1. Sveučilište u Splitu
Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije
Preddiplomski studij arhitekture
Matematika 1
- nastavni materijali -
S. Pavasović
Split, 2010./2011.

3. Sadržaj
0. Napomene o predmetu (koje, naravno, nećete pažljivo pročitati) ..................................................1
1. Uvod (ili odnekud moramo početi) .....................................................................................................5
1.0 Sud, ekvivalencija, implikacija.......................................................................................................................5
1.1 Skupovi..........................................................................................................................................................6
1.2 Skupovi brojeva.............................................................................................................................................7
1.3 Priče o skupu R .............................................................................................................................................8
1b Vježbe ..................................................................................................................................................13
1c Rješenja...............................................................................................................................................14
2. Funkcije...............................................................................................................................................15
2.1 Definicija......................................................................................................................................................15
2.2 Pojmovi i svojstva........................................................................................................................................16
2.3 Graf funkcije ................................................................................................................................................19
2.4 Temeljne elementarne funkcije ...................................................................................................................21
2.5 Neke elementarne funkcije..........................................................................................................................25
2b Vježbe ..................................................................................................................................................30
2c Rješenja...............................................................................................................................................31
3. Limes i neprekidnost funkcije...........................................................................................................32
3.0 Priprema......................................................................................................................................................32
3.1 Limes funkcije..............................................................................................................................................33
3.2 Neprekidnost funkcije ..................................................................................................................................38
3b Vježbe ..................................................................................................................................................41
3c Rješenja...............................................................................................................................................42
4. Derivacija funkcije..............................................................................................................................44
4.1 Definicija......................................................................................................................................................44
4.2 Geometrijsko i fizikalno tumačenje derivacije .............................................................................................44
4.3 Tablica nekih osnovnih derivacija ...............................................................................................................46
4.4 Pravila deriviranja........................................................................................................................................46
4.5 Tangenta i normala .....................................................................................................................................47
4.6 L'Hospitalovo pravilo ...................................................................................................................................47
4.7 Derivacije višeg reda ...................................................................................................................................48
4.8 Monotonost i derivacija funkcije ..................................................................................................................48
4.9 Ekstremi, točke infleksije .............................................................................................................................49
4.10 Asimptote, još jednom .................................................................................................................................52
4.11 Ispitivanje tijeka i crtanje grafa funkcije.......................................................................................................53
4b Rješenja...............................................................................................................................................56
5. Vektori .................................................................................................................................................60
5.1 Operacije s vektorima..................................................................................................................................61
5.2 Koordinatizacija prostora.............................................................................................................................63
5b Vježbe ..................................................................................................................................................65
5c Rješenja...............................................................................................................................................66
6. Analitička geometrija .........................................................................................................................67
6.1 Ravnina u prostoru ......................................................................................................................................67
6.2 Pravac u prostoru ........................................................................................................................................69
6.3 Međusobni položaj pravca i ravnine............................................................................................................71
6b Vježbe ..................................................................................................................................................72
6c Rješenja...............................................................................................................................................74

5. Napomene o predmetu
0. Napomene o predmetu
(koje, naravno, nećete pažljivo pročitati)
Osnovno
Najosnovnije: Ja sam Slobodan Pavasović, držat ću vam nastavu iz predmeta Matematika 1.
Prema rasporedu, nastava je srijedom od 10-12h (zapravo, 10.15-12.00 s pauzom u vremenu
11.00-11.15) u predavaonici C8.
Moja soba je na 2. katu zgrade A (A201), tel. 303-383, e-mail slobodan.pavasovic@gradst.hr.
Iznimno, ni broj mobitela nije neka posebna tajna, ali o tom potom. Budući da ionako nećete
ovaj tekst pročitati do kraja, dok ste još budni osnovna napomena: za sve što vas muči i što
biste htjeli reći (pa čak i ako nema izravne veze s mojim predmetom), obratite mi se kad god
želite (na Fakultetu, ali ako imate neki stvarno ozbiljan problem nemojte se ustručavati ni izvan
Fakulteta). Iz iskustva (hm, iz davnog iskustva ☺) znam da su ljudi poprilično izgubljeni na
početku studiranja, pogotovo kad nastava krene punim intenzitetom pa ih zatrpa. Jedino što
vam ne mogu obećati je da ću istog trena imati vremena za vas – dogovorit ćemo neki termin i
onda sam samo vaš.
Predmet obuhvaća 15 nastavnih sati predavanja i 15 nastavnih sati vježbi. "Težina" predmeta je
2 ECTS boda; u prijevodu, to znači da je ukupni angažman studenta na ovome predmetu 60
"sunčanih" sati (sunčani sat traje 60, a nastavni 45 minuta). Pritom se podrazumijeva da je
student donio iz srednje škole potrebno predznanje – u protivnom je moguće potrebno i više
vremena (plaćanje "minulog nerada"). U ove sate uračunava se sav studentski angažman
vezan uz predmet (prisustvovanje nastavi, pohađanje demonstratura, samostalan rad kod kuće,
različiti oblici provjere znanja).
Gruba podjela ovoga angažmana je:
predavanja i vježbe: 22,5
demonstrature i konzultacije s predmetnim nastavnikom 11,5
pisanje parcijalnih pismenih ispita i polaganje ispita; 2
samostalan rad: usvajanje materije predstavljene na predavanjima i
vježbama, pisanje domaćih radova, itd. 24
Preporučam vam da zapisujete vaš stvarni angažman oko predmeta. Nakon semestra studenti
će u sklopu programa za osiguranje kvalitete studija biti u prigodi dati svoje mišljenje o
predmetu i predmetnom nastavniku, kao i o utrošenom vremenu na predmet.
Nastava se izvodi kroz 2 povezana sata tjedno. Zbog jako male satnice nećemo strogo odvajati
predavanja od vježbi, nego ću gradivo izložiti "u paketu".
Osim nastave, organizirat ćemo i demonstrature (dvaput tjedno po jedan sat), i to na sljedeći
način:
u terminu krajem tjedna, demonstratorica će rješavati zadatke i na kraju termina podijeliti
domaći rad;
u terminu početkom tjedna donijet ćete rješenja (i pokušaje rješenja), i zajedno s
demonstratoricom javno riješiti zadatke. Riješene domaće radove ostavljate demonstratorici
koji ih predaje meni a ja ih čuvam u Vašem "dosjeu" i zadržavam pravo razgovarati o
njima na ispitu.
1

6. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Demonstrature i domaći radovi će prvih mjesec dana biti posvećeni krpanju srednjoškolskih
rupa, potom će biti strukturirani prema onome što vas bude mučilo. Pohađanje demonstratura
nije obvezno, ali je u vašem interesu.
Popis literature za predmet je (brojevi u zagradama se kasnije koriste pri citiranju literature):
[1] S. Pavasović, Matematika 1 – nastavni materijali, Split, 2008. (koje upravo čitate);
[2] T. Bradić, J.Pečarić, R. Roki i M. Strunje, Matematika za tehnološke fakultete, Element,
Zagreb,1998.;
[3] B. P. Demidovič, Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike s primjenom na tehničke
nauke, Tehnička knjiga, Zagreb, 2003.;
[4] S. Pavasović, T. Radelja, S. Banić i P. Milišić, Matematika 1 – riješeni zadaci, Građevinski
fakultet, Split, 1999.
Preporučam vam i konzultiranje materijala koje je priredio prof.dr. Ivan Slapničar na mrežnoj
adresi http://lavica.fesb.hr/mat1/. Posebno preporučam PDF-verzije predavanja i vježbi
dostupne na ovoj stranici. Budući da mi se čini kako je osnovni problem studentima u ovakvome
predmetu prevesti suhi matematički rječnik u neformalniji ali razumljiv, u nastavku ovih bilješki
naći ćete neformalne komentare koji će vam (nadam se) pomoći da shvatite "o čemu se tu
zapravo radi". Materijali su detaljniji u dijelovima koje studenti najčešće nauče napamet bez
razumijevanja, a oskudniji u formalnim zapisima (kojih ima dovoljno u raspoloživoj literaturi).
Nastavni materijali i sve obavijesti o predmetu nalazit će se na mrežnim stranicama Katedre za
matematiku i fiziku (http://www.gradst.hr, potom slijedite poveznice s početne fakultetske
stranice). Posebno razmotrite Izvedbeni plan nastavnog programa, u kojem detaljno piše što od
vas tražim i što vam obećavam. Tijekom semestra svratite povremeno na ovu stranicu i
provjerite ima li kakvih nastavnih materijala/obavijesti/želja/pozdrava/poruka.
Smisao nastavnih materijala je u tome da se nastava ne pretvori u vaše prepisivanje mojih
nečitkih bilješki s ploče – u tom slučaju ljudi se koncentriraju isključivo na to da točno prepišu, a
ja sam prisiljen zapisati sve što mislim da vam treba; to onda i nije neka nastava. Ovdje ćete (u
vrlo neformalnom obliku) imati zapisane osnovne stvari, a tijekom predavanja i vježbi bilježit
ćete napomene i pojašnjenja. Zadatke ćemo rješavati zajedno, u materijalima su samo tekstovi
zadataka.
Per aspera ad astra, ili kako do ocjene
Pohađanje nastave je obvezno! Nemojte donositi opravdanja liječnika, roditelja, sportskih
klubova, skupa stanara, humanitarnih udruga... Pogotovo mi nemojte doći s antologijskom
rečenicom "ne mogu danas bit na nastavi jer imam vožnju". Jednostavno, ili jeste ili niste na
nastavi – nema "opravdanih" i "neopravdanih" izostanaka. Pohađanje (štoviše, "aktivno"
pohađanje) nastave jedna je od komponenti konačne ocjene.
Do ocjene možete doći na dva načina:
Teži način: polaganjem ispita nakon završetka semestra (ukupno 4 ispitna termina, od toga
četvrti put pred tročlanim ispitnim povjerenstvom);
Lakši način: ocjenu možete steći tijekom semestra, sakupljanjem (ukupno 100) bodova.
Tijekom semestra imat ćete dva kolokvija od kojih će svaki imati pismeni i usmeni dio.
Na svakom kolokviju moći ćete steći 40 bodova (pismeni dio 25, usmeni dio 15 bodova).
Da biste se kvalificirali za usmeni dio, na pismenome morate dobiti barem 5 bodova. Da
biste stekli pravo na ocjenu ovim putem, na svakom od kolokvija morate zaraditi barem 15
bodova. (Ovdje namjerno ne najavljujem kriterij transformacije osvojenih bodova u ocjene
– na kraju semestra svakom će studentu biti ponuđena ocjena koju može prihvatiti ili odbiti,
2

