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    Mates 1º eso avanza santillana Mates 1º eso avanza santillana Document Transcript

    • Matemáticas 1 ESO AVANZA El libro Matemáticas para 1.º de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal. En su realización ha participado el siguiente equipo: M.ª Dolores Álvarez Joaquín Hernández Ana Yolanda Miranda M.ª Rosario Moreno Susana Parra Manuela Redondo Raquel Redondo M.ª Teresa Sánchez Teresa Santos Esteban Serrano EDICIÓN Angélica Escoredo Carlos Pérez DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa 1301279_Portadilla.indd 1301279 _ 0001-0005.indd 1 12/01/11 18:25 08/07/11 19:54
    • Índice 4. Números decimales...................................................... 58 Antes de empezar la unidad ............................................................ 59 1. Números decimales .................................................................. 60 2. Suma y resta de números decimales ......................................... 62 3. Multiplicación de números decimales ...................................... 63 4. División de números decimales ................................................ 64 5. Números decimales y fracciones .............................................. . 66 Lo esencial ..................................................................................... 68 Actividades .................................................................................... 70 5. Números enteros............................................................ 74 Antes de empezar la unidad ............................................................ 75 1. Números enteros ...................................................................... 76 2. Comparación de números enteros . .......................................... . 77 3. Suma y resta de dos números enteros ...................................... 78 4. Suma y resta de varios números enteros ................................... 80 6. Multiplicación y división de números enteros ....................... 82 1. Números naturales........................................................ 6 7. Operaciones combinadas con números enteros .................... 83 Lo esencial .................................................................................. 84 Antes de empezar la unidad ............................................................ 7 Actividades ................................................................................. 86 1. Números naturales. Sistemas de numeración ........................... 8 2. Multiplicación de números naturales ....................................... 11 3. División de números naturales ................................................. 12 4. Potencias de números naturales ............................................... 13 5. Operaciones con potencias ....................................................... 14 6. Raíces cuadradas ...................................................................... 16 7. Jerarquía de las operaciones ..................................................... 17 Lo esencial ..................................................................................... 18 Actividades .................................................................................... 20 2. Divisibilidad.................................................................... 24 Antes de empezar la unidad ............................................................ 25 3. Múltiplos de un número .......................................................... . 26 4. Divisores de un número ........................................................... 27 5. Números primos y compuestos ................................................ 28 6. Factorización de un número .................................................... . 29 7. Máximo común divisor ............................................................ 32 8. Mínimo común múltiplo .......................................................... 33 Lo esencial ..................................................................................... 34 Actividades .................................................................................... 36 3. Fracciones........................................................................ 40 Antes de empezar la unidad ............................................................ 41 6. Iniciación al Álgebra..................................................... 90 1. Números fraccionarios ............................................................. 42 Antes de empezar la unidad ............................................................ 91 2. Fracciones propias e impropias ................................................ 43 1. Lenguaje algebraico ............................................................... 92 3. Fracciones equivalentes ............................................................ 44 2. Expresiones algebraicas ......................................................... 93 4. Comparación de fracciones ...................................................... 47 3. Monomios ............................................................................. 94 5. Suma y resta de fracciones ....................................................... . 49 4. Ecuaciones ............................................................................ 95 6. Multiplicación de fracciones ..................................................... 50 5. Elementos de una ecuación ................................................... 95 7. División de fracciones .............................................................. 50 7. Resolución de ecuaciones de primer grado ........................... 96 . 8. Jerarquía de las operaciones con fracciones .............................. 51 8. Resolución de problemas ...................................................... 97 . Lo esencial ..................................................................................... 52 Lo esencial .................................................................................. 98 Actividades .................................................................................... 54 Actividades ................................................................................. 100301279 _ 0001-0005.indd 2 08/07/11 19:54
    • 7. Sistema Métrico Decimal............................................ 104 11. Perímetros y áreas....................................................... 170 Antes de empezar la unidad ............................................................ 105 Antes de empezar la unidad ............................................................ 171 1. Magnitudes y unidades ............................................................ 106 . 1. Perímetro de un polígono ........................................................ 172 . 2. Unidades de longitud ............................................................... 107 2. Longitud de la circunferencia ................................................... 173 3. Unidades de capacidad ............................................................ 110 . 3. Área de los paralelogramos ....................................................... 174 4. Unidades de masa .................................................................... 111 4. Área de un triángulo ................................................................ 176 . 5. Unidades de superficie ............................................................. 112 5. Área de un trapecio .................................................................. 177 6. Unidades de volumen .............................................................. 114 . 6. Área de un polígono regular ..................................................... 178 Lo esencial ..................................................................................... 116 7. Área del círculo ........................................................................ 178 Actividades .................................................................................... 118 8. Área de una figura plana .......................................................... 179 . Lo esencial ..................................................................................... 180 8. Proporcionalidad numérica. ...................................... 122 Actividades .................................................................................... 182 Antes de empezar la unidad ............................................................ 123 1. Razón y proporción .................................................................. 124 12. Poliedros y cuerpos de revolución......................... 186 2. Relación de proporcionalidad entre dos magnitudes ................ 125 Antes de empezar la unidad ............................................................ 187 3. Porcentajes ............................................................................... 129 2. Poliedros .................................................................................. 188 Lo esencial ..................................................................................... 132 3. Prismas ..................................................................................... 189 Actividades .................................................................................... 134 4. Pirámides ................................................................................. 190 . 5. Poliedros regulares ................................................................... 191 9. Rectas y ángulos............................................................ 138 6. Cuerpos de revolución ............................................................. 192 Lo esencial ..................................................................................... 194 Antes de empezar la unidad ............................................................ 139 Actividades .................................................................................... 196 1. Rectas, semirrectas y segmentos ............................................... 140 2. Ángulos .................................................................................... 142 3. Operaciones con ángulos ......................................................... 144 13. Funciones y gráficas................................................... 200 4. Sistema sexagesimal ................................................................. 146 . Antes de empezar la unidad ............................................................ 201 Lo esencial ..................................................................................... 148 1. Rectas numéricas ...................................................................... 202 Actividades ................................................................................. 150 2. Coordenadas cartesianas .......................................................... 203 3. Funciones ................................................................................. 207 4. Interpretación de gráficas ......................................................... 208 Lo esencial ..................................................................................... 210 Actividades .................................................................................... 212 14. Estadística y Probabilidad........................................ 216 Antes de empezar la unidad ............................................................ 217 2. Tipos de variables ..................................................................... 218 3. Frecuencias. Tablas de frecuencias ........................................... 219 . 4. Gráficos estadísticos ................................................................. 220 6. Sucesos. Espacio muestral ........................................................ 222 8. Regla de Laplace ....................................................................... 223 Lo esencial ..................................................................................... 224 Actividades .................................................................................... 226 10. Polígonos y circunferencia....................................... 154 Antes de empezar la unidad ............................................................ 155 1. Polígonos . ................................................................................ 156 . 2. Triángulos ................................................................................ 158 4. Teorema de Pitágoras ............................................................... 159 5. Cuadriláteros ............................................................................ 160 6. Propiedades de los paralelogramos . ......................................... 161 . 7. Circunferencias ........................................................................ 162 8. Posiciones relativas en el plano ................................................ 163 . 9. Polígonos regulares e inscritos . ................................................ 163 . Lo esencial ..................................................................................... 164 Actividades .................................................................................... 166301279 _ 0001-0005.indd 3 08/07/11 19:54
    • Esquema de unidad La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos. Lectura inicial: Antes de empezar 3 Muestra la Antes de empezar la unidad... la unidad… importancia de lo que LECTURA DE FRACCIONES Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador. Aparece el bloque vas a estudiar Numerador F 5 7 F Denominador de contenidos Fracciones Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresa previos necesarios el denominador como se indica en la siguiente tabla: a través de episodios Denominador Se lee 2 medios 3 tercios cuartos 4 5 quintos 6 sextos 7 séptimos 8 octavos 9 novenos 10 décimos Entre la proporción divina relacionados con la y la humana Da Vinci entró en la sala donde estaba Luca Pacioli Si el denominador es mayor que 10, se lee el número añadiendo la terminación -avos. Las fracciones se utilizan para comprender para expresar cantidades lo que vas a estudiar. examinando las ilustraciones de su libro. 5 historia de las F se lee cinco séptimos incompletas de la unidad. –Vuestro trabajo me parece fantástico, Leonardo 7 F –dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos. –Gracias, padre Pacioli –respondió Da Vinci F 2 Matemáticas. Además, mediante e hizo una leve inclinación–. Vuestra obra, se lee dos quintos 5 F La divina proporción, lo merecía. –Acerté al encargaros las ilustraciones Cuando el denominador es mayor que 10: del libro, pues sabía que el tema Se proponen de las proporciones os apasionaría 3 la evaluación inicial, F desde el momento en que me se lee tres onceavos DESCUBRE 11 F enseñasteis el boceto del Hombre LA HISTORIA... de Vitruvio –remarcó Pacioli. actividades que podrás afianzar 1. Aunque Leonardo –Las proporciones humanas que da Vinci es más conocido por Vitruvio recoge en su tratado EVALUACIÓN INICIAL su pintura, se ajustan a los cánones de PLAN DE TRABAJO belleza del arte actual –explicó los contenidos su contribución a las 1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones. te invitan a investigar matemáticas también Da Vinci–. ¿Sabéis que 9 3 12 En esta unidad es importante. a) c) e) aprenderás a… la distancia del codo al 4 2 8 Averigua alguna de extremo de la mano es un 5 1 11 • Manejar las distintas sus aportaciones. quinto de la altura de un hombre, b) d) f) repasados. 13 5 15 sobre el personaje de interpretaciones 2. Busca información que la distancia del codo a la axila de una fracción. sobre Luca Pacioli es un octavo o que la longitud 2 Escribe cómo se lee. y los trabajos que a) Una fracción con numerador 3 y denominador 5. • Identificar y hallar de la mano es un décimo? realizó con Leonardo b) Una fracción con numerador 2 y denominador 7. fracciones la lectura da Vinci. equivalentes c) Una fracción con denominador 9 y numerador 4. a una fracción dada. 3. Investiga sobre las d) Una fracción con denominador 6 y numerador 17. aportaciones a las • Comparar y ordenar matemáticas de Luca 1. Escribe en forma de fracción. fracciones. y la importancia de Pacioli y su relación a) Siete novenos. c) Diez doceavos. • Realizar operaciones con las fracciones. b) Dos décimos. d) Trece sextos. con fracciones. sus aportaciones. 41 301279_Unidad03.indd 40-41 05/07/11 08:12 Páginas de contenidos: En ellas 2 Triángulos 4 Teorema de Pitágoras encontrarás los contenidos y procedimientos básicos apoyados Según sean sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en: Un triángulo rectángulo es el que tiene un C El triángulo Equilátero: tiene los tres Isósceles: tiene dos Escaleno: tiene los ángulo recto (90°). Los lados que forman el rectángulo es el único ángulo recto se llaman catetos, y el lado ma- b a lados y los tres ángulos lados y dos ángulos tres lados y los tres triángulo que cumple iguales. iguales. ángulos desiguales. yor, hipotenusa. el teorema en gran cantidad de ejemplos resueltos. C C A B de Pitágoras. C a es la hipotenusa, b y c son los catetos. c a=b=c a=b b a T U U b a T U b a Teorema de Pitágoras A=B=C A=B A B En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa A B A B c c c es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. RECUERDA Acutángulo: tiene los tres ángulos agudos. C Rectángulo: tiene un ángulo recto. C Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso. C ANTES, DEBES SABER… a2 = b2 + c2 En la mayoría de las páginas se incluye la sección ANTES DEBES SABER… La medida de un ángulo se expresa en grados y se mide b a a b a Qué es la raíz cuadrada de un número b con el transportador. A B A B A B La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado c c c es igual al primero. V donde se repasan contenidos A = 70° 4 = 2, porque 22 = 4 62 = 36, entonces 36 = 6 Relaciones entre los lados y los ángulos ANTES, DEBES SABER… EJEMPLOS o procedimientos que debes conocer Cómo se despeja en una ecuación 5 Sabiendo que, en un triángulo rectángulo, los catetos miden DATE CUENTA 3 y 4 cm, respectivamente, ¿cuánto mide la hipotenusa? • Si un término está sumando en x + 2 = 7 " x = 7 - 2 = 5 Conociendo la medida G un miembro, pasa restando al otro. Aplicando el teorema de Pitágoras: Pasa restando de un cateto y la hipotenusa, Y si está restando, pasa sumando. a2 = 32 + 42 " a2 = 9 + 16 = 25 " a = 25 " a = 5 cm podemos hallar el otro al enfrentarte a los nuevos contenidos. 10 • Si un término está multiplicando 2x = 10 " x = =5 cateto: 2 6 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. en un miembro, pasa dividiendo al otro. G ¿Cuánto mide el otro cateto? c b Y si está dividiendo, pasa multiplicando. Pasa dividiendo Supongamos que el cateto conocido es b: Esta sección también se refuerza a = 10, b = 6 a Dado un triángulo &, siempre se cumple que: ABC a2 = b2 + c2 - -- 102 = 62 + c2 " 102 - 62 = c2 " c2 = 64 -- " b2 = a2 - c2 " b = a2 - c2 G • La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°. " c = 64 = 8 cm Pasa restando c2 = a2 - b2 " c = a2 - b2 El otro cateto mide 8 cm. con ejemplos resueltos. EJEMPLO 7 Comprueba si un triángulo cuyos lados miden 6, 9 y 11 cm, respectivamente, puede ser un triángulo rectángulo. 3 Calcula el ángulo que falta. Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir el teorema de Pitágoras: U V V A + B + C = 180° 35° 2 112 = 121 V 35° + 45° + C = 180° V 45° " 112 ! 62 + 92 " No se cumple el teorema de Pitágoras. 62 + 92 = 117 V C Al final de cada página se proponen C = 180° - 80° = 100° No existe un triángulo rectángulo cuyos lados midan 6, 9 y 11 cm. LO QUE DEBES SABER RESOLVER LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Clasifica este triángulo según sus lados y sus ángulos. 3 Calcula el ángulo que falta. V C 110° 30° 17 En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm, respectivamente. ¿Cuánto medirá la hipotenusa? 18 En este triángulo rectángulo, ¿cuánto mide el otro cateto? 7 cm 25 cm ejercicios que debes saber resolver 158 159 a partir de los contenidos aprendidos. 301279_Unidad_10.indd 158-159 05/07/11 08:17301279 _ 0001-0005.indd 4 08/07/11 19:54
    • Lo esencial: Esta doble página Lo esencial es de resumen y autoevaluación. COMPRENDE ESTAS PALABRAS Sistema de numeración decimal División Dividendo  Resto  F F 25    3   1      8 F F   Divisor   Cociente 2. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS COMPRENDE ESTAS PALABRAS. D. millar U. millar Centena Decena Unidad Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias. 3 5 1 4 2 Potencia 145 = 14 ? 14 ? 14 ? 14 ? 14 a) 75 ? (72)3 Es el vocabulario matemático F 30 000 5 000 100 40 2 1 4 4 44 2 4 4 44 3 F 5 veces 8 2 b) 4 : (4 ? 4 ) 5 Base Exponente trabajado en esa unidad. Sistema de numeración romano PRIMERO. Resolvemos las operaciones que hay entre paréntesis.   I = 1  V = 5  X = 10  L = 50  Raíz cuadrada 9 = 3, porque 32 = 9 a)  75 ? (72)3 = 75 ? 72?3 = 75 ? 76 C    = 100  D = 500  M = 1 000 9 =3 F   Raíz b)  48 : (42 ? 45) = 48 : 42+5 = 48 : 47 Símbolo  F de raíz  F Multiplicación 34   ?   2   =   68 SEGUNDO. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de potencias en el orden en que aparecen,  HAZLO DE ESTA MANERA. Son los    Factores  Producto Radicando de izquierda a derecha. a)  75 ? 76 = 75+6 = 711 b)  48 : 47 = 48-7 = 41 = 4 HAZLO DE ESTA MANERA 1. LEER NÚMEROS ROMANOS 2. CALCULAR UN PRODUCTO 4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS procedimientos básicos de la unidad. Resuelve: 100 ? (36 - 26) : 5 - 10 : (16 - 6) = PRIMERO. Resolvemos los paréntesis. Cada procedimiento se introduce O COCIENTE DE POTENCIAS Escribe en el sistema numérico decimal F F F F los siguientes números romanos. Expresa, si se puede, con una sola potencia. = 100 ?  10    :  5 - 10  :        10 = SEGUNDO. Efectuamos las multiplicaciones  a) 67 ? 65 c) 67 ? 27 e) 67 ? 25 y divisiones en el orden en el que aparecen. F a) XXVII b) IVCXCVI F F F     = 1 000     :  5 -   1  = mediante la resolución de una actividad b) 67 : 65 d) 67 : 27 f) 67 : 25 PRIMERO. Transformamos cada letra en  F F su equivalencia en el sistema numérico  PRIMERO. Estudiamos si son iguales las bases     = 200  -  1 = 199 TERCERO. Resolvemos las sumas y restas. decimal, teniendo en cuenta que cada letra  o los exponentes de las potencias. en la que aparece una rayita encima,  a) y b)   7 y 65 "   a base de las dos potencias  6 L se multiplica por 1 000. a)  X   X   V  I   I   10 10 5 1 1 es la misma, 6. c) y d)  67 y 27 "   as bases son distintas, pero  L los exponentes iguales, 7. Comprende estas palabras Y AHORA… PRACTICA Calcular un producto o cociente de potencias en la que se muestra, paso a paso, e) y f)  67 y 25 "   o son iguales las bases  N un método general de resolución. b)  I   V   C   X   C   V  I 1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 ni los exponentes. 1.  Escribe un número de cuatro cifras que tenga  6. Expresa, si se puede, con una sola potencia. las mismas unidades de millar que decenas  a)  85 : 45  c)  146 ? 23  e)  183 : 36 SEGUNDO. Examinamos los números,  SEGUNDO. y una unidad más que centenas. si un número es mayor que su número  b)  74 ? 73  d)  214 ? 24  f)  12311 : 1235 •   Si las bases son iguales, sumamos   anterior, le restamos a este número el anterior. o restamos los exponentes. 2.  Completa las expresiones para que sean  Y AHORA… PRACTICA. Son actividades ciertas. Realizar operaciones combinadas a)  X   X   V  I   I a)  67 ? 65 = 67+5 = 612 10 10 5 1 1 a)  8 ? 4 = 88  b)  3 ? 4 = 42 con potencias b)  67 : 65 = 67-5 = 62 b)  I   V   C   X   C   V  I 3.  En una división, el dividendo es 1 436, el divisor  2.  Expresa mediante una sola potencia  •   Si las bases no son iguales, pero los  1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 es 27 y el cociente es 53. Calcula el resto. las siguientes operaciones entre potencias. que te permitirán comprobar si dominas 144424443 14243 exponentes sí, multiplicamos o dividimos  5 000 - 1 000 100 - 10 las bases. a)  (35)2 : (36 : 34)  b)  (98 ? 93 : 95) ? 9 : (92)3 4.  Expresa en forma de potencia, si se puede. TERCERO. Sumamos los números resultantes. c)  67 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127 a)  17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17  b)  13 ? 13 ? 13 ? 12 Realizar operaciones combinadas a)  X   X   V  I   I   "  10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27 d)  67 : 27 = (6 : 2)7 = 37 los contenidos esenciales de esa unidad. 10 10 5 1 1 •   Si no son iguales las bases ni  Leer números romanos 10. Resuelve estas operaciones. b)  I   V   C   X   C   V  I los exponentes, no se puede expresar  1.  Transforma estos números romanos en  a)  7 ? (8 - 3) : 5 + 12 1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 144424443 14243 como una sola potencia. números del sistema decimal. b)  27 : (9 - 6) - 3 ? 4 : 6 4 000 90 e)  67 ? 25 = 67 ? 25 a)  CXXVI  b)  CMLIX  c)  IIICDLXXIV c)  (12 ? 2 - 18) ? 3 : 6 + (8 - 4) : 2 - 1 4 000 + 100 + 90 + 5 + 1 = 4 196 f)  67 : 25 = 67 : 25 18 19 301279_Unidad01.indd 18-19 06/07/11 11:36 Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados Actividades por contenidos. Todos los enunciados NÚMEROS DECIMALES 49. ● Representa en la recta numérica los números 9,3; 12,12 y 4,133. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES 15. ● ● Determina el término que falta en cada operación. Explica cómo lo haces. 43. ● Descompón en unidades los siguientes van precedidos por un icono que 50. ● ¿Qué número está representado en cada caso? a) 39,25 + 4 = 125,86 números decimales. 12. ● Suma estos números decimales. b) 17,129 - 4 = 7,464 a) Parte entera Parte decimal 3 4 a) 7,45 + 9,03 c) 8,002 + 12,4 c) 99,542 - 4 = 66,413 C D U d c m b) b) 0,834 + 12,8 d) 7 + 9,902 d) 4 - 303,987 = 259,137 indica su grado de dificultad. 43,897 135,903 9,71 8. ● Indica qué números están representados 9,72 56. ● Calcula. a) 32,35 - 0,89 c) 87,65 - 9,47 e) 4 - 25,06 = 427,07 f) 4 + 33,98 = 59,01 29,876 en estas rectas. b) 81,002 - 45,09 d) 4 - 2,956 58. ● ● Completa. HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos 44. ● Escribe cómo se lee cada número. a) a) 3,313 + 4 = 6,348 6,2 6,3 57. ● Efectúa las operaciones. a) 6,125 b) 1,014 c) 34,046 d) 0,019 b) 4 + 1,47 = 5,8921 b) a) 4,53 + 0,089 + 3,4 9,83 9,84 c) 4,56 - 4 = 0,936 b) 7,8 + 0,067 + 2,09 + 0,7 45. ● Completa. d) 4 - 2,431 = 1,003 que puedes tomar como modelo a) En 3 unidades hay 4 décimas. b) En 12 decenas hay 4 centésimas. c) En 5 unidades hay 4 milésimas. 51. ● Completa con el signo < o >, según corresponda. c) 123 + 23,09 - 45,7 - 0,28 d) 78,098 - 43,68 - 0,008 59. ● ● Resuelve. a) Suma 4 centésimas a 4,157. para afianzar procedimientos a) 0,231 4 0,235 c) 3,87 4 3,85 13. ● Efectúa las siguientes operaciones. b) Resta 3 décimas a 1,892. d) En 8 decenas hay 4 diezmilésimas. c) Suma 7 milésimas a 5,794. b) 0,710 4 0,83 d) 5,12 4 3,12 a) 0,974 + 125,86 c) 82,46 + 99,6 - 70,07 46. ● Escribe los números decimales que b) 29 - 3,756 d) 103,5 - 89,98 + 23,378 d) Resta 23 centésimas a 3,299. correspondan en cada caso. 52. ● Ordena, de menor a mayor: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2. e) Suma 3 milésimas a 1,777. trabajados en la unidad. a) 2 C 7 D 9 U 3 d b) 1 D 2 U 4 m c) 7 U 4 c 53. ● Ordena, de mayor a menor: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07. HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN 16. ● ● Efectúa estas operaciones. a) Suma 8 décimas y 7 centésimas a 56,07. UNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES? 9. ● Ordena de menor a mayor. b) Suma 3 unidades y 6 milésimas a 24,36. d) 8 C 9 U 6 d 14. Halla el término que falta para que el resultado c) Resta 8 unidades y 5 décimas a 76,008. e) 7 UM 6 D 7 c a) 3,9; 3,899; 3,099; 3,901; 3,90001; 3,91 sea correcto. d) Resta 3 décimas y 8 milésimas a 0,892. f) 4 CM 7 U 8 d 3 m b) 7,999; 8,01; 7,898; 8,101; 8,2 a) 12,99 + 4 = 98,3 e) Suma 5 decenas y 4 décimas a 25,456. c) 2,7; 2,703; 2,73; 2,7029; 2,70199 b) 7,45 - 4 = 3,99 f) Resta 6 decenas y 5 décimas a 82. 7. ● Realiza la descomposición en unidades de los siguientes números decimales. c) 4 - 7,774 = 987,9 10. ● Copia y completa con números para que a) 9,23 d) 4,065 las desigualdades sean ciertas. PRIMERO. Se identifica el término desconocido. 60. ● Calcula. b) 12,856 e) 8,004 a) 6,145 < 6,11 a) Es uno de los sumandos de una suma. a) 3,45 ? 0,018 g) 0,045 ? 1 000 c) 3,892 f) 65,903 b) 0,734 < 0,736 b) Es el sustraendo de una resta. b) 8,956 ? 14 h) 0,65 ? 10 000 c) 0,407 < 0,45 c) Es el minuendo de una resta. c) 3,4 ? 0,92 i) 3,78 ? 0,1 d) 123,4 ? 76 j) 794,2 ? 0,01 47. ● Escribe con cifras. SEGUNDO. Si el término es: e) 0,35 ? 10 k) 24,85 ? 0,001 a) Nueve décimas. 11. ●● Halla todos los números decimales que • Un sumando, se obtiene restando al resultado cumplen la condición que se indica en cada caso. el otro sumando. f) 1,4 ? 100 l) 56 ? 0,0001 b) Cuatro unidades quince centésimas. Después, ordénalos de mayor a menor. • El sustraendo, se obtiene restando al minuendo 61. ● Resuelve. c) Nueve unidades ciento ocho milésimas. el resultado. a) 8, a) 5 : 0,06 g) 30 : 10 d) Dos unidades mil diezmilésimas. • El minuendo, se obtiene sumando al resultado La suma de estas b) 8 : 1,125 h) 636 : 100 dos cifras es 9. el sustraendo. 48. ● Escribe los números que sean una centésima c) 17,93 : 7 i) 1 296 : 10 000 menor. b) 0, a) 4 = 98,3 - 12,99 = 85,31 d) 7 : 25 j) 55,2 : 0,1 El producto de estas b) 4 = 7,45 - 3,99 = 3,46 a) 0,99 c) 0,01 e) 4,9 e) 7,24 : 1,1 k) 202,2 : 0,01 dos cifras es 24. c) 4 = 987,9 + 7,774 = 995,674 b) 1,4 d) 5,98 f) 1,099 f) 8,37 : 4,203 l) 138,24 : 0,0001 70 71 301279_Unidad_04.indd 70-71 05/07/11 08:25301279 _ 0001-0005.indd 5 08/07/11 19:54
    • 1 Números naturales El profeta de los números Ramanujan se levantó, dio tres pasos que le colocaron en el centro del despacho de Hardy, en el Trinity College de Cambridge, y continuó el relato de su viaje. En un alarde de equilibrio, el barco, un vapor que hace la ruta entre la India e Inglaterra, continuaba su camino sobre una imaginaria línea recta que el temporal parecía querer quebrar. Yo pasé la tormenta en el camarote, petrificado, sin poder hacer otro movimiento que los provocados por el vaivén del barco, apretando contra mi pecho el cuaderno de los descubrimientos mientras pensaba que, tal vez, todo se perdería en el fondo del mar. DESCUBRE La noche avanzaba y el sueño se fue LA HISTORIA... apoderando de mi consciencia, al despertar 1. Busca información las nubes habían dejado paso al sol sobre los personajes y los negros presagios de mi mente habían que aparecen sido sustituidos por estas revelaciones. en el texto: Harold En ese momento, el joven indio le enseñó Hardy y Srinivasa Ramanujan. dos páginas del ajado cuaderno a su interlocutor. 2. ¿A qué episodio de la vida de estos dos El relato del viaje es apasionante pero personajes crees que no se puede comparar con estos corresponde el relato? sorprendentes resultados, ¿A qué viaje se refiere si una inspiración divina el joven Ramanujan? te los ha revelado, 3. Investiga sobre en verdad se puede las aportaciones de decir que eres Srinivasa Ramanujan al estudio de los «el profeta números naturales. de los números».301279 _ 0006-0023.indd 6 08/07/11 20:29
