Tesiones tangenciales

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G ESTRUCTURAS IA
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N APUNTE DE CLASE
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L
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P
I
A

TENSIONES TANGENCIALES

DEBIDAS AL
ESFUERZO DE CORTE

ING. ASDRÚBAL E. BOTTANI

AÑO 2005

Piet Mondrian, Cuadro Nro 1
Basilea, Colección privada

FACULTAD DE INGENIERIA - UNLP
DEPTO. DE CONSTRUCCIONES - CATEDRA DE ESTRUCTURAS I A APUNTE DE CLASE

INDICE

1. ALCANCE 1

2. INTRODUCCION 1

3. TEOREMA DE RECIPROCIDAD 5

4. SECCION RECTANGULAR 7

5. SECCION CIRCULAR 11

6. SECCIONES DE ESPESOR DELGADO

6.1 HIPOTESIS GENERALES 13

6.2. SECCION ABIERTA CON SIMETRIA BIAXIAL 16

6.3. SECCION CERRADA CON SIMETRÍA UNIAXIAL
PLANO DE CARGA SEGUN EL EJE DE SIMETIA 21

6.4. SECCIONES ABIERTAS DE SIMETRIA UNIAXIAL
PLANO DE CARGA NORMAL AL EJE DE SIMETRÍA 27

6.5 CENTRO DE CORTE 30

7. EJEMPLO NUMERICO 33

8. BIBLIOGRAFÍA 39

AÑO 2005 1


1.- ALCANCE:
El objeto de este apunte es presentar el estado tensional que aparece en las secciones normal y
longitudinal de un elemento estructural sometido a flexión recta con esfuerzo de corte no nulo. Se presentará
una descripción general del fenómeno en el caso de las secciones macizas y luego se prestará particular
atención al caso de las secciones de espesor delgado, en las cuales se estudiará no solamente la distribución
tensional, sino también los efectos que produce la asimetría de la sección transversal.

2.- INTRODUCCIÓN:
Considérese el caso de una viga de longitud L simplemente apoyada en los extremos A y B, como la
de la figura 1, sometida a la acción de una carga P en la mitad de la luz. En la figura se observan las
reacciones en A y B iguales a P/2, y los diagramas de esfuerzos característicos Qy y Mz, tomando como ejes
de referencia locales al eje x coincidente con el eje longitudinal de la viga y los ejes z e y los ejes principales de
inercia de la sección. El plano de cargas coincide con el eje y:

FIGURA 1

Analizando un elemento de longitud dx como el indicado en la figura, se observa que la cara a la
distancia x está solicitada por la acción de un momento flector Mz, mientras que la cara a la distancia x+dx está
solicitada por la acción de ese momento flector Mz incrementado en la cantidad dMz en razón de la presencia
del esfuerzo de corte Qz. Muchos autores llaman a este estado de solicitación como flexión transversal, para
distinguirlo del caso de la flexión simple en la cual el esfuerzo de corte es nulo.

En la figura 2 se indican el diagrama de tensiones normales σx que se obtiene aplicando las fórmulas
deducidas para el caso de la flexión simple para materiales con un comportamiento elástico lineal (ley de
Hooke), según la hipótesis de Bernoulli-Navier de conservación de las secciones planas antes y después de la
deformación. Se observa que el diagrama que se obtiene para la cara x+dx difiere con el de la cara x en que
fibra a fibra las tensiones se han incrementado en un dσ de acuerdo con el incremento registrado del momento
flector dMz.

AÑO 2005 2


σ σ σ

FIGURA 2

Nuevamente cortando el elemento esta vez con un plano paralelo al plano x-z que pasa por la sección
a una altura y del baricentro como se muestra en la figura 3a, se observa que la resultante de las tensiones
normales F sobre la cara a la distancia x, es menor que la resultante de las tensiones normales F+dF sobre la
cara x+dx. Si embargo el elemento bajo análisis debe estar en equilibrio pues es parte de un conjunto
estructural que está en equilibrio. Resulta entonces evidente que para que efectivamente se cumpla el
equilibrio debe existir una fuerza FQ aplicada en la sección longitudinal que está a la altura y que equilibre la
fuerza resultante dF:

σ F F+dF σ σ
F+dF
b
a
FQ c
M G G M+dM F y d
Qy Qy
dx

x G
z

b(y)

FIGURA 3A FIGURA 3B

La fuerza FQ es la resultante de tensiones que actúan en el plano de la sección longitudinal abcd y
están orientadas según el eje x. Este tipo de tensiones que actúan en el plano de la sección se denominan
tensiones tangenciales y se identifican por la letra τ, con dos subíndices: el primero indica el eje normal a la
sección donde actúan, en este caso el y, y el segundo el eje en la dirección según la cual actúan, en este caso
el x, es decir que esta es una tensión τyx . Es importante destacar que estas tensiones están actuando en una
sección longitudinal

AÑO 2005 3


Hipótesis :

La fuerza FQ se distribuye uniformemente en la sección longitudinal abcd.

Por lo tanto el valor de la tensión τxy se puede calcular si se conociera FQ de la siguiente forma:

τxy: FQ/Aabcd

τyx = FQ (1)
b(y) dx

Planteando entonces el equilibrio en la dirección longitudinal se tiene:

FQ = dF con dF = ∫A dσdA

ymáx
τyx b(y) dx = ∫ dσ dA (2)
y1

Siendo dσ = dM y
Jz

Como dM es independiente de la variable y, lo mismo que Iz, estos dos factores salen fuera de la
integral, con lo que la ecuación (2) queda expresada de la siguiente forma

ymáx
τyx b(y) dx = dM ∫ y dA (2a)
Jz y1

La integral de la ecuación 2a no es otra cosa que el momento estático de la sección normal entre y1 e
ymáx con respecto al eje baricéntrico z:
ymáx
Sz = ∫ y dA (3)
y1

Sz es el momento estático de la sección normal del elemento que tiende a deslizar
longitudinalmente respecto del eje baricéntrico z.

Por otro lado teniendo en cuenta las relaciones existentes entre el esfuerzo de corte Q y el momento
flector Mz, se puede reemplazar dM por:
dMz = Qy dx

Por lo tanto la tensión buscada resulta:

τyx = Qy Sz (4)
b(y) Jz

La fórmula (4) es la fórmula de Colignon que da las tensiones tangenciales en una sección longitudinal
a una altura y1 del eje baricéntrico en función del esfuerzo de corte Qy que solicita a la sección normal.

