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Álgebra Capítulo 2 (Teoría de Conjuntos)

  1. 1. CAP´ ITULO 2NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS ´ IA2.1. NOCIONES PRIMITIVASConsideraremos tres nociones primitivas: Conjunto, Elemento y Pertenencia.Conjunto Podemos entender al conjunto como, colecci´n, grupo de objetos o cosas. Por ejemplo, oel conjunto formado por los “objetos” 1, a, casa. Denotaremos a los conjuntos con letras may´sculas A, B, etc., as´ A es el conjunto u ı,formado por los elementos: 1, a, casa.Elemento Un elemento es cualquier objeto o cosa en el conjunto. Los denotamos con letrasmin´sculas y al elemento gen´rico lo denotamos x. u ePertenencia Denotado por el s´ ımbolo ∈, relaciona las dos nociones primitivas anteriores. Si el ele-mento 1 est´ en el conjunto, anotamos: 1 ∈ A y se lee: “el elemento 1 pertenece al conjunto aA” o simplemente “1 est´ en A”. a Si el elemento x no pertenece al conjunto A, escribimos: x ∈ A. /Conjuntos por extensi´n y por comprensi´n o o Un conjunto est´ descrito por extensi´n cuando exhibimos a todos sus elementos en- a ocerrados en un par´ntesis de llave, as´ por ejemplo, A = {2, 3, 4}. e ı Un conjunto est´ descrito por comprensi´n cuando declaramos una propiedad que la a ocumplen s´lo y s´lo los elementos del conjunto, por ejemplo, el conjunto A = {2, 3, 4} o oescrito por comprensi´n es: A = {x / x ∈ N/1 < x < 5}. o 13
  2. 2. 14 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Naturalmente que tambi´n podemos anotarlo: A = {x / x ∈ N / 2 ≤ x ≤ 4}, eA = {x / x ∈ N / 1 < x ≤ 4}, ´ A = {x / x ∈ N / 2 ≤ x < 5}. o2.2. IGUALDAD DE CONJUNTOSDefinici´n 2.2.1. Sean A y B conjuntos, decimos que A es subconjunto de B, lo que odenotamos A ⊆ B si y s´lo si “todos los elementos de A son tambi´n elementos de B”, es o edecir, A ⊆ B ⇔ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B].Ejemplo 2.2.1. Demuestre que A ⊆ A ∀ A (propiedad refleja).Soluci´n. Como ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ A, concluimos que A ⊆ A. oEjemplo 2.2.2. Demuestre que [A ⊆ B ∧ B ⊆ C] ⇒ A ⊆ C ∀ A, B, C (transitividad).Soluci´n. o [A ⊆ B ∧ B ⊆ C] ⇒ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B] ∧ [∀ x : x ∈ B ⇒ x ∈ C] ⇒ ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ C,de donde A ⊆ C.Observaci´n 2.2.1. A no es subconjunto de B, lo que denotamos A ⊂ B si y s´lo si “existe o oalg´n elemento en A que no est´ en B” es decir u a A ⊂ B ⇔ ∃ x : x ∈ A ∧ x ∈ B. /Definici´n 2.2.2. Decimos que los conjuntos A y B son iguales, lo que denotamos A = B osi y s´lo si “todos los elementos de A son elementos de B y todos los elementos de B son oelementos de A”, es decir A = B ⇔ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B] ∧ [∀ x : x ∈ B ⇒ x ∈ A] ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.2.3. ALGUNOS CONJUNTOS IMPORTANTESConjunto Vac´ ıo Sea A un conjunto, entonces {x / x ∈ A∧x ∈ A} es un conjunto que no tiene elementos, /lo denotamos ∅A y es el conjunto “vac´ de A”. ıoProposici´n 2.3.1. ∅A ⊆ A , ∀ A. o