    • Antes de empezar la unidad... OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Suma Resta 5  8  0  6 F  Sumando 9  4  2  3 F  Minuendo 1 2  4  7  9  F  Sumando 2 7  5  6  1  F  Sustraendo 8  2  8  5   F  Suma o total 1  8  6  2   F  Diferencia Multiplicación División 2  4  5  7 F  Factor Dividendo F 4  6  9  5  7  4 3  Divisor F 3 6  0  3  F  Factor    3  9  5    1 0 9 2  Cociente F   7  3  7  1      0  8  7 .1  4  7  4  2  0         0  1 Resto F 1  4  8  1  5  7  1   F  Producto Para restar números Propiedad conmutativa de la suma naturales, el minuendo El orden de los sumandos no altera la suma. tiene que ser mayor 43 + 28 = 28 + 43 = 71 que el sustraendo. Sumandos Suma Propiedad asociativa de la suma El orden en el que agrupamos los sumandos no altera la suma. Sumandos (  21 + 37 ) + 42 = 21 + (37 + 42) 58 + 42 = 21 + 79 100 = 100 EVALUACIÓN INICIAL PLAN DE TRABAJO 1 Realiza las siguientes operaciones. En esta unidad a) 759 + 3 824 f) 782 ? 450 aprenderás a… b) 8 329 + 4 516 + 738 g) 695 ? 908 •  scribir números E c) 4 261 - 569 h) 5 928 : 38 romanos en el sistema d) 20 347 - 865 i) 22 863 : 56 de numeración e) 316 ? 273 j) 64 456 : 179 decimal. 2 Aplica la propiedad conmutativa y opera: 25 + 53 •  alcular potencias C de números naturales. 3 Aplica la propiedad asociativa y opera: (11 + 38) + 41 •  ealizar operaciones R con potencias. 4 Calcula el término que falta. •  ealizar operaciones R a) 62 734 + X = 68 251 c) 584 ? X = 179 288 combinadas con b) X - 5 397 = 8 406 d) X : 143 = 572 números naturales. 7301279 _ 0006-0023.indd 7 08/07/11 20:29
    • Números naturales. 1 Sistemas de numeración Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea. EJEMPLO 1 ¿Cuántos días hay desde el 8 de septiembre hasta el 27 de septiembre? SEPTIEMBRE L     M     M i     J     V     S     D Del 8 al 27 de septiembre hay 19 días. El conjunto de los números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número. Para escribir números naturales se utilizan los sistemas de numeración. 1.1  Sistema de numeración decimal En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintas para representar una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Para expresar números naturales solemos utilizar ANTES, DEBES SABER… el sistema de numeración Cuáles son los órdenes de unidades del sistema decimal. de numeración decimal y sus equivalencias Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad de millón de millón de millón de millar de millar de millar En el sistema de numeración decimal cada 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. 1 D = 10 U 1 C = 10 D = 100 U 1 UM = 10 C = 1 000 U 1 DM = 10 UM = 10 000 U 1 CM = 10 DM = 100 000 U 1 U. de millón = 10 CM = 1 000 000 U 1 D. de millón = 10 U. de millón = 10 000 000 U 1 C. de millón = 10 D. de millón = 100 000 000 U LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Contesta. 2 Copia y completa estas igualdades. a) ¿Cuántas decenas hay en 1 unidad de millar? a) 3 UM = X C d) 7 DM = X C b) ¿Cuántas centenas hay en 1 decena de millar? b) 8 CM = X D e) 6 UM = X D c) ¿Cuántas centenas hay en 1 unidad de millón? c) 3 U. de millón = X DM f) 5 C = X D 8301279 _ 0006-0023.indd 8 08/07/11 20:30
    • ANTES, DEBES SABER… Cómo se descompone un número en sus órdenes de unidades En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden de unidades. EJEMPLO 1 Descompón estos números en sus órdenes de unidades. a) 14 = 1 D + 4 U b) 256 = 2 C + 5 D + 6 U c) 1 807 = 1 UM + 8 C + 7 U d) 103 410 = 1 CM + 3 UM + 4 C +1 D e) 3 020 070 = 3 U. de millón + 2 DM + 7 D f) 906 025 000 = 9 C. de millón + 6 U. de millón + 2 DM + 5 UM El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número. EJEMPLO 2 Calcula el valor posicional de las cifras del número 129 098 105. El valor de cada cifra depende de su posición Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad en el número. de millón de millón de millón de millar de millar de millar 1 2 9 0 9 8 1 0 5 129 098 105 F 5 Unidades F 0 Decenas F 1 Centena = 100 unidades F 8 Unidades de millar = 8 000 unidades F 9 Decenas de millar = 90 000 unidades F 0 Centenas de millar F 9 Unidades de millón = 9 000 000 unidades F 2 Decenas de millón = 20 000 000 unidades F 1 Centena de millón = 100 000 000 unidades LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Señala el valor de la cifra 5 en estos números. 3 Indica cómo se leen los números representados en estos ábaco. a) 15 890 900   b)  509 123 780   c)  163 145 900 a) b) 2 Escribe tres números que tengan 4 unidades de millar, 7 decenas y 4 unidades. 4 Escribe cinco números cuya cifra de las centenas de millón sea 7 y otros cinco cuya cifra DM UM C D U DM UM C D U de las centenas de millar sea 9. 9301279 _ 0006-0023.indd 9 08/07/11 20:30
    • 1.2  Sistema de numeración romano Aunque habitualmente para Para expresar cantidades mediante el sistema de numeración romano escribir números naturales se utilizan siete letras distintas con estos valores: utilizamos el sistema I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 de numeración decimal, C = 100 D = 500 M = 1 000 a lo largo de la historia se han empleado otros El sistema de numeración romano es aditivo, es decir, cada letra tiene sistemas de numeración. siempre el mismo valor. Reglas para escribir números en el sistema de numeración romano •  uma. Una letra escrita a la derecha de otra de igual o mayor valor, le S suma a esta su valor. XVI = 10 + 5 + 1 = 16 CLV = 100 + 50 + 5 = 155 •  epetición. Las letras I, X, C y M se pueden escribir hasta tres veces R seguidas. Las demás letras no se pueden repetir. III = 3 XXX = 30 CCC = 300 •  ustracción. La letra I escrita a la izquierda de V o X, la X a la izquierda S de L o C, y la C a la izquierda de D o M, les resta a estas su valor. IV = 5 - 1 = 4 XC = 100 - 10 = 90 CM = 1 000 - 100 = 900 •  ultiplicación. Una raya colocada encima de una letra o grupo de letras M multiplica su valor por mil. VI = 6 000 VI = 5 001 XL = 40 000 EJEMPLOS 3 Expresa estos números romanos en el sistema decimal. a) LXV  "  50 + 10 + 5 = 65 b) XXI  "  10 + 10 + 1 = 21 c) CCVII  "  100 + 100 + 5 + 1 + 1 = 207 d) MDIII  "  1 000 + 500 + 1 + 1 + 1 = 1 503 e) IX  "  10 - 1 = 9 f) XLVII  "  50 - 10 + 5 + 1 + 1 = 47 g) VCCCXL  "  5 ? 1 000 + 100 + 100 + 100 + 50 - 10 = 5 340 3 Expresa las siguientes cantidades como números romanos: 14 = XIV 94 = XCIV 119 = CXIX 895 = DCCCXCV 2 011 = MMXI 9 141 = IXCXLI LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Traduce al sistema de numeración decimal: 6 Escribe en números romanos. a) XCII d) CDXXIII g) MMMCCVI a) 194 d) 12 311 g) 265 b) DCCXL e) CMXXI h) DCCIX b) 426 e) 3 h) 1 569 c) VIIIIX f) XXIX i) LXIX c) 2 046 f) 14 i) 2 427 10301279 _ 0006-0023.indd 10 08/07/11 20:30
    • Multiplicación 2 de números naturales La multiplicación es la expresión abreviada de una suma de varios su- El producto de dos mandos iguales. números se indica por Los términos de la multiplicación se denominan factores. El resultado un punto (·), aunque también final se llama producto. se puede representar por el signo x. 12 · 7 = 12 x 7 EJEMPLOS 4 Expresa como un producto. a) 3 + 3 + 3 + 3 = 3 ? 4 = 12              b)  12 + 12 = 12 ? 2 = 24 5 Colocamos en una báscula 5 sacos de patatas que pesan 75 kg cada uno. ¿Qué peso marcará la báscula? 75 + 75 + 75 + 75 + 75 = 75 ?  5  =  375 . La báscula marcará 375 kg. Factores Producto La multiplicación cumple las siguientes propiedades: •  onmutativa. El orden de los factores no altera el producto. C 5 ? 7 = 7 ? 5 35 = 35 •  sociativa. El orden en el que agrupamos los factores no altera el A producto. (4 ? 7) ? 5 = 4 ? (7 ? 5) 28 ? 5 = 4 ? 35 140 = 140 •  lemento neutro o unidad. Es el 1, ya que cualquier número mul- E tiplicado por 1 es igual al mismo número. 13 ? 1 = 13 •  istributiva. El producto de un número por una suma o resta es D igual a la suma o resta de los productos del número por cada término. 3  ? (2 + 5) = 3 ? 2 + 3 ? 5 4 ? (8 - 3) = 4 ? 8 - 4 ? 3 3 ? 7 = 6 + 15 4 ? 5 = 32 - 12 21 = 21 20 = 20 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Expresa como un producto. 11 Mario ha comprado 5 cajas de pinturas. a) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 Si en cada caja hay 18 pinturas, ¿cuántas pinturas tiene en total? b) 11 + 11 + 11 + 11 + 11 c) 13 + 13 + 13 5 Una docena de huevos son 12 huevos. 10 Aplica la propiedad distributiva. ¿Cuántos huevos hay en 2 docenas de huevos? a) 7 ? (4 + 10) b) 18 ? (7 - 2) ¿Y en 8 docenas de huevos? ¿Y en 32 docenas? 11301279 _ 0006-0023.indd 11 08/07/11 20:30
    • División 3 de números naturales Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto. En una división, el resto siempre tiene que ser menor que el divisor. EJEMPLO 6 Un padre quiere repartir 630 € entre sus tres hijos en partes iguales. ¿Qué cantidad recibirá cada uno? 630   3 03    210    F   Cada hijo recibirá 210 €. 000 •  Cuando el resto es cero, la división es exacta. Dividendo D    d F  Divisor F Resto 0    c F  Cociente F •  Si el resto no es cero, la división es no exacta. Dividendo D    d F  Divisor F Resto r     c F  Cociente F En ambos casos se cumple que: Dividendo = divisor ? cociente + resto A esta igualdad se le llama prueba de la división. EJEMPLO 7 Se quieren repartir 43 caramelos entre 14 niños. ¿Cuántos caramelos recibirá cada niño? ¿Sobra alguno? 43   14 01   3    F   Cada niño recibirá 3 caramelos y sobra 1 caramelo. Para comprobar que la división es correcta, primero vemos que el resto es menor que el divisor, 1 < 14, y después realizamos la prueba de la división: D = d ? c + r  " 43 = 14 ? 3 + 1 43 = 42 + 1 43 = 43 Esto significa que hemos realizado bien la división. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 13 Halla el cociente y el resto de la división 7 Un barco lleva 56 contenedores en los que 6 712 : 23. Haz la prueba. se ha metido el mismo peso en cada uno. Si el peso de la carga total es 85 288 kg, 6 Determina cuáles de estas divisiones son ¿cuál es el peso de cada contenedor? exactas y calcula el cociente de cada una de ellas. a) 1 416 : 18 c) 3 182 : 37 e) 8 205 : 13 14 Calcula el dividendo de una división exacta b) 2 470 : 26 d) 1 445 : 85 f) 4 002 : 22 si el cociente es 13 y el divisor es 6. 12301279 _ 0006-0023.indd 12 08/07/11 20:30
    • Potencias 4 de números naturales Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: base an = a ? a ? a ? … ? a 34 F 144 244 3 4 4 F n veces exponente a es la base, el factor que se repite. n es el exponente, el número de veces que se repite la base. 2 ? 2 = 22 "  Se lee «2 elevado a 2» o «2 al cuadrado». 3 4?4?4=4 "  Se lee «4 elevado a 3» o «4 al cubo». 4 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 3 "  Se lee «3 elevado a 4» o «3 a la cuarta». EJEMPLOS 8 Escribe en forma de potencia las siguientes multiplicaciones: Multiplicación Potencia Se lee 6 5?5?5?5?5?5 5 «5 elevado a 6» o «5 a la sexta» 3 14 ? 14 ? 14 14 «14 elevado a 3» o «14 al cubo» 9 Halla el valor de estas potencias. Y a) 23 = 2 ? 2 ? 2 = 8    b)  92 = 9 ? 9 = 81    c)  34 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81 14 24 3 4 4 F 3 veces F 2 veces F 4 veces Potencias de base 10 Una potencia de base 10 y exponente un número natural es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente. CALCULADORA EJEMPLO Para hallar potencias con la calculadora utilizamos 10 Halla el valor de las siguientes potencias de base 10. la tecla x  y    . X a) 103 = 10 ? 10 ? 10 = 1 000     b)  105 = 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 = 100 000 56 " 5   x  y   6   = 15625 14 24 3 4 4 1 4444 2 4444 3 3 veces 3 ceros 5 veces 5 ceros 212 " 2   x  y  12 = 4096 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Escribe y calcula. 18 Escribe en forma de potencia y calcula su valor. a) Siete al cubo. c) Diez a la cuarta. a) 10 ? 10 ? 10 b) 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 b) Cuatro a la quinta. d) Diez a la octava. 8 Escribe como producto estas potencias 17 Indica la base y el exponente de estas y calcula su valor. potencias. Escribe cómo se leen. a) 74 c) 85 e) 26 6 2 4 5 a) 3       b)  10       c)  5       d)  4 3 b) 5 d) 58 f) 62 13301279 _ 0006-0023.indd 13 08/07/11 20:30
    • Operaciones 5 con potencias Las potencias cumplen una serie de propiedades, independientemente de cuál sea el valor de la base y del exponente. ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa un número como una potencia con exponente 1 Cualquier número es igual a una potencia con base ese número y exponente 1. 2 = 21    5 = 51    16 = 161 5.1  Producto de potencias de la misma base Para que se puedan aplicar las propiedades del producto Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene y el cociente, las potencias la misma base y se suman los exponentes. han de tener la misma base. am ? an = am+n 5  • 7 " No se puede 3 4 expresar como una sola EJEMPLO potencia. 4 Escribe estos productos de potencias como una sola potencia. a) 25 ? 23 = 25+3 = 28 d) 25 ? 23 ? 26 = 25+3+6 = 214 b) 57 ? 52 = 57+2 = 59 e) 57 ? 52 ? 5 = 57+2+1 = 510 c) 43 ? 4 = 43+1 = 44 f) 43 ? 4 ? 4 = 43+1+1 = 45 5.2  Cociente de potencias de la misma base Para dividir dos potencias con la misma base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes. am  : an = am-n EJEMPLO 5 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia. a) 25 : 23 = 25-3 = 22 d) 29 : 23 = 29-3 = 26 b) 57 : 52 = 57-2 = 55 e) 67 : 63 = 67-3 = 64 c) 43 : 4 = 43-1 = 42 f) 45 : 42 = 45-2 = 43 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Escribe como una sola potencia. 24 Halla el resultado de estos cocientes 4 a) 7 ? 7 5 3 c) 9 ? 9 ? 95 4 de potencias. b) 53 ? 53 d) 42 ? 43 ? 44 a) 78 : 75 c) 97 : 95 b) 206 : 204 d) 127 : 125 21 Halla el valor de estos productos de potencias. 26 Calcula. 4 5 3 2 a) 10 ? 10 b) 10 ? 10 ? 10 a) (34 : 32) ? 33 b) (56 ? 52) : 54 14301279 _ 0006-0023.indd 14 08/07/11 20:30
    • 5.3  Potencias de exponente 1 y 0 •  Una potencia de exponente 1 es igual a la base " a1 = a. •  Una potencia de exponente 0 es igual a 1 " a0 = 1. EJEMPLO 6 Calcula estas potencias. a) 20 = 1 c) 70 = 1 e) 240 = 1 b) 21 = 2 d) 71 = 7 f) 241 = 24 5.4  Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes. (am)n = am?n EJEMPLO 7 Calcula estas potencias. a) (23)4 = 23?4 = 212 b) (54)6 = 54?6 = 524 Utilizando esta propiedad 5.5  Potencia de una multiplicación y una división en sentido inverso se pueden simplificar los cálculos. •  a potencia de una multiplicación es igual al producto de las po- L tencias de sus factores. 54 · 24 = (5 · 2)4 = 104 (a ? b)n = an ? bn 63 : 23 = (6 : 2)3 = 33 •  a potencia de una división es igual al cociente de las potencias del L dividendo y el divisor. (a : b)n = an : bn EJEMPLO 8 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia. a) (4 ? 2)3 = 43 ? 23 = 64 ? 8 = 512 b) (10 : 5)3 = 103 : 53 = 1 000 : 125 = 8 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 25 Calcula el valor de las potencias. 30 Expresa como producto o cociente de potencias. a) 151 b) 140 a) 3 ? 2)4 ? (3 ? 2)5 ( b) (14 ? 5)7 : (14 ? 5)4 28 Calcula. 9 Calcula el valor de estas potencias. 4 3 5 a) (2 ) c) (14 ? 16) a) (74)2 ? 73 c) (2 ? 6)7 ? 123 b)  (63)5 d) (216 : 24)3 b) (53)7 : 58 d) (6 ? 3)9 : 185 15301279 _ 0006-0023.indd 15 08/07/11 20:30
    • Raíces 6 cuadradas CALCULADORA 6.1  Raíz cuadrada exacta Para hallar una raíz La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b tal que, cuadrada con la calculadora al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número a. utilizamos la tecla   . 361 a = b, cuando b2 = a " 361 19 1296 " 1 296 36 Llamamos radicando al número a, Símbolo F a =b F Raíz de raíz F es el símbolo de la raíz y decimos que b es la raíz cuadrada de a. Radicando A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les denomina cuadrados perfectos. EJEMPLOS 18 Halla las raíces de los siguientes cuadrados perfectos. Como 4 = 2 porque 22 = 4, decimos a) 1 = 1  porque  12 = 1 h) 64 = 08  porque   82 = 64 que la raíz cuadrada b) 4 = 2  porque  22 = 4 i) 81 = 09  porque   92 = 81 es la operación inversa de elevar al cuadrado. c) 9 = 3  porque  32 = 9 j) 100 = 10  porque  102 = 100 d) 16 = 4  porque  42 = 16 k) 121 = 11  porque  112 = 121 e) 25 = 5  porque  52 = 25 l) 144 = 12  porque  122 = 144 f) 36 = 6  porque  62 = 36 m) 169 = 13  porque  132 = 169 g) 49 = 7  porque  72 = 49 n) 196 = 14  porque  142 = 196 19 El área de un cuadrado es 49 cm2. ¿Cuánto mide el lado? 4 " l2 = 49 " l = 49 cm2 l Área = l $ l = l2 49 = 7 Área = 49 cm2 l El lado mide 7 cm. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 32 Comprueba si estas raíces cuadradas están 34 Calcula el lado de un cuadrado de 400 cm2 bien resueltas. de área. a) 225 = 15 c) 1 000 = 100 10 Calcula el radicando de estas raíces sabiendo b) 255 = 16 d) 40 000 = 200 que son raíces cuadradas exactas. Comprueba 33 Halla con tu calculadora. que el radicando al cuadrado es igual a la raíz. a) 289 c) 15 625 a) d = 3 c) d = 10 b) 10 000 d) 135 424 b) d = 7 d) d = 14 16301279 _ 0006-0023.indd 16 08/07/11 20:30
    • Jerarquía 7 de las operaciones ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas de suma y resta • Para calcular una serie de sumas y restas sin paréntesis, se hacen las operaciones en el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha. • Para calcular una serie de sumas y restas con paréntesis, se hacen primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis. EJEMPLO 9 Resuelve estas operaciones. a) 15 + 23 - 2 - 12 + 8 = b) (95 - 32) - (39 - 16) - 21 = F F F F F F = 38 - 2 - 12 + 8 = = 63 - 23 - 21 = F F F F = 36 - 12 + 8 = = 40 - 21 = F F F F = 24 +8= = 19 F F = 32 Cuando en una expresión aparecen operaciones combinadas, el orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente: 1.º  operaciones que hay entre paréntesis. Las 2.º  potencias y las raíces. Las 3.º  multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. Las 4.º  sumas y las restas, de izquierda a derecha. Las EJEMPLO 22 Calcula las siguientes expresiones. a) 10 + 3 ? 7 - 14 : 7 = c) 5 ? (16 - 9) + 3 ? (4 : 2) : 2 = F F F F F F F F = 10 + 21 - 2 = = 5 ? 7 + 3 ? 2 2 = : F F F F F F = 31 - 2 = = 35 + 6 2 = : F F F F = 29 = 35 + 3 = 38 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Resuelve estas operaciones. 41 Calcula. a) 17 - 8 - 2 + 6 + 5 - 10 a) 7 ? 4 - 12 + 3 ? 6 - 2 b) 17 - (8 - 2) + 6 + 5 - 10 b) (11 - 7) ? 4 + 2 ? (8 + 2) c) 17 - (8 - 2 + 6) + 5 - 10 c) 3 ? (14 + 12 - 20) : 9 + 2 17301279 _ 0006-0023.indd 17 08/07/11 20:30
    • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Sistema de numeración decimal División Dividendo  F 25    3 F   Divisor D. millar U. millar Centena Decena Unidad Resto  F 1     8 F   Cociente 3 5 1 4 2 Potencia 145 = 14 ? 14 ? 14 ? 14 ? 14 F 30 000 5 000 100 40 2 1 4444 2 4444 3 F 5 veces Base  Exponente Sistema de numeración romano I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 Raíz cuadrada 9 = 3, porque 32 = 9 C = 100 D = 500 M = 1 000 9 =3 F   Raíz Símbolo F de raíz F Multiplicación 34   ?   2   =   68 Factores Producto Radicando HAZLO DE ESTA MANERA 1. LEER NÚMEROS ROMANOS 2. CALCULAR UN PRODUCTO O COCIENTE DE POTENCIAS Escribe en el sistema numérico decimal los siguientes números romanos. Expresa, si se puede, con una sola potencia. a) XXVII b) IVCXCVI a) 67 ? 65 c) 67 ? 27 e) 67 ? 25 7 5 7 7 b) 6 : 6 d) 6 : 2 f) 67 : 25 PRIMERO. Transformamos cada letra en su equivalencia en el sistema numérico PRIMERO. Estudiamos si son iguales las bases decimal, teniendo en cuenta que cada letra o los exponentes de las potencias. en la que aparece una rayita encima, a) y b) 7 y 65 " a base de las dos potencias 6 L se multiplica por 1 000. es la misma, 6. a) X   X   V  I   I c) y d) 67 y 27 " as bases son distintas, pero L 10 10 5 1 1 los exponentes iguales, 7. 7 5 b) I   V   C   X   C   V  I e) y f) 6 y 2 " o son iguales las bases N 1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 ni los exponentes. SEGUNDO. Examinamos los números, SEGUNDO. si un número es mayor que su número •  i las bases son iguales, sumamos S anterior, le restamos a este número el anterior. o restamos los exponentes. a) X   X   V  I   I a) 67 ? 65 = 67+5 = 612 10 10 5 1 1 b) 67 : 65 = 67-5 = 62 b) I   V   C   X   C   V  I •  i las bases no son iguales, pero los S 1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 144424443 14243 exponentes sí, multiplicamos o dividimos 5 000 - 1 000 100 - 10 las bases. TERCERO. Sumamos los números resultantes. c) 67 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127 a) X   X   V  I   I   "  10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27 d)  67 : 27 = (6 : 2)7 = 37 10 10 5 1 1 •  i no son iguales las bases ni S b) I   V   C   X   C   V  I los exponentes, no se puede expresar 1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 144424443 14243 como una sola potencia. 4 000 90 e) 67 ? 25 = 67 ? 25 4 000 + 100 + 90 + 5 + 1 = 4 196 f) 67 : 25 = 67 : 25 18301279 _ 0006-0023.indd 18 08/07/11 20:30
    • 2. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias. a) 75 ? (72)3 b) 48 : (42 ? 45) PRIMERO. Resolvemos las operaciones que hay entre paréntesis. 5 2 3 5 2?3 a) 7 ? (7 ) = 7 ? 7 = 75 ? 76 b) 48 : (42 ? 45) = 48 : 42+5 = 48 : 47 SEGUNDO. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de potencias en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. a) 75 ? 76 = 75+6 = 711 b) 48 : 47 = 48-7 = 41 = 4 4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS Resuelve: 100 ? (36 - 26) : 5 - 10 : (16 - 6) = PRIMERO. Resolvemos los paréntesis. F F F F = 100 ? 10    :  5 - 10  : 10 = SEGUNDO. Efectuamos las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen. F F F F = 1 000    :  5 - 1 = F F = 200 - 1 = 199 TERCERO. Resolvemos las sumas y restas. Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Calcular un producto o cociente de potencias 1. Escribe un número de cuatro cifras que tenga 6. Expresa, si se puede, con una sola potencia. las mismas unidades de millar que decenas a) 85 : 45 c) 146 ? 23 e) 183 : 36 y una unidad más que centenas. b) 74 ? 73 d) 214 ? 24 f) 12311 : 1235 2. Completa las expresiones para que sean ciertas. Realizar operaciones combinadas a) 8 ? 4 = 88 b) 3 ? 4 = 42 con potencias 3. En una división, el dividendo es 1 436, el divisor 2. Expresa mediante una sola potencia es 27 y el cociente es 53. Calcula el resto. las siguientes operaciones entre potencias. a) (35)2 : (36 : 34) b) (98 ? 93 : 95) ? 9 : (92)3 4. Expresa en forma de potencia, si se puede. a) 17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17 b) 13 ? 13 ? 13 ? 12 Realizar operaciones combinadas Leer números romanos 10. Resuelve estas operaciones. 1. Transforma estos números romanos en a) 7 ? (8 - 3) : 5 + 12 números del sistema decimal. b) 27 : (9 - 6) - 3 ? 4 : 6 a) CXXVI b) CMLIX c) IIICDLXXIV c) (12 ? 2 - 18) ? 3 : 6 + (8 - 4) : 2 - 1 19301279 _ 0006-0023.indd 19 08/07/11 20:30
    • Actividades SISTEMAS DE NUMERACIÓN OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES 12. ● Señala el valor de la cifra 5 en cada uno de los siguientes números. 57. ● Aplica la propiedad distributiva y calcula. a) 15 890 900 c) 509 123 780 e) 163 145 900 a) 6 ? (11 + 4) d) 15 ? (20 - 7 - 8) b) 54 786 008 d) 64 320 510 f) 986 403 005 b) 25 ? (37 - 12) e) (20 + 14 - 15) ? 17 c) 8 ? (17 + 12 + 10) f) (18 + 3 - 2) ? 5 48. ● Indica el valor posicional que tiene la cifra 1 58. ● Completa la tabla. en estos números. a) 122 578 c) 1 432 000 e) 1 010 101 Dividendo Divisor Cociente Resto b) 438 231 d) 32 181 120 f) 3 107 251 173 3 267 4 49. ●● Indica el valor posicional de todas las cifras de estos números. 1 329 9 a) 987 654 c) 887 787 e) 8 080 008 59. ● Halla el cociente y el resto de 45 456 : 22. b) 656 565 d) 3 004 005 f) 2 222 222 Realiza la prueba de la división. 13. ● Escribe: 15. ● Resuelve estas divisiones y realiza la prueba. • Cinco números mayores que 20 000 cuya cifra a) 327 : 22 c) 9 255 : 37 e) 29 001 : 132 de las unidades de millar sea 8. b) 4 623 : 18 d) 12 501 : 59 f) 36 102 : 205 • Cinco números menores que 100 000 cuya cifra de las decenas de millar sea 3. • Cinco números mayores que 29 000 y menores HAZLO ASÍ que 29 100 con la cifra de las decenas igual a la cifra de las unidades. ¿CÓMO SE CALCULA UN TÉRMINO DE LA DIVISIÓN CONOCIENDO LOS DEMÁS? Ordena los números en cada caso, de menor a mayor, utilizando el signo correspondiente. 60. Sin realizar la división, halla el resto de 453 : 23, si el cociente es 19. 54. ● Expresa en el sistema de numeración decimal PRIMERO. Se sustituye cada letra por su valor estos números romanos. en la prueba de la división. a) XXVI c) MCCXXV D =   d  ? c + r b) DCXLVI d) DXXX 453 = 23 ? 19 + r  "  453 = 437 + r 55. ●● Expresa los siguientes números romanos SEGUNDO. El resto es un número tal que, en el sistema de numeración decimal. al sumarlo a 437, da 453. a) XIX c) MMCCIX r = 453 - 437 = 16. El resto de la división es 16. b) CDXL d) CMXC 56. ● Expresa en el sistema de numeración decimal. 61. ● ● El dividendo de una división es 1 512, a) XLVI f) IVCDXXX el divisor es 8 y el cociente es 189. Halla el resto sin efectuar la división. b) CXCII g) DCCXCIII c) CMXXXIV h) MMCCII 62. ● ● Sin realizar la división, indica cuáles d) XXXIV i) XCXL de estas divisiones son exactas. e) MMMDLXXX j) MXXIX D a) = 6 099 d = 19 c = 321 r=? D b) = 986 d = 17 c = 58 r=? 14. ● Escribe en números romanos. a) 7   b)  22   c)  74   d)  143   e)  3 002 16. ● ¿Qué resto puede tener una división de divisor 7? 20301279 _ 0006-0023.indd 20 08/07/11 20:30
    • POTENCIAS 75. ● ● Completa. a) 92 ? 9 4 = 96 c) 5 4 ? 53 = 58 65. ● Escribe como producto de factores. b) 2 4 ? 23 = 29 d) 3 4 ? 39 = 311 a) 43 b) 104 c) 272 d) 1025 76. ● ● Completa. 66. ● Expresa estas multiplicaciones en forma a) 74 ? 74 ? 7 = 77 c) 13 ? 136 ? 134 = 139 de potencia, si se puede. b) 54 ? 5 ? 53 = 58 d) 83 ? 85 ? 84 = 812 a) 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 b) 37 ? 37 79. ● Expresa como una sola potencia. c) 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4 a) 68 : 63 b) 215 : 27 c) 65 : 35 d) 46 : 26 d) 25 80. ● Expresa como una potencia. 67. ● Indica cuál es la base y el exponente. a) (27 : 24) : 22 c) 115 : (116 : 113) a) 28 Base = 4   Exponente = 4 b) (79 : 73) : 74 d) 43 : (45 : 42) b) 312 Base = 4   Exponente = 4 81. ● ● Completa. 68. ● Expresa con números. a) 47 : 53 = 54 c) 95 : 94 = 93 a) Once a la quinta. b) Nueve a la cuarta. b) 124 : 126 =129 d) 38 : 34 = 32 69. ● Escribe cómo se leen estas potencias. 84. ● Expresa como una potencia. a) 123 b) 74 c) 212 d) 1412 a) (54)2 b) (73)3 c) (65)2 d) (82)6 71. ● Completa la tabla. 91. ● ● Calcula. Al cuadrado Al cubo A la cuarta a) (35 ? 32) : 33 c) (85 : 83) ? 82 9 b) 43 ? (47 : 44) d) 75 : (72 ? 72) 11 92. ● ● Resuelve. a) (35)2 ? (32)4 c) (95)3 ? (94)3 OPERACIONES CON POTENCIAS b) (73)3 ? (72)4 d) (116)2 ? (113)4 93. ● ● Indica como una sola potencia. 73. ● Expresa como una sola potencia. a) (62)5 : (63)3 c) (108)3 : (104)5 a) 72 ? 73 b) 114 ? 84 c) 83 ? 53 d) 45 ? 4 b) (87)2 : (83)4 d) (29)2 : (23)5 74. ● Escribe como una sola potencia. a) 32 ? 34 ? 33 c) 63 ? 62 ? 65 94. ● ● Calcula las siguientes expresiones. b) 54 ? 5 ? 56 d) 43 ? 53 ? 63 a) 39 : ((32)5 : 37) ? 33 b) (72)3 ? (75 : 72) : (72)4 HAZLO ASÍ RAÍCES CUADRADAS ¿CÓMO SE CALCULA UN EXPONENTE DESCONOCIDO EN UN PRODUCTO DE POTENCIAS? 95. ● Completa. 17. Copia y completa: 32 ? 3X = 38 a) 352 = 1 225, entonces 1225 = 4 b) 9 025 = 95, entonces 952 = 4 PRIMERO. Se aplican las propiedades de las potencias. 3 ? 3 = 38 " 32+X = 38 2 X 96. ● Calcula las raíces cuadradas de estos números. SEGUNDO. Se igualan los exponentes. a) 64 b) 100 c) 169 d) 196 2+4=8 97. ● Completa. El número que sumado a 2 da 8 es 6. El exponente a) 4 = 5 c) 4 = 15 buscado es 6. b) 4 = 9 d) 4 = 20 21301279 _ 0006-0023.indd 21 08/07/11 20:30
    • JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES 106. ● Calcula el valor de estas expresiones. a) 3 ? (100 - 90) + 12 ? (5 + 2) 18. ● Realiza las siguientes operaciones. b) 7 ? (26 : 2) - (6 : 3) ? 6 + 4 a) 31 - 20 + 15 - 4 c) 66 : (15 - 9) + 7 ? (6 : 2) - 12 : 2 b) 12 + 7 - 8 - 5 + 14 d) 7 ? (4 + 8 - 5) : (12 - 5) + 7 ? (8 - 6 + 1) c) 17 - 9 - 5 + 24 e) 3 ? (15 : 3 - 2) + (8 + 20) : 4 - 1 d) 49 + 7 - 54 - 2 + 25 f) 38 - (30 : 6 + 5) ? 2 - 6 ? 3 : 2 e) 59 + 45 - 76 - 12 + 51 g) 8 ? (28 - 14 : 7 ? 4) : (22 + 5 ? 5 - 31) f) 123 + 12 -17 - 23 - 9 + 12 h) [200 - 3 ? (12 : 4 - 3)] - 6 + 37 - 35 : 7 107. ● Calcula mentalmente el número que falta. 19. ● Calcula. a) 3 ? 5 + 3 ? 4 = 60 a) (34 + 12 - 9) - (34 - 19) b) 13 ? 40 - 13 ? 4 = 260 b) 123 - (67 + 34 - 21) c) 15 ? 4 + 7 ? 4 - 15 ? 6 = 150 c) (29 + 78 - 54 - 32) - (9 + 5) d) (89 + 23 - 76) - (41 + 12 - 32) e) 345 - (90 - 76 - 8 + 43) PROBLEMAS CON NÚMEROS f) 567 - (23 + 65 - 12 - 45) NATURALES 20. ● Calcula y relaciona las operaciones que dan HAZLO ASÍ el mismo resultado. a) 24 - 8 + 18 - 6 i) (24 + 6) - (8 + 16) ¿CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA EN EL QUE LOS DATOS ESTÁN RELACIONADOS? b) 34 + 78 - 12 - 17 ii) (24 + 18) - (8 + 6) c) 34 + 78 + 7 - 65 - 12 iii) (34 + 78 + 7) - (65 + 12) 116. La factura telefónica del mes pasado fue d) 24 - 8 - 16 + 6 iv) (34 + 78) - (12 + 17) de 34 €, la de este mes ha sido 5 € más cara y la de hace dos meses fue 4 € menos. ¿A cuánto ha ascendido el gasto en teléfono 102. ● Resuelve estas operaciones. en los últimos tres meses? a) 9 ? (15 + 4 - 7) PRIMERO. Se toma el dato conocido del problema. b) 12 + 4 ? (3 + 19) «El mes pasado»  "  34 € c) 55 - 3 ? (27 - 9) SEGUNDO. Se calculan los demás datos del problema. d) 33 + 6 ? 5 + 21 «Este mes 5 € más»  "  34 + 5 = 39 € «Hace dos meses 4 € menos»  "  34 - 4 = 30 € 103. ● Calcula. TERCERO. Se resuelve el problema. a) 15 + (12 + 6) : 3 34 + 39 + 30 = 103 € b) 31 - (13 + 8) : 7 El gasto en teléfono ha sido de 103 €. c) 4 + 15 : 5 + 17 d) 42 - (3 + (32 : 4) : 2) 117. ● ● En un partido 104. ● Realiza estas operaciones. de baloncesto, los a) 8 ? 3 + 36 : 9 + 5 máximos anotadores b) 144 : (24 : 6) + 4 ? 7 han sido Juan, Jorge c) 48 - 5 ? 7 + 9 ? 3 - 19 y Mario. Juan ha logrado 19 puntos, d) 14 - 21 : 7 + 105 : 5 Jorge 5 puntos más 105. ● Resuelve. que Juan y Mario 7 puntos menos a) 42 ? 3 - 124 : 4 - (180 : 9) : 5 que Jorge. b) (241 - 100 + 44) : 5 + 20 ? 7 ¿Cuántos puntos c) 7 + 8 ? (17 - 5) - 28 : 2 han obtenido entre d) (12 + 3 ? 5) : 9 + 8 los tres? 22301279 _ 0006-0023.indd 22 08/07/11 20:30
    • 118. ●● Si ganase 56 € más al mes podría gastar: 127. ●● Vamos a repartir 720 € entre tres personas 420 € en el alquiler de la casa, 102 € en gasolina y se sabe que la primera recibirá 280 €. para el coche, 60 € en la manutención ¿Cuánto recibirán las otras dos si el resto y 96 € en gastos generales, y ahorraría 32 €. se reparte en partes iguales? ¿Cuánto gano al mes? 128. ●● Nacho y Ana están preparando una fiesta 119. ●●● Mario tiene 11 años y es 4 años menor que y compran 12 botellas de 2 litros de naranja, su hermana. Entre los dos tienen 19 años menos 12 de limón y 12 de cola. que su madre. ¿Cuántos años tiene la madre? a) ¿Cuántos litros han comprado? b) i cada botella de 2 litros cuesta 2 €, S 120. ●● Se ha enseñado a un grupo de jóvenes ¿cuánto dinero se han gastado? a sembrar trigo. El primer día sembraron 125 kilos y el segundo día sembraron 130. ●● ● En España cada persona recicla, por el doble de kilos que el primero. término medio, 14 kg de vidrio cada año. a) Cuántos kilos sembraron el segundo día? ¿ a) i en España hay 40 millones de personas, S ¿cuántos kilos de vidrio se reciclan al año? b) Y entre los dos días? ¿ b) ara reciclar 680 000 000 000 kg, ¿cuántos kilos P 121. ●● Observa estos precios. más debería reciclar cada persona? Desde 400 € Desde 350 € hasta 600 € hasta 750 € Desde 200 € hasta 450 € a) ¿Se pueden adquirir los tres artículos 131. ●● El tablero del ajedrez es un cuadrado con 900 €? formado por 8 filas, con 8 cuadraditos en cada b) ¿Cuál es la cantidad mínima necesaria para fila. ¿Cuántos cuadraditos hay en total? comprar los tres artículos? 132. ●● Marta quiere saber cuántos c) ¿Cuánto sobra, con seguridad, si se dispone melocotones hay en el almacén. Para ello hace de 2 000 € para comprar los tres artículos? 5 montones con 5 cajas en cada montón, y en 122. ●● Un generador eléctrico consume 9 litros de cada caja, 5 filas con 5 melocotones en cada fila. gasolina a la hora y una bomba de agua 7 veces ¿Cuántos melocotones hay? más. ¿Cuántos litros consumen entre los dos al cabo de 4 horas? 123. ●● Cada fin de semana Luis recibe 6 € y se gasta 4 €. ¿Cuántas semanas han de pasar hasta que ahorre 18 €? 124. ●● Pedro tiene 79 € para comprar sillas. Sabiendo que cada una cuesta 7 €, ¿cuántas 133. ● ● Luis acaba de recibir cuatro cajas cuadradas sillas puede comprar? ¿Cuánto le sobra? llenas de vasos que debe colocar. La caja tiene cuatro filas y hay cuatro vasos 125. ●● Una botella de 1 litro de aceite cuesta 3 €. en cada fila. ¿Cuántos vasos tiene que colocar? Si la garrafa de 6 litros cuesta 12 €, ¿cuánto dinero nos ahorramos comprando garrafas? 134. ● ● ¿Cuántos azulejos necesita Jorge para cubrir 126. ●●● Un coche va a 110 km/h y otro a 97 km/h. una pared cuadrada, ¿Cuántos kilómetros le llevará de ventaja si en la primera fila el primer coche al segundo al cabo de 9 horas? ha colocado 5 azulejos? 23301279 _ 0006-0023.indd 23 08/07/11 20:30