AÑO 2005 4


3. TEOREMA DE CAUCHY O DE RECIPROCIDAD

Considérese en la figura 4 el elemento plano de dimensiones dx y dy y espesor unitario sometido a la
acción de una tensión tangencial τyx en la cara cuya normal es paralela al eje y, y una tensión tangencial τxy
en la cara cuya normal es paralela al eje x. En las caras a las distacias dx y dy actúan las respectivas
tensiones tangenciales incrementadas en la variación dx y dy.

τyx+dτyx τyx+(δτyx/δy)dy

τxy τxy+dτxy τxy τxy+(δτxy/δx)dx
dy

dy

τyx τyx
dx dx

FIGURA 4

Analizando el equilibrio de momento respecto al baricentro del elemento se puede escribir:

τxy dy dx/2 + (τxy + (δτxy/δx)dx) dy dx/2 – τyx dx dy/2 – (τyx + (δτyx/δy)dy)dx dy/2 = 0

Desarrollando los paréntesis se observa que el producto dx dy dx/2 y dy dx dy/2 son diferenciales de
orden superior que se pueden despreciar por lo que la ecuación resultante es:

τxy dy dx/2 + τxy dy dx/2 – τyx dx dy/2 – τyx dx dy/2 = 0

que resulta:

τxy = τyx (5)

AÑO 2005 5


Conclusiones:

1.- La presencia de tensiones tangenciales en una cara implica necesariamente la presencia de
tensiones tangenciales de igual valor en la cara normal, determinando su sentido de manera que ambas
concurren o divergen de la arista común. Este es el teorema de Cauchy o de reciprocidad.

2.- La integración de las tensiones τxy en toda a sección normal deben dar por resultante el
esfuerzo de corte Q que solicita a la sección.
Qy =∫τxydA (6)

De esta manera en el caso de la figura 3b, la presencia de las tensiones tangenciales en las secciones
longitudinales τyx implican necesariamente tensiones tangenciales en la sección transversal que se denotan
por τxy, y que se calculan por la fórmula 4 deducida en el punto 2, resultando el estado tensional el que se
indica en la figura 5A y 5B:

σ σ σ
σx+dσx
τyx b
τxy a
σx c
M G G M+dM y
τxy d
Qy Qy τyx
dx
τxy
x G
z

b(y)

FIGURA 5A FIGURA 5B

Consecuencias:

De acuerdo al teorema de reciprocidad en los bordes libres de la sección las tensiones
tangenciales deben tener la dirección de la tangente al borde pues si tuviera una componente según la
normal, necesariamente debería haber una tensión tangencial sobre la superficie libre longitudinal de
igual valor que esta componente, y dado que esta última es nula por ser la superficie libre de la pieza, lo
debe ser la componente normal.

1.- En el caso de bordes no paralelos al eje “y” las tensiones tangenciales en la sección
transversal deben tener la dirección de dicho borde y por lo tanto además de una tensión τxy, existe
otra tensión τxz que desvíe la dirección de la resultante según dicha tangente.

2.- En los bordes superior e inferior de la sección, las tensiones τxy también deben anularse
pues esos bordes son bordes libres.

AÑO 2005 6


En la figura 6 se visualizan los dos conceptos antes enunciados los cuales revisten gran importancia
para el tratamiento de las tensiones de corte en las secciones de espesor delgado que se verán en los
próximos apartados.

BORDE SUP: τxy=0
σx+dσx
b
a
σx c DETALLE TENSIONES EN EL BORDE:
y
d
τyx

τxy τx
τxy Ver detalle
x G RESULTANTE
z COMPONENTE EN Y

b(y)
τxz COMPONENTE EN Z

BORDE INF: τxy=0

FIGURA 6

4. SECCION RECTANGULAR:
Como primer ejemplo se estudiará el caso de la repartición de tensiones tangenciales en la sección
rectangular de ancho b y altura h. La tensión tangencial τxy=τyx a una altura y respecto del eje baricéntrico z,
viene dada por la fórmula (4):
τyx = Qy Sz
b(y) Jz
Sz es el momento estático respecto del eje baricéntrico de la parte de la sección normal comprendida
entre las coordenadas y e ymáx, es decir del área transversal del elemento en el que se analiza el equilibrio
longitudinal, que se ha sombreado en la figura 7b:

Sz = b . (h/2 - y).yg1

Sz = b . (h/2 - y).(h/2 + y)/2

Sz = b . (h2/4 - y2)/2
De donde:

τxy = Q b (h2/4 – y2)/2
b b.h3/12

τxy = 6Q (h2/4 – y2) (7)
b.h3

AÑO 2005 7


Conclusiones:

1.- La ley de distribución de tensiones tangenciales τxy es parabólica (fórmula 7).

2.- El valor máximo se ubica en coincidencia del eje baricéntrico z que es el eje neutro en flexión
simple.

3.- La integración de las τxy a toda el área de la sección normal da por resultado Qy

τxymáx: 6Qy h2/4
b h3

τxymáx: 3 Qy (7)
2 A

En las figuras 7a y 7b se visualizan las conclusiones obtenidas

y σ σ

σ τxy σ σ σ
τyx
τyx

M G G M+dM τxy
τxy x G
Qy Qy z
τxymáx
b

FIGURA 7A FIGURA 7B

AÑO 2005 8


Ejemplo E.1:

Compárese el momento admisible de una viga con el esquema de cargas de la figura 1 y sección
normal rectangular compuesta por dos secciones de dimensiones b x h, cuando no exista vinculación entre
ambas y cuando están vinculadas por pasadores separados longitudinalmente una distancia e:

En el primer caso ambas secciones se deforman en forma independiente la una de la otra,
produciéndose un deslizamiento relativo en la superficie de contacto como se muestra en la figura 8a de forma
que el momento admisible está dado por la suma de los momentos admisibles que son capaces de soportar
cada una de las secciones individuales. En el segundo caso, figura 8b, el pasador impide el deslizamiento
mutuo y hace que la sección compuesta se comporte como una única sección de dimensiones b x 2h. Pero
como ahora el eje neutro se ubica en la superficie de potencial deslizamiento, el pasador debe absorber el
esfuerzo de corte longitudinal que se había denominado FQ en la figura 3b producto de la tensiones de corte en
la sección longitudinal.

P1 P2
e

P1/2 P1/2 P2/2 P2/2

FIGURA 8a FIGURA 8b

En las figuras 9a y 9b se indican los diagramas de tensiones normales debidas a la flexión en el primer
y segundo caso analizados respectivamente, observándose que en el caso 2 la tensión tangencial máxima se
produce en correspondencia del eje neutro, por lo que el esfuerzo de corte longitudinal FQ en dicha sección es
máximo.

