1. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on
con la superficie
Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano.
Laboratorio 1, FCEyN, Universidad de Buenos Aires
28 de Junio de 2014
Dos Santos Nazarena, Eguibar Elio y Ferro Maximiliano. Movimiento Oscilatorio amortiguado por fricci´on con la superficie

2. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Introducci´on
Objetivo: estudiar el movimiento de un oscilador arm´onico
sometido a una fuerza de rozamiento por fricci´on con la
superficie y caracterizar esa fuerza de rozamiento, calculando
el coeficiente de rozamiento dinamico.
La fuerza de rozamiento por fricci´on sobre una superficie tiene
una direcci´on opuesta a la direcci´on de movimiento y es
proporcional a la normal. M´as precisamente
Froz = µd · N (1)
Donde la constante adimensional µd es el coeficiente de
rozamiento din´amico y N es la fuerza normal que ejerce la
superficie sobre el m´ovil.
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3. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Consideramos, en particular, el caso del movimiento sobre un
plano inclinado. Se tendr´a
N = m · g · cos(θ) (2)
Donde m es la masa del m´ovil considerado, θ es ´angulo que
forma la pendiente del plano inclinado con la horizontal.
Ecuaci´on diferencial del movimiento:
Ecuaci´on
m ·
d2x
dt2
= −k · (x − x0) ± µd · m · g · cos(θ) + m · g · sen(θ) (3)
Se ve que (3) es una ecuaci´on diferencial no homog´enea.
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4. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Introducci´on
Conocemos la ecuaci´on diferencial homog´enea asociada y su
respectiva soluci´on:
d2x
dt2
+
k
m
· x = 0 (4)
x(t) = A · cos(ωt) + B · sen(ωt) (5)
Por lo cual podemos obtener la soluci´on general de la ecuaci´on
diferencial no homog´enea (2) como:
Xg (t) = A · cos(ωt) + B · sen(ωt) + xp(t) (6)
Donde xp es una soluci´on particular de (1)
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5. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Introducci´on
Y de suponer que xp constante y reemplazar en la ecuaci´on
diferencial obtenemos que:
xp =
±µd · m · g · cos(θ) + m · g · sen(θ)
k
+ x0 (7)
donde llamaremos aI a µd · m · g · cos(θ) + m · g · sen(θ) y aII a
−µd · m · g · cos(θ) + m · g · sen(θ)
Por lo cual, tomando las siguientes condiciones iniciales
Xg (t = 0) = x1;
dXg
dt (t = 0) = 0 la soluci´on general queda:
Xg (t) = (x1 −
aI
k
− x0) · cos(ωt) + (
aI
k
+ x0) (8)
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6. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Procedimiento Experimental
Instrumentos de medici´on: sensor de posici´on y sensor de
fuerza. Error de apreciaci´on del sensor de fuerza: σ = 0, 01N
para el sensor de fuerza. Error de apreciaci´on del sensor de
posici´on:σ = 0, 0005m.
Armado del dispositivo: se apoy´o un riel sobre un soporte
vertical de modo que este formara un ´angulo θ con la
horizontal y se dispusieron sobre ´el los sensores, el resorte y el
carrito, como puede verse en la Figura 1.
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7. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
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Conclusiones
Procedimiento Experimental
Figura 1 : Esquema del armado del plano inclinado junto con los
sensores.
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8. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Procedimiento Experimental
El ´angulo de inclinaci´on se calcul´o midiendo la altura del
soporte y la longitud del riel con un metro (error de apreciaci´on
σ = 0, 1cm).Las masas se pesaron utilizando una balanza con un
error de apreciaci´on de σ = 0, 01g.
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9. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Procedimiento experimental
La posici´on y la fuerza fueron medidas durante per´ıodos de 20
segundos a una frecuencia de muestreo de 40 Hz, lo que
deriv´o en un error de apreciaci´on del tiempo σt = 0, 025seg.
Las mediciones se tomaron para una serie de 5 masas que se
a˜nadieron al carrito (cuya masa era de 504,4 gramos): 99,99
gramos, 137,5 gramos, 199,98 gramos, 239,96 gramos, 279,94
gramos.
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10. Introducci´on
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Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Resultados
Figura 2 : X(t) vs t para el carrito de 504,4 gramos.
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11. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
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Resultados
Figura 3 : F(t) vs t para el carrito de 504,4 gramos.
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12. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Resultados
Figura 4 : Aceleraci´on vs posici´on para carrito de 504,4g
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13. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Resultados
Se confeccionaron graficos an´alogos variando la masa del
carrito.
Se calcul´o en cada caso la pendiente y la ordenada al origen
en cada caso.
Despejando de (3) se tiene para cada grafico un K y un µ
seg´un la siguiente ecuaci´on:
b − k
m − g · sen(θ)
g · cos(θ)
= µd (9)
donde b es la ordenada al origen.
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14. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Resultados
Figura 5 : Cuadrado de la frecuencia en funci´on de la masa. Se verifica
relaci´on l´ıneal
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15. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Resultados
Masa (kilogramos) k (N/m) µ
0,50440 6,20881 0,12355
0,60439 6,20035 0,15238
0,64190 6,23957 0,16598
0,70438 6,20700 0,17410
0,74436 6,23471 0,18450
Cuadro 1 : Valores de k y µ para cada masa.
Se obtuvo un valor promedio para k = 6, 21809N/m
(σk = 0, 1N/m) y un valor promedio para µ = 0, 1601 (σµ = 0, 03)
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16. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Resultados
Se puede observar la relaci´on entre la Normal y la Fuerza de
rozamiento. La pendiente de esta recta es µ.
Figura 6 : Dependencia del Rozamiento con la Normal
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17. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
An´alisis y discusi´on
De la Figura 2 se puede deducir el decaimiento l´ıneal de la
amplitud. Esto se ajusta al modelo.
En la Figura 5 se puede ver que la relaci´on entre el cuadrado
de la frecuencia y el incremento de la masa puede aproximarse
por una relaci´on lineal.
Como es esperado se observa en la Figura 6 un crecimiento
lineal de la fuerza de rozamiento en relaci´on al aumento de la
normal.
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18. Introducci´on
Procedimiento Experimental
Resultados
An´alisis y discusi´on
Conclusiones
Conclusiones
Se pudo corrobar experimentalmente que la fuerza de
rozamiento din´amica asociada al contacto con una superficie
es directamente proporcional a la fuerza normal.
Se verifico que como consecuencia de esta fuerza la amplitud
de las oscilaciones decaen linealmente.
Se obtuvo experimentalmente un valor para el coeficiente de
rozamiento.
Se calculo experimentalmente la constante de estiramiento del
resorte.
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