    • 2 Divisibilidad Después del jueves…, otro jueves En la Navidad de 1582, Gregorio XIII atendía distante a un jesuita que estaba visiblemente alterado. –Ruego a Su Santidad –interpeló el jesuita, Christopher Clavius– que me conceda la autorización para justificar el cambio de calendario. ¡Las críticas han llegado al extremo de acusarnos de robarle 10 días al calendario! Gregorio XIII levantó la cabeza y respondió: –Eso no es más que un ataque de herejes e ignorantes. La Comisión de Sabios DESCUBRE LA HISTORIA... determinó que nuestros cálculos de la duración del año eran erróneos 1. Busca información y que nuestro calendario estaba sobre Christopher Clavius y su relación atrasado en 10 días. con el papa El Papa continuó: Gregorio XIII. –Al 4 de octubre de 1582 le siguió 2. Investiga qué el 15 de octubre, pero no robamos calendario se utilizaba hasta que se 10 días al calendario, sino que estableció recuperamos lo que el calendario el calendario actual anterior tomó sin corresponderle. y por qué se produjo De haber seguido así, habríamos la diferencia de terminado por celebrar 10 días al cambiarlo. la Navidad en verano. 3. Explica el criterio de divisibilidad que establece el calendario gregoriano para los años bisiestos.301279 _ 0024-0039.indd 24 08/07/11 20:35
    • Antes de empezar la unidad... DIVISIÓN ENTRE NÚMEROS NATURALES Los términos de la división se llaman Dividendo F 5  8  0  3  4   23F Divisor dividendo, divisor, cociente y resto. 1  2  0       2523  Cociente F      5  3        7  4          5 Resto F Prueba de la división Una división está bien resuelta si se cumplen estas dos condiciones: •  l resto de la división es menor que el divisor. E Resto < Divisor  "  5 < 23 •  l dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente más el resto. E Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto 58 034 = 23 ? 2 523 + 5 Dividir es repartir una cantidad en partes 58 034 = 58 029 + 5 iguales. 58 034 = 58 034 Por tanto, la división está bien resuelta. EVALUACIÓN INICIAL 1 Haz la prueba de cada división y averigua cuáles están mal realizadas. a) 47   2 c) 68   6 e) 1042   11 07   23 08   11   052   95   1   3    03 PLAN DE TRABAJO b) 54   3 d) 85   7 f) 2475   12 24   15 15   12 0075   206 En esta unidad   9   1    03 aprenderás a… 2 Halla el dividendo de estas divisiones. • Calcular los divisores a) Divisor = 3, cociente = 8, resto = 0 y múltiplos de un número. b) Divisor = 8, cociente = 15, resto = 6 c) Divisor = 12, cociente = 7, resto = 3 • Distinguir entre números primos d) Divisor = 21, cociente = 12, resto = 1 y compuestos. 3 Calcula y completa la tabla en tu cuaderno. • Factorizar números naturales. Dividendo Divisor Cociente Resto • allar el máximo H 2 346 4 común divisor 3 672 6 y el mínimo común 8 425 7 múltiplo de dos 9 252 9 o más números naturales. 25301279 _ 0024-0039.indd 25 14/07/11 14:42
    • Múltiplos 3 de un número ANTES, DEBES SABER… ividendo (D)    divisor (d ) D Cuándo una división es exacta resto    (r) cociente (c) • Una división es exacta si su resto es cero. 54   6 Si una división es exacta se cumple que:   0   9 Dividendo = Divisor ? Cociente • Una división no es exacta cuando su resto 56   6 es distinto de cero. En este caso se cumple que:   2   9 Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto Un número b es múltiplo de otro número a si la división de b entre a es exacta. EJEMPLO 4 ¿Es 28 múltiplo de 4? ¿Y de 5? 28   4       La división 28 : 4 es exacta " 28 es múltiplo de 4. 10   7       28   5       La división 28 : 5 no es exacta  "  28 no es múltiplo de 5. 13   5       Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los sucesivos números naturales. EJEMPLOS SE ESCRIBE ASÍ 5 Calcula los múltiplos de 3. • Múltiplos de 3  "  3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…  3   "  Todos los múltiplos • de 3. 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…} • 12  " Todos los múltiplos Los múltiplos de 3 son un conjunto ilimitado de números. de 12. 1 Halla los seis primeros múltiplos de 12. Múltiplos de 12  "  12 ? 1, 12 ? 2, 12 ? 3, 12 ? 4, 12 ? 5, 12 ? 6 Los seis primeros múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60 y 72. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 ¿Es 35 múltiplo de 5? Razona la respuesta. 1 Calcula los diez primeros múltiplos de 8. 11 ¿Es 48 múltiplo de 6? Razona la respuesta. 2 Halla los diez primeros múltiplos de 16. 26301279 _ 0024-0039.indd 26 08/07/11 20:35
    • Divisores 4 de un número Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre a es exacta. EJEMPLO 8 es divisor de 48. F 7 Comprueba si 8 y 9 son divisores de 48. F 48 8 48 es múltiplo de 8. La división 48 : 8 es exacta " 8 es divisor de 48.   0 6 48 9 La división 48 : 9 no es exacta " 9 no es divisor de 48.   3 5 Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número entre los sucesivos números naturales, hasta que el cociente de la división sea menor que el divisor. EJEMPLOS 9 Calcula todos los divisores de 8. 8    1         8    2         8    3 El cociente, 2, es menor que el divisor, 3. 0    8         0    4         2    2  "  Por tanto, no seguimos dividiendo. De cada división exacta extraemos dos divisores: el divisor y el cociente. 8 : 1 = 8 " Es una división exacta  "  1 y 8 son divisores de 8. 8 : 2 = 4 " Es una división exacta  "  2 y 4 son divisores de 8. Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8. Se escribe así: Div (8) = {1, 2, 4, 8}. 2 Calcula todos los divisores de 10. SE ESCRIBE ASÍ 10   1     10   2     10   3     10   4 El cociente, 2, es menor que el divisor, 4. Div (8)   "  Todos los   0   10     0   5      1   3      2   2   "  divisores de 8. Por tanto, no seguimos dividiendo. Div (12)  "  Todos los Extraemos el divisor y el cociente de cada división exacta: divisores de 12. 10 : 1 = 10 " Es una división exacta  "  1 y 10 son divisores de 10. 10 : 2 = 5  " Es una división exacta  "  2 y 5 son divisores de 10. Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10  "  Div (10) = {1, 2, 5, 10} LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Di si es cierto o no. 16 Calcula todos los divisores de: a) 8 es divisor de 56. b) 12 es divisor de 95. a) 30 c) 45 e) 100 g) 90 b) 27 d) 55 f) 89 h) 79 15 ¿Cuáles son divisores de 36? 17 Di si es cierto o no. 2    7    12    36    15    20    1    4    40    9 a) 12 es divisor de 3. b) 12 es múltiplo de 3. 27301279 _ 0024-0039.indd 27 08/07/11 20:35
    • Números primos 5 y compuestos •  n número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la U unidad. •  i un número tiene más de dos divisores, decimos que es un número S compuesto. EJEMPLO 10 Averigua si 17 y 27 son números primos o compuestos. Calculamos todos los divisores de 17: 17   1       17   2       17   3       17   4   7   17       1   8        2   5        1   4    0 17   5  El cociente, 3, es menor que el divisor, 5.   2   3   "  Por tanto, no seguimos dividiendo. La única división exacta es 17 : 1 = 17, extraemos el divisor y el cociente. Div (17) = {1, 17}  17 solo tiene dos divisores. 17 es un número primo. Calculamos todos los divisores de 27: 27   1       27   2       27   3       27   4       27   5   7   27       7   13       0   9        3   6        2   5 Números primos hasta 100   0           1 27   6  Como 4 es menor que 6,   3   4   "  seguimos dividiendo. no Extraemos el divisor y el cociente de las divisiones exactas: 27 : 1 = 27  "  1 y 27 son divisores de 27. 27 : 3 = 9   "  3 y 9 son divisores de 27. Div (27) = {1, 3, 9, 27} " 27 tiene más de dos divisores. 27 es un número compuesto. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Determina si los siguientes números son primos 5 Escribe todos los números primos menores o compuestos. que 20. a) 11 e) 29 i) 58 6 Indica todos los números primos comprendidos b) 13 f) 42 j) 65 entre 100 y 110. c) 18 g) 46 k) 70 7 Escribe cinco números primos mayores que 50 d) 24 h) 54 l) 80 y otros cinco menores que 40. 19 ¿Es 101 un número primo? ¿Por qué? 8 Escribe los números compuestos menores que 20. 28301279 _ 0024-0039.indd 28 08/07/11 20:35
    • Factorización 6 de un número ANTES, DEBES SABER… Cuándo la división de un número entre 2, 3 o 5 es exacta • La división de un número entre 2 es exacta si el número termina en 0 o en una cifra par. EJEMPLO 3 Determina si estas divisiones son exactas. Los números pares son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, … a) 18 : 2  "  División exacta, porque 18 termina en número par. b) 7 514 : 2  "  División exacta, porque 7 514 termina en número par. c) 14 930 : 2  "  División exacta, porque 14 930 termina en 0. d) 173 : 2  "  División no exacta, porque 173 termina en 3, que no es par. e) 81 : 2  " División no exacta, porque 81 termina en 1, que no es par. • La división de un número entre 3 es exacta si, al sumar las cifras de ese número, obtenemos un múltiplo de 3. EJEMPLO 4 Determina si estas divisiones son exactas. a) 81 : 3  "  División exacta, porque: 8 + 1 = 9 y 9 : 3 es división exacta b) 123 : 3  "  División exacta, porque: 1 + 2 + 3 = 6 y 6 : 3 es división exacta c) 876 : 3  "  División exacta, porque: 8 + 7 + 6 = 21 y 21 : 3 es división exacta d) 173 : 3  "  División no exacta, porque: 1 + 7 + 3 = 11       y 11 : 3 es división no exacta • La división de un número entre 5 es exacta si el número termina en 0 o en 5. EJEMPLO 5 Determina si estas divisiones son exactas. a) 65 : 5  "  División exacta, porque 65 termina en 5. b) 120 : 5  "  División exacta, porque 120 termina en 0. c) 246 : 5  "  División no exacta, porque 246 no termina en 0 ni en 5. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Estudia si estas divisiones son exactas. 10 Estudia si estas divisiones son exactas. a) 15 : 3 c) 59 : 3 e) 103 : 3 a) 37 : 2 c) 81 : 5 e) 22 305 : 5 b) 26 : 3 d) 70 : 3 f) 3 104 : 3 b) 48 : 3 d) 92 : 2 f) 145 236 : 3 29301279 _ 0024-0039.indd 29 08/07/11 20:35
    • Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo como producto de sus divisores primos. Para factorizar un número se divide entre la serie de números primos (2, 3, 5, 7, …), tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente la unidad. Se empieza dividiendo entre 2; si no es exacto, entre 3; si tampoco es exacto, entre 5; si no entre 7, entre 11… EJEMPLO 6 Factoriza el número 30. Tomamos el número y lo dividimos entre el primer número primo Los primeros que haga la división exacta. números primos son: 30 : 2 " División exacta, porque 30 termina en 0. 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 30 : 2 = 15 Factorización " 30 = 2 ? 15 Tomamos el cociente que hemos obtenido en la división exacta; en este caso 15, y volvemos a dividir este número entre el primer número primo que haga la división exacta. 15 : 2 " División no exacta, porque 5 no es par 15 : 3 " División exacta, porque: 1 + 5 = 6 y 6 : 3 es división exacta 15 : 3 = 5 Factorización " 30 = 2 ? 15 = 2 ? 3 ? 5 Repetimos el proceso hasta obtener como cociente 1. 5 : 2 " División no exacta, porque 5 no es par. 5 : 3 " División no exacta. 5 : 5 " División exacta. 5:5=1 Cuando obtenemos como cociente 1, la factorización está terminada. Factorización " 30 = 2 ? 3 ? 5 Este proceso se suele escribir, indicando solo las divisiones exactas, de la siguiente manera: 30 2 30 : 2  "  15 3 15 : 3  "   5 5     5 : 5  "   1 Los números que aparecen en la columna de la derecha son los factores. Factorización  "  30 = 2 ? 3 ? 5 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Factoriza los siguientes números. 12 Di a qué número corresponde cada una de estas a) 10 d) 21 g) 70 factorizaciones. b) 14 e) 35 h) 105 a) 3 ? 5 ? 11 c) 5 ? 7 ? 11 c) 15 f) 42 i) 210 b) 2 ? 11 d) 3 ? 7 ? 11 30301279 _ 0024-0039.indd 30 08/07/11 20:35
    • ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa un producto de factores iguales mediante una potencia Una potencia es un producto de factores iguales. 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 34 2 ? 2 ? 2 = 23 1442443 F 14243 F 4 veces 3 veces 6 5 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 72 = 7 ? 7 14444244443 123 F 6 veces F 2 veces EJEMPLO 12 Descompón el número 420 como producto de factores primos. Cocientes parciales Factorización 2 es divisor de 420 420 : 2 = 210 420 = 2 ? 210 2 es divisor de 210 210 : 2 = 105 420 = 2 ? 2 ? 105 2 no es divisor de 105 105 : 3 = 35 420 = 2 ? 2 ? 3 ? 35 3 es divisor de 105 2 no es divisor de 35   35 : 5 = 7 420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ni 3, pero sí 5 7 es un número primo,    7 : 7 = 1 420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1 es divisor de él mismo Por tanto, podemos expresar el número 420 como: 420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1 " 420 = 22 ? 3 ? 5 ? 7 En la factorización de un número, siempre que se pueda, utilizaremos potencias. Para realizar la descomposición de un número en factores primos lo escribimos, normalmente, del siguiente modo: COCIENTES FACTORES PARCIALES   PRIMOS 420 2 420 : 2  " 210 2 420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 210 : 2  " 105 3 420 = 22 ? 3 ? 5 ? 7 105 : 3  "   35 5   35 : 5  "   7 7    7 : 7  "   1 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 22 Descompón en producto de factores 23 Descompón en producto de factores primos, primos los siguientes números. y escribe cómo son estos números. a) 36 c) 24 e) 180 a) 13 c) 29        b) 100 d) 98 f) 120 b) 61 d) 97 13 Descompón en factores primos. 24 Completa para que se cumplan las igualdades. a) 8 c) 27 e) 125 a) 23 ? 32 ? 4 = 360 b) 32 d) 81 f) 625 b) 42 ? 72 ? 11 = 4 851 31301279 _ 0024-0039.indd 31 08/07/11 20:35
    • Máximo 7 común divisor El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. Para calcular, de forma rápida, el máximo común divisor de varios núme- ros seguimos estos pasos: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Escogemos los factores primos comunes, elevados al menor expo- nente. 3.º  El producto de esos factores es el m.c.d. de los números. EJEMPLOS 7 Obtén el máximo común divisor de 12 y 40. El máximo común divisor Primero, descomponemos 12 y 40 en factores primos. de dos números puede ser 1. 12   2 40   2 Por ejemplo:   6   2 20   2 4 = 22    9 = 32 2   3   3 12 = 2 ? 2 ? 3 = 2 ? 3 10   2 40 = 2 ? 2 ? 2 ? 5 = 23 ? 5 No hay factores comunes.   1   5   5 m.c.d. (4, 9) = 1   1 El único factor primo común es 2. Al elevarlo al menor exponente: 22 Así, resulta que: m.c.d. (12, 40) = 22 = 4 14 Calcula el máximo común divisor de 40 y 100. Primero, descomponemos 40 y 100 en factores primos. 40   2 100   2 20   2   50   2 10   2 40 = 23 ? 5   25   5 100 = 22 ? 52   5   5    5   5   1    1   5 Los factores primos comunes son 2 y 5. Al elevarlos al menor exponente: 22 y 5 Así, resulta que: m.c.d. (40, 100) = 22 ? 5 = 4 ? 5 = 20 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 26 Calcula el máximo común divisor de cada 14 Obtén el máximo común divisor. pareja de números. a) 105 y 128 c) 324 y 628 a) 42 y 21 d) 12 y 35 b) 180 y 240 d) 1 024 y 2 862 b) 24 y 102 e) 60 y 24 c) 13 y 90 f) 72 y 11 27 Halla el máximo común divisor de 18, 30 y 54. 32301279 _ 0024-0039.indd 32 08/07/11 20:35
    • Mínimo 8 común múltiplo El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes. Para calcular, de forma rápida, el mínimo común múltiplo de varios núme- ros seguimos estos pasos: 1.º  Descomponemos los números en factores primos. 2.º  Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. 3.º  producto de esos factores es el m.c.m. de los números. El EJEMPLOS 8 Obtén el mínimo común múltiplo de 4 y 6. Primero, descomponemos 4 y 6 en factores primos. 4   2 6   2 2   2 3   3 1 1 = 2 ? 2 = 22 4 6=2?3 El factor primo común es 2, y el no común, 3. Al elevarlos al mayor exponente: 22 y 3 Así, resulta que: m.c.m. (4, 6) = 22 ? 3 = 4 ? 3 = 12 16 Calcula el mínimo común múltiplo de 18 y 60. Primero, descomponemos 18 y 60 en factores primos. 18   2 60   2   9   3 30   2 2   3   3 18 = 2 ? 3 15   3 60 = 22 ? 3 ? 5   1   5   5   1   5 Los factores primos comunes son 2 y 3, y los no comunes, 5. Al elevarlos al mayor exponente: 22, 32 y 5 Así, resulta que: m.c.m. (18, 60) = 22 ? 32 ? 5 = 4 ? 9 ? 5 = 180 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 30 Determina el mínimo común múltiplo de estas 15 Calcula el mínimo común múltiplo. parejas de números. a) 24 y 48 c) 16 y 80 a) 5 y 12 d) 4 y 18 b) 18 y 54 d) 22 y 52 b) 6 y 14 e) 14 y 27 c) 3 y 21 f) 12 y 20 31 Halla el mínimo común múltiplo de 15, 25 y 9. 33301279 _ 0024-0039.indd 33 08/07/11 20:35
    • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Número primo Múltiplos y divisores Div (7) = {1, 7} Div (11) = {1, 11} 8 : 2 es una división exacta F F F Número compuesto F 8 es múltiplo de 2  F F 2 es divisor de 8 Div (10) = {1, 2, 5, 10} Div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} HAZLO DE ESTA MANERA 1. FACTORIZAR UN NÚMERO Descompón estos números en factores primos. a) 84 b) 77 PRIMERO. Dividimos el número entre el primer número primo que haga la división exacta. • La división de un número entre 2 es exacta si el número termina en 0 o en una cifra par. • a división de un número entre 3 es exacta si, al sumar las cifras de ese número, obtenemos L un múltiplo de 3. • La división de un número entre 5 es exacta si el número termina en 0 o en 5. Para el resto de números primos: 7, 11, 13, 17, … es mejor realizar la división. a) 84 : 2 " División exacta, porque 4 es par. 84   2 84 : 2  "  42 b) 77 : 2 " División no exacta, porque 7 es impar. 77 : 3 " ivisión no exacta, porque: 7 + 7 = 14 y 14 : 3 es división no exacta. D 77 : 5 " División no exacta, porque 77 no termina en 0 ni en 5. 77   7 77 7   7   11 77 : 7  "  11   0  "  División exacta SEGUNDO. Repetimos el mismo proceso con los cocientes resultantes hasta obtener la unidad. a) 84   2 b)   77   7 84 : 2  "  42   2 42 termina en par, 42 : 2 " División exacta. 77 : 7    "  11   11 11 es primo. 42 : 2  "  21   3 21 no termina en par, 2 + 1 = 3, múltiplo de 3. 11 : 11  "   1 21 : 3  "   7   7 7 es primo.   7 : 7  "   1 TERCERO. Escribimos el número como el producto de todos los factores primos de la columna de la derecha y, si hay factores repetidos, los expresamos como una potencia. a) 84 = 2 ? 2 ? 3 ? 7 = 22 ? 3 ? 7 b) 77 = 7 ? 11 123 2 2 34301279 _ 0024-0039.indd 34 08/07/11 20:35
    • 4. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN 5. CALCULAR EL MÍNIMO COMÚN DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS Obtén el máximo común divisor de 24, 132 Obtén el mínimo común múltiplo de 135, 315 y 84. y 175. PRIMERO. Descomponemos los números en PRIMERO. Descomponemos los números en factores primos. factores primos. 24   2 132   2 84   2 135   3 315   3 175   5 12   2   66   2 42   2 45   3 105   3 35   5 6   2   33   3 21   3 15   3 35   5 7   7 3   3   11   11 7   7 5   5 7   7 1     1   3    1        1   3    1   3    1   3 24 = 23 ? 3 132 = 22 ? 3 ? 11 84 = 22 ? 3 ? 7 135 = 33 ? 5 315 = 32 ? 5 ? 7 175 = 52 ? 7 SEGUNDO. Escogemos los factores comunes SEGUNDO. Escogemos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. elevados al menor exponente. Factores comunes y no comunes  "  3, 5 y 7 Factores comunes  "  2 y 3 Con mayor exponente  "  33, 52 y 7 Con menor exponente  "  22 y 3 TERCERO. El producto de esos factores TERCERO. El producto de esos factores es el m.c.m. de los números. es el m.c.d. de los números. m.c.m. (135, 315, 175) = 33 ? 52 ? 7 = 4 725 m.c.d. (24, 132, 84) = 22 ? 3 = 12 El mínimo común múltiplo de 135, 315 y 175 El máximo común divisor de 24, 132 y 84 es 12. es 4 725. Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Factorizar un número 1. ¿Es 24 múltiplo de 2? ¿Y de 3?   7. Descompón en factores primos el número 88. 2. ¿Es 7 divisor de 63? ¿Y de 77?   8. ¿Cuál es la factorización de 120? ¿Y de 240? ¿Y de 480? 1. Escribe tres múltiplos de estos números.   9. ¿Cuál es el número cuya factorización a) 8 c) 18 es 23 ? 3 ? 52? b) 12 d) 24 Calcular el máximo común divisor de varios 2. Escribe tres divisores de los números. números a) 24 c) 100 10. ¿Cuál es el m.c.d. de 32 y 48? b) 96 d) 39 11. Halla el m.c.d. de 24, 35 y 46. 3. ¿Cuántos divisores tiene el número 17? ¿Qué se puede decir de él? Calcular el mínimo común múltiplo de varios números 5. Averigua cuál de los siguientes números es primo. 12. ¿Cuál es el m.c.m. de 10 y 8? a) 21    b)  82    c)  31    d)  33 13. Calcula el m.c.m. de 16, 40 y 80. 35301279 _ 0024-0039.indd 35 08/07/11 20:35
    • Actividades MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO 59. ● Halla los múltiplos de 11 comprendidos entre 40 y 100. 52. ● Halla con la calculadora los diez primeros 60. ● Calcula cuatro números que sean múltiplos múltiplos de 11 y los ocho primeros múltiplos de 7 y que estén comprendidos entre 60 y 110. de 12. 61. ● Escribe el primer múltiplo de 32 que sea mayor 53. ● Contesta si es verdadero o falso, y razona que 2 000. las respuestas. a) 35 es múltiplo de 5. DIVISORES DE UN NÚMERO b) 49 es múltiplo de 6. c) 56 es múltiplo de 8. 66. ● Contesta si es verdadero o falso, y razona d) 72 es múltiplo de 9. las respuestas. a) 12 es divisor de 48. 54. ● ¿Cuál de estas series está formada por b) 15 es divisor de 3. múltiplos de 4? ¿Y por múltiplos de 5? c) 9 es divisor de 720. a) 1, 4, 9, 16, 25, … d) 7 es divisor de 777. b) 5, 10, 15, 20, … e) 44 es divisor de 44. c) 8, 10, 12, 14, 16, … f) 100 es divisor de 10. d) 4, 8, 16, 24, 32, 40, … g) 123 es divisor de 123. e) 1, 5, 10, 20, 30, … h) 1 es divisor de 17. f) 20, 40, 60, 80, … 55. ● Halla los múltiplos de 4 menores que 50. HAZLO ASÍ 56. ● ¿Cuáles son los múltiplos comunes de 5 y 8 ¿CÓMO SE CALCULAN TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO? menores que 50? 16. Calcula todos los divisores de 63. HAZLO ASÍ PRIMERO. Se divide el número entre 1, 2, 3, … hasta que el cociente sea menor que el divisor. ¿CÓMO SE CALCULA UN MÚLTIPLO DE UN NÚMERO 63   1 63   2 63   3 63   4 63   5 COMPRENDIDO ENTRE OTROS DOS NÚMEROS?   0   63   1   31   0   21   3   15   3   12 57. Encuentra un múltiplo de 26 que esté 63   6 63   7 63   8 comprendido entre 660 y 700. El cociente, 7, es menor   3   10   0   9   7   7  "  el divisor, 8. que PRIMERO. Se divide el menor de los dos números, 660, entre el número del que se quiere hallar SEGUNDO. De cada división exacta se extraen el múltiplo, 26. dos divisores: el divisor y el cociente. 660   26 63 : 1 = 63  " 1 y 63 son divisores de 63. 010   25 63 : 3 = 21  " 3 y 21 son divisores de 63. SEGUNDO. Se aumenta en una unidad el cociente, 63 : 7 = 9 " 7 y 9 son divisores de 63. y se multiplica por el número del que se quiere El resto de divisiones no son exactas. obtener el múltiplo. Los divisores de 63 son: MÚLTIPLO = (25 + 1) ? 26 = 676 Div (63) = {1, 3, 7, 9, 21, 63} Se comprueba que el número obtenido cumple la condición pedida: el número 676 es múltiplo 67. ● Completa los divisores de 24, 16, 36 y 54. de 26 y está comprendido entre 660 y 700. Div (24) = {1, 2, 4, 4, 4, 8, 4, 4} Div (16) = {1, 2, 4, 4, 16} 58. ● Determina un número entre 235 y 289 que sea Div (36) = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 36} múltiplo de 29. Div (54) = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 54} 36301279 _ 0024-0039.indd 36 08/07/11 20:35
    • 68. ● Halla todos los divisores de 42. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS ¿Cuántos divisores tiene 42? 69. ● Calcula todos los divisores de: HAZLO ASÍ a) 28 c) 54 ¿CÓMO SE DETERMINA SI UN NÚMERO ES PRIMO O COMPUESTO? b) 64 d) 96 18. Averigua si 61 es primo o compuesto. 70. ● Si 63 es múltiplo de 9, ¿cuáles de las siguientes PRIMERO. Se calculan los divisores del número. afirmaciones son ciertas? 61   1 61   2 61   3 61   4 61   5 a) 63 es divisor de 9.   0   61   1   30   1   20   1   15   1   12 b) 9 es divisor de 63. 61   6 61   7 61   8 c) 9 es múltiplo de 63.   1   10   5   8   5   7  "  l cociente, 7, es menor que E el divisor, 8. 72. ● Al hacer la división 57 : 5, vemos que no es Como solo existe una división exacta: exacta. Decide si es verdadero o falso. Div (61) = {1, 61} a) 5 no es divisor de 57. SEGUNDO. Se decide si el número es primo b) 57 es múltiplo de 5. o compuesto. c) 57 no es divisible por 5. •  el número de divisores es dos, Si el número es primo. •  el número de divisores es mayor que dos, Si 17. ● Observa las siguientes divisiones exactas, el número es compuesto. y completa las frases que aparecen. Como 61 tiene dos divisores, es un número primo. a) 24 : 8 = 3 24 es …… de 8 77. ● Completa la siguiente tabla: 24 es …… de 3 8 es …… de 24 Números Divisores Primo/Compuesto 3 es …… de 24 33 1, 3, 11, 33 Compuesto b) 192 : 16 = 12 61 196 es …… de 16 79 196 es …… de 12 72 16 es …… de 196 39 12 es …… de 196 78. ● ¿Cuáles de estos números son primos? ¿Y cuáles son compuestos? 73. ● Si 175 = 5 ? 35, ¿cuáles de las afirmaciones son ciertas? a)  46        b)  31        c)  17        d)  43 a) 175 es divisible por 5. 79. ● Escribe los números primos mayores que 30 b) 175 es múltiplo de 35. y menores que 100. c) 5 es divisor de 175. 80. ● Sabiendo que un número de dos cifras tiene división exacta con 3, ¿se puede decir 74. ● Dada la relación 104 = 4 ? 26, ¿qué que es primo? Pon un ejemplo. afirmaciones son verdaderas? a) 104 es múltiplo de 4. 81. ● ● Escribe estos números como suma de dos b) 26 es divisor de 104. números primos. c) 104 es divisible por 26. a)  12        b)  20        c)  36        d)  52 37301279 _ 0024-0039.indd 37 08/07/11 20:35
    • FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 19. ● Escribe y comprueba. 89. ● Halla el máximo común divisor a) Escribe diez múltiplos de 2. ¿Son pares todos de los siguientes pares de números. los números que obtienes? a) 16 y 24 c) 12 y 36 e) 28 y 49 b) Escribe diez múltiplos de 3. Suma las cifras de cada número. ¿Es siempre la suma b) 45 y 72 d) 18 y 27 f) 18 y 28 un múltiplo de 3? 90. ● Calcula el máximo común divisor de estos c) Escribe diez múltiplos de 5. ¿Terminan todos pares de números. los números en 0 o en 5? a) 4 y 15 c) 3 y 17 e) 21 y 2 20. ● Observa los siguientes números y contesta. b) 9 y 13 d) 12 y 7 f) 18 y 47 45   52   70   81   94   125   231 91. ● ● Obtén el máximo común divisor a) ¿Qué números son múltiplos de 2? de los siguientes números. b) ¿Qué números son divisibles por 3? a) 8, 12 y 18 d) 45, 54 y 81 c) ¿De qué números es 5 un divisor? b) 16, 20 y 28 e) 75, 90 y 105 c) 8, 20 y 28 f) 40, 45 y 55 21. ● Escribe los doce primeros múltiplos de 10, y subraya la última cifra de cada uno. 94. ● Calcula el mínimo común múltiplo de: ¿Cómo puedes saber si un número es múltiplo a) 12 y 24 c) 27 y 54 de 10? b) 16 y 18 d) 21 y 49 82. ● Descompón estos números en producto 95. ● Halla el mínimo común múltiplo de: de factores primos. a) 5 y 12 c) 12 y 25 b) 7 y 14 d) 8 y 15 a) 56 f) 77 k) 138 96. ● ● Determina el mínimo común múltiplo de: b) 100 g) 98 l) 102 a) 12, 15 y 18 c) 6, 30 y 42 c) 187 h) 47 m) 325 b) 10, 20 y 30 d) 9, 14 y 21 d) 151 i) 99 n) 226 e) 155 j) 79 ñ) 402 PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD 97. ● José está haciendo una colección de cromos. 22. ● La factorización 2 ? 3 ? 5 , ¿a cuál 3 2 Los cromos se venden en sobres con 5 cromos de los siguientes números corresponde? cada uno. ¿Puede comprar 15 cromos? ¿Y 17? a) 30 c) 120 e) 300 b) 60 d) 150 f) 600 83. ● ¿A qué números corresponden estas descomposiciones en factores primos? a) 23 ? 3 ? 5 e) 23 ? 52 ? 7 b) 2 ? 32 ? 7 f) 32 ? 5 ? 72 c) 5 ? 72 ? 11 g) 3 ? 53 ? 72 23. ● Rafa ha hecho 40 croquetas. d) 2 ? 3 ? 5 ? 72 h) 23 ? 32 ? 5 ? 73 a) Puede repartirlas en partes iguales en 8 platos ¿ sin que le sobre ninguna? 84. ● ¿Cuál es la descomposición en factores primos b) ¿Y en 9 platos? de un número primo? Pon un ejemplo. 38301279 _ 0024-0039.indd 38 08/07/11 20:35
    • 98. ●● Ana tiene un álbum de 180 cromos. 103. ● ● Marta tiene 15 piñas y desea repartirlas en Los cromos se venden en sobres de 5 cromos cestos, con el mismo número de piñas en cada cada uno. Suponiendo que no se repita uno, sin que le sobre ninguna. ¿De cuántas ningún cromo, ¿cuántos sobres tiene maneras distintas puede repartirlas? que comprar como mínimo? 99. ●● Luis quiere pegar las 49 fotos de sus vacaciones en filas de 3 fotos cada una. ¿Cuántas filas enteras obtendrá? ¿Le sobra alguna foto? Razona la respuesta. HAZLO ASÍ 104. ● ● María ha hecho 45 pasteles y los quiere ¿CÓMO SE DIVIDE UNA CANTIDAD EN GRUPOS guardar en cajas. ¿De cuántas maneras los IGUALES? puede guardar para que no sobre ninguno? 24. Necesitamos envasar 10 rosquillas en cajas 105. ● ● Paco tiene 20 láminas de madera y tiene que que tengan el mismo número de rosquillas cada ponerlas en montones, con el mismo número una. ¿De cuántas formas se pueden envasar? de láminas en cada uno, sin que le sobre PRIMERO. Se calculan todos los divisores de la cantidad. ninguna. ¿Cuántas láminas puede poner en cada montón? 10   1     10   2     10   3     10   4   0   10     0   5      1   3      2   2 106. ● ● Ana tiene 7 macetas de geranios y las quiere El cociente, 2, es menor que el divisor, 4. Por tanto, colocar en grupos, de manera que cada grupo no seguimos dividiendo. tenga el mismo número de macetas y no sobre 10 : 1 = 10 " División exacta " Divisores: 1 y 10 ninguna. ¿Cuántas macetas puede poner en cada grupo? 10 : 2 = 5 " División exacta " Divisores: 2 y 5 SEGUNDO. Los divisores son las formas en que se puede agrupar la cantidad. Divisores: 1 y 10 Se pueden envasar en 1 caja de 10 rosquillas o en 10 cajas de 1 rosquilla. Divisores: 2 y 5 Se pueden envasar en 2 cajas de 5 rosquillas o en 5 cajas de 2 rosquillas. 25. ● ● Maite ha regado hoy los geranios y los cactus de la terraza. Riega los geranios cada 3 días 100. ●● Cristina tiene 24 coches de juguete y quiere y los cactus cada 9 días. ¿Cuántos días tienen colocarlos en fila, de modo que en cada fila haya que pasar como mínimo hasta que Maite vuelva la misma cantidad de coches. a regar las dos plantas el mismo día? ¿De cuántas maneras puede hacerlo? 26. ● ● Fran y Raquel van a patinar a la misma 101. ●●● Carmen cuenta sus 24 coches de juguete pista. Fran va cada de 3 en 3 y Alberto lo hace de 4 en 4. ¿Coinciden 4 días y Raquel, en algún número? ¿Qué tienen en común cada 5 días. dichos números? Hoy han ido los dos. ¿Dentro de cuántos 102. ●● Eduardo trabaja en una tienda de animales. días volverán Hay 8 canarios y quiere ponerlos en jaulas, a coincidir por con el mismo número de canarios en cada una, primera vez en la sin que sobre ninguno. ¿De cuántas formas pista de patinaje? puede colocar los canarios en las jaulas? 39301279 _ 0024-0039.indd 39 08/07/11 20:35
