National Cheng Kung UniversityのWang氏の多点間最短経路探索(MPSP)に関する論文の解説。
Wang, I-Lin, Ellis L. Johnson, and Joel S. Sokol. "A multiple pairs shortest path algorithm." Transportation science 39.4 (2005): 465-476.
1. A Multiple Pairs Shortest Path
Algorithm
NTS 2012.5.18
増谷
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
2. MPSP
• Multiple Pairs Shortest Path Algorithm
– 複数の点間の OD 最短距離を求める
http://www.youtube.com/watch?
v=PaT1l-mzZtc
http://www.youtube.com/watch?
v=87_1K2GQFdU&feature=relmfu
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
3. Purpose of MPSP
• OD-Multi-commodity flow problem (ODMCFP)
– 複数のOD需要から最適な最短路を求める
– 経路(辺)のキャパシティは決まっている
– minimum cost multi-commodity flow problem
• コストを最小にする
• NP完全
– 応用
• 航空路の最適化
• RWA(Routing Wavelength Assignment)
– WDM を利用したフォトニックネットワークの経路選択
– 接続を最大化させる
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
4. 紹介論文
• Wang, I.-L., Johnson, E. L., & Sokol, J. S. (2005).
A Multiple Pairs Shortest Path Algorithm.
Transportation Science, 39(4), 465-476.
doi:10.1287/trsc.1050.0124
• 選定理由
– MPSP に関する最近の文献
– 分野を外していない (Transportation)
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
5. 著者
• I-Lin Wang 教授 @ National Cheng Kung
University ( 台湾 )
– OR 方面の人(特に Network Optimization )
– Logistics, Network, Data Mining, Telecommunication,
Bioinformatics など応用
– MIT 卒、富士通研究所、ジョージア工科大を経て現
職
– http://ilin.iim.ncku.edu.tw/index.html
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
6. いわゆる経路探索
•
•
グループ化
1) 組み合わせ、ネットワーク探索
– Label-setting methods (Dijkstra 1959, Dantzig 1960, Dial 195)
– Label-correcting methods (Ford 1956, Moore 1957, Bellman
1958, Pape 1974)
– Their Hybrids (Glober ,Klingman 1984)
•
2) 線形計画法
SSSP 用
– Primal network simplex methods (Goldfarb, Hao, and Kai
1990, Goldfarb and Jin 1999)
– Dual ascent method (Bertsekas, Pallottino, Scutella 1995;
Pallottino and Scutella 1997)
•
3) 代数的、行列計算
– Floyd-Warshall (Floyd 1962, Warshall 1962)
– Carre’s algorithm (Carre 1969,1971)
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
APSP 用
7. Algebraic Method for APSP
• APSP が以下の式で表される
– X : n*n shortest distance matrix
– C : n*n measure matrix
– In: identity matrix
• Bellman 方程式に一致
• Floyd-Warshall, Carrer アルゴ
リズムのベース
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
15. A_LU
• 対角要素 (k,k) を利用して、 (k,t) for each
t>k の要素を消す
• 灰色部分の行列をアップデートまたは fillins を作る
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
16. A_LU でのアップデート
• 現状見つかっている (s,t)
間の最短路よりも短い経
路が見つかれば Update
– xst , succst を Update
k=2
k=1
4 fill-in
1
3 X
k=3
3
1
3 X 1
→2
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
4
2 X
X
X
17. A_LU の意味
• G から G’(augmented graph) を作成
– Fill-in 辺を追加
– 中間ノードは s,t よりも小さいノードのみ考慮
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
18. A_LU の産物
• xst は A_LU の後、部分グラフ H(..) 内の最短
経路を示す
• 自分より小さい index の
ノードを使ったグラフ
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
22. Min_add(si,ti)
• Get_D_U と Get_D_L 後
– ri=max{si,ti}
– H([1,ri]) 中の最短経路が求まっている状態
• Min_add は xst* を求めるための残りの走査
を行う
の最短路
[ri+1,n] の triple comp
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
23. • GL の最短経路は H([1,s]) の最短経路に一致 ,s>t
• GU の最短経路は H([1,t]) の最短経路に一致 ,s<t
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
24. • Get_D_L(t) は H([1,s]) のすべての (s,t) ペア
に関して最短路を与える s>t
• Get_D_U(t) は H([1,t]) のすべての (s,t) ペア
に関して最短路を与える s<t
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
25. • DLU は OD pair の最短路を計算する
• Get_D は xij* 、 succij* を正しく求める
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
26. DLU の注意点
• 特徴
– 正しさは、 Triple comparison の順序に依存し
、パスのトレース順序には依存しない
– それゆえ、 successor アップデートは行わなく
ても機能する
– Floyd-Warshall 法と似ている
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
27. Trace もほしい場合
• Get_P(s,t)
– S から t に到達するまで最短路をたどっていく
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
28. 計算複雑性
• Triple comparison の回数
• A_LU
• Get_D_U
• Get_D_L
• Min_add
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
29. 高速化テクニック
• ワーストケース O(n3)
– 完全グラフに対する APSP
– Floyd-Warshall, Carre Algorithm と同様
– SSSP よりは良い
• 疎な無閉路グラフ
– ノードの順序が性能に影響
– Fill-in をいかに減らすか
– Fill-in reduction は NP 完全だが、多くのテク
ニックが存在
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
30. 生来持っている高速性
• OD ペアが s や t を共有する場合
– 重複を避けることができる
• OD ペアの経路途中のノード
– Get_P では再利用できる
• MPSP に応用した場合、全ペアの計算を行
わなくて良い
– 必要なODペアだけ探索する
– 他の” algebraic” なアルゴリズムでは全ペア計
算
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
31. 評価
• 完全グラフの場合の机上検討
– Triple comparison
Floyd-Warshall
(n-1)2(n-2)+(n-2)
Label-correcting SSSP
O(n4)
DLU
(2/3)n(n-1)(n-2)
• Floyd-warhsall に比べた性能向上
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.
32. 実装での比較
• 複数の SSSP アルゴリズムと比較
Copyright (C) 2012 Denso IT Laboratory, Inc. All Rights Reserved.