Curva espiral

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Curva espiral

  1. 1. 26/08/2010 Diseño en Planta DISEÑO EN PLANTA El alineamiento en Planta de una carretera consiste en el desarrollo geométrico de la proyección de su eje sobre un plano horizontal. Dicho alineamiento está formado por tramos rectos (tangentes) enlazados por curvas (circulares simples, circulares compuestas y espirales de transición ) 1
  2. 2. 26/08/2010 DISEÑO EN PLANTA CURVAS ESPIRALES DE TRANSICIÓN Curvas de Transición Este tipo de curvas , debería utilizarse en la totalidad de las carreteras , ya que permiten pasar del tramo recto a la curva, en forma gradual , proporcionando comodidad a los usuarios y evitando el peligro potencial de accidentes. Da cumplimiento a las señales. Como curvas de transición pueden citarse la clotoide o espiral de Euler, la espiral cúbica, la lemniscata de Bernoulli y la parábola cúbica. La más empleada en nuestro medio es la “clotoide” 2
  3. 3. 26/08/2010 Que es una Curva de Transición ? Son alineaciones de curvatura variable con su recorrido Objetivos ? Suavizar las discontinuidades de la curvatura y el peralte Evitar con ellas un cambio brusco de la aceleración radial Disponer de longitudes suficientes, que permitan establecer peraltes y sobreanchos adecuados Para que? Cuando un vehículo pasa de un alineamiento recto a uno curvo, siente la fuerza lateral actuando sobre el y los pasajeros, asi las curvas de transición se diseñan para que la fuerza centrífuga aparezca de forma gradual y el volante sea accionado de manera uniforme Los conductores sobre todo aquellos que circulan por el carril exterior , por comodidad tienden a cortar la curva circular . 3
  4. 4. 26/08/2010 Trayectoria de un vehículo Se generan debido a que los vehículos el entrar en la curva circular experimentan la fuerza centrifuga que tiende a desviarlos de su carril de circulación Curva de transición No se experimenta cambios bruscos en la trayectoria del vehículo, pasa paulatina de radio infinito del alineamiento recto al radio constante de la alineación circular 4
  5. 5. 26/08/2010 Diferencia de enlace de curvatura Tipos de Espirales En el desarrollo de nuevas tecnologías aplicadas al diseño de di ñ d carreteras en países europeos se h í han utilizado tres tipos de espirales: 1. Clotoide o Espiral de Euler R x L = A2 2. La lemniscata de Bernoulli 3. La parábola cúbica 5
  6. 6. TIPOS DE EMPALM D ME 26/08/2010 Curvas de Transición con empalmes tipo 1, 2, 3 6
  7. 7. 26/08/2010 Curvas de Transición con empalmes tipo 4, 5, 6 www.85a.ndirect.co.uk/ martweb/gs_geometry.htm Curvas de Transición con empalmes tipo 7, 8, 9, 10, 12 7
  8. 8. 26/08/2010 Que se busca al espiralizar? 1. Comodidad – fuerza centrífuga progresiva 2. Peralte – desarrollo adecuado 3. Estética Espiral de Euler como curva de transición Se sabe que un vehículo que se mueva a una velocidad uniforme V sobre una curva de transición de radio uniforme R, experimenta una aceleración radial o centrifuga ac cuyo valor es: V2 ac = R 8
  9. 9. 26/08/2010 Vd 2 R R = ∞ ⇒ ac = 0 ac = Aceleración Centrífuga en cualquier punto de la curva espiral Variación de la Aceleración Centrífuga por unidad de longitud de la espiral Aceleración Centrífuga en cualquier punto de la curva espiral ⎛ Vd 2 ⎞ Vd 2 ⎜ ⎜ Rc * L ⎟ L = R ⎟ e ⎠ ⎝ R = Rc ⇒ ac = Vd 2 Rc ac Vd 2 = Le Rc * Le ac * L ⎛ Vd 2 ⎞ Vd 2 ⎟L = ⎜ =⎜ ⎟ Le R ⎝ Rc * Le ⎠ Vd 2 * L * R = Rc * Le *Vd 2 Pero el producto se lo puede llamar K2 o A2 L * R = L e * Rc = K 2 oA 2 RL = K 2 9
  10. 10. 26/08/2010 Es la ecuación de la clotoide Euler. o Espiral de Indica que el radio de curvatura R es inversamente proporcional a la longitud L L, recorrida a lo largo de la curva a partir de su origen 2 R= K L Para cualquier punto P sobre la curva, el producto del radio de curvatura R por su longitud desde el origen hasta el punto es igual a una constante K2 Clotoide de Parámetro K =8 10
