Trigonometria

E. E. E. F. M. Profª. Benvinda de Araújo Pontes – 2º ano – Ensino Médio

Introdução à Trigonometria 3. Tangente de um ângulo agudo

Trigonometria é o ramo da matemática que “Num triângulo retângulo, a tangente de um
tem por objetivo a resolução completa de triângulos, ângulo agudo é a razão entre o cateto o posto e o
ou seja, a determinação da medida de seus lados e cateto adjacente”.
seus ângulos internos, enriquecendo o estudo da c atetooposto a 
tangente de   ou
geometria plana. c atetoadj ac entea 
A palavra trigonometria e seu significado b
tg  
original: c
Trigono = triangular Exemplo: Considerando o triângulo ABC,
retângulo em A, o seno, o cosseno e a tangente de
Metria = medida
.
B
Razões trigonométricas no triângulo
20
retângulo 12
Num triângulo retângulo, podemos

estabelecer razões entre os ângulos e as medidas C 16 A
dos catetos e da hipotenusa.

Consideremos um triângulo retângulo ABC e
Observações preliminares:
um ângulo agudo  onde a, b e c são as medidas
dos lados: i) As razões seno, cosseno e tangente são
C
razões entre grandezas da mesma
a espécie e, portanto, constituem um
b número puro;

 ii) Em um triângulo retângulo sempre
B c A ocorrerá que o seno de um ângulo agudo
seja igual ao cosseno do seu
Podemos estabelecer as seguintes razões: complemento (Proposição 1)
1. Seno de um ângulo agudo Proposição 1.
“Num triângulo retângulo, o seno de um Em todo triângulo retângulo o seno de um
ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto a ângulo agudo é igual ao cosseno do seu
esse ângulo e a hipotenusa”. complemento.
c atetooposto a 
seno de   ou Proposição 2.
h ipotenusa
Em todo triângulo retângulo a tangente de um
b
s en   ângulo agudo é igual ao inverso da tangente do seu
a
complemento.
2. Cosseno de um ângulo agudo
Proposição 3.
“Num triângulo retângulo, o cosseno pediu um
A tangente de um ângulo (agudo, neste caso)
ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a
é igual à razão entre o seno e o cosseno do mesmo
esse ângulo e a hipotenusa”.
ângulo.
c atetoadj ac entea 
cos s eno de   ou, Proposição 4. (Relação Fundamental)
h ipotenus a
No triângulo ABC (pág. 1) vale a relação:
c
c os  
a sen2   c os2   1

Matemática – 2º ano – 1


Valores das razões seno, cosseno e compararmos o arco AB o com o arco u, isto é, ao
tangente de 45o, 30o e 60o determinamos quantas vezes o arco AB contém o
arco u, e estamos medindo o comprimento do arco
Na tabela abaixo são dados os valores do
o o o AB.
seno, do cosseno e da tangente de 45 , 30 e 60 :
A
o o o u
30 45 60

1 2 3
seno
2 2 2

3 2 1 B
cosseno
2 2 2
Na figura temos: AB = 5 arcos u.
3 Unidades de medida de arco
tangente 1 3
3
o
1. Grau ( )
Observação: Note que os valores do seno e Dividimos a circunferência em 360 partes
do cosseno de um ângulo agudo são sempre iguais e, a cada arco unitário que corresponde a
menores que 1 (Por quê?) 1
da circunferência, chamamos de grau.
36 0
o
Então, a circunferência mede 360 e as
Trigonometria no circulo
subunidades do grau são o minuto („) e o segundo
Definição. Arco de circunferência é um (“).
segmento qualquer da circunferência, limitado por
1 o  60 e 1  60
dois de seus pontos distintos.

2. Grado (gr)
A B
Dividimos a ser oferecem 400 partes iguais e
1
a cada arco unitário que corresponde a da
4 00
circunferência, chamamos de grado.
Os pontos A e B determinam
dois arcos e são extremidades Então, a circunferência e mede 400 grados.
dos dois

3. Radiano (rad)
.A Radiano é um arco unitário cujo comprimento
é igual ao comprimento do raio da circunferência,
na qual está contido.

Os pontos A e B coincidem, temos
então dois arcos determinados: r
um nulo e outro de uma volta. 1 rad
r
Medida de um arco
Consideremos o arco de AB e um arco Observação: Uma circunferência de raio r =
unitário u (não nulo e de mesmo raio). Ao 1 possui como medida 2  radianos ( 2  rad).



