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Movimiento oscilatorio-amortiguado (1)

  1. 1. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Laboratorio 1, FCEyN, Universidad de Buenos Aires 28 de Junio de 2014 Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  2. 2. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Introducci´on Objetivo: estudiar el movimiento de un oscilador arm´onico sometido a una fuerza de rozamiento por fricci´on con la superficie y caracterizar esa fuerza de rozamiento, calculando el coeficiente de rozamiento dinamico. La fuerza de rozamiento por fricci´on sobre una superficie tiene una direcci´on opuesta a la direcci´on de movimiento y es proporcional a la normal. M´as precisamente Froz = µd · N (1) Donde la constante adimensional µd es el coeficiente de rozamiento din´amico y N es la fuerza normal que ejerce la superficie sobre el m´ovil. Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  3. 3. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Consideramos, en particular, el caso del movimiento sobre un plano inclinado. Se tendr´a N = m · g · cos(θ) (2) Donde m es la masa del m´ovil considerado, θ es ´angulo que forma la pendiente del plano inclinado con la horizontal. Ecuaci´on diferencial del movimiento: Ecuaci´on m · d2x dt2 = −k · (x − x0) ± µd · m · g · cos(θ) + m · g · sen(θ) (3) Se ve que (3) es una ecuaci´on diferencial no homog´enea. Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  4. 4. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Introducci´on Conocemos la ecuaci´on diferencial homog´enea asociada y su respectiva soluci´on: d2x dt2 + k m · x = 0 (4) x(t) = A · cos(ωt) + B · sen(ωt) (5) Por lo cual podemos obtener la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial no homog´enea (2) como: Xg (t) = A · cos(ωt) + B · sen(ωt) + xp(t) (6) Donde xp es una soluci´on particular de (1) Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  5. 5. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Introducci´on Y de suponer que xp constante y reemplazar en la ecuaci´on diferencial obtenemos que: xp = ±µd · m · g · cos(θ) + m · g · sen(θ) k + x0 (7) donde llamaremos aI a µd · m · g · cos(θ) + m · g · sen(θ) y aII a −µd · m · g · cos(θ) + m · g · sen(θ) Por lo cual, tomando las siguientes condiciones iniciales Xg (t = 0) = x1; dXg dt (t = 0) = 0 la soluci´on general queda: Xg (t) = (x1 − aI k − x0) · cos(ωt) + ( aI k + x0) (8) Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  6. 6. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Procedimiento Experimental Instrumentos de medici´on: sensor de posici´on y sensor de fuerza. Error de apreciaci´on del sensor de fuerza: σ = 0, 01N para el sensor de fuerza. Error de apreciaci´on del sensor de posici´on:σ = 0, 0005m. Armado del dispositivo: se apoy´o un riel sobre un soporte vertical de modo que este formara un ´angulo θ con la horizontal y se dispusieron sobre ´el los sensores, el resorte y el carrito, como puede verse en la Figura 1. Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  7. 7. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Procedimiento Experimental Figura 1 : Esquema del armado del plano inclinado junto con los sensores. Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  8. 8. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Procedimiento Experimental El ´angulo de inclinaci´on se calcul´o midiendo la altura del soporte y la longitud del riel con un metro (error de apreciaci´on σ = 0, 1cm).Las masas se pesaron utilizando una balanza con un error de apreciaci´on de σ = 0, 01g. Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  9. 9. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Procedimiento experimental La posici´on y la fuerza fueron medidas durante per´ıodos de 20 segundos a una frecuencia de muestreo de 40 Hz, lo que deriv´o en un error de apreciaci´on del tiempo σt = 0, 025seg. Las mediciones se tomaron para una serie de 5 masas que se a˜nadieron al carrito (cuya masa era de 504,4 gramos): 99,99 gramos, 137,5 gramos, 199,98 gramos, 239,96 gramos, 279,94 gramos. Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  10. 10. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Resultados Figura 2 : X(t) vs t para el carrito de 504,4 gramos. Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  11. 11. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Resultados Figura 3 : F(t) vs t para el carrito de 504,4 gramos. Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  12. 12. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Resultados Figura 4 : Aceleraci´on vs posici´on para carrito de 504,4g Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  13. 13. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Resultados Se confeccionaron graficos an´alogos variando la masa del carrito. Se calcul´o en cada caso la pendiente y la ordenada al origen en cada caso. Despejando de (3) se tiene para cada grafico un K y un µ seg´un la siguiente ecuaci´on: b − k m − g · sen(θ) g · cos(θ) = µd (9) donde b es la ordenada al origen. Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  14. 14. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Resultados Figura 5 : Cuadrado de la frecuencia en funci´on de la masa. Se verifica relaci´on l´ıneal Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  15. 15. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Resultados Masa (kilogramos) k (N/m) µ 0,50440 6,20881 0,12355 0,60439 6,20035 0,15238 0,64190 6,23957 0,16598 0,70438 6,20700 0,17410 0,74436 6,23471 0,18450 Cuadro 1 : Valores de k y µ para cada masa. Se obtuvo un valor promedio para k = 6, 21809N/m (σk = 0, 1N/m) y un valor promedio para µ = 0, 1601 (σµ = 0, 03) Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  16. 16. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Resultados Se puede observar la relaci´on entre la Normal y la Fuerza de rozamiento. La pendiente de esta recta es µ. Figura 6 : Dependencia del Rozamiento con la Normal Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  17. 17. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones An´alisis y discusi´on De la Figura 2 se puede deducir el decaimiento l´ıneal de la amplitud. Esto se ajusta al modelo. En la Figura 5 se puede ver que la relaci´on entre el cuadrado de la frecuencia y el incremento de la masa puede aproximarse por una relaci´on lineal. Como es esperado se observa en la Figura 6 un crecimiento lineal de la fuerza de rozamiento en relaci´on al aumento de la normal. Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie
  18. 18. Introducci´on Procedimiento Experimental Resultados An´alisis y discusi´on Conclusiones Conclusiones Se pudo corrobar experimentalmente que la fuerza de rozamiento din´amica asociada al contacto con una superficie es directamente proporcional a la fuerza normal. Se verifico que como consecuencia de esta fuerza la amplitud de las oscilaciones decaen linealmente. Se obtuvo experimentalmente un valor para el coeficiente de rozamiento. Se calculo experimentalmente la constante de estiramiento del resorte. Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie

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