AÑO 2005 9


b b
σadm σadm
h

h
Q τxymáx Q

= Madm2
τyxmáx
h

h
Madm1

FIGURA 9a FIGURA 9b

Caso 1:

Madm1 : σadm bh2/6 x 2
Madm1 : σadm bh2/3
P1: Madm1 4/L

Caso 2:
Madm2 : σadm b(2h)2/6
Madm2 : σadm 2bh2/3 : 2 Madm1
P2: Madm2 4/L : 2P1

Se observa que la capacidad de carga de la sección compuesta se duplica respecto a la que tienen las
dos secciones actuando en forma independiente la una de la otra.

Cálculo del esfuerzo en el pasador FQ:

FQ: τyx b.e

τyx: 3/2 Q/A

τyx: 3/2 (P2/2)/(b.2h)

FQ: 3 P2/(8bh)

AÑO 2005 10


5. SECCION CIRCULAR:
Como se ha señalado en párrafos anteriores, en el caso de bordes libres por un cuestión de equilibrio
las tensiones tangenciales en la sección normal deben tener la dirección tangente al borde. Esto trae como
consecuencia que en el caso de secciones con bordes curvilíneos o no paralelos al eje y, debe haber
necesariamente tensiones τxy y τxz.

Para el estudio de la distribución de las tensiones tangenciales en la sección circular se formulan las
dos hipótesis siguientes:

1.- Las tensiones τxy son constantes a una distancia y=cte del eje baricéntrico, es decir no varían con
la coordenada z.

2.- Las tensiones τxz a una altura y = constante, varían con la coordenada z de manera que la resultante
entre τxy y τxz en cada punto de la línea y=cte, se crucen donde se cruzan las tangentes al borde de la
sección en esa coordenada y.

y y y
M M M

b(y) b(y1)

τxy τxy
A C B A B
τxz α1
R R
α

α

z z z

FIGURA 9A FIGURA 9B FIGURA 9C

La figura 9a resume las dos hipótesis formuladas: las tensiones tangenciales τxy son constantes en
todo el segmento AB de coordenada y= cte. Por otro lado las tensiones τxz en cada punto C de ese segmento
tienen un valor tal que la resultante entre τxy y τxz en C tenga la dirección CM siendo M el punto donde se
cruzan las tangentes extremas en A y B.

Se observa entonces que en el eje neutro las tensiones tangenciales resultantes son coincidentes con
las tensiones τxy, y que por otro lado en el eje y, es decir z=0, las τxz son también nulas. Esto último resulta
razonable si se consideran condiciones de simetría cuestión sobre la que se insistirá en más adelante.

AÑO 2005 11


El cálculo de las tensiones τxy se realiza de igual manera que para la sección rectangular, aplicando la
fórmula (4):

τyx = Qy Sz (4)
b(y) Jz
En este caso b es función de la altura y y Sz es el momento estático de la sección cuyo equilibrio
longitudinal es el que se analiza, sección rayada en la figura 9b.

Observando la figura 9c se tiene:

El momento estático del área diferencial de ancho b(y1) y altura dy1 es:

dS : b(y1). dy1 . y1

Haciendo el siguiente cambio de variables:

y1 : R cosα1 dy1: R senα1 dα1 b(y1): 2R senα1

Reemplazando en dS

dS : 2R senα1 R cosα1 Rsenα1dα1

dS: 2R3 sen2α1 cosα1 dα1
α
S: ∫0 2R3 sen2α1 cosα1 dα1
Sea u: senα1 y du: cosα1 dα1
Entonces :
α
S : ∫2R u du : 2R u3/3 : 2R (sen α1) /3
3 2 3 3 3
: 2R3 (sen3α)/3
0
senα : 2 2 1/2
(R – y ) y sen α : (R2 – y2)3/2
3

R R3

S : 2/3 (R2 – y2)1/2 (a )
b(y) : 2R senα : 2R (R2 – y2)1/2 :
R
b(y) : 2(R2 – y2)1/2 (b )
Jz : π R4/4 (c )

Reemplazando (a) , (b) y (c ) en la fórmula (4) se obtiene la tensión tangencial τxy a cualquier altura y:

τxy : Qy 2/3 (R2 – y2)3/2
2 (R2 – y2)1/2 πR4/4

Que simplificando y considerando que πR2 es igual al área A se tiene:

τxy : 4 Qy (R2 – y2) (8)
3A R2

AÑO 2005 12


Se observa que la variación de τxy resulta parabólica al igual que la sección rectangular, y que:

Para y: R τxy: 0 (borde libre)

Para y: 0 τxymáx: 4/3 Qy/A (eje baricéntrico)

6. SECCIONES DE ESPESOR DELGADO:
6.1. HIPÓTESIS GENERALES
En las barras con secciones normales de espesor delgado sometidas a flexión y corte, el valor de las
tensiones tangenciales debidas al esfuerzo de corte tiene mayor significación que en aquellas con sección
maciza . También la forma en que se distribuyen en la sección normal es un factor de importancia en el
comportamiento del elemento estructural en su conjunto.

El procedimiento para determinar la distribución de las tensiones tangenciales en la sección normal es
análogo al utilizado para el caso de secciones macizas. Sea la sección de la figura 11A la sección normal de
una barra simplemente apoyada como la de la figura 1, en un tramo de longitud dx analícese el equilibrio
longitudinal de la porción elemental que se obtiene al seccionarlo longitudinalmente por la línea 1-1 (área
sombreada de la figura 11A). En la figura 11B se ven las fuerzas actuantes sobre ese elemento. Para que
exista equilibrio longitudinal debe existir la fuerza FQ que se aplicada en el área abcd, apareciendo por tanto
las tensiones tangenciales en las secciones longitudinales que den como resultante a FQ.

y

1
F+dF
t 1 d
c
FQ
G z t a
b dx
F

FIGURA 11A FIGURA 11B

AÑO 2005 13


El corte longitudinal se realiza por la línea 1-1 que es normal a la línea media de la sección , es
decir según el espesor de la sección, y no por una paralela al eje neutro como se hacía en el caso de las
secciones macizas. De esta forma se puede formular la siguiente hipótesis:

Las tensiones tangenciales longitudinales se distribuyen uniformemente en la sección abcd,
resultando entonces constantes en todo el espesor t de la línea de corte 1-1.

Como consecuencia del teorema de reciprocidad, en la sección transversal hay tensiones
tangenciales que tienen la dirección de la línea media de la sección y sus sentido estará determinado
por el sentido de la tensión tangencial en la sección longitudinal.

Si la línea de corte 1-1 no hubiera sido normal a la línea media de la sección no se podría haber
formulado la hipótesis anterior, pues en coincidencia de los puntos a y b (bordes) habría una componente de la
tensión de tangencial perpendicular a la superficie libre en abierta contradicción con el teorema de reciprocidad.