Relação entre as unidades Na Fig. 2, temos AB  BA .

Arco
Arcos côngruos
grau 90o 180o 270o 360o
grado 100 gr 200 gr 300 gr 400 gr Seja uma circunferência orientada de centro
O e um sistema cartesiano ortogonal de mesma
 3
radiano rad  r ad rad 2 r ad origem (ver figura abaixo). Convencionemos que a
2 2 orientação positiva da circunferência é a anti-horária
Para fazer a conversão entre as unidades, e que o ponto A é a origem de contagem dos arcos.
podemos utilizar a relação:
y
180o   rad B
+ sentido positivo
Exemplos: M
o
1) Converter 120 em radianos: 
C x
5 O A
2) Converter rad em graus:
4

D
Arcos orientados
Definição 1. (Circunferência orientada)
Seja, ainda, AM um arco de medida  no
Dizemos que uma circunferência está sentido positivo (anti-horário), ( 0    2  ). Note
orientada quando se fixa nela um dos sentidos que, no sentido negativo (horário), a medida de
como positivo (o outro, naturalmente, será o AM será 2    .
negativo). É habitual fixar-se o sentido anti-horário
Representamos a medida de todos os arcos x
como positivo (Fig. 1).
de mesma origem A e mesma extremidade M que
diferem entre si por um número inteiro de voltas, no
sentido horário ou no sentido anti-horário, como

. + sentido positivo segue:
x  2K   , com K  Z
A tais arcos chamamos côngruos.

Fig. 1

As Funções trigonométricas
Definição 2. (Arco orientado)
O Ciclo Trigonométrico
Arco orientado é todo arco contido em uma
circunferência orientada (Fig. 2). Chamamos ciclo trigométrico toda
circunferência orientada, em que:

i) o raio (r) é unitário (r = 1);
B
ii) o sentido positivo é o anti-horário (sentido
. + contrário ao dos ponteiros de um relógio);

A iii) o sentido negativo é o horário (sentido
dos ponteiros de um relógio).

Fig. 2



90o eixo dos senos
B + sentido positivo
B
sen x
2º Q 1º Q A E x
180o C 0o
360o 0 A
3º Q 4º Q

D  sentido negativo
270o

O ponto A é a origem do
ciclo trigonométrico. Exemplos:

1) O seno do arco de 30 é igual a 1 2 . Veja
o

Quadrantes no ciclo trigonométrico:

Os eixos cartesianos dividem o ciclo
trigonométrico em quatro ângulos, denominados
quadrantes.
1 B
Exemplos: 2 30o
1) Determinar o quadrante a que pertence o 0 A
arco de:
o
a) 36
o
b) 135
o
c) 220

d) 300
o Sinais da função seno

e) 480
o Como os valores do seno são marcados no
eixo das ordenadas (Oy), então o seno será positivo
2) Determinar em que quadrante situam-se no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º
as extremidades sos seguintes arcos: quadrantes.
o
a) -300 eixo dos senos
o
b) 1280
3
c) rad + +
4 2º Q 1º Q
11
d) rad 3º Q 4º Q
3  

A Função Seno ( y  sen x )

Definição. Considerando um arco AB, cuja Sinais
medida é o número real x, chamamos seno do arco
Quadrantes 1º 2º 3º 4º
AB o valor da ordenada do ponto B (Ver figura).
seno + + - -



Seno dos arcos notáveis função seno assume como valor mínimo
1 e como valor máximo 1:
Arco (x) sen x Im(f) = { y  IR ; 1 y 1}
0o 0
iii) O período da função seno é o número
90o ou  2 1 2  pois, a partir de 2  , a função seno
180o ou  0 repete os valores iniciais:

270o ou 3 2 1 P  2
360o ou 2 0
A Função Cosseno ( y  cos x )

Definição. Considerando um arco AB, cuja
Gráfico da função seno ( y  sen x ) medida é o número real x, chamamos cosseno do
arco AB o valor da abscissa do ponto B (Ver figura).
Para construir o gráfico da função seno,
vamos fazer uso da tabela:

x sen x eixo dos cossenos
B
0 0
x
 1
2
 0 0 cos x A
3 1
2
2 0

y
1 Exemplos:

o 3
1) O cosseno do arco de 30 é igual a .
3 2
2 2
0   x Veja no ciclo trigonométrico:
2