7. Napomene o predmetu
na tragu tzv. "relativnog ocjenjivanja"). Ostali oblici provjere znanja (kvizovi, blic-provjere,
domaće zadaće, ...) mogu vam donijeti do 15 bodova, a redovito pohađanje nastave 5
bodova. Dodatno, student može po želji/potrebi (ako je na granici između dviju ocjena, a
zainteresiran je za pokušaj stjecanja veće ocjene) dobiti još 10 bodova na ispitu.
Ispit, kako to gorko zvuči
Ispit, ako se odlučite za takav način stjecanja ocjene, je kombinirani (pismeno-usmeni). To
znači da grupa (najviše 7) studenata dobiva ispitna pitanja, imaju nekih 30-45 minuta za
napisati koncept odgovora nakon čega ćemo malo popričati. Na ispitu nemate prava (a ni
potrebe) koristiti bilo kakva pomagala (dopuštam jedino tablicu "osnovnih" derivacija).
Na prva dva ispitna termina priznaju se rezultati postignuti na kolokvijima, tj. moguće je
polaganje samo onog dijela koji nije položen preko kolokvija. Na preostala dva ispitna termina
polaže se cijelo gradivo.
Posebna opcija na ispitu je „Ispit za dovoljan“. Ukoliko odaberete ovu opciju, dobivate deset
elementarnih zadataka/pitanja, i točnim odgovorima/rješenjima 75% zadaće stječete ocjenu
dovoljan (2). Volio bih da se što manje studenata opredijeli za ovu opciju: gradivo nije toliko
teško da biste se ograničili na tako nisku ocjenu, a nekako je šteta započeti studiranje
sakupljanjem dvojki.
Polaganje ispita nakon odslušanog predmeta teži je način polaganja jer onda čovjek obično
prespava semestar i misli da će uspjeti spremiti ispit za tjedan-dva "ozbiljnog" rada. Onda po
gradu slušate kako "mali po cili dan uči, tri dana nije izaša iz kuće". Razmislite malo: ako ste
prespavali predavanja i vježbe, pa još propustili demonstrature i domaće zadaće, koliko vam
vremena treba da biste uopće pohvatali konce, a kamoli dobro spremili ispit?
Na svim oblicima provjere znanja morate pokazati:
sposobnost primjene elementarnih tehnika (od zbrajanja razlomaka, preko sređivanja
algebarskih izraza do deriviranja i izračunavanja limesa);
sposobnost rješavanja jednostavnih zadataka iz gradiva obuhvaćenog predmetom;
razumijevanje pojmova predstavljenih tijekom nastave.
Je, jako je općenito, ali kroz samo odvijanje nastave postat će jasnije što se i kako od vas traži.
Ispitna pitanja za ovaj predmet neću sastaviti. Naime, obično neki student sastavi listu
"odgovora" na pitanja s liste i onda se javljaju barem dva problema: prvo, dio "odgovora" na tim
listama je "ajmemajko" kvalitete. Drugo, studenti nabubaju napamet "odgovore" i takvi dođu na
ispit uvjereni da su spremni i da moraju proći.
Kolokviji su i lakša i mudrija varijanta iz nekoliko razloga:
svaki kolokvij obuhvaća samo dio gradiva (otprilike polovicu);
drže vas "u treningu" tijekom semestra;
omogućavaju vam da ocjenu dobijete neposredno nakon završetka nastave i tijekom
ispitnih rokova se posvetite drugim predmetima;
Primjeri kolokvija i ispita postavljeni su na mrežnu stranicu predmeta
Ovo je trebalo biti na početku
Evo nekih napomena iz kojih ćete razumjeti što od vas očekujem i što vam preporučam:
Osnovno što od vas očekujem i zahtijevam za bilo koju prolaznu ocjenu jest razumijevanje
pojmova. Nemojte štrebati napamet definicije, to je beskoristan trud i nikakvo znanje.
3

8. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Jednako je "korisno" učiti napamet telefonski imenik. S druge strane, kad shvatite što se iza
pojedinog pojma stvarno krije, vidjet ćete da je cijeli predmet u biti malo teža plesna škola.
Na primjer, tražit ću od vas da "razumijete" što je funkcija, da znate prokomentirati graf
neke funkcije, da razumijete što znače neka osnovna svojstva funkcija – ne da mi otpjevate
definicije nego da to ispričate "svojim riječima", i da ste u stanju razmisliti i doći do
odgovora na postavljeno "problemsko" pitanje o funkciji.
Elementarne matematičke tehnike (srednjoškolsko gradivo) bi se trebale podrazumijevati; ja
bih, u biti, trebao nastaviti tamo gdje je srednja škola stala, ali to nije dobra ideja. Na samoj
nastavi nećemo imati puno vremena za prisjećanje na srednju školu (osim na samome
početku semestra), ali će tome biti posvećen početni dio demonstratura.
Olakšajte si život, primite se posla od početka semestra. Upamtite, ja imam pravo samo
na 60 sati vašeg života – ako to ravnomjerno rasporedite, to je oko 4 sata tjedno za sve
oblike nastave. Sigurno je da će vam biti lakše ako vas netko uzme za ruku i provede kroz
predmet, nego da poslije sami pokušavate nekako skrpati o čemu se tu zapravo radi.
Jedan od osnovnih postulata Bolonjske deklaracije je partnerski odnos u procesu
studiranja. Pokušajte se što prije otresti srednjoškolskog pogleda na svijet, podjele na "mi" i
"oni". U istom smo brodu, i ako vi počnete tonuti tonem i ja s vama. Ako vam se čini da
samo vi veslate, ljuto se varate – moj je angažman na predmetu u najmanju ruku jednak
vašemu. Za partnerski odnos potrebni su partneri!
Potrudite se da na nastavi budete "dušom i tijelom", ne samo zbog eventualnog stjecanja
bonus-bodova, nego i zbog toga što je to daleko najlakši put do položenoga ispita.
Sudjelujte u nastavi, razmišljajte, pitajte, recite što imate!
Lijepo vas molim, ne pokušavajte "igrati prljavo". Naravno da mi je jasno da možete
sjesti na zidić i prepisati domaći rad, možete pokušati na listu evidencije potpisati
prijatelja/icu, znam za milijun tehnika kojima se možete pokušati poslužiti ne biste li "lakše"
došli do ocjene. Nitko (pa ni ja) ne voli da ga se pokušava napraviti budalom, ali to čak nije
najvažniji razlog: mislim da imate previše godina a da se pri prepisivanju domaćeg rada ne
biste osjećali iznimno blesavo; drugo, ponuđena vam je iskrena i poštena suradnja, nudim
vam svu moguću pomoć u svladavanju ovoga predmeta – mislim da je i pametno i pošteno
odraditi svoj dio posla isto tako iskreno i pošteno.
Na kraju, nekoliko banalnosti. Dakle, nemojte (dovršite rečenicu):
kasniti na nastavu. Imamo malo vremena za nastavu, ako ćemo pola potrošiti na
čekanje spavača, nije dobro. Ako već zakasnite, nemojte se ispovijedati o zloj budilici,
podivljalim autobusima, teškom djetinjstvu... uđite, sjednite, uhvatite se posla;
jesti i/ili piti za vrijeme nastave. Ništa kava, ništa čaj, boce s vodom, sendvič, jogurt...;
baviti se nečim drugim (drugim predmetom, novinama, koeficijentima, ...) za vrijeme
nastave. Zaboravite na srednjoškolsku "tih(a) sam pa ne smetam" logiku; ako ste s
nama onda budite s nama. Ako vas zateknem u bavljenju nečim drugim, bit ćete
udaljeni s nastave i taj termin se tretira kao izostanak;
ostaviti mobitel upaljen;
protezati se ni zijevati bez ruke na ustima (je, smiješno je, ali živi bili pa vidjeli da ne
govorim bez razloga);
nikad, nikad, NIKAD pitati "hoće li to biti na ispitu".
4

9. 1. Uvod
1. Uvod (ili odnekud moramo početi)
Vječiti problem u izlaganju gradiva "Matematike 1" je odakle početi; naime, svako spominjanje
nekog pojma ili oznake zahtijeva barem kratku raspravu o tome pojmu i njegovome kontekstu.
U ovako koncipiranom predmetu za to nemamo vremena (a dijelom ni potrebe), pa će neki
pojmovi i oznake biti prokomentirani tek onoliko koliko nam to treba u okviru predmeta. Predmet
je kao jednodnevno razgledavanje Pariza autobusom: vidjet ćemo najvažnije, naučiti dosta, ali
se nećemo zadržavati na pojedinim detaljima.
1.0 Sud, ekvivalencija, implikacija
Prije samoga početka, pokušat ćemo se "obračunati" s pričom o implikaciji i ekvivalenciji; ova je
priča vrlo jednostavna ako se o njoj malo razmisli – u protivnom, ona je izvor trajne konfuzije.
Implikacija i ekvivalencija su tzv. binarne logičke operacije, koje postavljaju dva suda u
izvjestan međuodnos. Sud je "izjava" kojom se nešto tvrdi ili poriče, tj. koja je u određenom
trenutku istinita ili lažna. "Danas je srijeda" jest sud, koji je jedan dan u tjednu istinit. "Crveni
cincilator fluksira onomatopeju" iz razumljivih razloga nije sud.
Implikacija: što, dakle, znači izjava "A implicira B" (A ⇒ B) pri čemu su A i B sudovi?
Najčešći "odgovori" su u biti pokušaj izbjegavanja ("metoda sitnog šverca"): "to znači da B slijedi
iz A", "to znači da A povlači B", "to znači da ako je A, onda je i B" i slično. Ne može se reći da su
ovi odgovori netočni, ali nam ni najmanje ne pomažu u razumijevanju implikacije.
"Životni" primjer: "Ako dobijem na lotu, bit ću bogat". Osnovna poruka ove implikacije je jasna:
(dobitak na lotu ⇒ bogatstvo). Ali, to nije sve; da bi se potpuno razumjelo implikaciju, potrebno
je znati i razumjeti odgovore na pitanja "Što je s bogatstvom ako ne dobijem na lotu?" i "Što je
(bilo) s dobitkom na lotu ako nisam postao bogat?"
Srećom, postoje i drugi načini stjecanja bogatstva – moguće je da se netko obogati i ako nije
dobio na lotu. S druge strane, nije moguće (za ljubav matematike ćemo preskočiti mogućnosti
mizernoga dobitka ili puno dobitnika) da netko dobije na lotu i ne bude bogat.
Poopćimo stvar na "suhi" matematički zapis: implikacija A ⇒ B ("ako jest A, onda jest B") jamči
istinitost tvrdnje B ako je tvrdnja A istinita ("iz istine slijedi istina") i neistinitost tvrdnje A ako je
tvrdnja B neistinita ("iz istine ne može slijediti laž"); međutim, ako je tvrdnja A neistinita, ne
znamo ništa o istinitosti tvrdnje B ("iz laži može slijediti bilo što").
Zadatak: Smislite sami nekoliko primjera implikacije i protumačite ih. Posebno razmotrite
slučajeve "laž ⇒ istina" i "laž ⇒ laž".
Ekvivalencija je daleko jednostavnija i za razumijevanje i za objašnjenje. Izjava "A je
ekvivalentno B" (A ⇔ B, "B jest ako i samo ako jest A") znači da su A i B "jednakovrijedni", tj.
čim poznajemo jednog od njih znamo i drugoga: ili su obje tvrdnje istinite ili su obje tvrdnje laž.
"Životni" primjer: iskustvo nas uči da roditeljska rečenica "Ako budeš dobar, kupit ću ti
sladoled" nije ekvivalencija nego "samo" implikacija – kombinacijom umiljatosti i/ili gnjavljenja
sladoled se može dobiti i ako nismo bili dobri. Kada bi roditelji govorili "Kupit ću ti sladoled ako i
samo ako budeš dobar", stvari bi se zakomplicirale.
Zadatak: Smislite sami nekoliko primjera ekvivalencije i protumačite ih.
5

10. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
1.1 Skupovi
Skup je jedan od pojmova koji su nam razumljivi nekako "sami po sebi", ali kad počne dublja
rasprava o njima (koju mi nećemo provoditi), stvari ubrzo postaju komplicirane i apstraktne.
Zgodno je na početku nastave postaviti pitanje "Što je to skup?" – naime, svi imamo nekakvu
intuitivnu ideju o tome, ali kad tu ideju treba pretočiti u definiciju, eto nas u problemu. Najčešći
pokušaj je "definicija" po kojoj "skup čine objekti koje povezuje neko zajedničko svojstvo". Slijedi
obvezno pitanje mogu li elementi jednog skupa biti krava, telefon i lopta, i uobičajeni niječan
odgovor. Naravno da mogu; ako ja iz nekih čudnih razloga želim napraviti skup čiji će elementi
biti krava, telefon i nogometna lopta, definicija skupa mi to ne smije zabraniti. Pritom je jedino
"zajedničko svojstvo" ova tri elementa činjenica da pripadaju tome skupu.
"Službena" definicija skupa zvuči kao prijevara: naime, skup je jedan od fundamentalnih
matematičkih pojmova i ne definira se. Eventualno, možemo dati poprilično filozofsku
definiciju "Skup je množina objekata", kojom, pošteno rečeno, baš i nismo rekli nešto
određeno. U svakom slučaju, skup je određen ako se točno zna tko/što jest a tko/što nije njegov
element – zvuči kao "otkrivanje tople vode", ali nije: razmislite malo o "skupovima" pametnih,
mladih, lijepih... ljudi; ovo nisu dobro definirani skupovi.
Napomena: kad govorimo o skupovima, studenti najčešće nehotice razmišljaju o skupovima
brojeva. Istina je da ćemo se u ovom predmetu najviše baviti skupovima brojeva (točnije,
skupom realnih brojeva), ali treba imati na umu da elementi skupa mogu biti vrlo raznoliki.
Nekoliko osnovnih naznaka, koje bi vam trebale biti poznate:
Skup možemo zadati nabrajanjem elemenata ili navođenjem svojstva koje njegovi elementi
moraju zadovoljavati: {1, 3, 7, 9}, {parni brojevi manji od 72}, {ljudi mlađi od 25 godina}.
Dva skupa su jednaka ako sadrže iste elemente.
Broj elemenata skupa A zovemo kardinalni broj skupa A i označavamo s c(A).
Skup bez elemenata nazivamo prazan skup, i označavamo sa ∅. Prazan skup je podskup
svakog skupa, a njegov kardinalni broj je 0.
Ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B, kažemo da je A podskup od B
(pritom razlikujemo tzv. "pravi podskup", A ⊂ B , i "podskup" A ⊆ B , ovisno o tome smije li
skup A biti jednak skupu B – u slučaju pravog podskupa ne smije).
Među skupovima definiramo presjek A ∩ B (zajednički elementi), uniju A ∪ B (svi elementi
iz barem jednog od skupova A i B, skupovnu razliku A B (elementi skupa A koji nisu u
skupu B) i Kartezijev produkt A × B (uređeni parovi oblika (a,b) gdje je a∈A, b∈B).
Zadatak:
Što je dovoljno pa da skup A ne bude podskup skupa B?
Smislite još neki primjer "loše zadanog skupa".
Što možete reći o kardinalnom broju presjeka, unije, skupovne razlike i Kartezijevog
produkta dvaju skupova (u odnosu na kardinalne brojeve tih skupova)?
Je li ∅ isto što i {∅}? Savjet: prisjetite se da dva jednaka skupa moraju imati iste kardinalne
brojeve.
6

11. 1. Uvod
1.2 Skupovi brojeva
Skupovi N, Z, Q, R
Naznačili smo da će nas posebno zanimati skupovi brojeva, a najviše skup realnih brojeva. Za
početak, razmotrimo skup prirodnih brojeva N. Kao i obično, svaki početak je težak pa i ovdje
imamo problema definirati najjednostavniji i najpoznatiji skup brojeva (kojeg intuitivno
doživljavamo otprilike kao "ma to je ono jedan, dva, tri..."). Definiciju skupa prirodnih brojeva
možete pogledati u [2], a za naše potrebe samo ćemo spomenuti da skup N gradimo
definiranjem elementa koji zovemo "jedinica" i funkcije sljedbenika koja svakom prirodnom broju
pridružuje njegov sljedbenik (koji je također prirodan broj). Tako je broj 2 sljedbenik broja 1, broj
3 sljedbenik broja 2 (odnosno, "sljedbenik sljedbenika broja 1"), itd.
Zadatak: Provjerite razumijete li sljedeća svojstva skupa N:
Zbroj i umnožak dvaju prirodnih brojeva je prirodan broj;
Razlika i kvocijent dvaju prirodnih brojeva nije nužno prirodan broj;
Skup N je beskonačan, ima najmanji i nema najveći element.
Sada je lakše; "dokopali" smo se osnovnoga skupa brojeva, kojega ćemo po potrebi proširivati.
Motivi za proširivanje su dvojaki: "matematički" – željeli bismo skup brojeva u kojem bi bile
definirane sve računske operacije, i "životni" – željeli bismo skup brojeva kojima bismo mogli
iskazati različite primjere iz života.
Za početak, definiramo N0 na sljedeći način: N0 = N ∪ {0}.
Prvo "pravo" proširenje skupa N je skup cijelih brojeva Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...} – sada npr.
možemo zapisivati negativne temperature zraka i slično.
Zadatak: Provjerite razumijete li sljedeća svojstva skupa Z:
Zbroj, razlika i umnožak dvaju cijelih brojeva je cijeli broj;
Kvocijent dvaju cijelih brojeva nije nužno cijeli broj, a dijeljenje s nulom nije definirano.
(Važna napomena: nemojte izjavljivati da je "neki broj podijeljen s nulom jednak
beskonačno" jer to nije istina! Jedina istinita izjava o dijeljenju s nulom je da ono nije
definirano. Na ovu napomenu ćemo se vratiti kada budemo razmatrali limes funkcije);
Skup Z je beskonačan, nema najmanji ni najveći element.
Cijelih brojeva ima jednako koliko i prirodnih, tj. cijeli brojevi se mogu prebrojiti (to, naravno
ne znači da je N = Z, ali imaju jednake kardinalne brojeve – očito, pojam "beskonačnosti"
nije jednostavan).
Sljedeće proširenje je skup racionalnih brojeva Q. Najjednostavnije (i ne sasvim precizno),
racionalni brojevi su razlomci. Potreba za razlomcima očita je iz niza svakodnevnih primjera: od
kupovine kruha do pripravljanja napitaka.
"Službena" definicija skupa racionalnih brojeva je:
⎧p ⎫
Q = ⎨ : p, q ∈ Z, q ≠ 0⎬
⎩q ⎭
Uočite da smo i ovdje zabranili nulu u nazivniku (dijeljenje s nulom nije definirano). Još jednom
naglašavamo da se ne radi o tome da ćemo, nakon što definiramo beskonačnost, "dopustiti" da
1/0 bude beskonačno – dijeljenje s nulom neće biti definirano ni tada.
7

12. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Zadatak: Provjerite razumijete li sljedeća svojstva skupa Q:
Zbroj, umnožak, i razlika dvaju racionalnih broja je racionalan broj. Kvocijent a/b racionalnih
brojeva je racionalan broj ako je b ≠ 0, inače nije definiran;
Skup Q je beskonačan, nema najmanji ni najveći element;
Za razliku od skupova N i Z, podskup skupa Q može imati i najmanji i najveći element a
imati beskonačno mnogo elemenata.
Racionalni brojevi mogu se prebrojiti, odnosno racionalnih brojeva ima jednako koliko i
prirodnih (ovo je malo teže uočiti na prvi pogled od prebrojavanja cijelih brojeva).
Sljedeće proširenje možemo motivirati pitanjem: "Kolika mora biti stranica kvadrata da bi mu
površina bila 2?", odnosno traženjem rješenja jednadžbe x 2 = 2 . U knjizi [2], str. 11,
predstavljen je dokaz da 2 nije racionalni broj (kažemo da je iracionalan), tj. ne može se
prikazati kao razlomak – dokaz je samo naizgled kompliciran, jedini problem za njegovo
razumijevanje je nenaviknutost na matematički tekst.
Ovim proširenjem (dopunjavanjem skupa Q skupom iracionalnih brojeva) došli smo do skupa
realnih brojeva R. Sjetite se da i dalje imamo potrebu za proširenjem; u skupu realnih brojeva
ne možemo riješiti jednadžbu x 2 = −1 . Međutim, u ovom predmetu nećemo razmatrati skup
kompleksnih brojeva C u kojem je i ova jednadžba rješiva.
1.3 Priče o skupu R
Priča prva: geometrijski prikaz (realnih) brojeva
Brojeve koje smo definirali u prethodnom poglavlju možemo prikazati na tzv. brojevnom pravcu
– pravcu na kojem smo odredili dvije točke i njima pridružili brojeve 0 i 1 (nakon čega možemo
jednostavno svakome broju jednoznačno pridijeliti njemu pripadajuću točku brojevnog pravca).
Intuitivno je jasno da prirodni i cijeli brojevi ne prekrivaju cijeli brojevni pravac, tj. da postoji
beskonačno mnogo točaka brojevnog pravca kojima nismo pridijelili nijedan prirodni (cijeli) broj.
Nešto je manje očita činjenica da ni racionalni brojevi ne prekrivaju cijeli pravac – intuitivno nam
izgleda da razlomaka ima "jako puno" i da prekrivaju cijeli pravac. Na slici vidimo jednostavan
način kako se iracionalnom broju 2 pridjeljuje točka na brojevnom pravcu (dijagonala
kvadrata stranice 1 preslika se na brojevni pravac) – time se pokazuje da tek skup realnih
brojeva potpuno prekriva brojevni pravac.
Napomena: Budući da je pridruživanje točaka brojevnog pravca realnim brojevima jednoznačno
(svaka točka pridružena je točno jednom broju, svaki broj ima točno jednu pridruženu točku),
pojednostavnjeno govorimo npr. o "točki 1", iako bi zapravo trebalo reći "točka na brojevnom
pravcu pridružena broju 1". Slično ćemo pojednostavnjenje kasnije koristiti kod razmatranja
dvodimenzionalnog koordinatnog sustava i grafova funkcija.
8

