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CE075-Probabilidade e Estatística Aplicada
Lista de Exercicios 5
Aluno: Cleibson Aparecido de Almeida

1. Uma urna contém 16 bolas brancas e 14 pretas. Calcular a probabilidade de ao serem
retiradas 5 bolas, 3 serem brancas, quando a amostragem for feita:

a) com reposição



                                         ������
Solução: Aplicando a distribuição binomial com n=5 e p=8/15

                                P(X=x)= � � ������ � (1 − ������)���
                                         ������

                                    5 8        8 ���
                                         �
                           P(X=3)= � �     �1 − �    = 0,33
                                    3 15       15



b) sem reposição



                                               ������ ������ − ������
Solução: Aplicando a distribuição hipergeométrica com N=30, n=5 e K=16

                                              � ��        �
                                 ������(������ = ������) = ������ ������ − ������
                                                   ������
                                                  � �
                                                   ������
                                         16 30 − 16
                                        � ��        �
                            ������(������ = 3) = 3    5 − 3 = 0,35
                                             30
                                            � �
                                             5



2. A probabilidade de que um presumível cliente aleatoriamente escolhido faça uma compra
é 20%. Se um vendedor visita seis presumíveis clientes, qual a probabilidade de que ele faça
no mínimo quatro vendas?



                                         ������
Solução: Aplicando a distribuição binomial com n=6 e p=0,2

                                P(X=x)= � � ������ � (1 − ������)���
                                         ������

                           P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)

         6                     6                     6
P(X≥4)= � � 0,2� (1 − 0,8)� + � � 0,2� (1 − 0,8)� + � � 0,2� (1 − 0,8)� = 0,01696
         4                     5                     6



3. De 6 empregados, 3 estão na companhia há cinco anos ou mais. Se quatro empregados
são aleatoriamente escolhidos deste grupo de seis, qual a probabilidade de que dois estejam
na companhia há cinco ou mais anos?
������ ������ − ������
Solução: Aplicando a distribuição Hipergeométrica

                                                         3 6−3
                              � ��        �             � ��    �
                ������(������ = ������) =  ������ ������ − ������ = ������(������ = 2) = 2 4 − 2 = 0,6
                                   ������                        6
                                  � �                      � �
                                   ������                        4

4. Uma moeda é lançada sucessivamente, qual a probabilidade de que a face cara apareça 2
vezes na 3ª jogada?

Solução: Aplicando a distribuição Pascal com r=2 e p=0,5

                                        ������ − 1 �
                               P(X=x)= �        � ������ (1 − ������)���
                                         ������ − 1
                                  3−1
                         P(X=3)= �    � 0,5� (1 − 0,5)��� = 0,25
                                  2−1



5. Se a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa a injeção de determinado soro
é 0,1%. Determine a probabilidade de que, em 1000 indivíduos, exatamente 3 acusarem
reação.

Solução: Aplicando a distribuição Poisson, sendo n=1000 e p=0,001. Então ������ = ������������ = 1

                                                     ������� ������ ��
                                     ������(������ = ������) =
                                                        ������!

                                                1� ������ ��
                                 ������(������ = 3) =            = 0,061
                                                  3!



6. Numa central telefônica, o número médio de chamadas é de 8 por minuto. Determinar
qual a probabilidade de que num minuto se tenha:

Solução: Aplicando a distribuição Poisson com λ=8

                                                   ������� ������ ��
                                     ������(������ = ������) =
                                                      ������!

a)10 ou mais chamadas

                                ������(������ ≥ 10) = 1 − ������(������ < 10)

= 1 − [������(������ = 9) + ������(������ = 8) + ������(������ = 7) + ������(������ = 6) + ������(������ = 5) + ������(������ = 4) + ������(������ = 3)
                + ������(������ = 2) + ������(������ = 1) + ������(������ = 0)] = 0,28412



b)Menos de 9 chamadas
������(������ < 9) = ������(������ = 8) + ������(������ = 7) + ������(������ = 6) + ������(������ = 5) + ������(������ = 4) + ������(������ = 3)
                     + ������(������ = 2) + ������(������ = 1) + ������(������ = 0) = 0,59188

c)Entre 7 (inclusive) e 9 (exclusive) chamadas

                      ������(7 ≤ ������ < 9) = ������(������ = 8) + ������(������ = 7) = 0,2792



7. Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola ao acaso,
anota-se a cor, repondo-se em seguida a bola na caixa. Determine a probabilidade de que,
de 6 bolas assim escolhidas, 3 sejam vermelhas, 2 brancas e 1 azul.

