + − + − + − =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭1444442444443 1444442444443 . 0− − =B BM R l (Ec. 3.13) Se llega así a la ecuación de equilibrio de momentos respecto al punto “A”, de donde se puede despejar la fuerza incógnita B B M R l = − (el signo “–“ indica que la reacción tiene el signo opuesto al adoptado en el planteo del problema). Conviene destacar que en los dos ejemplos anteriores no se ha despreciado el trabajo virtual de las fuerzas internas de corte, simplemente se ha definido un desplazamiento virtual que no implica distorsiones de corte. Es interesante notar que como la viga es isostática, se puede llegar a la expresión (Ec. 3.13) utilizando un desplazamiento virtual de cuerpo rígido como en el curso de Estática.
  76. 76. CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -9- Por ejemplo: Figura 3.6 .y xδ α= ; dy dx δθ α= = ; .By lδ α= ; 0δκ = Como la curvatura es nula para este desplazamiento virtual, no hay trabajo interno 0δ ≡iW y la ecuación de T.V. es: {. . . 0 0B B Wi We M R l δ δ α α+ + = 1442443 3) Sea la viga hiperestática de la Figura 3.7 que tiene cuatro incógnitas y cuya única carga externa es un momento en el punto B. Figura 3.7 Dando el mismo desplazamiento virtual del ejemplo (2) se llega a: . 0A B BM M R l− − = (Ec. 3.14) Se tiene entonces una sola ecuación con dos incógnitas ( ),A BM R . Como el P.T.V. vale para cualquier desplazamiento virtual podría pensarse que dando al sistema en equilibrio Figura 3.4.b (fuerzas externas e internas), otros desplazamientos virtuales, se podría formular el número suficiente de ecuaciones para resolver el problema. Esto no es posible ya que el P.T.V. vale para cualquier desplazamiento virtual del sistema en equilibrio, pero siempre se llega a una ecuación de equilibrio. Como el número máximo de ecuaciones independientes de equilibrio (para un cuerpo en el plano es tres), este procedimiento no permite resolver por sí mismo el problema hiperestático. BM BR BM V AR H AR AM α BM BR
  77. 77. CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -10- 3.3 Distintas formas de utilizar el principio de trabajos virtuales Hasta aquí se ha utilizado el P.T.V. para formular ecuaciones de equilibrio, pero este modo de aplicar el P.T.V., muy útil en el curso de Estática, resulta poco interesante al estudiar cuerpos deformables y problemas hiperestáticos. El P.T.V. relaciona tres aspectos: I) Fuerzas en Equilibrio II) Desplazamientos virtuales III) Suma de T.V. igual a cero Siempre que se cumplan dos de estos tres aspectos, el restante se cumple también. En el ejemplo (1), se vio que partiendo de I) fuerzas en equilibrio, II) desplazamientos compatibles, se puede verificar que . . 0T V =∑ [(Ec. 3.11)] En los ejemplos (2) y (3) se vio que partiendo de un sistema de fuerzas, al dar II) un desplazamiento virtual compatible, y III) anular la sumatoria de los T.V. se llega a I) un sistema de fuerzas en equilibrio ((Ec. 3.13) y (Ec. 3.14)) Se tratará ahora una tercera forma de utilizar el P.T.V. que resulta sumamente útil en este curso para su aplicación en cuerpos deformables. Si a la ecuación de T.V. ( ). . 0T V =∑ se le agregan las condiciones de equilibrio, se puede obtener de la ecuación de T.V. un desplazamiento desconocido. Este procedimiento es simplemente una aplicación práctica del P.T.V. que establece que las fuerzas están en equilibrio, y a partir de esa condición se obtiene el desplazamiento buscado.. 3.4 Cálculo de desplazamientos por aplicación del principio de T.V. 4) Calcular el giro Bθ en el extremo “B” de la viga simplemente apoyada de la Figura 3.8 con carga uniforme " "q .
  78. 78. CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -11- Figura 3.8 Se concentra la atención en un sistema auxiliar (B) (Figura 3.9) que tiene como única carga externa un momento en el extremo “B” de la viga de valor unitario 1BM = . Figura 3.9 1) El sistema auxiliar (B) está en equilibrio (porque los esfuerzos M y Q se han determinado de modo de satisfacer equilibrio). 2) Se impone un desplazamiento virtual al sistema auxiliar (B) que es el desplazamiento del sistema real. Este desplazamiento es compatible con los vínculos por lo que estos no realizan trabajo, y además es compatible con la continuidad interna de la viga. Se adoptan como deformaciones virtuales las correspondientes al sistema real, que dependen de los esfuerzos internos a través de las ecuaciones constitutivas del material supuesto lineal y elástico. Bθ yδ M Q 1 ( ) .M x x l = 1 l 1 Bθ 2 . ( ) . . 2 2 q l x M x x q= − . ( ) . 2 q l Q x q x= −

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