MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA

1
MODELO DIDÁCTICO PARA EL APRENDIZAJE DE LA
MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN
DIFERENCIA
“La verdad para las víctimas es su remedio del alma”
Nubia Esperanza Mejía García
Contenido
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 4
CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE............................................................................ 11
1.1. Investigaciones sobre la enseñanza y aprendizaje de la modelación
matemática a través de las ecuaciones en diferencia ............................................. 11
1.1.1. Journal: Advances in Difference Equations (Avances en Ecuaciones en.. 11
Diferencia)............................................................................................................. 11
1.1.2. Proyecto SIMIODE ..................................................................................... 12
1.1.3. Comprendiendo las dificultades que enfrentan los estudiantes de pregrado
de Ingeniería, para aprender modelación matemática......................................... 14
1.1.4. An Easy Way to Teach First-order Linear Differential and Difference
Equations with a Constant Term and a Constant Coefficient.¡Error! Marcador no
definido.

2
1.1.5. La Matemática en el contexto de las ciencias y las matemáticas en la
formación de un ingeniero .................................................................................... 17
1.1.6. Modelación matemática como método de investigación en clases de
matemáticas.......................................................................................................... 24
1.1.7. Modelación en educación matemática: Una mirada desde los lineamientos
y estándares curriculares colombianos ................................................................ 26
CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO ............................................................................... 30
2.1 Modelo Didáctico................................................................................................ 30
2.1.1. Definición y consideraciones generales ..................................................... 30
2.1.2. Fundamentación ......................................................................................... 32
2.1.3. Elementos del Modelo Didáctico ................................................................ 41
CAPÍTULO 3: METDOLOGÍA PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO
DIDÁCTICO ................................................................................................................. 45
3.1. Principios ........................................................................................................... 45
3.1.1. Aprender matemática = Hacer matemática................................................ 45
3.1.2. Importancia de los modelos discretos ........................................................ 48
3.1.3. Las ecuaciones en diferencia como herramienta de modelación .............. 51
3.2. Metodología para el diseño y evaluación de actividades de aprendizaje......... 52
3.2.1. Situación Inicial de los Estudiantes ............................................................ 53

3
3.2.2. Referentes Tecnológicos, normativos e institucionales ............................. 54
3.2.3. Objetivos, metas ......................................................................................... 54
3.2.4. Contenidos.................................................................................................. 55
3.2.5. Métodos y Procesos de trabajo .................................................................. 55
3.2.6. Evaluación .................................................................................................. 56
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 57
ANEXO 1...................................................................................................................... 60
ANEXO 2...................................................................................................................... 65

4
INTRODUCCIÓN
En Colombia se cuestiona la calidad de la educación a todo nivel, así como la
competencia de los egresados en diferentes profesiones. El SNIES reporta 348
instituciones de Educación Superior activas en Colombia, de las cuales 115 se
encuentran domiciliadas en Bogotá, y de éstas se catalogan académicamente como
Universidades 29; se resalta que solamente 9 se encuentran acreditadas con alta
calidad.
Las Instituciones que ofrecen carreras de Ingeniería son 51, de carácter oficial son 5
y las demás son privadas. En 21 Instituciones de Educación Superior se ofrecen
programas de Ingeniería acreditados de Alta Calidad.
Para los egresados de carreras Ingenieriles, se reconoce la exigencia de desarrollar
el pensamiento científico, es decir la capacidad para relacionar variables, formular
conjeturas, preguntas o hipótesis, además de proponer explicaciones y modelos que
les permita interpretar diferentes situaciones en su desempeño profesional, o
proponer innovaciones, desarrollos tecnológicos y conformar los diferentes grupos de
investigación (ver figura 1).
Figura 1: Desempeño profesional de los Ingenieros1
1
Creación del autor
EXIGENCIAS PARA EL DESEMPEÑO
PROFESIONAL DE LOS FUTUROS
INGENIEROS
LECTURA DEL ENTORNO, ESTRUCTURACIÓN,
IDENTIFICACIÓN DE MODELOS Y COMPORTAMIENTOS
PENSAMIENTO CIENTIFICO
DESARROLLO
TECNOLÓGICO
INVESTIGACIÓNINNOVACIÓN

5
En las pruebas “SABER PRO” 2
se evalúa esta competencia transversal a los
estudiantes de los diferentes programas de Ingeniería, sólo que en un contexto
específico relacionado con la formación dada en cada pregrado.
Un indicador del nivel de formación matemática de los egresados es la prueba de
razonamiento cuantitativo en la cual los más altos puntajes del grupo de las carreras
de ingeniería los obtuvieron los estudiantes de las Universidades Nacional de
Colombia y Los Andes, según el reporte de los resultados agregados de las pruebas
aplicadas en el segundo semestre de 2013.
En el reporte de los mejores puntajes “SABER PRO 2013” se puede establecer que
se clasificaron 859 estudiantes de las carreras de ingeniería, en la ciudad de Bogotá
de un total de 9345 mejores puntajes de todo el país.
El total de estudiantes de ingeniería de las universidades de Bogotá evaluados por
las “PRUEBAS SABER PRO” en el segundo semestre del 2013 fue de 51151. Lo que
significa que apenas el 1,7% de los estudiantes alcanzó puntajes notables en las
competencias relacionadas con el desarrollo del pensamiento científico en
contexto y las asignaturas de ciencias básicas son la plataforma que permite a los
estudiantes desarrollar el pensamiento científico. Tal como lo plantea el ICFES
(Módulo de Pensamiento científico Matemáticas y Estadística SABER PRO 2014-2),
la formación científica incluye habilidades como:
2
www.icfes.gov.co/examenes/saber-pro/informacion-general/que-se-evalua

6
Figura 2: Pensamiento científico en contexto3
Pese a que en todo estamento de la comunidad educativa universitaria se reconoce
las posibilidades que otorga la educación matemática, no se han resuelto las
dificultades para superar modelos didácticos tradicionales, o propuestas, aisladas de
la realidad de los ingenieros y los diferentes sectores industriales y de servicios que
los demandan.
Es un deber de los investigadores en educación matemática estudiar a todo nivel los
procesos de enseñanza – aprendizaje y las prácticas docentes para responder
acertadamente a las demandas educativas que permitan posicionar nuestro país en
un mundo globalizado.
3
ICFES. (30 de 10 de 2014). www.icfes.gov.co. Obtenido de www.icfes.gov.co:
http://www.icfes.gov.co/examenes/111-saber-pro/informacion-general/historicos-estructura-general-del-
examen
Plantear preguntas y proponer explicaciones o conjeturas que puedan
ser abordadas con rigor científico.
Establecer estrategias adecuadas para abordar y resolver problemas.
Adquirir e interpretar información para abordar y entender una
situación problema.
Analizar críticamente los resultados y derivar conclusiones.
Comprender, comparar, utilizar o proponer modelos que permiten
describir, explicar y predecir fenómenos o sistemas.

7
Desarrollar el pensamiento científico de los estudiantes implica que utilicen las
herramientas matemáticas para modelar situaciones relacionadas con otras
asignaturas, el desempeño profesional o eventos cotidianos.
La modelación matemática se considera un tema implícito en diferentes asignaturas
del área matemática de las carreras de ingeniería, en algunos programas se enuncia
como uno de sus objetivos pero no se establece la forma de cumplirlo (Camarena)4
.
Algunos profesores de matemáticas consideran que la modelación matemática
corresponde al área de las ciencias aplicadas y de las asignaturas específicas de
cada ingeniería. Otros enfoques se orientan a las aplicaciones que se derivan de
cada tema de los cursos de matemáticas.
Es notable que para abordar acertadamente la modelación matemática se requiere el
aporte de diferentes disciplinas además de las matemáticas, pues el contexto y
características de cada situación a modelar deben estar plenamente identificados y
establecidos.
Otro elemento importante a tener en cuenta en los procesos de modelación es la
utilización de los recursos tecnológicos ya sea para procesar datos o para
recolectarlos.
Las habilidades matemáticas, que requieren los futuros ingenieros están relacionadas
con el mundo cambiante y globalizado que afrontamos, el vertiginoso avance
tecnológico y las comunicaciones que generan cada vez nuevas situaciones
ingenieriles que deben ser analizadas, interpretadas, modeladas, recreadas y
explicadas en forma concreta y precisa.
Tal como lo plantea Dujet en su conferencia pronunciada en México en el año 2005
“Los ingenieros están destinados a evolucionar en un mundo de complejidad
creciente y cada vez más incierto; sin embargo deben llevar a cabo sus proyectos
4
Camarena, P. (s.f.). Matemáticas del mundo real. Recuperado el 30-10-2014, de Matemáticas del mundo real:
http://www.m2real.org/IMG/pdf_Patricia_Camarena_Gallardo-II.pdf

8
con la mayor eficacia, lograr los resultados más sobresalientes y tomar las decisiones
adecuadas con toda la responsabilidad requerida en este contexto.” (Dujet, 2007)5
.
Sin embargo, en las prácticas de clase de matemáticas se enfatiza en resolver
ejercicios de cálculo, considerando el saber matemático aislado de la vida laboral y
cotidiana.
De las diferentes asignaturas que brindan las herramientas para realizar procesos de
modelación matemática es de destacar las ecuaciones diferenciales y en diferencia,
pues permiten la conjugación y comparación de diferentes métodos de análisis y una
mejor comprensión de diversos fenómenos dinámicos.
El abordar los sistemas discretos desde las ecuaciones en diferencia permite, en
algunas situaciones, obtener modelos más ajustados a la realidad. Con las
ecuaciones en diferencia finitas se obtienen estimaciones de las soluciones de
ecuaciones diferenciales, lo que se denomina “métodos de diferencias finitas”.
Actualmente son muchas las aplicaciones de las ecuaciones en diferencia, los
investigadores las han utilizado para modelar diferentes situaciones en el campo de
la ingeniería, la dinámica de poblaciones, la economía, la biología y otras. Dicha
modelación se hace con el uso de recursos informáticos a través de la simulación.
Además la importancia creciente de los modelos discretos por el uso de recursos
computacionales para diversas aplicaciones e investigaciones.
Al comparar las soluciones arrojadas y confrontarlas con las situaciones reales, se
encuentra que en las ecuaciones diferenciales se presenta el análisis de las variables
continuas y en las ecuaciones en diferencia el de las variables discretas.
El comportamiento real de los fenómenos, algunas veces puede ser un punto
intermedio entre estas posibilidades, y en estos casos debe abordarse desde los
procesos estocásticos.
5
Dujet, C. (05-10-2007). Matemáticas del Mundo Real. Recuperado el 30 de 10 de 2014, de Matemáticas del
Mundo Real: http://www.m2real.org/spip.php?article2

9
El “APRENDIZAJE DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS
ECUACIONES EN DIFERENCIA” es un tema no resuelto en las facultades de
Ingeniería, pues las actividades didácticas encaminadas a desarrollar la habilidad de
modelar matemáticamente diversas situaciones son muy escasas en los cursos de
ecuaciones diferenciales y en diferencia. Esto se debe, en parte, a que algunos
docentes no dominan las diferentes técnicas de modelación matemática ni utilizan
situaciones novedosas de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales y en
diferencia.
Otro elemento a tener en cuenta para formular una propuesta de enseñanza y
aprendizaje de la modelación matemática es que los modelos matemáticos
construidos con base en las ecuaciones en diferencia, deben servir para motivar y
preparar a los estudiantes en el abordaje de las ecuaciones diferenciales.
La propuesta de promover el “APRENDIZAJE DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA
A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA”
Metodología de investigación
Esta disertación en educación matemática se enmarca dentro del enfoque de la
investigación cualitativa. Este tipo de investigación es la más adecuada debido a que
se busca explorar y comprender el comportamiento y actitudes de los estudiantes
después de aplicar la estrategia didáctica, en aras de adquirir habilidades en el
proceso de modelación. 6
“Es recomendable seleccionar el enfoque cualitativo cuando
el tema de estudio ha sido poco explorado, o no se ha hecho investigación al
respecto en algún grupo social específico. El proceso cualitativo inicia con la idea de
investigación”. Grinnell, Williams y Unrau (2009), opinan sobre lo que representa un
planteamiento cualitativo: es como ingresar a un laberinto, se sabe dónde se inicia,
6
Hernández Sampieri, R. (2010). Metodología de la Investigación. Quinta Edición. Editorial Mc.Graw Hill, México
D.F., páginas. 364-365.

