1) O documento discute o princípio de mínima ação e como ele pode ser usado para obter as equações de movimento dos campos clássicos de Maxwell. 2) É revisado o conceito de tensores, que serão usados para descrever as leis de transformação da relatividade restrita e escrever as equações de Maxwell de forma covariante. 3) Os campos elétrico e magnético são discutidos em termos dos campos escalar e vetor e mostra como a invariância de calibre é implementada nestes campos.

1. ´
Campos de calibre classicos: Maxwell
M.T. Thomaz
mariateresa.thomaz@gmail.com
Instituto de F´sica, UFF
ı
Resumo:
ı ı ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸˜
A partir do princ´pio de m´nima acao reobtemos as equacoes de movimento classicas reescritas atraves das equacoes
¸˜ ´
de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´pio para obter as equacoes de movimento dos campos classicos
ı
´
e o aplicamos ao caso dos campos eletromagneticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver,
¸˜ ¸˜
estudaremos a nocao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformacao da Relatividade Restrita e
¸˜
escrever as equacoes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos
´ ´ ˆ ´
eletrico e magnetico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariancia de calibre e implementada
nestes campos.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 1 / 33

2. ¸˜
Apresentacao:
ı ı ¸˜
1. Princ´pio de m´nima acao
˜ ´ ´
2. Revisao de topicos em Matematica
´ ¸˜
3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
4. Espaco de Minkowski
¸
´
5. Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´ ´
6. Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 2 / 33

3. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
´
Tem um objeto que eu quero saber onde ele esta em cada momento.
´ ´ ´
Eu sei onde ele esta agora, e sei tambem que ele esta se movimentado.
´
Onde o objeto estara daqui a 3s?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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4. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
´
Tem um objeto que eu quero saber onde ele esta em cada momento.
´ ´ ´
Eu sei onde ele esta agora, e sei tambem que ele esta se movimentado.
´
Onde o objeto estara daqui a 3s?
ˆ ´
A Mecanica Classica utiliza as 3
leis de Newton para fazer esta
˜
previsao.
Sir Isaac Newton
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 33

5. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
´
Tem um objeto que eu quero saber onde ele esta em cada momento.
´ ´ ´
Eu sei onde ele esta agora, e sei tambem que ele esta se movimentado.
´
Onde o objeto estara daqui a 3s?
ˆ ´
A Mecanica Classica utiliza as 3
leis de Newton para fazer esta
˜
previsao.
Sir Isaac Newton
As leis de Newton descrevem a
¸˜
evolucao do movimento de
uma part´cula.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 33

6. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
As 3 Leis de Newton:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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7. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
As 3 Leis de Newton:
´
1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retil´neo
ı
uniforme a menos que uma forca atue sobre ele.
¸
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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8. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
As 3 Leis de Newton:
´
1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retil´neo
ı
uniforme a menos que uma forca atue sobre ele.
¸
2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal forma
¸
¸˜ ´
que a taxa de variacao do momento e igual a essa forca.
¸
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 33

9. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
As 3 Leis de Newton:
´
1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retil´neo
ı
uniforme a menos que uma forca atue sobre ele.
¸
2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal forma
¸
¸˜ ´
que a taxa de variacao do momento e igual a essa forca.
¸
3. Se dois corpos exercem forca um sobre o outro, essas forcas
¸ ¸
˜ ¸˜ ˆ
sao iguais em intensidade e direcao, mas tem sentidos opostos.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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10. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
As 3 Leis de Newton:
´
1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retil´neo
ı
uniforme a menos que uma forca atue sobre ele.
¸
2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal forma
¸
¸˜ ´
que a taxa de variacao do momento e igual a essa forca.
¸
3. Se dois corpos exercem forca um sobre o outro, essas forcas
¸ ¸
˜ ¸˜ ˆ
sao iguais em intensidade e direcao, mas tem sentidos opostos.
a ´ ˆ
A 2. Lei de Newton da a dinamica do movimento de uma part´cula
ı
pontual:
dp(t)
= F(t),
dt
onde p(t) = mv(t).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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11. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?
´ ˆ
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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12. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?
´ ˆ
Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).
˜ ˜
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33

13. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?
´ ˆ
Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).
˜ ˜
Relembrando o conceito de velocidade:
=
x(t + ∆t) − x(t)
v(t) ∆t→0
∆t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33

14. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?
´ ˆ
Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).
˜ ˜
Relembrando o conceito de velocidade:
=
x(t + ∆t) − x(t) =
v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t.
∆t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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15. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?
´ ˆ
Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).
˜ ˜
Relembrando o conceito de velocidade:
=
x(t + ∆t) − x(t) =
v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t.
∆t
Para conhecermos a posicao da part´cula no instante (t + ∆t)
¸˜ ı
necessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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16. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?
´ ˆ
Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).
˜ ˜
Relembrando o conceito de velocidade:
=
x(t + ∆t) − x(t) =
v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t.
∆t
Para conhecermos a posicao da part´cula no instante (t + ∆t)
¸˜ ı
necessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).
A 2a lei de Newton nos da:
´
F(t) =
v(t + ∆t) − v(t)
∆t→0
m ∆t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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17. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?
´ ˆ
Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).
˜ ˜
Relembrando o conceito de velocidade:
=
x(t + ∆t) − x(t) =
v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t.
∆t
Para conhecermos a posicao da part´cula no instante (t + ∆t)
¸˜ ı
necessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).
A 2a lei de Newton nos da:
´
F(t) =
v(t + ∆t) − v(t) =
F(t)
∆t→0 ⇒ v(t + ∆t) ∆t→0 v(t) + ∆t.
m ∆t m
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33

18. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?
´ ˆ
Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).
˜ ˜
Relembrando o conceito de velocidade:
=
x(t + ∆t) − x(t) =
v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t.
∆t
Para conhecermos a posicao da part´cula no instante (t + ∆t)
¸˜ ı
necessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).
A 2a lei de Newton nos da:
´
F(t) =
v(t + ∆t) − v(t) =
F(t)
∆t→0 ⇒ v(t + ∆t) ∆t→0 v(t) + ∆t.
m ∆t m
A 2a lei de Newton determina v(t)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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19. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Por que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento?
´ ˆ
Vamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1).
˜ ˜
Relembrando o conceito de velocidade:
=
x(t + ∆t) − x(t) =
v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t.
∆t
Para conhecermos a posicao da part´cula no instante (t + ∆t)
¸˜ ı
necessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).
A 2a lei de Newton nos da:
´
F(t) =
v(t + ∆t) − v(t) =
F(t)
∆t→0 ⇒ v(t + ∆t) ∆t→0 v(t) + ∆t.
m ∆t m
A 2a lei de Newton determina v(t) ⇒ nos permite conhecer x(t).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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20. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
Aplicacoes da a
2. Lei de Newton:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 33

21. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
Aplicacoes da a
2. Lei de Newton:
Exemplo 1. Part´cula sujeita a uma forca conservativa:
ı ¸
d2 x(t)
F(x) = −∇V(x) =⇒ m = −∇V(x).
dt2
´
x(t): trajetoria percorrida pela part´cula.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 33

22. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
Aplicacoes da a
2. Lei de Newton:
Exemplo 1. Part´cula sujeita a uma forca conservativa:
ı ¸
d2 x(t)
F(x) = −∇V(x) =⇒ m = −∇V(x).
dt2
´
x(t): trajetoria percorrida pela part´cula.
ı
¸ ¸ ˆ
Como exemplo de uma forca conservativa, temos a forca harmonica da
¸˜
mola que tem a seguinte funcao potencial:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 33

23. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
Aplicacoes da a
2. Lei de Newton:
Exemplo 1. Part´cula sujeita a uma forca conservativa:
ı ¸
d2 x(t)
F(x) = −∇V(x) =⇒ m = −∇V(x).
dt2
´
x(t): trajetoria percorrida pela part´cula.
ı
¸ ¸ ˆ
Como exemplo de uma forca conservativa, temos a forca harmonica da
¸˜
mola que tem a seguinte funcao potencial:
V(x) = 1 kx2
2
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 33

24. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Exemplo 2. Forca conservativa e uma forca dependente do tempo:
¸ ¸
d2 x(t)
m = −∇V(x) + F(t).
dt2
´
x(t): trajetoria percorrida pela part´cula.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 33

25. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Exemplo 2. Forca conservativa e uma forca dependente do tempo:
¸ ¸
d2 x(t)
m = −∇V(x) + F(t).
dt2
´
x(t): trajetoria percorrida pela part´cula.
ı
Como exemplo de uma funcao, em D = 1, dependente do tempo temos
¸˜
¸˜ ´
as funcoes periodicas:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 33

26. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Exemplo 2. Forca conservativa e uma forca dependente do tempo:
¸ ¸
d2 x(t)
m = −∇V(x) + F(t).
dt2
´
x(t): trajetoria percorrida pela part´cula.
ı
Como exemplo de uma funcao, em D = 1, dependente do tempo temos
¸˜
¸˜ ´
as funcoes periodicas:
F(t) = F0 cos(ωt)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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27. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Sabemos que a 2a lei de Newton
dp(t)
= F(t),
dt
sendo p(t) = mv(t), nos da a relacao correta entre a causa (F(t)) e o
´ ¸˜
¸˜
efeito (a(t), aceleracao).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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28. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Sabemos que a 2a lei de Newton
dp(t)
= F(t),
dt
sendo p(t) = mv(t), nos da a relacao correta entre a causa (F(t)) e o
´ ¸˜
¸˜
efeito (a(t), aceleracao).
Sera que e poss´vel obter a 2a lei de
´ ´ ı
´
Newton atraves de um outro conjunto de
postulados????
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 33

29. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Sabemos que a 2a lei de Newton
dp(t)
= F(t),
dt
sendo p(t) = mv(t), nos da a relacao correta entre a causa (F(t)) e o
´ ¸˜
¸˜
efeito (a(t), aceleracao).
Sera que e poss´vel obter a 2a lei de
´ ´ ı
´
Newton atraves de um outro conjunto de
postulados????
Pergunte ao Alexander Hamilton:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 33

30. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Sabemos que a 2a lei de Newton
dp(t)
= F(t),
dt
sendo p(t) = mv(t), nos da a relacao correta entre a causa (F(t)) e o
´ ¸˜
¸˜
efeito (a(t), aceleracao).
Sera que e poss´vel obter a 2a lei de
´ ´ ı
´
Newton atraves de um outro conjunto de
postulados????
Pergunte ao Alexander Hamilton:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 33

31. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜ ˆ ´
Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica,
´
vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 33

32. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜ ˆ ´
Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica,
´
vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional.
´
O que e um funcional? ¸˜ ´
Uma operacao que e realizada sobre
¸˜
funcoes.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 33

33. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜ ˆ ´
Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica,
´
vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional.
´
O que e um funcional? ¸˜ ´
Uma operacao que e realizada sobre
¸˜
funcoes.
Exemplo: Consideramos o funcional K(0, 1s) definido como:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 33

34. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜ ˆ ´
Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica,
´
vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional.
´
O que e um funcional? ¸˜ ´
Uma operacao que e realizada sobre
¸˜
funcoes.
Exemplo: Consideramos o funcional K(0, 1s) definido como:
1s
K(0, 1s) ≡ ˙
dt P(x(t); t)
0
sendo que
(x(t))2
˙
˙
P(x(t); t) ≡ .
2
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 33

35. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜ ˆ ´
Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica,
´
vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional.
´
O que e um funcional? ¸˜ ´
Uma operacao que e realizada sobre
¸˜
funcoes.
Exemplo: Consideramos o funcional K(0, 1s) definido como:
1s
K(0, 1s) ≡ ˙
dt P(x(t); t)
0
sendo que
(x(t))2
˙
˙
P(x(t); t) ≡ .
2
¸˜ ˙
O funcional K(0, 1s) transforma a funcao x(t) num unico numero.
´ ´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 33

36. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜ ˙
Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmo
valor em t = 0 e t = 1s:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 33

37. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜ ˙
Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmo
valor em t = 0 e t = 1s:
m
˙
x(0) = 0 e ˙
x(1s) = 1 .
s
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 33

38. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜ ˙
Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmo
valor em t = 0 e t = 1s:
m
˙
x(0) = 0 e ˙
x(1s) = 1 .
s
ou seja,
˙ m
x1 (t) = 1 s2
· t,
m m
˙
x2 (t) = 2 s3
· t2 − 1 s2
· t.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 33

39. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜ ˙
Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmo
valor em t = 0 e t = 1s:
m
˙
x(0) = 0 e ˙
x(1s) = 1 .
s
ou seja,
˙ m
x1 (t) = 1 s2
· t,
m m
˙
x2 (t) = 2 s3
· t2 − 1 s2
· t.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 33

40. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜ ˙
Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmo
valor em t = 0 e t = 1s:
m
˙
x(0) = 0 e ˙
x(1s) = 1 .
s
ou seja,
˙ m
x1 (t) = 1 s2
· t,
m m
˙
x2 (t) = 2 s3
· t2 − 1 s2
· t.
˙
Qual o valor do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e
¸˜
˙
x2 (t)?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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41. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˙ ˙
Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t):
´ ¸˜
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33

42. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˙ ˙
Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t):
´ ¸˜
˙ m
i) x1 (t) = 1 s2 · t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33

43. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˙ ˙
Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t):
´ ¸˜
˙ m
i) x1 (t) = 1 s2 · t
1s
1 m 2
K1 (0, 1s) = dt 1 2 ·t
0 2 s
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33

44. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˙ ˙
Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t):
´ ¸˜
˙ m
i) x1 (t) = 1 s2 · t
1s
1 m 2
K1 (0, 1s) = 1 2 ·t
dt
0 2 s
m 2 t3 1s
= 1 2 ·
s 6 0
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33

45. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˙ ˙
Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t):
´ ¸˜
˙ m
i) x1 (t) = 1 s2 · t
1s
1 m 2
K1 (0, 1s) = dt1 2 ·t
0 2 s
m 2 t3 1s
= 1 2 ·
s 6 0
1 m2
= · .
6 s
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33

46. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˙ ˙
Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t):
´ ¸˜
˙ m
i) x1 (t) = 1 s2 · t
1s
1 m 2
K1 (0, 1s) = dt1 2 ·t
0 2 s
m 2 t3 1s
= 1 2 ·
s 6 0
1 m2
= · .
6 s
m m
˙
ii) x2 (t) = 2 s3
· t2 − 1 s2
·t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33

47. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˙ ˙
Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t):
´ ¸˜
˙ m
i) x1 (t) = 1 s2 · t
1s
1 m 2
K1 (0, 1s) = dt1 2 ·t
0 2 s
m 2 t3 1s
= 1 2 ·
s 6 0
1 m2
= · .
6 s
m m
˙
ii) x2 (t) = 2 s3
· t2 − 1 s2 · t
1s
1 m m 2
K2 (0, 1s) = dt 2 3 · t2 − 1 2 · t
0 2 s s
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33

48. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˙ ˙
Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t):
´ ¸˜
˙ m
i) x1 (t) = 1 s2 · t
1s
1 m 2
K1 (0, 1s) = dt1 2 ·t
0 2 s
m 2 t3 1s
= 1 2 ·
s 6 0
1 m2
= · .
6 s
m m
˙
ii) x2 (t) = 2 s3
· t2 − 1 s2 · t
1s
1 m m 2
K2 (0, 1s) = dt 2 3 · t2 − 1 2 · t
0 2 s s
1s
1 m2 m2 m2
= dt 4· · t4 + 1 · · t2 − 4 · · t3
0 2 s6 s4 s5
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33

49. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˙ ˙
Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t):
´ ¸˜
˙ m
i) x1 (t) = 1 s2 · t
1s
1 m 2
K1 (0, 1s) = dt1 2 ·t
0 2 s
m 2 t3 1s
= 1 2 ·
s 6 0
1 m2
= · .
6 s
m m
˙
ii) x2 (t) = 2 s3
· t2 − 1 s2 · t
1s
1 m m 2
K2 (0, 1s) = dt 2 3 · t2 − 1 2 · t
0 2 s s
1s
1 m2 m2 m2
= dt 4· · t4 + 1 · · t2 − 4 · · t3
0 2 s6 s4 s5
1 m2
= · .
15 s
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33

50. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Princ´pio de Hamilton:
ı
ˆ
Dentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia se
mover de um ponto a outro dentro de um intervalo de tempo fixo (con-
sistente com todos os v´nculos que o sistema deve satisfazer),
ı
´
o caminho escolhido por ele e aquele que extremiza a integral no tempo
¸˜
da funcao lagrangeana L:
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t),
t0
´ ¸˜
onde S e a acao.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 33

51. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Princ´pio de Hamilton:
ı
ˆ
Dentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia se
mover de um ponto a outro dentro de um intervalo de tempo fixo (con-
sistente com todos os v´nculos que o sistema deve satisfazer),
ı
´
o caminho escolhido por ele e aquele que extremiza a integral no tempo
¸˜
da funcao lagrangeana L:
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t),
t0
´ ¸˜
onde S e a acao.
¸˜ ´
A acao e uma quantidade dimensional. Mais adiante verificaremos
˜ ´ ` ˜
que a sua dimensao e igual a dimensao do momento angular.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 33

52. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Princ´pio de Hamilton:
ı
ˆ
Dentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia se
mover de um ponto a outro dentro de um intervalo de tempo fixo (con-
sistente com todos os v´nculos que o sistema deve satisfazer),
ı
´
o caminho escolhido por ele e aquele que extremiza a integral no tempo
¸˜
da funcao lagrangeana L:
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t),
t0
´ ¸˜
onde S e a acao.
¸˜ ´
A acao e uma quantidade dimensional. Mais adiante verificaremos
˜ ´ ` ˜
que a sua dimensao e igual a dimensao do momento angular.
¸˜ ´ ¸˜
Note que a acao S e um funcional de L. A funcao L depende da
posicao
¸ ˙
˜ (x(t)) e da velocidade (x(t)) da part´cula no instante t.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 33

53. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˜
Revisao: condicao de extremo de uma funcao.
¸˜ ¸˜
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 33

54. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˜
Revisao: condicao de extremo de uma funcao.
¸˜ ¸˜
Seja a funcao f (x),
¸˜
f (x) = 2x3 − 5x2 − 9x + 18
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 33

55. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
˜
Revisao: condicao de extremo de uma funcao.
¸˜ ¸˜
Seja a funcao f (x),
¸˜
f (x) = 2x3 − 5x2 − 9x + 18
Os extremos (m´nimo e maximo) da funcao f (x) sao obtidos da
ı ´ ¸˜ ˜
¸˜
condicao:
df (x) f (x + ∆x) − f (x) =
=0 ⇐⇒ ∆x→0 0.
dx ∆x
´ ˆ ´ ¸˜
Devemos notar que x e o parametro/variavel da funcao.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 33

56. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜ ´
Variacao do caminho classico para aplicar ao Princ´pio
ı
de Hamilton:
x(t)
2
1
3
t0 tf t
Figura 1.1
xcl (t): trajetoria da part´cula classica
´ ı ´
x(t; α): trajetoria que corresponde a uma pequena variacao a xcl (t) com
´ ¸˜
extremidades fixas, ou seja,
x(t; α) = xcl (t) + αη(t) onde η(t0 ) = η(tf ) = 0.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 33

57. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
Acao:
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α),
t0
¸˜
Como implementar o Princ´pio de Hamilton na acao?
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 33

58. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
Acao:
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α),
t0
¸˜
Como implementar o Princ´pio de Hamilton na acao?
ı
=
δS[x(t)] = S[x(t; α)] − S[xcl (t)] = S[xcl (t) + αη(t)] − S[xcl (t)] α→0 0.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 33

59. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
Acao:
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α),
t0
¸˜
Como implementar o Princ´pio de Hamilton na acao?
ı
=
δS[x(t)] = S[x(t; α)] − S[xcl (t)] = S[xcl (t) + αη(t)] − S[xcl (t)] α→0 0.
¸˜ ¸˜
ou, condicao de extremo da acao:
∂G(α) ∂S
=0 ⇒ = 0.
∂α α=0 ∂α α=0
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 33

60. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
Acao:
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α),
t0
¸˜
Como implementar o Princ´pio de Hamilton na acao?
ı
=
δS[x(t)] = S[x(t; α)] − S[xcl (t)] = S[xcl (t) + αη(t)] − S[xcl (t)] α→0 0.
¸˜ ¸˜
ou, condicao de extremo da acao:
∂G(α) ∂S
=0 ⇒ = 0.
∂α α=0 ∂α α=0
¸˜ ¸˜
Pela definicao de derivada de uma funcao:
∂G(α) =
G(α) − G(0)
⇒
∂α α=0
α→0
α
∆α→0
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 33

61. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
Acao:
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α),
t0
¸˜
Como implementar o Princ´pio de Hamilton na acao?
ı
=
δS[x(t)] = S[x(t; α)] − S[xcl (t)] = S[xcl (t) + αη(t)] − S[xcl (t)] α→0 0.
¸˜ ¸˜
ou, condicao de extremo da acao:
∂G(α) ∂S
=0 ⇒ = 0.
∂α α=0 ∂α α=0
¸˜ ¸˜
Pela definicao de derivada de uma funcao:
∂G(α) =
G(α) − G(0) ∂S =
S(α) − S(0)
⇒ ∆α→0 .
∂α α=0
α→0
α ∂α α=0 ∆α
∆α→0
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 33

62. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Mas:
S(α) − S(0)
=
∆α
tf ˙ ˙
[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙
= dt .
t0 ∆α
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 33

63. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Mas:
S(α) − S(0)
=
∆α
tf ˙ ˙
[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙
= dt .
t0 ∆α
˜
Vamos manipular a razao que aparece dentro da integral:
˙ ˙
[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙
=
∆α
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 33

64. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Mas:
S(α) − S(0)
=
∆α
tf ˙ ˙
[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙
= dt .
t0 ∆α
˜
Vamos manipular a razao que aparece dentro da integral:
˙ ˙
[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙
=
∆α
∆x
˙ ˙ ˙
[L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)]
˙ αη
= ×·
∆α αη
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 33

65. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Mas:
S(α) − S(0)
=
∆α
tf ˙ ˙
[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙
= dt .
t0 ∆α
˜
Vamos manipular a razao que aparece dentro da integral:
˙ ˙
[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙
=
∆α
∆x
˙ ˙ ˙
[L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)]
˙ αη
= ×·
∆α αη
˙ ˙ ˙
[L(xcl , xcl + αη; t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙
αη
+ ×· .
∆α ˙
αη
˙
∆x
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 33

66. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Tratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 33

67. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Tratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos:
˙ ˙ ˙
[L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)]
˙ αη
×· =
∆α αη
˙ ˙ ˙
[L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)]
˙ ∆x
= ×·
∆x ∆α
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 33

68. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Tratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos:
˙ ˙ ˙
[L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)]
˙ αη
×· =
∆α αη
˙ ˙ ˙
[L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)]
˙ ∆x
= ×·
∆x ∆α
=
˙
∂L(x, x; t) ∂x
∆α→0 · ,
∂x ∂α
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 33

69. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Tratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos:
˙ ˙ ˙
[L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)]
˙ αη
×· =
∆α αη
˙ ˙ ˙
[L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)]
˙ ∆x
= ×·
∆x ∆α
=
˙
∂L(x, x; t) ∂x
∆α→0 · ,
∂x ∂α
e
˙ ˙ ˙
[L(xcl , xcl + αη; t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙
αη
×· =
∆α ˙
αη
˙ ˙
[L(xcl , xcl + αη; t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙ ˙
∆x
= ×·
∆x˙ ∆α
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 33

70. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Tratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos:
˙ ˙ ˙
[L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)]
˙ αη
×· =
∆α αη
˙ ˙ ˙
[L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)]
˙ ∆x
= ×·
∆x ∆α
=
˙
∂L(x, x; t) ∂x
∆α→0 · ,
∂x ∂α
e
˙ ˙ ˙
[L(xcl , xcl + αη; t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙
αη
×· =
∆α ˙
αη
˙ ˙
[L(xcl , xcl + αη; t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙ ˙
∆x
= ×·
∆x˙ ∆α
=
˙ ˙
∂L(x, x; t) ∂ x
∆α→0 · .
∂x˙ ∂α
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 33

71. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Juntando todos os resultados anteriores:
˙ ˙
[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙
=
∆α
=
˙
∂L(x, x; t) ∂x ˙
∂L(x, x; t) ∂ x˙
∆α→0 · + · .
∂x ∂α ∂x˙ ∂α
˙ ´
Nas derivadas parciais da lagrangeana L(x, x; t) as variaveis x e x sao ˙ ˜
´
tratadas como variaveis independentes.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 33

72. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Juntando todos os resultados anteriores:
˙ ˙
[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙
=
∆α
=
˙
∂L(x, x; t) ∂x ˙
∂L(x, x; t) ∂ x˙
∆α→0 · + · .
∂x ∂α ∂x˙ ∂α
˙ ´
Nas derivadas parciais da lagrangeana L(x, x; t) as variaveis x e x sao ˙ ˜
´
tratadas como variaveis independentes.
Devemos lembrar que
∂x
x(t) = xcl (t) + α · η(t) ⇒ = η(t)
∂α
˙
∂x
˙ ˙
x(t) = xcl (t) + α · η(t)
˙ ⇒ = η(t).
˙
∂α
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 33

73. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Juntando todos os resultados anteriores:
˙ ˙
[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙
=
∆α
=
˙
∂L(x, x; t) ∂x ˙
∂L(x, x; t) ∂ x˙
∆α→0 · + · .
∂x ∂α ∂x˙ ∂α
˙ ´
Nas derivadas parciais da lagrangeana L(x, x; t) as variaveis x e x sao ˙ ˜
´
tratadas como variaveis independentes.
Devemos lembrar que
∂x
x(t) = xcl (t) + α · η(t) ⇒ = η(t)
∂α
˙
∂x
˙ ˙
x(t) = xcl (t) + α · η(t)
˙ ⇒ = η(t).
˙
∂α
Assim:
˙ ˙
[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)]
˙
=
∆α
=
˙
∂L(x, x; t) ˙
∂L(x, x; t)
∆α→0 · η(t) + ˙
· η(t).
∂x ∂x˙
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 33

74. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
` ¸˜ ¸˜
Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como:
tf ˙ ˙
∂S ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t)
= dt · η(t) + · η = 0.
˙
∂α α=0 t0 ∂x ∂x˙
Na expressao anterior as η e η = dη(t) nao sao independentes, por isso
˜ ˙ dt ˜ ˜
˜ ˜
nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 33

75. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
` ¸˜ ¸˜
Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como:
tf ˙ ˙
∂S ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t)
= dt · η(t) + · η = 0.
˙
∂α α=0 t0 ∂x ∂x˙
Na expressao anterior as η e η = dη(t) nao sao independentes, por isso
˜ ˙ dt ˜ ˜
˜ ˜
nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior.
¸˜
Utilizamos a integracao por partes,
u dv = u · v − v du,
¸˜ ¸˜
para reescrever o segundo termo do l.d. da variacao da acao:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 33

76. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
` ¸˜ ¸˜
Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como:
tf ˙ ˙
∂S ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t)
= dt · η(t) + · η = 0.
˙
∂α α=0 t0 ∂x ∂x˙
Na expressao anterior as η e η = dη(t) nao sao independentes, por isso
˜ ˙ dt ˜ ˜
˜ ˜
nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior.
¸˜
Utilizamos a integracao por partes,
u dv = u · v − v du,
¸˜ ¸˜
para reescrever o segundo termo do l.d. da variacao da acao:
tf ˙ tf ˙
dη ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t)
dt · = dη
t0 dt ∂x˙ t0 ∂x˙
dv
u
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77. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
` ¸˜ ¸˜
Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como:
tf ˙ ˙
∂S ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t)
= dt · η(t) + · η = 0.
˙
∂α α=0 t0 ∂x ∂x˙
Na expressao anterior as η e η = dη(t) nao sao independentes, por isso
˜ ˙ dt ˜ ˜
˜ ˜
nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior.
¸˜
Utilizamos a integracao por partes,
u dv = u · v − v du,
¸˜ ¸˜
para reescrever o segundo termo do l.d. da variacao da acao:
tf ˙ tf ˙
dη ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t)
dt · = dη
t0 dt ∂x˙ t0 ∂x˙
dv
u
˙ tf ˙
∂L(x, x; t) tf d ∂L(x, x; t)
= η(t) · − dt η(t) .
∂x˙ t0 t0 dt ∂x˙
η(t0 )=η(tf )=0
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78. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Finalmente temos:
tf ˙ tf ˙
dη ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t)
dt · =− dt η(t) ,
t0 dt ∂x˙ t0 dt ∂x˙
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79. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Finalmente temos:
tf ˙ tf ˙
dη ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t)
dt · =− dt η(t) ,
t0 dt ∂x˙ t0 dt ∂x˙
¸˜ ¸˜
e a condicao de extremo da acao fica:
tf ˙ ˙
∂S ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t)
= dt − · η(t) = 0.
∂α α=0 t0 ∂x dt ∂x˙
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ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 33

80. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Finalmente temos:
tf ˙ tf ˙
dη ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t)
dt · =− dt η(t) ,
t0 dt ∂x˙ t0 dt ∂x˙
¸˜ ¸˜
e a condicao de extremo da acao fica:
tf ˙ ˙
∂S ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t)
= dt − · η(t) = 0.
∂α α=0 t0 ∂x dt ∂x˙
¸˜
Para que a integral seja nula para qualquer deformacao η(t) e para
qualquer intervalo de tempo [t0 , tf ], devemos ter:
˙
∂L(x, x; t) d ˙
∂L(x, x; t)
− = 0,
∂x dt ∂x˙
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81. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
Finalmente temos:
tf ˙ tf ˙
dη ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t)
dt · =− dt η(t) ,
t0 dt ∂x˙ t0 dt ∂x˙
¸˜ ¸˜
e a condicao de extremo da acao fica:
tf ˙ ˙
∂S ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t)
= dt − · η(t) = 0.
∂α α=0 t0 ∂x dt ∂x˙
¸˜
Para que a integral seja nula para qualquer deformacao η(t) e para
qualquer intervalo de tempo [t0 , tf ], devemos ter:
˙
∂L(x, x; t) d ˙
∂L(x, x; t) ¸˜
Equacao de Lagrange.
− = 0,
∂x dt ∂x˙
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82. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
A funcao lagrangeana L depende do sistema que
ı ˜
estamos tratando: part´culas nao-relativ´sticas,
ı
ı ı ´
part´culas relativ´sticas, campos eletromagneticos, ...
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
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83. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
A funcao lagrangeana L depende do sistema que
ı ˜
estamos tratando: part´culas nao-relativ´sticas,
ı
ı ı ´
part´culas relativ´sticas, campos eletromagneticos, ...
¸˜
Como escolher a funcao langreagena?
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DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 33

84. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
¸˜
A funcao lagrangeana L depende do sistema que
ı ˜
estamos tratando: part´culas nao-relativ´sticas,
ı
ı ı ´
part´culas relativ´sticas, campos eletromagneticos, ...
¸˜
Como escolher a funcao langreagena?
¸˜ ´
A funcao lagrangeana L e escolhida de tal forma que
´ ¸˜
a eq. de Lagrange da as equacoes de movimento
´
classicas!!!!
Joseph Louis Lagrange
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85. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
ı ˜
Part´culas nao-relativ´sticas:
ı
A velocidade da luz, c ≈ 3×108 m , nos da uma escala para sabermos
s ´
ı ´ ˜ ı ı ı ˜
se uma part´cula e ou nao uma part´cula relativ´stica. Part´culas nao-
˜ ¸˜
relativ´sticas sao aquelas cuja a velocidade satisfaz a condicao: v ≪ c.
ı
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ı C AMPOS ´
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86. ı ı ¸˜
Princ´pio de m´nima acao
ı ˜
Part´culas nao-relativ´sticas:
ı
A velocidade da luz, c ≈ 3×108 m , nos da uma escala para sabermos
s ´
ı ´ ˜ ı ı ı ˜
se uma part´cula e ou nao uma part´cula relativ´stica. Part´culas nao-
˜ ¸˜
relativ´sticas sao aquelas cuja a velocidade satisfaz a condicao: v ≪ c.
ı
Exemplo 1. Forca conservativa:
¸
ı ˜
Part´culas nao-relativ´sticas sujeitas a forcas conservativas:
ı ¸
1
L(x(t), x(t); t) = mx(t)2 − V(x),
˙ ˙
2
pois,
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