Solução: Aplicando a distribuição multinomial com n=6, n1=3, n2=2, n3=1, p1=5/12, p2=4/12 e


                                                                       ������!
p3=3/12

                     ������(������� = ������� , ������� = ������� , ������� = ������� ) =                    ������ ������ ������
                                                                ������� ! ������� ! ������� ! � � �

                                                         6! 5 4 3
                   ������(������� = 3, ������� = 2, ������� = 1) =                      = 0,1205
                                                      3! 2! 1! 12 12 12



8. Suponha que o conteúdo de bactérias de um tipo particular, presentes em um recipiente
de água de 1 milímetro, tenha distribuição aproximadamente normal, com média de 85
bactérias e desvio padrão de 9. Qual é a probabilidade de uma dada amostra de 1ml conter
mais de 100 bactérias?



                                                            ������ − ������
Solução: Aplicando a distribuição normal com μ=85 e σ²=81

                                   ������(������ = ������) = ������(������ =            )
                                                               ������
                                            100 − 85
            ������(������ > 100) = 1 − ������ ������� ≤              � = 1 − ������(������ ≤ 1,66) = 0,0485
                                               9



9. Um novo modelo de rádio portátil foi desenvolvido com base no fato de que 50% de todos
os consumidores são mulheres. Se uma amostra de 400 compradores for selecionada
aleatoriamente, qual é a probabilidade de o número de mulheres dessa amostra ser maior
que 175?

Solução: Temos n=400, p=0,5 e q=0,5. Fazendo aproximação da binomial pela normal, temos


                                                            ������ − ������
μ=np=200 e σ²=npq=100

                                   ������(������ = ������) = ������(������ =            )
                                                               ������
                                          175 − 200
           ������(������ > 175) = 1 − ������ ������� ≤              � = 1 − ������(������ ≤ −2,5) = 0,9938
                                             10
10. Sabe-se que 30% de todas as chamadas destinadas a uma mesa telefônica são chamadas
DDD. Se 1200 chamadas chegarem a essa mesa, qual é a probabilidade de pelo menos 50
serem DDD?

Solução: Temos p=3/10, q=7/10 e n=1200. Fazendo aproximação da binomial pela normal,


                                                         ������ − ������
temos μ=np=360 e σ²=npq=252

                                 ������(������ = ������) = ������(������ =           )
                                                            ������
                                           50 − 360
              ������(������ > 50) = 1 − ������ ������� ≤              � = 1 − ������(������ ≤ −19,52) = 1
                                            √252



11. Em média, um navio atraca em certo porto a cada dois dias. Qual a probabilidade de que,
a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo navio?

Solução: Aplicando a distribuição exponencial com λ=0,5

                                     ������(������ = ������) = ������ ���
                                              �
                             ������(������ > 4) = ������ ��� = ������ �� = 0,1353

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Exercícios - Distribuições de Probabilidade