  3. 3. CAP´ ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS ´ IA 15Demostraci´n. La realizaremos por reducci´n al absurdo. Supongamos que ∅A no es sub- o oconjunto de A, entonces ∃ x : x ∈ ∅A ∧ x ∈ A, esto constituye una contradicci´n ya que el / oconjunto ∅A no tiene elementos, entonces debe ocurrir que ∅A ⊆ A.Observaci´n 2.3.1. Note el uso de [p ⇒ (q ∧ (∼ q))] ⇒∼ p donde p : ∅A ⊂ A. oProposici´n 2.3.2. ∅A = ∅B , ∀ A, B. oDemostraci´n. Se debe demostrar que 1) ∅A ⊆ ∅B y 2) ∅B ⊆ ∅A . o 1) As´ es, ya que si no es cierto, es decir, si ∅A no es subconjunto de ∅B , debe exis- ı tir al menos un elemento que pertenezca a ∅A y que no est´ en ∅B ; esto es una a contradicci´n, por lo que ∅A ⊆ ∅B . o 2) De manera an´loga, ∅B ⊆ ∅A . aPor 1) y 2) concluimos que ∅A = ∅B .Observaci´n 2.3.2. Como todos los “vac´ o ıos” son iguales, denotamos simplemente ∅.Conjunto Unitario Es aquel conjunto que tiene un unico elemento. Se lee como, el unitario del elemento. ´Ejemplo 2.3.1. A = {x / x ∈ N , 3 < x < 5} = {4} se lee “el unitario del 4”.Conjunto Universal U Se puede demostrar que no existe un conjunto universo que contenga a todos losconjuntos (Paradoja de Russel), en cambio existe un conjunto universo de referencia,denotado U . As´ por ejemplo, para los conjuntos A = {2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 9}, el conjunto ıuniversal podr´ ser U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. ıa2.4. OPERACIONES CON CONJUNTOS2.4.1. Uni´n de Conjuntos o Sean A y B conjuntos en U , definimos la uni´n de A con B, denotada A ∪ B que se olee “A uni´n B” como el conjunto tal que o A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}.
  4. 4. 16 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIAObservaci´n 2.4.1. o 1. En un diagrama de Venn-Euler tenemos U A B A∪B 2. x ∈ P ∪ Q ⇒ x ∈ P ∨ x ∈ Q. x ∈ M ∨ x ∈ N ⇒ x ∈ M ∪ N.Propiedades 1) A ∪ A = A, ∀ A ∈ U (Idempotencia). 2) A ∪ B = B ∪ A, ∀ A, B ∈ U (Conmutatividad). 3) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), ∀ A, B, C ∈ U (Asociatividad). 4) A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U, ∀ A ∈ U . 5) A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.Demostraci´n. o 2) Se debe demostrar que: a) A ∪ B ⊆ B ∪ A y b) B ∪ A ⊆ A ∪ B. a) Sea x ∈ A ∪ B, debemos demostrar que x ∈ B ∪ A x∈A∪B ⇒x∈A∨x∈B ⇒x∈B∨x∈A⇒x∈B∪A de donde A ∪ B ⊆ B ∪ A. b) Sea x ∈ B ∪ A, debemos demostrar que x ∈ A ∪ B x∈B∪A⇒x∈B∨x∈A⇒x∈A∨x∈B ⇒x∈A∪B de donde B ∪ A ⊆ A ∪ B. Por a) y b) concluimos que A ∪ B = B ∪ A. Notemos el uso de la tautolog´ p ⇔ q ∨ p. ıa
  5. 5. CAP´ ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS ´ IA 17 5) Se debe demostrar que a) A ∪ B ⊆ B y que b) B ⊆ A ∪ B. a) Sea x ∈ A ∪ B, debemos demostrar que x ∈ B, x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B. Si x ∈ A ⇒ x ∈ B (por hip´tesis A ⊆ B). o Si x ∈ B ⇒ x ∈ B; esto indica que en todo caso x ∈ B, de donde A ∪ B ⊆ B. b) Sea x ∈ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B, as´ B ⊆ A ∪ B. ı Por a) y b) A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B. En la parte b) de la demostraci´n usamos la tautolog´ p ⇒ q ∨ p. o ıa2.4.2. Intersecci´n de Conjuntos o Sean A y B conjuntos en U , definimos la intersecci´n de A con B, denotada A ∩ B, oque se lee “A intersecci´n B” como el conjunto tal que A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}. oObservaci´n 2.4.2. o 1. En un diagrama de Venn-Euler tenemos U A B A∩B 2. x ∈ P ∩ Q ⇒ x ∈ P ∧ x ∈ Q. x ∈ M ∧ x ∈ N ⇒ x ∈ M ∩ N.Propiedades 1) A ∩ A = A, ∀ A ∈ U (Idempotencia). 2) A ∩ B = B ∩ A, ∀ A, B ∈ U (Conmutatividad). 3) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), ∀ A, B, C ∈ U (Asociatividad). 4) A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A, ∀ A ∈ U .
