Dokumen tersebut membahas tentang himpunan atau set yang merupakan kumpulan objek yang berbeda. Dibahas pula cara penyajian himpunan meliputi enumerasi, simbol baku, kriteria anggota, dan diagram Venn. Juga dibahas istilah penting seperti kardinalitas, subset, semesta, kosong, kuasa, ekivalen, sama, operasi seperti irisan, gabungan, komplemen, selisih, beda setangkup, perkalian kartes

1. HIMPUNAN
Matematika Diskrit
Politeknik Negeri Padang
2013
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

2. Pendahuluan
 Himpunan atau Set adalah
sekumpulan objek yang
berbeda, yang dapat didefinisikan
dengan jelas.
 Contoh :
A = {8,9,10,11,12,13,14,15}
B = {4,5,6,7,12,13,14,15}
C = {2,3,6,7,10,11,14,15}
D = {1,3,5,7,9,11,13,15}
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

3. Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Pendahuluan…Lanjutan
 Penulisan suatu himpunan dimulai
dari huruf besar sebagai nama/simbol
himpunannya dan untuk keanggotaan
himpunan dituliskan menggunakan
notasi
‘ ‘
Contoh :
8 A
9 A
1 A

4.  Cara penyajian Himpunan :
a. Enumerasi
b. Menggunakan simbol baku
c. Menuliskan kriteria anggota
himpunan
d. Diagram Venn
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Pendahuluan…Lanjutan

5. Enumerasi
 Penyajian suatu himpunan dengan
cara enumerasi yaitu dengan
menyebutkan semua anggota
himpunan di dalam suatu kurung
kurawal “ { } “
 Contoh :
Himpunan lima bilangan genap pertama :
A = { 2,4,6,8,10}
Himpunan bilangan asli yang kurang dari 100 :
B = {1,2,3,…,99}
Himpunan lima bilangan prima pertama :
C = {2,3,5,7,11}
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

6. Simbol Baku
 Penyajian himpunan dengan
menggunakan simbol-simbol yang
telah diketahui secara umum.
 Contoh :
N = Himpunan bilangan asli/natural = {1,2,…}
Z = Himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}
Q = Himpunan bilangan rasional
R = Himpunan bilangan riil
C = Himpunan bilangan kompleks
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

7. Menuliskan Kriteria Anggota
 Penyajian himpunan dengan
menuliskan syarat keanggotaan
himpunan tersebut, dituliskan dengan
cara A = {x|syarat yang harus dipenuhi
oleh x}.
 Contoh
A adalah himpunan bilangan asli yg kecil
dari 7
A = {x | x≤7 dan x N} atau
A = {x N | x≤7}
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

8. Diagram Venn
 Penyajian himpunan dengan cara
menuliskan anggotanya dalam suatu
gambar (diagram) yang dinamakan
diagram venn.
 Contoh :
Misalkan
S = {1,2,3,4,5,6,7}
A = {1,3,4,5}, dan
B = {4,5,6,7}
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

9. Diagram Venn…Lanjt
S A B
1 4 6
3 5 7
2
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

10. Istilah penting dalam
Himpunan
 Kardinalitas
Adalah jumlah anggota pada suatu
himpunan
Contoh :
Misalkan S = {x| x bilangan bulat positif
kecil dari 20}. Jika A = {x| x bilangan
genap}, B = {x| x bilangan yang habis
dibagi 3} dan C = {x| x bilangan yang
habis dibagi 5}, dapatkan kardinalitas
bagi A, B, dan C Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

11. Istilah penting dalam
Himpunan…Kardinalitas
 Jawab :
Jika ditulis secara enumerasi, maka :
A = {2,4,6,8,…,18}, |A| = 9
B = {3,6,9,12,15,18} |B| = 6
C = {5,10,15} |C| = 3
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

12. Istilah penting dalam
Himpunan…Himpunan Bagian
 Himpunan Bagian
Himpunan A dikatakan himpunan
bagian (subset) dari himpunan B jika
dan hanya jika setiap unsur A
merupakan unsur dari B. Dalam hal ini, B
dikatakan superset dari A.
Sedangkan A bukan himpunan bagian
dari B jika setidak-tidaknya terdapat satu
anggota A yang tidak ada di B.
Notasi A himpunan bagian B : A B atau A B
Notasi A bukan himpunan bagian B : A B atau
A B
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