    • 3 Fracciones Entre la proporción divina y la humana Da Vinci entró en la sala donde estaba Luca Pacioli examinando las ilustraciones de su libro. –Vuestro trabajo me parece fantástico, Leonardo –dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos. –Gracias, padre Pacioli –respondió Da Vinci e hizo una leve inclinación–. Vuestra obra, La divina proporción, lo merecía. –Acerté al encargaros las ilustraciones del libro, pues sabía que el tema de las proporciones os apasionaría desde el momento en que me DESCUBRE enseñasteis el boceto del Hombre LA HISTORIA... de Vitruvio –remarcó Pacioli. 1. Aunque Leonardo –Las proporciones humanas que da Vinci es más conocido por Vitruvio recoge en su tratado su pintura, se ajustan a los cánones de su contribución a las belleza del arte actual –explicó matemáticas también Da Vinci–. ¿Sabéis que es importante. la distancia del codo al Averigua alguna de extremo de la mano es un sus aportaciones. quinto de la altura de un hombre, 2. Busca información que la distancia del codo a la axila sobre Luca Pacioli es un octavo o que la longitud y los trabajos que de la mano es un décimo? realizó con Leonardo da Vinci. 3. Investiga sobre las aportaciones a las matemáticas de Luca Pacioli y su relación con las fracciones.301279 _ 0040-0057.indd 40 08/07/11 20:32
    • Antes de empezar la unidad... LECTURA DE FRACCIONES Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador. Numerador F 5 7 F Denominador Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresa el denominador como se indica en la siguiente tabla: Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Se lee medios tercios cuartos quintos sextos séptimos octavos novenos décimos Si el denominador es mayor que 10, se lee el número añadiendo la terminación -avos. Las fracciones se utilizan 5 para expresar cantidades F se lee cinco séptimos incompletas de la unidad. 7 F F 2 se lee dos quintos 5 F Cuando el denominador es mayor que 10: 3 F se lee tres onceavos 11 F EVALUACIÓN INICIAL PLAN DE TRABAJO 1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones. 9 3 12 En esta unidad a) c)  e)  aprenderás a… 4 2 8 5 1 11 • Manejar las distintas b) d)  f)  13 5 15 interpretaciones de una fracción. 2 Escribe cómo se lee. a) Una fracción con numerador 3 y denominador 5. • Identificar y hallar b) Una fracción con numerador 2 y denominador 7. fracciones equivalentes c) Una fracción con denominador 9 y numerador 4. a una fracción dada. d) Una fracción con denominador 6 y numerador 17. • Comparar y ordenar 1. Escribe en forma de fracción. fracciones. a) Siete novenos. c) Diez doceavos. • Realizar operaciones b) Dos décimos. d) Trece sextos. con fracciones. 41301279 _ 0040-0057.indd 41 08/07/11 20:32
    • Números 1 fraccionarios a Una fracción es una expresión , donde a y b son números naturales b llamados numerador y denominador, respectivamente. a Una fracción puede expresar un valor respecto a un total que llamamos b unidad. En este caso: •  u denominador, b, representa el número de partes iguales en que S se divide la unidad. •  u numerador, a, representa el número de partes que se toman. S ANTES, DEBES SABER… Cómo se representa geométricamente una fracción Para representar una fracción, se suelen utilizar figuras geométricas que consideramos como la unidad. • Dividimos la unidad en tantas partes como indica el denominador. 3 G • Coloreamos tantas partes como 10 indica el numerador. EJEMPLO 1 Escribe como fracción la parte coloreada de cada figura, e indica el numerador y el denominador. a) b) 5 G Numerador 13 G Numerador     9 G Denominador 18 G Denominador EJEMPLO G 7 G 1 Expresa como fracción esta situación: De un bizcocho dividido en 7 partes, nos comemos 4. G 4 G Tomamos 4 partes  "  Numerador 2 4 Dividido en 7 partes  "  Denominador " 7   4 La fracción representa una parte de la unidad. 7 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Indica cuál es el numerador y el denominador. 1 Representa estas fracciones. 9 6 1 3 5 4 a) b) c) a) b) c) 4 11 22 4 7 12 42301279 _ 0040-0057.indd 42 08/07/11 20:32
    • Fracciones propias 2 e impropias ANTES, DEBES SABER… Cómo se comparan las fracciones con la unidad • Una fracción es menor que la unidad si el numerador es menor que el denominador. • Una fracción es mayor que la unidad si el numerador es mayor que el denominador. EJEMPLO 2 Escribe la fracción coloreada y compárala con la unidad. a) b) 3 11 < 1, porque 3 < 7     > 1, porque 11 > 6 7 6 •  na fracción es propia cuando el numerador es menor que el deno- U minador. Representa un número menor que la unidad. •  na fracción es impropia si tiene el numerador mayor que el de- U Si el numerador nominador. Representa un número mayor que la unidad. y el denominador son iguales, la fracción es igual a la unidad. EJEMPLO 6 = 1  "  4 Determina cuáles de las siguientes fracciones son propias o impropias. 6 2 8 a) b) 6 6 2  Fracción propia 2 Numerador < Denominador a)   "  6 2 < 6 Representa un número menor que la unidad. 2  8 Numerador > Denominador Fracción b)   "  impropia 6 8 > 6 Representa un número mayor que la unidad. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Escribe la fracción representada y compárala 5 Indica si estas fracciones son propias, con la unidad. impropias o iguales a la unidad. a) 17 43 5 13 a) b) c) d) 35 42 5 18 6 Representa gráficamente las fracciones, y di b) si son menores, iguales o mayores que la unidad. 7 4 16 9 a) b) c) d) 5 7 16 3 43301279 _ 0040-0057.indd 43 08/07/11 20:33
    • Fracciones 2 y 8 son equivalentes, 3 equivalentes 5 20 porque representan a c a c la misma cantidad. Dos fracciones, y , son equivalentes, y se escribe = , cuando b d a c b d 2 representan la misma cantidad. Si = , se cumple que a ? d = b ? c.    " b d 5 8 " EJEMPLO 20 2 8 3 6 6 ¿Son equivalentes las fracciones y ? ¿Y las fracciones y ? 5 20 5 30   si se cumple que:  40 = 40 2 " y 2 8 2 ? 20 = 5 ? 8 2 8 = son equivalentes. 5 20 5 20   si se cumple que:  90 ! 30 2 " y 3 6 3 ? 30 = 5 ? 6 3 6 = no son equivalentes. 5 30 5 30 3.2  Cómo obtener fracciones equivalentes •  Amplificación: consiste en obtener una fracción equivalente multipli- cando el numerador y el denominador por el mismo número. •  implificación: consiste en obtener una fracción equivalente dividiendo S el numerador y el denominador entre un divisor común de ambos. EJEMPLO SE ESCRIBE ASÍ 12 8 Halla dos fracciones equivalentes a , una por amplificación y otra Amplificación 18 por simplificación. 12 12 ? 2 = AMPLIFICACIÓN 18 18 ? 2 • Como 12 ? 36 = 18 ? 24: 12 12 ? 2 24 = = 12 24 Simplificación 18 18 ? 2 36 y son equivalentes. 18 36 12 12 : 3 SIMPLIFICACIÓN = • Como 12 ? 6 = 18 ? 4: 18 18 : 3 12 12 : 3 4 12 4 = = y son equivalentes. 18 18 :3 6 18 6 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Representa cada una de las siguientes fracciones 13 Obtén tres fracciones equivalentes y decide si son equivalentes. por amplificación. 6 3 5 2 11 9 a) y b) y a) b) 8 4 7 3 2 7 14 Obtén, si es posible, dos fracciones 9 Comprueba si las fracciones son equivalentes. equivalentes por simplificación. 3 15 6 4 125 48 a) y b) y a) b) 4 20 8 10 75 60 44301279 _ 0040-0057.indd 44 08/07/11 20:33
    • 3.3  Fracción irreducible ANTES, DEBES SABER… RECUERDA Cuándo un número es divisor de otro Una división es exacta Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre a si su resto es cero. es exacta.  D    d D=d?c  0 6 EJEMPLO 12 2 12 = 2 ? 6  0 6 3 Comprueba si 2 y 5 son divisores de 12. 12 2 La división 12 : 2 es exacta " 2 es divisor de 12.  0 6 12 5 La división 12 : 5 no es exacta " 5 no es divisor de 12.  2 2 Cuándo 2, 3 o 5 son divisores de un número • 2 es divisor de un número si el número termina en 0 o en una cifra par. • 3 es divisor de un número si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. • 5 es divisor de un número si el número termina en 0 o en 5. EJEMPLO 4 Decide si 2, 3 o 5 son divisores de estos números. a)  12 b)  15 Dos números tienen ¿Tienen algún divisor común? un divisor común si es divisor de ambos. a) 2 es divisor de 12, ya que termina en cifra par. 3 es divisor de 12, pues 1 + 2 = 3 es múltiplo de 3. 5 no es divisor de 12, porque no termina en 0 o en 5. b) 2 no es divisor de 15, ya que no termina en 0 o en cifra par. 3 es divisor de 15, pues 1 + 5 = 6 es múltiplo de 3. 5 es divisor de 15, porque termina en 5. Como 3 es divisor de ambos, es un divisor común de 12 y 15. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Di si es cierto o no. 6 ¿Tienen divisores comunes estos números? a) 4 es divisor de 18. Indica cuáles son. b) 9 no es divisor de 95. a) 25 y 75 c) 13 y 25 c) 12 no es divisor de 72. b) 12 y 36 d) 7 y 12 5 Decide si 2, 3 o 5 son divisores de los siguientes 7 Di si es cierto o no. números. a) 5 es divisor común de 15 y 25. a) 18 c) 25 b) 3 no es divisor común de 12 y 15. b) 32 d) 70 c) 2 no es divisor común de 12 y 25. 45301279 _ 0040-0057.indd 45 08/07/11 20:33
    • Decimos que una fracción es irreducible si no se puede simplificar. Si una fracción es irreducible, su numerador y su denominador no pue- den tener divisores comunes. EJEMPLO 75 5 Halla la fracción irreducible de . 105 • 2 no es divisor de 75, ya que no termina en 0 o en cifra par. 3 es divisor de 75, pues 7 + 5 = 12 es múltiplo de 3, y también es divisor de 105, porque 1 + 0 + 5 = 6 es múltiplo de 3. 75 75 : 3 25 Como 3 es divisor de 75 y 105 " = = 105 105 : 3 35 • 2 no es divisor de 25, ya que no termina en 0 o en cifra par. RECUERDA 3 no es divisor de 25, porque 2 + 5 = 7 no es múltiplo de 3. 5 es divisor de 25 y de 35, porque ambos terminan en 5. Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo 25 25 : 5 5 Como 5 es divisor de 25 y 35 " = = y la unidad. 35 35 :5 7 • 5 es un número primo. 7 es un número primo. 5 75 5 y 7 no tienen divisores comunes " es la fracción irreducible de . 7 105 EJEMPLO 12 9 Calcula la fracción irreducible de . 18 Simplificamos la fracción dividiendo entre los sucesivos divisores comunes del numerador y el denominador. 12 12 : 2 6   2 es divisor de 12 y 18   "  18 = 18 : 2 = 9 6 6:3 2   3 es divisor de 6 y 9   "  9 = 9 : 3 = 3 2 12 2 y 3 no tienen divisores comunes  "  es la fracción irreducible de . 3 18 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Halla la fracción irreducible de cada una 15 ¿Son irreducibles estas fracciones? En caso de las siguientes fracciones. de que no lo sean, obtén su fracción irreducible. 50 15 40 72 70 25 a) d) a)     b)      c)      d)  100 75 60 90 18 7 42 100 b) e) 90 150 20 40 9 ¿Es la fracción irreducible de ? 72 200 45 90 c) f) Indica por qué. 45 75 46301279 _ 0040-0057.indd 46 08/07/11 20:33
    • Comparación 4 de fracciones Dadas dos fracciones, siempre habrá una de ellas que sea menor, igual o mayor que la otra. 4.1  Fracciones con el mismo denominador Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. EJEMPLO 3 2 10 Compara las fracciones y . 5 5 3 2 3 2 Como y tienen el mismo denominador y 3 > 2 " > . 5 5 5 5 3 5 "  2 5 " 4.2  Fracciones con el mismo numerador Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. EJEMPLO 1 1 11 Compara las fracciones y . 4 2 1 1 1 1 Como y tienen el mismo numerador y 2 < 4 " > . 4 2 2 4 1 4 "  1 2 " LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Compara estas fracciones. 11 Ordena estas fracciones, de menor a mayor. 5 4 3 3 8 8 8 17 13 1 a)  y            b)  y a) , y b)  , y 6 6 7 5 15 7 3 4 4 4 10 Ordena las siguientes fracciones, de mayor 12 Copia y completa para que las comparaciones a menor. sean ciertas. 7 3 a) , y 1 b)  7 7 , y 7 4 4 6 6 a) < b)  > 5 5 5 9 5 13 15 15 5 4 47301279 _ 0040-0057.indd 47 08/07/11 20:33
    • 4.3  Fracciones con distinto denominador y numerador ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el mínimo común múltiplo Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números: 1.°  Descomponemos los números en factores primos. 2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. 3.º  El producto de esos factores es el m.c.m. de los números. Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en ob- tener otras fracciones equivalentes a ellas con el mismo denominador. EJEMPLO El m.c.m. de dos 5 7 o más números es 12 Reduce a común denominador las fracciones y . 9 12 el menor de sus Primero calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. múltiplos comunes. 3 "  m.c.m. (9, 12) = 22 ? 32 = 4 ? 9 = 36 9 = 32 12 = 22 ? 3 El denominador común de las nuevas fracciones es el m.c.m. Para calcular el numerador de cada nueva fracción, dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador. 36 : 9 ? 5 36 : 12 ? 7 5 F 20 7 F 21 = = 9 F 36 12 F 36 m.c.m. (9, 12) = 36        m.c.m. (9, 12) = 36 Cuando dos fracciones tienen distinto denominador y numerador, se reducen a común denominador y se comparan los numeradores. RECUERDA Descomponer números en EJEMPLO factores primos es expresarlo como producto de 5 7 13 Compara las fracciones y . sus divisores primos. 9 12 12  2 5 20 7 21 20 21 5 7   6  2    12 = 22 ? 3 =     =       < " 9 < 12 F 9 36 12 36 36 36   3  3  1 20 < 21 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 21 Reduce a común denominador. 22 Compara estas fracciones. 2 1 5 4 1 3 5 3 7 3 a) , , b) , , a) y b) y 3 4 6 5 10 4 6 4 4 9 48301279 _ 0040-0057.indd 48 08/07/11 20:33
    • Suma y resta 5 de fracciones 5.1  Fracciones con el mismo denominador Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador, se suman (o se restan) los numeradores y se mantiene el mismo denominador. EJEMPLO Los resultados deben simplificarse siempre. 14 Calcula. La fracción final 5 7 5+7 12 3 9 1 9-1 8 4 a)  + = = = b)  - = = = debe ser irreducible. 8 8 8 8 2 6 6 6 6 3 F F Simplificamos Simplificamos 5.2  Fracciones con distinto denominador ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa un número natural como fracción Cualquier número natural se puede escribir en forma de fracción con denominador 1.    7         15 7= 15 = 1 1 Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador: 1.º  Obtenemos fracciones equivalentes que tengan el mismo deno- minador, reduciendo a común denominador. 2.º  suman (o se restan) los numeradores, manteniendo el mismo Se denominador. EJEMPLO 3 7 2 6 Calcula.      a)  +       b)  15 - 5 4 9 a) 5 = 5      4 = 22      m.c.m. (5, 4) =5 ? 22 = 20 3 7 20 : 5 ? 3 20 : 4 ? 7 12 35 47 + = + = + = 5 4 20 20 20 20 20 2 15 2 9 ? 15 2 135 2 133 b) 15 - = - = - = - = 9 1 9 9 9 9 9 9 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 25 Calcula. 13 Expresa los números como fracción y opera. 4 5 9 1 11 7 a) - b) + a) + 3 b) 17 - 3 6 8 3 27 12 49301279 _ 0040-0057.indd 49 08/07/11 20:33
    • Multiplicación 6 de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el producto de los denominadores. a c a?c ? = b d b?d EJEMPLOS 16 Halla el producto de estas fracciones. 3 5 3?5 15 a) ? = =   2 7 2?7 14 6 5 6?5 30 15 b)  ? = = = F Fracción irreducible 11 4 11? 4 44 22 F Simplificamos Cualquier número 17 Obtén el producto de estos números por una fracción. natural se puede 7 3 7 3?7 21 5 5 8 5?8 40 20 considerar como a) 3 ? = ? = =    b)  ? 8 = ? = = = 4 1 4 1? 4 4 6 6 1 6 ?1 6 3 F una fracción Simplificamos con denominador 1. 3 3= 1 División 7 de fracciones Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción que es el resultado de multiplicar los términos de ambas fracciones de manera cruzada. a c a?d F : = F b d b?c EJEMPLO 20 Efectúa las siguientes divisiones. 2 5 2 2 2?2 4 6 6 3 6 ?1 6 2 a) : = ? = = b)  :3 = : = = = 3 2 3 5 3?5 15 7 7 1 7?3 21 7 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 29 Calcula y simplifica. 35 Efectúa las divisiones. 3 11 2 7 9 3 9 5 a) ? c) ? a) : c)  : 8 9 15 5 10 4 2 7 4 7 7 15 48 2 12 8 b) ? d) ? b) : d) : 5 12 6 6 15 3 5 7 30 Resuelve y simplifica. 14 Realiza estas divisiones y simplifica. 4 7 2 18 a) 10 ? b) 15 ? a) 15 : b) :2 5 6 5 4 50301279 _ 0040-0057.indd 50 08/07/11 20:33
    • Jerarquía de las operaciones 8 con fracciones ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas con números naturales Al operar con números naturales resolvemos: 1.º Las operaciones que hay entre paréntesis. 2.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO Es importante 7 Resuelve esta operación: respetar el orden 25 - (4 ? 3 - 2) + 14 : (3 + 4) = de las operaciones Paréntesis para obtener F = 25 - (12 - 2) + 14 : 7 = el resultado = 25 - 10 + 14 : 7 = correcto. Multiplicaciones y divisiones F = 25 - 10 + 2 = Sumas y restas F = 17 Al realizar operaciones combinadas con fracciones, el orden que se sigue es el mismo que en las operaciones con números naturales. 1.º  Las operaciones que hay entre paréntesis. 2.º  Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. 3.º  Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 3 6 1 4 8 Calcula.   + :d + n= 5 5 2 5 Paréntesis 3 6 5 8 3 6 13 + :d + n= + : F = = 5 5 10 10 5 5 10 Multiplicaciones y divisiones 3 6 ? 10 3 60 F = + = + = 5 5 ? 13 5 65 Sumas y restas 39 60 99 F = + = 65 65 65 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 38 Calcula, indicando los pasos que sigues. 39 Opera. a) e - o? 7 1 5 14 3 5 11 a)  : + + 3 2 4 5 7 12 3 -e + o: ? 4 3 7 1 9 17 3 3 1 b) + ? - b) 5 2 2 3 7 8 5 2 9 51301279 _ 0040-0057.indd 51 08/07/11 20:33
    • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Fracción Fracciones equivalentes Numerador  F 4 2 8        "        "  Denominador  F 5 5 20 Fracción propia 2 8 y son equivalentes. 5 5 20 Numerador < Denominador Menor 7 F Fracción irreducible Fracción impropia 4 7 es irreducible, porque 4 y 5 no tienen Numerador > Denominador Mayor 5 5 F divisores comunes. HAZLO DE ESTA MANERA 1. COMPROBAR SI DOS FRACCIONES SON EQUIVALENTES 2 4 5 3 Comprueba si estas fracciones son equivalentes.    a)  y      b)  y 3 6 3 4 PRIMERO. Multiplicamos el numerador SEGUNDO. Comprobamos si ambos productos son de la primera por el denominador de la segunda, iguales. En ese caso, las fracciones son equivalentes. y el denominador de la primera fracción 2 4 por el numerador de la segunda. a)  18 = 18 " y son equivalentes. 3 6 a)  2 ? 9 = 18 3 ? 6 = 18 5 3 b)  20 ! 9 " y no son equivalentes. b)  5 ? 4 = 20 3 ? 3 = 9 3 4 1. CALCULAR LA FRACCIÓN IRREDUCIBLE 72 Halla la fracción irreducible de . 90 PRIMERO. Calculamos el m.c.d. del numerador SEGUNDO. Dividimos el numerador y el denominador. y el denominador entre su m.c.d. 72 = 2 ? 3 3 3 2 72 72 : 18 4 " m.c.d. (72, 90) = 2 ? 32 = 18 = =   F   Fracción irreducible 90 = 2 ? 32 ? 5 90 90 : 18 5 2. REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR 7 8 Reduce a común denominador estas fracciones: y 15 9 2 PRIMERO. Hallamos el m.c.m. de los denominadores. 15 = 3 ? 5 9 = 32 " m.c.m. (15, 9) = 3 ? 5 = 45 SEGUNDO. El m.c.m. de 45 : 15 ? 7 45 : 9 ? 8 los denominadores es el nuevo 7 F 21 8 F 40 = = denominador de las fracciones. 15 F 45 9 F 45 m.c.m. (15, 9) = 45        m.c.m. (15, 9) = 45 Para obtener el nuevo numerador, dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador. 52301279 _ 0040-0057.indd 52 08/07/11 20:33
    • 3. COMPARAR FRACCIONES 7 8 Compara las fracciones y . 15 9 PRIMERO. Si tienen 7 21 SEGUNDO. Si tienen 21 40 = 21 < 40 " < distinto denominador, 15 45 el mismo denominador, 45 45 reducimos a común 8 40 es mayor la fracción que 7 8 denominador. = tiene mayor numerador. " 15 < 9 9 45 4. SUMAR Y RESTAR FRACCIONES 7 3 Calcula la siguiente suma de fracciones: + 4 10 PRIMERO. Si las fracciones no tienen el mismo denominador, las reducimos a común denominador. 4 = 22 3 " m.c.m. (4, 10) = 22 $ 5 = 20 10 = 2 $ 5 20 : 4 ? 7 20 : 10 ? 3 7 F 35 3 F 6 = = 4 F 20 10 F 20 m.c.m. (4, 10) = 20        m.c.m. (4, 10) = 20 SEGUNDO. Si las fracciones tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores, y simplificamos, si se puede. 7 3 35 6 41 + = + = 4 10 20 20 20 Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Calcular la fracción irreducible 3 44 1. Halla dos fracciones equivalentes a . 3. Halla la fracción irreducible de . 5 16 Reducir fracciones a común denominador 2 4 1. Representa las fracciones y , y decide 3 6 3 6 4. Reduce a común denominador y . si son equivalentes. 12 16 Comparar fracciones Comprobar si dos fracciones 25 83 44 son equivalentes 5. Ordena, de mayor a menor: , , 33 24 24 4 2 2. ¿Son equivalentes las fracciones y ? 12 6 Sumar y restar fracciones 5 7 3 3 3 ¿Y las fracciones y ? 6. ¿Cuál es la solución de + - ? 7 6 5 2 4 53301279 _ 0040-0057.indd 53 08/07/11 20:33
    • Actividades NÚMEROS FRACCIONARIOS FRACCIONES EQUIVALENTES 50. ● Dadas las siguientes figuras, indica cuáles 15. ● Indica cuál es el numerador y el denominador. representan fracciones equivalentes. 11 3 1 a) c) e) a) c) 14 12 9 25 13 11 b) d) f) 34 45 92 16. ● Representa estas fracciones, e indica cuál b) d) es el numerador y el denominador. 6 4 3 a) c) e) 10 7 5 51. ● Determina si las fracciones son equivalentes. 3 9 1 13 52 3 8 15 105 b) d) f) a) y b) y c) y 8 15 7 7 21 4 11 6 36 17. ● Expresa como fracción las siguientes 53. ● Calcula dos fracciones equivalentes por situaciones. amplificación y otras dos por simplificación. a) De un jardín con 12 plantas, se marchitan tres. 14 24 50 8 a) b) c) d) b) De un autobús con 16 personas, se bajan siete. 42 36 75 20 c) De una librería con 27 novelas, me venden cinco. HAZLO ASÍ 44. ●● Indica qué fracción determina cada una ¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO de las afirmaciones. PARA QUE DOS FRACCIONES SEAN EQUIVALENTES? a) Quince minutos de una hora. 20. Calcula el número que falta para que las b) Siete meses en un año. 3 4 c) Tres huevos de una docena. fracciones y sean equivalentes. 4 8 d) Trece letras del abecedario. PRIMERO. Se aplica la propiedad que cumplen 48. ● Dadas las siguientes fracciones, indica cuál dos fracciones equivalentes. es mayor, igual o menor que la unidad. 3 4 4 = 8 " 3 ? 8 = 4 ?4 8 5 1 7 a) b) c) d) SEGUNDO. Se calcula el producto de los dos términos 3 6 1 2 conocidos. 3 ? 8 = 24 18. ● Indica si estas fracciones son propias, TERCERO. Se busca el número que, al multiplicarlo por impropias o iguales a la unidad. el tercer término conocido, resulta el mismo producto. 1 23 21 a) c) e) Para que resulte 24 multiplicamos 4 ? 6, y así: 4 = 6 5 45 29 15 8 51 b) d) f) 52. ● ● Completa las fracciones para que sean 6 8 55 equivalentes. 19. ●● Representa las fracciones y decide si son 9 18 8 24 13 4 propias o impropias. a) = b) = c) = 5 4 3 4 2 4 3 2 12 a) c) e) 54. ● ● Completa las siguientes fracciones para 8 10 9 que sean equivalentes. 25 8 11 b) 7 d) 18 f) 15 7 14 4 4 4 8 a) = = b) = = 4 4 6 5 15 4 54301279 _ 0040-0057.indd 54 08/07/11 20:33
    • 55. ● Calcula la fracción irreducible. 21. ● Calcula y simplifica. 12 52 81 12 a) b) c) d) 1 7 23 1 20 36 18 48 a) + c) - 5 2 45 5 56. ●● Determina las fracciones irreducibles. 12 15 18 2 b) + d) - 3 70 45 49 54 8 6 8 3 a)      b)       c)       d)       e)  12 33 32 35 27 64. ● Resuelve estas operaciones y simplifica. 3 5 2 2 7 1 COMPARACIÓN DE FRACCIONES a) + - 4 6 3 c) + 5 30 - 3 58. ● Compara las fracciones colocando el signo < o >. 7 3 5 4 1 1 b) - + d) - - 12 8 6 9 4 12 2 4 7 4 8 9 a) , c) , e) , 3 3 27 17 14 16 3 4 9 9 5 7 HAZLO ASÍ b) , d) , f) , 17 18 23 17 34 18 ¿CÓMO SE OPERA CON NÚMEROS Y FRACCIONES? 4 1 59. ● Ordena, de menor a mayor. 65. Calcula: + 2 - 3 6 3 4 1 6 3 5 7 33 108 2 a) , , , c) , , e) , , PRIMERO. Se expresa el número en forma 7 7 7 7 8 12 6 26 101 3 de fracción, poniendo como denominador 1. 3 3 3 3 26 101 3 8 12 6 b) , , , d) , , f) , , 2 7 2 5 4 33 108 2 3 5 7 2= 1 SEGUNDO. Se realiza la operación. HAZLO ASÍ 4 1 4 2 1 8 12 1 19 +2- = + - = + - = 3 6 3 1 6 6 6 6 6 F ¿CÓMO SE COMPARAN UN NÚMERO m.c.m. (1, 3, 6) = 6 Y UNA FRACCIÓN? 7 60. ¿Es 3 menor que ? 42. ● Escribe estos números como fracción. 2 a) 9 b) 10 c) 23 d) 14 PRIMERO. Seexpresa el número como una fracción con el mismo denominador que la fracción dada. 66. ● Resuelve y simplifica el resultado. 3?2 6 2 1 1 5 3= = a) + 4 - c) 3 - - 2 2 3 9 4 8 SEGUNDO. Se comparan las fracciones. 5 7 11 7 5 b) + - 2 d) - - +3 6 7 7 16 4 5 10 4 2 < 2 " 3< 2 67. ● ● Calcula y simplifica. 2 3 2 3 9 14 19 a) + g) + + 7 7 7 7 7 61. ● ¿Es 4 mayor que ? ¿Es 5 mayor que ? 3 4 37 11 25 7 4 b) - h) - - 18 8 6 6 18 OPERACIONES CON FRACCIONES 6 6 1 2 c) + i) 3 + + 8 7 5 35 63. ● Calcula y simplifica el resultado 11 11 4 37 de las siguientes operaciones. d) - j) 5 - - 6 8 9 45 4 5 8 4 2 5 2 3 2 7 a) + + c) + + e) + k) 1 + + 9 9 9 15 15 15 3 27 9 30 7 5 3 9 5 3 37 14 14 17 b) - + d) + + f) - l) 4 - - 8 8 8 12 12 12 18 9 9 27 55301279 _ 0040-0057.indd 55 08/07/11 20:33
    • 68. ● Efectúa los siguientes productos. HAZLO ASÍ 2 7 4 6 a) ? c) $ 3 5 7 8 ¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA FRACCIÓN? 6 1 3 4 23. Calcula. b) ? d) ? 5 2 5 9 2 3 a) de . 6 5 69. ● Calcula. 3 b) La tercera parte de . 3 9 5 a) 4 ? c) 2 ? 5 4 PRIMERO. Se identifica la fracción que representa 6 5 la parte de la fracción que se quiere calcular. b) 5 $ d) 8 ? 7 6 2 a) 6 70. ● Resuelve. 1 b) Tercera parte " 1 3 5 9 7 5 3 a) ? ? c) ? ? 4 5 6 8 3 6 SEGUNDO. Se multiplican las fracciones. 7 4 9 6 10 7 2 3 2 3 2?3 6 b) ? ? d) ? ? a) de = ? = = 12 5 2 5 3 2 6 5 6 5 6?5 30 1 3 1 3 1? 3 3 b) de = ? = = HAZLO ASÍ 3 5 3 5 3?5 15 ¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UN NÚMERO? 71. ● Calcula y simplifica. 22. Calcula. 1 8 3 12 a) de c) de 3 2 3 4 5 a) de 30. 5 5 2 1 4 b) de d) de b) La cuarta parte de 24. 7 15 6 3 PRIMERO. Se identifica la fracción que representa la parte del número que se quiere calcular. 24. ● ● Calcula. 3 3 a) La sexta parte de . a) 4 5 5 1 b) La mitad de . b) Cuarta parte " 8 4 12 c) La cuarta parte de . SEGUNDO. Se multiplica la fracción que representa 5 la parte por el número. 3 3 3 ? 30 79. ● Escribe la inversa de cada fracción. a) de 30 = ? 30 = = 18 5 5 5 7 6 9 8 1 1 1 ? 24 a) b) c) d) b) de 24 = ? 24 = =6 3 5 4 7 4 4 4 81. ● Efectúa las siguientes divisiones. 43. ● Calcula. 3 2 5 4 a) : c) : 5 3 6 3 1 3 a) de 50 c) de 4 7 9 4 8 2 4 b) : d) : 4 2 9 3 3 7 b) de 100 d) de 180 82. ● Resuelve. 2 9 2 7 73. ●● Calcula. a) 4 : c) 3 : 5 2 a) a tercera parte de 75. L 15 3 b) : 5 d) :6 b) a quinta parte de 80. L 4 4 56301279 _ 0040-0057.indd 56 08/07/11 20:33
    • 83. ●● Realiza estas operaciones. HAZLO ASÍ 12 1 3 a) - + 7 5 4 ¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DEL TOTAL? 3 7 6 1 93. En una fiesta se colocaron bombillas b) + ? : 5 5 5 7 de colores. Al terminar solo funcionaba un 13 1 16 7 cuarto de ellas. ¿Qué parte de las bombillas c) - + : se fundió? 2 3 5 4 132 7 42 1 PRIMERO. Se expresan numéricamente el total d) - : + y la parte. 5 3 5 2 6 3 7 1 TOTAL: Todas las bombillas  "  1 e) : - ? 7 15 5 4 1 PARTE: Bombillas que funcionaban  "  4 3 17 6 1 f) : + : 2 5 5 2 SEGUNDO. Se restan para calcular la otra parte. 1 4 1 1 3 84. ●● Resuelve. 1- = - = 4- = 4 4 4 4 4 - e - o :e : o 5 7 2 8 6 3 Se fundieron las tres cuartas partes de las a) d) 9 6 3 3 7 2 bombillas. -e + o :e : o 7 3 1 5 15 3 b) e) 5 10 3 3 2 4 94. ● ● Ana está pintando una pared. Si ya ha c) e + o- f) e + o: 5 3 2 3 1 7 pintado la sexta parte, ¿qué fracción le queda 12 8 3 5 10 2 por pintar? 85. ●● Calcula. a) e - 2o + d) e ? o: 11 2 9 2 3 4 5 5 3 5 ? e : o e) e - o: 3 5 7 9 3 5 b) 4 6 2 4 8 4 : e ? o f) e : o: 6 4 7 7 5 3 c) 7 5 2 8 2 2 95. ● ● En un partido de baloncesto, Pedro ha PROBLEMAS CON FRACCIONES encestado la sexta parte de los puntos, 1 Carlos la mitad y Juan el resto. 87. ●● Pedro ha dedicado parte de su tiempo 3 a) Qué fracción de los puntos ha hecho Juan? ¿ 1 5 a ver la televisión, a jugar y a estudiar. b) Quién ha encestado más puntos? ¿ 4 12 ¿A qué actividad ha dedicado más tiempo? 3 96. ● ● En una merienda, las partes son bebida, 8 90. ●● En el parque han 1 1 plantado árboles: son patatas fritas y frutos secos, siendo 6 3 1 son chopos, el resto bocadillos. ¿Qué fracción representan 3 los bocadillos? 7 son cipreses 15 97. ● ● En el pueblo de Rocío, las tres cuartas 1 partes de las fincas están sembradas de trigo, y son encinas. un quinto de maíz, y el resto no está sembrado. 5 ¿De qué tipo de árbol a) Qué fracción de las fincas está sembrada? ¿ se ha plantado más? b) Qué fracción de las fincas no lo está? ¿ 57301279 _ 0040-0057.indd 57 08/07/11 20:33
    • 4 Números decimales Problemas contables Esa mañana de invierno era particularmente clara, lo que en Escocia no es habitual. Junto a la ventana, un hombre entrado en años repasaba mentalmente su vida mientras se dejaba acariciar por los rayos del sol. Se vio en la sala despidiéndose de su madre para ir a la universidad y recordó su consejo. –Honra a tu familia y que tu nombre, John Napier, sea sinónimo de rectitud y nobleza–. Aquella fue la última frase que escuchó DESCUBRE de ella y la última vez que la vio. LA HISTORIA... De sus pensamientos le sacaron dos niños 1. ¿Quién fue John que jugaban con unas tablillas: eran Napier? Busca unas tablas que él había ideado y que servían información sobre para efectuar multiplicaciones. su vida y sus Después de mirar a los niños, volvió aportaciones al quehacer diario de repasar los libros al mundo de las matemáticas contables de su propiedad, donde y otras ciencias. se podían apreciar sus gastos. 2. ¿A qué etapa de John Napier fue quien popularizó el uso la vida de Napier crees de la coma como separador decimal. que corresponde el episodio que se narra en este texto? ¿Podrías situarlo en un año concreto? 3. Investiga sobre las aportaciones de John Napier al estudio de los números decimales.301279 _ 0058-0073.indd 58 08/07/11 20:37
    • Antes de empezar la unidad... SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden de unidades. Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad de millón de millón de millón de millar de millar de millar 6 3 0 0 5 2 1 5 8 630 052 158 = 6 C. de millón + 3 D. de millón + 5 DM + 2 UM + 1 C + 5 D + 8 U = = 600 000 000 + 30 000 000 + 50 000 + 2 000 +100 + 50 + 8 630 052 158 se lee «seiscientos treinta millones cincuenta y dos mil En el sistema decimal, ciento cincuenta y ocho». 10 unidades de un orden forman una unidad del orden El sistema de numeración decimal inmediato superior. es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número. 5 decenas = 50 unidades F 630 052 158 F 5 decenas de millar = 50 000 unidades EVALUACIÓN INICIAL 1 Descompón los siguientes números en sus diferentes órdenes de unidades. a) 53 478 d) 23 002 b) 3 408 924 e) 1 003 c) 700 401 f) 67 003 984 PLAN DE TRABAJO 2 Descompón estos números y escribe cómo se leen. En esta unidad a) 45 009 c) 3 689 aprenderás a… b) 1 568 002 d) 56 005 •  dentificar y leer I 3 Indica el valor de la cifra 3 en estos números. números decimales. a) 23 778 d) 13 003 b) 3 008 204 e) 1 303 •  omparar números C c) 730 001 f) 37 003 934 decimales. •  perar con números O 1. Indica el valor de las cifras de estos números: 10 926 y 253 418. decimales. 59301279 _ 0058-0073.indd 59 14/07/11 14:42
