O documento discute transformações lineares em álgebra linear. Ele define o que é uma transformação linear e fornece um exemplo para verificar se uma transformação é linear, analisando se ela satisfaz as propriedades de adição e escalar de uma transformação linear.
7. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
O que e uma TRANSFORMAC ~AO?
1. Basicamente, e um tipo de depend^encia entre variaveis
2. De maneira mas simples, podemos fazer analogia de transformac~ao com ma-quinas,
por exemplo, uma maquina de:
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9. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
O que e uma TRANSFORMAC ~AO?
1. Basicamente, e um tipo de depend^encia entre variaveis
2. De maneira mas simples, podemos fazer analogia de transformac~ao com ma-quinas,
por exemplo, uma maquina de:
3 / 23
11. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
O que e uma TRANSFORMAC ~AO?
1. Basicamente, e um tipo de depend^encia entre variaveis
2. De maneira mas simples, podemos fazer analogia de transformac~ao com ma-quinas,
por exemplo, uma maquina de:
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15. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
TRANSFORMAC ~AO LINEAR
Sejam E, B espacos vetoriais. Uma transformac~ao linear A : E ! F, e uma
correspond^encia que associa a cada vetor v 2 E um vetor A(v) = A v = Av 2 F
de modo que valham, para quaisquer u, v 2 E e 2 R, as relac~oes:
(i) A(u + v) = Au + Av,
(ii) A( v) = Av.
O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformac~ao A.
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17. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
TRANSFORMAC ~AO LINEAR
Sejam E, B espacos vetoriais. Uma transformac~ao linear A : E ! F, e uma
correspond^encia que associa a cada vetor v 2 E um vetor A(v) = A v = Av 2 F
de modo que valham, para quaisquer u, v 2 E e 2 R, as relac~oes:
(i) A(u + v) = Au + Av,
(ii) A( v) = Av.
O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformac~ao A.
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19. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
TRANSFORMAC ~AO LINEAR
Sejam E, B espacos vetoriais. Uma transformac~ao linear A : E ! F, e uma
correspond^encia que associa a cada vetor v 2 E um vetor A(v) = A v = Av 2 F
de modo que valham, para quaisquer u, v 2 E e 2 R, as relac~oes:
(i) A(u + v) = Au + Av,
(ii) A( v) = Av.
O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformac~ao A.
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21. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
TRANSFORMAC ~AO LINEAR
Sejam E, B espacos vetoriais. Uma transformac~ao linear A : E ! F, e uma
correspond^encia que associa a cada vetor v 2 E um vetor A(v) = A v = Av 2 F
de modo que valham, para quaisquer u, v 2 E e 2 R, as relac~oes:
(i) A(u + v) = Au + Av,
(ii) A( v) = Av.
O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformac~ao A.
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23. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
TRANSFORMAC ~AO LINEAR
Sejam E, B espacos vetoriais. Uma transformac~ao linear A : E ! F, e uma
correspond^encia que associa a cada vetor v 2 E um vetor A(v) = A v = Av 2 F
de modo que valham, para quaisquer u, v 2 E e 2 R, as relac~oes:
(i) A(u + v) = Au + Av,
(ii) A( v) = Av.
O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformac~ao A.
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25. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
TRANSFORMAC ~AO LINEAR
Sejam E, B espacos vetoriais. Uma transformac~ao linear A : E ! F, e uma
correspond^encia que associa a cada vetor v 2 E um vetor A(v) = A v = Av 2 F
de modo que valham, para quaisquer u, v 2 E e 2 R, as relac~oes:
(i) A(u + v) = Au + Av,
(ii) A( v) = Av.
O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformac~ao A.
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33. nic~ao de transformac~ao linear.