1

B
30o
Observações: 0 A
i) O domínio da função seno é o conjunto
dos números reais, portanto, a curva 3
continua à direita de 2  e à esquerda de 2
0:

ID(f) = IR Sinais da função cosseno
ii) O conjunto imagem da função seno é o Como os valores do cosseno são marcados
intervalo [1 , 1 ] , isto é,
no eixo das abscissas (Ox), então o cosseno será
1  sen x  1 ,  x  IR , portanto, a



positivo no 1º e 4º quadrantes e negativo no 2º e 3º y
quadrantes. 1
eixo dos cossenos 3
2 2
 + 0   x
2º Q 1º Q 2

3º Q 4º Q 1
 +


Observações:

i) O domínio da função cosseno é o
Sinais conjunto dos números reais, portanto, a
Quadrantes 1º 2º 3º 4º curva continua à direita de 2  e à
cosseno + - - + esquerda de 0:

ID(f) = IR

ii) O conjunto imagem da função cosseno é
Cosseno dos arcos notáveis o intervalo [1 , 1 ] , isto é,
1  cos x  1 ,  x  IR , portanto, a
Arco (x) cos x função cosseno assume como valor
0o 1 mínimo 1 e como valor máximo 1:

90o ou  2 0 Im(f) = { y  IR ; 1 y 1}
180o ou  1 iii) O período da função cosseno é, também,
270oou 3 2 0 o número 2  pois, a partir de 2  , a
função cosseno repete os valores iniciais:
360o ou 2 1
P  2

A Função Tangente ( y  tg x )
Gráfico da função cosseno
( y  cos x )
Considere a circunferência trigonométrica e
Para construir o gráfico da função cosseno, uma reta t paralela ao eixo dos y traçada pelo ponto
vamos fazer uso da tabela: A.
eixo das tangentes

x cos x
t
0 1
y
 0
2 T
B
 1 x tg x
3 0 +
2
2 1 0 A




Definição. Considerando um arco AB, cuja Tangente dos arcos notáveis
medida é o número real x, chamamos tangente do
arco AB ao segmento orientado AT , sobre a reta t, Arco (x) tg x
cujo ponto T é determinado pela intersecção da reta 0o 0
OB com a reta t (Ver figura).
90o ou  2 

tg x  AT
180o ou  0
Exemplos: 270o ou 3 2 

3
o
1) A tangente do arco de 30 é igual a . 360o ou 2 0
3
Veja no ciclo trigonométrico:

Gráfico da função tangente ( y  tg x )

3 Para construir o gráfico da função tangente,
T 3
B vamos fazer uso da tabela:
30o
0 x tg x
A
0 0
 

2
 0
3 

3 2
tg x  AT 
3 2 0
Sinais da função tangente
Assíntota
Como os valores da tangente são marcados
y
no eixo das tangentes (reta t), então a tangente
será positiva no 1º e 3º quadrantes e negativo no 2º
e 4º quadrantes.
t
eixo das tangentes
3
 2 2
0  x
2
 +
2º Q 1º Q

3º Q 4º Q
+ 


Observações:
Sinais
i) O domínio da função tangente é o
Quadrantes 1º 2º 3º 4º conjunto:
tangente + - + - 
ID( f )  { x  IR ; x   K, K  Z}
2



ii) O conjunto imagem da função tangente é Observação: Decorre, ainda, da definição
o intervalo aberto ( , ) , isto é, o que:
conjunto dos números reais: 1
cotg x  ,
Im(f )  ( , )  IR tg x
K
iii) O período da função tangente é o número  x  IR, x  ,K  Z.
 pois, a partir de  , a função tangente 2
repete os valores iniciais: Secante
P Representando a secante de um arco x por
sec x , por definição, temos:
1
Relação entre tangente, seno e sec x  ,
cosseno de um arco trigonométrico cos x

Da semelhança dos triângulos OMB e OAT  x  IR, x   K , K  Z .
da figura abaixo, podemos concluir que: 2
sen x  Cossecante
tg x  ,  x  IR, x   K, K  Z
cos x 2 Representando a cossecante de um arco x
por cossec x , por definição, temos:
t
1
y cossec x  ,
sen x
T
B  x IR, x  K, K  Z .
C x tg x

. . Relações trigonométricas
O M A x fundamentais
Observando o ciclo trigonométrico abaixo,
nota-se que o triângulo OMB é retângulo em M.
Além disso, MP  OC  sen x , OM  cos x e
OP  1 (raio unitário). Assim, podemos escrever:
sen2 x  cos2 x  1 ,  x  IR .