    • Números 1 decimales ANTES, DEBES SABER… Qué son las unidades decimales 1 unidad  →  1 U 1 décima  →  1 d 1 centésima  →  1 c 1 milésima  →  1 m F F Fm 1 U = 10 d 1 U = 100 c 1 U = 1 000 m 1 d = 0,1 U 1 c = 0,01 U 1 m = 0,001 U0m Para expresar cantidades que representan partes de la unidad utilizamos1U las unidades decimales: décimas (d), centésimas (c), milésimas (m)… Un número decimal es un número que se compone de: •  arte entera: cifras situadas a la izquierda de la coma; esta parte del P número es mayor que la unidad: unidades, decenas, centenas… El número 3,4 se puede leer de estas maneras: •  arte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma; esta parte P del número es menor que la unidad: décimas, centésimas, milési- •  3 unidades 4 décimas mas, diezmilésimas… •  3 unidades 40 centésimas •  3 coma 4 Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y, después, la •  3 con 4 parte decimal seguida del orden de unidades que ocupa la última cifra ... decimal. EJEMPLO 2 Descompón en sus órdenes de unidades el número 16,027. Parte entera Parte decimal Decenas Unidades Décimas Centésimas Milésimas 1 6 0 2 7 16,027 = 1 ? 10 + 6 + 0 ? 0,1 + 2 ? 0,01 + 7 ? 0,001 El número 16,027 se lee: «16 unidades 27 milésimas». LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Escribe con cifras. 3 Indica la parte entera y decimal. a) Treinta y siete milésimas. a) 112,45 c) 42,1 e) 25,07 b) Nueve unidades cuatro décimas. b) 0,25 d) 7,25 f) 0,003 c) Cuatro unidades trescientas milésimas. 4 Descompón en unidades estos números. 2 Escribe cómo se lee cada número. a) 5,439 c) 0,88 e) 0,028 a) 1,033 b)  0,09 c)  21,0021 b) 17,903 d) 75,043 f) 7,009 60 301279 _ 0058-0073.indd 60 08/07/11 20:37
    • 1.1  Representación de números decimales ANTES, DEBES SABER… Cómo se representan números naturales Los números naturales se pueden representar ordenados en una recta. 1 2 3 4 5 6 7 Si dividimos una unidad decimal en 10 partes iguales, cada una de esas partes es una unidad de orden inmediatamente inferior. EJEMPLO 3 Representa en la recta numérica 2,6 y 2,66. SE ESCRIBE ASÍ El número 2,6 está comprendido entre 2 y 3. •  5 > 2 Dividimos la unidad correspondiente en 2 2,6 3 10 partes iguales, que son las décimas. 5 es mayor que 2 •  2 < 5 El número 2,66 está comprendido entre 2,6 y 2,7. 2 es menor que 5 Dividimos cada décima en 10 partes 2,6 2,66 2,7 iguales, que son las centésimas. 1.2  Comparación de números decimales Para comparar números decimales comparamos cada unidad decimal: Al añadir ceros a la 1.º  Parte entera. Es mayor el número que tiene mayor parte entera. derecha de un decimal, 2.º  Parte decimal. Si la parte entera es igual, se comparan las décimas, el número sigue siendo las centésimas, las milésimas…, siendo mayor el número con ma- el mismo. yor parte decimal, comparada cifra a cifra. 1,35 1,350 EJEMPLO 1,3500 1,35000 4 Compara estos números: 7,1 y 7,101. Expresamos 7,1 como 7,100. Vemos que 7,100 y 7,101 tienen igual la parte entera e iguales también las cifras de las décimas y las centésimas, pero la cifra de las milésimas en 7,101 es mayor que en 7,1  →  7,1 < 7,101. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Escribe los números representados. 7 Representa, en una recta numérica, estos números: 2,3; 2,34; 2,37; 2,32. a) 7 8 b) 8 Completa con el signo que corresponda. 8,3 8,4 a) 3,2 4 3,08 c) 9,8 9,9 b) 0,086 4 0,087 61301279 _ 0058-0073.indd 61 08/07/11 20:37
    • Suma y resta 2 de números decimales Para sumar o restar números decimales: 1.º  Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna, y se añaden los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de decimales. 2.º  Sumamos o restamos como si fueran números naturales, mante- niendo la coma en su lugar correspondiente. EJEMPLOS Solo podemos sumar o restar unidades 5 Efectúa 124,6 + 45,802 + 4,18. con unidades, décimas con décimas, centésimas Colocamos los números, de forma que las comas 1 2 4,6 0 0 con centésimas... decimales estén alineadas, y añadimos los ceros 4 5,8 0 2 necesarios para que todos tengan el mismo número + 0 24,1 8 0 de decimales. 1 7 4,5 8 2 6 Calcula 3,4 - 0,987. 13,4 0 0 - 0,9 8 7 2,4 1 3 ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan sumas y restas combinadas Primero resolvemos los paréntesis, si los hay, y después las sumas y restas de izquierda a derecha. Sin paréntesis Con paréntesis 14 - 5 + 3 = 9 + 3 = 12 14 - (5 + 3) = 14 - 8 = 6 EJEMPLO 7 Resuelve esta operación: 75,06 - 32,005 + 2,45 7 5,0 6 0 F 4 3,0 5 5 - 3 2,0 0 5 +3 2,4 5 0 4 3,0 5 5 4 5,5 0 5 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Calcula. 2 Realiza estas operaciones. a) 32,98 + 45,006 d) 0,56 - 0,249 a) 345,98 + (56,008 - 22,98) b) 7 + 8,003 e) 8,42 - 5,3 + 0,77 b) 54,009 - 2,87 + (7,8 - 5,6) c) 3,456 - 0,098 f) 4,001 + 2,11 - 0,723 c) 19,79 - (34,57 + 97,28) 62301279 _ 0058-0073.indd 62 08/07/11 20:37
    • Multiplicación 3 de números decimales Para multiplicar dos números decimales: 1.º  multiplicamos como si fueran números naturales. Los 2.º  Colocamos la coma en el resultado, separando tantas cifras como decimales sumen entre los dos factores, contando de derecha a izquierda. EJEMPLO 9 Calcula. a) 34,5 ? 0,17 b) 6,815 ? 3,08 3 4,5 G 1 cifra decimal 6,8 1 5 G 3 cifras decimales + + #  0,1 7 G 2 cifras decimales #   3,0 8 G 2 cifras decimales 2,4,1 5 5 4 5,2 0 3 4,5 0 2,0 4 4 50 0 5,8 6 5 G 3 cifras decimales 2 0,9 9 0 2 0 G 5 cifras decimales ANTES, DEBES SABER… Cómo se multiplica un número natural por la unidad seguida de ceros Para multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros, se le añaden al número tantos ceros como tenga la unidad. 12 ? 10 = 120     12 ? 100 = 1 200     12 ? 1 000 = 12 000 G G G •  ara multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, P desplazamos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. •  ara multiplicar un número decimal por 0,1; 0,01; 0,001…, despla- P zamos la coma del número decimal hacia la izquierda tantos lugares c ­ omo ceros tenga el factor 0,1; 0,01; 0,001… EJEMPLO DATE CUENTA 10 Calcula. Al multiplicar un número a) 02,35 ? 10 = 1 023,5  1 F   La coma se desplaza a la derecha un lugar. decimal por la unidad b) 9,87 ? 1 000 = 59 870  5 F   La coma se desplaza a la derecha tres lugares. seguida de ceros o por 0,1; 0,01; 0,001…, si no hay c) 12,39 ? 0,1 = 1,239  F   La coma se desplaza a la izquierda un lugar. suficientes decimales, d) 8,17 ? 0,01 = 0,0817  F   coma se desplaza a la izquierda dos lugares. La añadimos ceros. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 15 Calcula. 16 Realiza estas multiplicaciones. a) 42,6 ? 5,9    b)  24,8 ? 0,05    c)  765,3 ? 3,8 a) 42,6 ? 10   b)  123,77 ? 0,001   c)  765,3 ? 100 63301279 _ 0058-0073.indd 63 08/07/11 20:37
    • División de números 4 decimales ANTES, DEBES SABER… Cuáles son los términos de la división Dividendo  F   25    2  F   Divisor 05    12  F   Cociente Resto  F  1 4.1  Un número decimal entre un número natural Para dividir un número decimal entre un número natural: 1.º Realizamos la división como si fueran números naturales. 2.º  bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma en el co- Al ciente. 3.º Continuamos la división. EJEMPLO 11 Calcula 11,35 : 5. Propiedad de la división 1 1,3 5    5 bajar la primera cifra decimal, 3, ponemos Al   1 3      2,2 7 una coma en el cociente y continuamos la división. Al multiplicar el dividendo    3 5 y el divisor por el mismo      0 número, el cociente no varía. 4.2  Un número natural entre un número decimal Para dividir un número natural entre un número decimal: 1.º Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor. 2.º Realizamos la división como si fueran números naturales. EJEMPLO 12 Calcula 1 914 : 1,5.  ) 1914 ? 10 = 19 140 1 914 : 1,5  F     1 9 1 4 0   15 F 1,5 ? 10 = 15 0 4 1       1 2 7 6   114     090         0 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Realiza estas operaciones. 19 Calcula. a) 34,5 : 2    b)  14,06 : 7    c)  3,108 : 5 a) 42,6 : 3    b)  399,5 : 17    c)  23,4 : 9 64301279 _ 0058-0073.indd 64 08/07/11 20:37
    • 4.3  Un número decimal entre un número decimal Si en el dividendo quedan Para dividir un número decimal entre un número decimal: decimales: 1.º  Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de ) 5,67 · 10 = 56,7 5,67 : 3,4  F  tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor. 3,4  · 10 = 34 2.º  en el dividendo siguen apareciendo decimales, resolvemos Si 5,67 3,4 56,7 34    F   la división como en el caso de la división de un número deci- 22,7 1,6 mal entre uno natural. 22,3 EJEMPLO 13 Calcula 7,2 : 0,16.   )0,16 ? 100 = 16   07,2 ? 100 = 720 7,2 : 0,16  F F   7 2 0   1 6 0 8 0   4 5     0 ANTES, DEBES SABER… Cómo se dividen decenas, centenas y millares por la unidad seguida de ceros Se suprimen tantos ceros en el dividendo como ceros tenga la unidad. 2 300 : 10 = 230     2 700 : 100 = 27     12 000 : 1 000 = 12 G G G DATE CUENTA •  ultiplicar por 0,1 M es lo mismo que dividir •  ara dividir un número decimal entre la unidad seguida de ceros, des- P entre 10. plazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la 7,4 ? 0,1 = 7,4 : 10 unidad. •  ividir entre 0,1 es lo D •  ara dividir un número decimal entre 0,1; 0,01; 0,001…, desplaza- P mismo que multiplicar mos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga 0,1; por 10. 0,01; 0,001… 7,4 : 0,1 = 7,4 ? 10 EJEMPLO 14 Calcula. a) 56,87 : 10 = 5,687 d) 56,87 : 0,1 = 568,7 b) 4,6 : 100 = 0,046 e) 4,6 : 0,01 = 460 c) 13 735 : 1 000 = 13,735 f) 13 735 : 0,001 = 13 735 000 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 Calcula. 25 Resuelve. a) 129,6 : 3,6 c) 16,32 : 0,34 a) 9 268 : 1 000 c) 3,85 : 0,01 e) 1,8 : 100 b) 19,1 : 3,82 d) 19,8 : 1,65 b) 3,24 : 100 d) 46,97 : 10 f) 61,2 : 0,1 65301279 _ 0058-0073.indd 65 08/07/11 20:37
    • Números decimales 5 y fracciones ANTES, DEBES SABER… Cuál es la prueba de la división 26    6 Si una división está bien hecha, se cumple:   2    4 •  Resto < divisor 2<6 •  Dividendo = divisor ? cociente + resto 26 = 6 ? 4 + 2 5.1  Obtención de decimales en un cociente Si la división no es exacta, podemos obtener en el cociente tantas cifras decimales como queramos. Para ello añadimos una coma en el dividendo y tantos ceros como decimales queremos obtener. EJEMPLO 15 Divide 17 entre 6 y escribe en cada caso el cociente y el resto. a) Cociente sin cifras decimales. 2 " 17 = 6 ? 2 + 5     1 7    6 Dividendo = 17   Divisor = 6   5    2 Cociente = 2 Resto = 5 b) Cociente con una cifra decimal.    1 7,0    6   5 0    2,8 Si el cociente debe tener una cifra decimal,     2 hay que añadir al dividendo una coma y un cero. 2 " 17 = 6 ? 2,8 + 0,2 Dividendo = 17 Divisor = 6 Cociente = 2,8 Resto = 0,2 c) Cociente con dos cifras decimales.    1 7,0 0    6 Si el cociente debe tener dos cifras decimales,   5 0     2,83 hay que añadir al dividendo una coma     20 y dos ceros.       2 2 Dividendo = 17 Divisor = 6 17 = 6 ? 2,83 + 0,02 Cociente = 2,83 Resto = 0,02 " d) Cociente con tres cifras decimales. 1 7,0 0 0   6   5 0       2,833 Si el cociente debe tener tres cifras decimales,     20 hay que añadir al dividendo una coma       20 y tres ceros.         2 2 Dividendo = 17 Divisor = 6 17 = 6 ? 2,833 + 0,002 Cociente = 2,833 Resto = 0,002 " LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Divide 517 entre 4. 28 Calcula los cocientes con dos cifras decimales. a) Sin cifras decimales. b) Con una cifra decimal. a) 23 : 3   b)  47 : 12   c)  102 : 7   d)  143 : 22 66301279 _ 0058-0073.indd 66 08/07/11 20:37
    • 5.2  Expresión de una fracción como número decimal ANTES, DEBES SABER… Qué son las fracciones decimales Si es necesario, al escribir una fracción Las fracciones decimales son las fracciones que tienen por denominador decimal como número decimal la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1 000… se añaden ceros. 25 34 75 , , " Son fracciones decimales. 34 10 100 1000 = 0,034 1 000 Cómo se expresa una fracción decimal como número decimal 3 ceros " 3 cifras decimales Para escribir una fracción decimal en forma de número decimal, se escribe el numerador de la fracción y se separan con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador. EJEMPLO 1 Escribe estas fracciones como números decimales. 25 34 75 a) b) c) 10 100 1000 25 34 75 = 2,5 = 0,34     = 0,075 10 100 1 000 G G G Para expresar una fracción como número decimal se divide el nume­ - rador entre el denominador. EJEMPLO 16 Expresa estas fracciones como número decimal. 4 35 a) 5 " 4 : 5 = 0,8 b) 6 " 35 : 6 = 5,83… 40    5 35    6   0    0,8   50   5,83    20     2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Decide si estas fracciones son fracciones 32 Expresa estas fracciones como número decimal. decimales. 39 77 a) c) 3 12 233 100 10 a) b) c) 10 20 1 000 3 9 b) d) 6 12 6 Escribe estas fracciones como números decimales. 34 Expresa como números decimales. 172 47 2 13 3 7 3 a) b) c) a) b) c) d) 10 100 1 000 3 11 12 13 67301279 _ 0058-0073.indd 67 08/07/11 20:37
    • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Unidades decimales Número decimal 17,208 17,208 Décimas F Parte entera F F Parte decimal Centésimas F Milésimas F HAZLO DE ESTA MANERA 1. COMPARAR NÚMEROS DECIMALES Ordena, de menor a mayor: 12,9; 12,901; 11,901. PRIMERO. Comparamos la parte entera de los distintos 12,9 12,901 11,901 números. Es mayor el número que tiene mayor parte = > entera. El número menor es 11,901. SEGUNDO. Si la parte entera es igual, comparamos 12,900 12,901 su parte decimal. = Para ello, añadimos ceros hasta tener las mismas = cifras decimales en ambos números. Después, < comparamos las cifras que representan 12,9 < 12,901 las décimas; si son iguales, pasamos a las centésimas, milésimas…, hasta que las cifras sean diferentes. Es mayor el número con mayor parte decimal, comparado cifra a cifra. 11,901 < 12,9 < 12,901 2. SUMAR Y RESTAR NÚMEROS DECIMALES Calcula.    a) 123,456 + 34,06      b) 12,71 - 9,327 PRIMERO. Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna, y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de cifras decimales. a)  1 2 3,4 5 6 b)  1 2,7 1 0 +   3 4,0 6 0 -   9,3 2 7 SEGUNDO. Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en el lugar correspondiente. a)  1 2 3,4 5 6 b)  1 2,7 1 0 +   3 4,0 6 0 -   9,3 2 7 1 5 7,5 1 6 3,3 8 3 68301279 _ 0058-0073.indd 68 08/07/11 20:37
    • 3. MULTIPLICAR NÚMEROS DECIMALES Calcula 13,076 ? 14,02. 1 3,0 7 6 F 3 cifras decimales PRIMERO. Multiplicamos los decimales como si fueran #   1 4,0 2 F 2 cifras decimales números naturales. 26152 SEGUNDO. Colocamos la coma en el resultado, separando 52304 tantas cifras como decimales sumen entre los dos factores, 13076 contando de derecha a izquierda. 1 8 3,3 2 5 5 2 F 5 cifras decimales 4. DIVIDIR NÚMEROS DECIMALES Calcula.   a)  13,06 : 4 b)  1 306 : 0,4 c)  13,06 : 0,4 •  División de un número decimal entre un número natural a)  1 3,0 6   4 PRIMERO. Dividimos como si fueran números naturales. 1 0 3,2 6 SEGUNDO. Al bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma 26 en el cociente. 2 •  ivisión de un número natural entre D •  ivisión de un número decimal entre D un número decimal un número decimal PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor. como cifras decimales haya en el divisor. b)  1 306 : 0,4 " ) c)  13,06 : 0,4 " ) 1 306 ? 10 = 13 060 13,06 ? 10 = 130,6 0,4 ? 10 = 4 0,4 ? 10 = 4 SEGUNDO. Realizamos 13060  4 SEGUNDO. Si en 1 3 0,6   4 la división como 1 0 3265 el dividendo siguen 1 0 3 2,6 si fueran números 26 apareciendo decimales, 26 naturales. 20 resolvemos la división 2 0 como en el primer caso. Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Sumar y restar números decimales 1. Descompón estos números. 4. Calcula: 4,339 + 0,589 - 2,365 a) 27,45 b) 3,786 c) 1 203,003 Multiplicar números decimales 1. Indica la parte entera y la parte decimal de estos números decimales. 5. Realiza las siguientes multiplicaciones. a) 13,24 b) 3,86 c) 0,007 a) 6,59 ? 4,3 b) 65,9 ? 4,3 c) 0,659 ? 43 Comparar números decimales Dividir números decimales 3. Ordena, de menor a mayor, estos números: 6. Efectúa estas divisiones. 7,009   7   7,9   7,09 a) 13 824 : 3,2 b) 13,824 : 3,2 c) 13,824 : 32 69301279 _ 0058-0073.indd 69 08/07/11 20:37
    • Actividades NÚMEROS DECIMALES 49. ● Representa en la recta numérica los números 9,3; 12,12 y 4,133. 43. ● Descompón en unidades los siguientes números decimales. 50. ● ¿Qué número está representado en cada caso? a) Parte entera Parte decimal 3 4 C D U d c m b) 9,71 9,72 43,897 135,903 29,876 8. ● Indica qué números están representados en estas rectas. 44. ● Escribe cómo se lee cada número. a) 6,2 6,3 a) 6,125      b)  1,014      c)  34,046      d)  0,019 b) 9,83 9,84 45. ● Completa. a) En 3 unidades hay 4 décimas. 51. ● Completa con el signo < o >, según b) En 12 decenas hay 4 centésimas. corresponda. c) En 5 unidades hay 4 milésimas. a) 0,231 4 0,235 c) 3,87 4 3,85 d) En 8 decenas hay 4 diezmilésimas. b) 0,710 4 0,83 d) 5,12 4 3,12 46. ● Escribe los números decimales que correspondan en cada caso. 52. ● Ordena, de menor a mayor: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2. a) 2 C  7 D  9 U  3 d 53. ● Ordena, de mayor a menor: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07. b) 1 D  2 U  4 m c) 7 U  4c d) 8 C  9 U  6 d 9. ● Ordena de menor a mayor. e) 7 UM  6 D  7 c a) 3,9; 3,899; 3,099; 3,901; 3,90001; 3,91 f) 4 CM  7 U  8 d  3 m b) 7,999; 8,01; 7,898; 8,101; 8,2 c) 2,7; 2,703; 2,73; 2,7029; 2,70199 7. ● Realiza la descomposición en unidades de los siguientes números decimales. 10. ● Copia y completa con números para que a) 9,23 d) 4,065 las desigualdades sean ciertas. b) 12,856 e) 8,004 a) 6,145 < 6,11 c) 3,892 f) 65,903 b) 0,734 < 0,736 c) 0,407 < 0,45 47. ● Escribe con cifras. a) Nueve décimas. 11. ● ● Halla todos los números decimales que cumplen la condición que se indica en cada caso. b) Cuatro unidades quince centésimas. Después, ordénalos de mayor a menor. c) Nueve unidades ciento ocho milésimas. a) 8, d) Dos unidades mil diezmilésimas. La suma de estas 48. ● Escribe los números que sean una centésima dos cifras es 9. menor. b) 0, El producto de estas a) 0,99 c) 0,01 e) 4,9 dos cifras es 24. b) 1,4 d) 5,98 f) 1,099 70301279 _ 0058-0073.indd 70 08/07/11 20:37
    • OPERACIONES CON NÚMEROS 15. ● ● Determina el término que falta en cada DECIMALES operación. Explica cómo lo haces. a) 39,25 + 4 = 125,86 12. ● Suma estos números decimales. b) 17,129 - 4 = 7,464 a) 7,45 + 9,03 c) 8,002 + 12,4 c) 99,542 - 4 = 66,413 b) 0,834 + 12,8 d) 7 + 9,902 d) 4 - 303,987 = 259,137 e) 4 - 25,06 = 427,07 56. ● Calcula. f) 4 + 33,98 = 59,01 a) 32,35 - 0,89 c) 87,65 - 9,47 b) 81,002 - 45,09 d) 4 - 2,956 58. ● ● Completa. a) 3,313 + 4 = 6,348 57. ● Efectúa las operaciones. b) 4 + 1,47 = 5,8921 a) 4,53 + 0,089 + 3,4 c) 4,56 - 4 = 0,936 b) 7,8 + 0,067 + 2,09 + 0,7 d) 4 - 2,431 = 1,003 c) 123 + 23,09 - 45,7 - 0,28 d) 78,098 - 43,68 - 0,008 59. ● ● Resuelve. a) Suma 4 centésimas a 4,157. 13. ● Efectúa las siguientes operaciones. b) Resta 3 décimas a 1,892. a) 0,974 + 125,86 c) 82,46 + 99,6 - 70,07 c) Suma 7 milésimas a 5,794. b) 29 - 3,756 d) 103,5 - 89,98 + 23,378 d) Resta 23 centésimas a 3,299. e) Suma 3 milésimas a 1,777. HAZLO ASÍ 16. ● ● Efectúa estas operaciones. ¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN a) Suma 8 décimas y 7 centésimas a 56,07. UNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES? b) Suma 3 unidades y 6 milésimas a 24,36. 14. alla el término que falta para que el resultado H c) Resta 8 unidades y 5 décimas a 76,008. sea correcto. d) Resta 3 décimas y 8 milésimas a 0,892. a) 12,99 + 4 = 98,3 e) Suma 5 decenas y 4 décimas a 25,456. b) 7,45 - 4 = 3,99 f) Resta 6 decenas y 5 décimas a 82. c) 4 - 7,774 = 987,9 PRIMERO. Se identifica el término desconocido. 60. ● Calcula. a) Es uno de los sumandos de una suma. a) 3,45 ? 0,018 g) 0,045 ? 1 000 b) Es el sustraendo de una resta. b) 8,956 ? 14 h) 0,65 ? 10 000 c) Es el minuendo de una resta. c) 3,4 ? 0,92 i) 3,78 ? 0,1 d) 123,4 ? 76 j) 794,2 ? 0,01 SEGUNDO. Si el término es: e) 0,35 ? 10 k) 24,85 ? 0,001 • Un sumando, se obtiene restando al resultado el otro sumando. f) 1,4 ? 100 l) 56 ? 0,0001 • El sustraendo, se obtiene restando al minuendo 61. ● Resuelve. el resultado. a) 5 : 0,06 g) 30 : 10 • El minuendo, se obtiene sumando al resultado b) 8 : 1,125 h) 636 : 100 el sustraendo. c) 17,93 : 7 i) 1 296 : 10 000 a) 4 = 98,3 - 12,99 = 85,31 d) 7 : 25 j) 55,2 : 0,1 b) 4 = 7,45 - 3,99 = 3,46 e) 7,24 : 1,1 k) 202,2 : 0,01 c) 4 = 987,9 + 7,774 = 995,674 f) 8,37 : 4,203 l) 138,24 : 0,0001 71301279 _ 0058-0073.indd 71 14/07/11 14:42
    • HAZLO ASÍ HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES ¿CÓMO SE ESCRIBEN ALGUNOS NÚMEROS COMBINADAS CON NÚMEROS DECIMALES? DECIMALES COMO FRACCIÓN DECIMAL? 62. Calcula 4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65). 21. Expresa como fracción decimal estos números decimales. PRIMERO. Se realizan las operaciones entre paréntesis. a) 24,03 b) 0,147 4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65) = 4,56 : 2 + 3 ? 2,27 PRIMERO. Se escribe como numerador de la fracción el número decimal sin coma. SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones a) Numerador  "  2 403 y divisiones de izquierda a derecha, y por último, las sumas y restas en el mismo orden. b) Numerador  "  147 4,56 : 2 + 3 ? 2,27 = 2,28 + 6,81 = 9,09 SEGUNDO. Se escribe como denominador de la fracción la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número. 63. ●● Opera, respetando la jerarquía 2 403 de las operaciones. a) 24,03 = 100 a) 134,5 : 2,5 + 12,125 G b) 2,75 ? (4,605 - 3,5) + 1,37 2 cifras decimales  "  2 ceros c) 5,7 + 6,225 : 7,5 - 0,39 147 b) 0,147 = d) (4,987 + 0,875) : 1,5 + 3,094 1 000 G e) 12,3 : 8,2 ? 2,5 - 3,29 3 cifras decimales  "  3 ceros f) 9,6 ? 2,4 - 8,5 ? 1,27 g) 0,05 + (11,3 - 3,2) : 0,09 h) 44,4 : 0,002 ? 1,7 - 2,9 ? 3,1 22. ● Escribe en forma de fracción decimal estos números decimales. a) 89,003 d) 12,044 NÚMEROS DECIMALES b) 45,02 e) 0,097 Y FRACCIONES c) 0,009 f) 9,3 17. ● Divide 238 entre 5 y escribe en cada caso 23. ● Expresa como fracción decimal. el cociente y el resto. a) 9,87 d) 1,2345 a) Sin cifras decimales. b) 1,023 e) 8,00064 b) Con una cifra decimal. c) 0,0099 f) 6,7321 18. ● Calcula cada uno de estos cocientes con tres cifras decimales. 72. ● ● Escribe en forma de fracción. Simplifica siempre que sea posible. a) 54 : 7 c) 29 : 7 e) 105 : 11 a) 7 décimas. b) 87 : 9 d) 76 : 13 f) 245 : 32 b) 13 centésimas. 19. ● Decide si son fracciones decimales. c) 4 milésimas. 156 17 37 8 d) 11 diezmilésimas. a)     b)      c)      d)  10 45 62 100 e) 35 décimas. f) 9 centésimas. 20. ● Expresa como número decimal estas fracciones decimales. 73. ● ● Completa. 35 23 47 96 123 a) c) e) a) 9,6 = c) 1,23 = 10 100 100 4 4 234 3 5 b) d) f) 12 389 331 1 000 1 000 100 b) 12,389 = d) 0,331 = 4 4 72301279 _ 0058-0073.indd 72 14/07/11 14:42
    • PROBLEMAS CON NÚMEROS 87. ● ● Andrés corta un listón de madera de 3,22 m DECIMALES en trozos de 0,23 m. ¿Cuántos trozos obtiene? 80. ● En un pueblo hay cuatro líneas de autobuses. 88. ● ● Laura ha hecho 43,5 kg Observa en la tabla la distancia que recorre de pasta y la quiere cada uno de ellos. ¿Cuál recorre mayor distancia? empaquetar en cajas ¿Y menor? de 0,250 kg. ¿Cuántas cajas necesita? 89. ● ● En un río de 7,2 km de largo se han puesto carteles de «Coto de pesca» cada 0,16 km. ¿Cuántos carteles se han puesto? Línea 1 Línea 2 Línea 3 Línea 4 8,409 km 8,5 km 8,45 km 9,05 km HAZLO ASÍ 81. ●● La suma de dos números decimales ¿CÓMO SE CALCULA LA FRACCIÓN DE UN DECIMAL? es 52,63. Si uno de los sumandos es 28,557, calcula el otro sumando. 90. Se dispone de 24,88 kg de mezcla de café de distinta procedencia. Si las tres cuartas 82. ●● Cierto día, la temperatura a las 8 partes son de origen africano, ¿qué cantidad de la mañana era de 10,5 °C, y a las 12 del de café africano hay? mediodía era de 17,3 °C. ¿Cuántos grados hay de diferencia? PRIMERO. Se multiplica por el numerador de la fracción. 3 ? 24,88 = 74,64 83. ●● Las alturas de tres amigos suman 5 m. SEGUNDO. Se divide el resultado entre María mide 1,61 m y Luis mide 1,67 m. el denominador. 74,64 : 4 = 18,66 Halla cuánto mide Alberto. En la mezcla hay 18,66 kg de café africano. 84. ●● En un ascensor se cargan 5 bolsas de 12,745 kg cada una. Suben dos personas que pesan 65 kg y 85,7 kg. El ascensor admite 350 kg 91. ● ● La mitad del peso de un bote de mermelada de carga máxima. ¿Puede subir otra persona más de 500 g corresponde a fruta. que pese 86,7 kg? a) ¿Cuál es el peso de la fruta en kilos? b) Cuántos botes se necesitan para que el total ¿ de fruta sea 6,75 kg? 85. ●● Jaime va a la compra y lleva una cesta que 92. ● ● Una camisa cuesta 20,95 €. Por estar rebajada pesa 1,5 kg. Compra dos bolsas de naranjas que pesan 3,4 kg cada una. ¿Cuántos kilos pesa nos descuentan la quinta parte de su valor, en total la compra? y por pagar en efectivo, la veinteava parte. ¿Cuál es su precio final? 86. ●● En una fábrica de refrescos se preparan 4 138,2 litros de refresco de naranja y se 93. ● ● María ha ido al banco a cambiar 45,50 € envasan en botes de 0,33 litros. ¿Cuántos botes en dólares. Por cada euro le han dado necesitan? 0,96 dólares. ¿Cuántos dólares tiene en total? 73301279 _ 0058-0073.indd 73 08/07/11 20:37
    • 5 Números enteros Los números rojos Fu Chang estaba seguro de que el comité reconocería su valía tanto en redacción, literatura y poesía como en matemáticas. El acceso al puesto de funcionario durante la Dinastía Tang (618-907) era muy difícil, pero merecía la pena por sus beneficios económicos y sociales. –Cuando den su aprobación –pensaba Fu–, seré funcionario imperial. El aspirante a mandarín se veía a sí mismo vestido con maravillosas prendas de seda bordada, con criados que lo transportaban en un palanquín finamente adornado. La escalera que nacía entre los dos dragones lo condujo al recinto donde el tribunal esperaba para notificarle DESCUBRE los resultados. LA HISTORIA... El más anciano de los sabios 1. Busca información le dijo: sobre las matemáticas en la antigua China. –Tu forma de diferenciar las deudas y las cantidades 2. Investiga sobre que tenemos mediante los colores la dinastía Tang y el funcionamiento de rojo y negro, respectivamente, la sociedad china en representa una innovación esa época. y merece ser premiada con el puesto. 3. Averigua cuáles fueron los orígenes de En la actualidad nadie recuerda los números negativos a Fu Chang; sin embargo, y su utilización en las deudas bancarias se siguen las distintas culturas. denominando números rojos en lugar de números negativos.301279 _ 0074-0089.indd 74 08/07/11 20:36
    • Antes de empezar la unidad... OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Operaciones de suma y resta Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha. F 10 - 7 + 8 - 3 - 2 = 3 + 8 - 3 - 2 = 11 - 3 - 2 = 9 - 2 = 7 F F Operaciones de suma y resta con paréntesis Se resuelven primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha. F F 10 + 5 - (7 - 3 + 2) - 1 = 10 + 5 - (4 + 2) - 1 = 10 + 5 - 6 - 1 = 15 - 6 - 1 = 9 - 1 = 8 F F Operaciones de suma, resta, multiplicación y división Primero se calculan las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda Si hay paréntesis a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha. debemos eliminarlos resolviendo primero F 4 + 3 ? 2 - 15 : 3 = 4 + 6 - 15 : 3 = 4 + 6 - 5 = 10 - 5 = 5 las operaciones F F de su interior. Operaciones de suma, resta, multiplicación y división con paréntesis El orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente: 10 + (5 - 3) ? 4 - 6 : 2 = 1.º  operaciones que hay entre Las Paréntesis F paréntesis. = 10 + 2 ? 4 - 6 : 2 = 2.º  multiplicaciones y las divisiones, Las Multiplicaciones y divisiones F de izquierda a derecha. = 10 + 8 - 3 = 3.º  sumas y las restas, de izquierda Las Sumas y restas F a derecha. = 18 - 3 = 15 PLAN DE TRABAJO EVALUACIÓN INICIAL En esta unidad aprenderás a… 1 Realiza estas operaciones de suma y resta. a) 4 + 7 – 5 + 3 – 6 b) 12 - 5 + 6 - 7 •  onocer y representar C números enteros. 2 Resuelve estas operaciones con paréntesis. •  allar el valor H a) 15 - (4 + 7) + (5 - 3 + 1) b) 9 + (5 - 3 + 4) - (4 - 3) absoluto y el opuesto de un número entero. 3 Halla el resultado de estas operaciones. •  omparar números C a) 4 + 3 · 2 - 7 + 10 : 2 b) 12 + 18 : 2 - 3 · 2 + 1 enteros. 4 Calcula. •  perar con números O a) 2 + (7 + 4) · 3 - 12 : (5 + 1) b) 5 - ( 6 - 4) : 2 + ( 4 + 3) · 2 enteros. 75301279 _ 0074-0089.indd 75 08/07/11 20:36
    • Números 1 enteros El 0 es el único número Hay expresiones cotidianas que no pueden indicarse con números natura- entero que no es positivo les. Necesitamos otro tipo de números, los números enteros. ni negativo. ANTES, DEBES SABER… Para qué se utilizan los números enteros Hay situaciones en las que es necesario utilizar números negativos: •  4 grados bajo cero  "  -4 °C •  Debemos 100 €  "  -100 € •  El garaje está en el tercer sótano  "  -3 Los números enteros son números precedidos del signo + o -, depen- diendo de si la cantidad expresada está por encima o por debajo de cero. En el conjunto de los números enteros podemos diferenciar: •  úmeros enteros positivos: +1, +2, +3, +4…, que son los N números naturales. •  l número 0. E •  úmeros enteros negativos: -1, -2, -3, -4… N 1.1  Representación en la recta numérica SE ESCRIBE ASÍ ANTES, DEBES SABER… Los números positivos se escriben habitualmente Cómo se representan los números naturales en una recta sin el signo + que los precede: •  ijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia entre estos dos F números como unidad. +7 = 7    +23 = 23 •  esplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 para representar D el resto de números. 1 2 3 4 5 Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica: •  l cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales. E •  ijamos el 1 y elegimos como unidad su distancia al origen. F •  esplazamos dicha unidad a la derecha del cero, para representar D los enteros positivos, y a la izquierda, para representar los negativos. … -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 … 644444444444474444444444448 644444444444474444444444448 Números enteros negativos Números enteros positivos LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa con un número. 2 Completa los números que faltan. a) Debo cuatro euros a mi amigo. a) b) Estamos a cinco grados bajo cero. -9 4 -7 4 -5 4 4 -2 4 0 76301279 _ 0074-0089.indd 76 08/07/11 20:36
    • 1.2  Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero se escribe entre dos barras,; ; y , NO OLVIDES es igual al número sin su signo: El valor absoluto de cero ;+b;= b         ;-a;= a es cero. ;0;= 0 EJEMPLO 2 Calcula el valor absoluto de -3 y +6. ;-3;= 3                  ;+6;= 6 1.3  Opuesto de un número entero Para calcular el opuesto de un número se le cambia de signo. Op (+a) = -a    Op (-a) = +a EJEMPLO 3 Halla el opuesto.    a)  -4        b)  +5 a)  Op (-4) = +4     b)  Op (+5) = -5 Comparación 2 de números enteros De dos números enteros es mayor el que está situado más a la derecha en la recta numérica. El cero es mayor que cualquier número negativo EJEMPLO y menor que cualquiera 4 Compara estos números.    a)  +5 y +2      b)  -4 y -7    c)  +6 y -3 positivo. a) +2 < +5 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 b) -7 < -4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 c) -3 < +6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Calcula. 14 Ordena, de menor a mayor. a) ;+7; b) ;-1; c) ;+22; d) ;-41; -6, +5, +7, 0, -11, -4, +9, +13, -16 77301279 _ 0074-0089.indd 77 08/07/11 20:36