Consideremos os vetores u = (a; b), v = (c; d) e o escalar 2 R. Temos que
A(u + v) = A((a; b) + (c; d))
= A(a + c; b + d)
= ((a + c) + (b + d); (a + c) (b + d))
= ((a + b) + (c + d); (a b) + (c d))
= (a + b; a b) + (c + d; c d)
= A(a; b) + A(c; d)
= A(u) + A(v)
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38. nic~ao de transformac~ao linear.
Consideremos os vetores u = (a; b), v = (c; d) e o escalar 2 R. Temos que
A(u + v) = A((a; b) + (c; d))
= A(a + c; b + d)
= ((a + c) + (b + d); (a + c) (b + d))
= ((a + b) + (c + d); (a b) + (c d))
= (a + b; a b) + (c + d; c d)
= A(a; b) + A(c; d)
= A(u) + A(v)
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43. nic~ao de transformac~ao linear.
Consideremos os vetores u = (a; b), v = (c; d) e o escalar 2 R. Temos que
A(u + v) = A((a; b) + (c; d))
= A(a + c; b + d)
= ((a + c) + (b + d); (a + c) (b + d))
= ((a + b) + (c + d); (a b) + (c d))
= (a + b; a b) + (c + d; c d)
= A(a; b) + A(c; d)
= A(u) + A(v)
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48. nic~ao de transformac~ao linear.
Consideremos os vetores u = (a; b), v = (c; d) e o escalar 2 R. Temos que
A(u + v) = A((a; b) + (c; d))
= A(a + c; b + d)
= ((a + c) + (b + d); (a + c) (b + d))
= ((a + b) + (c + d); (a b) + (c d))
= (a + b; a b) + (c + d; c d)
= A(a; b) + A(c; d)
= A(u) + A(v)
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53. nic~ao de transformac~ao linear.
Consideremos os vetores u = (a; b), v = (c; d) e o escalar 2 R. Temos que
A(u + v) = A((a; b) + (c; d))
= A(a + c; b + d)
= ((a + c) + (b + d); (a + c) (b + d))
= ((a + b) + (c + d); (a b) + (c d))
= (a + b; a b) + (c + d; c d)
= A(a; b) + A(c; d)
= A(u) + A(v)
7 / 23
58. nic~ao de transformac~ao linear.
Consideremos os vetores u = (a; b), v = (c; d) e o escalar 2 R. Temos que
A(u + v) = A((a; b) + (c; d))
= A(a + c; b + d)
= ((a + c) + (b + d); (a + c) (b + d))
= ((a + b) + (c + d); (a b) + (c d))
= (a + b; a b) + (c + d; c d)
= A(a; b) + A(c; d)
= A(u) + A(v)
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63. nic~ao de transformac~ao linear.
Consideremos os vetores u = (a; b), v = (c; d) e o escalar 2 R. Temos que
A(u + v) = A((a; b) + (c; d))
= A(a + c; b + d)
= ((a + c) + (b + d); (a + c) (b + d))
= ((a + b) + (c + d); (a b) + (c d))
= (a + b; a b) + (c + d; c d)
= A(a; b) + A(c; d)
= A(u) + A(v)
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68. nic~ao de transformac~ao linear.
Consideremos os vetores u = (a; b), v = (c; d) e o escalar 2 R. Temos que
A(u + v) = A((a; b) + (c; d))
= A(a + c; b + d)
= ((a + c) + (b + d); (a + c) (b + d))
= ((a + b) + (c + d); (a b) + (c d))
= (a + b; a b) + (c + d; c d)
= A(a; b) + A(c; d)
= A(u) + A(v)
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73. nic~ao de transformac~ao linear.
Consideremos os vetores u = (a; b), v = (c; d) e o escalar 2 R. Temos que
A(u + v) = A((a; b) + (c; d))
= A(a + c; b + d)
= ((a + c) + (b + d); (a + c) (b + d))
= ((a + b) + (c + d); (a b) + (c d))
= (a + b; a b) + (c + d; c d)
= A(a; b) + A(c; d)
= A(u) + A(v)
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78. nic~ao de transformac~ao linear.
