Matemática Discreta. Demonstrações

1. Em Lógica, estudamos como demonstrar a
validade de argumentos formais na forma P → Q.
Neste contexto, a validade do argumento é
absoluta (depende apenas da forma ou estrutura
do argumento e não do conteúdo ou significado
das proposições).

2. No entanto, muitas vezes queremos provar
argumentos que são verdadeiros em um determinado
contexto (para uma interpretação particular).
Queremos provar que P → Q é verdadeiro para um
contexto específico. Podemos usar fatos que
dependem do contexto como hipóteses e então
provar que o argumento é verdadeiro (Teorema).

3. Não existe uma receita para demonstração de
Teoremas. Muitas vezes, é muito difícil demonstrar
teoremas utilizando Lógica Formal.
Existem técnicas de demonstração “menos formais”:
‣ não usam elementos das lógicas proposicional e de
predicados;
‣ não são escritas passo a passo, com justificativas formais a
cada passo.
‣ os passos de dedução e raciocínio são explicados em
linguagem natural.
Entretanto, essas demonstrações podem ser descritas com
Lógica Formal.

4. Conjectura
• Podemos formular uma conjectura por
meio de raciocínio indutivo
‣ concluir algo baseado na experiência
• Podemos entender uma conjectura como
um argumento que não se sabe se é
verdadeiro ou não.

5. Teorema
• Se provamos que uma conjectura é
verdadeira, então ela se torna um Teorema.
‣ Para isso podemos usar raciocínio dedutivo
(técnicas de demonstração)
• Podemos provar que uma conjectura é falsa
encontrando um contra-exemplo (um caso
em que P é verdadeiro e Q é falso)

6. Exemplo
• Prove ou encontre um contra-exemplo
para a seguinte conjectura:
‣ “Para todo número inteiro positivo n, n! ≤ n2”.

7. Técnicas de
Demonstração

8. Sumário
• Técnicas básicas de demonstração
• Primeiro Princípio da Indução
• Segundo Princípio da Indução

9. Técnicas Básicas de
Demonstração
• Demonstração por Exaustão
• Demonstração Direta
• Demonstração por Contraposição
• Demonstração por Absurdo

10. Demonstração
Exaustiva
• Se uma conjectura é uma asserção sobre
uma coleção finita de elementos, sua
validade pode ser provada verificando-se se
ela é verdadeira para cada elemento
coleção.
‣ consiste em exaurir todos os casos possíveis.

11. Exemplo
• Prove a conjectura:
‣ “Se um inteiro entre 1 e 20 é divisível por 6,
então ele é também divisível por 3”

12. Demonstração Direta
• Consiste em supor que a hipótese P é
verdadeira e então deduzir a conclusão Q

13. Exemplo
• Prove a conjectura:
‣ Se x e y são números inteiros pares, então o
produto xy é um número inteiro par.

14. Sabemos que se z é um número inteiro par,
então existe um número inteiro k,
tal que z = 2k. (definição de um número par).
Sejam x = 2m e y = 2n,
onde m e n são inteiros.
Então xy = (2m)(2n) = 2(2mn),
onde 2mn é um inteiro.
Logo o produto xy tem a forma 2k,
onde k = 2mn é um inteiro,
e, portanto, é par, como queríamos
demonstrar

15. Contraposição
• Demonstração por contraposição consiste
na técnica de provar P → Q através da
demonstração direta de Q′ → P′.
‣ Sabemos que (Q′ → P′) → (P → Q)
‣ Q′ → P′ é a contrapositiva de (P → Q)

16. Exemplo
• Prove que a seguinte conjectura:
‣ Se n2 é ímpar, então n é ímpar.

17. n2 é ímpar → n é ímpar
A contrapositiva é:
n é par → n2 é par
Temos que n2 = nn
Como n é par, n = 2k.
Assim, n2 = 2k 2k = 2(k+k).
Portanto, n2 é par.

18. Demonstração por
Absurdo
• (P ∧ Q′ → 0) → (P → Q) é uma tautologia
• Assim, para provar a conjectura P → Q,
basta provar que P ∧ Q′ → 0
• Ou seja, em uma demonstração por
absurdo, supomos que a hipótese e a
negação da conclusão são ambas
verdadeiras e tentamos deduzir uma
contradição.

19. Exemplo
• Prove por absurdo a proposição:
‣ “Se um número somado a ele mesmo é igual a
ele mesmo, então esse número é 0.”
‣ Se x+x=x, então x=0.
‣ x+x=x → x=0

20. Proposição: x+x=x → x=0
Suponhamos P ∧ Q′ → 0:
(x+x=x) ∧ (x≠0) → 0
Ou seja, x+x=x e x é diferente de zero.
Assim, 2x=x e x≠0.
Como x≠0, podemos dividir ambos os lados da primeira
equação por x. Logo,
2x/x = x/x
2 = 1
O que é uma contradição, portando x+x=x → x=0.