  11. 11. 26/08/2010 Elementos que definen geométricamente la Espiral x, y coordenadas cartesiana de un punto cualquiera θ Angulo correspondiente a P θe Angulo de la Espiral θp Angulo paramétrico Rc Radio de la curva simple dL elemento diferencial de arco dθ elemento diferencial de ángulo 11
  12. 12. 26/08/2010 Curvas espirales o de transición RL = K 2 ; Rc = K2 K2 K2 1 l ;r = ; Le = ; = Le l Rc r K 2 θe Le 0 0 ldl ∫ dθ = ∫ K 2 Le 2K 2 2 Le L θe = = e 2( Le * Rc) 2 Rc θe = dl = rdθ dl dθ = r ldl dθ = 2 K 2 Le = 2 Rcθ e 2 ⎛ K2 ⎞ ⎜ ⎜ Rc ⎟ ⎟ K2 θ e = ⎝ 2⎠ ⇒ θ e = 2K 2 Rc 2 12
  13. 13. 26/08/2010 Curvas espirales o de transición L2 θ= 2K 2 θ= L 2R El ángulo θ esta expresado en radianes El ángulo θ expresado sexagesimales es: en grados ⎛ L2 ⎞ 180° 90° ⎛ L2 ⎞ 90° ⎛ L2 ⎞ θ =⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ 2K ⎟ π = π ⎜ K 2 ⎟ = π ⎜ R L ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ c e⎠ ⎛ L2 ⎞ 180° 90° ⎛ L ⎞ θ =⎜ ⎟ ⎜ 2R ⎟ π = π ⎜ R ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ El parámetro K se obtiene haciendo R=L: K 2 = RL como R = L K 2 = R 2 = L2 K =R=L El parámetro de la clotoide es igual al radio de la clotoide en aquel punto para el cual el radio y la longitud de la espiral desde el origen hasta él son también iguales 13
  14. 14. 26/08/2010 Coordenadas cartesianas del punto P dx dL dy senθ = dL cos θ = dx = (cos θ )dL ; dy = (senθ )dL De donde las coordenadas cartesianas (x, y) del punto P serán: L x = ∫ (cos θ )dL 0 L y = ∫ (senθ )dL 0 Coordenadas cartesianas del punto P El desarrollo de la serie de cosenos es : Cos θ = 1 - θ2 2! + θ 4 - 4! θ 6 6! + θ 8 ....... 8! El desarrollo de la serie de senos es : Sen θ = θ - θ3 3! + θ 5! 5 - θ7 7! + θ 9! 9 ....... 14
  15. 15. 26/08/2010 L X= ∫ 0 1- θ2 2! + θ 4! 4 - θ 6 6! + θ 8! 8 ....... dL 2 Reemplazando el valor de θ según θ = L se tiene : 2 2K De la ecuación L2 θ= 2K 2 se deduce L = K 2θ Por lo tanto x en función del parámetro K es: 15
  16. 16. 26/08/2010 El desarrollo de la serie de senos es : Sen θ = θ - θ3 3! + θ 5! 5 - θ7 7! + θ 9 9! ....... L y = ∫ (senθ )dL 0 Reemplazando en y: 16
  17. 17. 26/08/2010 Las ecuaciones de la clotoide, referidas al sistema de coordenadas x ,y pueden ser expresadas de las dos siguientes maneras (θ expresado en radianes): Clotoide definida por su longitud L : Clotoide definida por su parámetro K : 17
  18. 18. 26/08/2010 Elementos geométricos de la curva espiral Se parte de algunos datos conocidos: El < de deflexión entre las tangentes principales ∆ El radio de la curva circular Rc ( según Vd) La Jerarquía de la carretera Tipo de terreno Longitud de la espiral Le Los demás elementos se calculan de la siguiente manera: Elementos geométricos de la curva espiral Parámetro de la espiral: K Angulo de deflexión principal de un punto p: θ 18
  19. 19. 26/08/2010 Angulo de deflexión de la espiral: θe Si L=Le: Angulo central de la curva circular: ∆c Coordenadas cartesianas del EC: (Xc, Yc) Reemplazando a L por L y a θ por θe quedan las coordenadas en función de Le : Las coordenadas en función del parámetro K: Coordenadas cartesianas PC desplazado (k, p): 19
  20. 20. 26/08/2010 Tangente de la curva espiral – circular-espiral : Te Externa de la curva espiral – circular-espiral : Ee Tangente larga y corta de la espiral : TL y TC Coordenadas cartesianas del centro de la curva circular :(Xo, Yo) Cuerda larga de la Espiral : CLe Deflexión de cualquier punto p de la espiral : ϕ 20
  21. 21. 26/08/2010 ϕ Es igual a : Z esta expresada en segundos, es una pequeña corrección , d ió despreciable para valores d θ < 16º i bl l de 16º: Deflexión del EC o á ó ángulo de la cuerda Larga: ϕc ϕc Es igual a : Longitud de la curva circular: Ls, Lc, Por el sistema arco: Por el sistema cuerda : 21