Consideremos os vetores u = (a; b), v = (c; d) e o escalar 2 R. Temos que
A(u + v) = A((a; b) + (c; d))
= A(a + c; b + d)
= ((a + c) + (b + d); (a + c) (b + d))
= ((a + b) + (c + d); (a b) + (c d))
= (a + b; a b) + (c + d; c d)
= A(a; b) + A(c; d)
= A(u) + A(v)
7 / 23
81. cando se a transformac~ao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a; b) e o escalar 2 R, temos:
A(u) = A((a; b))
= A(a; b)
= (a + b; a b)
= ((a + b); (a b)
= (a + b; a b)
= A(a; b)
= A(u)
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84. cando se a transformac~ao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a; b) e o escalar 2 R, temos:
A(u) = A((a; b))
= A(a; b)
= (a + b; a b)
= ((a + b); (a b)
= (a + b; a b)
= A(a; b)
= A(u)
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87. cando se a transformac~ao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a; b) e o escalar 2 R, temos:
A(u) = A((a; b))
= A(a; b)
= (a + b; a b)
= ((a + b); (a b)
= (a + b; a b)
= A(a; b)
= A(u)
8 / 23
90. cando se a transformac~ao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a; b) e o escalar 2 R, temos:
A(u) = A((a; b))
= A(a; b)
= (a + b; a b)
= ((a + b); (a b)
= (a + b; a b)
= A(a; b)
= A(u)
8 / 23
93. cando se a transformac~ao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a; b) e o escalar 2 R, temos:
A(u) = A((a; b))
= A(a; b)
= (a + b; a b)
= ((a + b); (a b)
= (a + b; a b)
= A(a; b)
= A(u)
8 / 23
96. cando se a transformac~ao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a; b) e o escalar 2 R, temos:
A(u) = A((a; b))
= A(a; b)
= (a + b; a b)
= ((a + b); (a b)
= (a + b; a b)
= A(a; b)
= A(u)
8 / 23
99. cando se a transformac~ao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a; b) e o escalar 2 R, temos:
A(u) = A((a; b))
= A(a; b)
= (a + b; a b)
= ((a + b); (a b)
= (a + b; a b)
= A(a; b)
= A(u)
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102. cando se a transformac~ao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a; b) e o escalar 2 R, temos:
A(u) = A((a; b))
= A(a; b)
= (a + b; a b)
= ((a + b); (a b)
= (a + b; a b)
= A(a; b)
= A(u)
8 / 23
105. cando se a transformac~ao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a; b) e o escalar 2 R, temos:
A(u) = A((a; b))
= A(a; b)
= (a + b; a b)
= ((a + b); (a b)
= (a + b; a b)
= A(a; b)
= A(u)
8 / 23
108. cando se a transformac~ao A e linear
Agora,considerando apenas o vetor u = (a; b) e o escalar 2 R, temos:
A(u) = A((a; b))
= A(a; b)
= (a + b; a b)
= ((a + b); (a b)
= (a + b; a b)
= A(a; b)
= A(u)
8 / 23
110. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Propriedades
Seja A : E ! F uma transformac~ao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 2 E no vetor 0 2 F.
2. A(u +
115. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Propriedades
Seja A : E ! F uma transformac~ao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 2 E no vetor 0 2 F.
2. A(u +
120. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Propriedades
Seja A : E ! F uma transformac~ao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 2 E no vetor 0 2 F.
2. A(u +
125. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Propriedades
Seja A : E ! F uma transformac~ao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 2 E no vetor 0 2 F.
2. A(u +
130. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Propriedades
Seja A : E ! F uma transformac~ao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 2 E no vetor 0 2 F.
2. A(u +
135. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Propriedades
Seja A : E ! F uma transformac~ao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 2 E no vetor 0 2 F.
2. A(u +
140. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Propriedades
Seja A : E ! F uma transformac~ao linear:
1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 2 E no vetor 0 2 F.