21. Técnica
Abordagem para provar
P → Q
Observações
Exaustão
Demonstrar P → Q
para todos os casos.
É viável apenas para
um número finito de
casos.
Direta Suponha P, deduza Q.
Contraposição Suponha Q′, deduza P′.
Absurdo
Suponha P ∧ Q′,
chegue a uma
contradição.
Indicada para os
casos em que Q diz
que algo não é
verdade.

22. Exercício
• Prove as seguintes conjecturas:
‣ “Para todo inteiro positivo n, n2+n+1 é primo”;
‣ “Se n=25, 100 ou 169, então n é um quadrado
perfeito e também é uma soma de dois
quadrados perfeitos”;
‣ “a soma de dois inteiros ímpares é par”.

23. Exercício
• Demonstre que, dados dois números
inteiros positivos x e y,
‣ x < y se, e somente se, x2 < y2

24. Resumo
• O raciocínio indutivo é usado para formular
uma conjectura baseada na experiência.
• O raciocínio dedutivo é usado para provar
uma conjectura ou refutá-la através de um
contra-exemplo.
• Ao provar uma conjectura sobre algum
assunto, pode-se usar fatos sobre o assunto.

25. Problema?
• Demonstre que:
‣ 1+2+3+...+n = [n(n+1)]/2
• Podemos usar demonstração exaustiva ou
direta?

26. Sumário
• Técnicas básicas de demonstração
• Primeiro Princípio da Indução
• Segundo Princípio da Indução

27. Demonstre que você consegue subir até
o n-ésimo degrau de uma escada!

28. Demonstre que você consegue subir até
o n-ésimo degrau de uma escada!

29. Demonstre que você consegue subir até
o n-ésimo degrau de uma escada!
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.

30. Demonstre que você consegue subir até
o n-ésimo degrau de uma escada!
b) Estando no primeiro degrau, eu consigo
subir até o segundo.
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.

31. Demonstre que você consegue subir até
o n-ésimo degrau de uma escada!
b) Estando no primeiro degrau, eu consigo
subir até o segundo.
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
c) Estando no segundo degrau, eu consigo
subir até o terceiro.

32. Demonstre que você consegue subir até
o n-ésimo degrau de uma escada!
b) Estando no primeiro degrau, eu consigo
subir até o segundo.
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
c) Estando no segundo degrau, eu consigo
subir até o terceiro.
...

33. Demonstre que você consegue subir até
o n-ésimo degrau de uma escada!

34. Demonstre que você consegue subir até
o n-ésimo degrau de uma escada!
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.

35. Demonstre que você consegue subir até
o n-ésimo degrau de uma escada!
b) Se eu estou em algum degrau, eu
consigo subir até o próximo.
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.

36. Demonstre que você consegue subir até
o n-ésimo degrau de uma escada!
b) Se eu estou em algum degrau, eu
consigo subir até o próximo.
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
Portanto, eu consigo subir n degraus.

37. Primeiro Princípio de
Indução Matemática
P(1) ∧ (∀k)[P(k)→P(k+1)] →(∀n)P(n),
k, n são inteiros positivos
P(1) é a base da indução;
(∀k)[P(k)→P(k+1)] é o passo indutivo,
onde P(k) é a hipótese de indução.

38. Passos para demonstração
usando o primeiro princípio
indução
1. Prove a base da indução
2. Suponha P(k)
3. Prove P(k+1)

39. Exemplo
• Demonstre que:
‣ 1+2+3+...+n = [n(n+1)]/2

40. Exercício
• Usando o primeiro princípio de indução,
demonstre que:
‣ A soma dos n primeiros números ímpares é
igual a n2.
‣ Para qualquer inteiro positivo n, o número 22n-1
é divisível por 3.

41. Sumário
• Técnicas básicas de demonstração
• Primeiro Princípio da Indução
• Segundo Princípio da Indução

42. Segundo Princípio de
Indução
Se
P(1) é verdade e
(∀k)[P(r) → P(k+1), 1≤ r ≤ k,
então
(∀n)P(n)

43. • Em geral, as propriedades podem ser
demonstradas por ambas as formas de
indução. Mas, para a maioria dos problemas,
existe uma forma mais apropriada.
‣ A diferença entre as formas está apenas na
hipótese de indução
• Usamos a segunda forma quando:
‣ o problema se divide no meio ao invés de
crescer em um dos lados.
‣ o caso k+1 depende de resultados anteriores a k

44. Exemplo
• Demonstre que para n ≥ 2, n é um número
primo ou é um produto de números
primos.

45. Exemplo 2
• Prove que qualquer franquia postal, maior
ou igual a 8 centavos, pode ser obtida
usando-se selos de 3 e 5 centavos.
‣ P(n): para se obter n centavos em selos precisa-
se apenas de selos de 3 e 5 centavos (n ≥ 8)

46. Resumo
• A Indução Matemática é uma técnica para
provar propriedades de números inteiros
positivos
• Uma demonstração por indução não precisa
começar com 1.
• As propriedades podem ser demonstradas
por qualquer um dos princípios de indução,
mas uma das formas pode ser mais
apropriada em cada caso.