    • Suma y resta 3 de dos números enteros 3.1  Suma de dos números con el mismo signo Para sumar dos números enteros del mismo signo: 1.º  suman sus valores absolutos. Se 2.º  resultado se le añade el mismo signo de los números. Al Al sumar 0 a cualquier EJEMPLO número entero, se obtiene 6 Resuelve estas sumas de números enteros. el mismo número. (+5) + 0 = +5 a) (+3) + (+4) = +7 c) (+8) + (+4) = +12 0 + (–7) = –7 4" 3+4 = 7 4 " 8 + 4 = 12 ;+3;= 3 ;+8;= 8 ;+4;= 4 ;+4;= 4 b) (-2) + (-7) = -9 d) (-5) + (-3) = -8 4 " 2 + 7 = 9 4" 5+3 = 8 ;-2;= 2 ;-5;= 5 ;-7;= 7 ;-3;= 3 3.2  Suma de dos números con distinto signo Para sumar dos números enteros de distinto signo: 1.º  restan sus valores absolutos (el menor del mayor). Se 2.º  resultado se le añade el signo del número con mayor valor Al absoluto. EJEMPLO 6 Resuelve estas sumas de números enteros. a) (-7) + (+5) = -2 c) (+5) + (-4) = +1 4" 7-5 = 2 4" 5-4 = 1 ;+7;= 7 ;+5;= 5 ;+5;= 5 ;-4;= 4 b) (-5) + (+9) = +4 d) (+8) + (-11) = -3 4" 9-5 = 4 4 " 11 - 8 = 3 ;-5;= 5 ;+8;= 8 ;+9;= 9 ;-11;= 11 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Calcula. 18 Calcula. a) (+5) + (+7) b) (-5) + (-7) a) (+4) + (+12) b) (+4) + (-12) 2 Calcula. 20 Indica, sin realizar la operación, qué signo a) (+5) + (-7) c) (+6) + (-3) tendrá el resultado. b) (-5) + (+7) d) (-6) + (+3) b) (-7) + (+5) c) (-7) + (-5) 78301279 _ 0074-0089.indd 78 08/07/11 20:36
    • 3.3  Resta de dos números Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto del segundo. EJEMPLO 7 Resuelve estas restas de números enteros. a) (+3) - (+4) = (+3) + Op (+4) = (+3) + (-4) = -1 F 4" 4-3 = 1 ;+3;= 3 ;-4;= 4 b) (+8) - (-11) = (+8) + Op (-11) = (+8) + (+11) = +19 F 4 " 8 + 11 = 19 ;+8;= 8 ;+11;= 11 c) (-3) - (-7) = (-3) + Op (-7) = (-3) + (+7) = +4 F 4" 7-3 = 4 ;-3;= 3 ;+7;= 7 d) (+11) - (-8) = (+11) + Op (-8) = (+11) + (+8) = +19 F 4 " 11 + 8 = 19 ;+11;= 11 ;-8;= 8 e) (-6) - (+5) = (-6) + Op (+5) = (-6) + (-5) = -11 F 4 " 6 + 5 = 11 ;-6;= 6 ;-5;= 5 f) (-5) - (+6) = (-5) + Op (+6) = (-5) + (-6) = -11 F 4 " 5 + 6 = 11 ;-5;= 5 ;-6;= 6 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 19 Resuelve. 3 Calcula. a) (+5) - (-6) e) (-3) - (+9) a) (+9) - (-15) e) (-12) - (+8) b) (+5) - (+6) f) (-3) - (-9) b) (+9) - (-15) f) (+12) - (+8) c) (-5) - (-6) g) (+3) - (+9) c) (-9) - (+15) g) (-12) - (-8) d) (-5) - (+6) h) (+3) - (-9) d) (-9) - (+15) h) (+12) – (-8) 79301279 _ 0074-0089.indd 79 08/07/11 20:36
    • Suma y resta 4 de varios números enteros En las operaciones de sumas y restas seguimos estas reglas: En la práctica: EGLA 1. Al primer sumando se le eliminan los paréntesis, y si su sig- R +(+a) = +a –(+a) = –a no es positivo, se escribe sin signo. +(–a) = –a –(–a) = +a (+5) + (-4) = 5 + (-4) (-5) + (-4) = -5 + (-4) REGLA 2. Al quitar los paréntesis precedidos del signo +, el signo que se mantiene es el del número. (-7) + (+2) = -7 + 2 (-7) + (-2) = -7 - 2 EGLA 3. Al quitar los paréntesis precedidos del signo -, el signo que R se escribe es el de su opuesto. (-4) - (+3) = (-4) + (-3) = -4 - 3 Tras aplicar estas reglas, la expresión queda escrita en forma abreviada. EJEMPLOS 1 Escribe de forma abreviada la siguiente expresión. Regla 1.  Eliminamos paréntesis del primer sumando. F (-7) - (+3 ) + (-9 ) - (-4) = -7 - (+3) (-9 ) - (-4) = + Regla 2.  Quitamos paréntesis precedidos de +. + (+a) = +a   + (-a) = -a F = -7 - (+3) - 9 - (-4) = Regla 3.  Quitamos paréntesis precedidos de -. - (+a) = -a   - (-a) = +a F = -7 - 3 - 9 + 4 8 Escribe de forma abreviada esta expresión. Regla 1 F (+4) + (-5) - (+7) - (-3) = 4 + (-5) - (+7) - (-3) = = 4 - 5 - (+7) - (-3) = 4 - 5 - 7 + 3 F F Regla 2 Regla 3 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Escribe de forma abreviada. 22 Escribe de forma abreviada. a) (-5) - (+3) + (-7) a) -5) + (+8) - (-13) - (+9) ( b) (+5) - (+3) - (-7) b) (+23) - (-14) - (+35) + (-53) c) (-5) - (-3) - (-7) c) (-1) + (+5) + (+2) - (-12) d) (+5) + (+3) - (+7) d) (+3) - (+11) + (-6) + (+12) e) (-5) - (+3) - (+7) e) (-22) - (+11) - (-4) - (-1) 80301279 _ 0074-0089.indd 80 08/07/11 20:36
    • Para resolver sumas y restas de varios números enteros: 1.º  Escribimos dicha operación de forma abreviada. 2.º  Sumamos los números que llevan signo +. 3.º  Sumamos los números que llevan signo -. 4.º  Restamos al primer resultado el segundo. EJEMPLOS 2 Resuelve las siguientes operaciones expresadas en forma abreviada. a) -4 - 2 + 8 - 1 + 3 = 11 - 7 = 4 Números Números con signo + con signo + F F 8 + 3 = 11 4+2+1=7 b) 5 - 7 + 4 - 10 + 6 = 15 - 17 = - 2 Números Números con signo + con signo + F F 5 + 4 + 6 = 15 7 + 10 = 17 9 Calcula: Forma abreviada F (+4) + (-5) - (+7) - (-3) = 4 - 5 - 7 + 3 = 7 - 12 = -5 Números Números con signo + con signo + F F 4+3=7 5 + 7 = 12 3 Halla el resultado de esta operación escribiéndola primero en forma abreviada. Forma abreviada F (-2) + (+5) + (-6 ) - (-8) = - 2 + 5 - 6 + 8 = 13 - 8 = 5 Números Números con signo + con signo + F F 5 + 8 = 13 2+6=8 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Calcula. 23 Calcula. a) 5 + 7 d) -3 - 9 a) - 8 - 4 + 15 - 18 -5 d) 4 - 7 - 9 + 5 b) -3 + 8 e) 7 - 9 b) 10 + 12 - 11 + 9 e) 2 + 7 - 15 - 9 c) 9 - 6 f) -8 + 2 c) 4 - 10 + 17 - 8 + 2 f) -1 + 12 - 5 - 7 81301279 _ 0074-0089.indd 81 08/07/11 20:36
    • Multiplicación y división 6 de números enteros 6.1  Multiplicación de números enteros Para multiplicar dos números enteros: 1.º  Multiplicamos sus valores absolutos. 2.º  resultado le añadimos el signo + si ambos números son de Al igual signo, o el signo - si son de signos diferentes. EJEMPLO 13 Resuelve estos productos. Regla de los signos a) (-8) ? (-3) = +24 c) (+8) ? (-3) = -24 +?+=+ +:+=+ F F –?–=+ –:–=+ Mismo signo Distinto signo +?–=– +:–=– b) (+8) ? (+3) = +24 d) (-8) ? (+3) = -24 –?+=– –:+=– F F Mismo signo Distinto signo 6.2  División de números enteros Para dividir dos números enteros: 1.º  Dividimos sus valores absolutos. 2.º  resultado le añadimos el signo + si ambos números son de Al +?+ + -?- + igual signo, o el signo - si son de signos diferentes. +?- - -?+ - EJEMPLO 14 Resuelve estas divisiones. a) (-18) : (-3) = +6 c) (+18) : (-3) = -6 F F Mismo signo Distinto signo b) (+18) : (+3) = +6 d) (-18) : (+3) = -6 F F Mismo signo Distinto signo LO QUE DEBES SABER RESOLVER 28 Calcula. 6 Calcula. a) (+17) ? (+5) c) (-13) ? (+9) a) (+5) ? (-7) d) (-18) : (+6) b) (+21) ? (-8) d) (-14) ? (-7) b) (-9) ? (+5) e) (+21) : (-7) c) (-3) ? (-6) f) (-25) : (-5) 29 Resuelve estas divisiones. a) +35) : (+5) ( c) (-45) : (+9) 30 Indica qué signo tendrá el resultado. b) +24) : (-6) ( d) (-42) : (-7) a) (-7) ? (+6) b) (-42) : (-6) 82301279 _ 0074-0089.indd 82 08/07/11 20:36
    • Operaciones combinadas 7 con números enteros Al igual que con los números naturales, las operaciones combinadas de números enteros hay que efectuarlas siguiendo este orden: 1.º  resuelven las operaciones que hay dentro de los corchetes y los Se paréntesis. 2.º  realizan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en el Se que aparecen, de izquierda a derecha. 3.º  efectúan las sumas y las restas en el mismo orden. Se EJEMPLOS 11 Resuelve esta operación: 4 + (-5 - 7 + 3) - (-9 + 2) F 4 + (-5 - 7 + 3) - (-9 + 2) = 4 + (-12 + 3) - (-7) = F = 4 + (-9) + 7 = 4 - 9 + 7 = 11 - 9 = 2 12 Resuelve esta operación: (-8) - [(-3) + (+6) - (-5)] - (+4) F (-8) - [(-3) + (+6) - (-5)] - (+4) = (-8) - [-3 + 6 + 5] - (+4) = = (-8) - [+3 + 5] - (+4) = = (-8) - (+8) - (+4) = = -8 - 8 - 4 = -16 - 4 = -20 4 Calcula. a) (-6) ? (+3) + (-10) : (-2) = Es importante Multiplicaciones y divisiones respetar el orden F = (-18) + (+5) = de las operaciones para Sumas y restas obtener el resultado correcto. F =-18 + 5 = -13 b) (-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6)] : (-2) = Corchetes y paréntesis F = (-5) ? [-3 + 7] + (+6) : (-2) = = (-5) ? (+4) + (+6) : (-2) = Multiplicaciones y divisiones F = (-20) + (-3) = Sumas y restas F = -20 - 3 = -23 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Calcula. 33 Calcula. a) (+5) + (-3) ? (+4) [(-4) ? (+5) + (-6) ? (-4)] : (6 - 4) b) (+7) ? (-5) - (+16) : (-2) c) (-3) +[ (-4) + (+5)] ? (-3) 34 Resuelve: d) [(-4) + (-7)] - (+5) ? (+3) [(-4) ? (-3)] - [(+10) : (-2)] 83301279 _ 0074-0089.indd 83 08/07/11 20:36
    • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Números enteros Opuesto de un número •  Números enteros positivos: Op (+a) = -a              Op (-a) = +a +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7… Op (0) = 0 •  El número 0. Regla de los signos •  Números enteros negativos: (+) ? (+) = + (+) : (+) = + -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7… (-) ? (-) = + (-) : (-) = + Valor absoluto (+) ? (-) = - (+) : (-) = - ;+a;= a     ;-a;= a     ;0;= 0 (-) ? (+) = - (-) : (+) = - HAZLO DE ESTA MANERA 2. SUMAR DOS NÚMEROS ENTEROS 1. RESTAR DOS NÚMEROS ENTEROS Calcula. Calcula. a) (+7) + (+5) c) (-7) + (+5) a) (+8) - (+12) c) (-8) - (+12) b) (-7) + (-5) d) (+7) + (-5) b) (-8) - (-12) d) (+8) - (-12) •  Si los sumandos tienen el mismo signo. PRIMERO. Hallamos el opuesto del número PRIMERO. Sumamos sus valores absolutos. que restamos. SEGUNDO. Añadimos el mismo signo de los Op (-12) = +12    Op (+12) = -12 sumandos. SEGUNDO. Sumamos al primer número el opuesto que hemos hallado. 4 " 7 + 5 = 12 a) ;+7;= 7 ;+5;= 5 a) (+8) - (+12) = (+8) + Op (+12) = (+7) + (+5) = +12 = (+8) + (-12) = -4 F 4 " 12 - 8 = 4 ;+8;= 8 4 " 7 + 5 = 12 b) ;-7;= 7 ;-12;= 12 ;-5;= 5 (-7) + (-5) = -12 b) (-8) - (-12) = (-8) + Op (-12) = = (-8) + (+12) = +4 •  Si los sumandos tienen distinto signo. F 4 " 12 - 8 = 4 ;-8;= 8 PRIMERO. Restamos sus valores absolutos, ;+12;= 12 al mayor el menor. SEGUNDO. Añadimos el signo del sumando c) (-8) - (+12) = (-8) + Op (+12) = con mayor valor absoluto. = (-8) + (-12) = -20 F 4" 7-5 = 2 c) ;-7;= 7 4 " 8 + 12 = 20 ;-8;= 8 ;+5;= 5 ;-12;= 12 (-7) + (+5) = -2 d) (+8) - (-12) = (+8) + Op (-12) = = (+8) + (+12) = +20 4" 7-5 = 2 d) ;+7;= 7 F ;-5;= 5 4 " 8 + 12 = 20 ;+8;= 8 (+7) + (-5) = +2 ;+12;= 12 84301279 _ 0074-0089.indd 84 08/07/11 20:36
    • 4. SUMAR Y RESTAR VARIOS NÚMEROS ENTEROS Calcula: (+5) + (-5) - (-7) - (+4) + (+9) 5 + (-5) - (-7) - (+4) + (+9) = PRIMERO. Eliminamos los paréntesis del primer sumando, y si es positivo, se escribe sin signo. = 5 - 5 - (-7) - (+4) + 9 = SEGUNDO. Quitamos los paréntesis precedidos del signo +, manteniendo los signos de los sumandos. =5-5+7-4+9= TERCERO. Eliminamos los paréntesis precedidos del signo -, transformando los signos de los sumandos en sus opuestos. = 21 - 9 = CUARTO. Sumamos los números que llevan signo + y los números que llevan signo -. = 12 QUINTO. Restamos al primer resultado el segundo. 5. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS 6. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS ENTEROS CON NÚMEROS ENTEROS Calcula. a) (-5) ? (-4)          b)  (+20) : (-4) Resuelve. (-10) ? [(+6) : (-2)] - (+2) = PRIMERO. Multiplicamos o dividimos PRIMERO. sus valores absolutos. Resolvemos los corchetes F F a) ;-5;?;-4;= 5 ? 4 = 20 = (-10) ?  (-3)   - (+2) = y paréntesis. b) ;+20;:;-4;= 20 : 4 = 5 SEGUNDO. SEGUNDO. Al resultado le añadimos el signo + Realizamos las F F si ambos números tienen el mismo signo, multiplicaciones   = +30     - (+2) = o el signo - si son de signo distinto. y divisiones. a) (-5) ? (-4) = +20 b)  (+20) : (-4) = -5 TERCERO. Resolvemos las F F F sumas y restas. F Mismo signo Distinto signo = +28 Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 2. Halla: (+5) - (+9) 1. ¿Cuál es el valor absoluto de -7? ¿Y de +3? Sumar y restar varios números enteros 2. ¿Cuál es el opuesto de -7? ¿Y de +3? 6. Calcula: Sumar dos números enteros (-7) + (-5) - (-2) - (+4) + (+5) 4. Halla: (-6) + (-12) Multiplicar y dividir números enteros 1. Halla: (+3) - (-5) 7. Halla: (-12) ? (-3) Realizar operaciones combinadas Restar dos números enteros con números enteros 5. Resuelve: (-6) - (-12) 8. Calcula (-4) + (-3) ? (-5) - (+8). 85301279 _ 0074-0089.indd 85 08/07/11 20:36
    • Actividades NÚMEROS ENTEROS 47. ● Calcula. a) ;+3; d) ;-4; 36. ● Utiliza los números enteros para expresar b) ;-3; e) ;+5; el valor numérico de estas afirmaciones. c) ;-7; f) ;-9; a) El avión vuela a 2 700 m de altura. b) uis trabaja en el segundo sótano. L 48. ● ¿Qué valores puede tomar a en cada caso? c) arisa está en la planta baja. M a) ;a; = 3 b) ;a; = 12 d) stamos a 4 grados bajo cero. E 50. ● Escribe el opuesto de -3, 7, -12 y 5. e) currió en el año 540 a.C. O f) Debo 15 euros a mi madre. 51. ● Indica cuántos números enteros están comprendidos entre: 37. ● Invéntate situaciones que correspondan a estos números. a) +5 y su opuesto. a) +3      b)  -3      c)  +15      d)  -330 b) -7 y su opuesto. c) Los opuestos de -3 y +2. 38. ● Completa la siguiente recta: d) El opuesto de -4 y el opuesto de +5. 4 -3 4 4 4 1 4 39. ● Representa estos números enteros en la recta COMPARACIÓN DE NÚMEROS numérica. ENTEROS 1 -3 5 -2 7 -6 52. ● Escribe el signo < o >, según corresponda. 40. ●● Indica el número entero que corresponde a) 7 4 -12 - c) -3 4 0 a cada punto marcado en la recta numérica. b) -2 4 2 d) -5 4 -3 A B C D a) 0 1 53. ● Escribe el número anterior y posterior A B C D de los siguientes números. b) 0 1 a) 4 < 3 < 4 c) 4 < 12 < 4 b) 4 < -3 < 4 d) 4 < -8 < 4 41. ● Escribe todos los números enteros. a) Mayores que -4 y menores que +2. 54. ● Halla un número entero que esté comprendido b) Menores que +3 y mayores que -5. entre estos números. c) Menores que +1 y mayores que -2. a) -3 < 4 < 0 c) -8 < 4 < -5 d) Mayores que -5 y menores que +6. b) 7 < 4 < 10 d) -4 < 4 < 1 42. ● Escribe los números enteros comprendidos 55. ● Completa. entre -10 y +5. -8 < 4 < 4 < 4 < 4 < -3 43. ● ¿Cuántos números enteros hay entre -3 y 3? 56. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientes 44. ●● ¿Cuántos números enteros están números: comprendidos entre -256 y 123? -4 0 -6 7 -11 21 -3 12 -7 9 45. ● De los siguientes números, ¿cuáles son enteros? 57. ● Escribe dos números enteros. 7 a) Menores que +4 y mayores que -2. -5     45     32,12     -1 403     2 b) Menores que -3. 46. ● Halla el valor absoluto de estos números. c) Mayores que -5. a) -3 b) -22 c) 15 d) 21 d) ayores que -3 y menores que 1. M 86301279 _ 0074-0089.indd 86 08/07/11 20:36
    • SUMA Y RESTA DE NÚMEROS 67. ● Calcula. ENTEROS a) -7 - (-12) - (+3) b) +34 - (+11) - (+13) 58. ● Efectúa estas sumas. c) -9 - (-6) - (+12) a) (+12) + (+5) d) -5 - (+11) - (-20) b) (-21) + (-11) 68. ● Realiza las operaciones. c) (-14) + (+2) a) (+8) - (+9) + (-7) d) (+32) + (-17) b) (-12) - (-3) + (+5) 59. ● Completa la siguiente tabla: c) (+9) + (-13) - (-21) a b a+b b+a d) (-17) + (+5) - (+20) -5 +3 69. ● Calcula. -8 -2 a) -3 + (-2) + 7 - (-4) -6 +7 b) 9 - (+4) - (-6) - (-2) +4 +9 c) 5 - (-12) - (+9) + 8 d) -4 + (-7) - (+9) - (-5) 60. ● Calcula. 72. ● Calcula. a) 15 - (+4) c) 9 - (-7) a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2 b) 17 - (-3) d) 21 - (+9) b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11 61. ● Resuelve. c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1 d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13 a) -4 - (+7) e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1 b) -21 - (-13) f) 9 + 14 - 6 - 93 + 19 c) -19 - (+8) g) 3 + 5 - 9 - 7 - 5 - 7 d) -11 - (-6) h) 2 - 2 - 2 - 2 + 4 - 1 62. ● Completa la siguiente tabla: a b a-b b-a MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN -5 -3 DE NÚMEROS ENTEROS -8 -2 -6 +7   9. ● Calcula. +4 +9 a) (+ 3) ? (+4) c) (+ 3) ? (-4) b) (-3) ? (+4) d) (-3) ? (-4) 63. ● Opera. 77. ● Calcula. a) (+7) + (+5) + (-4) + (-4) a) (+4) ? (-5) c) (-3) ? (-8) b) (-8) + (+13) + (+21) + (-7) b) (+7) ? (+6) d) (-9) ? (+9) c) (+4) + (-9) + (+17) + (-6) d) (-16) + (+30) + (+5) + (-12) 78. ● Completa la siguiente tabla: a b a?b b?a   8. ● Calcula. a) (-8) + (-5) + (+7) -3 +6 b) (+ 6) + (+11) + (-2) + (+5) +5 -7 c) (-9) + (-8) + (+5) + (+4) -8 -4 d) (+ 12) + (-4) + (-7) +9 +2 87301279 _ 0074-0089.indd 87 08/07/11 20:36
    • HAZLO ASÍ OPERACIONES COMBINADAS ¿CÓMO SE MULTIPLICAN VARIOS NÚMEROS 10. ● ● Calcula. ENTEROS A LA VEZ? a) (+ 5) - (-3) + [(+ 2) - (+7)] - (+3) 84. Resuelve: (-7) ? (-2) ? (+10) b) (+7) + [(-8) - (+5)] - (-7) PRIMERO. Se calcula el signo del resultado. c) (- 2) - [(+ 3) + (-5) - (+7)] + (-5) (-) ? (-) ? (+) d) [(-5) - (-8)] + (+5) - [ (+4) + (-3)] (+) ? (+) = + 70. ● Resuelve. SEGUNDO. Se multiplica el valor absoluto de los números y se añade el signo del resultado. a) [-3 + 7] - [9 - (-2)] (-7) ? (-2) ? (+10) = +(7 ? 2 ? 10) = +140 b) [-5 - (-9) - (+4)] + (-2) c) -14 - [-6 + (-11)] d) [12 - (+5)] + [-4 - (-6)] 85. ● Calcula. a) (-2) ? (-3) ? (+5) c) (+7) ? (-2) ? (+3) 71. ● Opera. b) (-4) ? (+3) ? (-2) d) (-9) ? (-5) ? (-2) a) -5 - [3 + (-7) - (-6)] b) 19 + [-8 + (-5) + 3] 86. ● Halla estas divisiones. c) [-6 + (-8)] - [9 - (+4)] a) (+35) : (+5) e) (+105) : (-3) d) 6 + [3 - 5 + (-9) - (-2)] b) (+45) : (-5) f) (+48) : (+12) c) (-42) : (+7) g) (-49) : (-7) 73. ● Realiza estas operaciones. d) (-54) : (-9) h) (-63) : (+3) a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1) 87. ● Resuelve. b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2) c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7) a) (+290) : (+10) c) (-40) : (-10) b) (+1 500) : (-100) d) (-70) : (-10) d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9) e) 10 - (8 - 7) + (-9 - 3) f) 7 - (4 + 3) + (-1 + 2) HAZLO ASÍ g) -1 - (-1 + 2 - 5 + 4) h) 3 + (5 - 9) - (7 - 5 - 7) ¿CÓMO SE DIVIDEN VARIOS NÚMEROS ENTEROS A LA VEZ? 11. ● Calcula. 90. Resuelve: (-8) : (-2) : (+4) a) (+ 5) - (-3) ? (+2) PRIMERO. Se calcula el signo del resultado b) (-7) + (-8) : (+4) de la operación. (-) : (-) ­ (+) : c) (+ 3) + (-5) - (+7) ? (-2) d) (-4) - (-8) : (+2) - (-3) (+) : (+) = + SEGUNDO. Se dividen los valores absolutos de 12. ● ● Calcula. los números y se añade el signo del resultado. a) (+ 4) - [(-3) + (-5)] ? (-2) (-8) : (-2) : (+4) = +(8 : 2 : 4) = +1 b) [(-6) + (-7) + (+8)] ? (-3) + (+1) c) [(-3) + (-9)] ? (+2) + (-5) 91. ●● Calcula. d) (-8) ? (+2) -[(+ 5) - (+4)] + (-7) a) (+35) : (-7) : (-5) 13. ● ● Calcula. b) (-21) : (-7) : (-1) a) (+ 5) - [(-8) + (-4) : (-2)] + (+5) c) (-10) : (-5) : (+2) b) [(-6) + (-3) ? (-2)] + (-4) d) (+32) : (-8) : (-2) 88301279 _ 0074-0089.indd 88 08/07/11 20:36
    • 92. ●● Calcula. 101. ● ● María trabaja en la planta 15 de un edificio a) (-12) : 3 - [13 + 6 - (-2)] y aparca su coche 19 plantas más abajo. ¿En qué planta lo aparca? b) 21 : 3 - 4 ? (-3) c) 36 : (-4) + 5 ? (-2) d) (-3) ? 2 - (4 - 10 : 2) 93. ●● Realiza las operaciones. a) (-4) - (-6) : (+3) b) (+5) : (-5) - (-7) ? (+2) c) (-11) - (+3) ? (-4) : (-6) - (-9) d) (-18) - [(+4) + (-6)] : (+2) + (+5) 102. ● ● Cristina vive en el 3.er piso. Baja 4 plantas 94. ●● Resuelve. en ascensor para ir al trastero y luego sube a) 8 + 7 - 6 + 5 - 11 + 2 6 plantas para visitar a una amiga. b) (-12) ? 7 : 3 ¿En qué piso vive su amiga? c) 9 - 12 : 4 103. ● ● El matemático griego Tales de Mileto nació en d) 100 - 22 ? 5 el año 624 a.C. y vivió 78 años. ¿En qué año murió? e) (-26) : 2 - 6 : 3 + 4 104. ● ● Euclides, famoso geómetra, murió en el año 265 a.C. y vivió 60 años. ¿En qué año nació? PROBLEMAS CON NÚMEROS 105. ● ● Cierto día, en una ciudad hubo 9 °C ENTEROS de temperatura máxima y -4 °C de mínima. 96. ● ¿Cuántos metros separan a un avión, que vuela a una altura de 8 500 m, de un submarino que está a 350 m bajo el nivel del mar? a) ¿Cuál fue la variación de temperatura (amplitud térmica) en grados ese día? b) ¿En algún momento del día, la temperatura pudo ser de 5 °C? ¿Por qué? c) ¿Y de -7 °C? ¿Por qué? 97. ● El congelador de un frigorífico tenía 106. ● ● En un laboratorio de biología están una temperatura de -12 °C y, después, subió 5 grados. ¿Qué temperatura marca ahora? estudiando la resistencia de un microorganismo a los cambios de temperatura. Tienen 98. ● En el indicador de un coche leemos que una muestra a 3 °C bajo cero, suben la temperatura interior es de 16 °C, y la exterior su temperatura 40 °C, después la bajan 50 °C de -3 °C. ¿Cuál es la diferencia de temperatura y la vuelven a subir 12 °C. ¿Cuál es entre el interior y el exterior? la temperatura final de la muestra? 99. ●● En una ciudad, a las seis de la mañana, el termómetro marcaba -10 °C, y a las 12 horas indicaba 4 °C. ¿Cuál fue la variación de la temperatura en grados? 100. ● Sara aparca el coche en el tercer sótano y sube a la quinta planta. ¿Cuántas plantas sube Sara? 89301279 _ 0074-0089.indd 89 08/07/11 20:36
    • 6 Iniciación al Álgebra El escudo de armas Por el camino que ascendía a la fortaleza avanzaba un soberbio caballo y, sobre él, un caballero cubierto por su armadura. El guardia se dispuso a darle el alto para que se identificara, pero antes de que lo pudiera hacer el sargento de la guardia lo detuvo y, haciendo una reverencia, dejó pasar al desconocido. –¿Qué haces, necio? –dijo el sargento encarándose con el guardia–. Puede que no sepas quién es, pero los símbolos de su escudo denotan su condición: el bezante y el aspa nos dicen que ha combatido en las cruzadas y nunca ha sido derrotado, y el cetro asegura que es de sangre real, así que en adelante fíjate más. –Me fijaré más la próxima vez. La heráldica es una ciencia de símbolos –respondió el soldado, aliviado después de haber pasado el trance. DESCUBRE –No hace mucho tiempo hablé con un médico judío LA HISTORIA... que había leído un manuscrito que explica cómo 1. Busca información resolver situaciones con la ayuda de las matemáticas sobre la aparición y los símbolos –explicó el sargento–. Creo que lo del Álgebra y su llamó Álgebra y se trata, según me dijo, de sustituir desarrollo a lo largo cantidades desconocidas por símbolos o letras de la historia. y operar, después, con los números. 2. Investiga qué es la heráldica En ese momento sonó la voz de alarma y un tropel y la simbología de gente entró en el castillo. El jefe de la partida que utiliza. dio las novedades: 3. Establece la relación –Hemos capturado a tres exploradores enemigos; que puede existir dicen que la mitad de su partida es infantería y el entre la heráldica resto son exploradores y caballería; ellos son la y el Álgebra. cuarta parte de los exploradores y hay ochenta caballeros.301279 _ 0090-0103.indd 90 08/07/11 20:40
    • Antes de empezar la unidad... OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Valor absoluto |+7| = 7     |0| = 0     |-7| = 7 Suma y resta de números enteros •  Mismo signo •  Distinto signo Los números Sumamos los valores absolutos Restamos al mayor el menor positivos se escriben y dejamos el mismo signo. y dejamos el signo del mayor habitualmente sin el signo + que 3 + 7 = 10 -3 - 7 = - 10 -3 + 7 = 4 3-7=-4 los precede: 9 + 4 = 13 -9 - 4 = - 13 9-4=5 -9 + 4 = - 5 +3 = 3    +7 = 7 Multiplicación y división de números enteros •  Mismo signo •  Distinto signo Multiplicamos o dividimos Multiplicamos o dividimos los valores absolutos y dejamos los valores absolutos y dejamos el signo positivo. el signo negativo. 10 - 10 3 ? 4 = 12 =5 (-3) ? 4 = -12 =- 5 2 2 - 10 10 (-3) ? (-4) = 12 =5 3 ? (-4) = -12 =- 5 -2 -2 EVALUACIÓN INICIAL PLAN DE TRABAJO 1 Realiza estas operaciones con números enteros. En esta unidad a) 3 + 4 c) 5 - 7 e) -7 + 8 aprenderás a… b) 6 - 2 d) -3 - 7 f) -9 + 5 •  econocer R las expresiones 2 Calcula. algebraicas. a) 3 - 4 + 5 d) -7 + 5 - 6 •  allar el valor H b) -9 + 2 + 4 e) -4 - 6 - 8 numérico de una c) 12 - 3 - 9 f) 9 + 3 + 4 expresión algebraica. 3 Obtén el resultado de estas multiplicaciones. •  umar y restar S monomios. a) 3 ? 5 c) (-7) ? 3 b) 4 ? (-3) d) (-3) ? (-6) •  esolver ecuaciones R sencillas de primer 4 Calcula estas divisiones. grado. 8 12 •  esolver problemas R a) c) 2 -4 planteando ecuaciones -9 -4 sencillas de primer b) d) grado. 3 -2 91301279 _ 0090-0103.indd 91 08/07/11 20:40
    • Lenguaje 1 algebraico El lenguaje numérico expresa la información matemática solo mediante números. EJEMPLO 1 Expresa en lenguaje numérico. Lenguaje usual Lenguaje numérico La suma de cuatro más tres 4+30 Diez menos ocho 10 - 8 0 El cuadrado de tres es nueve 32 = 90 El triple de cinco es quince 3 ? 5 = 15 ANTES, DEBES SABER… Cuándo se utilizan letras para sustituir a números • Para expresar las relaciones entre los términos de una división se suelen utilizar letras que representan cada uno de ellos. D   d  Prueba de la división "  D = d ? c + r Las letras más r   c utilizadas en el lenguaje • Para expresar, de forma general, cómo se calcula el área de algunas algebraico para representar figuras geométricas se utilizan letras que representan sus medidas. cualquier número son: x, y, z, a, b, c, d… b?h a A=b?a h A= 2 b b El lenguaje algebraico expresa la información matemática con números y letras. EJEMPLO 2 Expresa en lenguaje algebraico. Lenguaje usual Lenguaje algebraico La suma de dos números a+b Un número aumentado en 3 unidades y+3 El cuadrado de un número x2 El triple de un número 3?x c La mitad de un número es igual a 3 =3 2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa en lenguaje numérico. 2 Expresa en lenguaje algebraico. a) El doble de cinco. a) El doble de un número. b) La tercera parte de ochenta y siete. b) La tercera parte de un número. c) La mitad de ocho más tres. c) triple de un número menos su cuadrado. El 92301279 _ 0090-0103.indd 92 08/07/11 20:40
    • Expresiones 2 algebraicas Al igual que para expresarnos en el lenguaje usual utilizamos expresiones escritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico utilizaremos expresio- nes algebraicas. Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones matemáticas. EJEMPLO 1 Traduce estos enunciados a expresiones algebraicas. Expresión escrita Expresión algebraica Un número menos 2 unidades x-2 El triple de un número menos 2 3 ? (x - 2) x La mitad de un número más 1 +1 2 Valor numérico ANTES, DEBES SABER… Cómo se calculan potencias Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. 52 = 5 ? 5 = 25 (-5)3 = (-5) ? (-5) ? (-5) = -125 El valor numérico de una expresión algebraica varía El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resul- en función de los valores ta de sustituir las letras por sus valores correspondientes y realizar las que toman las letras. operaciones que se indican. EJEMPLO 5 Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas para los valores que se indican. a) 2 ? x + 3, para x = 1. x=1 2 ? x + 3  - -   2 ? 1 + 3 = 2 + 3 = 5 -" b) x2 - 3 ? x, para x = -1 y para x = 2. x = -1 x2 - 3 ? x  ---   (-1)2 - 3 ? (-1) = 1 + 3 = 4 --" x=2 x2 - 3 ? x  ---   22 - 3 ? 2 = 4 - 6 = -2 --" LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Calcula el valor numérico de las siguientes 7 Halla los valores numéricos de la expresión expresiones algebraicas para x = 2. algebraica x ? (x + 1) ? (x - 1) + 3 para: a) 3 ? x - 5 b) x2 + 3 ? x a) x = 1       b)  x = -1       c)  x = 3 93301279 _ 0090-0103.indd 93 08/07/11 20:40
    • 3 Monomios Los monomios son las expresiones algebraicas más sencillas. Están for- mados por productos de letras y números de manera que: •  l número (incluido su signo) se llama coeficiente. E •  a letra o las letras que lo acompañan se denominan parte literal. L EJEMPLO SE ESCRIBE ASÍ 6 Completa la tabla. Monomio Coeficiente Parte literal 3?x 3 x •  n los monomios E -5 ? a 2 ? b3 -5 a2 ? b3 suprimimos el signo -2 ? a ? b -2 a?b del producto. 3 ? x  "  3x •  uando una letra no tiene C exponente, su exponente ANTES, DEBES SABER… es 1. Cómo se suman o restan objetos 1 7x  "  7x • Objetos iguales •  uando un monomio está C formado solo por letras, - = su coeficiente es 1. x  3  "  coeficiente 1 •  Objetos diferentes + = + Suma y resta de monomios Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. La suma o resta de dos o más monomios semejantes es otro monomio que tiene por coeficiente la ­ uma o resta de los coeficientes (números) de s los sumandos, y mantiene la misma parte literal. Si los monomios no son semejantes, la suma o resta se deja indicada. EJEMPLO 7 Realiza estas operaciones entre monomios. Semejantes No semejantes a) 3x + 2x = 5x c) 8x + 7a F La suma se deja F indicada. 3+2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Indica el coeficiente y la parte literal. 12 Efectúa. a) 2x3 c) 3z a) x + x + x c) 2t + 5r b) y  4 d) 8t3 b) 5a - 4a + 10a - a d) -2x 2 + x 2 + x 2 94301279 _ 0090-0103.indd 94 08/07/11 20:40
    • 4 Ecuaciones El símbolo = se lee / Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que no «distinto de». es cierta para todos los valores de las letras. 6 =9 / «6 es distinto de 9» EJEMPLO 2 Comprueba que 10 + x = 16 es una ecuación. Si x = 1 " 10 + 1 = 11 " 11 ! 16. No se cumple la igualdad. Si x = 6 " 10 + 6 = 16 " 16 = 16. Se cumple la igualdad. La igualdad solo se cumple para algunos valores de x  "  Es una ecuación. Elementos 5 de una ecuación •  os miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas que L hay a cada lado de la igualdad. •  os términos de una ecuación son los sumandos que forman los L miembros. •  as incógnitas de una ecuación son las letras que aparecen en los L términos, cuyos valores son desconocidos. EJEMPLO 10 Indica los miembros, los términos y las incógnitas de esta ecuación. a) 6x + 5 = 23  Primer miembro Segundo miembro 6x + 5 = 23 " Incógnita: x Términos La solución de una ecuación son los valores numéricos de las incógnitas que hacen cierta la igualdad. EJEMPLO 3 Comprueba si x = 3 y x = -2 son solución de la ecuación 6x + 5 = 23. x=3 6x + 5 " 6 ? 3 + 5 = 23 " 23 = 23 " x = 3 es solución. x = -2 6x + 5 " 6 ? (-2) + 5 = -7 " -7 ! 23 " x = -2 no es solución. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Indica, en las siguientes ecuaciones, 18 Decide de qué ecuaciones es solución x = 2. sus miembros, términos e incógnitas. a) x + 3 = 4 a) x + 5 = 8 c) x2 - 4 = -x3 + 6 b) x + 7 = 9 95301279 _ 0090-0103.indd 95 08/07/11 20:40
    • Resolución de ecuaciones 7 de primer grado Resolver una ecuación es encontrar su solución, si esta existe. Para resolver una ecuación agrupamos en un miembro todos los términos con la incógnita, utilizando estas reglas: •  i un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro. S Y si está restando, pasa sumando. •  i un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al S otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando. Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo hay Las ecuaciones números, diremos que hemos despejado la x. Su valor numérico es la so- 2x = 4 y 4 = 2x tienen lución de la ecuación. la misma solución: 4 EJEMPLO x= =2 2 14 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x + 2 = 4 Agrupamos los términos con x en el primer miembro y los números en el segundo. El 2, que está sumando en el primer miembro, pasa restando al segundo: x+2=4"x=4-2 F Pasa restando "x=2 b) 2x = 4 Para despejar la x, pasamos el 2 que está multiplicando en el primer miembro, al segundo miembro, dividiendo: 4 2x = 4 " x = " x = 2 2 F Pasa dividiendo b) 3x - 1 = x + 3 Pasamos el 1 del primer miembro al segundo, y la x del segundo al primer miembro. 3x - 1 = x + 3 " 3x = x + 3 + 1 " 3x = x + 4 " 3x - x = 4 " 2x = 4 Para despejar la x, pasamos el 2 del primer miembro dividiendo al segundo: 4 2x = 4 " x = " x = 2 2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 Resuelve estas ecuaciones. 24 Halla la solución de las ecuaciones. a) x + 4 = 15 d) 3x = 6 a) -2x + 4 = x +1 d) 2x - 1 = x - 1 b) x - 8 = 9 e) 5x = -20 b) x - 8 = 2x - 6 e) 4x - 5 = 2x + 7 c) x - 4 = -6 f) 6x = 18 c) 8x - 2 = 10x f) 5x - 1 = x + 7 96301279 _ 0090-0103.indd 96 08/07/11 20:40