2. A(u +
145. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Soma e Produto por Escalar
Sejam A; B : E ! F transformac~oes lineares, u 2 E e 2 R. De
146. nimos:
A soma A + B : E ! F, como: (A + B)u = Au + Bu
O Produto por Escalar A : E ! F, como: (A)u = Au
10 / 23
148. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Soma e Produto por Escalar
Sejam A; B : E ! F transformac~oes lineares, u 2 E e 2 R. De
149. nimos:
A soma A + B : E ! F, como: (A + B)u = Au + Bu
O Produto por Escalar A : E ! F, como: (A)u = Au
10 / 23
151. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Soma e Produto por Escalar
Sejam A; B : E ! F transformac~oes lineares, u 2 E e 2 R. De
152. nimos:
A soma A + B : E ! F, como: (A + B)u = Au + Bu
O Produto por Escalar A : E ! F, como: (A)u = Au
10 / 23
154. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Soma e Produto por Escalar
Sejam A; B : E ! F transformac~oes lineares, u 2 E e 2 R. De
155. nimos:
A soma A + B : E ! F, como: (A + B)u = Au + Bu
O Produto por Escalar A : E ! F, como: (A)u = Au
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157. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Mais Sobre Transformac~oes Lineares
Sejam L(E; F) o conjunto das transformac~oes lineares de E em F.
O conjunto L(E; F), munido das operac~oes de soma e produto por um escalar,
e um ESPACO VETORIAL.
Quando, E = F usaremos a notac~ao L(E) para de
158. nir o conjunto das trans-forma
c~oes lineares A : E ! E denominadas de OPERADORES LINEARES.
As transformac~oes lineares : E ! R s~ao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES.
E seu conjunto e representado por E.
O que torna as transformac~oes lineares t~ao manejaveis e que, para se conhecer
A 2 L(E; F), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetores
u 2 B, onde B e uma base de E.
Por exemplo, quando E tem dimens~ao
163. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Mais Sobre Transformac~oes Lineares
Sejam L(E; F) o conjunto das transformac~oes lineares de E em F.
O conjunto L(E; F), munido das operac~oes de soma e produto por um escalar,
e um ESPACO VETORIAL.
Quando, E = F usaremos a notac~ao L(E) para de
164. nir o conjunto das trans-forma
c~oes lineares A : E ! E denominadas de OPERADORES LINEARES.
As transformac~oes lineares : E ! R s~ao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES.
E seu conjunto e representado por E.
O que torna as transformac~oes lineares t~ao manejaveis e que, para se conhecer
A 2 L(E; F), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetores
u 2 B, onde B e uma base de E.
Por exemplo, quando E tem dimens~ao
169. a
Transformac~oes
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Mais Sobre Transformac~oes Lineares
Sejam L(E; F) o conjunto das transformac~oes lineares de E em F.
O conjunto L(E; F), munido das operac~oes de soma e produto por um escalar,
e um ESPACO VETORIAL.
Quando, E = F usaremos a notac~ao L(E) para de
170. nir o conjunto das trans-forma
c~oes lineares A : E ! E denominadas de OPERADORES LINEARES.
As transformac~oes lineares : E ! R s~ao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES.
E seu conjunto e representado por E.
O que torna as transformac~oes lineares t~ao manejaveis e que, para se conhecer
A 2 L(E; F), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetores
u 2 B, onde B e uma base de E.
Por exemplo, quando E tem dimens~ao
175. a
Transformac~oes
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Mais Sobre Transformac~oes Lineares
Sejam L(E; F) o conjunto das transformac~oes lineares de E em F.
O conjunto L(E; F), munido das operac~oes de soma e produto por um escalar,
e um ESPACO VETORIAL.
Quando, E = F usaremos a notac~ao L(E) para de
176. nir o conjunto das trans-forma
c~oes lineares A : E ! E denominadas de OPERADORES LINEARES.