10
pero no se conoce donde se termina. Se entra con convicción, pero sin un “plano”
preciso.
A continuación se describen las fases para su desarrollo:
FASE 1
En esta fase se diseñan los instrumentos y estrategias para recolectar información y
analizarla, dentro de las cuales se incluyen:
• Análisis de los syllabus aplicados en diversas instituciones de índole nacional
e internacional.
• A través de encuestas y cuestionarios, conocer las prácticas y posturas de los
docentes que imparten el curso.
• Determinar, revisando datos sobre el rendimiento o usando encuestas y
cuestionarios, las prácticas y posturas de los alumnos.
FASE 2
En esta fase se realiza el diseño y aplicación del Modelo Didáctico sustentado en la
resolución de problemas, las ecuaciones en diferencia y la concepción cuasi empírica
de la matemática.
FASE 3
Esta fase corresponde al análisis de datos y resultados que permitan evaluar el
Modelo Didáctico propuesto y formular unos elementos teóricos que describan y
expliquen la forma en que las actividades didácticas impactaron positivamente o no,
en cada uno de los estudiantes y con esto aportar en la construcción del aprendizaje
de la modelación a través de las ecuaciones en diferencia.

11
CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE
1.1. Investigaciones sobre la enseñanza y aprendizaje de la modelación
matemática a través de las ecuaciones en diferencia
A continuación se enuncian algunas investigaciones que tienen como eje central la
enseñanza aprendizaje de modelación matemática a través de las ecuaciones en
diferencia.
1.1.1. Journal: Advances in Difference Equations (Avances en Ecuaciones en
Diferencia)7
Objetivos y alcances
La teoría de las ecuaciones en diferencia, desde hace unos 12 años, ha tenido un
avance significativo; el aumento de la producción científica en esta área, se ha visto
reflejada en muchos artículos de investigación, varias monografías, conferencias
internacionales y numerosas sesiones especiales.
La teoría de las ecuaciones diferenciales y en diferencia explica dos formas de
representar los problemas del mundo real. Por ejemplo, un modelo de población
sencilla cuando se representa como una ecuación diferencial muestra el buen
comportamiento de las soluciones, mientras que el análogo discreto en ecuaciones
en diferencia, muestra el comportamiento caótico. El comportamiento real de la
población está en algún punto intermedio.
Este Journal: “Advances in Difference Equations”, especializado en el estudio de las
ecuaciones en diferencia, presenta muchos avances en la matemática
contemporánea, pero en general no abarca los procesos de enseñanza y aprendizaje
de las ecuaciones en diferencia.
7
http://www.advancesindifferenceequations.com

12
1.1.2. Proyecto SIMIODE8
SIMIODE es una propuesta dirigida por Brian Winkel, Profesor Emérito del
departamento de Ciencias Matemáticas de la Academia Militar de Estados Unidos,
cuya finalidad es promover el uso de la modelación con ecuaciones diferenciales y en
diferencia en el aula de clase. Entre las estrategias utilizadas para mejorar la
enseñanza y el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales y en diferencia, se
conforma una comunidad en línea para profesores y estudiantes en la cual se
comparten experiencias exitosas que utilizan la modelación, la tecnología y el
aprendizaje colaborativo.
SIMIODE ofrece a sus usuarios “escenarios de modelación”, conjuntos de datos,
videos, y presentaciones entre otros recursos que permiten y motivan el aprendizaje.
Los materiales que se divulgan en la página web son revisados por pares.
SIMIODE (Systemic Initiative for Modelling Investigations and Opportunities with
Differential Equations), significa Iniciativa Sistémica para la Investigación y
Oportunidades en la Modelación con Ecuaciones Diferenciales.
En esta página se comparten actividades diseñadas para que los estudiantes
desarrollen habilidades de modelación matemática utilizando las ecuaciones
diferenciales y la tecnología.
Winkel7
, señala que las fuentes de información para encontrar situaciones que
puedan ser modeladas son los datos de todos los sucesos que pasan cotidianamente
a nuestro alrededor y hace sugerencias a los profesores para encontrar esas
“oportunidades” de modelación:
• Mirar a nuestro alrededor
• Consultar el internet, acceder a bases de datos, grupos, blogs, y demás
información que suministra la red.
8
https://www.simiode.org/about

13
• Explorar la información derivada de revistas especializadas y actuales sobre
todo en los temas que no conozca.
• Comunicarse e intercambiar información con docentes y profesionales de
otras áreas, diferentes a las matemáticas.
• Desarrollar sus propios “escenarios” de modelación por ejemplo, la
extensibilidad de la masa de las galletas.
• Tomar riesgos, aprender por sí mismo, acompañar el proceso de modelación
de los estudiantes, y divertirse aprendiendo con ellos.
En la actualidad las nuevas tecnologías de información y comunicación permiten a
estudiantes y profesores conocer las diferentes propuestas del grupo SIMIODE para
enseñar y aprender la modelación matemática con ecuaciones diferenciales, esto
implica que se aprende colaborativamente en el aula de clase o fuera de ella.
Los docentes no solo conocen los diferentes escenarios de modelación, además
pueden recrear cada propuesta, compartir sus comentarios y la respuesta de sus
estudiantes. Esta es otra forma de desarrollar didácticas, investigar prácticas
docentes y procesos de enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones diferenciales y
en diferencia.
Un escenario de modelación que utiliza para su análisis las ecuaciones en diferencia
es la simulación de la muerte e inmigración de una población utilizando dulces M&M.
Esta propuesta es innovadora en la medida que el estudiante obtiene un conjunto de
datos a partir de manipular los dulces, esta forma de trabajo posibilita entender la
simulación, hacer analogías con el comportamiento de una población, comparar
resultados con sus compañeros, y utilizar las herramientas matemáticas para
formular el modelo que se ajuste al comportamiento de la población estudiada.
Las matemáticas aplicadas en contexto que utilizan la simulación y las herramientas
tecnológicas como software matemático con el objetivo de desarrollar habilidades
para la modelación matemática, constituyen una tendencia en los cursos de

14
ecuaciones diferenciales y en diferencia dirigidos a estudiantes de ciencias aplicadas
y de ingeniería.
1.1.3. Comprendiendo las dificultades que enfrentan los estudiantes de
pregrado de Ingeniería, para aprender modelación matemática9
.
En este artículo, el autor se plantea la siguiente pregunta: ¿Por qué es difícil para los
estudiantes de pregrado de ingeniería aprender a proponer modelos matemáticos?
Comprender las dificultades de aprendizaje que los estudiantes de pregrado de las
carreras de ingeniería afrontan a la hora de aprender a modelar matemáticamente
situaciones en contexto es necesario para atacar la raíz de un problema que se
presenta en las universidades de Singapur y en otras latitudes.
Un grupo de investigadores en educación matemática (Wanmei Soon, 2011) 10
destaca como una fuente principal de la inhabilidad de los estudiantes para modelar
matemáticamente diferentes situaciones la tendencia a enseñar matemáticas de una
forma tradicional. No se relacionan los contenidos matemáticos con sus aplicaciones
y el contexto, no se abordan problemas no rutinarios, diversos y mucho menos
retadores, se presenta la matemática como una ciencia precisa y que consiste en la
aplicación de fórmulas o algoritmos.
Los estudiantes no están entrenados para resolver problemas no rutinarios, es decir,
no se desarrollan habilidades para el análisis matemático de situaciones nuevas,
novedosas, diferentes o complejas, lo cual es indispensable para proponer o formular
modelos matemáticos.
Se indagó, por medio de una encuesta, a un grupo de estudiantes de ingeniería que
participaban del curso “Modelación matemática utilizando ecuaciones diferenciales y
9
Winkel, B. J. 2013. Browsing Your Way to Better Teaching. PRIMUS: Problems, Resources, and Issues in
Mathematics Undergraduate Studies. 23(3): 274-290.
10
Wanmei Soon , Luis Tirtasanjaya Lioe & Brett McInnes (2011) Understanding the difficulties faced by
engineering undergraduates in learning mathematical modelling, International Journal of Mathematical Education
in Science and Technology, 42:8, 1023-1039, DOI: 10.1080/0020739X.2011.573867
Tomado en línea: http://dx.doi.org/10.1080/0020739X.2011.573867

15
algebra lineal”, acerca sus expectativas del curso, la forma como abordan los
problemas nuevos a ser modelados matemáticamente, además del punto de vista de
sus profesores.
Una de las quejas más frecuentes de los estudiantes fue “no saber cómo empezar a
modelar el enunciado o problema propuesto”, hecho que se atribuye a la dificultad de
interpretar matemáticamente los hechos descritos o la información suministrada, es
decir, pasar de la palabra escrita o narración al lenguaje matemático.
Esta situación desmotiva a los estudiantes quienes consideran que se necesita
mucho tiempo para resolver exitosamente un problema de modelación matemática,
además de la sensación de frustración e incapacidad que aumenta con cada uno de
los intentos fallidos. Se evidencia que los estudiantes no están en capacidad de
relacionar fácilmente los conceptos matemáticos y sus procedimientos con el mundo
real, las situaciones cotidianas o específicas de las ciencias aplicadas.
Otra inconformidad estudiantil “no saber que se pretende”, consiste en que no logran
identificar el objetivo, o el sentido de los procedimientos para establecer modelos
matemáticos, o a dónde se quiere llegar.
Para formular un modelo matemático se siguen las siguientes fases:
Al parecer los estudiantes, objeto de este estudio solo se han entrenado en las
siguientes fases:
Escenario de la
vida real
Representación
matemática
Solución del
problema
matemático
Interpretación de
resultados en la
vida real
Representación matemática Solución del problema matemático