  6. 6. 18 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA 5) A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A.Demostraci´n. o 3) Por demostrar que a) (A ∩ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∩ C) y b) A ∩ (B ∩ C) ⊆ (A ∩ B) ∩ C. a) Sea x ∈ (A ∩ B) ∩ C, debemos demostrar que x ∈ A ∩ (B ∩ C), x ∈ (A ∩ B) ∩ C ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C ⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∩ C. Concluimos que (A ∩ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∩ C). b) Sea x ∈ A ∩ (B ∩ C), se debe demostrar que x ∈ (A ∩ B) ∩ C, x ∈ A ∩ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C ⇒ x∈A∩B∧x∈C ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∩ C. Concluimos que A ∩ (B ∩ C) ⊆ (A ∩ B) ∩ C. Por a) y b) se deduce que A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. 4) Debe cumplirse que A ∩ ∅ = ∅ ya que si no es as´ es decir, si A ∩ ∅ = ∅ entonces ı, existe al menos un elemento en A ∩ ∅. Esto constituye una contradicci´n dado que o el conjunto vac´ no tiene elementos. ıo2.4.3. Diferencia de Conjuntos Sean A y B conjuntos en U , definimos la diferencia de A con B, denotada A − B, quese lee “A menos B” como el conjunto tal que A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}. /
  7. 7. CAP´ ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS ´ IA 19Observaci´n 2.4.3. o 1. En un diagrama de Venn-Euler tenemos U A B A−B 2. x ∈ P − Q ⇒ x ∈ P ∧ x ∈ Q. / x∈M ∧x∈N ⇒x∈M −N / 3. En general, la diferencia no es idempotente, es decir, A − A = A. En general, la diferencia no es conmutativa, es decir, A − B = B − A.2.4.4. Complemento de un Conjunto Sea A un conjunto en U , definimos el complemento de A, denotado Ac , que se lee“complemento de A”, como el conjunto tal que Ac = {x / x ∈ A ∧ x ∈ U }. /Observaci´n 2.4.4. En un diagrama de Venn-Euler tenemos o U A AcPropiedades 1) (Ac )c = A, ∀ A ∈ U . 2) U c = ∅. 3) ∅c = U . 4) A ⊆ B ⇒ B c ⊆ Ac .
  8. 8. 20 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIADemostraci´n. o 1) Debemos demostrar, a) (Ac )c ⊆ A, b) A ⊆ (Ac )c , a) Sea x ∈ (Ac )c , por demostrar que x ∈ A, x ∈ (Ac )c ⇒ x ∈ Ac / ⇒ x ∈ A, asi, (Ac )c ⊆ A. b) Sea x ∈ A, por demostrar que x ∈ (Ac )c , x ∈ A ⇒ x ∈ Ac / ⇒ x ∈ (Ac )c , asi, A ⊆ (Ac )c . Por a) y b) concluimos que (Ac )c = A. 2) y 3) son inmediatas. 4) Sea x ∈ B c , debemos demostrar que x ∈ Ac si A ⊆ B. x ∈ B c ⇒ x ∈ B, como / A ⊆ B entonces x ∈ A de donde x ∈ A / c.2.4.5. Propiedades Combinadas 1. A − B = A ∩ Bc A ∩ Ac = ∅ A ∪ Ac = U 2. Distributividades A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 3. Leyes de De Morgan (A ∪ B)c = Ac ∩ B c (A ∩ B)c = Ac ∪ B cEjemplo 2.4.1. Ejemplo Usando propiedades de las operaciones de conjuntos demuestre[(A ∩ B c )c − (A ∪ B)c ] ∪ (A ∩ B) = B.