    • Resolución 8 de problemas Para resolver problemas mediante ecuaciones seguimos estos pasos: 1.º  Identificamos la incógnita. 2.º  Planteamos la ecuación. 3.º  Resolvemos la ecuación. 4.º  Comprobamos e interpretamos la solución. EJEMPLOS 4 El doble de una cantidad más 15 es igual a 27. ¿Cuál es la cantidad? •  Identificamos la incógnita. Llamamos x a la cantidad desconocida. •  Planteamos la ecuación. Una cantidad x El doble de esa cantidad 2x El doble de la cantidad más 15 2x + 15 El doble más 15 es igual a 27 2x + 15 = 27 •  Resolvemos la ecuación. 12 2x + 15 = 27 " 2x = 27 - 15 " 2x = 12 " x = "x=6 2 •  Comprobamos e interpretamos la solución. La cantidad es 6. El doble de 6 es 12. Si le sumamos 15: 12 + 15 = 27 " La solución es válida. 5 El triple de un número menos 2 es igual al mismo número más 8. ¿Cuál es ese número? •  Identificamos la incógnita. Llamamos x al número que buscamos. •  Planteamos la ecuación. Un número x El triple de ese número 3x El triple del número menos 2 3x - 2 El triple del número menos 2 3x - 2 = x + 8 es igual al mismo número más 8 •  Resolvemos la ecuación. 10 3x - 2 = x + 8 " 3x - x = 8 + 2 " 2x = 10 " x = "x=5 2 •  Comprobamos e interpretamos la solución. El número es 5. 3 " La solución es válida. El triple menos 2: 3 ? 5 - 2 = 15 - 2 = 13 El número más 8: 5 + 8 = 13 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 El triple de una cantidad menos 5 es igual a 7. 5 El doble de un número más su triple es igual Averigua la cantidad. a 25. ¿De qué número se trata? 4 Una cantidad menos 15 es igual al doble de 6 Un número es igual a su triple menos 8. la cantidad menos 18. ¿De qué cantidad se trata? ¿Cuál es el número? 97301279 _ 0090-0103.indd 97 08/07/11 20:40
    • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Lenguaje numérico Monomio Tres menos dos es uno " 3 - 2 = 1 Coeficiente F 4 x3 F Lenguaje algebraico Parte literal El doble de un número Ecuación más uno " 2x + 1 Expresión Primer miembro Segundo miembro algebraica 3x + 4 = 12 " Incógnita: x Términos HAZLO DE ESTA MANERA 1. Calcular el valor numérico de una expresión algebraica Halla el valor numérico de la expresión algebraica x2 - 3x + 2, para x = -2. PRIMERO. Sustituimos las incógnitas por el valor numérico que nos dan. x = -2 x2 - 3x + 2  - - - $   (-2)2 - 3 ? (-2) + 2 SEGUNDO. Realizamos las operaciones. (-2)2 - 3 ? (-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12 El valor numérico de la expresión x 2 - 3x + 2, para x = -2, es 12. 2. Sumar y restar monomios Calcula. a)  3x2 + 5x2  c)  3a + 5b 2 2 b)  3x - 5x d)  3a - 5b PRIMERO. Analizamos si los monomios que SEGUNDO. Operamos, si es posible. queremos sumar o restar son o no semejantes. •  i los monomios son semejantes: se suman S o restan sus coeficientes y se mantiene a) 3x + 5x   →  2 2 Misma parte literal, x .2 la misma parte literal. Son semejantes. a) 3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2 b) 3x2 - 5x2  →  Misma parte literal, x2. b) 3x2 - 5x2 = (3 - 5)x2 = -2x2 Son semejantes. •  i los monomios no son semejantes: la suma S c) 3a + 5b  →  Distinta parte literal, a y b. o la resta no se puede realizar, y se deja No son semejantes. indicada. d) 3a - 5b  →  Distinta parte literal, a y b. c) 3a + 5b " No se puede realizar. No son semejantes. d) 3a - 5b " No se puede realizar. 98301279 _ 0090-0103.indd 98 08/07/11 20:40
    • 1. RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Resuelve la ecuación: 10x + 7 = 6x - 5 PRIMERO. Agrupamos los términos con x en un miembro y los números en el otro. 10x + 7 = 6x - 5     10x - 6x = -5 - 7 SEGUNDO. Sumamos y restamos los términos semejantes. 4x = -12 TERCERO. Despejamos la incógnita. - 12 x= " x= - 3 4 2. RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE ECUACIONES Un número más su doble es igual a 27. ¿Cuál es el número? PRIMERO. Identificamos la incógnita. Llamamos x al número que buscamos. SEGUNDO. Planteamos la ecuación. Un número x El doble de ese número 2x El número más su doble x + 2x El número más su doble es igual a 27 x + 2x = 27 TERCERO. Resolvemos la ecuación. 27 x + 2x = 27 " 3x = 27" x = "x=9 3 CUARTO. Comprobamos e interpretamos la solución. El número 9 más su doble es: 9 + 2 ? 9 = 9 + 18 = 27 " La solución es válida. Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Sumar y restar monomios 1. Expresa en lenguaje algebraico. 5. Calcula: x + 4x - 10x + 5x a) El triple de un número menos seis. Resolver una ecuación de primer grado b) La quinta parte de un número es 12. 2. Resuelve estas ecuaciones. Determina si las siguientes expresiones 2. a) x - 5 = 7 b) 3x = 9 algebraicas son una ecuación o una identidad. a) 6x - 2x = 12 b) 3x + x = 4x 3. Resuelve. a) 5x - 5 = 4x + 7 b) 4x - x = 27 Calcular el valor numérico de una expresión algebraica Resolver un problema mediante ecuaciones 1. Halla el valor numérico de la expresión 4. El doble de un número menos 3 es igual a 7. 3x - 4x2, para x = 1. ¿Cuál es ese número? 99301279 _ 0090-0103.indd 99 08/07/11 20:40
    • Actividades EXPRESIONES ALGEBRAICAS 44. ● Halla el valor de las expresiones cuando toman el valor indicado. 36. ● Relaciona cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente. Valor de x 3x - 4 x2 + 1 x=1 a) erímetro de un triángulo equilátero. P b) l triple de un número le sumamos 2 unidades. A x=2 c) l doble de la suma de dos números. E x = -1 d) l producto de un número y su consecutivo. E x=0 1) 3a + 2 3) 3x x = -2 2) x(x + 1) 4) 2(x + y) x = -4 37. ● Escribe en lenguaje algebraico las siguientes x=7 expresiones. x = -5 a) l cuadrado de un número. E b) n número menos tres. U MONOMIOS c) l doble de un número más tres. E d) a mitad de un número menos cinco. L 45. ● Completa la siguiente tabla: e) l triple de un número más el doble del mismo E Expresión algebraica Coeficiente Parte literal número. 3 6x f) cuarta parte de la suma de un número La menos tres. -4x g) a quinta parte de un número menos el triple L xy de dicho número. -2a2b h) a suma de dos números cualesquiera. L i) triple de la suma de dos números El 7. ● Escribe un monomio que tenga: cualesquiera. j) sexta parte de un número más seis. La a) Coeficiente 7 y parte literal x. b) Coeficiente -2 y parte literal x3. 38. ●● Si x es un número cualquiera, expresa c) Coeficiente 1 y parte literal x3. en el lenguaje usual cada una de las expresiones 8. ● Escribe dos monomios que tengan los mismos algebraicas. coeficientes y distinta parte literal. ¿Son a) x - 2 e) x 3 - 5 semejantes esos monomios? b) x + 5 f) 3x - x 4 c) 2x g) 2x + 2x 2 + 2x 3 50. ● Indica las parejas de monomios x que son semejantes y escribe sus opuestos. d) h) x 2 a) 2x 3 y 2x c) 12a 2 y -3a 2 40. ● Calcula el valor numérico de 6x - 3 para: b) 3x y -2x d) a 3 y 3a a) x = 1 c) x = -1 51. ● Escribe dos monomios semejantes para cada b) x = 2 d) x = -3 uno de estos monomios. 41. ● Determina el valor numérico de la expresión a) 12a b) -5x 2 c) 13y 3 algebraica 7x - 4 para los siguientes valores: 52. ● Efectúa las sumas y restas de monomios. x = -2, x = 1, x = -3. a) 2x + 3x j) -4a + 2a 42. ● Halla los valores numéricos de estas c) 17x 2 - 4x 2 k) -5x 2 - (-x 2) expresiones algebraicas para a = 3. f) 7a + 5a + 3a l) 4a 2 + 6a a) 2a - 5 c) a(a - 1)(a + 2) g) 5x 4 - 2x 2 - 3x 2 m) 2x + 4x - 8x b) 3a 2 + 2a - 1 d) (-a - 2)(-2a) i) 2x 2 - 4x 2 + 5x 2 n) 2y + 2y2 100301279 _ 0090-0103.indd 100 08/07/11 20:40
    • 53. ● Suma y resta estos monomios. 60. ● ● Escribe tres ecuaciones de primer grado con a) 3x 2 y -9x 2 d) -36x 3 y 45x 3 una incógnita que tengan como solución x = 2. b) 4x y 12x e) 12a y -8a 61. ● ● Indica, sin operar, para qué valor de x c) 4x y 3x 2 f) 12x y -4 se cumplen estas igualdades. a) x + 3 = 4 g) 7 - x = 5 ECUACIONES b) 2x = 16 h) 4x - 3 = 1 c) 6 - x = 1 i) 4 + x = 6 56. ● Completa la siguiente tabla: d) 9x = 36 j) 2x + 1 = 5 Ecuación Primer Segundo Términos Incógnita x x miembro miembro e) = 5 k) =9 5 27 7+s=2 f) 4 = -x l) 9 = 3x 18 = 2t 5x = 1 + x RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 0=8-y 62. ● Calcula el valor de la incógnita. 10r = 3 a) x + 3= 7 e) x - 3 = 7 57. ● Comprueba si estas igualdades son ciertas b) 9 + x= 12 f) x + 5 = 6 para los valores de la variable que se indican. c) x - 5= 9 g) 15 + x = 9 a) x - 7 = 2, para x = 3. 4 d) 7 + x= 18 h) x - 3 = -5 b) 10 - x = 13, para x = -3. 63. ● Resuelve las siguientes ecuaciones. c) 15 + x = 11, para x = -4. d) 3(x - 2) = 6, para x = 4. a) 4x = 16 e) -5x = -25 e) (8 - x)4 = 8, para x = 2. b) -7x = 49 f) 2x = -238 f) (9 - x)(6x + 2) = 16, para x = 8. c) -5x = -125 g) -3x = 36 x d) 27x = -81 h) -9x = 81 g) = 16, para x = 8. 2 64. ● Halla la solución de las ecuaciones. x h) + 5 = 8, para x = 9. a) 4x = 5 + 3x e) 10 - 3x = -2x 3 b) 6x = 12 + 4x f) 6 + 2x = x x+5 i) + 1 = 6, para x = 5. c) x - 8 = 3x g) 14x + 6x = 40 2 x x d) 20 + 6x = 8 h) 30 + 8x = -7x j) + = 5, para x = 6. 3 2 65. ● ● ¿Se han resuelto correctamente x+8 las ecuaciones? Si no es así, resuélvelas. k) + 2 (x - 1) = 3, para x = 1. 3 58. ● Indica cuáles de estas ecuaciones tienen como d) 4x = 10 a) 3x - 1 = 0 x =   10 - 4 solución x = -2. =   0 3x x =     6 a) x + 2 = 0 c) 3x - 1 = 5   x =   0 b) 2x + 4 = -8 d) 5x + 8 = -2 e) 4x + 2 = 6 b) 2x + 3 = 5 4x = 6 + 2 59. ● Di si el valor de x es solución de la ecuación 2x = -2 x = 1 y, si no es así, hállalo.            x = -1   a) 2x - 5 = 7, para x = 5. f) 2x + 1 = 8 b) 3x - 6 = 2x - 5, para x = 3. c) 7x = 8 2x =    8 + 1 x =   8 - 7 x =  4,5 c) x + 1 + 5 = 2x + 2, para x = 4. x =   2   d) 3(x + 2) - 5 = 4x + (x - 1), para x = 1. 101301279 _ 0090-0103.indd 101 08/07/11 20:40
    • 66. ● Resuelve las siguientes ecuaciones. 72. ● ● Halla la solución de las ecuaciones. a) 25 - 2x = 3x - 35 i) 100 - 3x = 5x - 28 2x 4x a) = 4 c) +2 = 6 b) 4x + 17 = 3x + 24 j) 10x - 17 = 4x + 85 3 3 c) 7x - 3 = 21x - 9 k) 3x + 1 = 7x - 11 6x - 8x b) - 2 = 4 d) = 16 d) 1 + 8x = -64x + 46 l) 11x - 100 = 2x - 1 7 3 e) 5x - 11 = 15x - 33 m) 25 - 2x = 3x - 80 73. ● ● Resuelve. f) 2x + 17 = 3x + 2 n) 19 + 8x = 12x + 14 6x + 4 16 - x a) = 4 c) =1 g) 70 - 3x = 14 + x ñ) 21y - 3 = 10y + 195 7 7 h) 60 - 5x = x - 12 o) 2 - 6y = 36y - 5 3x - 5 4+x b) = 2 d) =5 2 3 9. ● Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 3x = 5x + 2 - 3x 10. ● Resuelve las siguientes ecuaciones. b) 5x - 3x = 2 + x 3x a) = 3 c) 4x + 2 = x + 3 - 2x 2 d) 7x + 1 - 2x = 3x - 1 3x b) =- 3 2 e) 7x - 4 + 3x = 5 - 2x + 2 - 3x f) 5x - 12 - 4x = 8 + 7x - 3 c) = 3 2 c) x + 8 - 6x = 12 - 10x + 5 5x g) 3x - 4 + 6x = 1 + 4x - 8 d) -2 = 3 2 h) 4 - 4x + 5 = 7x - 4 + 5x 5x e) +2 = 7 i) 12 - x - 8 = 6x - 3 + 2x 2 j) 4 + 10x - 8 = 5x - 3 + 4x 5x f) + 2 =- 3 k) 3 - 4x + 9 = 23 - 4x + 5 2 5x g) - 2 =- 7 2 HAZLO ASÍ 74. ● ● Calcula la solución de las ecuaciones. ¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN CON UN SOLO DENOMINADOR? 2x 3x + 2 a) 10 + = 8 + 4 c) 4x - 38 = 7 5 71. Resuelve las siguientes ecuaciones. x 2x 4x 5x b) + 2x = 1 + 2x d) = 24 a) = 8 b) -3 = 7 3 3 3 3 76. ● ● Resuelve, simplificando todo lo que puedas. PRIMERO. Se multiplica cada uno de los términos 1 3x - 4 de la ecuación por el denominador. a) 4x + = 2 2 4x 3 a) ? = 3?8 4x + 4 x+6 3 b) = 3 2 4x = 24 2x 5x c) 3 (x - 2) - = 4 (x + 3) b) 3 ? - 3?3 = 3?7 2 3 6 (x - 2) 5x - 9 = 21 d) 3 (x + 1) - =5 3 SEGUNDO. Se resuelve la ecuación sin 3 (x - 1) 10 (x + 1) 1 denominadores que resulta. e) + = 2x + 3 5 4 24 a) 4x = 24 " x = "x=6 2 (x + 1) 3 (x - 1) 8 (x + 2) 4 f) + + = 5x - 1 2 3 4 30 b) 5x - 9 = 21 " 5x = 30 " x = "x=6 2 (x - 3) 2 (x + 2) 5 g) - -5 = x+1 5 7 102301279 _ 0090-0103.indd 102 08/07/11 20:40
    • PROBLEMAS CON ECUACIONES HAZLO ASÍ 78. ● Expresa, utilizando el lenguaje algebraico, ¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CON ECUACIONES? estos enunciados. a) Un número cualquiera. 11. El perímetro del rectángulo de la figura es 66 cm. Calcula sus dimensiones. b) La suma de dos números. c) El doble de la suma de dos números. d) El doble de un número más otro. (x + 1) cm 79. ● Expresa los siguientes enunciados mediante 3x cm el lenguaje algebraico. PRIMERO. Se expresa el perímetro de este rectángulo. a) a cuarta parte de una cantidad más 3 unidades. L Perímetro = 3x + 3x + (x + 1) + (x + 1) b) cinco veces una cantidad le sumamos A 8 unidades. SEGUNDO. Seplantea la ecuación. c) a mitad de una cantidad más la mitad L Como sabemos que el perímetro es igual a 66: de la mitad de dicha cantidad. 3x + 3x + (x + 1) + (x + 1) = 66 d) l cuarto de una cantidad más la mitad E del cuarto de dicha cantidad. TERCERO. Se resuelve la ecuación. 8x + 2 = 66 80. ● Si llamamos x a la base, 8x = 64 e y a la altura de un rectángulo, y x = 8 cm completa la siguiente tabla: x CUARTO. Se comprueba la solución. Área Tenemos un rectángulo de lados x + 1 = 9 cm Perímetro y 3x = 24 cm. Su perímetro será: Doble del área Perímetro = 9 + 9 + 24 + 24 = 66 cm Mitad del perímetro 12. ● ● Calcula el largo y el ancho de un rectángulo 81. ● Completa la tabla sabiendo que Pedro tiene x el doble de edad que Andrés, Marta tiene 6 años de lados x y , y cuyo perímetro es 136 dm. 3 más que Pedro, y Rosa tiene 10 años menos que Pedro. 13. ● ● El perímetro de un rectángulo es 106 m. ¿Cuál es la medida de sus lados sabiendo Marta Andrés Rosa Pedro que el largo es el doble del ancho más 5 m? Si la edad actual de Andrés fuese 10 años 10 14. ● ● Un triángulo isósceles tiene como perímetro 35 cm. Si cada uno de los lados iguales mide 10 cm, Si desconocemos x ¿cuál es la ecuación para hallar el otro lado? la edad de Andrés a) x + x + 10 = 35 c) 2x + 35 = 10 85. ●● Expresa, en forma de ecuación, los siguientes b) 10 + 10 + x = 35 d) x + 35 = 20 enunciados y obtén su solución. a) Qué número sumado con 3 da 8? ¿ 93. ● ● En un bolsillo tengo una cantidad b) Qué número multiplicado por 5 da 60? ¿ de dinero y en el otro tengo el doble. En total hay 6 €. ¿Cuánto dinero c) Qué número dividido entre 12 da 84? ¿ hay en cada bolsillo? 86. ●● Escribe la ecuación que resulta de la expresión: «El triple de un número más cinco es igual a veintiséis». ¿De qué número se trata? 87. ●● Si «el doble de un número menos cinco es igual a once», escribe la ecuación y resuélvela. 103301279 _ 0090-0103.indd 103 08/07/11 20:40
    • 7 Sistema Métrico Decimal Libertad, igualdad y fraternidad Tres mujeres esperaban para comprar paño en un puesto que anunciaba manufacturas de Flandes. La mayor de ellas pidió tres varas de longitud de un grueso tejido de color verde. Mientras el comerciante, con la vara más corta, medía y comenzaba a cortar el paño, ella se quejaba: –Tienes dos varas de medir, larga para comprar y corta para vender. ¡Eres un ladrón! La más joven dijo: –He oído decir que la Academia de las Ciencias ha inventado una nueva medida y que sustituirá a todas las que existen. DESCUBRE LA HISTORIA... La tercera mujer tomó entonces la palabra: –Mi padre trabaja en la Academia y es cierto; 1. Busca información la medida se llama metro, y están fabricando sobre cómo y por qué se creó el Sistema el modelo patrón. Métrico Decimal. La mayor se dirigió al comerciante: 2. Investiga sobre si esta –François, tus timos se acaban. –Y pagando fue la primera vez que la pieza se alejaron las tres en dirección al río. se planteó unificar Diez millones de metros mide la cuarta parte el sistema de de un meridiano. La estimación de esta medida medidas, o si hubo y la construcción del metro patrón finalizaron propuestas anteriores. en 1799. 3. Explica cómo se definen las unidades de medida más importantes según el Sistema Métrico Decimal.301279 _ 0104-0121.indd 104 08/07/11 20:07
    • Antes de empezar la unidad... SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden de unidades. Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Décima Centésima Milésima de millón de millón de millón de millar de millar de millar 1 0 0 2 5 6 7 8 9 0 5 2 100 256 789,052 = 1 C. de millón + 2 CM + 5 DM + 6 UM + 7 C + 8 D + 9 U + 5 c + 2 m = = 100 000 000 + 200 000 + 50 000 + 6 000 + 700 + 80 + 9 + 0,05 + 0,002 El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor En el sistema decimal, de cada cifra depende del lugar 10 unidades de un orden o posición que ocupa en el número. forman una unidad del orden inmediato superior. F 2 CM = 200 000 unidades F 2 m = 0,002 unidades 100 256 789,052 F 5 c = 0,05 unidades F 5 DM = 50 000 unidades EVALUACIÓN INICIAL 1 Descompón los siguientes números en sus distintas unidades. a) 23 453 c) 4 334 b) 234 d) 324 501 PLAN DE TRABAJO 2 Escribe en cada caso un número: En esta unidad a) Que tenga el valor de la cifra 3 igual a 300 unidades. aprenderás a… b) Que tenga el valor de la cifra 7 igual a 7 000 unidades. •  econocer magnitudes. R c) Que tenga el valor de la cifra 8 igual a 80 000 unidades. •  plicar las A 3 Copia y completa las siguientes igualdades. equivalencias entre a) 10 DM = 4 U c) 50 CM = 4 U unidades de longitud, capacidad, masa, b) 20 CM = 4 U d) 70 CM = 4 U superficie y volumen. 4 Copia y completa las siguientes igualdades. •  asar de forma P a) 20 U = 4 D = 4 C c) 5 000 U = 4 UM = 4 D compleja a incompleja, b) 300 U = 4 C = 4 UM d) 70 000 U = 4 CM = 4 C y viceversa. 105301279 _ 0104-0121.indd 105 14/07/11 14:52
    • Magnitudes 1 y unidades Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valor puede ser expresado mediante un número. Para medir una cantidad de una magnitud, la comparamos con otra cantidad que es fija, a la que llamamos unidad de medida. EJEMPLO 1 Escribe ejemplos de magnitudes y de unidades de medida. Magnitudes son: •  La longitud de una carretera. •  La temperatura del agua de una piscina. •  El peso de un remolque. •  La capacidad de una garrafa. Unidades de medida son: •  Los kilómetros de una carretera. •  Los grados centígrados del agua de una piscina. •  Los kilogramos que pesa un remolque. •  Los litros que caben en una garrafa. ANTES, DEBES SABER… Cómo se calculan las potencias de 10 Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. 10 3 = 1 000         10 5 = 100 000 F 3 ceros 5 ceros F Sistema Métrico Decimal En la actualidad, y exceptuando algunos países anglosajones, para medir magnitudes se utiliza el mismo sistema de medida, llamado Sistema Mé- trico Decimal. El Sistema Métrico Decimal se compone de las unidades de medida de longitud, superficie, volumen, capacidad y masa. Decimos que es un sistema decimal porque sus unidades se relacionan entre sí mediante potencias de 10. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Indica si son magnitudes o no. 2 Escribe la unidad que utilizarías para medir a) capacidad de un bidón. La las magnitudes del ejercicio anterior. b) La simpatía. 1 ¿Qué ocurriría si midiésemos la distancia entre c) La distancia entre dos ciudades. dos poblaciones en milímetros? ¿Y si midiésemos d) El amor. el grosor de una hoja de papel en kilómetros? e) altura de un árbol. La 106301279 _ 0104-0121.indd 106 08/07/11 20:07
    • Unidades 2 de longitud Los múltiplos y submúltiplos del metro son unidades mayores y meno- res, respectivamente. Los múltiplos y submúltiplos del metro son: Múltiplos del metro Submúltiplos del metro kilómetro hectómetro decámetro decímetro centímetro milímetro metro (km) (hm) (dam) (dm) (cm) (mm) (m) 1 000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m En las unidades de longitud, cada unidad es 10 veces mayor que la inme- diata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior. ANTES, DEBES SABER… Cómo se multiplica por la unidad seguida de ceros •  Si el número es natural, le añadimos tantos ceros como tenga la unidad. 82 ? 100 = 8 200 23 ? 10 000 = 230 000 •  i el número es decimal, desplazamos la coma a la derecha tantos S lugares como ceros siguen a la unidad. Si no hay suficientes decimales, añadimos ceros. 3,4073 ? 1 000 = 3 407,3 23,4 ? 100 = 2 340 Cómo se divide por la unidad seguida de ceros Desplazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si no hay suficientes decimales se añaden ceros. 3 452 : 1 000 = 3,452 5,4 : 100 = 0,054 Para transformar una unidad de longitud en otra, se multiplica o se divide Para transformar unidades de longitud, sucesivamente por 10. multiplicamos ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 o dividimos por potencias de 10. F F F F F F km hm dam m dm cm mm F F F F F F : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 EJEMPLO 2 Expresa en decámetros. a) 265,83 m - 265,83 : 10 = 26,583 dam " b) 5,04 hm -" 5,04 ? 10 = 50,4 dam - c) 16 dm - - 16 : 100 = 0,16 dam -" d) 4,567 km - 4,567 ? 100 = 456,7 dam " e) 225,73 cm " 225,73 : 1 000 = 0,22573 dam LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Expresa en kilómetros. 5 Expresa en hectómetros. a) 275 m c) 3,7 hm a) 0,85 dam c) 56 dam b) 5 dam d) 24,3 dam b) 3,12 km d) 325 m 107301279 _ 0104-0121.indd 107 08/07/11 20:07
    • 2.1  Forma compleja e incompleja Una medida está escrita en forma incompleja cuando para expresarla Para escribir una medida utilizamos una única unidad de medida. compleja en el cuadro Si utilizamos más de una unidad, diremos que está en forma ­ ompleja. c de unidades, se completan con ceros las unidades que no aparecen. EJEMPLOS m dm cm mm 3 m 2 cm 3 Determina si las siguientes medidas están expresadas en forma compleja F 3 0 2 0 o incompleja. a) 23 cm -" Incompleja - c) 2 m 6 cm -- -" Compleja --- -- -- - b) 3,45 hm " Incompleja d) 4 km 5 dm 27 m " Compleja 4 Expresa 2 m 8 dm 6 cm en forma incompleja. Usamos el cuadro de unidades, colocando cada unidad en su lugar. Forma incompleja m dm cm Forma compleja 286 cm F 2 8 6 F 2 m  8 dm  6 cm 5 Escribe en decámetros estas medidas expresadas en forma compleja. a) 5 hm 3 dam 4 m Para expresar una medida en forma compleja en una unidad concreta, transformamos todas las unidades en la unidad que se pide. 5 hm 3 dam 4 m = (5 ? 10) dam + 3 dam + (4 : 10) dam = 53,4 dam b) 1 hm 3 m 9 cm = (1 ? 10) dam + (3 : 10) dam + (9 : 1 000) dam = 10,309 dam 6 Expresa en forma compleja estas medidas. a) 3,06 hm  hm dam m   Forma incompleja Forma compleja 3,06 hm F 3 0 6 F 3 hm 6 m b) 102,005 dam Forma incompleja km hm dam m dm cm Forma compleja 102,005 dam F 1 0 2 0 0 5 F 1 km 2 dam 5 cm LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Expresa en metros. 11 El circuito de la carrera de atletismo mide a) 2 km 17 dam 8 m 3 km 4 hm 2 dam. ¿Cuántos metros mide el circuito? b) 3 m 52 dm 13 cm c) 5 dam 17 m 13 dm 1 cm 2 Paula ha comprado 2 hm 6 dm 4 cm de tela para d) 8 hm 7 m 4 mm confeccionar un traje de carnaval. Calcula los metros de tela que ha comprado. 10 Expresa en forma compleja las siguientes 3 Según el plano se necesitan 27 dam 8 m de cable medidas. para realizar la instalación de luz de toda a) 2 284 cm c) 8 793 dam la casa. Calcula los metros de cable necesarios para la instalación. b) 0,045 km d) 13 274 hm 108301279 _ 0104-0121.indd 108 08/07/11 20:07
    • 2.2  Operaciones con medidas de longitud ANTES, DEBES SABER… Cómo se suman o restan números decimales 1.º Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna, y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de decimales. 2.º Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en su lugar correspondiente. 21,340 15,237 21,34 + 3,271  F  +  3,271 15,237 - 9,35  F   -  9,350 24,611 5,887 Cómo se multiplican números decimales 1.º Los multiplicamos como si fueran números naturales. 2.º Colocamos la coma en el resultado, separando 5,108 3 cifras G + tantas cifras como decimales sumen entre #   0,4 1 cifra G los dos factores, contando de derecha a izquierda. 2,0432 4 cifras G Para realizar operaciones de suma, resta y multiplicación con medidas de longitud utilizamos el cuadro de unidades. Es importante colocar cada uni- dad en su lugar correspondiente. EJEMPLO 7 Calcula y expresa en decímetros. a) 34,72 m + 8 569 mm c) (2 m 9 cm) ? 14 b) 6 km 4 dam 1 m - 49 845,2 dm a) dam m dm cm mm c) dam m dm cm 3 4 7 2 0 2 0 9 + 8 5 6 9 # 1 4 4 3 2 8 9 8 3 6 2 0 9 F 432,89 dm 2 9 2 6 b) km hm dam m dm cm F 292,6 dm 6 0 4 1 0 0 - 4 9 8 4 5 2 1 0 5 6 4 8 F 10 564,8 dm LO QUE DEBES SABER RESOLVER 13 Realiza las siguientes operaciones, y expresa 4 Realiza estas operaciones, y expresa el resultado en metros. el resultado en decámetros. a) 4 322 cm + 57 dm a) 234 m + 3,29 hm b) 34,78 dam - 3,57 dm b) 4 km 6 hm 8 m - 32,53 m e) 12,432 cm ? 5 c) (43 hm 4 dm 8 m) ? 23 109301279 _ 0104-0121.indd 109 08/07/11 20:07
    • Unidades 3 de capacidad El litro es la unidad principal de capacidad. Se escribe ¬. Algunos múltiplos y submúltiplos del litro son: Múltiplos del litro Submúltiplos del litro kilolitro hectolitro decalitro decilitro centilitro mililitro litro (kl) (hl) (dal) (dl) (cl) (ml) (¬) 1 000 ¬ 100 ¬ 10 ¬ 0,1 ¬ 0,01 ¬ 0,001 ¬ En las unidades de capacidad, cada unidad es 10 veces mayor que la in- mediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior. Para transformar una unidad de capacidad en otra, se multiplica o se divide Para transformar unidades de capacidad, sucesivamente por 10. multiplicamos o dividimos ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 por potencias de 10. F F F F F F kl hl dal ¬ dl cl ml F F F F F F : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 EJEMPLO 9 Expresa en decalitros. a) 265,83 ¬ - " 265,83 : 10 = 26,583 dal - b) 4,567 kl - " 4,567 ? 100 = 456,7 dal - c) 225,73 cl -" 225,73 : 1 000 = 0,22573 dal - d) 1 hl 3 ¬ 9 cl " (1 ? 10) + (3 : 10) + (9 : 1 000) = 10,309 dal hl dal ¬ dl cl Forma compleja Forma incompleja 1 hl 3 ¬ 9 cl F 1 0 3 0 9 F 10,309 dal LO QUE DEBES SABER RESOLVER 18 Transforma en litros. 5 Transforma la cantidad 1 kl 23 dl 4 ¬ 54 dl. a) 7,5 kl c) 0,4 dal a) En decilitros. b) 593 cl d) 6 300 ml b) En kilolitros. 19 Expresa en litros. 20 n tonel tiene una capacidad de U a) 1 kl 4 hl 25 dl 30 hl 5 dal 500 ¬. ¿Cuántos litros son? b) 7 hl 1 dl 16 cl 21 Un depósito de agua tiene una capacidad c) 1 kl 4 dal 3 dl 12 ml de 3 kl 50 dal 5 000 ¬. ¿Cuál es su capacidad d) 4 hl 12 dal 1 dl 1 cl en decalitros? 110301279 _ 0104-0121.indd 110 08/07/11 20:07
    • Unidades 4 de masa El kilogramo es la unidad principal de masa. Se escribe kg. En el lenguaje cotidiano a la masa se le llama peso. Aunque la unidad principal de masa es el kilogramo, vamos a utilizar el gramo por similitud con el resto de unidades de medida. Algunos múltiplos y submúltiplos del gramo son: Múltiplos del gramo Submúltiplos del gramo kilogramo hectogramo decagramo decigramo centigramo miligramo gramo (kg) (hg) (dag) (dg) (cg) (mg) (g) 1 000 g 100 g 10 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g En las unidades de masa, cada unidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior. Para transformar una unidad de masa en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 10. ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 F F F F F F kg hg dag g dg cg mg F F F F F F : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 EJEMPLO 1 Expresa en hectogramos. a) 32,25 g " 32,25 : 100 = 0,3225 hg b) 3,12 kl " 3,12 ? 10 = 31,12 hg d) 1 kl 3 g 5 dg " (1 ? 10) + (3 : 100) + (5 : 1 000) = 10,035 hg d) 5 kg 24 hg 2 g 45 cg " (5 ? 10) + 24 + (2 : 100) + (45 : 10 000) = 74,0245 hg Para medir grandes masas se utilizan la tonelada métrica, el quintal métri- co y el miriagramo, cuyas equivalencias con el kilogramo y el gramo son: Unidades Símbolo kg g Tonelada métrica t 1 000 kg 1 000 000 g Quintal métrico q 100 kg 100 000 g Miriagramo mag 10 kg 10 000 g LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Expresa en gramos. 23 Expresa en gramos y ordena, de menor a mayor. a) 4,27 hg 31 dg   1,02 kg   8,34 cg   0,4 t   0,09 q b) 523,46 mg 24 Realiza las siguientes operaciones. c) 3 hg 23 dg 34 mg a) 123 hg 35 g + 3 kg 15 dag d) 3 dg 41 g 3 cg 37 dg b) 30 t 20 q - 250 dag 120 kg 200 hg 111301279 _ 0104-0121.indd 111 08/07/11 20:07
    • Unidades 5 de superficie ANTES, DEBES SABER… Cómo se miden superficies Unidad  F Para medir la superficie de una figura, se elige una unidad de medida y se cuenta el número de unidades que ocupa esa figura. Superficie: 8   Qué es un metro cuadrado Un metro cuadrado es la superficie 1 m2 1m que ocupa un cuadrado de lado un metro. 1m La unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado. Se escribe m2. Los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado son: Múltiplos del metro cuadrado Submúltiplos del metro cuadrado kilómetro hectómetro decámetro decímetro centímetro milímetro cuadrado cuadrado cuadrado metro cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado (km2) (hm2) (dam2) (dm2) (cm2) (mm2) (m2) Para transformar 1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2 unidades de superficie, multiplicamos o dividimos En las unidades de superficie, cada unidad es 100 veces mayor que la in- por potencias de 100. mediata inferior y 100 veces menor que la inmediata superior. Para transformar una unidad de superficie en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 100. ? 100 ? 100 ? 100 ? 100 ? 100 ? 100 F F F F F F km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 F F F F F F : 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100 EJEMPLO 11 Expresa en decámetros cuadrados. a) 265,83 m2 - 265,83 : 100 = 2,6583 dam2 " b) 5,04 hm2 - 5,04 ? 100 = 504 dam2 - " c) 16 dm2 - " 16 : 10 000 = 0,0016 dam2 - LO QUE DEBES SABER RESOLVER 26 Transforma en m2 las siguientes medidas. 7 Transforma en dm2 las siguientes medidas. a) 32 dam2 c) 1,0005 km2 a) 3,007 dam2 c) 0,00001 km2 b) 3,6 dam2 d) 1,16 hm2 b) 0,008 km2 d) 0,0035 hm2 112301279 _ 0104-0121.indd 112 08/07/11 20:07
    • 5.1  Forma compleja e incompleja Las medidas de superficie también se pueden expresar de forma compleja e incompleja, teniendo en cuenta que las unidades van de 100 en 100 y que a cada unidad le corresponden dos cifras. EJEMPLOS 12 Expresa en forma compleja 41 327,25 m2. hm2 dam2 m2 dm2 4 13 27 25 F 4 hm2 13 dam2 27 m2 25 dm2 13 Expresa 3 hm2 8 dam2 4 cm2 en m2. 3 hm2 = 3 ? 10 000 = 30 000,0004 m2 8 dam2 =    8 ? 100 = 5.800,0004 m2 3 4 cm2 = 4 : 10 000 = 5.820,0004 m2 30 800,0004 m2 2 Expresa 23 km2 231 hm2 5 m2 62 dm2 en dam2. 23 km2 = 23 ? 10 000 = 230 000 dam2 231 hm2 = 231 ? 100 = 23 100 dam2 2 5m = 5 : 100 = 0,05 dam2 En una medida 62 dm2 = 62 : 10 000 = 0,0062 dam2 compleja de longitud, 253 100,0562 dam2 capacidad o masa, a cada unidad le corresponde una cifra. En una medida 5.2  Unidades agrarias compleja de superficie, a cada unidad Para expresar medidas de superficie que se refieren a extensiones de fin- le corresponden cas, campos, terrenos, etc., utilizamos las unidades agrarias. dos cifras. Las equivalencias de las unidades agrarias con las unidades de superficie son: Unidades Símbolo Equivalencia Equivalencia en m2 Hectárea ha 1 hm2 10 000 m2 Área a 1 dam2 100 m2 Centiárea ca 1 m2 EJEMPLO 3 Expresa cada medida en la unidad indicada. a) 0,25 ha en m2 " 0,25 ? 10 000 = 2 500 m2 b) 1,23 dam2 en ca " 1,23 ? 100 = 123 m2 = 123 ca c) 24 000 ca en ha " 24 000 : 10 000 = 2,4 ha LO QUE DEBES SABER RESOLVER 29 Expresa en m2: 2 km2 17 hm2 2 dam2 31 Transforma en hm2: 1 km2 69 dam2 30 Reduce a dm2: 32 ¿A cuántos dam2 equivalen 6 hectáreas? 2 2 2 45 dam 23 m 945 cm ¿Cuántas hectáreas son 2 km2? 113301279 _ 0104-0121.indd 113 08/07/11 20:07
    • Unidades 6 de volumen 6.1  Volumen de un cuerpo Los cuerpos tienen ANTES, DEBES SABER… tres dimensiones: largo, Cómo se miden volúmenes ancho y alto. Para hallar el volumen de un cuerpo geométrico se elige una unidad de medida y se cuenta el número de unidades que caben en ese cuerpo. Unidad  F Hay 4 # 2 # 3 = 24 cubitos. 3 Volumen: 24    2 4 El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. EJEMPLO 16 Si cada cubo ocupa 1 cm3, halla el volumen de esta figura: La figura tiene 14 cubos de 1 cm3. Vfigura = 14 cm3 6.2  Unidades de volumen ANTES, DEBES SABER… 1m Qué es un metro cúbico 1m Un metro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de lado un metro. 1m El metro cúbico es la unidad principal de medida de volumen. Se escribe m3. Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico son: Múltiplos del metro cúbico Submúltiplos del metro cúbico kilómetro hectómetro decámetro decímetro centímetro milímetro cúbico cúbico cúbico metro cúbico cúbico cúbico cúbico (km3) (hm3) (dam3) (dm3) (cm3) (mm3) 3 3 3 (m3) 1 000 000 000 m 1 000 000 m 1 000 m 0,001 m 0,000001 m 0,000000001 m3 3 3 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 35 Si cada cubo ocupa 1 cm3, 8 Copia y completa. indica el volumen a) 4 m3 = 4 dm3 c) 8 dm3 = 4 cm3 de la figura. b) 8 m3 = 4 dm3 d) 3,5 dm3 = 4 cm3 114301279 _ 0104-0121.indd 114 15/07/11 10:07