16
Por lo tanto es procedente plantear las siguientes cuestiones en el marco de este
estudio:
• ¿Cuáles son las dificultades específicas que enfrentan los estudiantes en la
traducción de un problema de la vida real a un problema matemático?
• ¿Las dificultades involucran la física o conceptos matemáticos, el pensamiento
lógico, o son de naturaleza lingüística?
Se reconoce que la inclusión de la modelación matemática es reciente en los cursos
de ecuaciones diferenciales, y que no se logra con éxito por varias razones, pues la
enseñanza se centra en los métodos para resolver las ecuaciones diferenciales y dar
respuestas numéricas y algebraicas, dado que el tiempo que se requiere para
manejar integradamente las aplicaciones y ejercicios de modelación matemática con
los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales es mucho mayor. Se
investiga acerca de la forma cómo abordan los estudiantes los modelos matemáticos,
el uso de la tecnología en la formulación de modelos, y la evaluación de los avances
en cada fase del proceso de modelación matemática.
Una de las recomendaciones importantes de esta investigación es formular
propuestas didácticas que garanticen la comprensión, entendimiento y traducción de
las situaciones problema o en contexto a ser modeladas.
En aras de allanar el análisis de las situaciones a ser modeladas matemáticamente,
los docentes orientan pasos a seguir por parte de los estudiantes, estas “recetas”
para resolver los problemas de modelación no son suficientes, pues cada
planteamiento para ser modelado matemáticamente tiene características específicas,
y no coinciden exactamente con cada paso. Además los estudiantes no siguen
metódicamente el paso a paso. Tienden a saltar de la lectura a los cálculos y
fórmulas, omiten el análisis de información, la clasificación de variables, y las
relaciones entre ellas.
Así como en Singapur existen dificultades de aprendizaje para la modelación
matemática, en Colombia a nivel de pregrado con estudiantes de ingeniería se

17
detectan dificultades similares, con causas comunes como son la enseñanza
tradicional de las matemáticas, el énfasis que se hace en la resolución numérica y
procedimental de las ecuaciones diferenciales, las escasas propuestas a nivel de
pregrado para desarrollar habilidades para la modelación matemática, la
comprensión y traducción de los problemas no rutinarios al lenguaje matemático
entre otros más.
El aporte de este grupo de investigadores en educación matemática, es la
identificación de las dificultades en el aprendizaje de la modelación matemática, para
señalar aquellos paradigmas de la enseñanza tradicional que deben ser revaluados y
repensados a la hora de formular cursos de modelación con ecuaciones diferenciales
y en diferencia dirigidos a estudiantes de ingeniería y otras ciencias aplicadas.
1.1.5. La Matemática en el contexto de las ciencias11
y las matemáticas en la
formación de un ingeniero12
Las exigencias de un mundo globalizado y un constante avance tecnológico llevan a
las instituciones de educación superior a replantearse los perfiles de sus egresados,
los programas académicos y curriculares y por lo tanto las practicas docentes. Una
opción a tener en cuenta para la formación de ingenieros es utilizar propuestas
metodológicas de enseñanza que desarrollen la creatividad, innovación y el
razonamiento orientado a la solución de problemas.
En el caso de las matemáticas dirigidas a estudiantes de ingeniería, la propuesta de
“La matemática en el contexto de las ciencias” (MCC), teoría que data desde 1982 en
el Instituto Politécnico Nacional de México como producto de las reflexiones acerca
11
Mejía Nubia (2012). Acciones didácticas para mejorar el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales en
carreras de Ingeniería. Bogotá.
12
Trejo Trejo, E.; Camarena Gallardo, P; Trejo Trejo, N. (2013). Las matemáticas en la formación de un ingeniero:
una propuesta metodológica. Revista de Docencia Universitaria. REDU. Vol. 11, Número especial dedicado a
Engineering Education, pp. 397-424. Recuperado el 25 de abril de 2015 en http://red-u.net

18
de la problemática estudiantil asociada a los procesos de enseñanza aprendizaje de
las matemáticas en todos los niveles educativos13
.
Esta propuesta pretende superar la dificultad que presentan los estudiantes para
interpretar el mundo real, pues no reconocen los conceptos matemáticos como una
herramienta para plantear o analizar modelos, y la gran cantidad de información
proveniente de otras asignaturas no es relacionada con el conocimiento matemático.
Según la autora (Camarena, 2009), la matemática en el contexto de las ciencias se
fundamenta en los siguientes paradigmas:
• “La matemática es una herramienta de apoyo y disciplina formativa.
• La matemática tiene una función específica en el nivel universitario.
• Los conocimientos nacen integrados”14
.
Además, señala que el proceso de enseñanza aprendizaje es “un sistema en donde
intervienen las características cognitivas, psicológicas y afectivas de los estudiantes;
los conocimientos y concepciones de los profesores; la epistemología del contenido a
aprender y a enseñar; el tipo de currículo y la didáctica a emplearse”13
. Otros factores
que influyen son los ambientes: social, cultural, económico y político.
13
Camarena, P. (2009). La matemática en el contexto de las ciencias. Instituto Politécnico Nacional México.
[Versión electrónica] Innovación Educativa, Vol. 9, núm. 46, enero-marzo, pp. 15-25. Recuperado el 8 de mayo de
2012 en el URL: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/1794/179414894003.pdf
14
Camarena, P. La matemática en el contexto de las ciencias. Instituto Politécnico Nacional México. [Versión
electrónica] Innovación Educativa, Vol. 9, núm. 46, enero-marzo, 2009, p. 16. Recuperado el 8 de mayo
de 2012 en el URL:
http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/1794/179414894003.pdf
13
Ibidem.

19
Figura 3: Fases de la Matemática en Contexto de las Ciencias15
A partir de la “terna dorada” que se representa en la Figura 3 se derivan cinco fases
que fundamentan la “Teoría de la Matemática en el Contexto de las Ciencias”:
a. Curricular. En esta fase se propone una estrategia de investigación en tres
etapas, una central que consiste en analizar los contenidos matemáticos de las
asignaturas de ingeniería; una etapa precedente en la cual se establece el nivel de
competencias matemáticas que tienen los estudiantes al ingresar a la carrera; y otra
consecuente en la cual se definen las competencias matemáticas que se requieren
para el desempeño profesional.
b. Formación Docente. En esta fase se diseñó una especialización en docencia
de la matemática para el programa de Ingeniería Electrónica con la característica de
relacionar el saber matemático con las diferentes asignaturas de la ingeniería
electrónica y afines.
15
Trejo Trejo, E.; Camarena Gallardo, P; Trejo Trejo, N. (2013). Las matemáticas en la formación de un ingeniero:
una propuesta metodológica. Revista de Docencia Universitaria. REDU. Vol. 11, Número especial dedicado a
Engineering Education, pp. 397-424. Recuperado el 25 de abril de 2015 en http://red-u.net

20
Matemáticas en el contexto de la Ingeniería Electrónica
Asignaturas de Matemáticas Asignaturas de Ingeniería Electrónica
Introducción al análisis matemático de
una variable real
Electrónica básica
Cálculo vectorial Electromagnetismo
Algebra lineal Control electrónico
Ecuaciones diferenciales ordinarias Circuitos eléctricos
Análisis de Fourier Análisis de señales electromagnéticas
Probabilidad Análisis de señales aleatorias
Procesos estocásticos Telefonía
Tabla 1: Vinculación de Asignaturas de Matemáticas con las Asignaturas de Ingeniería
Electrónica16
.
Además se establecen los contenidos para el programa de formación docente en
matemáticas a nivel universitario.
c. Epistemológica. Consiste en reconocer la génesis del conocimiento
matemático ligado a otras áreas del saber, se despliega una lista de “situaciones
contextualizadas” documentadas, que al ser incluidas en las clases de matemáticas
permiten identificar las dificultades en el proceso de enseñanza aprendizaje y
posteriormente diseñar actividades que permitan su mejor comprensión en el aula.
En esta etapa se desarrolla “la transposición contextualizada” que se representa
según Camarena, 2001 en la siguiente figura:
16
[Versión electrónica] Innovación Educativa, Vol. 9, núm. 46, enero-marzo, 2009, pp. 15-25. Recuperado el 8 de
mayo de 2012 en el URL:
http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/1794/179414894003.pdf

21
Conocimiento
erudito
Transposición
Conocimiento
a ser
enseñado
Transposición Conocimiento
a ser aplicado
Transposición Didáctica Transposición Contextualizada
Tabla 2: Transposiciones17
d. Didáctica. En esta fase se presentan diferentes herramientas que permiten
mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje tales como el diseño de la estrategia
didáctica, cursos extracurriculares para el desarrollo de habilidades cognitivas, taller
integral e interdisciplinario dirigido a estudiantes de últimos semestres para que
analicen eventos reales en diferentes campos.
Según Camarena (2007) “Una de las etapas centrales de la estrategia didáctica es la
elaboración del modelo matemático”, lo cual conlleva a establecer definiciones del
modelo matemático ajustado a la carrera de ingeniería. “… modelo matemático es
aquella relación matemática que describe objetos o problemas de ingeniería”18
; la
modelación matemática se entiende como el proceso cognitivo que permite construir
el modelo matemático.
e. Cognitiva. Esta fase se fundamenta en la teoría de aprendizaje significativo
de Ausubel, Novak y Hanesian (1990). Se pretende que el estudiante se apropie del
conocimiento matemático de tal forma que pueda aplicarlo en contexto, y por lo tanto
pueda perdurar en el tiempo.
Estrategia Metodológica para la enseñanza de las matemáticas en las carreras
de Ingeniería
17
[Versión electrónica] Innovación Educativa, Vol. 9, núm. 46, enero-marzo, (p. 15-25) Recuperado el 8 de
mayo de 2012 en el URL: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/1794/179414894003.pdf
18
[Versión electrónica] Innovación Educativa, Vol. 9, núm. 46, enero-marzo, (p. 15-25) Recuperado el 8 de
mayo de 2012 en el URL: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/1794/179414894003.pdf

22
Esta estrategia está justificada en la medida que los requerimientos para el buen
desempeño profesional de un ingeniero son:
Conocimiento y manejo de las disciplinas básicas como la física, química,
matemáticas, biología, entre otras y de las nuevas tecnologías para el procesamiento
de información o de instrumentación para realizar mediciones
Capacidad para analizar información, procesarla y desarrollar modelos que simulen el
comportamiento del mundo físico.
Formación ética que desarrolle valores como el respeto a la vida, sociedad, medio
ambiente, responsabilidad, criterios racionales, humanistas y técnico científicos para
la toma de decisiones, entre otros.
La propuesta de la Matemática en Contexto se desarrolla en las siguientes etapas en
el marco de la fase didáctica:

23
Figura 4: Etapas de la fase didáctica de la Matemática en Contexto. Adaptado de Trejo
(2013)
Conforme a lo señalado en propuesta de la Matemática en Contexto, las autoras
utilizan el tema de la velocidad de las reacciones químicas para contextualizar las
ecuaciones diferenciales de primer orden, justifican el evento contextualizado, indican
los pasos para el diseño y aplicación de la actividad didáctica y por último relacionan
las competencias matemáticas a evaluar según los parámetros de la actividad.
1. Determinación de
los problemas
matemáticos
contextualizados
2. Planteamiento del
evento
contextualizado
3. Determinación de
variables y constantes
4. Inclusión de temas
matemáticos de la
disciplina en contexto
5. Establecimiento del
modelo matemático
6. Solución matemática
del problema
7. Determinación de la
solución requerida por
el problema en el
ámbito de las
disciplinas del contexto
8. Interpretación de la
solución en términos
del problema y las
áreas de las disciplinas
en contexto
9.Descontextualización
de los conceptos y
temas a tratarse en la
asignatura

