Teoría de radicales y sus propiedades

1. COLEGIO CANIGUÁ
NOVENO GRADO
MATEMATICA
Prof. Norka Méndez
RADICACIÓN
La radicación consiste en extraer la raíz enésima de un número y es la operación inversa a la potenciación por lo
que se puede escribir como la potencia de un número. nn
aa
1
=
La raíz enésima de un número real es igual a “b” si se cumple que abn
=
La raíz enésima de a, se escribe n
a donde “n” es el índice de la raíz, n∈N y “a” es la cantidad subradical.
En los radicales se debe cumplir lo siguiente:
Si n es par a ≥ 0, la cantidad subradical debe ser positiva. par
positiva
Si n es impar la cantidad subradical puede ser positiva o negativa.
impar
reales
Si el índice de la raíz es par, su raíz enésima tendrá dos soluciones una positiva y otra negativa. 2/4 −+=
Si el índice de la raíz es impar y la cantidad subradical es positiva su raíz enésima será positiva. 283
+=
Si el índice de la raíz es impar y la cantidad subradical es negativa su raíz enésima será negativa. 283
−=−
Toda potencia con exponente fraccionario se puede expresar como un radical.
n mn
m
aa =
Dos radicales son semejantes si y sólo si tienen el mismo índice y sus cantidades subradicales son iguales.
aa 5,3 55
3;4 bb
Simplificar un radical es reducirlo a su mínima expresión, reduciendo tanto la cantidad subradical como su
exponente, con el índice de la raíz.
Operaciones con radicales: Los radicales permiten realizar todas las operaciones básicas como: suma, resta,
multiplicación y división, además de la racionalización, que consiste en eliminación del radical del denominador de
una fracción.
n
m
n m
aa =
n= índice de la raíz
a= cantidad subradical
b= es la raíz enésima
ban
=

2. Propiedades de los radicales
abba =*
63.23*2 ==
Multiplicación de raíces de igual índice, se
multiplican las cantidades subradicales y se
mantiene el mismo índice de la raíz.
División de raíces de igual índice, se dividen las
cantidades subradicales y se conserva el índice de
la raíz.
b
a
b
a
=
3
2
3
2
=
Potencia de una raíz, se eleva la cantidad
subradical a dicha potencia y se deja el mismo
índice de la raíz.
( ) bb
aa = ( ) 2222 33
==
Multiplicación de raíces de diferente índice, se
multiplican los índices de las raíces y se reducen a
un índice común, la cantidad subradical de una de
las raíces se eleva al índice de la otra y viceversa,
luego se multiplican las cantidades subradicales y se
reducen los términos comunes.
mn nmmn
baba *
* =
12 344*3 3443
* bababa ==
12124*3 3443
2000125*16525*2 ===
División de raíces de diferente índice, se multiplican
los índices de las raíces y se reducen a un índice
común, la cantidad subradical de una de las raíces se
eleva al índice de la otra y viceversa, luego se
dividen las cantidades subradicales y se reducen los
términos comunes.
mn
n
m
m
n
b
a
b
a *=12
3
4
4
3
b
a
b
a
=
( )
( )
12
9
8
12
33
42
4 3
3 2
b
a
b
a
b
a
==
Suma y resta de radicales: Para sumar y restar
radicales, éstos deben ser semejantes, es decir
tener el mismo índice y la misma cantidad
subradical.
aaaa 10532 =++
54575853 =−+
Raíz de una raíz, se multiplican los índices de las
raíces y se conserva la misma cantidad subradical.
63
22 =63
aa =
mnn m
aa *
=

3. La racionalización de un denominador. Es el procedimiento mediante el cual se eliminan los radicales del
denominador de una fracción, multiplicando tanto el numerador como el denominador, por un factor igual al
radical del denominador de la fracción y realizando las operaciones que se generen de este procedimiento.
Introducción de términos en un radical, se eleva el término a
introducir a una potencia cuyo exponente sea igual al índice
de la raíz.
n nn
baba =
33 23
2555 ababab ==
Extracción de términos de un radical, para extraer un factor
de un radical
n m
a , se debe cumplir que el exponente “m”
de la cantidad subradical debe ser mayor o igual que el
índice de la raíz “n”, nm ≥ , luego se divide el exponente
entre el índice de la raíz, el cociente será el exponente del
término que sale de la raíz y el residuo será el exponente del
factor que queda dentro de la raíz.
3 23 5
aaa =
4 3324 1279
abbcacba =
Racionalización de denominadores con radicales de
índice 2: Se multiplica y divide la expresión por un
radical igual al del denominador que se quiere
eliminar.
Racionalización de denominadores con radicales de
índices mayores a 2: Se multiplica y divide la expresión
por un radical con el mismo índice y cuya cantidad
subradical debe tener la misma base y sus exponentes
serán las cantidades que le faltan a cada exponente
para ser igual o múltiplo del índice de la raíz.
b
ab
b
ab
b
b
b
a
==
2
*
3
6
3
3*2
3
3
*
3
2
2
==
3 2
3 2
3 33
3 2
3 2
3 2
3 2
* ab
ab
abab
ba
abab
ab
ab
ba
ab
===
bc
a
abc
a
cba
a
bca
bca
cba
a 56
4 444
6
4 32
4 32
4 32
6
* ===
[ ][ ]
[ ] ==
9 9999
9 2373
9 2373
9 2373
9 762
2
22
2
2
*
64
2
yxa
yxaxy
yxa
yxa
yxa
xy
a
yxa9 2373
2

4. Conjugadas de binomios de índice 2 y 3
Conjugada de una expresión. Se denomina conjugada, a la misma expresión alfanumérica cambiando el signo de
uno de los términos.
La conjugada de ba + será ba − ; la conjugada de ba + será ba − ; la conjugada de nn
ba + será
nn
ba − . El binomio 35 − tendrá como conjugada 35 + ; así mismo la conjugada del binomio
bcab 32 − será bcab 32 + .
Cuando se tiene una fracción cuyo denominador es un binomio de radicales de índice 3, se deben utilizar las
siguientes expresiones como conjugada. ( ) ( )( )2233
babababa ++−=− ; ( ) ( )( )2233
babababa +−+=+ ,
por lo que se debe multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción por uno de estos factores, de
manera de poder eliminar los radicales del denominador.
El binomio 33
32 bcab − tiene como conjugada ( ) ( ) ( ) 


 ++−
2
333
2
333
332232 bcbcababbcab
La racionalización de un binomio de raíces de índice
igual a 3, se multiplica tanto el numerador como el
denominador por el conjugado del denominador,
luego se efectúan las operaciones y se simplifica la
expresión.
( ) ( )
( ) ( )
=
++
++
−
2
333
2
3
2
333
2
3
33
*
bbaa
bbaa
ba
a
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=
−



 ++
3
3
3
3
2
333
2
3
ba
bbaaa
( ) ( ) ( )
ba
bbaaa
−



 ++
2
333
2
3
( )( )
( )( )=
−+
−+
=
−
−
+
+
baba
baba
ba
ba
ba
ba
*
( )( )
( ) ( )
=
−
−+
22
ba
baba ( )( )
ba
baba
−
−+
Racionalización de un binomio de raíces de índice
igual a 2: Se multiplica tanto el numerador como
el denominador por la conjugada del
denominador, luego se efectúan las operaciones y
se simplifica la expresión.