Relações entre as funções y
trigonométricas
B
Algumas relações trigonométricas de um arco C
x, atendidas certas condições de existência, são x
definidas à partir do seno ou do cosseno desse .
arco. O M A x
Cotangente
Representando a cotangente de um arco x
por cotg x , por definição, temos:
cos x
cotg x  ,
sen x
 x IR, x  K, K  Z .



Nota: Esta relação é chamada de relação 3. O arco x está no 4º quadrante, isto é,
3π
trigonométrica fundamental e a partir dela podemos 2  x  2π .
estabelecer outras duas: r
1  tg x  sec x ,
2 2
B’

( x  IR, x   K, K  Z)
2
O A
1  cotg2 x  cossec2 x ,
( x  IR, x  K, K  Z) . B

sen x   sen(2  X)
Redução ao 1º quadrante
Objetivo: Calcular o valor das funções
trigonométricas de arcos com extremidades no 2º, Procedendo de modo semelhante para o
3º e 4º quadrantes. cálculo do cosseno, estabelecemos as seguintes
relações:
Cálculo do seno de um arco x
1. cos x   cos(  x) se x está no 2º
1. O arco x está no 2º quadrante, isto é,
quadrante.

 x  .
2 2. cos x   cos(  X) se x está no 3º
quadrante.
B B’ cos x  cos(2  X) se x está no 4º

r 3.
quadrante.

A’ O A
Observações:

1. A partir destas relações estabelecidas
para o seno e para o cosseno, pode-se
sen x  sen(π  x) estabelecer relações para o cálculo da
tangente de um arco x no 2º, 3º ou 4º
quadrantes.
2. O arco x está no 3º quadrante, isto é, 2. As funções seno e cosseno são,
π  x  3π 2 . respectivamente, ímpar e par. Uma
r função f : A  B é:
B’
i. par se, e somente se, para todo
x  A , f(  x)  f( x) ;

O A ii. ímpar se, e somente se, para todo
x  A , f(  x)  f( x) .
B Assim, podemos escrever:
sen( x)  sen x
sen x   sen(  X)
e,
cos(  x)  cos x



Soma e diferença de dois arcos Cosseno do arco duplo
Consideremos dois arcos quaisquer de uma cos 2 x  cos2 x  sen2 x
circunferência trigonométrica, cujas medidas são a
e b . Podemos então escrever as seguintes
relações: Tangente do arco duplo
2  tg x
(Seno da soma) tg 2 x 
1  tg2 x
sen(a  b)  sen a  cosb  sen b  cosa

(Seno da diferença) Transformação em produto

sen(a  b)  sen a  cosb  sen b  cosa Para transformar somas e diferenças
trigonométricas em produto, utilizamos as relações
abaixo:
(Cosseno da soma) (Soma de senos)
cos(a  b)  cosa  cosb  sen a  sen b
 x  y  x  y
sen x  sen y  2  sen    c os 
 2   2 
(Cosseno da diferença)
cos(a  b)  cosa  cosb  sen a  sen b (Diferença de senos)

 x  y  x  y
sen x  sen y  2  sen    c os 
  2   2 
São válidas, ainda, para a  K ,
2
 
b  K e ab  K , K Z, as (Soma de cossenos)
2 2
 x  y  x  y
seguintes relações: c os x  c osy  2  c os   c os 
 2   2 
(Tangente da soma)
tg a  tg b
tg(a  b) 
1  tg a  tg b (Diferença de cossenos)

 x  y  x  y
c os x  c osy  2  sen    sen  
 2   2 
(Tangente da diferença)
tg a  tg b
tg(a  b) 
1  tg a  tg b
Equações trigonométricas
Equação do tipo sen x  sen a
Arco duplo
Se dois arcos x e a têm senos iguais, então
Para o cálculo do seno, do cosseno e da podemos escrever a seguinte equivalência:
tangente do arco duplo, utilizamos as relações
abaixo:  x  a  2K 

sen x  sen a  ou (K  Z)
Seno do arco duplo
 x  (   a)  2K
sen 2x  2  sen x  cos x 