As transformac~oes lineares : E ! R s~ao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES.
E seu conjunto e representado por E.
O que torna as transformac~oes lineares t~ao manejaveis e que, para se conhecer
A 2 L(E; F), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetores
u 2 B, onde B e uma base de E.
Por exemplo, quando E tem dimens~ao
181. a
Transformac~oes
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Mais Sobre Transformac~oes Lineares
Sejam L(E; F) o conjunto das transformac~oes lineares de E em F.
O conjunto L(E; F), munido das operac~oes de soma e produto por um escalar,
e um ESPACO VETORIAL.
Quando, E = F usaremos a notac~ao L(E) para de
182. nir o conjunto das trans-forma
c~oes lineares A : E ! E denominadas de OPERADORES LINEARES.
As transformac~oes lineares : E ! R s~ao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES.
E seu conjunto e representado por E.
O que torna as transformac~oes lineares t~ao manejaveis e que, para se conhecer
A 2 L(E; F), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetores
u 2 B, onde B e uma base de E.
Por exemplo, quando E tem dimens~ao
187. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
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Mais Sobre Transformac~oes Lineares
Sejam L(E; F) o conjunto das transformac~oes lineares de E em F.
O conjunto L(E; F), munido das operac~oes de soma e produto por um escalar,
e um ESPACO VETORIAL.
Quando, E = F usaremos a notac~ao L(E) para de
188. nir o conjunto das trans-forma
c~oes lineares A : E ! E denominadas de OPERADORES LINEARES.
As transformac~oes lineares : E ! R s~ao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES.
E seu conjunto e representado por E.
O que torna as transformac~oes lineares t~ao manejaveis e que, para se conhecer
A 2 L(E; F), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetores
u 2 B, onde B e uma base de E.
Por exemplo, quando E tem dimens~ao
193. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Mais Sobre Transformac~oes Lineares
Sejam L(E; F) o conjunto das transformac~oes lineares de E em F.
O conjunto L(E; F), munido das operac~oes de soma e produto por um escalar,
e um ESPACO VETORIAL.
Quando, E = F usaremos a notac~ao L(E) para de
194. nir o conjunto das trans-forma
c~oes lineares A : E ! E denominadas de OPERADORES LINEARES.
As transformac~oes lineares : E ! R s~ao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES.
E seu conjunto e representado por E.
O que torna as transformac~oes lineares t~ao manejaveis e que, para se conhecer
A 2 L(E; F), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetores
u 2 B, onde B e uma base de E.
Por exemplo, quando E tem dimens~ao
199. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Teorema 1
Sejam E; F espacos vetoriais e B uma base de E. A cada vetor u 2 B, facamos corresponder
(de maneira arbitraria) um vetor u0 2 F. Ent~ao existe uma unica transformac~ao linear
A : E ! F tal que A u = u0 para cada u 2 B.
12 / 23
201. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
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Aplicac~ao do Teorema 1
Em virtude do Teorema 1, se quisermos de
202. nir uma transformac~ao linear A : Rn !
Rm basta escolher, para cada j = 1; ; n, um vetor vj = (a1j ; a2j ; ; amj ) 2 Rm
e dizer que vj = A ej e a imagem do j-esimo vetor da base can^onica, ej =
(0; ; 1; ; 0), pela transformac~ao linear A. A partir da,
203. ca determinada a
imagem A v de qualquer vetor v = (x1; ; xn) 2 Rn.
13 / 23
205. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
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Aplicac~ao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1; ; xn)
= x1e1 + + xnen,
logo
A v = A(x1e1 + + xnen)
= A
0
@
Xn
j=1
xj ej
1
A
=
Xn
j=1
xjA ej , onde A ej = (a1j ; a2j ; ; amj )
=
Xn
j=1
(a1jxj ; a2jxj ; ; amjxj ).