  • 1. CE075-Probabilidade e Estatística Aplicada Lista de Exercicios 5 Aluno: Cleibson Aparecido de Almeida 1. Uma urna contém 16 bolas brancas e 14 pretas. Calcular a probabilidade de ao serem retiradas 5 bolas, 3 serem brancas, quando a amostragem for feita: a) com reposição ������ Solução: Aplicando a distribuição binomial com n=5 e p=8/15 P(X=x)= � � ������ � (1 − ������)��� ������ 5 8 8 ��� � P(X=3)= � � �1 − � = 0,33 3 15 15 b) sem reposição ������ ������ − ������ Solução: Aplicando a distribuição hipergeométrica com N=30, n=5 e K=16 � �� � ������(������ = ������) = ������ ������ − ������ ������ � � ������ 16 30 − 16 � �� � ������(������ = 3) = 3 5 − 3 = 0,35 30 � � 5 2. A probabilidade de que um presumível cliente aleatoriamente escolhido faça uma compra é 20%. Se um vendedor visita seis presumíveis clientes, qual a probabilidade de que ele faça no mínimo quatro vendas? ������ Solução: Aplicando a distribuição binomial com n=6 e p=0,2 P(X=x)= � � ������ � (1 − ������)��� ������ P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) 6 6 6 P(X≥4)= � � 0,2� (1 − 0,8)� + � � 0,2� (1 − 0,8)� + � � 0,2� (1 − 0,8)� = 0,01696 4 5 6 3. De 6 empregados, 3 estão na companhia há cinco anos ou mais. Se quatro empregados são aleatoriamente escolhidos deste grupo de seis, qual a probabilidade de que dois estejam na companhia há cinco ou mais anos?
  • 2. ������ ������ − ������ Solução: Aplicando a distribuição Hipergeométrica 3 6−3 � �� � � �� � ������(������ = ������) = ������ ������ − ������ = ������(������ = 2) = 2 4 − 2 = 0,6 ������ 6 � � � � ������ 4 4. Uma moeda é lançada sucessivamente, qual a probabilidade de que a face cara apareça 2 vezes na 3ª jogada? Solução: Aplicando a distribuição Pascal com r=2 e p=0,5 ������ − 1 � P(X=x)= � � ������ (1 − ������)��� ������ − 1 3−1 P(X=3)= � � 0,5� (1 − 0,5)��� = 0,25 2−1 5. Se a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa a injeção de determinado soro é 0,1%. Determine a probabilidade de que, em 1000 indivíduos, exatamente 3 acusarem reação. Solução: Aplicando a distribuição Poisson, sendo n=1000 e p=0,001. Então ������ = ������������ = 1 ������� ������ �� ������(������ = ������) = ������! 1� ������ �� ������(������ = 3) = = 0,061 3! 6. Numa central telefônica, o número médio de chamadas é de 8 por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha: Solução: Aplicando a distribuição Poisson com λ=8 ������� ������ �� ������(������ = ������) = ������! a)10 ou mais chamadas ������(������ ≥ 10) = 1 − ������(������ < 10) = 1 − [������(������ = 9) + ������(������ = 8) + ������(������ = 7) + ������(������ = 6) + ������(������ = 5) + ������(������ = 4) + ������(������ = 3) + ������(������ = 2) + ������(������ = 1) + ������(������ = 0)] = 0,28412 b)Menos de 9 chamadas
  • 3. ������(������ < 9) = ������(������ = 8) + ������(������ = 7) + ������(������ = 6) + ������(������ = 5) + ������(������ = 4) + ������(������ = 3) + ������(������ = 2) + ������(������ = 1) + ������(������ = 0) = 0,59188 c)Entre 7 (inclusive) e 9 (exclusive) chamadas ������(7 ≤ ������ < 9) = ������(������ = 8) + ������(������ = 7) = 0,2792 7. Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola ao acaso, anota-se a cor, repondo-se em seguida a bola na caixa. Determine a probabilidade de que, de 6 bolas assim escolhidas, 3 sejam vermelhas, 2 brancas e 1 azul. Solução: Aplicando a distribuição multinomial com n=6, n1=3, n2=2, n3=1, p1=5/12, p2=4/12 e ������! p3=3/12 ������(������� = ������� , ������� = ������� , ������� = ������� ) = ������ ������ ������ ������� ! ������� ! ������� ! � � � 6! 5 4 3 ������(������� = 3, ������� = 2, ������� = 1) = = 0,1205 3! 2! 1! 12 12 12 8. Suponha que o conteúdo de bactérias de um tipo particular, presentes em um recipiente de água de 1 milímetro, tenha distribuição aproximadamente normal, com média de 85 bactérias e desvio padrão de 9. Qual é a probabilidade de uma dada amostra de 1ml conter mais de 100 bactérias? ������ − ������ Solução: Aplicando a distribuição normal com μ=85 e σ²=81 ������(������ = ������) = ������(������ = ) ������ 100 − 85 ������(������ > 100) = 1 − ������ ������� ≤ � = 1 − ������(������ ≤ 1,66) = 0,0485 9 9. Um novo modelo de rádio portátil foi desenvolvido com base no fato de que 50% de todos os consumidores são mulheres. Se uma amostra de 400 compradores for selecionada aleatoriamente, qual é a probabilidade de o número de mulheres dessa amostra ser maior que 175? Solução: Temos n=400, p=0,5 e q=0,5. Fazendo aproximação da binomial pela normal, temos ������ − ������ μ=np=200 e σ²=npq=100 ������(������ = ������) = ������(������ = ) ������ 175 − 200 ������(������ > 175) = 1 − ������ ������� ≤ � = 1 − ������(������ ≤ −2,5) = 0,9938 10
  • 4. 10. Sabe-se que 30% de todas as chamadas destinadas a uma mesa telefônica são chamadas DDD. Se 1200 chamadas chegarem a essa mesa, qual é a probabilidade de pelo menos 50 serem DDD? Solução: Temos p=3/10, q=7/10 e n=1200. Fazendo aproximação da binomial pela normal, ������ − ������ temos μ=np=360 e σ²=npq=252 ������(������ = ������) = ������(������ = ) ������ 50 − 360 ������(������ > 50) = 1 − ������ ������� ≤ � = 1 − ������(������ ≤ −19,52) = 1 √252 11. Em média, um navio atraca em certo porto a cada dois dias. Qual a probabilidade de que, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo navio? Solução: Aplicando a distribuição exponencial com λ=0,5 ������(������ = ������) = ������ ��� � ������(������ > 4) = ������ ��� = ������ �� = 0,1353