13.  Jika digambarkan diagram venn bagi
himpunan bagian, maka akan didapati
himpunan yang menjadi subset akan
berada di dalam himpunan superset-
nya
S B
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Istilah penting dalam
Himpunan…Himpunan Bagian
6 C
12
18
3
9
15

14. Istilah penting dalam
Himpunan…Himpunan Semesta
 Himpunan Semesta dan Himpunan Kosong
Himpunan Semesta adalah himpunan yang
anggotanya adalah gabungan semua himpunan
yang menjadi objek pembahasan, dinotasikan
dengan S (sebagian buku menggunakan notasi
U)
Contoh ;
Mahasiswa jurusan Teknologi Informasi (TI) yang
terdiri dari dua program studi Teknik Komputer
dan Manajemen Informatika. Jika :
A : {x | x mahasiswa TI prodi Teknik Komputer}
B : {x | x mahasiswa TI prodi Manajemen
Informatika}
Maka himpunan semesta pada kasus ini adalah
S = {x | x mahasiswa jurusan TI}
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

15. Istilah penting dalam
Himpunan…Himpunan Kosong
 Himpunan Kosong adalah himpunan
yang tidak memiliki anggota.
Contoh :
Mahasiswa jurusan TI di atas, terdapat
sebuah himpunan C dimana :
C = {x | x mahasiswa TI prodi Teknik
Mesin}
Dapat disimpulkan bahwa C merupakan
himpunan kosong, karena di jurusan TI
tidak ada prodi Teknik Mesin, atau jika
disimbolkan : C = { } atu C =Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

16. Istilah penting dalam
Himpunan…Himpunan Kuasa
 Himpunan kuasa bagi A adalah suatu
himpunan yang naggotanya adalah
semua himpunan bagian bagi A,
termasuk himpunan kosong dan A itu
sendiri.
Notasi : P(A), kardinalitas bagi
himpunan kuasa adalah |P(A)| = , m
= |A| (kardinalitas himpunan A)
Contoh :
A = {a}, |A| = 1
P(A) = { ,{a}}, |P(A)| = = 2Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
m
2
1
2

17. Contoh :
B = {a,b}, |B| = 2
P(B) = { ,{a},{b},{a,b}}, |P(B)| = = 4
C = {a,b,c}, |C| = 3
P(C) ={
,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
|P(C)| = = 8
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Himpunan Kuasa…Lanjt
2
2
3
2

18.  Himpunan kosong , memiliki
himpunan kuasa, P( ) =
, sedangkan suatu himpunan yang
anggotanya sebuah himpunan
kosong, { }, himpunan kuasanya : P(
) = { , { }}
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Himpunan Kuasa…Lanjt

19.  Suatu himpunan dikatakan ekivalen,
jika dan hanya jika kardinalitasnya
sama.
Contoh :
A = {S,U,K,S,E,S}, |A| = 6
B = {1,2,3,4,5,6}, |B| = 6
Karena |A| = |B| = 6 , maka himpunan A
adalah ekivalen dengan B , A B .
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Istilah penting dalam
Himpunan…Ekivalen

20.  Dua buah himpunan dikatakan sama,
jika dan hanya jika setiap elemen atau
anggota pada dua himpunan tersebut
adalah sama
Contoh :
C = {R,U,M,A,H}
D = {H,A,R,U,M}
Himpunan C = D, sebab semua
anggota pada himpunan tersebut
adalah sama. Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Istilah penting dalam
Himpunan…Kesamaan
Himpunan

21. Operasi pada Himpunan
a.Irisan (intersection)
Andaikan ada dua buah himpunan, A
dan B, irisan antara dua himpunan
tersebut adalah satu himpunan yang
anggotanya berada di himpunan A
dan B.
A B = {x|x A DAN x B}
Diagram Venn :
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

S
A B

22.  Contoh :
Jika A = {1,3,6,9,12}, B = {1,2,3,4,5,6}
maka A B = {1,3,6}
 Irisan mirip dengan konjungsi atau
‘DAN’
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Operasi pada
Himpunan…Irisan