La figura 12 ilustra los conceptos señalados, pudiéndose observar que las tensiones tangenciales en la
sección normal tienen la dirección de la línea media y por lo tanto cambiarán de dirección en la medida que
ésta así lo haga, es decir ya no resulta conveniente calcular las tensiones según los ejes z e y de la sección.

y

τ1 σ +d σ
1
t 1 d
c

τ1 τ1
G z t a
b dx
σ

FIGURA 12

Para calcular el valor de la tensión se plantea el equilibrio longitudinal de un elemento de área A1 y
longitud dx, que se separa del resto a través de la línea de corte 1-1 como muestra la figura 13:

AÑO 2005 14


y
σ σ+dσ σ+dσ
1 d
c
t 1 τ1
y
τ1 τ1
t a
dx
G z b σ

dx

a b c

FIGURA 13

El elemento que se analizará su equilibrio longitudinal tiene área A1, y está sometido a tensiones
normales σ y σ+dσ en la caras a x y x+dx . Estas tensiones varían con la distancia y al eje neutro z-z que es
baricéntrico como se muestra en la figura 13b.

La fuerza longitudinal de desequilibrio se obtiene integrando las fuerzas elementales dσdA1 que
actúan en cada porción diferencial del área dA1 a toda el área A1 , y esta fuerza debe ser equilibrada por la
resultante de las tensiones tangenciales τ1 en el área elemental abcd como se ve en la figura 13c, de forma
que se puede plantear la siguiente ecuación de equilibrio longitudinal:

τ1 t dx = ∫A1 dσ dA1

τ1 t dx = ∫A1 dM y dA1
Jz

Análogamente a lo ya visto, teniendo en cuenta que dM es constante en el área A1, lo mismo que Jz,
pueden sacarse de la integral pudiendo escribirse la siguiente ecuación para τ1:

τ1 = dM 1 ∫A1 y dA1
dx t Jz

La integral del segundo miembro es el momento estático del área A1 respecto del eje baricéntrico z-z
que es el eje neutro, o sea el momento estático de la sección que trata de deslizar respecto del eje neutro, y
dM/dx es el esfuerzo de corte Qy que actúa en la sección normal.

AÑO 2005 15


Se concluye que la ecuación que determina las tensiones tangenciales en la sección
longitudinal 1-1 y por ende en la sección normal en correspondencia de la línea de 1-1 es formalmente
igual a la ecuación (4) de Colignon ya vista para secciones macizas, con la sola diferencia que ahora b
es el espesor t de la sección en correspondencia de la línea de corte 1-1.

τ1 = Qy Sz (9)
t Jz

6.2.- SECCION ABIERTA CON SIMETRÍA BIAXIAL
Calcular las tensiones tangenciales en una sección doble T con espesor de alas t1 y espesor de alma
t2 para una solicitación como la de la figura 1.

En la figura 14a se puede ver la sección normal doble T de ancho de ala b y altura h medidas a la línea
media de la sección, donde se indica la línea de corte 1-1 en la cual se va analizar la tensión tangencial. En la
figura 14b se observa el sentido de las tensiones tangenciales en la secciones longitudinal y transversal, que
para el caso en cuestión dada su orientación son tensiones τzx y τxz respectivamente:

τ σ σ

σ τ
M+dM
M
Q

Q

(a) (b)

FIGURA 14

AÑO 2005 16


Aplicando la fórmula (9) al caso del elemento sombreado se debe calcular el momento estático de
dicho elemento respecto del eje z:

τxz1 = Qy Sz
t1 Jz

Sz = t1 s h/2

τxz1 = Qy t1 s h/2 (10)
t1 Jz

Se observa que la variación de las tensiones tangenciales τxz1 en el ala de la sección sigue la ley de
variación del momento estático Sz que en este es lineal con la variable s medida desde el extremo libre donde
por razones de equilibrio es nula. El valor máximo en el ala analizada se obtiene para s =b/2.

En la figura 15a y 15b se repite el análisis para el ala superior izquierda y las inferiores (líneas de corte
2-2 3-3 y 4-4) donde se ve el sentido de las tensiones tangenciales de acuerdo al sentido de los
esfuerzos solicitantes y su crecimiento, mientras que su módulo sigue dado por la ecuación (10), creciendo
en forma lineal desde 0 en el borde libre hasta un valor máximo en el encuentro con el ala dado por:

(τxz1-4)máx = Qy t1 b/2 h/2 (11)
t1 Jz

σ σ
τ

σ τ

M+dM
M
Q

Q σ σ
τ σ σ
σ τ
σ τ
(a) (b)

FIGURA 15

AÑO 2005 17


Para analizar lo que sucede con las tensiones tangenciales en el alma del perfil se analizará una línea
de corte 5-5 en la unión del ala superior con el alma. En este caso se observa que el momento estático Sz a
introducir en la ecuación general (9) es el de toda el ala respecto al eje z-z, y el espesor en el cual actúa la
tensión tangencial longitudinal es ahora t2 el espesor del alma. Debe observarse que en este caso como la
orientación de las secciones ha girado 90 grados , serán τyx y τxy para las secciones longitudinal y normal
respectivamente. En la figura 16a y 16b se puede ver claramente los sentidos de tales tensiones en relación
con los esfuerzos solicitantes y su crecimiento.

σ σ

σ τ
τ
M+dM
M
Q

Q

(a) (b)

FIGURA 16

La tensión en la línea 5-5 calculada por la ecuación (9) resulta de reemplazar en ella el valor del
omento estático Sz del ala que es:

Sz = b t1 h/2

Por lo tanto:

τxy5 = Qy b t1 h/2 (12)
t2 Jz

Si se compara la fórmula (12) con la (11) se ve que la tensión tangencial en la unión del ala con el alma
es igual a la suma de las tensiones que vienen por cada una de las semialas multiplicada por la relación de
espesores t1/t2 y entonces en el alma no se inicia con tensión nula sino con el valor suma delas τxzmáx de
las alas.

AÑO 2005 18


En la figura 17 se repite al análisis ya visto en los casos anteriores para una línea de corte 6-6 a una
distancia y genérica del eje z-z

σ σ

σ τ
τ
M+dM
M
Q

Q

(a) (b)

FIGURA 17

En este caso el momento estático Sz que interviene en la ecuación (9) es el del área sombreada de la
figura 17, que puede considerarse como la suma del momento estático del ala ya visto, más el momento
estático del tramo de alma entre y y h/2.

