1) O documento descreve 6 problemas matemáticos da 2a Fase - Nível 1 da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011. Os problemas envolvem determinar anos hiper-olímpicos, construir torres com cubos de cores diferentes, números que deixam resto 12 ao serem divididos por sua soma de algarismos, números felizes e medianos, e calcular áreas e perímetro de figuras geométricas formadas a partir de um hexágono regular.

1. OIM 2011 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011
2ª Fase - Nível 1 (destinado aos 6os e 7os anos do Ensino Fundamental)
Primeiro Dia
Problema 1
Vamos considerar que, se a n-ésima OIM é realizada em um ano que é divisível por n, dizemos que esse
ano é hiper-olímpico. Por exemplo, o ano 2011, em que está sendo realizada a 1 a OIM, é hiper-olímpico,
pois 2011é divisível por 1. Determine todos os anos hiper-olímpicos, supondo que a OIM continuará
sendo realizada todo ano sem interrupção.
Problema 2
Juanita quer montar torres com três cubos de cores diferentes: verde, azul e vermelho.
A altura do cubo vermelho mede 2 cm a mais que altura do cubo azul, que mede 1 cm a
menos que a altura do cubo verde, que mede 4 cm.
a) Qual é o menor número de cubos verdes que ela pode usar para fazer uma torre de 38 cm?
b) Explique porque não é possível fazer uma torre de 41 cm com mais de 9 cubos.
c) De quantas formas é possível fazer uma torre de 2011 cm, utilizando qualquer quantidade de cubos?
Problema 3
Quantos números de 3 algarismos deixam resto 12 ao serem divididos pela soma de seus algarismos?

2. OIM 2011 - Olimpíada Interestadual de Matemática de 2011
2ª Fase - Nível 1 (destinado aos 6os e 7os anos do Ensino Fundamental)
Segundo Dia
Problema 4
Um número de algarismos é feliz se esse número é divisível por 6 e a soma de seus algarismos também
é 6. Por exemplo: 60 e 114 são números felizes, pois 6 + 0 = 6 e 60 : 6 = 10 e 1 + 1 + 4 = 6 e 114 : 6 = 19.
a) Qual é o menor número feliz que é um número palíndromo, ou seja, a leitura dele da direita para a
esquerda é a mesma da direita para a esquerda?
b) Quantos números felizes menores que 1000 existem?
c) Prove que o maior número feliz de algarismos tem sempre algarismos 0.
Problema 5
Um número é mediano se um de seus algarismos é a média aritmética dos outros dois. Por exemplo, 246 é
mediano, pois , assim como 825, pois . Quantos números medianos de três algarismos
existem?
Problema 6
O hexágono regular ABCDEF abaixo tem área de 48 cm². Ele foi repartido em cinco quadriláteros, como
mostra a figura abaixo:
a) Qual é o nome do quadrilátero sombreado? Calcule sua área e seu perímetro.
b) A que fração da área do hexágono corresponde a área dos 4 paralelogramos?