23.  Gabungan (Union)
Gabungan pada suatu himpunan
berarti menggabungkan dua buah
himpunan atau lebih. Gabungan mirip
dengan disjungsi atau ‘ATAU’.
Misalkan ada dua buah himpunan, A
dan B, gabungan antara dua himpunan
tersebut adalah satu himpunan yang
anggotanya berada di himpunan A atau
B.
AUB = {x|x A ATAU x B}
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Operasi pada
Himpunan…Gabungan

24.  Diagram Venn
Contoh:
Jika A = {2,3,4,5,6}, B = {2,4,6,8,10}
Maka AUB = {2,3,4,5,6,8,10}
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Operasi pada
Himpunan…Gabungan
S
A B

25.  Komplemen berarti pelengkap.
Misalkan A suatu himpunan yang
berada dalam semesta S. Komplemen
bagi A dinotasikan sebagai A’, yaitu
suatu himpunan selain A yang berada
dalam S.
A’ = {x|x S dan x A}
Contoh :
Jika S = {1,2,3,4,5,6,7,8} dan A =
{2,4,6,8} Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Operasi pada
Himpunan…Komplemen

26.  Diagram Venn bagi Komplemen
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Operasi pada
Himpunan…Komplemen
S S
A’
A

27.  Selisih bagi himpunan A dan B, notasi:
A – B = {x|x A dan x B} = A B
Contoh :
Jika A = {2,3,4,5,6}, B = {2,4,6,8,10}
Maka A – B = {3,5}
Diagram Venn :
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Operasi pada
Himpunan…Selisih
S
A B

28.  Beda Setangkup bagi himpunan A dan
B dinotasikan : A B, dimana setiap
anggota di A B merupakan anggota
di A atau di B, tetapi bukan anggota di
A dan B sekaligus.
A B = (AUB)-(A B)
= (A-B)U(B-A)
Contoh :
Jika A = {2,3,4,5,6}, B = {2,4,6,8,10}
Maka A B = {3,5,8,10}Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Operasi pada Himpunan…Beda
Setangkup

29.  Diagram Venn :
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Operasi pada Himpunan…Beda
Setangkup
S
A B

30.  Perkalian kartesan bagi himpunan A dan
B dinotasikan oleh :
AxB = {(a,b)|a A dan b B}
Jika A dan B merupakan himpunan
terhingga, maka kardinalitas bagi
perkalian kartesan AxB adalah :
|AxB|=|A|x|B|
Contoh :
Jika A={1,2},B={a,b,c}
Maka,
AxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}
|AxB|=2x3=6 Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Operasi pada
Himpunan…Perkalian Kartesan

31.  Perlu diingat bahwa pasangan terurut
(a,b) ≠(b,a). Akibatnya perkalian
kartesan tidak bersifat komutatif atau
AxB ≠BxA, dimana A dan B bukan
himpunan kosong
 Jika A = atau B =
maka A x B = B x A =
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Operasi pada
Himpunan…Perkalian Kartesan

32. Hukum-hukum dalam
Himpunan
a. Identitas
A U = A
A S = A
b. Null
A =
A U S = S
c. Komplemen
A U A’ = S
A A’ =
‘ = S
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M

33. d. Idempoten
A U A = A
A A = A
e. Involusi
(A’)’ = A
d. Penyerapan
A U (A B) = A
A (A U B) = A
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Hukum-hukum dalam
Himpunan…Lanjt

34. g. Komutatif
A U B = B U A
A B = B A
h. Asosiatif
A U (B U C) = (A U B) U C
A (B C) = (A B) C
i. Distributif
A U (B C) = (A U B) (A U C)
A (B U C) = (A B) U (A C)
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Hukum-hukum dalam
Himpunan…Lanjt

35. j. De Morgan
(A U B)’ = A’ B’
(A B)’ = A’ U B’
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M
Hukum-hukum dalam
Himpunan…Lanjt

36. Prinsip Dualitas
 Prinsip dualitas adalah dua konsep yang
berbeda dapat dipertukarkan namun
tetap memberikan jawaban yang benar.
Prinsip ini ditandai dengan mengganti
notasi :
U menjadi
menjadi U
S menjadi
menjadi S
Contoh :
A U (A’ B) = A U B
Dualnya : A (A’ U B) = A B
Created by Hj. RAsyidah, S.Si, M.M