13. 1. Uvod
Priča druga: podskupovi skupa R, intervali
Kao i za svaki drugi skup, podskupove skupova N, Z i Q označavali smo tako da u vitičastim
zagradama nabrojimo njihove elemente ili navedemo svojstvo koje elementi zadovoljavaju. Na
isti način, naravno, možemo označavati i podskupove skupa R, no ovdje definiramo posebnu
vrstu podskupova, tzv. intervale. Za realne brojeve a i b, gdje je a < b, definiramo:
(a, b ) = {x ∈ R, a < x < b} otvoreni interval
[a, b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b} zatvoreni interval
.
[a, b ) = {x ∈ R, a ≤ x < b} poluotv. interval
(a, b] = {x ∈ R, a < x ≤ b} poluotv. interval
Ovakav zapis podskupova skupa R praktičan nam je jer ćemo se intervalima često koristiti, pa
bi bilo naporno svaki put ispisivati "puni" zapis skupa. Osim toga, zapis intervala nas vizualno
podsjeća da se u geometrijskom prikazu radi o dijelu brojevnoga pravca od točke a do točke b.
Prisjetimo se: racionalni, cijeli ili prirodni brojevi x za koje je a < x < b ne prekrivaju sve točke
brojevnog pravca između a i b.
Za neki realni broj x0, često će nam (npr. u razmatranju svojstava funkcija) trebati interval oblika
(x0-ε, x0+ε), gdje je ε neki realni broj, ε>0. Ovakav interval zovemo okolina broja x0.
Napomena 1: Pojam okoline je izuzetno jednostavan – uzeli smo neki simetričan interval oko
točke (odnosno, oko broja) x0. Međutim, budući da nam se ovdje po prvi put u zapisu pojavljuje
slovo ε, zapis izgleda vrlo "znanstveno".
Napomena 2: Općenito, ε iz definicije okoline broja x0 može biti bilo koji pozitivan realni broj.
Međutim, u praksi najčešće promatramo "male" okoline – one u kojima je ε jako mali (ali još
uvijek strogo veći od 0).
Zadatak: Razmotrite okoline rubnih točaka otvorenog, zatvorenog i poluotvorenog intervala, tj.
u kojim su slučajevima te okoline podskupovi intervala za svaki odabir ε, za neki odabir ε, a u
kojim slučajevima nisu podskupovi ni za jedan odabir ε.
Posebno, razmotrite svojstvo otvorenog intervala da za svaku njegovu točku postoji okolina koja
je cijela u tome otvorenom intervalu. Koje točke poluotvorenih i zatvorenih intervala nemaju to
svojstvo?
Priča treća: ograničenost (ograđenost, omeđenost) skupa realnih brojeva
Primijetimo: definirali smo intervale kojima su rubovi realni brojevi; takva definicija nam ne
omogućava zapisati u obliku intervala npr. skup svih realnih brojeva manjih ili jednakih 1, ili cijeli
skup R. Da bismo mogli u obliku intervala zapisati i ovakve skupove realnih brojeva (dakle, radi
jednostavnijeg zapisivanja izraza), skup R proširujemo s dva elementa koje zovemo "minus
beskonačno" (oznaka: − ∞ ) i "beskonačno" (oznaka: ∞ ). Ove elemente definiramo kako
slijedi (oznaka ∀ čita se "za svaki"):
∀x ∈ R , x < ∞
.
∀x ∈ R, x > −∞
Koristeći ova dva elementa, sada npr. možemo zapisati skup svih realnih brojeva manjih ili
jednakih 1 kao interval (− ∞, 1] , a skup R kao (− ∞, ∞ ) .
9

14. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Napomena: − ∞ i ∞ nisu realni brojevi i za njih ne vrijede računske operacije definirane
u skupu realnih brojeva (zbog toga se uz − ∞ i ∞ kao granicu intervala uvijek stavlja obla
zagrada). Skup R je ostao kakav je bio i do sada, nema ni najmanji ni najveći element.
Nažalost, nerijetko se pokušava improvizirati nekakvo "računanje s beskonačnošću": na primjer,
česta je (i pogubna) zabluda kako je ∞ − ∞ = 0 . U poglavlju o limesu funkcije mi ćemo govoriti o
tzv. "računanju s beskonačnošću", ali ćemo jasno odrediti što pod time podrazumijevamo.
Priča o (ne)ograničenosti skupova realnih brojeva je silno jednostavna, a ipak stvara probleme.
Naime, čim se u nekakvom matematičkom tekstu počnu pojavljivati (uvjetno rečeno)
"ekskluzivno matematički" pojmovi i oznake, stječe se pogrešan dojam da je tekst jako težak.
Kao posljedica, umjesto pokušaja razumijevanja tekst se pokušava "svladati" učenjem napamet.
Tako će nam i ovdje pojmovi kao što su "gornja (donja) granica", "infimum", "supremum",
"najveća donja (najmanja gornja) granica", stvoriti dojam kako je priča koju pričamo teška i
nerazumljiva.
Promotrimo pojam ograničenosti općenito: što znači da je nešto ograničeno? Odgovor izgleda
lakonski: znači da to "nešto" ima granicu. Pokušajte sami izreći: što bi mogla značiti izjava da je
neki podskup skupa realnih brojeva ograničen odozgo (ili odozdo)? Naravno, to znači da ima
neku gornju ili donju granicu. Preostaje nam samo još definirati što je to gornja (donja) granica
nekog skupa realnih brojeva. Razmotrimo najprije pojam gornje granice, od intuitivnog
"osjećaja" za njezino (ne)postojanje pa do formalne definicije.
Zadatak: Za koje od sljedećih skupova intuitivno smatrate da imaju gornju granicu? Odredite
gornju granicu tim skupovima:
{x ∈ R, x ≤ 1} ;
{x ∈ R, x ≥ −1} ;
{x ∈ R, }
x2 < 2 .
Gornju granicu imaju prvi i treći skup: nijedan element ovih skupova nije veći od npr. 1.000 (niti
od 10.000, niti od 32.538). Jednostavno, skup S ⊆ R ograničen je odozgo ako postoji realan
broj M takav koji je veći od svih elemenata skupa S. Broj M zovemo gornja granica skupa S.
Zadatak: Sami iskažite analognu definiciju odozdo ograničenog skupa S realnih bojeva.
Konačno, neki skup S ⊆ R je ograničen ako je ograničen odozdo i odozgo.
Vjerojatno ste kao gornju granicu za prvi skup postavili 1, a za treći skup 2 . Naime, prvi se
skup može zapisati kao interval ( −∞ , 1], a treći kao ( − 2 , 2 ) pa onda izgleda prirodno uzeti
desnu granicu intervala kao gornju granicu (odnosno, ako postoji, lijevu granicu intervala kao
donju granicu). To jest točno, odnosno to jesu gornje granice (štoviše, to su u izvjesnom smislu
"najljepše" gornje granice), ali nisu jedine: svaki broj veći od 1 također je gornja granica prvog
skupa. Ako skup ima gornju (donju) granicu, onda ih ima beskonačno.
Spomenuta "ljepota" granica 1 i 2 je u tome što su to najmanje gornje granice i kao takve
najbolje opisuju "ponašanje" članova toga skupa (više znamo o članovima skupa, tj. o njihovoj
veličini, ako kao gornju granicu promatramo 1 nego 10.000, a čini se razumnim da su nam
"ljepše" one granice koje bolje opisuju skup). U čemu je razlika između njih? Broj 1 jest, a broj
2 nije element skupa kojemu je gornja granica, pa kažemo da je broj 1 maksimum prvog
10

15. 1. Uvod
skupa a broj 2 supremum trećeg skupa. Analogno se najveća donja granica naziva infimum,
a ako je element skupa minimum.
Nakon opširne (i dijelom matematički "neprecizne") rasprave, evo i "službenih" definicija
opisanih pojmova.
Definicija:
Skup S ⊆ R je ograničen odozdo ako postoji realni broj m koji je manji ili jednak od svih
elemenata iz S. Svaki ovakav broj m zovemo donja granica skupa S;
Ako je realni broj m najveća donja granica skupa S ⊆ R i ako je m∉S, kažemo da je m
infimum skupa S;
Ako je realni broj m najveća donja granica skupa S ⊆ R i ako je m∈S, kažemo da je m
minimum skupa S;
Skup S ⊆ R je ograničen odozgo ako postoji realni broj M koji je veći ili jednak od svih
elemenata iz S. Svaki ovakav broj M zovemo gornja granica skupa S;
Ako je realni broj M najmanja gornja granica skupa S ⊆ R i ako je M∉S, kažemo da je M
supremum skupa S;
Ako je realni broj M najmanja gornja granica skupa S ⊆ R i ako je M∈S, kažemo da je M
maksimum skupa S;
Skup S ⊆ R je ograničen ako je ograničen odozgo i odozdo.
Konačno, čemu ovoliko priče oko tek nekoliko jednostavnih pojmova? Prije svega, iskustvo
pokazuje da studenti s ovim pojmovima imaju problema (uglavnom zbog toga što ih pokušavaju
naučiti napamet bez razumijevanja). Nadalje, pojam ograničenosti će nam trebati u razmatranju
funkcija.
Priča četvrta: apsolutna vrijednost realnog broja
Evo još jedne "silno jednostavne priče" (ne bojte se, neću za sve priče do kraja predmeta tvrditi
da su silno jednostavne). Dakle, manje-više svi znamo napisati da je apsolutna vrijednost
realnog broja:
⎧ x, ako je x ≥ 0
x =⎨
⎩− x, ako je x < 0
Problem ponekad nastaje u pravilnom čitanju ove definicije, što se vidi kada treba u istoj formi
zapisati čemu je jednako, npr. |2x – 3|. Nerijetko se i ova apsolutna vrijednost (pogrešno!)
definira ovisno o tome je li x veći ili manji od nule.
Kod definicija poput ove (kao ni kod nekih drugih izraza koji nas tek očekuju) važno je ne
shvaćati x "doslovno". Definicija apsolutne vrijednosti zapravo definira apsolutnu vrijednost bilo
kakvog "realnog izraza". Nije jako matematički, ali nije ni pogrešno govoriti o "krumpirima" (u
namjeri da se eliminira "robovanje" x-u), pa u ovom slučaju reći da je apsolutna vrijednost
"krumpira" definirana ovako:
⎧ krumpir, ako je krumpir ≥ 0
krumpir = ⎨
⎩− krumpir, ako je krumpir < 0
11

16. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Osnovna svojstva apsolutne vrijednosti lako se provjere "zdravorazumski":
x ⋅ y = x⋅y
x+y ≤ x + y
U ovim svojstvima govorima o "ponašanju" apsolutne vrijednosti pri množenju i zbrajanju, a x i y
su realni brojevi (ili izrazi – dakle, opet "krumpiri") koji mogu biti pozitivni ili negativni – prema
tome, uz malo razmišljanja može se lako zaključiti što apsolutna vrijednost "radi" umnošku ili
zbroju.
Geometrijska interpretacija apsolutne vrijednosti |x| je udaljenost broja x od nule na
brojevnom pravcu. Geometrijska interpretacija izraza |x–y| je udaljenost točaka x i y na
brojevnom pravcu.
Napomena: Bez obzira u kojem kontekstu se u zadatku pojavljuje apsolutna vrijednost, u
rješavanju zadatka najprije ju treba na "zakonit" način ukloniti – to najčešće znači da se
razmatra nekoliko slučajeva ovisno o tome je(su) li argument(i) apsolutne vrijednosti veći ili
manji od 0.
Digresija: Vrlo često (ne samo vezano uz apsolutnu vrijednost, nego i inače) studenti ulete u
zamku pitanja "kakvog je predznaka –x?", i uredno izjave da je –x negativan ("jer ima minus").
Naravno, ne možemo ništa reći o –x ako ne poznamo koju vrijednost (ili koje sve vrijednosti)
može poprimiti x. Dakle, točan odgovor je "ne znamo". Međutim, slijedi trik-pitanje "a kakvog je
predznaka –x2?" Poučeni prethodnim pitanjem, studenti često nude isti odgovor "ne znamo".
Nažalost opet krivo: budući da je x2 uvijek veći ili jednak nuli, to je –x2 uvijek manji ili jednak nuli.
Pouka: Razmišljajte, nemojte lupati!
12

17. 1. Uvod
1b Vježbe
1. Je li A = {x : 0 ≤ x ≤ 7} dobro zadan skup?
2. Odredite presjek, uniju i skupovnu razliku skupova:
A={neparni brojevi manji od 24} i B={djelitelji broja 24}.
4. Odredite A ∩ B , A ∪ B i A B za skupove:
a) A=[0,1), B=(1/2, 2);
b) A=[0,1), B=(-1, 0];
c) A=[0,1), B=(-1, 0);
5. Odredite (intuitivno, bez cjelovitog dokazivanja) supremum, infimum, minimum, maksimum
(ako postoje), za skupove:
{
a) S = x ∈ R : x 2 ≤ 2 }
b) S = {x ∈ Q : x 2
≤ 2}
⎧1 ⎫
c) S = ⎨ , n ∈ N ⎬
⎩n ⎭
⎧ n ⎫
d) S = ⎨ , n ∈ N⎬ .
⎩ n +1 ⎭
6. Analogno definiciji za |x|, zapišite definiciju za |2x-3|.
7. Riješite:
a) |3x–2|=1;
b) |3x–2|≤1;
c) |x+1|–|2x–3|=2;
8. Grafički (geometrijskom interpretacijom apsolutne vrijednosti), riješite nejednadžbu:
x −1
< 1.
x +1
13

18. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
1c Rješenja
1. Nije, jer ne znamo iz kojeg skupa brojeva je x.
2. A ∩ B = { 3} ; A ∪ B = A ; A B = {5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23}
1,
4. a) A ∩ B = (1 / 2, 1) ; A ∪ B = [0, 2) ; A B = [0, 1 / 2]
b) A ∩ B = {0} ; A ∪ B = (− 1, 1) ; A B = (0,1)
c) A ∩ B = ∅ ; A ∪ B = (− 1, 1) ; A B = [0,1)
5. a) min(S)= − 2 ; max(S)= 2
b) inf(S)= − 2 ; sup(S)= 2
c) inf(S)=0; max(S)=1
d) min(S)=1/2; sup(S)=1
⎧ 2x − 3, ako je 2x - 3 ≥ 0, tj x ≥ 3 / 2
6. 2x − 3 = ⎨ .
⎩− 2x + 3, ako je 2 x − 3 < 0, tj x < 3 / 2
7. a) x=1/3, x=1
b) 1/3 ≤ x ≤ 1
c) Razmatramo sljedeće slučajeve:
x < −1 − 1< x < 3 / 2 x >3/ 2
− (x + 1) + (2·x − 3) = 2 (x + 1) + (2·x − 3) = 2 (x + 1) − (2·x − 3) = 2
x = 6 ne valja x = 4/3 x=2
8. x>0 (nejednadžba opisuje točke koje su bliže 1 nego -1).
14

19. 2. Funkcije
2. Funkcije
2.1 Definicija
Pojam funkcije središnji je pojam cijeloga predmeta, i jedan od osnovnih pojmova matematike
uopće. Upravo zbog toga ćemo, prije iskazane "službene" definicije funkcije ponešto
neformalnijim rječnikom pokušati "prepoznati" što je to funkcija.
Kao i obično, i ovdje ćemo napomenuti da je pojam funkcije iznimno jednostavan (ako se o
njemu razmisli a ne uči ga se napamet i bez razumijevanja), a jednostavni su i ostali naglasci
ovoga poglavlja: svojstva funkcije i graf funkcije. Jedinu poteškoću može stvarati nešto veći broj
pojmova vezanih uz funkcije, ali su svi ti pojmovi lako razumljivi pa ih je lako i upamtiti.
Digresija: Definicije nisu "suha teorija". Definicija nekog objekta/pojma je snažni alat koji
omogućava raspoznavanje "tko jest a tko nije". Nemojte definicije učiti napamet; ako ih ne znate
primijeniti posve je beskorisna sposobnost "recitiranja".
Na pitanje što je funkcija, najčešći ponuđeni odgovor je "to je zakon pridruživanja", bez ikakvoga
pojašnjenja koga pridružujemo kome i na koji način izvodimo to pridruživanje. Isto tako,
podsvjesno se razmišlja o funkcijama definiranim nad skupovima brojeva, iako je funkcija
daleko općenitiji pojam (toliko općenit da možemo čuti i besmislene izjave poput "trebamo
poljoprivredu staviti u funkciju turizma"). Pogledajmo najprije nekoliko primjera preslikavanja
između dva skupa:
D K D K D K
I a I
a I a
II b II
b II b
III c III
c III c
IV d IV
1 2 3
D K D K D K
I a
a I I a
II b
b II II b
III c
c III III c
IV d
4 5 6
Zadatak: Razmotrite sliku i pokušajte intuitivno (na osnovi "vaše" definicije funkcije) odrediti
koja od preslikavanja na dijagramima 1-6 jesu funkcije, a koja nisu. Argumentirajte odgovor.
Uobičajeni pogrešni odgovori su "dijagram 1 prikazuje funkciju" i eventualno izjava da dijagrami
3 i 4 ne prikazuju funkcije – razmatranja se svedu na "argument" "lijepi dijagrami prikazuju
funkcije, a ružni ne". No, nakon što se kao neslužbena definicija funkcije ponudi izjava
"preslikavanje mora biti takvo da svaki element polaznog skupa zna gdje se preslika", lako se
15

20. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
dođe do ispravnog zaključka da su funkcije prikazane na dijagramima 2, 3, 4 i 6. Dijagram 1 ne
prikazuje funkciju jer element IV nije nigdje preslikan, a na dijagramu 5 element III se preslikava
u dva elementa skupa K.
Definicija: Neka su D i K dva neprazna skupa. Preslikavanje koje svakom elementu skupa D
pridružuje točno jedan element skupa K zove se funkcija sa D u K, oznaka f : D → K.
Skup D nazivamo domena funkcije (područje definicije). Skup K nazivamo kodomena
funkcije (područje vrijednosti). Zanimat će nas i slika funkcije (skup funkcijskih vrijednosti).
Slika je podskup kodomene, a čine je oni elementi kodomene u koje se preslikao barem jedan
element domene. Na primjer, slika funkcije na dijagramu 2 je {a, b, c}, a slika funkcije na
dijagramu 3 je {b}.
U definiciji smo istakli tri ključna elementa: postojanje dva neprazna skupa i svojstvo koje
preslikavanje mora zadovoljiti da bi funkcija bila definirana. Pritom je spominjanje nepraznih
skupova D i K "tehnički argument", tj. iskazivanje banalne činjenice da moramo imati elemente
koje ćemo preslikati i elemente koje ćemo im pridružiti, dok su svojstva preslikavanja bitna za
prepoznavanje što jest a što nije funkcija.
Ponovimo još jednom, funkcija je jednoznačno određena s tri podatka: domenom,
kodomenom i pravilom preslikavanja! Da bi dvije funkcije bile jednake, moraju imati jednake i
domene i kodomene i pravilo preslikavanja (ovo nije formalnost: u zadacima ćemo vidjeti da
promjena domene i/ili kodomene uz isto pravilo preslikavanja, rezultira novom funkcijom
drukčijih svojstava).
Zadatak: Razmotrite međuodnos između kodomene funkcije i slike funkcije. Navedite primjer
funkcije kojoj je slika jednaka kodomeni, i funkcije kojoj su slika i kodomena različite.
2.2 Pojmovi i svojstva
Nakon što definiramo neki pojam, najčešće tragamo za posebno "lijepim" predstavnicima toga
pojma. U slučaju funkcija, razmotrit ćemo dva "lijepa" svojstva:
ako se različiti elementi domene preslikaju u različite elemente kodomene (odnosno, ako se
nijedna dva elementa domene ne preslikaju u isti element kodomene), funkcija je injekcija
(dijagrami 2 i 6 na prethodnoj stranici);
ako je slika funkcije jednaka kodomeni (odnosno, ako se u svaki element kodomene
preslikao barem jedan element domene), funkcija je surjekcija (dijagrami 4 i 6 na
prethodnoj stranici).
Injekcije i surjekcije su, dakle, "lijepe" funkcije. Uočimo da je samo dijagram 6 ujedno i surjekcija
i injekcija. Uočimo nadalje da je ovo "jako, jako lijepa" funkcija: skupovi D i K imaju jednak broj
elemenata i imamo tzv. "1-1" preslikavanje. Funkcija koja je surjekcija i injekcija naziva se
bijekcija.
Napomena: Funkcija koja nije bijekcija može se "popraviti", od nje se može dobiti funkcija koja
jest bijekcija, i koja čuva preslikavanje koliko je to god moguće:
ako funkcija nije injekcija, iz domene uzimamo samo jedan od elemenata koji imaju istu
funkcijsku vrijednost;
ako funkcija nije surjekcija, kao kodomenu nove funkcije uzimamo sliku izvorne funkcije.
16

