1. Conte´do
u
O teorema da recurs˜oa
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Referˆncias
e
T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c
Andr´ Augusto M. Silva
e
Murilo A. Vasconcelos
Paulo Cezar P. Costa
Universidade Federal de Goi´s
a
29 de Junho de 2011
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

2. Conte´do
u
O teorema da recurs˜oa
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Referˆncias
e
1 Conte´do
u
2 O teorema da recurs˜o
a
Auto-Referˆncia
e
Teorema da Recurs˜oa
Aplica¸˜es do Teorema
co
3 Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Uma teoria decid´ ıvel
Uma teoria indecid´ ıvel
Teorema da Incompletude
4 Referˆncias
e
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

3. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
Resultado matem´tico com papel importante em trabalhos
a
avan¸ados na teoria da computabilidade.
c
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

4. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
Resultado matem´tico com papel importante em trabalhos
a
avan¸ados na teoria da computabilidade.
c
Conex˜es com:
o
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

5. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
Resultado matem´tico com papel importante em trabalhos
a
avan¸ados na teoria da computabilidade.
c
Conex˜es com:
o
L´gica matem´tica;
o a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

6. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
Resultado matem´tico com papel importante em trabalhos
a
avan¸ados na teoria da computabilidade.
c
Conex˜es com:
o
L´gica matem´tica;
o a
Teoria de sistemas auto-reprodutivos;
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

7. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
Resultado matem´tico com papel importante em trabalhos
a
avan¸ados na teoria da computabilidade.
c
Conex˜es com:
o
L´gica matem´tica;
o a
Teoria de sistemas auto-reprodutivos;
V´ de computador.
ırus
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

8. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
Resultado matem´tico com papel importante em trabalhos
a
avan¸ados na teoria da computabilidade.
c
Conex˜es com:
o
L´gica matem´tica;
o a
Teoria de sistemas auto-reprodutivos;
V´ de computador.
ırus
As m´quinas podem se reproduzir?
a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

9. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
AUTO ´ uma m´quina de Turing que ignora a entrada e imprime
e a
uma c´pia de sua pr´pria descri¸˜o.
o o ca
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

10. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
AUTO ´ uma m´quina de Turing que ignora a entrada e imprime
e a
uma c´pia de sua pr´pria descri¸˜o.
o o ca
Lemma (6.1 - Sipser)
Existe uma fun¸˜o comput´vel q : Σ∗ −→ Σ∗ , onde se w ´ uma
ca a e
cadeia qualquer, q(w ) ´ a descri¸˜o de uma m´quina de Turing Pw
e ca a
que imprime w e p´ra.
a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

11. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
Demonstra¸˜o.
ca
A seguinte m´quina de Turing Q computa q(w ).
a
Q = ”Sobre a cadeia de entrada w :
1. Construa a seguinte m´quina de Turing Pw .
a
Pw = ”Sobre qualquer entrada:
1. Apague a entrada.
2. Escreva w na fita.
3. Pare.”
2. Dˆ como sa´
e ıda Pw .”
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

12. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
AUTO ser´ dividida em duas partes, A e B.
a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

13. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
AUTO ser´ dividida em duas partes, A e B.
a
A escreve a descri¸˜o de B
ca
B escreve a descri¸˜o de A
ca
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

14. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
AUTO ser´ dividida em duas partes, A e B.
a
A escreve a descri¸˜o de B
ca
B escreve a descri¸˜o de A
ca
A=P B ;
B = ”Sobre a entrada M , M uma por¸˜o de uma MT:
ca
1. Compute q( M ).
2. Combine o resultado com M para montar uma MT
completa.
3. Imprima a descri¸˜o dessa MT e pare.”
ca
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

15. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
Figura: 6.2 - Sipser - Diagrama esquem´tico de AUTO, uma m´quina
a a
que imprime sua pr´pria descri¸˜o.
o ca
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

16. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
Teorema da Recurs˜o
a
Seja T uma m´quina de Turing que computa uma fun¸˜o
a ca
t:Σ ∗ × Σ∗ −→ Σ∗ . Existe uma m´quina de Turing R que
a
computa uma fun¸˜o r : Σ∗ −→ Σ∗ , onde para todo w
ca
r (w ) = t( R , w ).
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

17. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
Teorema da Recurs˜o
a
Seja T uma m´quina de Turing que computa uma fun¸˜o
a ca
t:Σ ∗ × Σ∗ −→ Σ∗ . Existe uma m´quina de Turing R que
a
computa uma fun¸˜o r : Σ∗ −→ Σ∗ , onde para todo w
ca
r (w ) = t( R , w ).
Em outras palavras
M´quinas de Turing podem obter sua pr´pria descri¸˜o e ent˜o
a o ca a
prosseguir para computar com ela.
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

18. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
Descri¸˜o de AUTO usando o Teorema da Recurs˜o
ca a
AUTO = ”Sobre qualquer entrada:
1. Obtenha, atrav´s do teorema da recurs˜o,
e a
a pr´pria descri¸˜o AUTO .
o ca
2. Imprima AUTO .”
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

19. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
V´ de computador.
ırus
Alguns teoremas cujas provas usam o teorema da recurs˜o.
a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

20. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
AMT ´ indecid´
e ıvel
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

21. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
AMT ´ indecid´
e ıvel
Demonstra¸˜o.
ca
Assumimos que a m´quina de Turing H decide AMT , para os
a
prop´sitos de se obter uma contradi¸˜o. Constru´
o ca ımos a seguinte
m´quina B.
a
B = ”Sobre a entrada w :
1. Obtenha, atrav´s do teorema da recurs˜o, sua pr´pria
e a o
descri¸˜o B .
ca
2. Rode H sobre a entrada B, w .
3. Fa¸a o oposto do que H diz. Ou seja, aceite se H rejeita
c
e rejeite se H aceita.”
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

22. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
MINMT n˜o ´ Turing-Reconhec´
a e ıvel
Definition
Se M ´ uma m´quina de Turing, ent˜o dizemos que o
e a a
comprimento da descri¸˜o M de M ´ o n´mero de s´
ca e u ımbolos na
cadeia descrevendo M. Digamos que M ´ m´
e ınima se n˜o existe
a
m´quina de Turing equivalente a M que tenha uma descri¸˜o mais
a ca
curta. Assim,
MINMT = { M |M ´ uma MT m´
e ınima }.
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

23. Conte´do
u
Auto-Referˆncia
e
O teorema da recurs˜oa
Teorema da Recurs˜o
a
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Aplica¸˜es do Teorema
co
Referˆncias
e
MINMT n˜o ´ Turing-Reconhec´
a e ıvel
Demonstra¸˜o.
ca
A id´ia da prova ´ assumir que alguma MT E enumera MINMT
e e
para chegar a uma contradi¸˜o. Constru´
ca ımos a seguinte MT C .
C = ”Sobre a entrada w :
1. Obtenha, atrav´s do teorema da recurs˜o, sua pr´pria
e a o
descri¸˜o C .
ca
2. Rode o enumerador E at´ que uma m´quina D apare¸a
e a c
com uma descri¸˜o mais longa do que aquela de C .
ca
3. Simule D sobre a entrada w .”
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

24. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
L´gica Matem´tica
o a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

25. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
L´gica Matem´tica
o a
O que ´ um teorema?
e
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

26. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
L´gica Matem´tica
o a
O que ´ um teorema?
e
O que ´ uma prova?
e
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

27. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
L´gica Matem´tica
o a
O que ´ um teorema?
e
O que ´ uma prova?
e
O que ´ verdade?
e
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

28. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
L´gica Matem´tica
o a
O que ´ um teorema?
e
O que ´ uma prova?
e
O que ´ verdade?
e
Um algoritmo pode decidir quais enunciados s˜o verdadeiros?
a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

29. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
L´gica Matem´tica
o a
O que ´ um teorema?
e
O que ´ uma prova?
e
O que ´ verdade?
e
Um algoritmo pode decidir quais enunciados s˜o verdadeiros?
a
Todos os enunciados verdadeiros s˜o demonstr´veis?
a a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

30. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Enunciados usando {∧, ∨, , (, ), ∀, x, ∃, R1 , ..., Rk }, como:
∀q ∃p ∀x, y [p > q ∧ (x, y > 1 → xy = p)],
∀a, b, c, n [(a, b, c > 0 ∧ n > 2) → an + b n = c n ], e
∀q ∃p ∀x, y [p > q ∧ (x, y > 1 → (xy = p ∧ p + 2))].
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

31. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Definition (Modelo)
M ´ uma tupla (U, P1, ..., Pk), onde:
e
U ´ o universo
e
P1 ... Pk s˜o rela¸˜es
a co
M ´ dito um modelo de φ, se φ ´ verdadeira no modelo M.
e e
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

32. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)]
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

33. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)]
M1 = (N , ≤)
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

34. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)]
M1 = (N , ≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x]
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

35. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)]
M1 = (N , ≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x]
Verdadeiro
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

36. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)]
M1 = (N , ≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x]
Verdadeiro
M2 = (N , <)
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

37. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)]
M1 = (N , ≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x]
Verdadeiro
M2 = (N , <)
φ = ∀x∀y [x < y ∨ y < x]
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

38. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (1)
Seja φ = ∀x∀y [R1 (x, y ) ∨ R1 (y , x)]
M1 = (N , ≤)
φ = ∀x∀y [x ≤ y ∨ y ≤ x]
Verdadeiro
M2 = (N , <)
φ = ∀x∀y [x < y ∨ y < x]
Falso
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

39. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )]
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

40. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )]
Seja R1 (a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

41. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )]
Seja R1 (a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c
M4 = (N , R1 )
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

42. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )]
Seja R1 (a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c
M4 = (N , R1 )
Falso
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

43. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )]
Seja R1 (a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c
M4 = (N , R1 )
Falso
M3 = (R, R1 )
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

44. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Example (2)
Seja ψ = ∀x∃y [R1 (x, x, y )]
Seja R1 (a, b, c) = VERDADEIRO, se a + b = c
M4 = (N , R1 )
Falso
M3 = (R, R1 )
Verdadeiro
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

45. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Teoria de M
Denotada por Th(M)
Cole¸˜o das senten¸as verdadeiras na linguagem daquele
ca c
modelo
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

46. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Teoria dos n´meros ´ um dos ramos mais antigos e dif´
u e ıceis da
matem´tica.
a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

47. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Teoria dos n´meros ´ um dos ramos mais antigos e dif´
u e ıceis da
matem´tica.
a
Alonzo Church, baseado no trabalho de Kurt G¨del, mostrou
o
que nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciados
em teoria dos n´mero s˜o verdadeiros ou falsos.
u a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

48. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Teoria dos n´meros ´ um dos ramos mais antigos e dif´
u e ıceis da
matem´tica.
a
Alonzo Church, baseado no trabalho de Kurt G¨del, mostrou
o
que nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciados
em teoria dos n´mero s˜o verdadeiros ou falsos.
u a
Ou, mais formalmente, Church mostrou que Th(N , +, ×), ´
e
indecid´
ıvel.
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

49. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Teoria dos n´meros ´ um dos ramos mais antigos e dif´
u e ıceis da
matem´tica.
a
Alonzo Church, baseado no trabalho de Kurt G¨del, mostrou
o
que nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciados
em teoria dos n´mero s˜o verdadeiros ou falsos.
u a
Ou, mais formalmente, Church mostrou que Th(N , +, ×), ´
e
indecid´
ıvel.
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

50. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Teoria dos n´meros ´ um dos ramos mais antigos e dif´
u e ıceis da
matem´tica.
a
Alonzo Church, baseado no trabalho de Kurt G¨del, mostrou
o
que nenhum algoritmo pode decidir em geral se enunciados
em teoria dos n´mero s˜o verdadeiros ou falsos.
u a
Ou, mais formalmente, Church mostrou que Th(N , +, ×), ´
e
indecid´
ıvel.
Mas antes, vamos examinar uma que ´ decid´
e ıvel. Mais
precisamente, Th(N , +).
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o c

51. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +) ´ decid´
e ıvel.
Id´ia da Prova
e
Essa prova ´ uma aplica¸˜o interessante e n˜o-trivial da teoria
e ca a
dos autˆmatos finitos.
o
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o c

52. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +) ´ decid´
e ıvel.
Id´ia da Prova
e
Essa prova ´ uma aplica¸˜o interessante e n˜o-trivial da teoria
e ca a
dos autˆmatos finitos.
o
´ feito uso de uma generaliza¸˜o da solu¸˜o para o problema
E ca ca
1.32 (p´gina 93 do Sipser) onde foi pedido para mostrar que
a
eles s˜o capazes de fazer adi¸˜o se a entrada for apresentada
a ca
numa forma especial.
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o c

53. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +) ´ decid´
e ıvel.
Id´ia da Prova
e
Essa prova ´ uma aplica¸˜o interessante e n˜o-trivial da teoria
e ca a
dos autˆmatos finitos.
o
´ feito uso de uma generaliza¸˜o da solu¸˜o para o problema
E ca ca
1.32 (p´gina 93 do Sipser) onde foi pedido para mostrar que
a
eles s˜o capazes de fazer adi¸˜o se a entrada for apresentada
a ca
numa forma especial.
Damos um algoritmo que pode determinar se sua entrada,
uma senten¸a Φ na linguagem de (N , +), ´ verdadeira
c e
naquele modelo.
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o c

54. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +) ´ decid´
e ıvel.
Id´ia da Prova
e
Φ = Q1 x1 Q2 x2 ... Ql xl [ ψ ]
Φi = Qi+1 xi+1 Qi+2 xi+2 ... Ql xl [ ψ ]
Φ0 = Φ, e Φl = ψ.
Para cada i de 0 a l, o algoritmo constr´i um autˆmato finito
o o
Ai que reconhece a cole¸˜o de cadeias representando i-uplas
ca
de n´meros que tornam Φi verdadeira.
u
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o c

55. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +) ´ decid´
e ıvel.
Id´ia da Prova
e
Al constru´ diretamente usando uma generaliza¸˜o da
ıdo ca
solu¸˜o do Problema 1.32.
ca
Para cada i de l para 1, usa Ai para construir Ai−1 .
Quando tem A0 , testa se A0 aceita a cadeia vazia.
Se aceita, Φ ´ verdadeira e o algoritmo aceita.
e
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o c

56. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +) ´ decid´
e ıvel.
Demonstra¸˜o.
ca
Come¸amos definindo para i > 0:
c
Tamb´m definimos Σ0 = {[]}, onde [] ´ um s´
e e ımbolo.
Φi (a1 , ..., ai ) ´ a senten¸a obtida ap´s substituir as vari´veis
e c o a
x1 , ..., xi pelas constantes a1 , ..., ai ∈ N em Φi .
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o c

57. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +) ´ decid´
e ıvel.
Demonstra¸˜o.
ca
Sobre a entrada Φ, onde Φ ´ uma senten¸a.
e c
Escreva Φ e defina Φi para cada i de 0 a l, como na id´ia da
e
prova.
Para cada i, construa uma autˆmato finito Ai a partir de Φi
o
que aceita cadeias sobre Σ∗ correspondentes a i-uplas
i
a1 , ..., ai sempre que Φ(a1 , ..., ai ) ´ verdadeira, como se segue.
e
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o c

58. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +) ´ decid´
e ıvel.
Demonstra¸˜o.
ca
Para construir Al , observamos que Φl = ψ ´ uma combina¸˜o
e ca
booleana de f´rmulas atˆmicas, que na linguagem de
o o
Th(N , +) s˜o uma unica adi¸˜o.
a ´ ca
Autˆmatos finitos pode ser constru´
o ıdos para computar essas
rela¸˜es espec´
co ıficas e combinados para gerar o autˆmato Al .
o
Para construir Ai a partir de Ai+1 , se Φi = ∃xi+1 Φi+1 ,
constru´
ımos Ai para operar com Ai+1 , exceto que ele n˜o a
deterministicamente adivinha o valor de ai+1 .
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o c

59. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +) ´ decid´
e ıvel.
Demonstra¸˜o.
ca
Se Φi = ∀xi+1 Φi+1 , ela ´ equivalente a ∃xi+1 Φi+1 .
e
Constru´ ımos ent˜o o autˆmato finito que reconhece Ai+1 ,
a o
aplicar a constru¸˜o anterior para o quantificador existencial,
ca
e aplicar novamente a complementa¸˜o para obter Ai .
ca
O autˆmato finito A0 aceita qualquer entrada se e somente se
o
Φ0 ´ verdadeiro. Portanto o passo final do algoritmo testa se
e
A0 aceita . Se aceita, Φ ´ verdadeiro e o algoritmo aceita,
e
caso contr´rio, rejeita.
a
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o c

60. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +, ×) ´ indecid´
e ıvel.
Teorema 6.13
Th(N , +, ×) ´ indecid´
e ıvel.
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o c

61. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +, ×) ´ indecid´
e ıvel.
Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade ou
falsidade de enunciados matem´ticos.
a
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o c

62. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +, ×) ´ indecid´
e ıvel.
Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade ou
falsidade de enunciados matem´ticos.
a
Mesmo quando restrito ` linguagem de (N , +, ×).
a
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o c

63. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +, ×) ´ indecid´
e ıvel.
Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade ou
falsidade de enunciados matem´ticos.
a
Mesmo quando restrito ` linguagem de (N , +, ×).
a
Teorema de grande importˆncia filos´fica.
a o
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o c

64. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +, ×) ´ indecid´
e ıvel.
Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade ou
falsidade de enunciados matem´ticos.
a
Mesmo quando restrito ` linguagem de (N , +, ×).
a
Teorema de grande importˆncia filos´fica.
a o
Mostramos que Th(N , +, ×) ´ indecid´ reduzindo AMT
e ıvel
para ele.
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o c

65. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +, ×) ´ indecid´
e ıvel.
Nenhum algoritmo existe para decidir a veracidade ou
falsidade de enunciados matem´ticos.
a
Mesmo quando restrito ` linguagem de (N , +, ×).
a
Teorema de grande importˆncia filos´fica.
a o
Mostramos que Th(N , +, ×) ´ indecid´ reduzindo AMT
e ıvel
para ele.
A existˆncia da redu¸˜o depende do seguinte lema.
e ca
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o c

66. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +, ×) ´ indecid´
e ıvel.
Lemma (6.14 - Sipser)
Seja M uma m´quina de Turing e w uma cadeia. Podemos
a
construir a partir de M e w uma f´rmula ΦM,w na linguagem de
o
Th(N , +, ×) que cont´m uma unica vari´vel livre x, atrav´s da
e ´ a e
qual a senten¸a ∃x ΦM,w ´ verdadeira se e somente se M aceita w .
c e
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o c

67. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +, ×) ´ indecid´
e ıvel.
Id´ia da Prova
e
A f´rmula ΦM,w ”diz”que x ´ uma hist´ria de computa¸˜o de
o e o ca
aceita¸˜o de M sobre w .
ca
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o c

68. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +, ×) ´ indecid´
e ıvel.
Id´ia da Prova
e
A f´rmula ΦM,w ”diz”que x ´ uma hist´ria de computa¸˜o de
o e o ca
aceita¸˜o de M sobre w .
ca
A real constru¸˜o de ΦM,w ´ muito complicada para ser
ca e
apresentada.
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

69. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Th(N , +, ×) ´ indecid´
e ıvel.
Id´ia da Prova
e
A f´rmula ΦM,w ”diz”que x ´ uma hist´ria de computa¸˜o de
o e o ca
aceita¸˜o de M sobre w .
ca
A real constru¸˜o de ΦM,w ´ muito complicada para ser
ca e
apresentada.
Resumidamente, s´ ımbolos individuais na hist´ria de
o
computa¸˜o s˜o extra´
ca a ıdos usando as opera¸˜es + e × e ´
co e
verificado se x ´ um hist´rico de aceita¸˜o de w por M.
e o ca
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o c

70. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Kurt G¨del
o
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

71. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Kurt G¨del
o
Em qualquer sistema razo´vel de formaliza¸˜o da no¸˜o de
a ca ca
demonstrabilidade em teoria dos n´meros, alguns enunciados
u
verdadeiros s˜o indemonstr´veis.
a a
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o c

72. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Kurt G¨del
o
Em qualquer sistema razo´vel de formaliza¸˜o da no¸˜o de
a ca ca
demonstrabilidade em teoria dos n´meros, alguns enunciados
u
verdadeiros s˜o indemonstr´veis.
a a
A prova formal π de um enunciado Φ ´ uma sequˆncia de
e e
enunciados, S1 , S2 , ..., Sl , onde Sl = Φ.
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

73. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Kurt G¨del
o
Em qualquer sistema razo´vel de formaliza¸˜o da no¸˜o de
a ca ca
demonstrabilidade em teoria dos n´meros, alguns enunciados
u
verdadeiros s˜o indemonstr´veis.
a a
A prova formal π de um enunciado Φ ´ uma sequˆncia de
e e
enunciados, S1 , S2 , ..., Sl , onde Sl = Φ.
Cada Si segue dos enunciados precedentes e certos axiomas
b´sicos sobre n´meros.
a u
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o c

74. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Kurt G¨del
o
Em qualquer sistema razo´vel de formaliza¸˜o da no¸˜o de
a ca ca
demonstrabilidade em teoria dos n´meros, alguns enunciados
u
verdadeiros s˜o indemonstr´veis.
a a
A prova formal π de um enunciado Φ ´ uma sequˆncia de
e e
enunciados, S1 , S2 , ..., Sl , onde Sl = Φ.
Cada Si segue dos enunciados precedentes e certos axiomas
b´sicos sobre n´meros.
a u
Antes de seguir, para que os teoremas seguintes se verifiquem,
assumimos que a corretude de uma prova de um enunciado
pode ser verificado por uma m´quina e que o sistema de
a
provas ´ seguro.
e
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o c

75. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Teorema 6.15
A cole¸˜o de enunciados demonstr´veis em Th(N , +, ×) ´
ca a e
Turing-reconhec´
ıvel.
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

76. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Demonstra¸˜o.
ca
O seguinte algoritmo P aceita sua entrada Φ se Φ ´ demonstr´vel:
e a
Teste cada cadeia como candidato a uma prova π de Φ,
usando o verificador de provas que supomos existir.
Se ele encontra que quaisquer desses candidatos ´ uma prova,
e
ele aceita.
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o c

77. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Teorema 6.16
Algum enunciado verdadeiro em Th(N , +, ×) n˜o ´ demonstr´vel.
a e a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

78. Conte´do
u
Uma teoria decid´
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O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Demonstra¸˜o.
ca
Prova por contradi¸˜o.
ca
Assumimos que todos os enunciados verdadeiros s˜o
a
demontr´veis.
a
Descrevemos um algoritmo D que decide se enunciados s˜o
a
verdadeiros, contradizendo o Teorema 6.13.
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

79. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Teorema 6.17
A senten¸a ψindemonstravel , conforme descrita na prova deste
c
teorema, ´ indemonstr´vel.
e a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

80. Conte´do
u
Uma teoria decid´
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O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Id´ia da Prova
e
Construir uma senten¸a que diz: ”Esta senten¸a n˜o ´
c c a e
demonstr´vel”, usando o teorema da recurs˜o para obter a
a a
auto-referˆncia.
e
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

81. Conte´do
u
Uma teoria decid´
ıvel
O teorema da recurs˜oa
Uma teoria indecid´
ıvel
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Teorema da Incompletude
Referˆncias
e
Demonstra¸˜o.
ca
Seja S uma MT que opera da seguinte forma.
S = ”Sobre qualquer entrada:
1. Obtenha a pr´pria descri¸˜o S atrav´s do teorema
o ca e
da recurs˜o.
a
2. Construa a senten¸a ψ = ∃c [ΦS,0 ], usando o Lema 6.14.
c
3. Rode o algoritmo P a partir da prova do Teorema 6.15
sobre a entrada ψ.
4. Se o est´gio 3 aceita, aceite. Se ele p´ra e rejeita, rejeite.”
a a
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c

82. Conte´do
u
O teorema da recurs˜oa
Decidibilidade de teorias l´gicas
o
Referˆncias
e
Referˆncias
e
Michael Sipser.
Introduction to the Theory of Computation.
Course Technology, 2006.
Grupo 1 T´picos Avan¸ados em Computabilidade
o c