14 / 23
207. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Aplicac~ao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1; ; xn)
= x1e1 + + xnen,
logo
A v = A(x1e1 + + xnen)
= A
0
@
Xn
j=1
xj ej
1
A
=
Xn
j=1
xjA ej , onde A ej = (a1j ; a2j ; ; amj )
=
Xn
j=1
(a1jxj ; a2jxj ; ; amjxj ).
14 / 23
209. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Aplicac~ao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1; ; xn)
= x1e1 + + xnen,
logo
A v = A(x1e1 + + xnen)
= A
0
@
Xn
j=1
xj ej
1
A
=
Xn
j=1
xjA ej , onde A ej = (a1j ; a2j ; ; amj )
=
Xn
j=1
(a1jxj ; a2jxj ; ; amjxj ).
14 / 23
211. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Aplicac~ao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1; ; xn)
= x1e1 + + xnen,
logo
A v = A(x1e1 + + xnen)
= A
0
@
Xn
j=1
xj ej
1
A
=
Xn
j=1
xjA ej , onde A ej = (a1j ; a2j ; ; amj )
=
Xn
j=1
(a1jxj ; a2jxj ; ; amjxj ).
14 / 23
213. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Aplicac~ao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1; ; xn)
= x1e1 + + xnen,
logo
A v = A(x1e1 + + xnen)
= A
0
@
Xn
j=1
xj ej
1
A
=
Xn
j=1
xjA ej , onde A ej = (a1j ; a2j ; ; amj )
=
Xn
j=1
(a1jxj ; a2jxj ; ; amjxj ).
14 / 23
215. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Aplicac~ao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1; ; xn)
= x1e1 + + xnen,
logo
A v = A(x1e1 + + xnen)
= A
0
@
Xn
j=1
xj ej
1
A
=
Xn
j=1
xjA ej , onde A ej = (a1j ; a2j ; ; amj )
=
Xn
j=1
(a1jxj ; a2jxj ; ; amjxj ).
14 / 23
217. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Aplicac~ao do Teorema 1
Com efeito, tem-se
v = (x1; ; xn)
= x1e1 + + xnen,
logo
A v = A(x1e1 + + xnen)
= A
0
@
Xn
j=1
xj ej
1
A
=
Xn
j=1
xjA ej , onde A ej = (a1j ; a2j ; ; amj )
=
Xn
j=1
(a1jxj ; a2jxj ; ; amjxj ).
14 / 23
227. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Matriz da Tranformac~ao Linear
O sistema acima pode ser escrito como, 2
6664
y1
y2
...
ym
3
7775
=
2
6664
a11 a21 a1n
a21 a22 a2n
...
...
...
am1 am2 amn
3
7775
2
6664
x1
x2
...
xn
3
7775
Ou ainda,
w = a v,
onde:
w = (x1; x2; ; xn) 2 Rn, v = (y1; y2; ; ym) 2 Rm
a = [aij ] 2M(m n)
16 / 23
229. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Matriz da Tranformac~ao Linear
O sistema acima pode ser escrito como, 2
6664
y1
y2
...
ym
3
7775
=
2
6664
a11 a21 a1n
a21 a22 a2n
...
...
...
am1 am2 amn
3
7775
2
6664
x1
x2
...
xn
3
7775
Ou ainda,
w = a v,
onde:
w = (x1; x2; ; xn) 2 Rn, v = (y1; y2; ; ym) 2 Rm
a = [aij ] 2M(m n)
16 / 23
231. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Matriz da Tranformac~ao Linear
O sistema acima pode ser escrito como, 2
6664
y1
y2
...
ym
3
7775
=
2
6664
a11 a21 a1n
a21 a22 a2n
...
...
...
am1 am2 amn
3
7775
2
6664
x1
x2
...
xn
3
7775
Ou ainda,
w = a v,
onde:
w = (x1; x2; ; xn) 2 Rn, v = (y1; y2; ; ym) 2 Rm
a = [aij ] 2M(m n)
16 / 23
233. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Matriz da Tranformac~ao Linear
O sistema acima pode ser escrito como, 2
6664
y1
y2
...
ym
3
7775
=
2
6664
a11 a21 a1n
a21 a22 a2n
...