Sz = Sz(ala) + Sz (A1)

τxy6 = Qy [Sz(ala)+Sz(A1)]
t2 Jz

Desarrollando el paréntesis se obtiene que la tensión tangencial en la línea de corte 6-6 es igual a la
tensión de corte en la unión del alma con el ala más el correspondiente al factor Sz(A1):

τxy6 = τxy5 + Qy Sz(A1)
t2 Jz

Sz(A1) = t2 (h/2 – y)(h/2 + y)/2

Sz(A1) = t2 (h2/4 - y2)/2

AÑO 2005 19


τxy6 = τxy5 + Qy t2 (h2/4 - y2)/2 (13)
t2 Jz

La tensión en el alma vuelve a tener una ley cuadrática con la variable y idéntica a la sección
rectangular con la sola diferencia que no arranca de 0 sino del valor suma de las tensiones máximas en las
semialas. Se llega a determinar nuevamente el valor máximo de la tensión tangencial a la altura del eje neutro
z-z haciendo en la ecuación 13 y=0.

τxymáx = τxy5 + Qy t2 h2/8 (14)
t2 Jz

En la figura 18a se muestra el diagrama completo de las tensiones tangenciales en el perfil doble T y
el sentido de las mismas para la solicitación dada en la figura 1 que sirvió de base para desarrollar este
ejemplo.

Como Jz es mayor que el correspondiente a una sección rectangular de las medidas del alma, el
divisor del segundo término de la ecuación (14) es mayor que para una sección rectangular por lo tanto
la parábola es menos pronunciada y la diferencia entre τxy5 y τxymáx no es tan acentuada como en la
sección rectangular.

En cada caso deberá prestarse particular interés al sentido relativo de los esfuerzos en la cara x y x+dx
y repetir en forma esquemática el análisis de equilibrio longitudinal de cada elemento para obtener el sentido
correcto de las tensiones tangenciales.

τ

τ τ H H

τ Qy

H H

τ
(a) (b)
FIGURA 18

AÑO 2005 20


Conclusiones:

1.- Las dirección de las tensiones tangenciales es coincidente con la línea media de la sección.

2.- El sentido es tal que se puede asimilar a un flujo hidrodinámico, en este caso desde las alas
inferiores a las alas superiores, no pudiendo haber contracorrientes.

3.- La resultante de las tensiones tangenciales τxy en el alma debe ser igual al esfuerzo de corte Qy
que solicita a la sección. Es decir que es el alma de la sección la que toma el esfuerzo de corte.
Qy = ∫AlmaτxydA

4.- En las alas aparecen resultantes horizontales H que se autoequilibran mutuamente por la simetría de
la sección (figura 18b).

5.- El diagrama de tensiones presenta simetría biaxial acorde con la simetría de la sección.

6.3.- SECCION CERRADA CON SIMETRÍA UNIAXIAL CARGADA SEGUN EL PLANO
DE SIMETRIA

Analizar las tensiones tangenciales que se producen en la sección de la figura 19a en un esquema de
solicitación como el de la figura 19b. Las dimensiones de la sección se indican en la misma figura.

P

Qy

Mz

(a) (b)

FIGURA 19

AÑO 2005 21


Esta sección presenta la particularidad de ser cerrada, es decir que una sola línea de corte como se
utilizó en el ejemplo anterior no es suficiente para aislar un tramo, y consecuentemente se necesitan dos
líneas. Pero esto a su vez traería aparejado que el equilibrio longitudinal se debiera analizar en esas dos
secciones y por lo tanto se estaría ante un problema hiperestático pues habría dos valores incógnitas de las
tensiones tangenciales longitudinales y una sola ecuación de equilibrio.

Analizando más detenidamente el problema se observa que la sección tiene al eje y-y como eje de
simetría que es a su vez el plano de solicitación. Si se observa la deformación de un elemento de la sección
cortado sobre el eje de simetría y-y y visto en el plano x-z sometido a tensiones tangenciales se puede ver
que se deforma como se indica en la figura 20:

τxz
τzx τzx
dy

τxz
dx

FIGURA 20

El elemento deformado rompe su simetría respeto del eje longitudinal x-x. Esto contradice uno
de los principios de simetría que dice que una estructura con simetría en su geometría y simetría en su
estado de cargas, como es el caso bajo análisis, debe tener una deformada simétrica. Por lo tanto se
concluye que la tensión tangencial en las secciones longitudinales ubicadas sobre el plano de simetría
deben tener necesariamente valor nulo, siendo nula entonces la tensión tangencial recíproca en la
sección normal.

De esta manera para el análisis de las tensiones tangenciales y longitudinales se puede trazar una
línea de corte según el plano de simetría sabiendo que según esa línea el valor de las tensiones
tangenciales es nulo. Una vez hecho esto se puede estudiar media sección según el procedimiento ya visto
en los ejemplos anteriores.

AÑO 2005 22


τxz1=τzx1=0

τxz1=τzx1=0

FIGURA 21

En la figura 21 se observa una de las mitades de la sección luego de separarla según la línea de corte
1-1 coincidente con el plano de simetría. La tensiones tangenciales longitudinales τzx1 y transversales τxz1 en
coincidencia con esa línea son entonces nulas. Lo que se obtenga para esta semisección será equivalente para
la otra por las razones de simetría ya señaladas.

σ σ

τ σ σ
τxz1=τzx1=0 τ
τ τ
σ
σ τxz1=τzx1=0 Q

M+dM
M

Q
τ σ σ

τ
τxz1=τzx1=0 σ
τxz1=τzx1=0
(a) (b)

FIGURA 22

AÑO 2005 23


Las tensiones en cada tramo se evalúan como en los casos anteriores por aplicación de la fórmula (9):

τi = Qy Szi (9)
ti Jz

donde Szi es el momento estático del tramo que se evalúa (sombreados en la figura 21) respecto del eje z-z:

Tramo 1-2:
variable: s
Sz1-2 = s.t1.y1 τ1-2= Qy s.t1.y1 τxz2 = Qy b2/2.t1.y1 (15)
t1.Jz t1.Jz

Tramo 3-4:
variable: s
Sz3-4 = s.t1.y1 τ3-4= Qy s.t1.y1 τxz4 = Qy b1.t1.y1 (16)
t1.Jz t1.Jz

Tramo 1-5:
variable: s
Sz1-5 = s.t1.y2 τ1-5= Qy s.t1.y2 τxz5 = Qy b2/2.t1.y1 (17)
t1.Jz t1.Jz

En la figura 22b se indican los sentidos de las tensiones para la solicitación de la figura 19b

En la figura 23 se evalúan las tensiones en el alma de la sección:

σ σ

τxz1=τzx1=0 τxz1=τzx1=0
σ τ
Q
τ
M+dM

M

τ
Q σ σ
τ
τxz1=τzx1=0
σ τ τxz1=τzx1=0
(a) (b)

FIGURA 23

AÑO 2005 24


En la línea de corte 6-6 el momento estático a aplicar en la fórmula (9) de la fórmula (9) resulta ser el momento
estático de la semiala respecto del eje z-z, y el espesor que divide en este caso es t2:

Sz6 = (b1+b2/2).t1.y1

Este momento estático es la suma de los utilizados para calcular las tensiones en 4 y 2

τxy6 = Qy (b1+b2/2).t1.y1 (18)
t2 Jz

Se observa que τxy6 = (τxz4 + τxz2) . (t1/t2)

En el tramo 6-8 el momento estático a una distancia y del eje z-z es igual al momento estático de las
alas más el correspondiente al alma entre y e y1.