  9. 9. CAP´ ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS ´ IA 21Soluci´n. o [(A ∩ B c )c − (A ∪ B)c ] ∪ (A ∩ B) = [(A ∩ B c )c ∩ (A ∪ B)] ∪ (A ∩ B) = [(Ac ∪ B) ∩ (A ∪ B)] ∪ (A ∩ B) = [(Ac ∩ A) ∪ B] ∪ (A ∩ B) = (∅ ∪ B) ∪ (A ∩ B) = B ∪ (A ∩ B) = B,ya que A ∩ B ⊆ B.2.4.6. Cardinalidad La Teor´ de Conjuntos es la base te´rica para explicar algunos fen´menos, en parti- ıa o ocular los aleatorios y all´ nos interesa contar la cantidad de elementos en un subconjunto ıdeterminado. Aceptaremos la siguiente afirmaci´n, “si A y B son conjuntos disjuntos entonces la ocantidad de elementos que tiene la uni´n de tales conjuntos es igual a la suma de la ocantidad de elementos de los conjuntos”. Simb´licamente, si denotamos por n(M ) la cantidad de elementos del conjunto M oentonces A ∩ B = ∅ entonces, n(A ∪ B) = n(A) + n(B).Observaci´n 2.4.5. Se puede demostrar (lo que queda propuesto) que: ∀ A, B ∈ U , o a) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), b) n(A ∩ B C ) = n(A) − n(A ∩ B).Ejemplo 2.4.2. En una escuela, 150 alumnos han rendido 3 ex´menes. De ellos, 60 aaprobaron el primero, 70 el segundo y 50 alumnos el tercer examen; 30 aprobaron losdos primeros,25 el primero y el tercero, 15 el segundo y el tercero, adem´s, 10 alumnos aaprobaron los 3 ex´menes. ¿Cu´ntos alumnos a a a) aprobaron ning´n examen?, u b) aprobaron s´lo el primer examen?, o c) aprobaron s´lo dos ex´menes?, o a d) aprobaron s´lo un examen?. oSoluci´n. Consideremos los siguientes conjuntos, o A = {alumnos que aprueban el primer examen}, B = {alumnos que aprueban el segundo examen}, C = {alumnos que aprueban el tercer examen},
  10. 10. 22 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIAentonces los datos se pueden expresar como sigue: n(A) = 60 , n(B) = 70 , n(C) = 50 , n(A ∩ B) = 30 , n(A ∩ C) = 25 , n(B ∩ C) = 15 , n(A ∩ B ∩ C) = 10 ,adem´s, n(U ) = 150, con U = {alumnos que rindieron examen}. a a) Se pide n Ac ∩ B C ∩ C c . Como n (Ac ∩ B c ∩ C c ) = n [(A ∪ B ∪ C)c ] = n(U ) − n(A ∪ B ∪ C) y adem´s a n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) −n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = 60 + 70 + 50 − 30 − 25 − 15 + 10 = 120, entonces n (Ac ∩ B c ∩ C c ) = 150 − 120 = 30. b) Se pide n (A ∩ B c ∩ C c ), n (A ∩ B c ∩ C c ) = n [A ∩ (B ∪ C)c ] = n(A) − n [A ∩ (B ∪ C)] = n(A) − n [(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)] = n(A) − [n(A ∩ B) + n(A ∩ C) − n(A ∩ B ∩ C)] = 60 − (30 + 25 − 10) = 15. c) Se pide n [(A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ C ∩ B c ) ∪ (B ∩ C ∩ Ac )], n [(A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ C ∩ B c ) ∪ (B ∩ C ∩ Ac )] = n [(A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ C ∩ B c ) ∪ (B ∩ C ∩ Ac )] = n (A ∩ B ∩ C c ) + n (A ∩ C ∩ B c ) + n (B ∩ C ∩ Ac ) −n(∅) − n(∅) − n(∅) + n(∅). Como n (A ∩ B ∩ C c ) = n(A ∩ B) − n(A ∩ B ∩ C) = 30 − 10 = 20, an´logamente obtenemos n (A ∩ C ∩ B c ) = 15, n (B ∩ C ∩ Ac ) = 5, de donde a n [(A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ C ∩ B c ) ∪ (B ∩ C ∩ Ac )] = 20 + 15 + 5 = 40. d) Se pide n(A ∪ B ∪ C). e) Se pide n [(A ∩ B c ∩ C c ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C c ) ∪ (C ∩ Ac ∩ B c )],
  11. 11. CAP´ ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS ´ IA 23 n [(A ∩ B c ∩ C c ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C c ) ∪ (C ∩ Ac ∩ B c )] = n (A ∩ B c ∩ C c ) + n (B ∩ Ac ∩ C c ) + n (C ∩ Ac ∩ B c ) −n(∅) − n(∅) − n(∅) + n(∅). Como n (A ∩ B c ∩ C c ) = 15, (problema b)) y procediendo an´logamente obtenemos a n (B ∩ Ac ∩ C c ) = 35, n (C ∩ Ac ∩ B c ) = 20, de donde n [(A ∩ B c ∩ C c ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C c ) ∪ (C ∩ Ac ∩ B c )] = 15 + 35 + 20 = 70.Observaci´n 2.4.6. Usando un diagrama de Venn-Euler podemos solucionar el problema oplanteado U A B 20 15 35 10 15 5 20 C 30 El diagrama se construy´, iniciando el “llenado” desde el centro, es decir, desde on(A ∩ B ∩ C). Notemos que se puede leer inmediatamente que n (B ∩ Ac ∩ B c ) = 35.2.5. EJERCICIOS PROPUESTOSEjercicio 2.1. Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {3, 5, 7, c, d} , B = {2, 3, 4, 5, b, c, e} , C = {2, 6, 7, a, b, g} .Determine a) (A ∪ B c ) ∩ (C − A)c . b) (A ∩ C) ∪ (B − Ac )c . c) Las operaciones para obtener i) {6, 2, b}, ii) {7}, iii) {3, 4, 5, c, d, e}.