...
...
am1 am2 amn
3
7775
2
6664
x1
x2
...
xn
3
7775
Ou ainda,
w = a v,
onde:
w = (x1; x2; ; xn) 2 Rn, v = (y1; y2; ; ym) 2 Rm
a = [aij ] 2M(m n)
16 / 23
235. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Matriz da Tranformac~ao Linear
O sistema acima pode ser escrito como, 2
6664
y1
y2
...
ym
3
7775
=
2
6664
a11 a21 a1n
a21 a22 a2n
...
...
...
am1 am2 amn
3
7775
2
6664
x1
x2
...
xn
3
7775
Ou ainda,
w = a v,
onde:
w = (x1; x2; ; xn) 2 Rn, v = (y1; y2; ; ym) 2 Rm
a = [aij ] 2M(m n)
16 / 23
237. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Matriz da Tranformac~ao Linear
Desta forma, uma transformac~ao linear A : Rn ! Rm
238. ca inteiramente determinada por
uma matriz a = [aij ] 2M(m n)
Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMAC ~AO A relativamente as bases
can^onicas de Rn e Rm. Tem-se
A ej =
Xn
j=1
aij ej (j = 1; n);
onde os ej est~ao em Rn e os ei em Rm.
17 / 23
240. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Matriz da Tranformac~ao Linear
Desta forma, uma transformac~ao linear A : Rn ! Rm
241. ca inteiramente determinada por
uma matriz a = [aij ] 2M(m n)
Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMAC ~AO A relativamente as bases
can^onicas de Rn e Rm. Tem-se
A ej =
Xn
j=1
aij ej (j = 1; n);
onde os ej est~ao em Rn e os ei em Rm.
17 / 23
243. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Matriz da Tranformac~ao Linear
Desta forma, uma transformac~ao linear A : Rn ! Rm
244. ca inteiramente determinada por
uma matriz a = [aij ] 2M(m n)
Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMAC ~AO A relativamente as bases
can^onicas de Rn e Rm. Tem-se
A ej =
Xn
j=1
aij ej (j = 1; n);
onde os ej est~ao em Rn e os ei em Rm.
17 / 23
246. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Matriz da Tranformac~ao Linear
Desta forma, uma transformac~ao linear A : Rn ! Rm
247. ca inteiramente determinada por
uma matriz a = [aij ] 2M(m n)
Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMAC ~AO A relativamente as bases
can^onicas de Rn e Rm. Tem-se
A ej =
Xn
j=1
aij ej (j = 1; n);
onde os ej est~ao em Rn e os ei em Rm.
17 / 23
249. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Encontrar a transformac~ao linear da rotac~ao de um ^angulo no sentido ant-horario.