24
1.1.6. Modelación matemática como método de investigación en clases de
matemáticas19
Según los autores, el modelaje matemático es todo un proceso inmerso en el
hallazgo de un modelo. El modelo matemático de un fenómeno reúne una serie de
símbolos y formulaciones matemáticas que realizan la traducción del fenómeno en
estudio. Dicho modelo no sólo permite hallar una solución particular del problema,
sino que también sirve de apoyo para otro tipo de teorías o aplicaciones
matemáticas.
Existen muchas definiciones de modelo, según cada área del conocimiento. En este
caso, la definición de interés es la de modelación matemática.
“El proceso de modelización envuelve una serie de procedimientos, a saber:
• Elección del tema;
• Reconocimiento de la situación/problema: delimitación del problema;
• Familiarización con el tema a ser modelado: referencial teórico;
• Formulación del problema: hipótesis;
• Formulación de un modelo matemático: desarrollo;
• Resolución del problema a partir del modelo: aplicación;
• Interpretación de la solución y validación del modelo: evaluación.”20
19
Hein, N., y Biembengut, M. S. (2006). Modelaje Matemático como Método de Investigación en
Clases de Matemáticas. [Versión Electrónica]. V Festival Internacional de Matemáticas, 1-25.
Recuperado el 10 de mayo de 2012 en el URL: http://www.cientec.or.cr/matematica/pdf/P-
2Hein.pdf
20
Hein, N., y Biembengut, M. S. (2006). Modelaje Matemático como Método de Investigación en
Clases de Matemáticas. [Versión Electrónica]. V Festival Internacional de Matemáticas, 1-25.
Recuperado el 10 de mayo de 2012 en el URL: http://www.cientec.or.cr/matematica/pdf/P-2Hein.pdf 20

25
En los últimos años, la modelación matemática ha hecho parte de la investigación
científica en muchos países y preguntas sobre el por qué y para qué enseñar
matemáticas han ayudado en el crecimiento del área de la educación matemática.
La modelación matemática es una manera actual de enseñar matemáticas y con su
“…aplicación busca para el alumno:
• La integración de la matemática con otras áreas del conocimiento;
• Interés por la matemática frente a su aplicabilidad;
• Mejoría de la aprehensión de los conceptos matemáticos;
• Estímulo a la creatividad en la formulación y resolución de problemas;
• Habilidad en el uso de máquinas (calculadora gráfica y computadoras);
• Capacidad para actuar en grupo;
• Orientación para la realización de la investigación;
• Capacidad para la redacción de esa investigación”20
El artículo termina con la presentación de una aplicación de un problema real al tema
de la crianza de pollos, el peso que adquieren durante su vida y las raciones de
comida que consumen en función de los días de vida, en la cual se hace todo el
proceso de modelación matemática (delimitación del problema, referencial teórico,
hipótesis, desarrollo, resolución del problema, interpretación de la solución y
validación del modelo).
Hein, N., y Biembengut, M. S. (2006). Modelaje Matemático como Método de Investigación en Clases de
Matemáticas. [Versión Electrónica]. V Festival Internacional de Matemáticas, 1-25. Recuperado el 10 de
mayo de 2012 en el URL: http://www.cientec.or.cr/matematica/pdf/P-2-Hein.pdf

26
1.1.7. Modelación en educación matemática: Una mirada desde los lineamientos
y estándares curriculares colombianos21
Este documento es un avance de investigación en el marco del proyecto “El proceso
de modelación matemática en las aulas escolares del suroeste antioqueño”22
, en él
se desarrollan los referentes teóricos sobre la modelación como recurso didáctico en
las clases de matemáticas.
El Ministerio de Educación Nacional (MEN) en el documento Lineamientos
Curriculares (1998) expone la importancia de que los estudiantes relacionen los
contenidos de aprendizaje con sus experiencias cotidianas; además se afirma que
uno de los propósitos de la enseñanza de las matemáticas es el desarrollo del
pensamiento matemático.
Las estrategias que se sugieren son “la resolución de problemas” y “la modelación
matemática”, sustentadas en desarrollar en los estudiantes la habilidad de
comunicarse matemáticamente, propiciar la investigación que acompaña al
razonamiento matemático, comprender conceptos y procesos matemáticos, e
investigar diferentes alternativas a situaciones problémicas.
La modelación se describe como un proceso que permite a los estudiantes construir
conceptos matemáticos de una forma significativa ya que a partir de una situación
problémica se puede observar, analizar, explicar, inferir, validar el modelo mismo y
los conceptos y procesos matemáticos que encierra. En el 2006 el MEN define el
modelo matemático “como un sistema figurativo mental, gráfico o tridimensional que
reproduce o representa la realidad en forma esquemática para hacerla más
comprensible. Es una construcción o artefacto material o mental, un sistema – a
veces se dice también ‘una estructura’… que puede usarse como referencia para lo
21
Villa, J.A. y Ruíz, H.M. (2009). Modelación en educación matemática: una mirada desde los lineamientos y
estándares curriculares colombianos. “Revista Virtual Universidad del Norte”. No 27 (mayo – agosto de 2009,
Colombia). Recuperado el 12 de mayo de 2012 en el URL: http://revistavirtual.ucn.edu.co/ 22
Ibidem

27
que se trata de comprender; una imagen analógica que permite volver cercana y
concreta una idea o un concepto para su apropiación y manejo…”22
.
Los autores señalan que, para el MEN, no existe una delimitación definida entre
resolución de problemas y modelamiento matemático como estrategias para la
enseñanza aprendizaje de las matemáticas. A continuación se resume las
características de cada una y su comparación según el MEN, además se aprecia
gran deficiencia que ese organismo tiene en la caracterización de la resolución de
problemas.
Tabla 3: Elementos que caracterizan los procesos de modelación, planteamiento y resolución
de problemas24
Criterios MODELACION MATEMÁTICA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
CONTEXTOS Situaciones reales, relacionadas
con el entorno del estudiante.
Pueden ser situaciones reales o
artificiales.
PROPÓSITOS El estudiante pueda indagar,
explorar, documentar, recoger
datos, experimentar, analizar,
simplificar, abstraer, proponer.
La posibilidad de experimentar,
proponer, establecer datos es más
limitada porque las situaciones son
más simplificadas.
PROCESO Se caracteriza por ser cíclico,
recursivo, compuesto por diferentes
fases, que va desde la
interpretación de la situación hasta
la validación o evaluación del
modelo.
También es un proceso cíclico, se
supone el problema resuelto y
pretende identificar en la situación
lo más relevante para formarse un
modelo mental por parte del
estudiante. La validación es
generalmente interna.
22
Ministerio de Educación Nacional (2006).Estándares básicos de competencias. Bogotá:
Magisterio(p 52)
24
Villa, J.A. y Ruíz, H.M. (2009). Modelación en educación matemática: una mirada desde los
lineamientos y estándares curriculares colombianos. Revista Virtual Universidad del Norte. No
27 (mayo – agosto de 2009, Colombia), Recuperado el 12 de mayo de 2012 en el URL:
http://revistavirtual.ucn.edu.co/

28
Figura 5: Convergencia de la modelación y la resolución de problemas23
La modelación matemática construye modelos a partir de situaciones “reales”; esto
ha generado discusión en cuanto al concepto mismo de “realidad” ya que para la
aplicación de algunos conceptos matemáticos la realidad se convierte en una
situación creada artificialmente. Esto puede entenderse como una estrategia más
cercana a la resolución de problemas y por lo tanto en los planteamientos realizados
por el MEN no se distingue claramente la orientación hacia estas dos estrategias
didácticas, incluso los autores señalan para muchos profesores “representar
matemáticamente un problema suele ser equivalente a modelar”24
.
23
lineamientos y estándares curriculares colombianos. Revista Virtual Universidad del Norte. No 27
(mayo – agosto de 2009, Colombia), Recuperado el 12 de mayo de 2012 en el URL:
http://revistavirtual.ucn.edu.co/.
24
lineamientos y estándares curriculares colombianos. Revista Virtual Universidad del Norte. No 27
(mayo – agosto de 2009, Colombia), Recuperado el 12 de mayo de 2012 en el URL:
http://revistavirtual.ucn.edu.co/.

30
CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO
En este capítulo se plantean los referentes teóricos, epistemológicos y conceptuales,
en los cuales se soporta el trabajo a realizarse en la tesis.
2.1 Modelo Didáctico
2.1.1. Definición y consideraciones generales25
En los últimos años, en Colombia se despliega una dinámica de cuestionamiento
acerca de la Educación Superior con el fin de lograr una política educativa que
garantice el acceso sin restricciones ni discriminaciones a toda la población, una
educación superior de calidad y que sea generadora de conocimiento, tecnología e
innovación.
Con el fin de lograr este anhelo nacional las Instituciones de Educación Superior se
deben someter a diferentes procesos evaluativos ya sea de los entes que vigilan el
sistema o de su propia autoevaluación en cuanto al cumplimiento de metas de
eficiencia y calidad.
El cuestionamiento de la efectividad de los procesos de enseñanza y aprendizaje
lleva a incentivar la generación de propuestas que superen dificultades ya
identificadas en ciertas áreas del conocimiento. En las asignaturas de matemáticas se
observa los mayores índices de pérdida y deserción académica por parte de los
estudiantes.
En este contexto del Sistema Educativo Colombiano se delimita la propuesta de
DISEÑAR Y VALIDAR UN MODELO DIDÁCTICO PARA EL APRENDIZAJE DE LA
MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIA.
25
Ministerio de Educación Nacional de la República de Colombia. (29 de julio de 2014).
MINEDUCACIÓN. Recuperado el 3 de diciembre de 2014, de MINEDUCACIÓN:
http://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-340678_recurso_1.pdf

31
Definición de Modelo Didáctico
Un modelo didáctico es una representación del proceso enseñanza aprendizaje en un
contexto científico y socio-cultural determinado y basado en opciones
epistemológicas y éticas específicas.
A partir de visualizar la complejidad de elementos que se deben tener en cuenta al
momento de proponer y diseñar un modelo que permita desarrollar en los estudiantes
las competencias pertinentes para abordar la modelación matemática usando
ecuaciones en diferencia, se describen el contexto científico bajo el cual se aborda la
temática de ecuaciones en diferencia y modelos matemáticos, la situación social y
cultural de la población estudiantil de las carreras de ingeniería en Colombia; los
referentes epistemológicos de la educación matemática que subyace a la propuesta
así como el compromiso por una educación superior de calidad.
A continuación se representa en un esquema los elementos que conforman un
modelo didáctico:
APRENDIZAJE
DE LA
MODELACIÓN
MATEMÁTICA
CON
ECUACIONES
EN
DIFERENCIA
CÓMO
ENSEÑAR
SISTEMAS DE
SEGUIMIENTO Y
EVALUACION
QUE
ENSEÑAR
PORQUE Y PARA
QUE ENSEÑAR
IDEAS DE LOS
ESTUDIANTES
CONTEXTO SOCIO
CULTURAL Y
POLITICO
CONTEXTO
TECNOLÓGICO Y
CIENTÍFICO
FUNDAMENTOS
EPISTEMOLOGICOS
FUNDAMENTOS
ETICOS
IDEAS DE LOS
PROFESORES