Sz(6-8) = (b1+b2/2).t1.y1 + t2.(y1-y).(y1+y)/2

Sz(6-8) = Sz6 + t2 (y12-y2)/2

Y la tensión en el tramo 6-8 tiene nuevamente una variación cuadrática y vale:

τxy(6-8) = τxy6 + Qy t2.(y12-y2)/2
t2 Jz

En el eje neutro:
τxy8 = τxy6 + Qy t2.y12/2 (19)
t2 Jz

Repitiendo el análisis para el tramo del entre y=0 e y=y2 y comenzando por la línea de corte 7-7:

Sz7 = b2/2 . t1 .y2

Siendo entonces
τxy7 = Qy.(b2/2). t1.y2 (20)
t2. Jz
Nuevamente se observa que
τxy7 = τxz5.(t1/t2)
En el tramo entre 7 y 8:

Sz(7-8) = (b2/2).t1.y2 + t2.(y2-y).(y2+y)/2

Sz(6-8) = Sz7 + t2 (y22-y2)/2

τxy(7-8) = τxy7 + Qy t2.(y22-y2)/2
t2 Jz

En la línea de corte 8 resulta:

τxy8 = τxy7 + Qy t2.y22/2 (21)
t2 Jz

AÑO 2005 25


Evidentemente el valor que se obtenga por aplicación de la fórmula (21) y (19) deben ser coincidentes,
y esto es así pues al ser el eje z-z baricéntrico el momento estático del tramo superior es igual en módulo al del
tramo inferior.

En la figura 23b se indica el análisis de equilibrio que determina el sentido de las tensiones
tangenciales.

En la figura 24 se muestra el diagrama completo de las tensiones para toda la sección.

τ
τ

τ τ τ H1 H2 H2 H1

τ τ
Qy/2 Qy/2

τ τ H3 H4
τ

(a) (b)

FIGURA 24

Conclusiones:

1.- Se verifica que el sentido de las tensiones tangenciales sigue el esquema de un flujo hidrodinámico
no existiendo contracorrientes.

2.- Las tensiones máximas están localizadas en el eje baricéntrico.

3.- La resultante de las tensiones tangenciales en las alas H1, H2 y H3 constituye un sistema
equilibrado.

4.- La resultante de las tensiones tangenciales en cada una de las almas de la sección es igual a la
mitad del esfuerzo de corte Qy solicitante.

Qy/2 = ∫AlmaτxydA

5.- El diagrama de tensiones tangenciales tiene simetría respecto de y pero no de z, acorde con la
simetría de la sección. Debe recordarse que el plano de cargas coincide con el plano xy de simetría de
la sección.

AÑO 2005 26


6.4.-SECCION ABIERTA DE SIMETRÍA UNIAXIAL – PLANO DE CARGA NORMAL AL
EJE DE SIMETRIA

Sea el caso de una sección C como la de la figura 25a con simetría respecto del eje z-z y con un
esquema de carga como el de la figura 25b en el cual el plano de carga coincide con el plano xy, es decir es
normal al plano de simetría.

P

Qy

Mz

(a) (b)

FIGURA 25

Se repite el mismo esquema de análisis ya visto en los ejemplos anteriores para aplicar la fórmula (9),
comenzando en algún extremo donde se conozca la tensión tangencial, como por ejemplo el extremo superior.

(a) (b)

FIGURA 26
AÑO 2005 27


En la figura 26 se indican dos líneas de corte intermedias, una en el ala y la otra en el alma de la
sección, indicándose en sombreado las áreas que intervienen en el momento estático de la ecuación (9).

Entre 0 y 1:

Variable s

Sz = s.t1.h/2

τxz = Qy . s.t1.h/2
t1 Jz

τxz1= Qy b.t1.h/2 (22)
t1 Jz
En 2-2:

Sz: b.t1.h/2

τxy2= Qy b.t1.h/2 (23)
t2 Jz

τxy2 = τxz1 . (t1/t2)

Entre 2 y 3:

Variable y:

El momento estático Sz es el momento estático del ala más el momento estático del alma por encima dla línea
de corte.

Sz= (Sz)ala + (Sz)alma

Sz = b.t1.h/2 + t2.(h/2-y).(h/2+y)/2

Sz = b.t1.h/2 + t2.(h2/4-y2)/2

τxy = Qy. [b.t1.h/2 + t2 . (h2/4-y2)/2]
t2 Jz

τxy = τxy2 + Qy t2 (h2/4-y2)/2
t2 Jz

El valor máximo se verifica para y =0 es decir el eje baricéntrico z-z

τxymáx= τxy2 + Qy t2 (h2/4)/2 (24)
t2 Jz

En la figura 27 se observa la deducción del sentido de las tensiones tangenciales para la solicitación de
la figura 25 y en la figura 28 el diagrama completo de las tensiones tangenciales, haciendo notar que la
concavidad de la parábola en el alma es menos pronunciada que en una sección rectangular de área
equivalente porque Jz es mayor que el correspondiente al Jza del alma. Por otra parte se sigue verificando
la similitud con un flujo hidrodinámico para el sentido de las tensiones.

AÑO 2005 28


σ σ

τ σ σ
τ
τ
τ σ Mz+dMz
σ
Mz+dMz
Mz
Qy Qy
Mz

Qy σ σ Qy
τ

σ τ

FIGURA 27

τ

τ τ τ

τ

FIGURA 28

AÑO 2005 29


6.5.- CENTRO DE CORTE
a) Secciones abiertas con simetría uniaxial:

Observando la distribución tensional hallada en la figura 28 se ve que la resultante de las tensiones
tangenciales en la sección normal está constituida por dos fuerzas H iguales y contrarias en cada una de las
alas y una fuerza vertical en el alma que debe ser igual al esfuerzo de corte solicitante Qy (ver figura 29a).

El sistema de fuerzas H en este caso no constituye un sistema equilibrado, sino una cupla M de
valor H.h que tiende a hacer girar a la sección alrededor de un eje longitudinal (ver figura 29b).