18 / 23
251. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , ent~ao
x0 = r cos( +
252. )
= r cos() cos() r sen() sen()
Mas
x = r cos()
y = r sen()
Ent~ao
x0 = x cos() + y sen()
Analogamente,
y0 = x sen( + )
= r (sen() cos() + cos() sen()
= y cos() + x sen()
19 / 23
254. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , ent~ao
x0 = r cos( +
255. )
= r cos() cos() r sen() sen()
Mas
x = r cos()
y = r sen()
Ent~ao
x0 = x cos() + y sen()
Analogamente,
y0 = x sen( + )
= r (sen() cos() + cos() sen()
= y cos() + x sen()
19 / 23
257. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , ent~ao
x0 = r cos( +
258. )
= r cos() cos() r sen() sen()
Mas
x = r cos()
y = r sen()
Ent~ao
x0 = x cos() + y sen()
Analogamente,
y0 = x sen( + )
= r (sen() cos() + cos() sen()
= y cos() + x sen()
19 / 23
260. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , ent~ao
x0 = r cos( +
261. )
= r cos() cos() r sen() sen()
Mas
x = r cos()
y = r sen()
Ent~ao
x0 = x cos() + y sen()
Analogamente,
y0 = x sen( + )
= r (sen() cos() + cos() sen()
= y cos() + x sen()
19 / 23
263. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , ent~ao
x0 = r cos( +
264. )
= r cos() cos() r sen() sen()
Mas
x = r cos()
y = r sen()
Ent~ao
x0 = x cos() + y sen()
Analogamente,
y0 = x sen( + )
= r (sen() cos() + cos() sen()
= y cos() + x sen()
19 / 23
266. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , ent~ao
x0 = r cos( +
267. )
= r cos() cos() r sen() sen()
Mas
x = r cos()
y = r sen()
Ent~ao
x0 = x cos() + y sen()
Analogamente,
y0 = x sen( + )
= r (sen() cos() + cos() sen()
= y cos() + x sen()
19 / 23
269. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , ent~ao
x0 = r cos( +
270. )
= r cos() cos() r sen() sen()
Mas
x = r cos()
y = r sen()
Ent~ao
x0 = x cos() + y sen()
Analogamente,
y0 = x sen( + )
= r (sen() cos() + cos() sen()
= y cos() + x sen()
19 / 23
272. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , ent~ao
x0 = r cos( +
273. )
= r cos() cos() r sen() sen()
Mas
x = r cos()
y = r sen()
Ent~ao
x0 = x cos() + y sen()
Analogamente,
y0 = x sen( + )
= r (sen() cos() + cos() sen()
= y cos() + x sen()
19 / 23
275. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Considere o comprimente do vetor v igual a r , ent~ao
x0 = r cos( +
276. )
= r cos() cos() r sen() sen()
Mas
x = r cos()
y = r sen()
Ent~ao
x0 = x cos() + y sen()
Analogamente,
y0 = x sen( + )
= r (sen() cos() + cos() sen()
= y cos() + x sen()
19 / 23
278. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Assim,
R(x; y) = (x cos() y sen(); y cos() + x sen()
E mais,
x0
y0
=
cos() sen()
sen() cos()
x
y
Assim, a matriz de R relativa a base can^onica de R2 e
cos() sen()
sen() cos()
20 / 23
280. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Assim,
R(x; y) = (x cos() y sen(); y cos() + x sen()
E mais,
x0
y0
=
cos() sen()
sen() cos()
x
y
Assim, a matriz de R relativa a base can^onica de R2 e
cos() sen()
sen() cos()
20 / 23
282. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Assim,
R(x; y) = (x cos() y sen(); y cos() + x sen()
E mais,
x0
y0
=
cos() sen()
sen() cos()
x
y
Assim, a matriz de R relativa a base can^onica de R2 e
cos() sen()
sen() cos()
20 / 23
284. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Assim,
R(x; y) = (x cos() y sen(); y cos() + x sen()
E mais,
x0
y0
=
cos() sen()
sen() cos()
x
y
Assim, a matriz de R relativa a base can^onica de R2 e
cos() sen()
sen() cos()
20 / 23
286. a
Transformac~oes
Transformac~oes Lineares
Matriz da Transformac~ao Linear
Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario)
Assim,
R(x; y) = (x cos() y sen(); y cos() + x sen()
E mais,
x0
y0
=
cos() sen()
sen() cos()
x
y
Assim, a matriz de R relativa a base can^onica de R2 e
cos() sen()
sen() cos()
20 / 23
289. a
[1] BOLDRINI, Jose Luiz et alii. Algebra Linear. 3. ed. S~ao Paulo, Harbra, 1984.
[2] LIMA, E.L., Algebra Linear, IMPA/CNPq, Rio de Janeiro, RJ, 1995.
[3] STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Algebra Linear. 2ed. S~ao Paulo: Pearson, 1987.
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