32
Figura 6: Elementos que conforman un Modelo Didáctico
2.1.2. Fundamentación
2.1.2.1. Contexto Científico
 Modelación Matemática
Según Biembengut 26
, un modelo matemático es el conjunto de símbolos,
relaciones matemáticas que se utilizan para representar una situación real.
En el mundo tan cambiante en el que vivimos, globalizado y competitivo, donde
no importa el conocimiento como tal sino cómo se puede aplicar y socializar para
sacarle el mejor provecho, la modelación matemática definida como el proceso
que se involucra directamente en el hallazgo del modelo matemático, viene siendo
muy defendida como método de enseñanza, aunque hay algunos docentes que
aún consideran que corresponde al área de las ciencias aplicadas y de las
asignaturas específicas de cada Ingeniería.
Es notable que para abordar acertadamente la modelación matemática se
requiere el aporte de diferentes disciplinas además de las matemáticas, pues el
contexto y características de cada situación a modelar deben estar plenamente
identificados y establecidos. Otro elemento importante a tener en cuenta en los
procesos de modelación es la utilización de recursos tecnológicos ya sea para
procesar datos o para recolectarlos.
De las diferentes asignaturas que brindan las herramientas para realizar procesos
de modelación matemática es de destacar las ecuaciones diferenciales y en
diferencia, pues permiten la conjugación y comparación de diferentes métodos de
análisis y una mejor comprensión de diversos fenómenos discretos y dinámicos.
26
Biembengut, M. y Hein, N. (s.f.). Modelo, Modelación y Modelaje: Métodos de la enseñanza-
aprendizaje de las matemáticas. Departamento de Matemática CCEN, Universidad Regional de
Blumean. Brasil. Recuperado el 03 de Diciembre de 2014 en
http://matesup.utalca.cl/modelos/articulos/modelación_mate2.pdf

33
 Modelos Discretos y Continuos27
Un modelo es la representación de un proceso, es decir, un cambio en los estados
de un sistema a través del tiempo, esta descripción puede ser discreta o continua.
En el caso discreto, se observa un sistema que cambia a intervalos de tiempo
regulares finitos, es decir, a cada segundo, minuto, hora, etc., y se relaciona el
estado observado del sistema con los estados en los instantes anteriores. Tal
sistema puede modelarse en algunas ocasiones con ecuaciones en diferencia.
En los casos continuos, se trata el tiempo como un continuo, lo que permite
observaciones del sistema en cualquier instante. De tal forma que el modelo puede
expresar las relaciones entre las tasas de variación de diversas cantidades, en lugar
de entre los estados varias veces. Estos tipos de modelos se representan por las
ecuaciones diferenciales.
El abordar los sistemas discretos desde las ecuaciones en diferencia permite, en
algunas situaciones, obtener modelos más ajustados a la realidad. Con las
ecuaciones en diferencia finitas se obtienen estimaciones de las soluciones de
ecuaciones diferenciales, lo que se denomina “métodos de diferencias finitas”.
Ecuaciones en diferencia28
Las ecuaciones en diferencia describen la evolución de ciertos fenómenos a través
del tiempo. Por ejemplo, al establecer el tamaño de una generación de una población
en el tiempo, este valor es una variable discreta, el tamaño de la generación  1nx
es una función de la generación  nx . Esta relación se expresa como una ecuación
en diferencias así:
27
Banasiak J.(2013). An Introduction via Difference and Differential Equations. University of KwaZulu-
Natal, South Africa Technical University of Lodz. Cambridge University Press.
28
Elaydi, S. (2005). An Introduction to Difference Equations (Third Edition). Department of
Mathematics Trinity University San Antonio, Texas. Editorial Board. Springer Science Business Media,
Inc.

34
    nxfnx 1  1
Puede verse esto usando otra notación, si se comienza desde el punto x0, se genera
la secuencia:
        ,....,,, 0000 xfffxffxfx
Por conveniencia, se adoptará la notación:
           .,; 00
3
00
2
etcxfffxfxffxf 
 0xf , es la primera iteración de x0 sobre f;  0
2
xf es la segunda iteración de x0
sobre f, más generalmente,  0xf n
es la n-ésima iteración de x0 sobre f. El conjunto
de todas las iteraciones positivas   0:0 nxf n
, donde   00
0
xxf  , es denominada
por definición orbita de x0 y se denotará por  0xO . Este proceso iterativo es un
ejemplo de un sistema dinámico discreto. Dejando    0xfnx n
 , se tiene:
         nxfxffxfnx nn
 
00
1
1 ,
Las ecuaciones en diferencia y los sistemas dinámicos discretos representan las dos
caras de la misma moneda. Por ejemplo, cuando los matemáticos hablan de
ecuaciones en diferencia, se refieren por lo general a la teoría analítica de la materia
y cuando hablan acerca de los sistemas dinámicos discretos, por lo general se
refieren a su geometría y aspectos topológicos.
2.1.2.2. Contexto Socio-Cultural
 Exigencias actuales de la formación matemática del profesional y en
particular en las carreras de ingeniería
En Colombia, al igual que en otros países se percibe que el número de ingenieros no
es suficiente. Los retos que impone un mundo globalizado en cuanto al desarrollo

35
tecnológico y científico, las innovaciones y cambios sociales que traen los nuevos
acuerdos comerciales entre los países, exigen contar con profesionales debidamente
preparados y competitivos.
Los ingenieros son los profesionales que se encargan de analizar los sistemas,
organizaciones, situaciones y proponen mejoras, soluciones o innovaciones para el
crecimiento del sector productivo y la eficiencia de las empresas.
Esto implica la comprensión del entorno, la visión holística y sistemática de cada
situación para relacionarla acertadamente con la tecnología.
En este panorama es necesario que las facultades de ingeniería a nivel de pregrado,
desarrollen en los estudiantes habilidades para practicar la ingeniería de síntesis es
decir enfocarse en proyectos de diseño; así como desempeñarse con habilidades
comunicativas y tecnológicas apropiadas al área de competencia y al mercado laboral
altamente competitivo.
Según el Instituto Tecnológico de Massachusetts (IMT), “La ingeniería es una
profesión creativa, cuya razón de ser es el desarrollo y aplicación del conocimiento
científico y tecnológico para satisfacer las necesidades de la sociedad, dentro de los
condicionantes físicos, económicos, humanos y culturales”
 Perfil del estudiante 29
El perfil del estudiante se refiere a su formación previa, sus expectativas, deficiencias,
potencialidades, y otras características académicas y sociodemográficas que se
deben tener en cuenta al momento de formular una propuesta didáctica.
Pese a la importancia que reviste para el desarrollo de un país contar con
profesionales ingenieros, socialmente no hay reconocimiento ni valoración de las
carreras ingenieriles.
29
(Por: fin/JCR/CAPG/nics/fgd).(14 de Mayo de 2013). Agencia de noticias UN. Recuperado el 05 de
Diciembre de 2014, de Agencia de Noticias
UN:http://www.agenciadenoticias.unal.edu.co/ndetalle/article/la-formacion-de-ingenieros-retrocede-en-
colombia.html

36
En un estudio reciente se analiza que si bien en Colombia hay una gran oferta de
carreras de pregrado en ingeniería, superior a países como Venezuela y Ecuador, no
hay una acogida por parte de los jóvenes al momento de decidir su futuro profesional,
es alto el nivel de deserción y la insatisfacción de los estudiantes cuando ingresan a
las facultades de Ingeniería.
Una de las causas de deserción e insatisfacción se relaciona con los programas
académicos y la forma como se abordan contenidos en el aula, en especial con las
asignaturas del área de ciencias básicas como lo son las matemáticas.
En el sistema educativo Colombiano, hay una fuerte tendencia a las practicas
docentes tradicionales, que poco a poco han incorporado recursos de información y
comunicación tecnológica, pero que aún mantienen esquemas de enseñanza
tradicionales, sin propiciar una participación activa de los estudiantes.
2.1.2.3. Fundamentos Epistemológicos
“Asumir (a nivel personal y/o institucional) un modo de entender el pensamiento
matemático determina la práctica didáctica” 30
. A partir de esta afirmación se
desarrollan los siguientes lineamientos que se tendrán en cuenta para la
construcción de la propuesta didáctica: “MODELO DIDÁCTICO PARA EL
APRENDIZAJE DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS
ECUACIONES EN DIFERENCIA”
 Concepción de la Matemática
La concepción de la matemática como ciencia, se ve reflejada en las estrategias
didácticas que se desarrollan en el aula. Este postulado obliga al investigador en
educación matemática a indicar los referentes de la filosofía de las matemáticas que
acompañan el modelo didáctico a desarrollar.
30
Chacón G. (2014). Una esquema para una investigación en Educación Matemática

37
El planteamiento de uno de los matemáticos de nuestra época, Reuben Hersh, es
cuestionar la esencia de las matemáticas proponiendo una “filosofía humanista” que
se contrapone a los principios del realismo y el nominalismo; bajo esta concepción,
las matemáticas se derivan de los contextos históricos y socioculturales; pues son un
producto del pensamiento humano, la relación que tiene con su entorno ambiental y
social.
Esta visión permite sustentar propuestas de enseñanza aprendizaje de las
matemáticas aplicadas, matemáticas en contexto, la resolución de problemas y la
modelación matemática. Además de concebir a las matemáticas como una
herramienta útil para las otras ciencias naturales o aplicadas.
Si la matemática es una construcción social en la cual las conjeturas, pruebas y
refutaciones pueden ser valoradas de acuerdo a la realidad social y cultural que le
subyace, entonces “saber matemáticas” consiste en “hacer matemáticas”.
Según Schoenfeld (1992) las matemáticas nos proporcionan modelos; es una ciencia
que nos permite formular patrones o identificar tendencias y lograr prototipos que
representen diversas situaciones o planteamientos asociados con contextos sociales,
ambientales, tecnológicos entre otros.
Hoy en día se desarrolla el conocimiento matemático a partir del planteamiento de las
situaciones problémicas de diferentes ciencias aplicadas y se utilizan programas de
cómputo para la recolección y el procesamiento de datos y de esta manera se
traduce la realidad al contexto y lenguaje matemático. No se puede concebir el saber
matemático aislado de los avances tecnológicos y los conocimientos de la física, la
química, la biología, la economía y demás ciencias en las que se utiliza la matemática
para su avance.
Es decir el conocimiento matemático es una herramienta para la construcción de los
diferentes campos del saber y es así como se construye el mismo.
En la medida en que las matemáticas se visualicen de forma aplicada, sencilla,
relacionada con lo cotidiano y los avances de otras ciencias se pueden desarrollar,
procesos de enseñanza y aprendizaje orientada a formulación de modelos
matemáticos en forma eficiente.

