1. Pythagorean Trig Identities

2. Pythagorean Trig Identities
y
1
y

x x

3. Pythagorean Trig Identities
y
x2  y 2  1
1
y

x x

4. Pythagorean Trig Identities
y
x2  y 2  1
y
1 sin  
y 1
 y  sin 
x x

5. Pythagorean Trig Identities
y
x2  y 2  1
y x
1 sin   cos  
y 1 1
 y  sin  x  cos 
x x

6. Pythagorean Trig Identities
y
x2  y 2  1
y x
1 sin   cos  
y 1 1
 y  sin  x  cos 
x x
 sin 2   cos 2   1

7. Pythagorean Trig Identities
y
x2  y 2  1
y x
1 sin   cos  
y 1 1
 y  sin  x  cos 
x x
 sin 2   cos 2   1
Divide by sin 2 

8. Pythagorean Trig Identities
y
x2  y 2  1
y x
1 sin   cos  
y 1 1
 y  sin  x  cos 
x x
 sin 2   cos 2   1
Divide by sin 2 
sin 2  cos 2  1
  2
sin  sin  sin 
2 2

9. Pythagorean Trig Identities
y
x2  y 2  1
y x
1 sin   cos  
y 1 1
 y  sin  x  cos 
x x
 sin 2   cos 2   1
Divide by sin 2 
sin 2  cos 2  1
  2
sin  sin  sin 
2 2
1  cot 2   cosec 2

10. Pythagorean Trig Identities
y
x2  y 2  1
y x
1 sin   cos  
y 1 1
 y  sin  x  cos 
x x
 sin 2   cos 2   1
Divide by sin 2  Divide by cos 2
sin 2  cos 2  1
  2
sin  sin  sin 
2 2
1  cot 2   cosec 2

11. Pythagorean Trig Identities
y
x2  y 2  1
y x
1 sin   cos  
y 1 1
 y  sin  x  cos 
x x
 sin 2   cos 2   1
Divide by sin 2  Divide by cos 2
sin 2  cos 2  1 sin 2  cos 2  1
  2  
sin  sin  sin 
2 2
cos  cos  cos 2 
2 2
1  cot 2   cosec 2

12. Pythagorean Trig Identities
y
x2  y 2  1
y x
1 sin   cos  
y 1 1
 y  sin  x  cos 
x x
 sin 2   cos 2   1
Divide by sin 2  Divide by cos 2
sin 2  cos 2  1 sin 2  cos 2  1
  2  
sin  sin  sin 
2 2
cos  cos  cos 2 
2 2
1  cot 2   cosec 2 tan 2   1  sec2

13. Pythagorean Trig Identities
y
x2  y 2  1
y x
1 sin   cos  
y 1 1
 y  sin  x  cos 
x x
 sin 2   cos 2   1
Divide by sin 2  Divide by cos 2
sin 2  cos 2  1 sin 2  cos 2  1
  2  
sin  sin  sin 
2 2
cos  cos  cos 2 
2 2
1  cot 2   cosec 2 tan 2   1  sec2

14. sin 2   cos 2   1
1  tan 2   sec2
1  cot 2   cosec 2

15. sin 2   cos 2   1
1  tan 2   sec2
1  cot 2   cosec 2
In addition:
sin 
 tan 
cos 

16. sin 2   cos 2   1
1  tan 2   sec2
1  cot 2   cosec 2
In addition:
sin 
 tan 
cos 
3
e.g. (i ) If cos   and tan  is negative, find sin 
4

17. sin 2   cos 2   1
1  tan 2   sec2
1  cot 2   cosec 2
In addition:
sin 
 tan 
cos 
3
e.g. (i ) If cos   and tan  is negative, find sin 
4
3 4

18. sin 2   cos 2   1
1  tan 2   sec2
1  cot 2   cosec 2
In addition:
sin 
 tan 
cos 
3
e.g. (i ) If cos   and tan  is negative, find sin 
4
3 4
7

19. sin 2   cos 2   1
1  tan 2   sec2
1  cot 2   cosec 2
In addition:
sin 
 tan 
cos 
3
e.g. (i ) If cos   and tan  is negative, find sin 
4
4th quadrant
3 4
7