21. 2. Funkcije
Napomena: Naravno, funkcija dobivena od polazne promjenom domene i/ili kodomene nije
jednaka izvornoj funkciji (iako nismo mijenjali pravilo preslikavanja). Štoviše, upravo ovaj
postupak je najbolji primjer da funkcija nije samo "preslikavanje", jer uz zadržano preslikavanje
mijenjanjem domene i/ili kodomene dobivamo novu funkciju različitih svojstava.
Primjer: Razmotrimo f(x)=x2, f : R → R. Ova funkcija nije injekcija (jer je, npr. (–1)2 = 12), ni
surjekcija (jer je slika funkcije interval [0, ∞), tj. nijedan broj nema negativnu funkcijsku
vrijednost). Ako želimo "lijepu" funkciju (dakle, bijekciju) koja će biti "što sličnija" funkciji f tj. koju
ćemo dobiti uz što manje "zahvate" na definiciji funkcije f, postupamo kako slijedi:
da bismo postigli injektivnost, provodimo restrikciju domene: definiramo funkciju g(x)=x2,
g : [0, ∞) → R. Funkcija g je injekcija (ali još uvijek nije surjekcija);
da bismo postigli surjektivnost, provodimo restrikciju kodomene: definiramo funkciju
h(x)=x2, h : [0, ∞) → [0, ∞). Funkcija h je i injekcija i surjekcija, pa je bijekcija.
Primijetimo da u izbor funkcija g i h nije jedinstven; na isti smo način mogli definirati funkcije
p(x)=x2, p : (–∞, 0] → R, i q(x)=x2, q : (–∞, 0] → [0, ∞), ili r(x)=x2, r : (1, 3] → (1, 9].
Spomenuli smo već da se funkcije mogu definirati nad bilo koja dva neprazna skupa. Ipak,
budući da ćemo se u daljnjim razmatranjima baviti funkcijama oblika f : D → K, gdje su D i K
podskupovi skupa realnih brojeva, preostale pojmove i svojstva predstavit ćemo na primjerima
takvih funkcija. Ovakve funkcije zovemo realne funkcije realne varijable ("realne funkcije"
zbog toga što im je kodomena podskup skupa realnih brojeva; "realne varijable" zbog toga što
im je domena podskup skupa realnih brojeva).
Funkcija f : D → K može se zadati na razne načine. Mi ćemo najčešće koristiti eksplicitno
zadavanje, tj. zadavanje izrazom y=f(x). Pritom dogovorno (ako nije drukčije naznačeno)
podrazumijevamo da funkciju razmatramo na njezinom prirodnom području definicije (to je
skup svih realnih brojeva za koje se može izračunati funkcijska vrijednost, tj. za koje funkcija
poprima realnu vrijednost), a kao kodomenu uzimamo cijeli skup R;
Definicija: Neka su zadane funkcije f : D → R i g : K → R. Ako je slika funkcije f podskup domene
funkcije g, definiramo kompoziciju funkcija, odnosno funkciju h : D → R takvu da je
h(x)=g[f(x)]. Kompoziciju funkcija f i g u kojoj na x najprije djeluje funkcija f a potom na f(x)
funkcija g, označavamo sa g°f(x).
Nije teško razumjeti kako kompozicija funkcija djeluje na x; možda je jedino na prvi pogled
nejasan zahtjev da slika funkcije f bude podskup domene funkcije g, no to je jednostavno
preduvjet da bi kompozicija bila dobro definirana. Naime, funkcija g djeluje samo na elemente
skupa K i ako bi postojao neki x za koji je f(x) izvan skupa K, za takav x ne bi bila definirana
kompozicija g[f(x)] (jer funkcija g "ne zna što bi" s vrijednošću f(x)).
Primjer: Odredite g°f(x) ako je f(x)=2x+3, g(x)=x2 – 2.
Rješenje: Moramo odrediti čemu je jednak g[f(x)], odnosno g(2x+3). Jedini problem koji se
može pojaviti je "doslovno" shvaćanje argumenta x u definiciji funkcije g. Ovdje opet možemo
posegnuti za "krumpirima" i definirati funkciju g kao g(krumpir)=(krumpir)2+2, gdje "krumpir"
označava bilo koji realni izraz. Slijedom "logike krumpira":
g°f(x) = g(2x+3)= (2x+3)2 – 2 = 4x2+12x+7.
17

22. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Definicija: Neka je f : D → K bijekcija. Definiramo f –1 : K → D takvu da je ∀x∈D, f–1°f(x)=x.
Funkciju f–1 zovemo inverzna funkcija funkcije f.
Promotrimo li dijagrame 1-6 na početku poglavlja, lako je razumjeti zbog čega f mora biti
bijekcija da bi imala inverznu funkciju: samo u tom slučaju sve elemente kodomene "znamo"
vratiti u izvorne elemente domene. Ako funkcija nije surjekcija, znači da je neki element
kodomene nepokriven funkcijskom vrijednošću (pa se nema kamo vratiti), a ako nije injekcija
znači da se u barem jedan element kodomene preslikalo više od jednog elementa domene (pa
taj element kodomene "ne zna" u koji bi se od preslikanih elemenata vratio).
Primjer: Odredite inverznu funkciju za f(x)=2x+1.
Rješenje: Lako se vidi da je funkcija f definirana na cijelom skupu R i bijekcija je. Vrijedi:
y = 2x + 1
y −1
x=
2
x −1
Prema tome, f −1 (x ) = .
2
Definicija: Nekoliko "brzopoteznih" definicija uz realne funkcije realne varijable f : D → K:
Dvije su funkcije jednake ako su im jednake domene, kodomene i pravilo preslikavanja
(odnosno, ako su im jednaka sva tri elementa koja jednoznačno određuju funkciju);
nul-točka funkcije je svaki x0 iz domene funkcije f za koji je f(x0)=0;
Funkcija je ograničena odozgo (odozdo) ako je njena slika odozgo (odozdo) ograničen skup;
Funkcija je rastuća ako x1<x2 ⇒ f(x1)≤ f(x2);
Funkcija je padajuća ako x1<x2 ⇒ f(x1) ≥f(x2);
Funkcija je strogo rastuća (strogo padajuća) ako su nejednakosti u prethodnim
definicijama stroge;
Funkcija je monotona (strogo monotona) ako je rastuća (strogo rastuća) ili padajuća
(strogo padajuća);
Funkcija je parna ako je f(x)=f(–x), ∀x∈D;
Funkcija je neparna ako je f(x)= – f(–x), ∀x∈D.
Napomena: Svojstvo monotonosti može se razmatrati na dijelovima prirodnog područja
definicije funkcije; u tom slučaju govorimo o funkciji koja je po dijelovima monotona.
Nešto detaljnije razmotrit ćemo pojam periodičnosti:
Definicija: Funkcija f je periodična ako postoji broj P takav da je ∀x∈D, ako je x+P∈D,
f(x+P)=f(x). Pritom se najmanji takav pozitivan broj P zove osnovni period funkcije f.
Lako se vidi da smo u osnovi zapisali ono što intuitivno smatramo periodičnošću, tj. činjenicu da
se "funkcija ponavlja". Ako je područje definicije funkcije cijeli skup R, ne treba nam upit je li
x+P unutar područja definicije funkcije, ali za funkcije definirane na nekom podskupu skupa
realnih brojeva ovaj upit nam osigurava da ne "iskočimo" iz područja definicije funkcije.
Spominjanje "najmanjeg takvog pozitivnog broja" kao osnovnog perioda nužno je zbog toga što
je za periodičnu funkciju bilo koji višekratnik od P također period (ali nije osnovni period).
18

23. 2. Funkcije
2.3 Graf funkcije
Definicija: Graf funkcije f : D → K je skup uređenih parova {(x, f(x)), x∈D}.
Ova definicija vrijedi za svaku funkciju, pa tako i za realne funkcije realne varijable. Graf je,
dakle, skup uređenih parova iz kojeg se može "pročitati" kako funkcija djeluje na pojedine
elemente domene. Za realne funkcije realne varijable prirodno je ove uređene parove prikazati
u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini; zbog toga ćemo pod "grafom funkcije"
podrazumijevati skup točaka ravnine {(x, f(x)), x∈D}.
Zadatak: Samostalno ponovite priču o koordinatnom sustavu u ravnini. Provjerite znate li
prikazati zadanu točku u ravnini, gdje leže točke s istom apscisom ("prvom koordinatom"), gdje
točke s istom ordinatom ("drugom koordinatom"), itd.
(Ne)razumijevanje grafa funkcije, tj. (ne)sposobnost opisivanja svojstava funkcije razmatranjem
njenoga grafa, najbolji je pokazatelj (ne)razumijevanja funkcija uopće. Nakon uvodnih
razmatranja nekih elementarnih funkcija, mi ćemo se "naoružati" s dva osnovna alata za obradu
funkcija – limesom i derivacijom – i pomoću njih biti u stanju nacrtati tzv. kvalitativni (približni)
graf funkcije. Ukoliko nakon silnoga truda nismo u stanju opisati kako se to funkcija "ponaša"
razmatranjem njenoga grafa, sav trud nam je uzaludan. Jednako je pogubno ne znati grafički
interpretirati neke elementarne definicije i svojstva, tj. prikazati ih na primjeru neke funkcije.
Možda je korisna sljedeća preporuka: zamislite koordinatne osi kao "šetnicu" – po x-osi šetate
kada želite razmatrati područje definicije i pojmove vezane uz njega, po y-osi kada želite
razmatrati funkcijske vrijednosti i pojmove vezane uz njih. Funkcijske vrijednosti za neki x
očitavate na y-osi kao "očitavanje vodostaja", gledate na kojoj je visini funkcijska vrijednost f(x).
Što bi, dakle, trebalo "pročitati" promatrajući graf funkcije? Za početak, sljedeće:
Za neki x0 ∈ D, točka (x0 y0) je:
na grafu ako je y0=f(x0);
ispod grafa ako je y0<f(x0);
iznad grafa ako je y0>f(x0);
Uspravni pravac može sjeći graf funkcije u najviše jednoj točki (ako neki uspravni pravac
x=x0 ne siječe graf, to znači da x0 nije u domeni funkcije);
Vodoravni pravac može sjeći graf u proizvoljno mnogo točaka (uključujući i "nula
točaka", tj. ne mora uopće sjeći graf – ako neki vodoravni pravac y=y0 ne siječe graf, to
znači da y0 nije u slici funkcije);
Prirodno područje definicije funkcije čine svi x0∈R u kojima uspravni pravac x=x0 siječe graf;
Sliku funkcije čine svi y0∈R u kojima vodoravni pravac y=y0 siječe graf;
Ako je funkcija injekcija, svaki vodoravni pravac siječe graf u najviše jednoj točki;
Ako je funkcija surjekcija, za svaki y0 iz kodomene vodoravni pravac y=y0 siječe graf
(barem u jednoj točki);
Funkcija je ograničena odozgo ako postoji vodoravni pravac y=y0 takav da je cijeli graf
ispod njega.
Zadatak: Skicirajte u koordinatnom sustavu primjere funkcija kojima ćete ilustrirati svaku od
ovih definicija i napomena o grafu funkcije.
Na osnovi definicije za ograničenost odozgo, sami iskažite analogiju za ograničenost odozdo.
19

24. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Definicija: Funkcija f : D → R je na intervalu (a, b):
⎛ x + x 2 ⎞ f (x1 ) + f (x 2 )
konveksna ako za svaki x1, x2 ∈(a, b) vrijedi f⎜ 1 ⎟≤
⎝ 2 ⎠ 2
⎛ x + x 2 ⎞ f (x1 ) + f (x 2 )
konkavna ako za svaki x1, x2 ∈(a, b) vrijedi f⎜ 1 ⎟≥
⎝ 2 ⎠ 2
Točku u kojoj funkcija mijenja način zakrivljenosti zovemo točka infleksije.
Definicija naizgled nije najjasnija, no radi se o jednostavnome svojstvu: ako je na intervalu (a, b)
graf funkcije ispod spojnice bilo koje dvije točke grafa, funkcija je konveksna na tom intervalu;
ako je pak iznad svake spojnice, funkcija je konkavna. Još jedan način utvrđivanja
konveksnosti: ako je funkcija konveksna na intervalu (a, b), graf funkcije u okolini točke
c∈(a, b) je iznad tangente na graf funkcije u točki c; ako je funkcija konkavna na intervalu
(a, b), graf funkcije u okolini točke c∈(a, b) je ispod tangente na graf funkcije u točki c.
y y y
f((x1+x2)/2) konkavna
(f(x1)+f(x2))/2
(f(x1)+f(x2))/2
f((x1+x2)/2)
1 1 1 konveksna
x1 (x1+x2)/2 x2 0 1 x 0 1 x 0 T.inf.1 x
x1 (x1+x2)/2 x2
Konveksna funkcija Konkavna funkcija Točka infleksije
Primjer: Svaku od ovih definicija zgodno je povezati s nekim primjerom koji će vas podsjetiti "o
čemu se tu radi". Najbolji primjeri za konveksnost/konkavnost funkcije i točku infleksije su:
funkcija f(x)=x2 je konveksna na cijelom području definicije;
funkcija f(x)= –x2 je konkavna na cijelom području definicije;
funkcija f(x)= x3 je konkavna za x<0, konveksna za x>0 a u x=0 ima točku infleksije.
Zadatak: Skicirajte u koordinatnom sustavu proizvoljnu konveksnu funkciju, konkavnu funkciju i
funkciju koja je na jednom dijelu područja definicije konveksna, a na drugom dijelu konkavna.
Još jedan pojam koji nam govori o tome kako se funkcija "ponaša" jest pojam (lokalnog)
ekstrema. Uočite bitnu razliku između lokalnog ekstrema i ekstrema.
Definicija: Funkcija f : D → R ima u točki x0∈D:
lokalni minimum, ako postoji ε >0 takav da je (x0–ε, x0+ε) ⊆ D i za svaki x∈(x0–ε, x0+ε)
vrijedi: f(x0)<f(x);
lokalni maksimum, ako postoji ε >0 takav da je (x0–ε, x0+ε) ⊆ D i za svaki x∈(x0–ε, x0+ε)
vrijedi: f(x)<f(x0);
lokalni ekstrem, ako ima lokalni minimum ili lokalni maksimum;
(globalni) minimum, ako za svaki x∈D vrijedi: f(x0)≤f(x);
(globalni) maksimum, ako za svaki x∈D vrijedi: f(x)≤f(x0);
(globalni) ekstrem, ako ima (globalni) minimum ili (globalni) maksimum.
20

25. 2. Funkcije
Zadatak: Odgovorite na sljedeća pitanja:
Koliko najmanje, a koliko najviše lokalnih minimuma (maksimuma) može imati funkcija?
Koliko najmanje, a koliko najviše globalnih?
Ako je x0 lokalni minimum, a x1 lokalni maksimum funkcije, što znamo o f(x0) i f(x1)?
Ako funkcija ima lokalni minimum (maksimum), je li nužno ograničena odozdo (odozgo)?
Kakva je veza ograničenosti i globalnih ekstrema?
2.4 Temeljne elementarne funkcije
Prije nego što započnemo razmatranje tzv. elementarnih funkcija, navedimo sljedeće podjele.
Sljedeće funkcije definiramo kao tzv. temeljne elementarne funkcije (naziv "osnovne
elementarne funkcije" nije najsretniji jer su pojmovi "osnovne" i "elementarne" manje-više
istoznačni):
Konstantna funkcija;
Potencija;
Eksponencijalna funkcija;
Logaritamska funkcija;
Trigonometrijske funkcije;
Ciklometrijske (arkus) funkcije.
U ovom poglavlju razmotrit ćemo temeljne elementarne funkcije (njihovu definiciju, prirodno
područje definicije i svojstva), potom ćemo razmotriti neke elementarne funkcije.
Budući da još nismo definirali pojam limesa (granične vrijednosti) funkcije, ponašanje funkcija
ćemo opisivati preko opisivanja njihovog grafa.
Konstantna funkcija
Ovo je najjednostavnija elementarna funkcija. Oblika je f(x)=c, gdje je c∈R. Prirodno područje
definicije je cijeli skup R. Graf je vodoravni pravac y=c.
Potencija
Razmotrimo najprije potenciranje prirodnim brojem, tj. funkciju oblika f(x)=xn, n∈N:
prirodno područje definicije je cijeli skup R;
za neparne n, funkcija je neparna i bijekcija (pa možemo definirati inverznu funkciju);
za neparne n, funkcija nije ograničena. Jedina nul-točka je x=0. Slika je cijeli skup R;
za parne n, funkcija je parna i nije bijekcija. Međutim, ako se područje definicije i
kodomena ograniče na [0,∞), tako ograničena funkcija je bijekcija (pa možemo definirati
inverznu funkciju);
za parne n, funkcija je ograničena odozdo, ima minimum i jedinu nul-točku u x=0. Slika
funkcije je skup [0,∞).
Napomena: Kao što smo već savjetovali, zgodno je razmotriti graf i svojstva potencija f(x)=x2
(kao "predstavnika" parnog stupnja), odnosno f(x)=x3 (kao "predstavnika" neparnog stupnja):
razmotrite grafove funkcija f(x)=x2, f(x)=x3, f(x)= –x2, f(x)= –x3;
funkcija f(x)=x2 je konveksna, funkcija f(x)=x3 je konkavna za x<0, konveksna za x>0 a za
x=0 ima točku infleksije.
21

26. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Potenciranje cijelim brojem definiramo tako da je x –n = 1/xn za svaki prirodan broj n. Prirodno
područje definicije ovakvih funkcija je R{0}.
y y
Posebno su "poučni" grafovi funkcija
y=1/x i y=1/x2, posebice njihovo
y=1/x y=1/x2
ponašanje na lijevoj i desnoj strani
grafa (za jako male i jako velike
0 1 x 0 1 x vrijednosti x-a), kao i neposredno uz
y-os (za vrijednosti x-a bliske nuli).
Razumijevanje ovih grafova bit će
korisno i kasnije, kod razmatranja
limesa.
Potenciranje racionalnim brojem oblika 1/n (gdje je n prirodan broj) definiramo kao inverznu
funkciju funkcije f(x)=xn (pri čemu u slučaju parnoga n ograničimo domenu i kodomenu),
1
označavamo x n = n
x . Vrijedi:
ako je n neparan, područje definicije i slika je cijeli skup R;
ako je n paran, područje definicije i slika je skup [0,∞).
Drugim riječima, "neparni" korijeni su definirani za sve realne brojeve a "parni" za x≥0.
Potenciranje racionalnim brojem definiramo na sljedeći način:
m
m
⎛ 1⎞ m m
( )
1
xn = ⎜xn ⎟ (ili xn = xm n , oznaka: xn = n x m ).
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ako je m negativan, moramo izbaciti nulu iz područja definicije.
Eksponencijalna i logaritamska funkcija
Za realni broj a>0, a≠1 definiramo opću eksponencijalnu funkciju f(x)=ax. Prirodno područje
definicije ove funkcije je R, slika je (0,∞). Ako je a>1 funkcija strogo raste, ako je a<1 funkcija
strogo pada. Vrijedi:
ax+y = ax⋅ay;
ax-y = ax / ay.
Posebno je (zbog svojih "lijepih" svojstava) značajna funkcija ex, gdje je e beskonačan
decimalni broj, približno 2,71.
Inverznu funkciju eksponencijalnoj funkciji f(x) = ax zovemo logaritamska funkcija baze a,
oznaka g (x ) = loga x . Posebno, inverznu funkciju za f(x) = ex označavamo s ln(x) i zovemo
prirodni logaritam.
Svojstva logaritamske funkcije slijede iz svojstava eksponencijalne funkcije, i lako ih je očitati s
grafa funkcija koje dajemo kao primjer ponašanja sličnih funkcija:
f(x)=2x – primjer ponašanja ekponencijalne funkcije kad je a>1;
f(x)=(1/2)x – primjer ponašanja ekponencijalne funkcije kad je a<1;
f(x)=lnx – primjer ponašanja logaritamske funkcije kad je baza veća od 1;
f (x ) = log 1 x – primjer ponašanja logaritamske funkcije kad je baza manja od 1.
2
Budući da je slika eksponencijalne funkcije skup (0,∞), to je ujedno i prirodno područje definicije
logaritamske funkcije.
22

