Metodo simplex metodo grafico .raiza

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Metodo simplex metodo grafico .raiza

  1. 1. 1
  2. 2. INTRODUCCIÓNLa Programación Lineal son técnicas de programación matemática pararesolver problemas de optimización de recursos, cuando existe más de unarestricción lineal.Los modelos de programación lineal que tienen sólo dosvariables de decisión se pueden resolver mediante el método gráfico.El Método Simplex de Programación Lineal es un método analítico desolución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelosmás complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricciónen el número de variables.El Método Simplex de programación lineal es un método iterativo que permiteir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejoraradica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a unvértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de lafunción objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vérticesque presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidenseGeorge Bernard Dantzig y el ruso LeonidVitalievichKantorovich, con el ánimode crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y nvariables.El Método Gráfico es poco poderoso ya queestá limitado a resolverproblemas de dos o máximo tres variables de decisión. Sin embargo, suimportanciaradica en que permite visualizar los conceptos matemáticosimplicados en la Programación Lineal.Este método es de poca importanciaen lo relacionado a una aplicación directa a problemas prácticos, debido aque los problemas prácticos significativos involucran más de dos variables. 2
  3. 3. Programación Lineal La Programación Lineal es una técnica de programación matemática pararesolver problemas de optimización de recursos, cuando existe más de unarestricción lineal. Este consiste en una serie de métodos y procedimientosque permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo,de las Ciencias Sociales. Sus características son de:  Se busca una combinación de recursos.  Se deben satisfacer varios criterios.  Se identifica un criterio como el objetivo.Restricciones y TiposLas restricciones es un conjunto de condiciones exigidas, relacionadas conlos recursos involucrados en un problema, que debe satisfacer toda solución.Y los tipos de restricciones son las siguientes:  Restricciones de Capacidad, esta se deben a la cantidad disponible de:  Equipo.  Espacio.  Mano de Obra.  Restricciones de Mercado, son límites de la cantidad de producto, ya sea un bien o servicio, que puede venderse o usarse, y puede ser:  Inferior.  Superior.  Ambos.  Restricciones de Disponibilidad, son límites ocasionados por la escasez de recursos, que pueden ser: 3
  4. 4.  Materias primas.  Financiamiento.  Fuerza de trabajo.  Otros.  Restricciones de Calidad, estas son restricciones que limitan la mezcla de ingredientes, y que por lo tanto determinan la calidad de los productos resultantes.  Restricciones de Equilibrio, esta son restricciones de tecnología de producción o equilibrio de materiales. Determinan la salida de un proceso como una función de las entradas, muchas veces con una pérdida por desperdicios.  Restricciones de Definición, estas son restricciones que definen una variable, y muchas veces provienen de definiciones contables.Análisis de Sensibilidad y Tipos Es el estudio del efecto de los cambios en los parámetros del problema,sobre la solución óptima de Programa Lineal. La importancia del análisis desensibilidad, son las siguientes:  Los modelos de Programa Lineal son con frecuencia grandes y costosos, debido a lo cual no es eficiente usarlos para un solo caso.  Los elementos que se dan como datos para un problema, muchas veces son aproximaciones, debido a lo cual es necesario examinar más de un conjunto de circunstancias. 4
  5. 5. Los tipos de análisis de sensibilidad, son los siguientes:  Sensibilidad de la Función Objetivo, la cual se dividen en las siguientes:  Cambios en los coeficientes: Determinar la gama de optimalidad para la pendiente de los parámetros de la función objetiva que mantendrá inalterable la solución óptima de un modelo determinado.  Cambios en el término independiente.  Sensibilidad de las Restricciones, la cual se dividen en las siguientes:  Cambios en los coeficientes de las restricciones.  Cambios en el término independiente de las restricciones.  Adicción de unas nuevas restricciones.  Sensibilidad de las limitaciones, la cual se dividen en las siguientes:  Cambios en la limitación de las abscisas.  Cambios en la limitación de las ordenadas.  Adición de nuevas variables.Método Simplex de Programación LinealEl método simplex de programación lineal, se han resuelto dificultades deprogramación lineal a través de un método geométrico. Este método noresulta práctico cuando el número de variables se aumenta a tres, y con másvariables resulta imposible de utilizar. Ahora se examinará una técnica 5