Equação do tipo cos x  cosa estas relações em triângulos quaisquer utilizando a
Se dois arcos x e a têm cossenos iguais, lei dos senos e dos cossenos.

então podemos escrever a seguinte equivalência: Lei dos senos
cos x  cosa  x  a  2K (K  Z) Em um triângulo qualquer as medidas dos
lados são proporcionais aos senos dos ângulos
opostos.
Equação do tipo tg x  tg a
No triângulo ABC da figura abaixo, temos:
Se dois arcos x e a têm tangentes iguais,
a b c
então podemos escrever a seguinte equivalência:  
sen A sen B sen C
 x  a  2K 

tg x  tg a  ou (K  Z) B
 x  (   a)  2K

ou, ainda, c a
tg x  tg a  x  a  K (K  Z)
A C
b
Observações: Para resolver Algumas Observação: Como todo triângulo é
equações trigonométricas, devemos antes reduzi- inscritível em uma circunferência de raio R,
las a equações do 2º grau. Em outras, devemos podemos, ainda, escrever:
aplicar as fórmulas de transformação em produto,
a b c
apresentadas anteriormente.    2R
sen A sen B sen C
Exemplos: (Resolver dos exercícios)

Lei dos cossenos
Inequações trigonométricas
Em um triângulo qualquer, o quadrado da
Observe a seguinte questão: “Para quais medida de um lado é igual à soma dos quadrados
valores de x a função real f( x)   1  2  cos x
das medidas dos outros dois lados menos duas
é definida?”. vezes o produto das medidas desses lados pelo
Para resolvê-la, devemos lembrar que em IR cosseno do ângulo formado por eles.
a raiz quadrada existe quando o radicando é maior No triângulo ABC acima, são válidas as
ou igual a zero. Assim, para essa função ser igualdades:
definida em IR devemos ter:
ˆ
a2  b 2  c 2  2  b  c  cos A
1  2  cos x  0
ˆ
b 2  a2  c 2  2  a  c  cos B
Essa sentença matemática é um exemplo de
ˆ
c 2  a2  b 2  2  a  b  cosC
inequação trigonométrica. Vejamos como resolver
sentenças deste tipo.
B
Exemplos: (Resolver dos exercícios)

c a
Resolução de triângulos quaisquer h

As razões trigonométricas relacionam os .
A x H C
lados e os ângulos dos triângulos. Estabeleceremos
b


Teorema da área de um triângulo 3. Uma escada rolante liga dois andares de um
shopping e tem uma inclinação de 30º.
A área de um triângulo qualquer é igual à
Sabendo-se que a escada rolante tem 12
metade do produto de dois de seus lados pelo seno
metros de comprimento, calcule a altura de um
do ângulo compreendido entre esses lados.
andar para o outro.
A área S do triângulo acima pode ser
calculada por qualquer uma das relações abaixo:
12 m
1 h
S   b  c  sen A
2
30º .
ou,
1
S  a  c  sen B 4. Na construção de um telhado, foram usadas
2 telhas francesas e o “caimento” do telhado é de
ou, 20º em relação ao plano horizontal. Sabendo
que, até a laje do teto a casa tem 3 m de altura,
1
S   a  b  sen C determine a que altura se encontra o ponto
2
mais alto do telhado dessa casa. (Dados:
sen20º  0,34 , cos20º  0,94 e tg 20º  0,36 ).

4
Exercícios 20º

Razões trigonométricas no triângulo
3
retângulo
1. A torre Eiffel, a maior antes da era da televisão,
foi concluída em 31 de março de 1889. Veja a
figura e determine a altura dessa torre. 5. Uma pipa é presa a um fio esticado que forma
um ângulo de 45º com o solo. O comprimento
do fio é de 80 m. Determine a altura da pipa em
relação do chão.

