Volumen de solidos de revolucion
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Volumen de solidos de revolucion
- 1. Por: • Acosta Ricardo • Aldaz Eduardo • Andrade Alejandro • Azogue Jessica • Chicaiza
- 2. 𝑉𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 𝑉𝑥 = 𝑎 𝑏 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
- 3. • Cuando gira alrededor del eje “x” 𝑉𝑥 = 𝜋 𝑎 𝑏 𝑦2 𝑑𝑥 x y
- 4. • Cuando gira alrededor del eje “y” 𝑉𝑦 = 𝜋 𝑎 𝑏 𝑥2 𝑑𝑦 x y
- 5. • METODO DE LA ARANDELA. Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura: Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. • Cuando gira alrededor del eje “X” • Cuando gira alrededor del eje “y”
- 6. • METODO DE LOS CASQUILLOS CILÍNDRICOS • Cuando gira alrededor del eje “x” • Cuando gira alrededor del eje “y”
- 7. • Ejemplo: Hallar el volumen del elipsoide, engendrado por la elipse 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒃 𝟐 = 𝟏 alrededor del eje 0x Solución: Es suficiente calcular la región AOB y el resultado se multiplica por 2. -a aO A B 𝑉𝑥 = 𝜋 𝑎 𝑏 𝑦2 𝑑𝑥 -b b 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 ; 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦2 y2 b2 = 1 - x2 a2 𝑦2 = 𝑏2 𝑎2 − 𝑥2 𝑎2 𝑦2 = 𝑏2 𝑎2 𝑎2 − 𝑥2 ;reemplazamos 𝑉𝑥 1 2 𝑉𝑥 = 𝜋 0 𝑎 𝑏2 𝑎2 𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 1 2 𝑉𝑥 = 𝜋 𝑏2 𝑎2 0 𝑎 𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥
- 8. 1 2 𝑉𝑥 = 𝜋 𝑏2 𝑎2 𝑎2 0 𝑎 𝑑𝑥 − 𝜋 𝑏2 𝑎2 0 𝑎 𝑥2 𝑑𝑥 1 2 𝑉𝑥 = 𝜋𝑥𝑏2 0 − 𝜋 𝑏2 𝑎2 𝑥3 3 0 a a 1 2 𝑉𝑥 = 𝜋𝑎𝑏2 − 0 − 𝜋 𝑏2 𝑎3 3𝑎2 − 0 1 2 𝑉𝑥 = 𝜋𝑎𝑏2 − 𝜋 𝑎𝑏2 3 1 2 𝑉𝑥 = 2 3 𝜋𝑎𝑏2 𝑉𝑥 = 4 3 𝜋𝑎𝑏2 unidades de volumen