  6. 6. diferente, el método simplex, cuyo nombre está asociado en análisis másavanzados a un objeto geométrico al que se denomina simplex.Este método comienza con una solución posible y prueba si es o no óptima.Si no lo es, el método sigue a una mejor solución. Se dice mejor en el sentidode nueva solución no es óptima, entonces se repite el procedimiento. Enalgún momento el método simplex conduce a una solución óptima, si es queexiste la misma. También este método es eficaz, es completamente mecánico. De estamanera, no implica el uso de geometría. Esto permite resolver problemas deprogramación lineal que tiene cualquier número de restricciones y variablesdel problema.Objetivo del Método Simplex de Programación Lineal El objetivo del método simplex de programación lineal, es utilizado pararesolver problemas en todo tipo de problema reales de programación linealgeneralmente tienen variables de decisión ymuchas restricciones. Talesproblemas no pueden ser resueltos gráficamente. Se usan algoritmos talescomo los simples.El método simplex es un procedimiento iterativo queprogresivamente permiteobtener una solución óptima para los problemas deprogramación lineal.Existen numerosos programas tanto para computadoras centralescomo parapersonales. Aunque el método simples es especialmente útil en problemasdegran escala.Importanciadel Método Simplex de Programación LinealEste métodopertenece a la programaciónlineal debido a que se requiere quetodas las funciones matemáticasen este modelo sean funcionales lineales y 6
  7. 7. como sinónimode planificaciónde los recursos, es decir, un resultado quealcance la meta especificada en la mejor forma entre las alternativasfactibles.Es una técnica poderosa para tratar el problema de asignación de recursoslimitados entre actividades, así como para otros problemas que tengan unplanteamiento matemático semejante.El métodosimplex es un algoritmo, un proceso en que se repite, unprocedimiento hasta lograr el resultado, determinando un proceso dearranque y un criterio para determinar cuándodebe detenerse.El métodosimplex se ha convertido en una herramienta estándar de granimportancia para numerosas organizacionescomerciales e industriales.Además, casi cualquier organización social tiene que ver con la asignaciónde recursosen algún contexto y existe un reconocimiento creciente de laextremadamente amplia aplicabilidad de la técnica delmétodo.Este no solo aporta la soluciónóptimade las variables sino, su utilidadmáxima,y costo mínimo, sino tambiénuna gran cantidad de valiosainformacióneconómica.Por esta razónresulta de vital importancia tanto el aprender las técnicasdesolucióna travésde este métodoy ademásdominar ampliamente lainterpretaciónde resultados.Características del Método Simplex de Programación Lineal Algunas características de este método llamado simplex de programaciónlineal, son las siguientes:  Es aplicable a problemas de Programación Lineal multidimensionales. 7
  8. 8.  Tiene como base el álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordán.  Es un proceso de búsqueda que se vuelve sorprendentemente eficiente para solucionar problemas muy grandes.  Hoy en día puede aplicarse con eficiencia dad la diversidad de paquetes de software que facilitan el proceso de cálculo.Pasos del Método Simplex de Programación LinealEste proceso que se repite una y otra vez, siempre inicia en un puntoextremo de la región factible que normalmente es el origen, en cada iteraciónse mueve a otro punto extremo adyacente hasta llegar a la solución óptima.Los pasos son los siguientes:  Manejando la forma estándar, determinar una solución básica factible inicial igualando a la n-m variables iguales a cero o llamado también el origen.  Elegir la variable de entrada de las variables no básicas que al incrementar su valor pueda mejorar el valor en la función objetivo. Cuando no exista esta situación, la solución actual es la óptima; si no, ir al siguiente paso.  Elegir la variable de salida de las variables básicas actuales.  Establecer la nueva solución al hacer la variable de entrada básica y la variable de salida no básica, ir de nuevo al paso 2.Ventajas del Método Simplex de Programación Lineal Las ventajas de este método, son las siguientes: 8
  9. 9.  Es un método heurístico. Se basa enconsideraciones geométricas y norequiere el uso de derivadas de lafunción objetivo.  Es de gran eficacia incluso para ajustargran numero de parámetros.  Es fácil de implementar y usar, y sin embargo tiene una alta eficacia.  Se puede usar con funciones objetivomuy sinuosas pues en las primerasiteraciones busca el mínimo más ampliamente y evita caer en mínimoslocales fácilmente.Desventajas del Método Simplex de Programación Lineal Las desventajas de este método, son las siguientes:  Converge más lentamente que otrosmétodos puesrequiere mayor número deiteraciones.Nociones Básicos del Método Simplex de Programación Lineal Las nociones básicas de este método son las siguientes:  Forma estándar: Es la igualación de las restricciones del modelo planteado, así como el aumento de variables de holgura, o bien la resta de variables de exceso.  Forma canónica: En el método Simplex es de bastante utilidad la forma canónica, especialmente para explorar la relación de dualidad. Un problema de Programación Lineal se encuentra en la forma canónica si se cumplen las siguientes condiciones:  Para el caso de la forma canónica de maximización: 9