85º
80 m
x
28,6 m
. 45º

2. A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob
um ângulo  , como nos mostra a figura.
6. A 100 m da base, um observador avista a
Determine a altura h da torre se:
extremidade de uma torre sob um ângulo de 60º
a)   20º com a horizontal. Qual a altura dessa torre?

b)   40º

7. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 12
h cm e um dos catetos mede 6 cm. A medida do
outro cateto é:

a) 6 2cm



b) 6 3cm g) 450º

c) 8 2cm h) 67º30‟

d) 8 3cm i) 41º15‟

2. Expresse em graus:
8. Os dois maiores lados de um triângulo
retângulo medem 12 m e 13 m. O perímetro 
a) rad
desse triângulo é: 6

a) 30 m 11
b) rad
6
b) 32 m

c) rad
c) 35 m 16
d) 36 m 
d) rad
9
4
9. Calcule o valor de x em cada item: e) rad
3
a) b) 
6 2 f) rad
3 5 20

x x 11
g) rad
2
3
c) x d) h) rad
x 5
5
3
4 17
13 i) rad
4

10. Calcule o valor de x e y em cada um dos
3. A menor determinação positiva de 4900º é:
triângulos retângulos:
a) 100º
4 b) 140º
10
y 6 x c) 40º
y
. 45º 30º . d) 80º
x
e) n.d.a.

Conversão
1. Converta em radianos:
Comprimento de arco
1. Qual é a medida, em radianos, de um arco de
a) 30º
20 cm de comprimento, contido em uma
b) 60º circunferência de raio 8 cm?
c) 100º 2. O ponteiro dos minutos de um relógio mede 10
d) 120º cm. Qual é a distância que sua extremidade
percorre em 30 minutos?
e) 150º
3. Calcule o comprimento de um arco de 120º
f) 300º
contido numa circunferência de raio 12 cm.



Arcos Côngruos 2. Calcule os valores de k para os quais existe x
nas igualdades:
1. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos
a: a) sen x  2k  1

a) 60º b) 2  sen x  2k  4

b) 240º c) sen x  1  k

c) 300º 3. Construa o gráfico e determine o período e a
imagem de cada função para x  IR .
d) 685º
a) y  sen 2x
e) – 400º
x
 b) y  sen
f) rad 4
6
3x
 c) y  3  sen
g) rad 2
6
11 4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra parte do
h) rad gráfico da função:
3
15 y
i) rad
2
2
9
j) rad
2 2 4
0 x
17
k) rad
4 –2

2. Descubra a primeira determinação positiva dos a) sen x
arcos côngruos:
x
b) 2  sen
a) 780º 2

b) 850º c) 2  sen x

c) 1140º d) 2  sen 2x

d) 1310º e) sen 2x

e) 500º
11 Função cosseno
f) rad
6
1. Calcule os valores de k para os quais existe x
10
g) rad nas igualdades:
3
a) cos x  4k  7
21
h) rad
5 b) cos x  4  2k

2. Determine os sinais de cos , cos 80º ,
9
Funções trigonométricas 10
cos 130º , cos e cos 300º .
Função seno 9

  2
1. Determine os sinais de sen , sen135º , sem 3. Calcule o valor de cos  cos 2  cos .
3 3 3
5
sen240º e sen .
3



 3
4. Sendo x
, calcule o valor de 4. Sendo tg 30º  , calcule os valores de:
7 3
sen 7x  cos14x .
a) tg 150º
5. Calcule o valor de:
b) tg 210º
3 
sen  2  sen 0  sen
y 2 2
 
cos  sen  cos2  5. Determine o período da função
2 4 3x
f ( x )  4  6  tg
2

6. Construa o gráfico de cada uma das funções,
determinando o período e a imagem. Relação entre funções trigonométricas
x
a) f( x )  cos , para 0  x  4 1. Calcule o valor de:
2
a) cotg 60º
b) f( x )  1  cos x , para 0  x  2
b) cotg1110º
c) f( x )  2  cos x , para 0  x  2
13
d) f( x )  cos x , para 0  x  2 c) sec
6
19
d) cossec
2
Função tangente
1. Determine o sinal de:
a) tg 60º 2. (UEL-PR) Para todo número real x, tal que
 sec x  tg x
b) 0  x  , a expressão é
tg 150º 2 cos x  cotg x
4 equivalente a:
c) tg
3 a) (sen x )(cotg x )
d) tg 350º
b) (sec x )(cotg x )

c) (cos x )( tg x )
2. Determine o domínio das funções: d) (sec x )( tg x )
a) y  tg 2x
e) (sen x )( tg x )
x
b) y  tg
2
 3. Determine o domínio da função real

c) f ( x )  tg  x   f ( x )  2  cotg x  tg x .
 3

d) f ( x )  4  tg 3x   
Relações trigonométricas fundamentais
12 
3. Construa o gráfico e dê o período de cada uma 1. Sabendo que cos x  , 0  x  , calcule
13 2
das funções para 0  x  2 . sen x , tg x e sec x .
a) y  tg 2x
7 3
2. Sabendo que tg x  , x , calcule as
x 24 2
b) y  tg
2 demais funções trigonométricas do arco x.