38
Conexión de la Epistemología y la filosofía de la ciencia31
Se considera de fundamental importancia para el diseño del marco teórico el análisis
que hace Hersh en el cual la filosofía de las matemáticas se debe articular con la
epistemología y la filosofía de la ciencia. En la historia del conocimiento cada avance
de las matemáticas se encontró en un contexto determinado, conocer la forma como
se relaciona con otras ciencias facilita comprender su desarrollo y construcción.
La filosofía de las matemáticas debe ser evaluada confrontando cinco clases de
práctica matemática:
a) Investigación
b) Aplicación
c) Enseñanza
d) Historia
e) Programación
Los avances en las matemáticas para la ciencia y la tecnología a menudo son
inseparables de los avances en matemática pura. Por ejemplo, Newton en la
gravitación universal y el cálculo infinitesimal; Gauss en Electromagnetismo,
Astronomía y Geodesia (esta última inspiró la asignatura pura más bella “la
Geometría Diferencial”); Poincaré en Mecánica Celeste; y Von Neumann en Mecánica
Cuántica, Dinámica de Fluidos, Diseño de Computadores, Análisis Numérico y
explosiones nucleares.
Los grandes matemáticos hicieron ambas cosas: matemática pura y aplicada, esto
se evidencia en el trabajo de Gauss y Poincaré y el más cercano a nuestro tiempo es
Norbert Wiener, generalmente conocido por cibernética, pero durante su vida trabajó
en análisis matemático, su estudio de procesos estocásticos infinitos dimensionales
fue guiado por su interpretación física del movimiento Browniano, iluminado por
experimentos del físico francés Jean Perrin (ver Wiener 1948).
31
Hersh R. (1997). What is mathematics Really? Oxford University Press, Inc.

39
Las matemáticas se aprenden calculando, solucionando ejercicios, problemas y
comunicándose con otras personas, y a partir de este argumento se desarrollan las
estrategias didácticas para el aprendizaje de la modelación matemática.
Es importante reconocer la trayectoria histórica de los conceptos matemáticos, la
forma como se han conformado los diferentes axiomas y las técnicas y
procedimientos que rigen el abordaje de las ecuaciones diferenciales y en diferencia
Una cuestión filosófica en la cual la historia es relevante es la reducción de toda la
matemática a la teoría de conjuntos. Sobre la base de esta reducción, los filósofos de
las matemáticas generalmente limitan su atención para fijar teoría, lógica y aritmética.
Lo que hace esta suposición que todas las matemáticas son fundamentalmente una
teoría de conjuntos hecha por Euclides, Arquímedes, Leibniz, Newton y Euler; nadie
se atreve a decir que ellos estaban pensando en términos de conjuntos cientos de
años atrás antes que el establecimiento de la reducción teórica se inventara.
¿Por qué las matemáticas en Italia tuvieron un lapso después de Galileo, si estaban a
la cabeza por delante de Inglaterra, Francia y Alemania? ¿Por qué fue la geometría
no euclidiana no concebida hasta el siglo XIX, y después independientemente
descubierta tres veces? El filósofo de las matemáticas quien es históricamente
consciente, puede ofrecer dichas preguntas al historiador; pero si su filosofía no deja
ver estas estas preguntas, entonces en vez de estimular la historia de las
matemáticas, él las embrutece.
La informática es la mejor parte de la matemática práctica, el uso de computadores
en la comprobación matemática es controversial.
Una adecuada filosofía de matemáticas debe arrojar alguna luz para esta
controversia. Los filósofos logicistas y formalistas, cada uno en su propia vía,
expresan las matemáticas esencialmente como un cálculo, para lo logicistas, los
teoremas matemáticos son verdaderas tautologías, como identidades lógicas. Para
los formalistas, los términos indefinidos de las matemáticas son sin sentido, entonces,
los teoremas matemáticos no tienen sentido. Ambos afirman que la esencia de las
matemáticas es la demostración en el sentido de la lógica formal. La demostración
como un cálculo formal en un lenguaje formal conforme las reglas formales. Cuando

40
esas concepciones fueron desarrolladas en los inicios del siglo XX, la posibilidad de
realizarlas era una fantasía. El intento más famoso para formalizar enunciados y las
demostraciones de los teoremas matemáticos fue “The Principia Mathematica” de
Bertrand Russell y Alfred Whitehead.
En las Matemáticas aplicadas se han usado computadores como una herramienta del
curso, hoy los computadores son utilizados cada vez más y más en investigación de
matemática pura, un número de teóricos y algebraicos los usan para evaluar y
construir sus conjeturas, con un computador se pueden realizar cálculos que no se
logran con facilidad manualmente.
2.1.2.4. Fundamentos Éticos
 Dilema Inclusión – Calidad
Ante las exigencias y necesidades no satisfechas en materia educativa de una
sociedad cambiante, los entes gubernamentales, las instituciones de educación
superior y las asociaciones de ingenieros se han propuesto como meta la calidad
de la formación para los futuros egresados.
En el contexto educativo en el cual se interrelacionan la infraestructura
universitaria, las aptitudes y habilidades de los estudiantes de pregrado y la
formación de los docentes y directivos el compromiso por brindar una formación
de calidad debe hacerse realidad.
Para realizar las mejoras o cambios e innovaciones que se requiere en el caso
particular de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas es imperante
avanzar en las investigaciones o intervenciones educativas para compartir
aquellas experiencias exitosas.
La propuesta de un MODELO DIDÁCTICO PARA EL APRENDIZAJE DE LA
MODELACIÓN MATEMÁTICA A TRAVÉS DE LAS ECUACIONES EN
DIFERENCIA, cumple con allanar la búsqueda de la calidad en la formación de los
futuros ingenieros, así como la coherencia entre lo que se aprende en el salón de
clases y el quehacer del ingeniero.

41
2.1.3. Elementos del Modelo Didáctico
2.1.3.1. El proceso de enseñanza aprendizaje como Sistema Complejo
2.1.3.2. La Resolución de Problemas como opción metodológica que enmarca la
relación Docente- Alumno- Conocimiento Matemático
Cómo plantear y resolver problemas
“Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo
problema, hay un cierto descubrimiento”32
Pölya (1965) señala que en la solución de un problema, se requiere mínimamente
seguir los pasos de la figura 4.
Figura 7: Pasos para la resolución de un problema33
El cumplimiento de las etapas planteadas es un camino en la búsqueda de resultados
satisfactorios. Cada enunciado de las actividades didácticas diseñadas como parte
de la estrategia para mejorar el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales pueden
32
Polya, G. (1965): Como plantear y resolver problemas. (Décimo Quinta Reimpresión). Editorial
Trillas, México D.C, p 7-12
33

42
abordarse bajo la propuesta de resolución de problemas. A continuación se presenta
un esquema de resolución de un enunciado de ecuaciones diferenciales:
Figura 8: Preguntas planteadas para resolver problemas34
El cumplimiento de cada fase se puede promover y valorar a medida que el
estudiante responda las diferentes cuestiones planteadas. A partir de las respuestas
de los estudiantes se establecen evidencias del avance hacia la resolución del
problema y se va completando la actividad.
Las actividades se ordenan según el grado de complejidad y de requisitos previos
para su solución. Pölya (1965), define heurística como el “método que conduce a la
solución de problemas, en particular las operaciones mentales típicamente útiles en
este proceso”35
.
36
Font (2003), expone algunos puntos de vista sobre la relación entre las
matemáticas y las cosas y se comentan algunas implicaciones sobre los modos de
34
Creación del autor.
35
36
Font Vicent (2003). Matemáticas y Cosas. Una mirada desde la Educación Matemática. Boletín de la
Asociación Matemática Venezolana, Vol. X, No. 2

43
enseñar matemáticas que de ellos se derivan. Se presenta una reflexión de tipo
filosófico y una mirada desde las perspectivas de la Educación Matemática.
Afirma que un hecho ampliamente aceptado en el campo de la Educación
Matemática, es que las concepciones de los profesores, y de las instituciones
escolares, sobre la naturaleza de las matemáticas influye en su enseñanza. No
obstante, manifiesta que no es el único factor a tener en cuenta ya que hay otros que
también son muy importantes como las concepciones pedagógicas y psicológicas de
tipo general, y realiza un recorrido por algunos puntos de vista sobre la relación entre
las matemáticas y las “cosas”.
La actividad matemática (personal e institucional), es una manera de pensar sobre
las cosas. Los diferentes puntos de vista sobre las matemáticas que se han ido
proponiendo a lo largo de la historia polemizan tanto sobre el tipo de “cosas” como
sobre la manera de pensar sobre estas cosas
2.1.3.3. Recursos
Una propuesta desarrollada en México en los últimos años hace referencia a las
Matemáticas en el Contexto de las Ciencias esta experiencia resalta la importancia
de las matemáticas en la formación de los ingenieros.37
La Matemática en el Contexto de las Ciencias es una estrategia metodológica que
integra el saber matemático al conocimiento aplicado en otras áreas de las ciencias
como la biología, química, la bioquímica, la física, biofísica entre otras. Los resultados
con los estudiantes de ingeniería son prometedores.
Según las autoras “Cuando se trabaja con la Matemática en Contexto de las Ciencias
el estudiante debe asumir un rol protagónico en el proceso de enseñanza aprendizaje
y el profesor se convierte en un orientador que facilita la apropiación del
conocimiento, fomenta la solidaridad, el respeto y el trabajo en equipo.”
37
Trejo Trejo, E.; Camarena Gallardo, P; Trejo Trejo, N. (2013). Las matemáticas en la formación de
un ingeniero: una propuesta metodológica. Revista de Docencia Universitaria. REDU. Vol. 11, Número
especial dedicado a Engineering Education, pp. 397-424. Recuperado el (5 de diciembre de 2014) en
http://red-u.net

44
Este antecedente vislumbra las posibilidades que se tiene al utilizar las matemáticas
aplicadas para modelar la realidad utilizando las ecuaciones en diferencia.
Otro recurso importante y dinamizador de un participación activa de los estudiantes
son los recursos tecnológicos ya sea para procesar información o para comunicar y
compartir resultados, procesos o conceptos matemáticos.
Figura 9: Elementos del Marco Teórico
MODELACIÓN
MATEMÁTICA
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
ECUACIONES EN
DIFERENCIA

45
CAPÍTULO 3: METDOLOGÍA PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO
DIDÁCTICO
La construcción del modelo didáctico se soporta en los principios básicos:
 Aprender matemática = Hacer matemática
 Importancia de los modelos discretos
 Las ecuaciones en diferencia como herramienta de modelación
Una vez establecido el modelo didáctico se realizará el diseño de actividades de
aprendizaje, luego se procederá a su aplicación y validación.
3.1. Principios
Para plantear un modelo didáctico que responda a la situación de los estudiantes y al
contexto social y educativo colombiano; se enuncian los siguientes principios acerca
del quehacer matemático, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, la
importancia de los modelos discretos para representar diferentes eventos
relacionados con la dinámica de poblaciones, amortización de deudas en el área
financiera, y otras situaciones en diferentes campos de las ciencias aplicadas y el
tema específico de las ecuaciones en diferencia como herramienta de modelación.
3.1.1. Aprender matemática = Hacer matemática
Las actividades didácticas, los procesos de enseñanza aprendizaje, los currículos,
las herramientas tecnológicas y demás recursos educativos deben estar
debidamente armonizados con la realidad social, económica y política de Colombia.
Esto significa que los temas matemáticos se deben desarrollar en relación con
contextos de eventos cotidianos que puedan ser de interés para los estudiantes
según su perfil profesional y las ciencias que soportan el núcleo básico de
conocimiento de los futuros profesionales.
Al utilizar las matemáticas para comprender situaciones de la física, la química, la
biología y otras ciencias aplicadas, los estudiantes pueden a partir del “hacer