  10. 10.  La función objetivo debe ser de maximización.  Las restricciones son del tipo ≤.  Las variables de decisión son mayores o iguales a cero.  Para el caso de la forma canónica de la dieta:  La función objetivo es minimizada.  Las restricciones son de tipo ≥.  Las variables de decisión son mayores o iguales a cero.  Variable de holgura: Se usa para convertir en igualdad una desigualdad de tipo "≤". La igualdad se obtiene al adicionar en el lado izquierdo de la desigualdad una variable no negativa, que representa el valor que le hace falta al lado izquierdo para ser igual al lado derecho.Esta se conoce como variable de holgura, y en el caso particular en el quelas restricciones de tipo ≤ se refieren al consumo máximo de un recurso, lavariable adicionada cuantifica la cantidad sobrante de recurso al poner enejecución la solución óptima.  Variable de exceso: Se usa para convertir en igualdad una desigualdad del tipo "≥" Se realiza al restar en el lado izquierdo de la desigualdad, una variable no negativa, que representa el valor en el cual el valor del lado izquierdo excede al derecho.A esta variable la llamaremos variable de exceso y en el caso particular en elque las restricciones de tipo ≥ se refieran al contenido mínimo de uningrediente en una mezcla, la variable adicionada indica cuánto ingredienteen exceso sobre el mínimo exigido contendrá la mezcla. 10
  11. 11. Variables De Holgura Y Exceso del Método Simplex de ProgramaciónLinealEl Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restriccionesiniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ellohay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variablesdenominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hacereferencia la restricción. El tabulado final representa el "Slackor surplus" al que hacen referencialos famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estasvariables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan unrol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex.Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si larestricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".Método Gráfico de Programación LinealEl Método Gráfico es poco poderoso ya queestá limitado a resolverproblemas de dos o máximo tres variables de decisión. Sin embargo, suimportanciaradica en que permite visualizar los conceptos matemáticosimplicados en la Programación Lineal.Es un método poderoso, utilizado para resolver problemas de "n" variablesde decisión, aunque también sepuede emplear para resolver problemas dedos variables.El método gráfico para solucionar a un problema deprogramación lineal es el siguiente:  Dibuje la región factible de las restricciones.  Calcule las coordenadas de los puntos extremos. 11
  12. 12.  Sustituya las coordenadas de los puntos de esquina en la función objetiva para ver cual da el valor óptimo. Este punto da la solución del problema de programación lineal.  Si la región factible no es acotada, este método puede ser erróneo: soluciones óptimas siempre existen cuando la región factible está acotada, pero pueden no existir en el caso no acotado.  Si la región factible no es acotada, estamos minimizando una función objetiva cuyos coeficientes son no negativos, entonces existe una solución dado por este método. Para determinar si existe una solución en el caso general no acotado:  Acote la región por añadir una recta horizontal por encima del punto de esquina más arriba, y una recta vertical a la derecha del punto de esquina que esté mas hacia la derecha.  Calcule las coordenadas de los puntos nuevos de esquina que se obtiene.  Halle el punto de esquina donde ocurre el valor óptimo de la función objetiva.  Si el valor óptimo se ocurre a un punto de esquina de la región original, entonces existe la solución óptima a aquel punto.Si ocurra el valor óptimo solo a un punto nuevo de esquina, entonces elproblema de programación lineal no tiene soluciones. 12