  22. 22. 26/08/2010 Longitud mínima de la espiral de transición La longitud de la curva de transición Le o el parámetro de la espiral K no deberán ser inferiores a un Valor mínimo. Con el objeto de que cumpla ciertas condiciones de tipo dinámico, geométrico y estético. Existen t E i t tres criterios en l d t it i la determinación d l i ió de la longitud mínima o parámetro mínimo. Adoptándose como parámetro de diseño el mayor valor determinado por cada uno de los criterios Criterios para la determinación de la Longitud mínima de una Espiral 1. Longitud mínima de la espiral de acuerdo a la variación de la aceleración centrifuga 2. Longitud mínima de la espiral de acuerdo a la transición del peralte p 3. Longitud mínima de la espiral a por razones de percepción y estética 22
  23. 23. 26/08/2010 Curvas espirales o de transición Criterio I. Variación uniforme de la fuerza centrífuga (J), Fx=F cosa F Px=P sena Fy=F sena Fx − Px = macx F cos α − Psenα = macx e F − Ptgα = a macx cos α 1.0 Py=P cosa F − P * e = macx P F = ma c P = mg tgα = e Vd 2 ac = Rc mac − mg * e = macx ac − g * e = acx Vd 2 − g * e = acx Rc Criterio I. Variación uniforme de la fuerza centrífuga (J), 2 Vd − g * e = acx Rc Supuesto de diseño: el vehículo tarda un tiempo t en recorrer la longitud Le a una velocidad uniforme Vd y Vd 2 − g *e a Rc = cx t t t= J es la variación de la aceleración centrífuga por unidad de tiempo. J= acx t Le Vd 2 J= acx t Vd − g *e = Rc Le Vd 23
  24. 24. 26/08/2010 Criterio I. Variación uniforme de la fuerza centrífuga (J), 2 J= ax t Ve − g *e Rc = R Le Ve 2 ⎞ Ve ⎛ Ve − g *e⎟ Le = ⎜ ⎟ J ⎜ Rc ⎝ ⎠ Supuesto de diseño: expresando Ve en Km/h Rc en metros y e en tanto por uno tenemos: Ve Le ≥ 46.656 J ⎛ Ve 2 ⎞ ⎜ − 127 * e ⎟ ⎜ Rc ⎟ ⎝ ⎠ Criterio I. Variación uniforme de la fuerza centrífuga (J), Ve Le ≥ 46.656 J ⎛ Ve 2 ⎞ ⎜ − 127 * e ⎟ ⎜ Rc ⎟ ⎝ ⎠ Donde: Ve : Velocidad específica, (km/h) Rc : Radio de cálculo de la clotoide, (m). J : Variación de la aceleración centrífuga, en (m /s2)/s e : Peralte de la curva en tanto por uno Se adoptan para J, los valores específicos dados en la tabla 3.3.6. 24
  25. 25. 26/08/2010 Criterio II. Limitación por transición del peralte Δs % 2a B D C D B C BC AC BC AC = Δs Δs = A BC CD BC = e * CD e= A AC = e * CD Δs 25
  26. 26. 26/08/2010 B D C AC = Le CD = a A Le = e*a Δs 26
  27. 27. 26/08/2010 Criterio II. Limitación por transición del peralte Le ≥ Donde: e : a : 2a : Bn : Δs : e*a Δs Peralte de la curva, (%). Ancho del carril + berma, (m). Ancho de la calzada, (m). Bombeo normal Inclinación de la rampa de peraltes, (%). 27
  28. 28. 26/08/2010 Criterio III. Condición de percepción y de estética Criterio III.1. Se asume el disloque mínimo (ΔR ) de 0.25 m. Le ≥ 6 Rc Criterio III.2. Angulo de giro de la espiral mínimo (θe) de 3 grados θe = Le 2*Rc ≥ 3 ° = 0. 05236 radianes Le ≥ 0.10472 *Rc Donde: Rc : L : θe : Radio de cálculo de la clotoide, (m) Longitud de la clotoide, (m). Angulo de giro de la espiral TRANSICIÒN DE PERALTE •En tramos rectos, la sección de la calzada normalmente tiene pendientes transversales que le sirven para facilitar el drenaje di l l i f ili ld j de las aguas lluvias hacia las cunetas a esta pendiente se le denomina bombeo normal y varia entre 2% y 4% Tipo de Rodadura Muy buena Buena Regular a Mala Bombeo % 2 2, 3 2,4 28
  29. 29. 26/08/2010 TRANSICIÒN DE PERALTE •Si existen espirales la transición de peralte se hace sobre la curva espiral i l •Si no existe espiral la transición se puede introducir a la curva central el PC y el PT deben tener el 70% del peralte total, el tercio central debe tener peralte constante •La transición puede hacerse: •Rotando la calzada alrededor del eje •Rotando la calzada en el borde interno •Rotando la calzada en el borde externo 29

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