46
matemáticas” lograr aprendizajes integrales, con una visión interdisciplinar y por lo
tanto adquirir competencias matemáticas orientadas a su desempeño profesional.
Para la construcción del modelo didáctico y el diseño de las actividades de
aprendizaje se establece que sea el estudiante un participante activo del proceso
educativo, y reconozca la relación de los temas tratados con situaciones de interés
disciplinar. Se pretende que el estudiante desarrolle sus habilidades matemáticas a
partir del hacer matemáticas.
Figura 10: Habilidades y destrezas que se espera desarrollen los estudiantes con la
aplicación de las actividades didácticas38
Cada actividad de aprendizaje se diseñará teniendo en cuenta los pasos a seguir
para la resolución de problemas con las siguientes directrices:
38
Creación del autor
Operación y manipulación de
objetos matemáticos
Desarrollo y ejercitación de la
capacidad mental, la creatividad,
la confianza en si mismo
Reflexión y toma de consciencia
de sus proceso de pensamiento
Preparación para otros problemas
de las ciencias , la tecnología o de
situaciones cotidianas
ESTUDIANTE

47
Figura 11: Elementos de la Resolución de Problemas39
• Presentación de la “situación problema”, situación a ser modelada, es el
docente quien elige y organiza la información para que esta situación sea
ajustada a los intereses de los estudiantes, al tema de ecuaciones en
diferencia a estudiar, el programa curricular y el énfasis del perfil profesional
según la carrera a la que se dirige el curso. Para el planteamiento se puede
tener en cuenta la historia, aplicaciones, juegos o modelos relacionados con la
temática central.
• Trabajo autónomo de los estudiantes, una vez se socializa con los
estudiantes las indicaciones e información de la actividad se orienta a que en
forma grupal o individual los estudiantes, realicen propuestas para analizar y
diseñar un plan de acción encaminado a la construcción del modelo solicitado
y a la realización de las propuestas de la guía de aprendizaje.
39
Adaptado del texto de Miguel de Guzman
•Trabajo autónomo de
los estudiantes
•Análisis y conclusiones
de los estudiantes
Presentación de
"Sitiuación
Problema"
•Afianzamiento
formalizado
•Generalización
•Nuevos Problemas
Elección de
estrategias para la
solución a las
cuestiones
planteadas

48
• Elección de estrategias para la solución a las cuestiones planteadas, los
estudiantes con la orientación del docente eligen la mejor estrategia a ser
utilizada para consolidar el modelo matemático a proponer.
• Análisis y conclusiones de los estudiantes, los estudiantes ejecutan su
plan de acción y presentan sus resultados, informe y análisis y conclusiones
del modelo que proponen según la situación problema.
• Afianzamiento formalizado y Generalización, de acuerdo a la dinámica del
grupo y el desarrollo de las actividades de aprendizaje el docente
retroalimenta los conceptos matemáticos y generaliza
Este principio tiene sus raíces en la concepción cuasi-empírica de la matemática,
y por tanto se debe enfatizar que se propondrán actividades que permitan al
estudiante "vivir" el proceso de hacer matemática: experimentar, conjeturar,
comprobar, demostrar, aplicar
3.1.2. Importancia de los modelos discretos
Una de las ecuaciones en diferencias más antiguas es la sucesión de Fibonacci,
presentada en 1202, por el famoso italiano Leonardo de Pisa. Esta sucesión
corresponde al siguiente planteamiento: Si una pareja de conejos adultos procrea
una pareja de conejos cada mes, ¿cuántos pares de conejos, habrá después de
un año?. Cada pareja de conejos alcanza su edad adulta a los dos meses de
nacidos. Si F (n) es el número de pares de conejos al final del mes n, entonces la
ecuación en diferencias de segundo orden que representa este modelo es:
          1110,11  FyFconnFnFnF
Esta relación entre las ecuaciones en diferencia y la biología data de muchos
años atrás, pero con los métodos del cálculo diferencial propuestos por Newton
desde 1732 para modelar diferentes eventos de las ciencias naturales y
económicas con las ecuaciones diferenciales se ha visto opacada y olvidada.

49
La teoría moderna de las ecuaciones en diferencias se debe a los matemáticos
Henri Poincaré y George Birkhoff. En el texto "Ecuaciones Sur LesLlineaires
Differentielles Aux Ordinaires Et Aux Differences Finites"40
, Poincaré presentó el
estudio de la representación asintótica de soluciones de ecuaciones en
diferencias lineales no autónomas. Otros autores como George Birkhoff y sus
colaboradores41
, desarrollan la teoría formal de las ecuaciones en diferencias
analíticas.
Otra área donde las ecuaciones en diferencias han jugado un papel destacado es
el análisis numérico. Al aproximar una ecuación diferencial dada, a través de un
método de “discretización”, a una ecuación en diferencias. Sin embargo, estos
métodos de discretización pueden conducir a la inestabilidad y el comportamiento
a veces caótico. Para remediar esta situación, Ronald Mickens introdujo un
esquema de discretización no estándar que es dinámicamente coherente 42
,
expuesto en el texto “Applications of nonstandard finite difference schemes”.
En las décadas de los sesentas y setentas, surge la teoría moderna de las
ecuaciones en diferencias. Los trabajos de Alexander Nikolai Sharkovsky con su
teorema fundamental sobre los períodos de mapas continuos en la recta real43
.
Diez años después y de forma independiente se enuncia este teorema en los
trabajos de TY Li y James Yorke en " Period three implies chaos"44
. En 1978,
Mitchell Feigenbaum 45
descubrió una constante universal, el "número de
Feigenbaum," que es compartida por los mapas continuos unimodales en la recta
real.
Desde entonces, la teoría del caos ha estado presente en la frontera de las
ciencias, como son la física y la economía. En 1976, las ecuaciones en
40
Poincare, H., Sur les equations lin´eaires aux differentielles ordinaires et aux diff´erences finies,
Amer. J. Math. 7 (1885), 203–258.
41
Birkhoff, G., Formal theory of irregular difference equations, Acta Math. 54 (1930), 205–246.
42
Mickens, R., Applications of nonstandard finite difference schemes, World Scientific, Singapore,
2000.
43
Elaydi, S., Is the world evolving discretely?, Adv. in Appl. Math. 31(1) (2003), 1–9.
44
Li, T.Y., and J.A. Yorke, Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly 82 (1975), 985–992.
45
Feigenbaum, M., Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Statist. Phys.
19 (1978), 25–52.

50
diferencias recibieron un gran impulso gracias a la labor fundamental de Robert
May quien ha difundido su uso para el desarrollo de modelos biológicos, pues
como lo señala el texto “Simple mathematical models with very complicated
dynamics”, las ecuaciones en diferencia proporcionan modelos simples para las
describir dinámicas de población aunque sean complejas46
. Las últimas tres
décadas presentan un crecimiento exponencial en el área de las matemáticas
aplicadas a la biología, aparecen nuevas revistas científicas y libros dedicados al
tema.
En la actualidad existen dos formas de enfocar las ecuaciones en diferencias.
Una de ellas presenta las ecuaciones en diferencias como el análogo discreto de
ecuaciones diferenciales. Tal es el caso de los autores Lakschmikantham y
Trigiante47
, Agarwal48
, y Elaydi49
entre otros.
La segunda presenta las ecuaciones en diferencias como iteraciones de mapas o
como sistemas dinámicos discretos. Se plantea cuestiones como la estabilidad, la
bifurcación y el caos. Los autores Devaney50
, Strogatz51
, Alligood et al52
, entre
otros le dan este tratamiento a las ecuaciones en diferencias.
La investigación en ecuaciones en diferencias avanza, y los límites entre los dos
enfoques son cada vez más borrosos. Se estudian y desarrollan modelos
discretos propios de la biología y la economía sin pasar por las ecuaciones
diferenciales. También se ha argumentado recientemente que las ecuaciones en
diferencias son el medio adecuado para modelar los fenómenos físicos53
. La
46
May, R., Simple mathematical models with very complicated dynamics, j. (1976).
47
Lakshmikantham, V. and D. Trigiante, Theory of Difference Equations: Numerical Methods and
Applications, Second Edition, Marcel Dekker, New York, 2002.
48
Agarwal, R.P., Difference Equations and Inequalities, Marcel Dekker, New York, 1992.
49
Elaydi, S., An Introduction to Difference Equations, Third Edition, Springer–Verlag, New York, 2004.
50
Devaney, R., A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiments, Addison-
Wesley, Reading, MA, 1992.
51
Strogatz, S., Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and
engineering, Perseus Books Group, 2001.
52
Alligood, K., T. Sauer, J. Yorke, CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems, Springer–Verlag,
New York, 1997.
53
Elaydi, S., Is the world evolving discretely?, Adv. in Appl. Math. 31(1) (2003), 1–9.

51
cuestión de si el tiempo es discreto ha sido resuelta afirmativamente desde hace
tiempo en la mecánica cuántica, y recientemente defendida por las propuestas de
modelación de sistemas discretos.
3.1.3. Las ecuaciones en diferencia como herramienta de modelación
Los modelos discretos son aquellos en los que las variables de estado cambian
instantáneamente en instantes separados de tiempo. Los procedimientos del análisis
numérico, algunos de probabilidad y estadística, la simulación discreta, investigación
de operaciones, las matemáticas financieras, la combinatoria, la teoría de juegos, la
teoría de grafos y redes, máquinas de estados finitos, una parte de la teoría de
números, una parte del algebra moderna, álgebra booleana, codificación, análisis de
algoritmos, funciones numéricas discretas y funciones generatrices, diseños
combinatorios, geometrías finitas, lógica, teoría de conjuntos finitos, optimización
combinatoria, lenguajes formales, modelos o procesos estocásticos, entre otras son
ramas de las matemáticas que utilizan variables discretas.
Muchos eventos se presentan como una realidad aproximada, discontinua y discreta,
finita, aleatoria, caótica, esta situación es muy común, y por lo tanto es susceptible
de ser modelada por las matemáticas DISCRETAS, ESTOCÁSTICAS, NUMÉRICAS,
COMPUTACIONALES, RECURSIVAS, la estadística, la probabilidad, la computación
y la simulación.
Las situaciones en las que interviene una variable discreta son de gran importancia
en la solución de problemas asociados a las ciencias económicas, contables y
administrativas. Entre estas pueden nombrarse las relaciones de oferta y demanda
cuando estas dependen del tiempo medido en días, meses o años; el valor
acumulado de una inversión cuando depende del tiempo medido por periodos de
capitalización; el saldo en un sistema de amortización cuando se pagan cuotas
periódicas, etc. Estos ejemplos y muchos más justifican el estudio de las ecuaciones
en diferencias, en la cual la variable independiente debe ser discreta y, por tanto,
constituyen una de las herramientas matemáticas usadas para resolver estos
problemas.

