1) O documento discute a aplicação do princípio de Hamilton para descrever campos clássicos. 2) Mostra como escrever as equações de Maxwell usando um 4-potencial vetor e a necessidade de impor uma condição de calibre. 3) Explica que para campos clássicos, o campo é a variável do sistema físico e o espaço e tempo são parâmetros.

1. ´
Campos de calibre classicos: Maxwell
M.T. Thomaz
mariateresa.thomaz@gmail.com
Instituto de F´sica, UFF
ı
Resumo:
ı ı ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸˜
A partir do princ´pio de m´nima acao reobtemos as equacoes de movimento classicas reescritas atraves das equacoes
¸˜ ´
de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´pio para obter as equacoes de movimento dos campos classicos
ı
´
e o aplicamos ao caso dos campos eletromagneticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver,
¸˜ ¸˜
estudaremos a nocao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformacao da Relatividade Restrita e
¸˜
escrever as equacoes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos
´ ´ ˆ ´
eletrico e magnetico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariancia de calibre e implementada
nestes campos.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 1 / 28

2. ¸˜
Apresentacao:
ı ı ¸˜
1. Princ´pio de m´nima acao
˜ ´ ´
2. Revisao de topicos em Matematica
´ ¸˜
3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell
4. Espaco de Minkowski
¸
´
5. Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´ ´
6. Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 2 / 28

3. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´
O que ja sabemos?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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4. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´
O que ja sabemos?
¸˜
As eqs. que governam a evolucao no tempo dos campos eletro-
´
magneticos, E(x, t) e B(x, t) :
¸˜
As equacoes de Maxwell
∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t),
∇ · B(x, t) = 0,
1 ∂ B(x, t)
∇ × E(x, t) = − ,
c ∂t
1 ∂ E(x, t) 4π
∇ × B(x, t) = + (x, t),
c ∂t c
´
sendo ρ(x, t) a densidade de carga eletrica e (x, t) o vetor densidade
´
de corrente eletrica.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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5. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜ ˜
Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao sao
independentes ⇒
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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6. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜ ˜
Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao sao
independentes ⇒
⇒ usamos os potenciais: A0 (x, t), A(x, t): 4 graus de liberdade.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 28

7. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜ ˜
Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao sao
independentes ⇒
⇒ usamos os potenciais: A0 (x, t), A(x, t): 4 graus de liberdade.
Podemos escrever os potenciais escalar e vetor como
um 4-potencial vetor:
Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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8. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜ ˜
Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao sao
independentes ⇒
⇒ usamos os potenciais: A0 (x, t), A(x, t): 4 graus de liberdade.
Podemos escrever os potenciais escalar e vetor como
um 4-potencial vetor:
Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.
˜ ´
Para cada campo f´sico E(x, t) e B(x, t) o 4-potencial vetor nao e
ı
unico
´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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9. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜ ˜
Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao sao
independentes ⇒
⇒ usamos os potenciais: A0 (x, t), A(x, t): 4 graus de liberdade.
Podemos escrever os potenciais escalar e vetor como
um 4-potencial vetor:
Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.
˜ ´
Para cada campo f´sico E(x, t) e B(x, t) o 4-potencial vetor nao e
ı
unico
´ ⇒
⇒ impor
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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10. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜ ˜
Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao sao
independentes ⇒
⇒ usamos os potenciais: A0 (x, t), A(x, t): 4 graus de liberdade.
Podemos escrever os potenciais escalar e vetor como
um 4-potencial vetor:
Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.
˜ ´
Para cada campo f´sico E(x, t) e B(x, t) o 4-potencial vetor nao e
ı
unico
´ ⇒
⇒ impor ¸˜
1 condicao de calibre .
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ı C AMPOS ´
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11. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´ ¸˜
E poss´vel obter as 4 equacoes de Maxwell
ı
´
para os campos eletromagneticos a partir
´ ¸˜
do calculo do extremo de uma acao
(de um funcional)?
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ı C AMPOS ´
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12. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Relembrando:
Quando estudamos o movimento de 1 part´cula:
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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13. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Relembrando:
Quando estudamos o movimento de 1 part´cula:
ı
x : ´
variavel
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 28

14. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Relembrando:
Quando estudamos o movimento de 1 part´cula:
ı
x : ´
variavel
t : ˆ
parametro.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 28

15. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Relembrando:
Quando estudamos o movimento de 1 part´cula:
ı
x : ´
variavel
t : ˆ
parametro.
A lagrangeana L do movimento da part´cula:
ı
˙
L = L(x(t), x(t); t)
sendo
dx(t)
˙
x(t) = .
dt
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ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 28

16. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜
A acao S do movimento de 1 part´cula durante o intervalo de tempo
ı
[t0 , tf ]:
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ı C AMPOS ´
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17. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜
A acao S do movimento de 1 part´cula durante o intervalo de tempo
ı
[t0 , tf ]:
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t),
t0
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 28

18. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜
A acao S do movimento de 1 part´cula durante o intervalo de tempo
ı
[t0 , tf ]:
tf
S[x(t); t0 , tf ] = ˙
dt L(x(t), x(t); t),
t0
x(t)
2
1
3
t0 tf t
Figura 1.1
A trajetoria percorrida pela da part´cula classica entre as posicoes x(t0 )
´ ı ´ ¸˜
e x(tf ) e a que extremiza a acao S.
´ ¸˜
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 28

19. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Como aplicar o princ´pio de Hamilton para campos
ı
´
classicos?
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 28

20. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Como aplicar o princ´pio de Hamilton para campos
ı
´
classicos?
˜
Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campo
classico: Φ(x, t).
´
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 28

21. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Como aplicar o princ´pio de Hamilton para campos
ı
´
classicos?
˜
Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campo
classico: Φ(x, t).
´
Para o campo Φ(x, t) temos:
Φ : variavel do sistema f´sico;
´ ı
x : parametro;
ˆ
t : parametro.
ˆ
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ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 28

22. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Como aplicar o princ´pio de Hamilton para campos
ı
´
classicos?
˜
Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campo
classico: Φ(x, t).
´
Para o campo Φ(x, t) temos:
Φ : variavel do sistema f´sico;
´ ı
x : parametro;
ˆ
t : parametro.
ˆ
A funcao Φ(x, t) da a configuracao do campo
¸˜ ´ ¸˜
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 28

23. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Como aplicar o princ´pio de Hamilton para campos
ı
´
classicos?
˜
Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campo
classico: Φ(x, t).
´
Para o campo Φ(x, t) temos:
Φ : variavel do sistema f´sico;
´ ı
x : parametro;
ˆ
t : parametro.
ˆ
A funcao Φ(x, t) da a configuracao do campo em cada ponto do espaco
¸˜ ´ ¸˜ ¸
x no instante t.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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24. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Para cada configuracao do campo Φ(x, t) associamos um numero
¸˜ ´
´ ¸˜
atraves do funcional da acao S:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
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25. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Para cada configuracao do campo Φ(x, t) associamos um numero
¸˜ ´
´ ¸˜
atraves do funcional da acao S:
tf
S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t).
t0 V∞
´ ¸˜
L e a densidade de lagrangeana. Mostramos anteriormente que a acao
˜
tem dimensao de momento angular.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 28

26. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Para cada configuracao do campo Φ(x, t) associamos um numero
¸˜ ´
´ ¸˜
atraves do funcional da acao S:
tf
S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t).
t0 V∞
´ ¸˜
L e a densidade de lagrangeana. Mostramos anteriormente que a acao
˜
tem dimensao de momento angular.
´
Princ´pio de Hamilton para a campo classico:
ı
Obter a configuracao Φ(x, t), que comeca em Φ(x, t0 )
¸˜ ¸
e termina em Φ(x, tf ) e que extremiza a acao
¸˜
S[Φ; t0 , tf ].
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 28

27. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Importante:
¸˜
A acao de sistemas relativ´sticos,
ı
tf
S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t)
t0 V∞
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 28

28. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Importante:
¸˜
A acao de sistemas relativ´sticos,
ı
tf
S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t)
t0 V∞
e um escalar de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma part´cula
´ ´ ı
´ ¸˜
percorre, vista de um dado referencial inercial, e o extremo da acao
´
neste referencial. A trajetoria da mesma part´cula vista de outro
ı
´
referencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira por
¸˜ ´
uma transformacao de Lorentz, e portanto tem que tambem ser um
¸˜ ¸˜ ´
m´nimo da acao. Logo, o valor da acao associada a trajetoria que a
ı
part´cula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalar
ı
´
de Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria
¸˜
(ou configuracao) tem em cada referencial inercial. Como o produto
´
dtdx e um escalar de Lorentz, a densidade de lagrangeana L tambem ´
tem que ser um escalar de Lorentz.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 28

29. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Importante:
¸˜
A acao de sistemas relativ´sticos,
ı
tf
S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t)
t0 V∞
e um escalar de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma part´cula
´ ´ ı
´ ¸˜
percorre, vista de um dado referencial inercial, e o extremo da acao
´
neste referencial. A trajetoria da mesma part´cula vista de outro
ı
´
referencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira por
¸˜ ´
uma transformacao de Lorentz, e portanto tem que tambem ser um
¸˜ ¸˜ ´
m´nimo da acao. Logo, o valor da acao associada a trajetoria que a
ı
part´cula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalar
ı
´
de Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria
¸˜
(ou configuracao) tem em cada referencial inercial. Como o produto
´
dtdx e um escalar de Lorentz, a densidade de lagrangeana L tambem ´
tem que ser um escalar de Lorentz.
´ ˜ ı ˜ ı ˜
E por esta razao que para uma part´cula nao relativ´stica a lagrangeana nao
ˆ
pode ser a energia mecanica total.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
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30. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´ ¸˜
Seja φ(x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz as
¸˜
condicoes de contorno:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 28

31. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´ ¸˜
Seja φ(x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz as
¸˜
condicoes de contorno:
φ(x, t0 ) = Φ(x, t0 )
e
φ(x, tf ) = Φ(x, tf ).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 28

32. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´ ¸˜
Seja φ(x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz as
¸˜
condicoes de contorno:
φ(x, t0 ) = Φ(x, t0 )
e
φ(x, tf ) = Φ(x, tf ).
¸˜ ´ ¸˜
Para confirmar que a configuracao φ(x, t) e um extremo da acao ,
¸˜ ¸˜ ˜
comparamos o valor da acao para configuracoes que sao pequenas
¸˜
variacoes de φ(x, t):
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 28

33. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´ ¸˜
Seja φ(x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz as
¸˜
condicoes de contorno:
φ(x, t0 ) = Φ(x, t0 )
e
φ(x, tf ) = Φ(x, tf ).
¸˜ ´
Para confirmar que a configuracao φ(x, t) e um extremo da acao , ¸˜
¸˜ ¸˜ ˜
comparamos o valor da acao para configuracoes que sao pequenas
¸˜
variacoes de φ(x, t):
Φ(x, t; α) = φ(x, t) + αη(x, t),
´
onde α e uma constante e
α → 0.
¸˜
A funcao η(x, t) satisfaz as
¸˜
condicoes de contorno:
η(x, t0 ) = η(x, tf ) = 0.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 28

34. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜ ¸˜
A condicao de que φ(x, t) extremiza a acao:
=
δS[Φ] ≡ S[φ(x, t) + αη(x, t)] − S[φ(x, t)] α→0 0.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 28

35. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜ ¸˜
A condicao de que φ(x, t) extremiza a acao:
=
δS[Φ] ≡ S[φ(x, t) + αη(x, t)] − S[φ(x, t)] α→0 0.
Como no caso do sistema de 1 part´cula, definimos:
ı
tf
G(α) ≡ dt d3 x L(φ + αη, ∂µ (φ) + α∂µ (η); x, t; α).
t0 V∞
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 28

36. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜ ¸˜
A condicao de que φ(x, t) extremiza a acao:
=
δS[Φ] ≡ S[φ(x, t) + αη(x, t)] − S[φ(x, t)] α→0 0.
Como no caso do sistema de 1 part´cula, definimos:
ı
tf
G(α) ≡ dt d3 x L(φ + αη, ∂µ (φ) + α∂µ (η); x, t; α).
t0 V∞
Reescrevemos a condicao de extremo da acao, em α = 0, como:
¸˜ ¸˜
∂G(α) ∂S[Φ; α]
=0 ⇒ = 0.
∂α α=0 ∂α α=0
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 28

37. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜
A condicao de extremo de S[Φ; α]:
∂S[Φ; α]
= 0,
∂α α=0
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 28

38. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜
A condicao de extremo de S[Φ; α]:
∂S[Φ; α]
= 0,
∂α α=0
` ¸˜
aplicada a forma integral da acao:
tf
∂S[Φ; α] ∂
= dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t)
∂α ∂α t0 V∞
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 28

39. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜
A condicao de extremo de S[Φ; α]:
∂S[Φ; α]
= 0,
∂α α=0
` ¸˜
aplicada a forma integral da acao:
tf
∂S[Φ; α] ∂
= dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t)
∂α ∂α t0 V∞
∂Φ ∂Φ
tf
∂L ∂Φ ∂L ∂ ∂L ∂ ∂y
3 ∂x
= dt d x + +
t0 V∞ ∂Φ ∂α ∂ ∂Φ
∂x
∂α ∂ ∂Φ
∂y
∂α
∂Φ ∂Φ
∂L ∂ ∂z ∂L ∂ ∂t
+ ∂Φ
+ ∂Φ
= 0,
∂ ∂z
∂α ∂ ∂t
∂α
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 28

40. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜
A condicao de extremo de S[Φ; α]:
∂S[Φ; α]
= 0,
∂α α=0
` ¸˜
aplicada a forma integral da acao:
tf
∂S[Φ; α] ∂
= dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t)
∂α ∂α t0 V∞
∂Φ ∂Φ
tf
∂L ∂Φ ∂L ∂ ∂L ∂ ∂y
3 ∂x
= dt d x + +
t0 V∞ ∂Φ ∂α ∂ ∂Φ
∂x
∂α ∂ ∂Φ
∂y
∂α
∂Φ ∂Φ
∂L ∂ ∂z ∂L ∂ ∂t
+ ∂Φ
+ ∂Φ
= 0,
∂ ∂z
∂α ∂ ∂t
∂α
Na regra da cadeia tratamos: Φ, ∂t (Φ), ∂x (Φ), ∂y (Φ) e ∂z (Φ), como
´
variaveis independentes.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 28

41. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜
Utilizamos a notacao de soma impl´cita para escrever de forma
ı
compacta os termos do l.d. da integral:
∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ
∂L ∂ ∂L ∂ ∂y ∂L ∂ ∂L ∂
∂x ∂z ∂t
∂Φ
+ ∂Φ
+ ∂Φ
+ ∂Φ
∂ ∂x
∂α ∂ ∂y
∂α ∂ ∂z
∂α ∂ ∂t
∂α
∂L ∂(∂µ Φ)
= .
∂(∂µ Φ) ∂α
onde µ = 0, 1, 2, 3.
˜
Nao podemos esquecer:
∂ 1 ∂ ∂ ∂
∂0 = = ∂t ; ∂1 = = ∂x ; ∂2 = = ∂y ; ∂3 = = ∂z .
∂(ct) c ∂x ∂y ∂z
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ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 28

42. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Lembrando:
Φ(x, t; α) = φ(x, t) + αη(x, t) ⇒
⇒ ∂µ (Φ(x, t; α)) = ∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t)),
com µ = 0, 1, 2, 3.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 28

43. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Lembrando:
Φ(x, t; α) = φ(x, t) + αη(x, t) ⇒
⇒ ∂µ (Φ(x, t; α)) = ∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t)),
com µ = 0, 1, 2, 3.
Assim:
∂(∂µ Φ) ∂
= [∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t))]
∂α ∂α
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 28

44. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Lembrando:
Φ(x, t; α) = φ(x, t) + αη(x, t) ⇒
⇒ ∂µ (Φ(x, t; α)) = ∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t)),
com µ = 0, 1, 2, 3.
Assim:
∂(∂µ Φ) ∂
= [∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t))]
∂α ∂α
∂ ∂α ∂
= [∂µ (φ(x, t))] + · ∂µ (η(x, t) + α [∂µ (η(x, t))].
∂α ∂α ∂α
0 1 0
Portanto:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 28

45. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Lembrando:
Φ(x, t; α) = φ(x, t) + αη(x, t) ⇒
⇒ ∂µ (Φ(x, t; α)) = ∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t)),
com µ = 0, 1, 2, 3.
Assim:
∂(∂µ Φ) ∂
= [∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t))]
∂α ∂α
∂ ∂α ∂
= [∂µ (φ(x, t))] + · ∂µ (η(x, t) + α [∂µ (η(x, t))].
∂α ∂α ∂α
0 1 0
Portanto:
∂(∂µ Φ)
= ∂µ (η(x, t), µ = 0, 1, 2, 3.
∂α
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 28

46. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜
Reescrevemos a condicao de extremo de S como:
tf
∂L ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t)
I ≡ dt d3 x η(x, t) + ∂Φ + ∂Φ +
t0 V∞ ∂Φ ∂ ∂x ∂x ∂ ∂y ∂y
∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t)
+ ∂Φ
+ ∂Φ = 0.
∂ ∂z ∂z ∂ ∂t ∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 28

47. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜
Reescrevemos a condicao de extremo de S como:
tf
∂L ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t)
I ≡ dt d3 x η(x, t) + ∂Φ + ∂Φ +
t0 V∞ ∂Φ ∂ ∂x ∂x ∂ ∂y ∂y
∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t)
+ ∂Φ
+ ∂Φ = 0.
∂ ∂z ∂z ∂ ∂t ∂t
¸˜ ´
Para cada funcao arbitraria η(x, t), as suas derivadas: ∂t η(x, t),
˜ ˜ ¸˜
∂x η(x, t), ∂y η(x, t) e ∂z η(x, t) nao sao necessariamente funcoes
linearmente independentes (l.i.) entre si e com η(x, t). Por isso
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 28

48. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
¸˜
Reescrevemos a condicao de extremo de S como:
tf
∂L ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t)
I ≡ dt d3 x η(x, t) + ∂Φ + ∂Φ +
t0 V∞ ∂Φ ∂ ∂x ∂x ∂ ∂y ∂y
∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t)
+ ∂Φ
+ ∂Φ = 0.
∂ ∂z ∂z ∂ ∂t ∂t
¸˜ ´
Para cada funcao arbitraria η(x, t), as suas derivadas: ∂t η(x, t),
˜ ˜ ¸˜
∂x η(x, t), ∂y η(x, t) e ∂z η(x, t) nao sao necessariamente funcoes
linearmente independentes (l.i.) entre si e com η(x, t). Por isso
˜ ¸˜
nao podemos fazer nenhuma afirmacao geral a partir da
igualdade anterior!!!!
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 28

49. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em
¸˜
relacao as coordenadas espaciais na integral I.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 28

50. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em
¸˜
relacao as coordenadas espaciais na integral I.
Consideramos o termo:
tf tf L L
∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t)
dt d3 x ∂Φ
= dt dy dz dx ,
t0 V∞ ∂ ∂x
∂x t0 −L −L ∂ ∂Φ
∂x
∂x
onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superf´cie que delimita
ı
o volume.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 28

51. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em
¸˜
relacao as coordenadas espaciais na integral I.
Consideramos o termo:
tf tf L L
∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t)
dt d3 x ∂Φ
= dt dy dz dx ,
t0 V∞ ∂ ∂x
∂x t0 −L −L ∂ ∂Φ
∂x
∂x
onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superf´cie que delimita
ı
o volume. No limite de V∞ temos que L → ∞.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 28

52. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em
¸˜
relacao as coordenadas espaciais na integral I.
Consideramos o termo:
tf tf L L
∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t)
dt d3 x ∂Φ
= dt dy dz dx ,
t0 V∞ ∂ ∂x
∂x t0 −L −L ∂ ∂Φ
∂x
∂x
onde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superf´cie que delimita
ı
o volume. No limite de V∞ temos que L → ∞.
¸˜
Para calcular a integral do l.d. utilizamos a integracao por partes,
u dv = u · v − v du,
onde escolhemos:
∂L ∂η
u= ∂Φ
e dv = dx .
∂ ∂x
∂x
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 28

53. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Assim:
L x=L L
∂L ∂η ∂L ∂ ∂L
dx ∂Φ ∂x
= η(x, t) − dx η(x, t).
−L ∂ ∂x ∂ ∂Φ
∂x x=−L −L ∂x ∂ ∂Φ
∂x
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 28

54. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Assim:
L x=L L
∂L ∂η ∂L ∂ ∂L
dx ∂Φ ∂x
= η(x, t) − dx η(x, t).
−L ∂ ∂x ∂ ∂Φ
∂x x=−L −L ∂x ∂ ∂Φ
∂x
´ ˜
Como estamos considerando que o sistema e fechado, entao os
˜
campos na superf´cie que delimita o volume V∞ sao nulos.
ı
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 28

55. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Assim:
L x=L L
∂L ∂η ∂L ∂ ∂L
dx ∂Φ ∂x
= η(x, t) − dx η(x, t).
−L ∂ ∂x ∂ ∂Φ
∂x x=−L −L ∂x ∂ ∂Φ
∂x
´ ˜
Como estamos considerando que o sistema e fechado, entao os
˜
campos na superf´cie que delimita o volume V∞ sao nulos.
ı
Φ(± L, y, z, t; α) = 0
e
η(± L, y, z; t) = 0.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 28

56. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Portanto:
L L
∂L ∂η ∂ ∂L
dx ∂Φ
=− dx η(x, t).
−L ∂ ∂x
∂x −L ∂x ∂ ∂Φ
∂x
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 28

57. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Portanto:
L L
∂L ∂η ∂ ∂L
dx ∂Φ
=− dx η(x, t).
−L ∂ ∂x
∂x −L ∂x ∂ ∂Φ
∂x
´ ´ ¸˜
Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao a
y e z.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 28

58. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Portanto:
L L
∂L ∂η ∂ ∂L
dx ∂Φ
=− dx η(x, t).
−L ∂ ∂x
∂x −L ∂x ∂ ∂Φ
∂x
´ ´ ¸˜
Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao a
y e z.
¸˜
Tratamos em separdo o termo da integral I com a derivada em relacao
ao tempo:
tf t=tf tf
∂L ∂η ∂L ∂ ∂L
dt ∂Φ
= η(x, t) − dt η(x, t).
t0 ∂ ∂t
∂t ∂ ∂Φ
∂t t=t0 t0 ∂t ∂ ∂Φ
∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 28

59. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Portanto:
L L
∂L ∂η ∂ ∂L
dx ∂Φ
=− dx η(x, t).
−L ∂ ∂x
∂x −L ∂x ∂ ∂Φ
∂x
´ ´ ¸˜
Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao a
y e z.
¸˜
Tratamos em separdo o termo da integral I com a derivada em relacao
ao tempo:
tf t=tf tf
∂L ∂η ∂L ∂ ∂L
dt ∂Φ
= η(x, t) − dt η(x, t).
t0 ∂ ∂t
∂t ∂ ∂Φ
∂t t=t0 t0 ∂t ∂ ∂Φ
∂t
Como:
η(x, t0 ) = η(x, tf ) = 0
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 28

60. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Portanto:
L L
∂L ∂η ∂ ∂L
dx ∂Φ
=− dx η(x, t).
−L ∂ ∂x
∂x −L ∂x ∂ ∂Φ
∂x
´ ´ ¸˜
Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao a
y e z.
¸˜
Tratamos em separdo o termo da integral I com a derivada em relacao
ao tempo:
tf t=tf tf
∂L ∂η ∂L ∂ ∂L
dt ∂Φ
= η(x, t) − dt η(x, t).
t0 ∂ ∂t
∂t ∂ ∂Φ
∂t t=t0 t0 ∂t ∂ ∂Φ
∂t
Como:
tf tf
∂L η ∂ ∂L
η(x, t0 ) = η(x, tf ) = 0 ⇒ dt ∂Φ
=− dt η(x, t).
t0 ∂ ∂t
∂t t0 ∂t ∂ ∂Φ
∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 28

61. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Finalmente escrevemos a condicao de extremo da acao S como:
¸˜ ¸˜
tf
∂L ∂ ∂L ∂ ∂L
dt d3 x − − −
t0 V∞ ∂Φ ∂x ∂ ∂Φ
∂x
∂y ∂ ∂Φ
∂y
∂ ∂L ∂ ∂L
− − η(x, t) = 0.
∂z ∂ ∂Φ
∂z
∂t ∂ ∂Φ
∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 28

62. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Finalmente escrevemos a condicao de extremo da acao S como:
¸˜ ¸˜
tf
∂L ∂ ∂L ∂ ∂L
dt d3 x − − −
t0 V∞ ∂Φ ∂x ∂ ∂Φ
∂x
∂y ∂ ∂Φ
∂y
∂ ∂L ∂ ∂L
− − η(x, t) = 0.
∂z ∂ ∂Φ
∂z
∂t ∂ ∂Φ
∂t
Como este resultado tem que ser valido para qualquer configuracao
´ ¸˜
η(x, t),
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 28

63. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Finalmente escrevemos a condicao de extremo da acao S como:
¸˜ ¸˜
tf
∂L ∂ ∂L ∂ ∂L
dt d3 x − − −
t0 V∞ ∂Φ ∂x ∂ ∂Φ
∂x
∂y ∂ ∂Φ
∂y
∂ ∂L ∂ ∂L
− − η(x, t) = 0.
∂z ∂ ∂Φ
∂z
∂t ∂ ∂Φ
∂t
Como este resultado tem que ser valido para qualquer configuracao
´ ¸˜
η(x, t),
¸˜
equacao de
∂L ∂L
− ∂µ = 0.
∂Φ ∂(∂µ Φ) Euler - Lagrange
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 28

64. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´
Temos a eq. de Euler-Lagrange para campos cassicos:
∂L ∂L
− ∂µ = 0.
∂Φ ∂(∂µ Φ)
Devemos lembrar que a densidade de lagrangeana L tem que ser
um escalar de Lorentz.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 28

65. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´
Temos a eq. de Euler-Lagrange para campos cassicos:
∂L ∂L
− ∂µ = 0.
∂Φ ∂(∂µ Φ)
Devemos lembrar que a densidade de lagrangeana L tem que ser
um escalar de Lorentz.
Escrevendo explicitamente os termos da soma imp´cita na eq. de
ı
Euler-Lagrange temos:
∂L ∂ ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L
− − − − = 0.
∂Φ ∂x ∂ ∂Φ
∂x
∂y ∂ ∂Φ
∂y
∂z ∂ ∂Φ
∂z
∂t ∂ ∂Φ
∂t
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 28

66. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Modelo mais simples de campos: campo escalar livre
´
A densidade de lagrangeana do campo escalar livre e:
1 1
L(φ, ∂µ φ(x, t); x, t) = (∂µ φ(x, t))(∂ µ φ(x, t)) − m2 φ(x, t)2 ,
2 2
onde µ = 0, 1, 2, 3.
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 28

67. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Modelo mais simples de campos: campo escalar livre
´
A densidade de lagrangeana do campo escalar livre e:
1 1
L(φ, ∂µ φ(x, t); x, t) = (∂µ φ(x, t))(∂ µ φ(x, t)) − m2 φ(x, t)2 ,
2 2
onde µ = 0, 1, 2, 3.
A eq. de Euler-Lagrange
∂L ∂L
− ∂µ =0
∂φ ∂(∂µ φ)
´ ¸˜
da a equacao de movimento do campo φ(x, t).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 28

68. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´
Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrange
do campo escalar livre:
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28

69. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´
Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrange
do campo escalar livre:
1)
∂L 1 ∂
= (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2
∂φ 2 ∂φ
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28

70. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´
Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrange
do campo escalar livre:
1)
∂L 1 ∂
= (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2
∂φ 2 ∂φ
1 ∂L
= − × 2m2 φ ⇒ = −m2 φ.
2 ∂φ
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28

71. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´
Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrange
do campo escalar livre:
1)
∂L 1 ∂
= (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2
∂φ 2 ∂φ
1 ∂L
= − × 2m2 φ ⇒ = −m2 φ.
2 ∂φ
2)
∂L 1 ∂
= (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28

72. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´
Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrange
do campo escalar livre:
1)
∂L 1 ∂
= (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2
∂φ 2 ∂φ
1 ∂L
= − × 2m2 φ ⇒ = −m2 φ.
2 ∂φ
2)
∂L 1 ∂
= (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)] .
2 ∂(∂µ φ)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28

73. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
´
Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrange
do campo escalar livre:
1)
∂L 1 ∂
= (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2
∂φ 2 ∂φ
1 ∂L
= − × 2m2 φ ⇒ = −m2 φ.
2 ∂φ
2)
∂L 1 ∂
= (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)] .
2 ∂(∂µ φ)
∂L 1 ∂
⇒ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] .
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28

74. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜
Entao:
∂L 1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)] .
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28

75. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜
Entao:
∂L 1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)] .
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
2.1) seja µ = 1(x):
∂L 1 ∂
= (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ)
∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ)
+(∂3 φ) (∂ 3 φ)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28

76. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜
Entao:
∂L 1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)] .
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
2.1) seja µ = 1(x):
∂L 1 ∂
= (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ)
∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ)
+(∂3 φ) (∂ 3 φ)
1 ∂
= (∂1 φ) (∂ 1 φ) .
2 ∂(∂x φ)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28

77. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜
Entao:
∂L 1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)] .
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
2.1) seja µ = 1(x):
∂L 1 ∂
= (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ)
∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ)
+(∂3 φ) (∂ 3 φ)
1 ∂
= (∂1 φ) (∂ 1 φ) .
2 ∂(∂x φ)
Lembrando: ∂µ = (∂0 , ∇) e ∂ µ = (∂0 , −∇).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28

78. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜
Entao:
∂L 1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)] .
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
2.1) seja µ = 1(x):
∂L 1 ∂
= (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ)
∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ)
+(∂3 φ) (∂ 3 φ)
1 ∂
= (∂1 φ) (∂ 1 φ) .
2 ∂(∂x φ)
Lembrando: ∂µ = (∂0 , ∇) e ∂ µ = (∂0 , −∇). Assim:
∂L 1 ∂(∂x φ) ∂(−∂x φ)
= (−∂x φ) + ∂x (φ) .
∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) ∂(∂x φ)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28

79. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜
Entao:
∂L 1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)] .
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
2.1) seja µ = 1(x):
∂L 1 ∂
= (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ)
∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ)
+(∂3 φ) (∂ 3 φ)
1 ∂
= (∂1 φ) (∂ 1 φ) .
2 ∂(∂x φ)
Lembrando: ∂µ = (∂0 , ∇) e ∂ µ = (∂0 , −∇). Assim:
∂L 1 ∂(∂x φ) ∂(−∂x φ)
= (−∂x φ) + ∂x (φ) .
∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) ∂(∂x φ)
= −∂x (φ)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28

80. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
˜
Entao:
∂L 1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)] .
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
2.1) seja µ = 1(x):
∂L 1 ∂
= (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ)
∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ)
+(∂3 φ) (∂ 3 φ)
1 ∂
= (∂1 φ) (∂ 1 φ) .
2 ∂(∂x φ)
Lembrando: ∂µ = (∂0 , ∇) e ∂ µ = (∂0 , −∇). Assim:
∂L 1 ∂(∂x φ) ∂(−∂x φ)
= (−∂x φ) + ∂x (φ) .
∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) ∂(∂x φ)
= −∂x (φ) = ∂ 1 (φ).
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28

81. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:
∂L 1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)]
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 28

82. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:
∂L 1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)]
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
 
gνα (∂α φ)
1  ∂(∂ φ)
ν ∂( ∂ ν (φ) )
(∂ ν φ) + (∂ν φ)
 
=  
2  ∂(∂µ φ) ∂(∂µ φ) 
δνµ
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 28

83. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:
∂L 1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)]
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
 
gνα (∂α φ)
1  ∂(∂ φ)
ν ∂( ∂ ν (φ) )
(∂ ν φ) + (∂ν φ)
 
=  
2  ∂(∂µ φ) ∂(∂µ φ) 
δνµ
A definicao da delta
¸˜ de Kronecker e:
´
= 1, µ = ν
δνµ =
= 0, µ = ν
M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF)
ı C AMPOS ´
DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 28

84. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3:
∂L 1 ∂
= [(∂ν φ) (∂ ν φ)]
∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)
 
gνα (∂α φ)
1  ∂(∂ φ)
ν ∂( ∂ ν (φ) )
(∂ ν φ) + (∂ν φ)
 
=  
2  ∂(∂µ φ) ∂(∂µ φ) 
δνµ
A definicao da delta
¸˜ de Kronecker e:
´
= 1, µ = ν
δνµ =
= 0, µ = ν
Assim:
 
 
∂L 
1   1
∂(∂α φ) 
= (∂ µ φ) + (∂ν φ) gνα  = (∂ µ φ) + (∂ν φ) gνµ  .
 
∂(∂µ φ) 2  ∂(∂µ φ)  2
gµν
δαµ
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85. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Ou seja,
 
∂L 1  µ µν 
= (∂ φ) + (∂ν φ) g  .
∂(∂µ φ) 2
(∂ µ φ)
∂L
⇒ = ∂ µ (φ).
∂(∂µ φ)
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86. ´
Princ´pio de Hamilton para campos classicos
ı
Ou seja,
 
∂L 1  µ µν 
= (∂ φ) + (∂ν φ) g  .
∂(∂µ φ) 2
(∂ µ φ)
∂L
⇒ = ∂ µ (φ).
∂(∂µ φ)
Em resumo:
∂L ∂L
= −m2 φ e = ∂ µ (φ),
∂φ ∂(∂µ φ)
∂L ∂L
que substituindo na eq. de Euler- Lagrange ∂φ − ∂µ ∂(∂µ φ) =0 :
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ı C AMPOS ´
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