  13. 13. Objetivo de Método Gráfico de Programación Lineal El método gráfico se utiliza para la solución de problemas deprogramación lineal, representando geométricamente a las restricciones,condiciones técnicas y el objetivo.El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables.Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico oimposible. Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema,el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan lasrestricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.Importancia de Método Gráfico de Programación Lineal La importancia de Método Gráfico de Programación Lineal, radica en quepermite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la ProgramaciónLineal.Este método es de poca importancia en lo relacionado a unaaplicación directa a problemas prácticos, debido a que los problemasprácticos significativos involucran más de dos variables.Sin embargo el propósito es aprender una idea geométrica de la naturalezadel problema, que será valiosa cuando se considere el método algebraicomás abstracto para el problema como veremos pueden ocurrir diversassituaciones diferentes en conexión con los problemas de dos variables ycada una tiene una solución para los de n variables, n>2.Características de Método Gráfico de Programación Lineal Algunas de las características de este método, llamado Método Gráfico deProgramación Lineal, son las siguientes:  La metodología para la resolución de un problema de dos variables de decisión. 13
  14. 14.  Es poco poderoso ya queestá limitado a resolver problemas de dos o máximo tres variables de decisión.  Permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la Programación Lineal.  Puede ser impráctico o imposible.Pasos de Método Gráfico de Programación Lineal Los pasos necesarios para realizar el método son los siguientes:  Ilustrar en forma de grafica las soluciones factibles, o el espacio de soluciones, que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.  Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.  El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.  Delinear cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.  Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de solucionessatisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un puntofactible. 14
  15. 15.  Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio desoluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en lacual aumenta la función objetivo.  Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante laasignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la direcciónen la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.Ventajas de Método Gráfico de Programación Lineal Las ventajas que posee este método gráfico de programación lineal, sonlas siguientes:  Fácil de aprender, ya que gran parte del proceso es materia de enseñanza media.  Conocimiento de los conceptos básicos de la programación lineal.  Facilita la comprensión de los métodos más complejos.Desventajas de Método Gráfico de Programación Lineal Las desventajas que posee este método gráfico de programación lineal,son las siguientes:  Solo resulta con modelos que tienen 2 ó 3 incógnitas.  Sólo sirve para problemas con dos variables de decisión.  La Solución para la desventaja de Método Gráfico es el Método Simplex. 15
  16. 16. CONCLUSIÓNLa programación lineal es una manera o algoritmo matemático, por el cual seresuelve un problema indefinido, expresado a través de un sistema deinecuaciones lineales, optimizando la situación objetivo, también lineal. El Método Simplex es utilizado para resolver problemas más complejos deProgramación Lineal.Es un método poderoso, utilizado para resolverproblemas de "n" variables de decisión, aunque también sepuede emplearpara resolver problemas de dos variables como lo hace el Método Gráfico. Esun conjunto de métodos muy usados para resolver problemas deprogramación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función linealsobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de inecuacioneslineales.El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas deprogramación lineal capaz de resolver modelos más complejos que losresueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número devariables.El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones delas restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de identificar el 16
  17. 17. área de soluciones factibles, cuyas soluciones que cumplen con todas lasrestricciones.La solución óptima del problema se encuentra en uno de los vértices de estaárea de soluciones creada, por lo que se buscará en estos datos el valormínimo o máximo del problema.La metodología para la resolución deunproblema de dos variables de decisión, la interpretación de la solución delproblema modelado y la observacióngráfica de cómo afectan los cambios ala solución del problema. El Método Gráfico es poco poderoso ya queestálimitado a resolver problemas de dos o máximo tres variables de decisión. BIBLIOGRAFÍA  Hamdy, H. (2004). Investigación de Operaciones. Editorial Pearson. Séptima Edición. México, D.F.  Wayne, W. (2003). Investigación de Operaciones. Cuarta Edición. México, D.F.MEDIOS ELECTRONICOS  http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_s%C3%ADmplex  http://www.investigacion-operaciones.com/SIMPLEX_analitico.htm  http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045- 01/secciones/grafico.html  http://hemaruce.angelfire.com/Metodo_Grafico.pdf  http://es.scribd.com/doc/6729799/2-Metodo-Grafico 17
  18. 18.  http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T08.pdf http://www.escuelauniversitaria.cl/apuntes/ProgramacionLineal.pdf 18

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