Recordando que una fuerza y un par son equivalentes a una única fuerza trasladada paralelamente a
su recta de acción en el sentido que actúa el par una distancia igual al cociente entre el valor del par y el
módulo de la fuerza, se puede así trasladar la fuerza Qy una distancia e tal que Qy.e = H.h como se muestra
en la figura 29c.

Plano de
solicitación
para
M=0

H

M=H .h Qy. e = H . h
Qy Qy

Qy

H
(a) (b) (c)
FIGURA 29

El valor de e viene dado por:

e= H.h/Qy (25)

De esta forma cuando el plano de solicitación es perpendicular al eje de simetría, es decir que la
viga flecta alrededor del eje de simetría, para evitar que la sección tienda a girar alrededor de un eje
longitudinal, el plano de solicitación debe pasar a una distancia e del alma del perfil paralelo al eje principal y-y
y del lado opuesto donde se encuentra el baricentro.

AÑO 2005 30


Si el plano de solicitación fuera el xz en vez del yz, es decir que coincidiese con el eje de simetría, la
distribución de tensiones sería tal que las fuerzas H se anularían mutuamente, situación que se muestra en la
figura 30, no existiendo en este caso el efecto de giro longitudinal.

En este caso el esfuerzo de corte solicitante Qz y por ende el plano de solicitación debería ser
coincidente con el plano de simetría xz.

Qz/2

Plano de
solicitación
H
coincide con
xz

H

Qz/2

FIGURA 30

En el caso en que el plano de solicitación tuviera una dirección cualquiera, es decir la sección estuviera
sometida a flexión desviada, siguiendo el procedimiento de descomponer la flexión desviada en dos flexiones
rectas para que no existiese la tendencia a girar sobre un eje longitudinal el plano de solicitación debería pasar
por el punto CC y no por el baricentro tal como se ve en la figura 31.

Plano de
solicitación
para
M=0

Q

Qy

Qz

FIGURA 31
AÑO 2005 31


El estado tensional en la sección estaría dado por la superposición del calculado para Qy y el calculado
para Qz.

Este punto CC se denomina centro de corte o centro de los esfuerzos cortantes, y se define
como el punto de la sección por el cual debe pasar el plano de solicitación para que la sección no
tienda a “torcerse” alrededor de un eje longitudinal. Este efecto de girar sobre un eje longitudinal se
denomina torsión de la sección.

Como ya se señalara la posición del centro de corte se determina determinando la distancia e en la
ecuación (25) conocidas H y Qy.

e= H.h/Qy (25)

Observando más detenidamente la ecuación (25) y teniendo en cuenta que H resulta de la integración
del diagrama de tensiones tangenciales sobre las alas se puede escribir:

H = 0.5 τxz1 . Aala

H = Qy b h/2 Aala
Jz 2

e = b h2/2 Aala
Jz 2

Se puede ver que la distancia e no depende del valor de la fuerza Qy sino que depende
exclusivamente de la geometría de la sección.

b) Secciones cruciformes:

En aquellas secciones constituidas por elementos rectangulares que se cruzan en un punto, y teniendo
en cuenta que las tensiones tangenciales tienen la dirección de la línea media de la sección, las resultantes de
las tensiones sobre cada uno de los elementos que componen la sección también tendrán esta dirección. Por lo
tanto todas estas fuerzas serán concurrentes al punto de cruce de los elementos de la sección. Entonces la
fuerza solicitante exterior debe pasar por este punto de cruce para que exista el equilibrio. Ver figura 32.

ΣFi = Q
F1 F2 F2

F3
Q DEBE PASAR POR CC F1

FIGURA 32

AÑO 2005 32


Conclusiones:

1.- Cuando la sección transversal de espesor delgado tiene dos ejes de simetría, el centro de esfuerzos
cortantes CC coincide con el baricentro G de la sección.

2.- Cuando la sección tiene un solo eje de simetría el centro de esfuerzos cortantes CC está sobre el eje
de simetría pero no coincide con el baricentro G de la sección y en general resulta exterior a la sección.
El plano de solicitación debe pasar por este punto para que la sección no tienda a torcerse alrededor de
un eje longitudinal.

3.- Cuando la sección no tenga ningún eje de simetría el centro de corte no coincide con el baricentro y
su ubicación respecto de los ejes z e y de la sección surgirá de hallar una distancia ez y ey para el caso
de corte en la dirección z e y respectivamente

4.- En secciones cruciformes el centro de esfuerzos cortantes está ubicado donde se cruzan los
elementos que componen la sección.

7. EJEMPLO NUMERICO:

Estúdiese la distribución de las tensiones tangenciales y la ubicación del centro de esfuerzos cortantes
en una sección cajón de 50mm de lado x 120mm de altura y 2.0mm de espesor cuando se produce un ranura
en la mitad de su altura en una de sus paredes como se indica en la figura 33. Supóngase una solicitación
como la de la figura 25b. Compárense los resultados si la ranura no estuviese y la sección fuera cerrada.

FIGURA 33

AÑO 2005 33


Cálculo de las características geométricas necesarias:

La ubicación del baricentro es inmediata pues la ranura no influye en su determinación. Es importante hacer
notar que la ranura ha roto la simetría de la sección y entonces el centro de corte no coincidirá con el
baricentro. Se debe calcular el momento de inercia Jz por aplicación del teorema de Steiner despreciando en
este caso los momentos propios de los elementos paralelos al eje z.

Jz = 2.t.h3 + 2.b.t.(h/2)2 Jz = 129.6 cm4
12

Cálculo de las tensiones tangenciales:

Se calcularán mediante la fórmula (9):

τ i = Qy Sz (9)
ti Jz

En general se prescinde del uso de subíndices para las tensiones de corte pues se sabe que tienen la
dirección de la línea media de la sección. El subíndice i indicará la línea de corte que se esté analizando.

En el ejemplo se analizarán las tensiones en los tramos 1-2, 2-3 y 3-4 de la mitad superior de la
sección sabiendo que la mitad inferior es idéntica.

Para cada tramo de acuerdo a la figura 34, se calculará el correspondiente momento estático Sz y su
ley de variación, dado que el espesor es constante, la ley de variación del momento estático es directamente la
ley de variación de las tensiones tangenciales.