  c) sen 3285º
3. (Fuvest-SP) Se  está no intervalo 0,  e
 2 13
1 d) cossec
satisfaz sen 4  cos 4   , então o valor da 5
4
70
tangente de  é: e) sec
3
3
a) 2
5 f) tg
3
5
b)
3
cos 200º  cos 340º
2. Simplifique y  .
c)
3 sen 160º  sen 380º
7

7
d) 3. (UFRS) No círculo trigonométrico abaixo tem-se
3
  120º . O valor de OA  OB é:
5
e) 1
7 a)
2 y
1
b)
4 . B
3 7
4. Sabendo que cotg x  e que x pertence
7 2 
c) A
ao 3º quadrante, calcule sec x . 2 .
O x
sec x  cos x 3
5. (FGV-SP) A expressão é d)
cos sec x  sen x 2
equivalente a:
3
a) sec 3 x e)
4
b) sen 2 x 4. Simplifique:
c) tg3 x sen (18  x )
a) y
cos (10  x )
1
d)
tg x tg (20  x )
b) y
cotg (2  x )
1
e)
1  tg2 x sen ( 20º )
c) y
cos 380º
6. (UGF-RJ) Determine a de forma que se tenha
1 a 1
simultaneamente sen x  e cos x  .
a a 5. Calcule o valor de:
7. Sendo tg x  a  1 e cotg x  a  1, determine o sen ( 390º )  sen ( 405º )
y
valor de a. cos ( 45º )  cos ( 750º )

Redução ao 1º quadrante Soma e diferença
1. Calcule o valor das funções abaixo, consultando 1. Calcule o valor de:
a tabela trigonométrica quando necessário:
7
a) sen
a) sen 208º 12

b) cos 330º b) cos 255º



 1 3
c) cossec 2. Sendo sen x  e  x  2 , calcule
12 2 2
sen 2x , cos 2x e tg 2x .
2. (UFES) Se x  105º , então sen x é:
3. Se cotg x  2 , qual o valor de tg 2x ?
6 2 2
a)
8 4. Construa o gráfico e determine o período da
função f( x )  4  sen x  cos x .
6 3 7
b)
4 1
5. Sendo sen x  cos x  , qual o valor de

c)
3  2  3 sen 2x ?
5

8

d)
1 3  2
4 Transformação em produto
1 1. Transforme em produto:
3. Calcule cos( a  b) , para sen a  e
2
a) y  sen 40º  sen 80º
 3  
cos b  , 0a e  b  .
2 2 2 b) y  cos 70º  cos 10º
4. Calcule y  sen 105º  cos 75º . c) y  sen 8x  sen 2x

5. Calcule o valor de: d) y  cos 8x  cos 2x
a) cotg 75º

 2. Calcule o valor numérico de:
b) cotg
12
cos 30º  cos 10º
c) tg 375º E ,
sen 30º  sen 10º
6. Determine: sabendo que tg 20º  0,3 .
1
a) tg ( x  y ) , sendo tg x  1 e tg y  . 3. Mostre que:
2
cos 36º  cos 18º
b) tg ( x  y ) , sendo tg x  1 e tg y  4 . a)  tg 27º
sen 18º  sen 36º
sen 9a  sen a
b)  tg 4a
7. Sendo tg x  3 , x pertencente ao 1º quadrante, cos 9a  cos a

  cos 75º  cos 15º
calcule tg   x  . c) 1
 4  sen 75º  sen 15º

1 1
8. Dados tg a  e tg b  , calcule a medida de
2 3 1
4. Transforme em produto y  cos x   sen 2x .
a  b sabendo que 0  a  b  90º . 2