52
Casi la totalidad de problemas que relacionan valores con respecto al tiempo
(propios de las matemáticas financieras), siempre consideran el valor en un periodo
respecto al inmediatamente anterior, esto indica que sólo se necesita el estudio de
las ecuaciones en diferencia de primer orden.
Con respecto a la relación que existe entre las ecuaciones en diferencias y la
educación, se dice que, los prerrequisitos que exigen la solución de este tipo de
ecuaciones son mínimos (solamente aritmética y algebra), por lo tanto, se pueden
usar en cualquier nivel del área de las matemáticas. En esta investigación se
abordarán los temas de matemáticas básicas en la solución de problemas, las
matemáticas financieras y la introducción a las ecuaciones diferenciales a través de
las ecuaciones en diferencias.
3.2. Metodología para el diseño y evaluación de actividades de aprendizaje
A continuación se describen los aspectos a tener en cuenta para diseñar y evaluar un
conjunto de actividades didácticas para el aprendizaje de la modelación matemática
a través de las ecuaciones en diferencia. (Union, 2005, págs. 57 - 67)
Situación Inicial
de los
Estudiantes
Referentes
tecnológicos,
normativos e
institucionales
Objetivos,
metas
Contenidos
Metodos y
Procesos de
trabajo
Evaluación

53
Figura 12: Adaptada del Modelo de la Teoría Didáctica definida por Hilde Hiim y Else
Hippe54
3.2.1. Situación Inicial de los Estudiantes
Para garantizar que el conjunto de actividades didácticas se adapte a las
necesidades de aprendizaje de los estudiantes se realizan pruebas iniciales que den
cuenta de su situación inicial individual y grupal. La caracterización de los
estudiantes tiene en cuenta sus habilidades, aptitudes o competencias. A
continuación se lista las habilidades y cuestiones que permiten al docente diseñar
estas pruebas:
Tabla 4: Habilidades y aptitudes de los estudiantes a ser evaluadas en las
pruebas iniciales
HABILIDADES/APTITUDES CUESTIONES
Propias del perfil profesional ¿Qué sabe? ¿Cuál es su formación previa?
Comunicativas ¿Cómo interpreta la información y la relaciona
con el lenguaje matemático?
Sociales ¿Qué actitud tiene para el trabajo en grupo y en
equipo?
Manejo de TICs ¿Qué programas o recursos tecnológicos
maneja?
Nivel de Motivación ¿Qué le interesa?
¿Qué expectativas tiene?
54
Pérez, F. F. (18 de febrero de 2000). iblio 3W. Revista Bibliográfica de Geografía y Ciencias
Sociales. Recuperado el 2 de diciembre de 2014, de iblio 3W. Revista Bibliográfica de
Geografía y Ciencias Sociales: http://www.ub.edu/geocrit/b3w-207.htm Union, S. –G. (2005).
Getting Started with ODL.

54
Forma de aprender ¿Cómo estudia? ¿Qué actividades realiza para
aprender?
Se diseñará un instrumento para dar cuenta de los conocimientos previos de los
estudiantes
3.2.2. Referentes Tecnológicos, normativos e institucionales
En el diseño de un curso, y el conjunto de actividades didácticas a implementar se
tiene marcos de referencia que inciden en su diseño a continuación se indican los
diferentes referentes para el diseño de un conjunto de actividades didácticas para el
aprendizaje de la modelación matemática a través de las ecuaciones en diferencia.
Tabla 5: Referentes tecnológicos, normativos e institucionales para el modelo
didáctico
REFERENTE DESCRIPCIÓN
Tecnológicos Software Mathematica
Normativo Legislación de la Educación superior Colombia
Institucional Programas de estudios, intensidad horaria, número
de créditos, programación académica, de las
carreras de Ingeniería y de Ciencias Económico
administrativas y contables
Habilidades del Docente Formación, Nivel académico y Perfil del Docente
3.2.3. Objetivos, metas
El planteamiento de los objetivos debe corresponder a los propósitos de la
enseñanza y aprendizaje de la Modelación Matemática.
Los objetivos pueden ser cognitivos, actitudinales o de conocimiento. Los objetivos
responden a las preguntas de que conocimientos, habilidades o actitudes deben

55
tener los estudiantes después de concluidas las actividades didácticas propias del
curso.
En el presente trabajo de investigación, se van a realizar tres grupos de actividades:
a) Grupo 1: Solución de problemas de matemática básica a través de las
ecuaciones en diferencias.
b) Grupo 2: Solución de problemas de propios de las matemáticas financieras a
través de las ecuaciones en diferencias.
c) Grupo 3: Introducción a las ecuaciones diferenciales a partir de las ecuaciones
en diferencias.
3.2.4. Contenidos
En Los contenidos corresponden al currículo explicito e implícito dado por los
referentes institucionales y los programas de las asignaturas de cada carrera.
A continuación se listan los temas a desarrollar con las actividades didácticas a ser
diseñadas.
Tabla 6: Contenidos temáticos de las actividades a realizar
Contenidos
Problemas de Pre-cálculo
Matemáticas Financieras
Dinámica de Poblaciones
3.2.5. Métodos y Procesos de trabajo
Los métodos se refieren a la relación en la enseñanza y el aprendizaje que se utilizan
para elaborar la parte procedimental de las actividades didácticas. Pueden orientarse
a desarrolla habilidades en los estudiantes, promover la comprensión y el uso de los
conceptos y técnicas o a desarrollar el conocimiento de forma constructiva.

56
Los procesos de trabajo se desarrollaran conforme a las matemáticas en contexto y
la resolución de problemas.
3.2.6. Evaluación
Para diseñar la evaluación se establece:
¿Qué se quiere evaluar?
 Conforme a la relación del aprendizaje con los objetivos planteados.
 El aprendizaje antes y después de concluido el proceso de aprendizaje
¿Por qué se evalúa?
¿Cómo evaluar?
¿Quién evalúa

57
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International Conference on Cognition and Exploratory Learning in Digital Age
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60
ANEXO 1
ACTIVIDAD No. 1
PROPOSITO
QUE LOS ESTUDIANTE LOGREN MODELAR LA ELIMINACIÓN DE FARMACOS
DEL ORGANISMO. ¿UNA VEZ ADMINISTRADO UN MEDICAMENTO, ES POSIBLE
SU ELIMINACIÓN TOTAL DEL ORGANISMO?
PREREQUISITOS
CONOCIMIENTO DE FUNCIONES POLINOMICAS, LOGARITMICAS,
EXPONENCIALES Y SU GRAFICACIÓN
MATERIALES – RECURSOS
SOFTWARE GRAFICADOR, CALCULADORA, PAPEL MILIMETRADO, LAPIZ
PAPEL.
ORIENTACIONES GENERALES
AL RESOLVER LAS PREGUNTAS 1 A 4 LOS ESTUDIANTES RECONOCEN
 VARIABLES DISCRETAS
 LAS DIFERENCIAS ENRTRE VALORES CONSECUTIVOS Y ECUACIONES
EN DIFERENCIAS COMO HERRAMIENTA PARA FORMULAR MODELOS

61
AL RESOLVER LOS NUMERALES 5 A 8 LOS ESTUDIANTES UTILIZAN LAS
DIFERENCIAS Y LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS PARA RESOLVER
INTERROGANTES COMO
 PREDICCIÓN DE CONCENTRACIÓN DE FARMACO EN EL ORGANISMO
DESPUES DE UN TIEMPO DADO
 TIEMPO AL CUAL UN FARMACO SE HA ELIMINADO CASI EN SU
TOTALIDAD
 COMO SE AFECTA LA ELIMINACIÓN DE UN FARMACO DEPENDIENDO SI
HAY DOSIS REPETIDAS, SI HAY INTERACCIÓN CON OTROS FARMACOS
O ALIMENTOS O BEBIDAS, NIVEL DE SALUD DEL PACIENTE
 CONFRONTACIÓN DE RESULTADOS CON LA TERAPIAS APLICADAS
POR LOS MEDICOS.

62
ELIMINACIÓN DE FARMACOS EN EL CUERPO
Analice
1. Se estudia una molécula nueva para la formulación de un medicamento antibiótico
que se utiliza para combatir infecciones pulmonares. Este medicamento se suministra
a un paciente, vía intravenosa, en una dosis de 40mg. Se realiza un monitoreo al
paciente cada hora y se tienen los siguientes resultados durante las primeras 8 horas:
Para el análisis de esta información y proponer un modelo que nos permita saber
cuántas horas después se ha eliminado el fármaco del organismo y en qué momento
se alcanza la vida media del fármaco (Tiempo al cual la concentración del fármaco es
igual a la mitad de la inicial).
Se propone:
Realizar la gráfica que represente los datos
Analizar el tipo de grafico
Realizar el análisis de la variable conforme cambian en el tiempo.
Realizar las siguientes diferencias:
     tCtCtC 1
C(t=1)-C(t=0) =
C(t=2)-C(t=1) =
C(t=3)-C(t=2) =
C(t=4)-C(t=3) =
C(t=5)-C(t=4) =
C(t=6)-C(t=5) =
C(t=7)-C(t=6) =
C(t=8)-C(t=6) =
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8
C(t) 40,00 36,00 32,00 28,00 24,00 20,00 16,00 12,00 8,00

63
¿Encuentra alguna relación entre la diferencia de dos valores continuos de C(t) y el
modelo a proponer?.
¿Qué significa y como establecería Δ(ΔC(t))?
2. Qué situaciones Ud. conoce, que tienen un comportamiento parecido al
expuesto en el numeral 1. Escriba el modelo correspondiente utilizando la
notación de diferencias.
3. Que cree que sucedería con una función polinómica de grado 2 y con una
función polinomica de grado 3?
4. Que situaciones se pueden modelar con este tipo de funciones polinómicas,
de por lo menos un ejemplo de cada una y expréselas con notación de
diferencias.
5. Analice la siguiente situación y describa las diferencias con lo expuesto en los
numerales anteriores. Para el análisis y formulación del modelo utilice la
gráfica de las variables, y la técnica de las diferencias
El Prozac55
es uno de los fármacos más ampliamente formulados para combatir la
depresión extrema. Por lo general un paciente toma una tableta diaria de Prozac. Se
sabe que el principio activo es absorbido y pasa a la sangre, luego es depurado en
los riñones, que se encargan de filtrar las sustancias químicas extrañas del cuerpo.
También está indicado para el tratamiento de la Bulimia nerviosa con una dosis diaria
de 60mg.
Se monitorea, durante 15 días, a un paciente que se le ha administrado 60 mg de
Prozac, para determinar la concentración sérica del fármaco y se obtuvieron los
siguientes resultados:
55
La fluoxetina (conocida comercialmente como Prozac) es un antidepresivo de la clase Inhibidor
Selectivo de la Recaptación de la Serotonina (ISRS). La fluoxetina fue documentada en 1974 por los
científicos Eli Lilly and Company. Fue presentada a la FDA en 1977 y recibió la aprobación a finales
de 1987. Su patente expiró en Agosto de 2001.
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C(t) 60,000 55,200 50,784 46,721 42,984 39,545 36,381 33,471 30,793 28,330 26,063 23,978 22,060 20,295 18,672 17,178

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