FIGURA 34

AÑO 2005 34


Tramo 1-2:

Sz = t.y2/2 0<y<6.0

τ (1-2)= Qy Sz
t Jz

τ (1-2)= Qy (t.y2/2) τ1 = 0 (y=0 )
t Jz τ2 = 0.139 Qy (y=6.0cm)

Tramo 2-3:

Sz = t h2 + t.s.h/2
8

Sz = 3.6 + 1.2 s 0<s<5.0

τ (2-3)= Qy (3.6+1.2s) τ2 = 0.139 Qy (s=0 )
t Jz τ3 = 0.370 Qy (s=5.0cm)

Tramo 3-4:

Sz = t h2 + t.b.h/2 + t.(h/2-y)(h/2+y)/2
8

Sz = 9.6 + 0.1(36 - y2) 6.0>y>0

τ (3-4)= Qy [(9.6+0.1(36-y2)] τ3 = 0.370 Qy (y=6.0cm )
t Jz τ4 = 0.509 Qy (y=0.0cm) Valor máximo

En la figura 35 se representa la ley de variación de las tensiones tangenciales y los respectivos valores
hallados. Los sentidos surgen de realizar los análisis de equilibrio de cada elemento como ya se ha visto
repetidamente.

Nótese el efecto de la asimetría de la sección en la distribución de las tensiones tangenciales.

AÑO 2005 35


0.139Qy 0.370Qy
0.139Qy 0.370Qy

0.509Qy

FIGURA 35

Cálculo del Centro de Corte:

Para encontrar la posición del centro de corte, conviene antes hallar la resultante de las tensiones tangenciales
en cada uno de los elementos que componen la sección, integrando el diagrama de tensiones sobre cada
elemento, así se tiene:

F1-2 = ∫A1-2 τ dA

y=h/2 6
F1-2 = ∫y=0 τ(1-2) tdy 3
= Qy t y /6 F1-2 = 0.056Qy
Jz 0

F2-3 = ∫A2-3 τ dA

s=b 5
F1-2 = ∫s=0 τ(2-3) tds = Qy (3.6 +1.2s) F2-3 = 1.273Qy
t Jz 0

F3-4 = ∫A3-43 τ dA

y=h/2 6
F1-2 = ∫y=0 τ(3-4) tdy 2
= Qy (9.6 +01(36-y )) F3-4 = 0.556Qy
t Jz 0

AÑO 2005 36


En la figura 36a se representan las fuerzas calculadas, observando que:

2xF1-2 + 2xF3-4 = -Qy Indicando el signo menos que está orientada hacia abajo.

Se cumple entonces que la resultante de todas las tensiones tangenciales en la dirección vertical es
igual al esfuerzo de corte solicitante Qy. No obstante se observa que el alma que tiene la ranura invierte el
sentido de la resultante y recarga a la otra, provocando además un desplazamiento adicional de la
ubicación del plano de solicitación para que no haya efecto de torsión, es decir el centro de corte se
aleja más de la sección que si esa alma partida no estuviese.

1.273Qy

0.056Qy 2x0.556Qy Qy Qy
=1.112Qy

CC

0.056Qy M=
15.84Qy

1.273Qy
(a) (b) (c)

FIGURA 36

Para hallar la posición del centro de corte se trasladan todas las fuerzas al alma 3-4 por ejemplo (ver figura
36b):

R = (2x 0.056 –1.112)Qy = -Qy

M = 1.273 Qy.12cm + 2 0.056Qy.5cm =15.84 Qy (unidades de fuerza x cm)

e= M/Qy = 15.84cm

Se obtiene el centro de corte a una distancia 15.84cm fuera de la sección.

Si la ranura no estuviese, es decir si la sección es cerrada, la simetría de la misma está restablecida,
consecuentemente el centro de corte coincide con el baricentro. Por otra parte, el diagrama de tensiones
tangenciales resulta simétrico siendo nulas en correspondencia del eje de simetría, tomando a este como
origen para calcular la forma de variación del momento estático como se ve en la figura 37, en la cual se ha
dibujado el diagrama de las tensiones tangenciales y las fuerzas resultantes correspondientes.

AÑO 2005 37


0.116Qy
0.116Qy 0.03Qy 0.03Qy

0.255Qy

0.5Qy 0.5Qy

0.03Qy 0.03Qy

FIGURA 37

Entre el eje de simetría y 2 o 3:

Sz = s.t.h/2

Sz = 0.2x6.s = 1.2 s 0<s<2.5

τ (0-2)= Qy 1.2s τ0 = 0.0 (s=0 )
t Jz τ2 = 0.116 Qy (s=2.5cm)

Entre 2 y 1 - 3 y 4:

Sz = t.b/2.h/2 + t.(h/2-y)(h/2+y)/2

Sz = 0.2x2.5x6.0 + 0.1x(36 – y2)

τ (3-4)= Qy [(3+0.1(36 - y2)] τ3 = 0.116 Qy (y=6.0cm )
t Jz τ4 = 0.255 Qy (y=0.0cm) Valor máximo

Se puede ver que el valor máximo de las tensiones tangenciales disminuye sensiblemente con relación al caso
anterior.

Repitiendo las integrales de las tensiones tangenciales en los respectivos tramos análogamente a como se hizo
en el caso anterior se obtienen las fuerzas indicadas en la figura 37b.

AÑO 2005 38


De la comparación delos resultados obtenidos en uno y otro caso se obtienen las siguientes conclusiones:

1.- La sección simétrica cerrada tiene un comportamiento totalmente balanceado, colaborando las dos
paredes verticales en igual medida para soportar la solicitación de corte, no existiendo efectos
torsionales por desequilibrio de las fuerzas internas.

2.- La aparición de la ranura (podría ser ocasionada por la aparición de una fisura en la sección
anterior), provoca un importante desbalanceo de las fuerzas interiores invirtiendo el sentido de las
tensiones en la pared fisurada y consecuentemente recargando la otra. Además la asimetría generada
provoca efectos torsionales de magnitud llevando el centro de corte afuera de la sección, con los
inconvenientes que esto trae aparejado.

En los cursos siguientes, cuando se analice el comportamiento torsional de las distintas secciones se
verán otras desventajas de las secciones abiertas frente a las cerradas.

8.- BIBLIOGRAFÍA

ESTABILIDAD II Capítulo 11, Enrique D Fliess, ed. Kapelusz, Buenos Aires 1975

RESISTENCIA DE MATERIALES I Capítulo IV, S. Timoshenko, ed. Espasa Calpe, Madrid 1976

RESISTENCIA DE MATERIALES Capítulos IV y XI, V.I. Feodosiev, ed. Mir, Moscú 1972

CIENCIA DE LA CONSTRUCCIÓN, Capítulo 8, O. Belluzzi, ed. Aguilar, Madrid, 1967

THEORY OF ELASTIC STABILITY, Capítulo 5, Timoshenko-Gere, McGraw-Hill, N.York 1961

TIMOSHENKO- RESISTENCIA DE MATERIALES, Caps. 5 y 6, J.Gere, Thomson,5ta ed.,Madrid, 2004

AÑO 2005 39

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