A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para obter as equações de movimento dos campos clássicos e o aplicamos ao caso dos campos eletromagnéticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noção de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformação da Relatividade Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos elétrico e magnético em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariância de calibre é implementada nestes campos. Apresentação: . Campos eletromagnéticos clássicos: campos de Maxwell

1. ´
Campos de calibre classicos: Maxwell
M.T. Thomaz
mariateresa.thomaz@gmail.com
Instituto de F´sica, UFF
ı
Resumo:
ı ı ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸˜
A partir do princ´pio de m´nima acao reobtemos as equacoes de movimento classicas reescritas atraves das equacoes
¸˜ ´
de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´pio para obter as equacoes de movimento dos campos classicos
ı
´
e o aplicamos ao caso dos campos eletromagneticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver,
¸˜ ¸˜
estudaremos a nocao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformacao da Relatividade Restrita e
¸˜
escrever as equacoes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos
´ ´ ˆ ´
eletrico e magnetico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariancia de calibre e implementada
nestes campos.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 1 / 30

2. ¸˜
Apresentacao:
ı ı ¸˜
1. Princ´pio de m´nima acao
˜ ´ ´
2. Revisao de topicos em Matematica
´ ¸˜
3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
4. Espaco de Minkowski
¸
´
5. Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´ ´
6. Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 2 / 30

3. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Relembrando:
Espaco de Minkowski
¸
Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.
ˆ ˜ ı
´
O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 30

4. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Relembrando:
Espaco de Minkowski
¸
Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.
ˆ ˜ ı
´
O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.
ˆ <
Mecanica relativ´stica: v ∼ c.
ı
´ ´
Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 30

5. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Relembrando:
Espaco de Minkowski
¸
Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.
ˆ ˜ ı
´
O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.
ˆ <
Mecanica relativ´stica: v ∼ c.
ı
´ ´
Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.
Evento f´sico: caracterizado por x e t.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 30

6. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Relembrando:
Espaco de Minkowski
¸
Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz.
ˆ ˜ ı
´
O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.
ˆ <
Mecanica relativ´stica: v ∼ c.
ı
´ ´
Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.
Evento f´sico: caracterizado por x e t.
ı
´ ´ ´
A velocidade das ondas eletromagneticas (luz) no vacuo e c em
todos os referenciais ⇒ sistema relativ´stico.
ı
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ı C AMPOS ´
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7. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
Transformacoes de Lorentz
y S y’ S’
V
x’
x
Figura 3.2
¸˜
Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritas
em dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo
¸˜
da direcao x:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30

8. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
Transformacoes de Lorentz
y S y’ S’
V
x’
x
Figura 3.2
¸˜
Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritas
em dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo
¸˜
da direcao x:
0 1 1 1
x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z,
0
sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e
V
β=
c
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ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30

9. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
Transformacoes de Lorentz
y S y’ S’
V
x’
x
Figura 3.2
¸˜
Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritas
em dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo
¸˜
da direcao x:
0 1 1 1
x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z,
0
sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e
V
β= ⇒ 0≤β≤1
c
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ı C AMPOS ´
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10. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
Transformacoes de Lorentz
y S y’ S’
V
x’
x
Figura 3.2
¸˜
Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritas
em dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo
¸˜
da direcao x:
0 1 1 1
x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z,
0
sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e
V 1
β= ⇒ 0≤β≤1 e γ=
c 1 − β2
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ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30

11. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
Transformacoes de Lorentz
y S y’ S’
V
x’
x
Figura 3.2
¸˜
Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritas
em dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo
¸˜
da direcao x:
0 1 1 1
x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z,
0
sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e
V 1
β= ⇒ 0≤β≤1 e γ= ⇒ 1 ≤ γ < ∞.
c 1 − β2
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ı C AMPOS ´
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12. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Produto escalar no espaco de Minkowski
¸
. d=2 (1+1)
i) Vetores contra-variantes:
xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , x);
ii) Vetores covariantes:
xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , −x),
sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.
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ı C AMPOS ´
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13. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Produto escalar no espaco de Minkowski
¸
. d=2 (1+1)
i) Vetores contra-variantes:
xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , x);
ii) Vetores covariantes:
xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , −x),
sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.
Produto escalar no espaco de Minkowski:
¸
−x2 + c2 t2 = x0 x0 + x1 x1
1
= xµ xµ ≡ xµ xµ .
µ=0 soma impl´cita
ı
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14. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
. d=4 (3+1)
¸˜
.Quadri-vetor posicao:
Vetor contra-variante: xµ = (x0 , x);
Vetor covariante: xµ = (x0 , −x).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 30

15. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
. d=4 (3+1)
¸˜
.Quadri-vetor posicao:
Vetor contra-variante: xµ = (x0 , x);
Vetor covariante: xµ = (x0 , −x).
3 µ
Escalar de Lorentz: µ=0 xµ x = xµ xµ = −x · x + c2 t2 .
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ı C AMPOS ´
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16. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
. d=4 (3+1)
¸˜
.Quadri-vetor posicao:
Vetor contra-variante: xµ = (x0 , x);
Vetor covariante: xµ = (x0 , −x).
3 µ
Escalar de Lorentz: µ=0 xµ x = xµ xµ = −x · x + c2 t2 .
Como relacionar os vetores covariantes e
contra-variantes?  
1 0 0 0
 0 −1 0 0 
xµ = gµν xν sendo gµν = gµν =
 0 0 −1 0 .

0 0 0 −1
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ı C AMPOS ´
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17. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Exerc´cio: usando a matriz do tensor metrico gµν , mostre que:
ı ´
gµν = gνµ e gµα gαβ = δµβ ,
onde
 
1 0 0 0
 0 1 0 0 
δµ β =
 0
,
0 1 0 
0 0 0 1
e a matriz identidade de dimensao 4 × 4.
´ ˜
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18. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes de
qualquer ordem:
i. 4-vetor:
Bµ = gµν Bν ,
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ı C AMPOS ´
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19. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes de
qualquer ordem:
i. 4-vetor:
Bµ = gµν Bν ,
ii. tensor de ordem 2:
Bµ1 µ2 = gµ1 ν1 gµ2 ν2 Bν1 ν2 ,
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
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DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 30

20. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes de
qualquer ordem:
i. 4-vetor:
Bµ = gµν Bν ,
ii. tensor de ordem 2:
Bµ1 µ2 = gµ1 ν1 gµ2 ν2 Bν1 ν2 ,
iii. tensor de ordem n:
Bµ1 µ2 ...µn = gµ1 ν1 gµ2 ν2 . . . gµn νn Bν1 ν2 ...νn .
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ı C AMPOS ´
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21. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Exemplos de 4-vetores de Lorentz:
i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),
onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados
´
´
aos campos eletromagneticos.
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22. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Exemplos de 4-vetores de Lorentz:
i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),
onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados
´
´
aos campos eletromagneticos.
ii. 4-densidade de corrente: jµ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)),
´ ´ ´
onde ρ(x, t) e a densidade de carga eletrica e (x, t) e a densidade de
´
corrente eletrica.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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23. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Exemplos de 4-vetores de Lorentz:
i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),
onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados
´
´
aos campos eletromagneticos.
ii. 4-densidade de corrente: jµ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)),
´ ´ ´
onde ρ(x, t) e a densidade de carga eletrica e (x, t) e a densidade de
´
corrente eletrica.
¸˜
As transformacoes de calibre:
0
1 ∂G(x,t)
A′ (x, t) = A0 (x, t) − c ∂t
e
A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),
podem ser escritas na forma covariante:
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ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 30

24. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Exemplos de 4-vetores de Lorentz:
i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),
onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados
´
´
aos campos eletromagneticos.
ii. 4-densidade de corrente: jµ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)),
´ ´ ´
onde ρ(x, t) e a densidade de carga eletrica e (x, t) e a densidade de
´
corrente eletrica.
¸˜
As transformacoes de calibre:
0
1 ∂G(x,t)
A′ (x, t) = A0 (x, t) − c ∂t
e
A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),
podem ser escritas na forma covariante:
A′ µ = Aµ − ∂ µ G(x, t).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 30

25. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´
Lagrangeana de campos classicos
¸˜
Acao associada a uma part´cula:
ı
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t),
t0
´ ´ ´ ˆ
onde x e variavel e t e parametro.
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ı C AMPOS ´
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26. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´
Lagrangeana de campos classicos
¸˜
Acao associada a uma part´cula:
ı
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t),
t0
´ ´ ´ ˆ
onde x e variavel e t e parametro.
A acao associada a um campo Φ(x, t):
¸˜
tf
S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t),
t0 V∞
onde x e t sao parametros e Φ e variavel.
˜ ˆ ´ ´
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DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 30

27. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´
Lagrangeana de campos classicos
¸˜
Acao associada a uma part´cula:
ı
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t),
t0
´ ´ ´ ˆ
onde x e variavel e t e parametro.
A acao associada a um campo Φ(x, t):
¸˜
tf
S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t),
t0 V∞
onde x e t sao parametros e Φ e variavel.
˜ ˆ ´ ´
A acao S e a densidade de lagrangeana L de um sistema
¸˜
relativ´stico e um escalar de Lorentz.
ı ´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 30

28. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ´
Equacao para campos classicos
Part´cula:
ı Campo:
∂L ∂L
−→
∂x ∂Φ(x, t)
3
d ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L
−→ + i
=
˙
dt ∂ x ∂t ∂ ∂Φ
∂t
∂x ∂ ∂Φi
i=1 ∂x
∂L
= ∂µ ,
∂(∂µ Φ)
∂
onde: ∂µ = ( 1 ∂t , ∇).
c
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ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 30

29. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ´
Equacao para campos classicos
Part´cula:
ı Campo:
∂L ∂L
−→
∂x ∂Φ(x, t)
3
d ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L
−→ + i
=
˙
dt ∂ x ∂t ∂ ∂Φ
∂t
∂x ∂ ∂Φi
i=1 ∂x
∂L
= ∂µ ,
∂(∂µ Φ)
∂
onde: ∂µ = ( 1 ∂t , ∇).
c
¸˜
Equacao de Euler-Lagrange:
∂L ∂L
− ∂µ = 0.
∂Φ ∂(∂µ Φ)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 30

30. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de
Maxwell
¸˜
A partir de qual densidade de lagrangeana obtemos todas as equacoes
de Maxwell?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 30

31. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de
Maxwell
¸˜
A partir de qual densidade de lagrangeana obtemos todas as equacoes
de Maxwell?
Definimos o tensor Fµν :
Fµν (x, t) = ∂µ Aν (x, t) − ∂ν Aµ (x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3,
= −Fνµ (x, t),
∂
onde ∂µ = ( 1
c ∂t , ∇) e Aµ (x, t) = (A0 (x, t), −A(x, t)).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 30

32. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de
Maxwell
¸˜
A partir de qual densidade de lagrangeana obtemos todas as equacoes
de Maxwell?
Definimos o tensor Fµν :
Fµν (x, t) = ∂µ Aν (x, t) − ∂ν Aµ (x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3,
= −Fνµ (x, t),
∂
onde ∂µ = ( 1
c ∂t , ∇) e Aµ (x, t) = (A0 (x, t), −A(x, t)).
˜ ´
Quais sao as componentes do tensor Fµν ? Sera que elas podem
´
ser escritas em termos dos campos eletromagneticos?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 30

33. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Relembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos
ı
potenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)):
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

34. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Relembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos
ı
potenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)):
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t
Componentes do tensor Fµν :
1)
1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t)
F0i = − − i
= −∇A0 (x, t) − i
c ∂t ∂x c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

35. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Relembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos
ı
potenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)):
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t
Componentes do tensor Fµν :
1)
1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t)
F0i = − − i
= −∇A0 (x, t) − i
c ∂t ∂x c ∂t
= Ei (x, t)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

36. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Relembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos
ı
potenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)):
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t
Componentes do tensor Fµν :
1)
1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t)
F0i = − − i
= −∇A0 (x, t) − i
c ∂t ∂x c ∂t
= Ei (x, t)
2)
∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t)
Fij = −
∂xj ∂xi
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ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

37. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Relembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos
ı
potenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)):
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t
Componentes do tensor Fµν :
1)
1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t)
F0i = − − i
= −∇A0 (x, t) − i
c ∂t ∂x c ∂t
= Ei (x, t)
2)
∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t)
Fij = − = ∇ × A(x, t)
∂xj ∂xi k
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

38. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Relembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos
ı
potenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)):
1 ∂ A(x, t)
E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t).
c ∂t
Componentes do tensor Fµν :
1)
1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t)
F0i = − − i
= −∇A0 (x, t) − i
c ∂t ∂x c ∂t
= Ei (x, t)
2)
∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t)
Fij = − = ∇ × A(x, t)
∂xj ∂xi k
Escrevendo explicitamente as componentes de Fij :
F12 = −Bz (x, t), F13 = By (x, t), F23 = −Bx (x, t).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

39. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
A matriz do tensor Fµν :
 
0 Ex Ey Ez
 −Ex 0 −Bz By 
Fµν =
 −Ey Bz
.
0 −Bx 
−Ez −By Bx 0
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 30

40. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
A matriz do tensor Fµν :
 
0 Ex Ey Ez
 −Ex 0 −Bz By 
Fµν =
 −Ey Bz
.
0 −Bx 
−Ez −By Bx 0
˜
As componentes do tensor Fµν sao os campos f´sicos
ı
E(x, t) e B(x, t)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 30

41. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
A matriz do tensor Fµν :
 
0 Ex Ey Ez
 −Ex 0 −Bz By 
Fµν =
 −Ey Bz
.
0 −Bx 
−Ez −By Bx 0
˜
As componentes do tensor Fµν sao os campos f´sicos
ı
E(x, t) e B(x, t)
⇒ O tensor Fµν e invariante sob as transformacoes
´ ¸˜
de calibre.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 30

42. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Tentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos:
´
? 1 1
L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ
16π c
|E| 2 − | B |2 ·A
= − ρA0 + .
π c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30

43. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Tentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos:
´
? 1 1
L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ
16π c
|E| 2 − | B |2 ·A
= − ρA0 + .
π c
Observe: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciais
Aµ (x, t).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30

44. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Tentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos:
´
? 1 1
L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ
16π c
|E| 2 − | B |2 ·A
= − ρA0 + .
π c
Observe: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciais
Aµ (x, t).
¸˜ ´
Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30

45. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Tentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos:
´
? 1 1
L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ
16π c
|E| 2 − | B |2 ·A
= − ρA0 + .
π c
Observe: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciais
Aµ (x, t).
¸˜ ´
Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )
´
Usando a metrica gµν temos:
jµ Aµ = gµα jα gµβ Aβ = gµα gµβ jα Aβ
δαβ
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30

46. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Tentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos:
´
? 1 1
L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ
16π c
|E| 2 − | B |2 ·A
= − ρA0 + .
π c
Observe: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciais
Aµ (x, t).
¸˜ ´
Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )
´
Usando a metrica gµν temos:
jµ Aµ = gµα jα gµβ Aβ = gµα gµβ jα Aβ ⇒ jµ Aµ = jα Aα .
δαβ
¸˜ ˜ ˜
A troca de posicao dos ´ndices que estao contra´dos nao altera
ı ı
o resultado.
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ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30

47. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ´
Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

48. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ´
Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )
O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange:
∂L ∂ 1 1
= − Fµν Fµν − jµ Aµ
∂Aα ∂Aα 16π c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

49. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ´
Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )
O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange:
∂L ∂ 1 1
= − Fµν Fµν − jµ Aµ
∂Aα ∂Aα 16π c
1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂
= − F + Fµν − jµ Aµ .
16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

50. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ´
Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )
O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange:
∂L ∂ 1 1
= − Fµν Fµν − jµ Aµ
∂Aα ∂Aα 16π c
1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂
= − F + Fµν − jµ Aµ .
16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα
Como: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

51. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ´
Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )
O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange:
∂L ∂ 1 1
= − Fµν Fµν − jµ Aµ
∂Aα ∂Aα 16π c
1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂
= − F + Fµν − jµ Aµ .
16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα
∂Fµν ∂Fµν
Como: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ ∂Aα = ∂Aα = 0.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

52. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ´
Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )
O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange:
∂L ∂ 1 1
= − Fµν Fµν − jµ Aµ
∂Aα ∂Aα 16π c
1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂
= − F + Fµν − jµ Aµ .
16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα
∂Fµν ∂Fµν
Como: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ ∂Aα = ∂Aα = 0.
´
Alem disso:
1 ∂ 1 ∂Aµ 1 1
− jµ Aµ = − jµ = − jµ δ µ α = − jα
c ∂Aα c ∂Aα c c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

53. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ´
Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos:
∂L ∂L
− ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3.
∂Aα ∂(∂τ Aα )
O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange:
∂L ∂ 1 1
= − Fµν Fµν − jµ Aµ
∂Aα ∂Aα 16π c
1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂
= − F + Fµν − jµ Aµ .
16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα
∂Fµν ∂Fµν
Como: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ ∂Aα = ∂Aα = 0.
´
Alem disso:
1 ∂ 1 ∂Aµ 1 1
− jµ Aµ = − jµ = − jµ δ µ α = − jα
c ∂Aα c ∂Aα c c
Portanto:
∂L 1
= − jα .
∂Aα c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

54. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Exerc´cio: Mostrar:
ı
∂L 1
= Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3.
∂(∂τ Aα ) 4π
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30

55. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Exerc´cio: Mostrar:
ı
∂L 1
= Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3.
∂(∂τ Aα ) 4π
¸˜ ˜ ¸˜
As equacoes de Euler-Lagrange nos dao as equacoes de movimento
´
para os campos eletromagneticos:
4π α
∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3.
c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30

56. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Exerc´cio: Mostrar:
ı
∂L 1
= Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3.
∂(∂τ Aα ) 4π
¸˜ ˜ ¸˜
As equacoes de Euler-Lagrange nos dao as equacoes de movimento
´
para os campos eletromagneticos:
4π α
∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3.
c
Assim:
Equacoes de Maxwell ⇒ 8 equacoes
¸˜ ¸˜
Equacoes de Euler-Lagrange ⇒ 4 equacoes
¸˜ ¸˜
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30

57. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Exerc´cio: Mostrar:
ı
∂L 1
= Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3.
∂(∂τ Aα ) 4π
¸˜ ˜ ¸˜
As equacoes de Euler-Lagrange nos dao as equacoes de movimento
´
para os campos eletromagneticos:
4π α
∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3.
c
Assim:
Equacoes de Maxwell ⇒ 8 equacoes
¸˜ ¸˜
Equacoes de Euler-Lagrange ⇒ 4 equacoes
¸˜ ¸˜
¸˜ ˜
Quais as equacoes de Maxwell estao representadas
¸˜
nas equacoes de Euler-Lagrange?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30

58. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:
i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30

59. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:
i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).
ii. α = 1
1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π
+ + = jx ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π
− + − = jx (x, t) ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
4π 1 ∂Ex (x, t)
⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + .
c c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30

60. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:
i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).
ii. α = 1
1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π
+ + = jx ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π
− + − = jx (x, t) ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
4π 1 ∂Ex (x, t)
⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + .
c c ∂t
4π 1 ∂Ey (x,t)
iii. α = 2 (∇ × B(x, t))y = c jy (x, t) + c ∂t .
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30

61. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:
i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).
ii. α = 1
1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π
+ + = jx ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π
− + − = jx (x, t) ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
4π 1 ∂Ex (x, t)
⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + .
c c ∂t
4π 1 ∂Ey (x,t)
iii. α = 2 (∇ × B(x, t))y = c jy (x, t) + c ∂t .
4π 1 ∂Ez (x,t)
iv. α = 3 (∇ × B(x, t))z = c jz (x, t) + c ∂t .
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30

62. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜
As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:
i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).
ii. α = 1
1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π
+ + = jx ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π
− + − = jx (x, t) ⇒
c ∂t ∂y ∂z c
4π 1 ∂Ex (x, t)
⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + .
c c ∂t
4π 1 ∂Ey (x,t)
iii. α = 2 (∇ × B(x, t))y = c jy (x, t) + c ∂t .
4π 1 ∂Ez (x,t)
iv. α = 3 (∇ × B(x, t))z = c jz (x, t) + c ∂t .
¸˜ ¸˜ ˆ
As equacoes de Euler-Lagrange reproduzem as equacoes inomogeneas
de Maxwell.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30

63. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ˆ
Como obter as equacoes de Maxwell homogeneas,
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

64. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ˆ
Como obter as equacoes de Maxwell homogeneas,
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t
¸˜
Usando a definicao do tensor Fµν :
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,
calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ ,
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

65. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ˆ
Como obter as equacoes de Maxwell homogeneas,
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t
¸˜
Usando a definicao do tensor Fµν :
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,
calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ ,
∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν Aµ
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

66. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ˆ
Como obter as equacoes de Maxwell homogeneas,
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t
¸˜
Usando a definicao do tensor Fµν :
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,
calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ ,
∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν Aµ
∂µ Fνα = ∂µ (∂ν Aα − ∂α Aν ) = ∂µ ∂ν Aα − ∂µ ∂α Aν
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

67. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ˆ
Como obter as equacoes de Maxwell homogeneas,
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t
¸˜
Usando a definicao do tensor Fµν :
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,
calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ ,
∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν Aµ
∂µ Fνα = ∂µ (∂ν Aα − ∂α Aν ) = ∂µ ∂ν Aα − ∂µ ∂α Aν
∂ν Fαµ = ∂ν (∂α Aµ − ∂µ Aα ) = ∂ν ∂α Aµ − ∂ν ∂µ Aα ,
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

68. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ˆ
Como obter as equacoes de Maxwell homogeneas,
1 ∂ B(x, t)
∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ?
c ∂t
¸˜
Usando a definicao do tensor Fµν :
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,
calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ ,
∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν Aµ
∂µ Fνα = ∂µ (∂ν Aα − ∂α Aν ) = ∂µ ∂ν Aα − ∂µ ∂α Aν
∂ν Fαµ = ∂ν (∂α Aµ − ∂µ Aα ) = ∂ν ∂α Aµ − ∂ν ∂µ Aα ,
e verificamos a identidade de Bianchi:
∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

69. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
A identidade de Bianchi:
∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 30

70. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
A identidade de Bianchi:
∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3.
¸˜
Escrevendo as equacoes da identidade de Bianchi:
i. α = 0, µ, ν = 1, 2, 3 (µ = ν)
1 ∂B(x, t)
∇ × E(x, t) = − .
c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 30

71. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
A identidade de Bianchi:
∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3.
¸˜
Escrevendo as equacoes da identidade de Bianchi:
i. α = 0, µ, ν = 1, 2, 3 (µ = ν)
1 ∂B(x, t)
∇ × E(x, t) = − .
c ∂t
iv. α = 1, µ = 2, ν = 3
∇ · B(x, t) = 0.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 30

72. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
1
Como a densidade de lagrangeana: L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − 16π Fµν Fµν − 1 jµ Aµ ,
c
¸˜
se comporta sob uma transformacao de calibre:
A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 30

73. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
1
Como a densidade de lagrangeana: L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − 16π Fµν Fµν − 1 jµ Aµ ,
c
¸˜
se comporta sob uma transformacao de calibre:
A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?
Lembrando que:
 
0 Ex Ey Ez
 −Ex 0 −Bz By 
Fµν =
 −Ey Bz
.
0 −Bx 
−Ez −By Bx 0
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 30

74. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
1
Como a densidade de lagrangeana: L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − 16π Fµν Fµν − 1 jµ Aµ ,
c
¸˜
se comporta sob uma transformacao de calibre:
A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?
Lembrando que:
 
0 Ex Ey Ez
 −Ex 0 −Bz By 
Fµν =
 −Ey Bz
.
0 −Bx 
−Ez −By Bx 0
¸˜
Sob uma transformacao de calibre:
1 ′ ′ µν 1 µ
L(A′ , ∂ν A′ ) = −
µ µ F F − jµ A′
16π µν c
1 1 1
= − Fµν Fµν − jµ Aµ + jµ ∂ µ G.
16π c c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 30

75. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Mas,
1 µ 1 1
jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)).
c c c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30

76. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Mas,
1 µ 1 1
jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)).
c c c
¸˜
Temos a conservacao ´
da carga eletrica:
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) = − ⇒
∂t
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) + = 0.
∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30

77. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Mas,
1 µ 1 1
jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)).
c c c
¸˜
Temos a conservacao ´
da carga eletrica:
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) = − ⇒
∂t
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) + = 0.
∂t
⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30

78. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Mas,
1 µ 1 1
jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)).
c c c
¸˜
Temos a conservacao ´
da carga eletrica:
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) = − ⇒
∂t
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) + = 0.
∂t
⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.
Finalmente
1
L(A′ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [ jµ (x, t)G(x, t) ].
µ µ
c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30

79. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Mas,
1 µ 1 1
jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)).
c c c
¸˜
Temos a conservacao ´
da carga eletrica:
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) = − ⇒
∂t
∂ρ(x, t)
∇ · (x, t) + = 0.
∂t
⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.
Finalmente
1
L(A′ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [ jµ (x, t)G(x, t) ].
µ µ
c
As densidades de lagrangeanas L(Aµ , ∂ν Aµ ) e L(A′ , ∂ν A′ ) dao as
µ µ ˜
¸˜
mesmas equacoes de movimento?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30

80. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Acao associada ao 4-potencial Aµ (x, t):
¸˜
tf
S[Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t).
t0 V∞
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 30

81. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Acao associada ao 4-potencial Aµ (x, t):
¸˜
tf
S[Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t).
t0 V∞
Acao associada ao 4-potencial A′ (x, t):
¸˜ µ
tf
S′ [A′ ; t0 , tf ] =
µ dt d3 x L(A′ , ∂ν A′ ; x, t),
µ µ
t0 V∞
onde
A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t) ⇒
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 30

82. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
Acao associada ao 4-potencial Aµ (x, t):
¸˜
tf
S[Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t).
t0 V∞
Acao associada ao 4-potencial A′ (x, t):
¸˜ µ
tf
S′ [A′ ; t0 , tf ] =
µ dt d3 x L(A′ , ∂ν A′ ; x, t),
µ µ
t0 V∞
onde
A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t) ⇒
1
L(Aµ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [jµ (x, t)G(x, t) ].
′
µ
c
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 30

83. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ¸˜
Relacao entre as acoes dos dois 4-potenciais vetores:
tf
S ′ [A′ ; t0 , tf ] =
µ dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ (x, t)) +
t0 V∞
tf
1
+ dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t))
c t0 V∞
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 30

84. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ¸˜
Relacao entre as acoes dos dois 4-potenciais vetores:
tf
S ′ [A′ ; t0 , tf ] =
µ dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ (x, t)) +
t0 V∞
tf
1
+ dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t))
c t0 V∞
tf
1
= S[Aµ ; t0 , tf ] + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)).
c t0 V∞
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 30

85. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
¸˜ ¸˜
Relacao entre as acoes dos dois 4-potenciais vetores:
tf
S ′ [A′ ; t0 , tf ] =
µ dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ (x, t)) +
t0 V∞
tf
1
+ dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t))
c t0 V∞
tf
1
= S[Aµ ; t0 , tf ] + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)).
c t0 V∞
¸˜
Fazendo a integracao por partes:
tf
1
dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) =
c t0 V∞
= d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )]
V∞
tf
+ dt d3 x ∇ · [j(x, t)G(x, t)].
t0 V∞
S∞
ˆ
ds n·[j(x,t)G(x,t)] = 0
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 30

86. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
˜
Entao:
S ′ [A′ ; t0 , tf ] − S[Aµ ; t0 , tf ] =
µ
= d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )].
V∞
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 30

87. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
˜
Entao:
S ′ [A′ ; t0 , tf ] − S[Aµ ; t0 , tf ] =
µ
= d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )].
V∞
Como a diferenca das acoes S ′ [A′ ; t0 , tf ] e S[Aµ ; t0 , tf ] e um termo que
¸ ¸˜ µ ´
e o mesmo para todas as configuracoes Aµ (x, t), entao se o 4-potencial
´ ¸˜ ˜
Aµ (x, t) extremiza a acao S[Aµ ; t0 , tf ] ⇒ 4-potencial A′ (x, t)
¸˜ µ
¸˜ ′ [A′ ; t , t ]. Como esses 4-potenciais estao liga-
extremiza a acao S µ 0 f ˜
¸˜ ˜
dos por uma transformacao de calibre, entao ambas representam os
mesmo campos f´sicos.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 30

88. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´
Campos eletromagneticos livres:
ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30

89. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´
Campos eletromagneticos livres:
ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.
¸˜ ´
Equacoes de Maxwell no vacuo:
1 ∂ B(x, t)
∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t)
∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = .
c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30

90. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´
Campos eletromagneticos livres:
ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.
¸˜ ´
Equacoes de Maxwell no vacuo:
1 ∂ B(x, t)
∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t)
∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = .
c ∂t
´
Campo eletrico livre:
1∂
∇ × (∇ × E(x, t)) + (∇ × B(x, t)) = 0 ⇒
c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30

91. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´
Campos eletromagneticos livres:
ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.
¸˜ ´
Equacoes de Maxwell no vacuo:
1 ∂ B(x, t)
∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t)
∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = .
c ∂t
´
Campo eletrico livre:
1∂
∇ × (∇ × E(x, t)) + (∇ × B(x, t)) = 0 ⇒
c ∂t
1 ∂2
⇒ ∇2 − 2 2 E(x, t) = 0.
c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30

92. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´
Campos eletromagneticos livres:
ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.
¸˜ ´
Equacoes de Maxwell no vacuo:
1 ∂ B(x, t)
∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t)
∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = .
c ∂t
´
Campo eletrico livre:
1∂
∇ × (∇ × E(x, t)) + (∇ × B(x, t)) = 0 ⇒
c ∂t
1 ∂2
⇒ ∇2 − 2 2 E(x, t) = 0.
c ∂t
´
De forma analoga, obtemos:
1 ∂2
∇2 − 2 2 B(x, t) = 0.
c ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30

93. ´ ´
Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
´
Campo eletrico livre:
1 ∂2
∇2 − E(x, t) = 0.
c2 ∂t2
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 30