Arco Duplo Equações trigonométricas
1. Com os dados da figura, calcule sen 2x , 1. Resolva as equações em IR:
cos 2x e tg 2x .
1
a) sen x  
2
5
b) sen x  sen
10 7
8
c) sen 2x  sen x
. x



d) 2 sen x  1 2
e)
3

2. Resolva as equações em [0, 2 ] :
7. (MACK-SP) Se sen (  x )  cos (  x ) , então
3
a) sen x  x pode ser:
2
a) 
b) sen x  sen (  x )

b)
c) cossec x  2 2
  3
d) cos   3 x   sen x c)
2  4
5
d)
4
3. Determine os arcos trigonométricos cujo seno
7
tem valor: e)
4
a) máximo;

b) nulo. 8. Resolva em [0, 2 ] as equações:
4. Resolva as equações em IR:
a) sen x  sen 2x
a) 2  cos x  3 0
b) 2  sen x  3  cossec x
  sen x  cos x  1
b) 2  cos x  2  sen   x   3 c)
2 
d) tg2 x  tg x  0
c) 2  cos 5x  2  0

d) sec x  1
9. (Fuvest-SP) Ache todas as soluções da
e) tg 5x  tg 2x
equação sen 3 x  cos x  3  sen x  cos3 x  0 no
f) cotg x  3 intervalo [0, 2 ) .

10. Dadas as equações a seguir resolva-as em IR:

a) sen 6x  sen 4x  0
5. Determine o polígono que se obtém unindo-se
os pontos consecutivos da circunferência b) cos 2x  cos x  0
trigonométrica que satisfazem a equação
cos 4x  1.
11. (MACK-SP) No intervalo [0, 2 ] , o número de
6. (MACK-SP) O menor valor positivo de x para o
soluções distintas da equação
1
qual 9 cos x  é: 1  cos x
3 sen 2 x  é:
2

a) a) 0
6
 b) 1
b)
4 c) 2

c) d) 3
3
e) 4

d)
2



Inequações trigonométricas 2. Determine a medida do lado a de um triângulo
1. Resolva em [0, 2 ] as inequações: inscrito em um círculo cujo diâmetro mede 60
ˆ
cm, sabendo que m(A)  60º .
a) sen x  0
3. Num triângulo ABC, a  7 cm , b  5 cm e
b) cos x  0 ˆ
c  3 cm . Calcule a medida do ângulo A .
c) 2  sen x  2  0
4. Sendo a  1cm , b  2 cm e ˆ
m(C)  60º ,
2. Resolva em IR as inequações: calcule o lado c do triângulo ABC.

3
a) cos2 x  sen 2 x  0
2
Teorema da área de um triângulo
b) tg x  0
1. Calcule a área de um terreno de forma
3. Resolva a inequação tg2 x  tg x  0 para triangular sabendo que dois de seus lados
x  [0, 2 ] . medem 20 cm e 30 cm e o ângulo
compreendido entre esses lados é igual a 150º.
 
4. (UFRGS) No intervalo real 0,  , o conjunto
 2 2. Calcule a área de um paralelogramo cujos lados
1 medem 6 cm e 8 cm e formam um ângulo de
solução da desigualdade sen x  cos x  é:
4 150º.
   3. Calcule a área:
a) 0, 15 
 
A
  
b) 0, 12  5 cm
  120º

  
c) 0, 10  C B
  7 cm

  4. A área do paralelogramo ABCD, cujos lados
d) 0, 8  medem, respectivamente, 8 cm e 10 cm
 
formando um ângulo de 150º, é, em centímetros
  quadrados, igual a:
e) 0, 6 
 
a) 20
5. Determine o conjunto solução da inequação
b) 50
2 1  sen 2 x  1 no intervalo [0, 2 ] .
c) 40

d) 80
Resolução de triângulos quaisquer
e) 100
1. Quantos metros de arame serão gastos
5. (FGV-SP) A área do triângulo abaixo é:
aproximadamente para cercar o canteiro
representado na figura ao lado? a) 4

b) 2 1

7m c)  
2 2 1 2 2
4

d) 2 3  1 45º 30º

40º e) 3 1
3m



6. (MACK-SP) A área do triângulo ABC da figura é
25 3 .
A

30º 60º
B C

Então, supondo que 3  17 , o perímetro do
,
triângulo é:

a) 37

b) 39

c) 41

d) 43

e) 45

7. Calcule a área de um hexágono regular inscrito
em uma circunferência de 10 cm de raio.

8. (Fuvest-SP)

a) Calcule sen 15º .

b) Calcule a área do polígono regular de 24
lados inscrito no círculo de raio 1.


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