20. sin 2   cos 2   1
1  tan 2   sec2
1  cot 2   cosec 2
In addition:
sin 
 tan 
cos 
3
e.g. (i ) If cos   and tan  is negative, find sin 
4
4th quadrant
3 4
7
sin   
7 4

21. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2 

22. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2 
 1  1  sin 2  

23. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2 
 1  1  sin 2  
 1  1  sin 2 
 sin 2 

24. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2  b) sec 2 A  tan 2 A
 1  1  sin 2  
 1  1  sin 2 
 sin 2 

25. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2  b) sec 2 A  tan 2 A
 1  1  sin 2    1  tan 2 A  tan 2 A
 1  1  sin 2  1
 sin 2 

26. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2  b) sec 2 A  tan 2 A c) tan  cos 
 1  1  sin 2    1  tan 2 A  tan 2 A
 1  1  sin 2  1
 sin 2 

27. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2  b) sec 2 A  tan 2 A c) tan  cos 
sin  cos 
 1  1  sin 2    1  tan A  tan A
2 2  
cos  1
 1  1  sin 2  1  sin 
 sin 2 

28. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2  b) sec 2 A  tan 2 A c) tan  cos 
sin  cos 
 1  1  sin 2    1  tan A  tan A
2 2  
cos  1
 1  1  sin 2  1  sin 
 sin 2 
2sec 2   2 tan 
 iii  Prove 
4 tan  2

29. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2  b) sec 2 A  tan 2 A c) tan  cos 
sin  cos 
 1  1  sin 2    1  tan A  tan A
2 2  
cos  1
 1  1  sin 2  1  sin 
 sin 2 
2sec 2   2 tan 
 iii  Prove 
4 tan  2
2sec 2   2
4 tan 

30. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2  b) sec 2 A  tan 2 A c) tan  cos 
sin  cos 
 1  1  sin 2    1  tan A  tan A
2 2  
cos  1
 1  1  sin 2  1  sin 
 sin 2 
2sec 2   2 tan 
 iii  Prove 
4 tan  2
2sec   2
2
2 1  tan 2    2

4 tan  4 tan 

31. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2  b) sec 2 A  tan 2 A c) tan  cos 
sin  cos 
 1  1  sin 2    1  tan A  tan A
2 2  
cos  1
 1  1  sin 2  1  sin 
 sin 2 
2sec 2   2 tan 
 iii  Prove 
4 tan  2
2sec   2
2
2 1  tan 2    2

4 tan  4 tan 
2  2 tan 2   2

4 tan 

32. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2  b) sec 2 A  tan 2 A c) tan  cos 
sin  cos 
 1  1  sin 2    1  tan A  tan A
2 2  
cos  1
 1  1  sin 2  1  sin 
 sin 2 
2sec 2   2 tan 
 iii  Prove 
4 tan  2
2sec   2
2
2 1  tan 2    2

4 tan  4 tan 
2  2 tan 2   2

4 tan 
2 tan 2 

4 tan 

33. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2  b) sec 2 A  tan 2 A c) tan  cos 
sin  cos 
 1  1  sin 2    1  tan A  tan A
2 2  
cos  1
 1  1  sin 2  1  sin 
 sin 2 
2sec 2   2 tan 
 iii  Prove 
4 tan  2
2sec   2
2
2 1  tan 2    2

4 tan  4 tan 
2  2 tan 2   2

4 tan 
2 tan 2 

4 tan 
tan 

2

34. (ii) Simplify;
a ) 1  cos 2  b) sec 2 A  tan 2 A c) tan  cos 
sin  cos 
 1  1  sin 2    1  tan A  tan A
2 2  
cos  1
 1  1  sin 2  1  sin 
 sin 2 
2sec 2   2 tan 
 iii  Prove  when proving trig identities
4 tan  2 you can;
2sec   2
2
2 1  tan 2    2 1. start with LHS and prove RHS
 2. start with RHS and prove LHS
4 tan  4 tan 
3. work on LHS and RHS
2  2 tan 2   2
 independently and show they
4 tan  equal the same thing
2 tan 2 

4 tan  NEVER SOLVE LIKE AN
tan  EQUATION

2

35. Exercise 4E; 1a, 2b, 3ac, 4bd, 5, 7, 9*
Exercise 4F; 3a, 4b, 5c, 6ac, 7bd, 8ac, 10ad,
11acegi, 12bdfhj, 13ac, 14bd, 15ac,
16acegik, 17*a