    • 6.3  Transformación de unidades Para transformar En las unidades de volumen, cada unidad es 1 000 veces mayor que la unidades de volumen, inmediata inferior y 1 000 veces menor que la inmediata superior. multiplicamos o dividimos Para transformar una unidad de volumen en otra, se multiplica o se divide por potencias de 1 000. sucesivamente por 1 000. ? 1 000 ? 1 000 ? 1 000 ? 1 000 ? 1 000 ? 1 000 F F F F F F km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 F F F F F F : 1 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000 EJEMPLO 17 Expresa en decámetros cúbicos. a) 265,83 m3 - 265,83 : 1 000 = 0,26583 dam3 - " b) 5,04 hm3 - 5,04 ? 1 000 = 5 040 dam3 - " c) 16 dm3 - " 16 : 1 000 000 = 0,000016 dam3 - d) 4,567 km3 - 4,567 ? 1 000 000 = 4 567 000 dam3 " e) 225,73 cm3 " 225,73 : 1 000 000 000 = 0,00000022573 dam3 6.4  Forma compleja e incompleja Las medidas de volumen se pueden expresar de forma compleja e incom- pleja, teniendo en cuenta que las unidades van de 1 000 en 1 000 y que a cada unidad le corresponden tres cifras. EJEMPLOS 18 Expresa en forma compleja 41 327,25 m3. dam3 m3 dm3 41 327 250 F 41 dam3 327 m3 250 dm3 19 Expresa 3 hm3 8 dam3 4 cm3 en m3. 3 hm3 =  3 ? 1 000 000 = 3 000 000,000004 m3 8 dam3 =     8 ? 1 000 = 35 08 000,000004 m3 4 cm3 = 4 : 1 000 000 = 35 08.200,000004 m3 3 008 000,000004 m3 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 38 Expresa en metros cúbicos estas medidas. 39 El volumen de un bote es de 30 dm3 5 cm3 a) 83 dam3 c) 1 233,33 cm3 e) 0,049 km3 500 mm3. ¿Qué volumen ocupa en mm3? b) 231 hm3 d) 123,44 mm3 f) 0,034 dm3 40 El volumen de una lata es de 3 dm3 50 cm3 5 000 mm3. ¿Qué volumen ocupa en m3? 9 Ordena de mayor a menor. 41 Calcula. a) 5 m3 7 000 dm3 8,2 m3 8 250 m3 a) 17 hm3 + 340 dm3 b) 3 500 cm3 2,9 dm3 3,01 dm3 3 499 cm3 b) 1 km3 + 100 hm3 - 1 m3 115301279 _ 0104-0121.indd 115 08/07/11 20:07
    • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Magnitud " Longitud, capacidad, masa, superficie, volumen… Unidades de medida Longitud kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro Capacidad kilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro Masa kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro Superficie cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro Volumen cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico Medidas expresadas en forma incompleja " 45 ml                        34,6 kg                  0,876 m2 Medidas expresadas en forma compleja - 4 kg  6 dag  44 g      34 dam2  6 m2    120 m  34 dm  8 mm -" HAZLO DE ESTA MANERA 1. TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDA DE LONGITUD, MASA Y CAPACIDAD Expresa. a) 34 dam en m. b) 8,2 dl en dal. PRIMERO. Contamos los saltos que hay desde SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto. la unidad que nos dan hasta la unidad •  i el salto es hacia la derecha, multiplicamos por S en la que tenemos que expresar la medida. la unidad seguida de tantos ceros como saltos. a) 1 salto hacia la derecha. •  i es hacia la izquierda, dividimos. S b) 2 saltos hacia la izquierda. a) 34 ? 10 = 340 m b) 8,2 : 100 = 0,082 dal 2. TRANSFORMAR UNIDADES 3. TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFICIE DE MEDIDA DE VOLUMEN Expresa. a) 34 dam2 en m2. Expresa. a) 34 dam3 en m3. b) 8,2 dm2 en dam2. b) 8,2 dm3 en dam3. PRIMERO. Contamos los saltos que hay desde PRIMERO. Contamos los saltos que hay desde la unidad que nos dan hasta la unidad la unidad que nos dan hasta la unidad en la que tenemos que expresarlo. en la que tenemos que expresarlo. a) 1 salto hacia la derecha. a) 1 salto hacia la derecha. b) 2 saltos hacia la izquierda. b) 2 saltos hacia la izquierda. SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto. SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto. •  i el salto es hacia la derecha, S •  i el salto es hacia la derecha, S multiplicamos la medida por la unidad multiplicamos la medida por la unidad seguida del doble de ceros que de saltos. seguida del triple de ceros que de saltos. •  i es hacia la izquierda, dividimos. S •  i es hacia la izquierda, dividimos. S a) 34 ? 100 = 3 400 m2 a) 34 ? 1 000 = 34 000 m3 b) 8,2 : 10 000 = 0,00082 dam2 b) 8,2 : 1 000 000 = 0,0000082 dam3 116301279 _ 0104-0121.indd 116 08/07/11 20:07
    • dm3 4. PASAR MEDIDAS DE FORMA 5. PASAR MEDIDAS DE FORMA INCOMPLEJA A COMPLEJA COMPLEJA A INCOMPLEJA Expresa de forma compleja. Expresa: a) 301,56 dal. b) 301,56 dam . 2 a) 3 km2 1 dam2 5 m2 6 dm2 en dam2. b) 3 km3 1 dam3 en dam3. PRIMERO. Colocamos cada una de las cifras en el cuadro de unidades, teniendo en cuenta que: PRIMERO. Expresamos todas las cantidades de •  i la medida es de longitud, capacidad S la medida compleja en la unidad que se pide. o masa, en cada casilla solo va una cifra. Para ello multiplicamos o dividimos por la •  i es de superficie, van dos cifras por casilla. S unidad seguida de tantos ceros como •  si es de volumen, van tres cifras por casilla. Y corresponda. a) a) Expresamos todas las cantidades en dam2. kl hl dal ¬ dl 3 km2 = 3 ? 10 000 = 30 000 dam2 3 0 1 5 6 1 dam2 = 1 dam2 b) hm2 dam2 5 m2 = 5 : 100 = 0,05 dam2 m2 6 dm2 = 6 : 10 000 = 0,0006 dam2 3 01 56 b) Expresamos todas las cantidades en dam3. 3 km3 = 3 ? 1 000 000 = 3 000 000 dam3 SEGUNDO. El número anterior a la coma 1 dam3 = 1 dam3 representa la unidad en la que está expresada la medida. SEGUNDO. Sumamos los resultados. a) Forma kl hl dal dl Forma a) 3 km2 1 dam2 5 m2 6 dm2 = incompleja ¬ compleja = 30 000 + 1 + 0,05 + 0,0006 = 301,56 dal 3 0 1 5 6 3 kl  1 dal  5 ¬  6 dl = 30 001,0506 dam2 b) Forma hm2 dam2 m2 Forma b) 3 km3 1 dam3 en dam3 = incompleja compleja = 3 000 000 + 1 = 301,56 dam2 3 01 56 3 hm2  1 dam2  56 m2 = 3 000 001 dam3 Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Pasar medidas de forma incompleja ¿Es el hectolitro una unidad de capacidad? 1. a compleja ¿Cuál es la expresión compleja de 3 056,3 cm2?   7. Transformar unidades de medida de longitud, masa y capacidad Expresa en forma compleja 3,241 hl.   8. 2. ¿Cuántos kg son 32 547,8 g? Pasar medidas de forma compleja 3. ¿Cuántos dl son 3,72 hl? a incompleja   9. ¿Cuántos metros son 4 hm 1 dam? Transformar unidades de medida de superficie Expresa 1 hg 3 g 2 mg en g. 10. 4. ¿Cuántos m2 son 15 ha?   2. Expresa en forma incompleja. 5. ¿Cuántos hm2 son 0,34 dam2? a) 5 km 34 hm 9 m 25 dm Transformar unidades de medida de volumen b) 23 dal 4 ¬ 25 cl 37 ml 6. ¿Cuántos dm3 son 1 002,5 cm3?   3. Expresa 3 km2 2 hm2 8 dam2 en m2. 1. ¿Cuántos dam3 son 345,27 km3?   4. Expresa 3 dam3 4 m3 34 dm3 en m3. 117301279 _ 0104-0121.indd 117 08/07/11 20:07
    • Actividades UNIDADES DE LONGITUD 60. ● Transforma estas medidas en centímetros. a) 3 m 8 dm 5 cm 52. ● Expresa en kilómetros. b) 8 hm 16 mm a) 3 500 m d) 9 759 m c) 24 dam 18 m 2 mm b) 450 m e) 755 mm d) 5 km 12 m c) 12 450 m f) 200 dam 10. ● Transforma en kilómetros. 53. ● Escribe en centímetros. a) 3 km 54 dam 4 m a) 3 m 5 dm d) 6 m 3 dm b) 32 m 431 cm 5 mm b) 3 m 4 dm e) 7 m 4 dm c) 7 hm 26 m 45 dm c) 6 m 8 dm f) 7 m 2 dm d) 5 km 231 m 54. ● Expresa en metros. 11. ● Expresa en forma compleja. a) 4 km 3 hm d) 3 km 6 hm a) 234 m b) 5 km 2 hm e) 9 km 5 hm b) 435 hm c) 8 km 6 hm f) 4 km 4 dam c) 3 459 mm 55. ● Transforma en decámetros. d) 4 703 dam a) 32,5 m d) 137,6 cm b) 2 389 mm e) 0,003 km 61. ● Expresa en forma compleja. c) 2,34 hm f) 398 dm a) 245,2 dam b) 87,002 m 56. ● Expresa en decímetros. c) 1 458,025 cm a) 0,34 m d) 0,00003 km d) 0,3402 km b) 325 mm e) 38,2 dam c) 2,4 cm f) 0,27 hm 12. ● ● Calcula. 57. ● Completa esta tabla de equivalencias: a) 32,3 m + 4,5 dm + 321,2 cm b) 45,3 hm + 2 m + 234 dm km hm dam m dm c) 436 cm + 5 dm + 325 m 13,5 135 0,72 13. ● ● Calcula. 45 a) 34,56 m - 2,3 dm + 723 cm 4 130 b) 45,67 hm + 3,42 km - 732,27 m 12 345 c) 345 dam - 23,4 m - 435 dm 58. ● Completa las siguientes igualdades 62. ● ● Calcula. con las unidades adecuadas. a) 342 dam + 17 m a) 425 dm = 42,5 m = 4,25 4 b) 76,69 m + 23 cm b) 72,4 m = 724 4 = 0,724 4 c) 92,4598 hm + 0,025 km c) 512,4 dam = 5,124 4 = 5 124 4 d) 3 hm 4 dam 21 dm + 34 dam 7 m 9 cm d) 13,18 hm = 1 318 4 = 131,8 4 e) 25,34 m - 146 cm 59. ● Transforma en metros estas medidas f) 8,02 km - 1 324,2 m de longitud. g) 35 dam 23 dm 9 mm - 36,75 m a) 3 km  5 dam  7 dm c) 14 dam  8 m  2 dm h) 17 dam ? 3 b) 8 hm  9 m  16 cm d) 5 km  19 dam  12 m  8 mm i) 32,24 cm ? 12 118301279 _ 0104-0121.indd 118 14/07/11 14:53
    • UNIDADES DE CAPACIDAD Y MASA 67. ● ● Calcula en gramos. a) 12 kg 38 dg + 4 dag 15 cg 14. ● Escribe en litros. b) 3 hg 17 dag - 1 hg 12 mg a) 43,23 kl c) 457 mm c) 3 t 4 q + 31 kg 15 dg b) 2,345 dl d) 452 hl d) 42 t 17 q - 32 t 27 kg e) 32 dag 8 g 25 dg - 145 dg f) (25 hg 10 dag 16 cg) ? 20 63. ● Expresa en litros. a) 25 kl 27 hl 81 dl HAZLO ASÍ b) 13 dal 21 ¬ 7 dl c) 43 hl 13 dal 15 ¬ ¿CÓMO SE OPERA CON MEDIDAS COMPLEJAS? 64. ●● Completa las igualdades con las unidades 68. Expresa en gramos. adecuadas. (8 kg 15 dag 10 g) : 50 a) 45,18 dal = 0,4518 4 = 451,8 4 PRIMERO. Se transforman las medidas complejas b) 542,37 hl = 54,237 4 = 54 237 4 en incomplejas. c) 125,42 ¬ = 0,12542 4 = 125 420 4 8 kg  15 dag  10 g = 8 ? 1 000 + 15 ? 10 + 10 = 8 160 g SEGUNDO. Se realiza la operación. 15. ● Escribe en gramos. 8 160 : 50 = 163,2 g a) 37,4 kg c) 361 mg b) 3,47 dg d) 352 hg 69. ● ● Realiza estas operaciones. 65. ● Expresa en kilogramos. a) 12 hl 58 ¬ + 283 dal 15 ¬ a) 18 372 g c) 32 t 15 q 17 kg b) 20 000 dal - 1 000 ¬ 25 000 dl b) 17,42 t d) 82 hg 3 dag 16 g c) 15 kl 28 hl 7 dal + 235 hl 17 ¬ d) (32 hl 45 dal 17 dl) ? 200 66. ●● Completa las igualdades con las unidades e) (4 kl 12 hl 135 dal) : 25 adecuadas. a) 5 025 g = 50,25 4 = 5,025 4 70. ● ● Completa estas igualdades con la medida b) 18 hg = 1,8 4 = 1 800 4 necesaria. c) 542,5 kg = 5,425 4 = 542 500 4 a) 16 hm 8 dam 5 cm + 4 = 3 km 9 hm 6 mm d) 12,5 q = 1,25 4 = 12 500 4 = 125 000 4 b) 85 dal 25 cl 32 ml - 4 = 32 ¬ 4 dl c) 4 ? 3 = 12 hg 6 dag 9 g 27 cg 16. ● Expresa en forma compleja. d) (25 km 15 m 40 cm) : 4 = 5 hm 3 dm 8 mm a) 432,35 dal b) 34,56 cl UNIDADES DE SUPERFICIE c) 2 364 dg d) 45,3 hg 71. ● Expresa en metros cuadrados. 17. ● Expresa en forma incompleja. a) 3,6 dam2 c) 9,4 km2 a) 32 hg 4 dag 34 g 4 dg b) 3,63 dam2 d) 9,45 km2 b) 3 kg 5 hg 55 g 23 cg 72. ● Escribe en hectómetros cuadrados. c) 34 dal 4 ¬ 56 dl a) 5,1 km2 c) 8 976 m2 d) 35 hl 4 dal 45 ¬ 3 dl b) 35,78 km2 d) 125 763 dm2 119301279 _ 0104-0121.indd 119 14/07/11 14:53
    • 73. ● Expresa en centímetros cuadrados. UNIDADES DE VOLUMEN 2 2 a) 4,3 dm c) 223 mm 2 81. ● Expresa en decímetros cúbicos. b) 34,79 m d) 4 mm2 a) 0,18 hm3 e) 0,4 dam3 74. ● Transforma en metros cuadrados. b) 17 dam3 82 m3 f) 5 dam3 2 dm3 a) 18 km2 b) 5 hm2 13 dam2 15 m2 c) 5 km3 g) 0,5 hm3 4 m3 d) 14 m3 8 dm3 h) 1 km3 0,2 dm3 75. ● Expresa en decímetros cuadrados. a) 18 m2 18. ● Expresa en kilómetros cúbicos. 2 b) 45 dam a) 0,425 hm3 c) 14 hm2 32 dam2 38 m2 b) 42 dam3 125 dm3 d) 12 dam2 32 m2 19 dm2 c) 12 hm3 25 dam3 45 m3 d) 32 dam3 158 m3 325 cm3 76. ● Escribe en forma compleja. a) 4 321,5 m2 c) 9 823,152 m2 82. ● Escribe en hectómetros cúbicos. 2 2 b) 34 587,52 dam d) 1 234,56 dm a) 18 dam3 e) 7,4 km3 b) 43 215 m3 f) 45 002,547 m3 77. ● Expresa en áreas. c) 25 418,75 dm3 g) 7 000 000 001 mm3 a) 18 ha 15 a 19 ca c)  15 ha 18 a 52 ca d) 812,75 km3 h) 0,425 dam3 b) 3 ha 4 a 6 ca d) 12 ha 4 a 32 ca 19. ● Copia en tu cuaderno y completa los huecos. HAZLO ASÍ km3 hm3 dam3 m3 ¿CÓMO SE EXPRESA EL RESULTADO DE 3 425 953 864 = 4 hm3 UNA OPERACIÓN EN UNA UNIDAD CONCRETA? 23 250 530 640 = 4 km3 2 78. Expresa en m . 123 500 300 400 = 4 m3 2 2 2 48 hm + 2,5 dam + 20 000 cm 12 405 903 804 = 4 dam3 PRIMERO. Se transforman las unidades en la unidad que se pide. 84. ● Completa con las unidades adecuadas. 48 hm2 = 48 ? 10 000 = 480 000 m2 a) 18 dam3 = 0,018 4 = 18 000 4 2,5 dam2 = 2,5 ? 100 = 250 m2 b) 0,42 hm3 = 420 000 4 = 420 000 000 4 20 000 cm2 = 20 000 : 10 000 = 2 m2 c) 12,5 dm3 = 0,0125 4 = 12 500 4 SEGUNDO. Se opera con los resultados obtenidos. d) 427,68 m3 = 0,42768 4 = 427 680 000 4 480 000 + 250 + 2 = 480 252 m2 85. ● ● Calcula las siguientes operaciones, y expresa el resultado en metros cúbicos. 79. ●● Transforma en metros cuadrados. a) 1 hm3 2 dam3 3 m3 + 45 hm3 18 dam3 2 2 6 hm + 12 dam + 55 dm 2 b) 34 256 dam3 - 8 hm3 15 dam3 c) 135 dam3 458 m3 - 75 000 m3 80. ● Expresa en hm2 las siguientes sumas. d) 125 m3 67 dm3 89 cm3 + 16 m3 45 dm3 9 cm3 a) 0,0075 km2 + 7 000 m2 e) (4 hm3 15 dam3 7 m3) ? 50 b) 0,5 km2 + 45 dam2 f) (123 hm3 456 dam3) : 100 c) 7 879 m2 + 87 622 dm2 20. ● ● Calcula las siguientes operaciones. d) 676 dm2 + 78 m2 + 654 cm2 a) 123 m3 - 0,12 dam3 e) 47 km2 + 0,56 hm2 + 125 dam2 b) 35 hm3 + 1,2 km3 f) 1 389 456 cm2 + 123 m2 120301279 _ 0104-0121.indd 120 14/07/11 14:53
    • PROBLEMAS CON MEDIDAS   92. ●● La torre del ayuntamiento de mi pueblo tiene una altura de 20 m 87. ● Nos hemos sumergido a 20 pies de y 35 dm. profundidad. ¿Cuántos metros son? a) A cuántos centímetros se ¿ encuentra el punto más alto? 88. ● Estamos a 300 millas marítimas de la costa. b) ¿A cuántos metros? ¿Cuántos kilómetros son? c) ¿Y a cuántos decímetros? 94. ●● Con un rollo de plástico de 20 m de largo se envuelven bocadillos, cada uno de los cuales necesita 20 cm de plástico. ¿Cuántos bocadillos podemos envolver con los metros que tenemos? 96. ●● Un camión contiene una carga de 4 toneladas y 3 quintales. Expresa dicha carga en kilogramos. 97. ●● Un tren lleva un vagón con 18 toneladas y 89. ●● Quiero hacer dos vestidos con un trozo de 15 quintales de carga. Exprésalo en kilogramos. tela que mide 8 m 14 dm 80 cm. ¿Qué cantidad de tela tengo que utilizar para cada vestido?   98. ●● ¿Cuántas botellas de vino de un litro de capacidad se pueden llenar con un tonel 90. ●● Una carretera de 8 km 2 hm 20 dam 50 m de un hectolitro? de largo tiene, en ambos lados, árboles separados entre sí por 10 m. ¿Cuántos árboles hay en la carretera? 91. ●● Observa el plano de este parque de atracciones, y expresa en metros cada una de las distancias que se indican. 6 hm 4 dam   99. ● ● ¿Cuántas botellas de litro y medio 94 dam 5 m se precisan para vaciar un depósito de 2,6 kl 8,9 hl 56 dal? 100. ● ● El precio de un frasco de colonia de 100 ml 3 hm 1 dam 5 m es de 18,60 €. ¿Cuánto cuesta un litro y medio? 102. ● ● Una caja de cerillas tiene un volumen de 40 cm3. ¿Cuántas cajas se podrían colocar en otra caja cuyo volumen es 1,8 dm3 ? 42 dam 53 dm 9 hm 3 dam 103. ● ● Se han fabricado 25 628 piezas de jabón. Cada pieza tiene 750 cm3 de volumen. a) Cuántos decámetros hay desde la Noria ¿ ¿Cuántos m3 de jabón se han fabricado? a la Montaña rusa? b) Cuántos kilómetros hay desde los Coches ¿ de choque a la Montaña rusa? c) Cuántos kilómetros habrá desde la Montaña ¿ rusa al Tiovivo, pasando por los Coches de choque? d) Cuántos metros recorremos desde los Coches ¿ de choque a la Noria, pasando por el Tiovivo y la Barca? e) i recorremos todas las atracciones del parque, S 104. ● ● Si 1 dm3 de mercurio pesa 13,6 kilos, ¿cuántos decámetros andamos? ¿cuánto pesarán 375 cm3 de mercurio? 121301279 _ 0104-0121.indd 121 08/07/11 20:07
    • 8 Proporcionalidad numérica La parte del almirante El 17 de abril de 1492, en Santa Fe (Granada) comenzaba una de las gestas más importantes de la historia. Isabel de Castilla y Fernando de Aragón, los Reyes Católicos, y un desconocido marino llamado Cristóbal Colón habían llegado a un acuerdo. Juan de Coloma leía los términos del mismo: –Y de lo que quedare limpio tome la décima parte para sí, quedando el resto para Vuestras DESCUBRE Altezas… LA HISTORIA... En ese punto la imaginación de Colón 1. ristóbal Colón C se disparó, alzó los ojos y dijo para sí: fue un navegante que vivió entre –El primer paso está dado y si el destino los siglos xv y xvi. nos acompaña seré Grande de España. Investiga sobre los Así nació el descubrimiento avances de la ciencia de América. Cuando Colón durante estos siglos. regresó, los reyes lo 2. Qué fueron las ¿ esperaban en Barcelona, capitulaciones de donde se presentó llevando, Santa Fe? ¿Cuáles son entre otras mercaderías, los acuerdos papagayos de vivos más importantes colores y las primeras a los que se llegó? muestras de oro americano. 3. nvestiga sobre los I La parte del oro que le avances matemáticos correspondió a él, de la época que aproximadamente hicieron posible 400 gramos, la donó el viaje de Colón hasta a la catedral de América. Barcelona.301279 _ 0122-0137.indd 122 08/07/11 20:19
    • Antes de empezar la unidad... FRACCIONES a Una fracción es una expresión del tipo , donde a y b son números naturales y b es distinto de 0. b El número a se llama numerador y b es el denominador. Las fracciones se utilizan para expresar cantidades incompletas o partes de una unidad. Partes que se toman de la unidad F 5 F Partes iguales en que F 6 se divide la unidad Fracciones equivalentes La amplificación a c a c y la simplificación se utilizan Dos fracciones   y  son equivalentes, y se escribe = , b d b d para calcular fracciones si a ? d = b ? c. equivalentes a una fracción. 2 4 = , ya que: 2 ? 6 = 3 ? 4 = 12 3 6 Amplificación y simplificación de fracciones •  mplificación: multiplicamos el numerador y el denominador A por un mismo número distinto de cero. 2 2?5 10 5 5 ? 12 60 = = = = 3 3?5 15 7 7 ? 12 84 •  implificación: dividimos el numerador y el denominador entre S un mismo número distinto de cero. 16 16 : 4 4 84 84 : 3 28 = = = = 12 12 : 4 3 39 39 : 3 13 PLAN DE TRABAJO EVALUACIÓN INICIAL En esta unidad 1 Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura, aprenderás a… e indica su numerador y su denominador. •  veriguar si dos A a) b) razones forman una proporción. •  econocer R magnitudes directa 1. Indica si estas parejas de fracciones son equivalentes o no. e inversamente 1 5 12 6 4 80 proporcionales. a)    y    b)    y    c)    y  2 4 16 7 3 60 •  alcular valores C 50 2. Calcula una fracción equivalente a que cumpla: de magnitudes directa 6 e inversamente a) Tiene como denominador un número mayor que 50. proporcionales. b) Tiene como numerador un número menor que 30. c) Tiene como denominador 36. •  alcular porcentajes. C 123301279 _ 0122-0137.indd 123 08/07/11 20:19
    • Razón 1 y proporción 1.1  Razón a Una razón entre dos números, a y b, es el cociente indicado . b EJEMPLO 1 En un centro escolar hay 9 profesoras y 12 profesores. ¿Qué relación numérica existe entre el número de profesoras y profesores? La relación entre las profesoras y los profesores es de 9 a 12. a 9 En una fracción , Esta relación la podemos expresar mediante la razón . b 12    los números a y b son enteros. En una razón no es necesario. 13 1.2  Proporción                         " s una razón y una E 2 fracción. 3,5 Una proporción es la igualdad entre dos razones. " una razón, pero Es a c a c 2 no es una fracción. Si la razón entre a y b es y entre c y d es   y se cumple que =    , , b d b d decimos que a, b, c y d forman una proporción. EJEMPLOS 2 Para hacer una tarta de 6 raciones se necesitan 3 huevos, y para 8 raciones, 4 huevos. ¿Forman una proporción en esta receta los huevos y las raciones? Las razones entre el número de huevos y el de raciones son iguales. 3 huevos 4 huevos 3 4 = " = porque 3 ? 8 = 6 ? 4 6 raciones 8 raciones 6 8 El número de huevos y el número de raciones forman una proporción. 1 En 2 primeros minutos han pasado 15 coches por la calle, y cuando habían pasado 5 minutos llevaba contados 20 coches. ¿Guardan proporción el número de coches y el tiempo transcurrido? Las razones entre el número de coches y el tiempo no son iguales. 2 minutos 5 minutos 2 5 15 coches ! 20 coches " 15 ! 20 porque 2 ? 20 ! 5 ? 15 El tiempo transcurrido y el número de coches que pasan no forman proporción. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa mediante una razón. 2 En el comedor del colegio ponen 3 barras a) De las 55 preguntas del test he acertado 36. de pan por cada 8 alumnos. Si hoy hemos b) Teníamos 68 huevos y se han roto 12. comido 124 alumnos y han puesto 50 barras, c) En un frutero hay 7 tomates y 3 fresas. ¿se ha mantenido la proporción? 124301279 _ 0122-0137.indd 124 08/07/11 20:19
    • Relación de proporcionalidad 2 entre dos magnitudes 2.1  Magnitudes directamente proporcionales ANTES, DEBES SABER… Cómo se dividen dos números decimales Si el divisor es un número decimal, se multiplican dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tiene el divisor. ? 10 ? 10 3,5  2       32 : 2,5  $  320  25       18,24 : 5,7  $  182,4  57 1 5  1,75 070  12,2   114  3,2 Hay magnitudes   10   050    00 que están relacionadas,    0    00 pero no son directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multipli- Peso (kg) 4,5 5 6 car (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada Meses 1 2 3 (o dividida) por el mismo número. Al aumentar el tiempo Consideramos dos magnitudes, A y B, con los valores: aumenta el peso, pero no proporcionalmente. Magnitud A a1 a2 a3 … m 4,5 5 b1 b2 b3 … n = Magnitud B 1 2 Si al formar razones con los valores correspondientes de ambas magnitu- des, la constante de proporcionalidad es la misma: a1 a2 a3 m = = =…= =k b1 b2 b3 n diremos que las magnitudes A y B son directamente proporcionales. EJEMPLO 6 Un coche gasta de media 10 litros de gasolina por cada 125 km. La siguiente tabla muestra el consumo de gasolina relacionado con la distancia recorrida. ¿Son directamente proporcionales? ?2 ?2 ?2 F F F Distancia (kilómetros) 125 250 500 1 000 Consumo (litros) 10 20 40 80 F F F ?2 ?2 ?2 Magnitudes: distancia y consumo de gasolina. Al doble de distancia, doble de consumo. Al cuádruple de distancia, cuádruple de consumo... 125 250 500 1 000 Además: = = = = 12,5 10 20 40 80 El resultado es el mismo, por tanto, son directamente proporcionales. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Comprueba si las Magnitud A 2 6 8 10 1 Un libro de 200 páginas cuesta 16,50 €, y otro magnitudes A y B Magnitud B 8 24 32 40 de 35 páginas cuesta 32 €. Indica si son directamente las magnitudes número de páginas y precio son proporcionales. directamente proporcionales. 125301279 _ 0122-0137.indd 125 08/07/11 20:19
    • ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de fracciones •  Si la incógnita está en el numerador. Se multiplica por el denominador de la otra fracción. x 2 18 ? 2 F =   " x ? 3 = 18 ? 2  " x = = 12 18 3 3 F Pasa dividiendo •  Si la incógnita está en el denominador. S e multiplica por el numerador de la otra fracción. 18 45 24 ? 45 F =   " 18 ? x = 24 ? 45  " x = = 60 24 x 18 F Pasa dividiendo EJEMPLOS 2 Los datos de la tabla corresponden a diferentes pesos de pintura y su precio. Determina los valores que faltan. Pintura (kg) 1 2 3 b Precio (€) 8 16 a 48 Las magnitudes cantidad de pintura y precio son directamente proporcionales porque: 1 2 = = 0,125 8 16 Para calcular los valores desconocidos establecemos las proporciones. 1 3 = " 1 ? a = 8 ? 3 " a = 24 8 a 1 b 48 8 = 48 " 1 ? 48 = 8 ? b " b = 8 = 6 3 Si un coche tiene un consumo de 6,2 ¬ de gasolina por cada 100 km, ¿cuántos litros de gasolina gastará en un viaje de 350 kilómetros? Las magnitudes kilómetros recorridos y litros consumidos son directamente proporcionales ya que: •  i la distancia recorrida fuese el doble, el consumo de gasolina S se multiplicaría por 2. •  i el trayecto fuese la mitad, el consumo se reduciría a la mitad. S Si llamamos x a la cantidad de gasolina que se gastará en un viaje de 350 km y establecemos las proporciones: 6,2 x 6,2 ? 350 100 = 350 " 6,2 ? 350 = 100 ? x " x = 100 = 21,7 ¬ LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Completa la tabla sabiendo que A y B 2 Ayer en la frutería me cobraron 4 euros son directamente proporcionales. por 5 kilos de patatas. Si hoy no ha cambiado el precio, cuánto me cobrarán por 7 kilos Magnitud A 2 4 80 de patatas. Magnitud B 10 20 50 60 126301279 _ 0122-0137.indd 126 08/07/11 20:19
    • 2.2  Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multi- plicada) por el mismo número.­­ EJEMPLO 7 Un tren, a una velocidad de 30 km/h, tarda 42 minutos en recorrer 30 km/h un trayecto. Si fuera a 60 km/h tardaría 21 minutos, y si fuera a 90 km/h tardaría 14 minutos. La velocidad y el tiempo, ¿son inversamente proporcionales? 42 min Las magnitudes son velocidad y tiempo. Su tabla de valores será: ?3 ?2 F F Velocidad (km/h) 30 60 90 Tiempo (minutos) 42 21 F 14 F :2 :3 Al doble de velocidad, mitad de tiempo. Al triple de velocidad, la tercera parte del tiempo… Son inversamente proporcionales. Consideramos dos magnitudes, A y B, con los valores: Magnitud A a1 a2 a3 … m Magnitud B b1 b2 b3 … n Si al formar productos con los valores de ambas magnitudes, la constante de proporcionalidad es la misma: a1 ? b1 = a2 ? b2 = a3 ? b3 = … = m ? n = k diremos que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. EJEMPLO 4 Comprueba que estas magnitudes son inversamente proporcionales. Magnitud A 6 9 12 2 Magnitud B 6 4 3 18 Al formar los productos con los valores correspondientes: 6 ? 6 = 9 ? 4 = 12 ? 3 = 2 ? 18 = 36 Las magnitudes son inversamente proporcionales y la constante de proporcionalidad es 36. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 13 Comprueba que A y B son inversamente 3 Con un solo grifo tardo 6 minutos en llenar proporcionales. una garrafa. Si utilizo dos grifos tardaría 3 minutos. ¿Son el número de grifos y el tiempo Magnitud A 12 24 6 inversamente proporcionales? Magnitud B 4 2 8 127301279 _ 0122-0137.indd 127 08/07/11 20:19
    • ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de productos Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro. 3?4 12 3 ? 4 = 6 ? x  "  x = = =2 6 6 F Pasa dividiendo EJEMPLOS 5 La tabla muestra el tiempo empleado en recorrer una distancia en relación con la velocidad. Determina los valores que faltan. Velocidad (km/h) 1 2 4 b Tiempo (min) 24 12 a 8 Las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales ya que: 1 ? 24 = 2 ? 12 = 24 Para calcular los valores desconocidos aplicamos la relación de proporcionalidad inversa. 24 1 ? 24 = 4 ? a  "  24 = 4a  "  a = =6 4 24 1 ? 24 = b ? 8  "  24 = 8b  "  b = =3 8 6 Los alumnos de 1.º de ESO quieren hacer un viaje de fin de curso. Necesitan alquilar un autobús y el precio depende del número de alumnos que realicen el viaje. La empresa les entrega la siguiente tabla con el precio que tiene que pagar cada alumno. N.º de alumnos 10 20 30 40 50 Precio por alumno (€) 96 48 32 24 19,20 Si el viaje lo realizan 32 alumnos, ¿cuánto tiene que pagar cada uno? Comprobamos si las magnitudes son inversamente proporcionales. 10 ? 96 = 20 ? 48 = 30 ? 32 = 40 ? 24 = 50 ? 19,20 = 960 El número de alumnos y el precio que tiene que pagar cada alumno son magnitudes inversamente proporcionales. El valor que desconocemos es el precio por alumno si realizan el viaje 32 alumnos. Aplicamos la relación de proporcionalidad inversa: 10 ? 96 10 ? 96 = 32 ? x  "  x = = 30 € 32 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Completa la tabla para que sean magnitudes 16 Con un consumo de 4 horas diarias, inversamente proporcionales. un depósito de gas dura 24 días. ¿Son magnitudes inversamente proporcionales? Magnitud A 1 3 6 9 12 ¿Cuánto duraría el depósito con un consumo Magnitud B 72 24 12 4 de 6 horas al día? 128301279 _ 0122-0137.indd 128 08/07/11 20:19
    • 3 Porcentajes ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresan algunos números decimales como fracción Para escribir como fracción un número decimal con un número limitado de cifras decimales, escribimos como numerador de la fracción el número decimal sin coma, y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número. 32 1227 307 3,2 =       12,27 =       0,307 = 10 100 1000 Un tanto por ciento o porcentaje, cuyo símbolo es %, es una razón CALCULADORA cuyo consecuente es 100. a Para hallar un tanto por a% = ciento en la calculadora: 100 45 % de 860 Un porcentaje también se puede expresar mediante una fracción o un nú- 8 6 0 # mero decimal. 4 5 % 3 75 387 4 = 0,75 = 100 " 75 % EJEMPLO 8 Completa la tabla. Tanto por Número Expresión Se lee Significa Fracción ciento decimal El 55 % de Cincuenta De cada 55 la población 55 % y cinco 100 habitantes, 0,55 son mujeres por ciento 55 son mujeres 100 El 30 % de De cada Treinta 30 los alumnos 30 % 100 alumnos, 0,3 por ciento 100 son rubios 30 son rubios Cuarenta De cada 100 € 40 Rebajas del 40 % 40 % de compra se 0,4 por ciento 100 descuentan 40 € De cada Efectividad Nueve 100 tiros 9 del 9 % en tiros 9% 0,09 por ciento lanzados se 100 de tres puntos encestan 9 Dieciséis De cada 100 € El 16 % de IVA 16 % 16 0,16 por ciento se pagan 16 € 100 de IVA LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Escribe en forma de porcentaje y de fracción. 4 Expresa las siguientes cantidades en forma a) Tres por ciento. de fracción y número decimal. b) Quince por ciento. a) 17 % c) 31 % c) Setenta por ciento. b) 92 % d) 43 % 129301279 _ 0122-0137.indd 129 08/07/11 20:19
    • Cálculo de porcentajes ANTES, DEBES SABER… Cómo se divide por la unidad seguida de ceros Para dividir un número entre la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma tantos lugares hacia la izquierda como ceros tenga la unidad. 435 : 10 = 43,5 23,04 : 100 = 0,2304 Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100. t ?C t % de C = 100 EJEMPLOS 7 Calcula los siguientes porcentajes. a) El 20 % de 300. Podemos 20 20 20 ? 300 calcular mentalmente 20 % de 300 = de 300 = ? 300 = = 60 100 100 100 algunos porcentajes. b) El 2 % de 300. 10 1 2 2 2 ? 300 10 % = = 2 % de 300 = de 300 = ? 300 = =6 100 10 100 100 100 Es lo mismo que c) El 120 % de 300. dividir entre 10. 120 120 120 ? 300 120 % de 300 = de 300 = ? 300 = = 360 100 100 100 8 Calcula: 3,2 % de 80 3,2 ? 80 3,2 % de 80 = = 2,56 100 10 Calcula estos porcentajes expresándolos primero en forma de fracción. Porcentaje Fracción Equivalencia Resultado 50 1 Es lo mismo que 50 % de 650 50 % = = 650 : 2 = 325 100 2 dividir entre 2 25 1 Es lo mismo que 25 % de 600 25 % = = 600 : 4 = 150 100 4 dividir entre 4 20 1 Es lo mismo que 20 % de 300 20 % = = 300 : 5 = 60 100 5 dividir entre 5 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 21 Calcula. 5 Calcula mentalmente y di cómo lo haces. a) El 65 % de 3 200. c) El 75 % de 1 000. a) El 50 % de 100. c) El 25 % de 1 000. b) El 60 % de 60. d) El 5,5 % de 200. b) El 20 % de 500. d) El 10 % de 800. 130301279 _ 0122-0137.indd 130 08/07/11 20:19
    • Los porcentajes se utilizan para resolver numerosos problemas de la vida cotidiana. EJEMPLOS 11 ¿Cuánto habrá que pagar por un coche, cuyo precio de fábrica es de 15 000 €, si hay que sumarle el 16 % de IVA? t?C Calculamos el aumento del precio de fábrica: t % de C = =A 100 16 ? 15 000 16 % de 15 000 = = 2 400 � 100 Luego el precio final del coche será: 15 000 + 2 400 = 17 400 € 9 En una tienda de muebles han rebajado un 12 % los precios. ¿Cuánto tendré que pagar por una mesa cuyo precio sin descuento es de 450 €? Calculamos el descuento que nos hacen: 12 ? 450 12 % de 450 = = 54 € 100 Luego el precio final de la mesa será: 450 - 54 = 396 € 12 El 85 % de las camas de un hospital están ocupadas. Si hay 300 camas en total, ¿cuántas camas suponen ese porcentaje? Calculamos el 85 % de las 300 camas. 85 85 85 ? 300 85 % de 300 = de 300 = ? 300 = = 255 100 100 100 Hay 255 camas ocupadas. 13 El 60 % de los alumnos de mi clase son chicas. Si somos 30 alumnos en total, ¿cuántas chicas habrá? ¿Y chicos?