  12. 12. 24 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIAEjercicio 2.2. Demuestre a) A − B = A ∩ B c . b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). c) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .Ejercicio 2.3. Usando Algebra de Conjuntos, verifique si a) (A − B) ∪ (A − B c ) = A. b) B ∩ [(B c ∪ Ac ) ∪ (A ∪ B)c ] = B − A. c) [(A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B) ∪ (Ac ∩ B c )] = Ac ∪ B. d) A − {A − [(A − B) ∪ A]} = A. e) [A − (A ∩ B)] ∩ [B − (A ∩ B)] = ∅.Ejercicio 2.4. En un universo de 30 elementos se consideran dos conjuntos, A y B talesque n(A ∩ B) = 10 , n(B) = 18 , n (B c ∩ A) = 5.Determine a) n(B − A). b) n(A). c) n(AC ∩ B C ).Resp. a) 8, b) 15, c) 7.Ejercicio 2.5. Demuestre que a) n(A∆B) = n(A) + n(B) − 2n(A ∩ B). b) n((A∆B)∪C) = n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩C)−n(B∩C)−2n(A∩B)+2n(A∩B∩C).Ejercicio 2.6. En un universo U se consideran tres conjuntos A, B, C tales que A∩C =∅, n(A ∩ B) = 5 , n (Ac ) = 25 , n(C) = 13 , n(B − A) = 15 , n(B ∩ C) = 9 , n(A ∪ B ∪ C) = 27Determine a) n(B). b) n(A).
  13. 13. CAP´ ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS ´ IA 25 c) n(U ).Resp. a) 20, b) 8, c) 33.Ejercicio 2.7. En un universo de 45 elementos se consideran tres conjuntos A, B, C talesque A ∩ C = ∅ , B ∩ C = ∅ , n(A ∩ B) = 4 , n(C − B) = 10 n [(A ∪ B ∪ C)c ] = 16 , n(B − C) = 12.Calcule a) n(A). b) n(B). c) n(B − A). d) n [(B − A) − C].Resp. a) 11, b) 12, c) 8, d) 8.Ejercicio 2.8. Una encuesta acerca de las preferencias de 180 personas sobre tres marcasA, B, C arroj´ los siguientes resultados on[(B ∩ C) − A] = 25 , n(A ∩ B) = 15 , n [((A ∩ B) − C)c ] = 175 , n(A − B) = 50 , n[C − (A ∪ B)] = 35 , n[(A ∩ C) − B] = 20 , n [(A ∪ B ∪ C)c ] = 40.Determine el n´mero de personas que u a) compran s´lo B. Resp. 15. o b) compran s´lo dos marcas. Resp. 50. o c) no compran de las marcas consultadas. Resp. 40.Ejercicio 2.9. Se encuest´ a 100 personas sobre sus preferencias televisivas en relaci´n a o olos canales A y B. Los resultados fueron: 65 no ven el canal A, 45 no ven el canal B y 50de ellos ven el canal A o B pero no ambos. Determine la cantidad de encuestados que venambos canales.Resp. 20.

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