27. 2. Funkcije
Napomene: grafovi ovih funkcija beskonačno se približavaju koordinatnim osima, ali ih nikad
ne dodiruju! Nadalje, izbjegnite uobičajenu pogrešnu izjavu da je "logaritam uvijek pozitivan".
Razmotrite gdje su ove funkcije definirane i kakve vrijednosti poprimaju.
Zadatak: Provjerite poznavanje ovih funkcija na pitanjima poput ovih:
Kako se ponaša graf funkcije f(x)=ex na svojem lijevom (desnom) dijelu? Kako graf funkcije
f(x)=(3/5)x? Kako grafovi funkcija f (x ) = log 3 x i f (x ) = log2 x ?
5
Koje su od temeljnih elementarnih funkcija ograničene odozdo i/ili odozgo?
Koje su od temeljnih elementarnih funkcija surjekcije, injekcije, bijekcije?
Trigonometrijske funkcije
"Šećer ostaje za kraj" – na kraju razmatranja temeljnih elementarnih funkcija, došli smo i do
trigonometrijskih funkcija. Dva su osnovna problema pri usvajanju ovih funkcija: "izbacivanje iz
glave" trigonometrije pravokutnog trokuta, i pokušaj da se funkcije i njihova svojstva nauče
napamet, bez razumijevanja.
Za početak, zaboravimo na pravokutni trokut i definiciju sinusa kao omjera nasuprotne katete i
hipotenuze. Dakako da je ovo valjana definicija sinusa kuta, ali pri razmatranju sinusa kao
funkcije čini više štete nego koristi. Trigonometrijske funkcije, poput svake druge funkcije,
"uzimaju" neke realne brojeve i kao funkcijsku vrijednost im pridružuju neke druge realne
brojeve.
Nadalje, pokušaj da se umjesto razumijevanja ovih funkcija njihova definicija i svojstva
jednostavno "naštrebaju" napamet, nije nimalo mudar: funkcije su jednostavne za
razumijevanje, mnoga svojstva lako se izvedu iz definicije funkcija, pa je učenje napamet daleko
neugodniji posao.
Trigonometrijske funkcije definiramo na sljedeći način: u koordinatnoj ravnini postavimo
jediničnu kružnicu, a pravac x=1 označimo kao brojevni pravac.
23

28. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
y
x
x
sin x
cos x
0 1 x
Namotajmo pravac na kružnicu, i pritom zamislimo da je pravac beskonačno tanak, tj. da se pri
njegovome namatanju na kružnicu jedinična kružnica "ne deblja". Uočimo: ovo preslikavanje je
funkcija sa R u R, tj. svakoj točki pravca (odnosno svakom realnom broju) pridružena je točno
jedna točka kružnice.
Zadatak: Razmotrite je li namatanje pravca na jediničnu kružnicu surjekcija i injekcija.
Definicija: Sinus realnoga broja definiramo kao ordinatu, a kosinus kao apscisu njemu
pridružene točke na jediničnoj kružnici. Tangens realnoga broja x definiramo kao omjer
sinx/cosx, a kotangens kao omjer cosx/sinx.
Zadatak: na grafovima trigonometrijskih funkcija naznačite "karakteristične točke" – nul-točke,
točke prekida područja definicije, točke u kojima se postižu ekstremne vrijednosti, itd.
24

29. 2. Funkcije
Priča o jediničnoj (u ovom kontekstu tzv. trigonometrijskoj) kružnici, namatanju pravca na
kružnicu i definiciji trigonometrijskih funkcija jednostavna je, razumljiva i nadasve silno korisna.
Za početak, iskoristite trigonometrijsku kružnicu (ili graf funkcije f(x)=sin(x)) da biste odgovorili
na trik-pitanje "koliko je sin(1)?"
Zadatak: Razmatranjem trigonometrijske kružnice odgovorite na sljedeća pitanja (obrazložite
odgovor):
Što je prirodno područje definicije, a što slika svake od trigonometrijskih funkcija?
Za koje su dijelove područja definicije trigonometrijske funkcije pozitivne/negativne?
Koje su od trigonometrijskih funkcija injekcija? Koje su surjekcija?
Kako treba reducirati prirodno područje definicije i kodomenu trigonometrijskih funkcija da bi
reducirane funkcije bile bijekcije?
Jesu li trigonometrijske funkcije periodične? Koliki im je osnovni period?
Jesu li trigonometrijske funkcije parne (neparne)?
Kako se pomoću trigonometrijske kružnice jednostavno može dokazati jednakost
sin2x + cos2x = 1?
Jesu li trigonometrijske funkcije ograničene odozdo/odozgo? Ukoliko jesu, koliki im je
minimum/maksimum (infimum/supremum)?
Definicija: Inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama (odnosno, njihovim redukcijama na
bijektivne funkcije) nazivamo ciklometrijske ili arkus funkcije. Tako imamo arcsin(x),
arccos(x), arctg(x) i arcctg(x).
Zadatak: Odredite prirodno područje definicije, sliku, svojstva arkus funkcija. Koristeći svojstvo
simetričnosti grafa funkcije i inverzne funkcije, skicirajte grafove arkus funkcija.
2.5 Neke elementarne funkcije
Elementarne funkcije su funkcije koje se dobivaju zbrajanjem, oduzimanjem, množenjem,
dijeljenjem i kompozicijom temeljnih elementarnih funkcija.
Polinomi
n n-1
Definicija: Funkciju oblika P(x)=anx +an-1x + ... + a1x+a0, gdje je n∈N0, ai realni brojevi i
an≠0 nazivamo polinom n-tog stupnja.
Polinomi su "najjednostavnije" funkcije (navodnici zbog toga što nema definicije što bi to bile
"jednostavne" a što "nejednostavne" funkcije). Nekoliko osnovnih svojstava i značajki:
prirodno područje definicije polinoma je cijeli skup R;
po ponašanju u beskonačnosti razlikujemo polinome parnoga i neparnog stupnja: ako je
an>0, polinomi parnog stupnja ograničeni su odozdo, a za jako male i za jako velike x-ove
(tj. na lijevom i desnom kraju grafa) funkcijske vrijednosti neograničeno rastu, a za
polinome neparnog stupnja funkcijske vrijednosti neograničeno padaju na lijevom a
neograničeno rastu na desnom kraju grafa. Ako je an<0, polinomi parnog stupnja
ograničeni su odozgo, funkcijske vrijednosti neograničeno padaju na lijevom i desnom rubu
grafa; za polinome neparnog stupnja funkcijske vrijednosti neograničeno rastu na lijevom i
neograničeno padaju na desnom kraju;
25

30. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
polinom n-tog stupnja ima najviše n realnih nul-točaka (prije nego izustite čestu zabludu
da ima točno n realnih nul-točaka, sjetite se polinoma P(x)=x2+1 i Q(x)=(x+1)2; koliko ti
polinomi drugog stupnja imaju realnih nul-točaka?);
polinom neparnog stupnja ima barem jednu realnu nul-točku.
Zadatak: Ponovite srednjoškolsku lekciju o zbrajanju, oduzimanju, množenju i dijeljenju polinoma.
Racionalne funkcije
Pn (x )
Definicija: funkciju oblika R (x ) = , gdje su Pn(x) i Qm(x) polinomi stupnja n i m, nazivamo
Qm ( x )
racionalna funkcija.
Racionalne funkcije ("polinom kroz polinom") po tvorbi su nalik racionalnim brojevima ("cijeli broj
kroz cijeli broj"). Slijedom te sličnosti se definiraju prave i neprave racionalne funkcije (kao
što je 3/4 pravi, a 7/2 nepravi razlomak).
Pn (x )
Definicija: racionalna funkcija R (x ) = je prava ako je n<m, u protivnom je neprava.
Qm ( x )
Analogno s izdvajanjem cijeloga broja iz nepravog razlomka, nepravoj racionalnoj funkciji se
dijeljenjem brojnika nazivnikom može izdvojiti cijeli dio, polinom stupnja (n–m).
Osnovna svojstva i značajke:
Pn (x )
Prirodno područje definicije racionalne funkcije R (x ) = je R {x∈R, Q(x)=0}, tj.
Q m (x )
prirodno područje definicije su svi realni brojevi osim nul-točaka nazivnika.
Ako je n<m, graf racionalne funkcije na lijevom i desnom kraju se približava osi x
(funkcijske vrijednosti se približavaju nuli);
Ako je n=m, i ako sa an i bm označimo vodeće koeficijente polinoma P(x) i Q(x), graf
racionalne funkcije na lijevom i desnom kraju se približava vodoravnom pravcu y=an/bm
(funkcijske vrijednosti se približavaju broju an/bm);
Ako je n>m, graf racionalne funkcije se na lijevom i desnom kraju ponaša slično grafu
a
polinoma P (x ) = n x n −m .
bm
Ako je x0 nul-točka nazivnika racionalne funkcije, graf funkcije se blizu x0 približava pravcu
x=x0 (tj. funkcijske vrijednosti neograničeno rastu ili neograničeno padaju).
26

31. 2. Funkcije
Algebarske i transcendentne funkcije
Funkcije koje su dobivene primjenom zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i kompozicije
racionalnih funkcija i potenciranja racionalnim eksponentima zovu se algebarske funkcije.
Funkcije koje nisu algebarske zovu se transcendentne funkcije.
Pojednostavnjeno, algebarske funkcije smiju sadržavati samo potencije (uključujući i
razlomljene, odnosno korijene). Trigonometrijske, ciklometrijske, eksponencijalne i logaritamske
funkcije su transcendentne.
Linearna transformacija grafa, g(x)=A⋅f(Bx+C)+D
Još jedna priča koja je – a kakva bi bila – jednostavna. Iza ovog zlokobnog naslova krije se
tema koja se u osnovi zasniva na (ne)razumijevanju funkcije, posebice (ne)razumijevanju grafa
funkcije. Razmotrit ćemo vezu grafa funkcije f(x) i funkcije g(x)=A⋅f(Bx+C)+D, tj. o utjecaju
koeficijenata A, B, C i D na promjene "osnovnoga" grafa funkcije f(x). Često se linearna
transformacija grafa pogrešno vezuje isključivo uz trigonometrijske funkcije, točnije uz graf
funkcije A⋅sin(Bx+C)+D, pa se umjesto logike koristi prisjećanje na "one formule, kako ono
glase, amplituda, period...". Upravo zbog toga ćemo osim sinusa razmotriti i djelovanje ovih
koeficijenata na primjeru kvadratne funkcije.
Odnos f(x) i (f(x)+D)
Što znači "izračunati (sinx+1) ili (x2+1)", odnosno, u općem slučaju, kako od grafa f(x) dobivamo
graf g(x)=(f(x)+D)? Jednostavno, za svaki x iz područja definicije najprije izračunamo vrijednost
polazne funkcije f(x) i potom pribrojimo vrijednost D. Drugim riječima, svakoj točki grafa funkcije
ordinatu povećavamo za vrijednost D – dakle, graf funkcije f(x) translatiramo (pomičemo) za
vrijednost D paralelno s y-osi (Napomena: D, naravno, može biti i negativan, pa "pribrajanje"
D ne znači nužno i zbrajanje, odnosno translaciju grafa "prema gore").
Odnos f(x) i f(x+C)
Uloga koeficijenata C i D (tj. njihov utjecaj na graf funkcije) najčešće se pomiješaju kod učenja
napamet. Što, dakle, radimo pri konstruiranju grafa funkcije g(x) = f(x+C)? Za svaki x iz domene
funkcije g, na graf nanosimo "vrijednost susjeda", tj. pogledamo kolika je funkcijska vrijednost
funkcije f(x) u vrijednosti "susjeda" x+C. Ako je, npr., C pozitivan (naravno da ne mora biti), mi u
svakome x-u "pogledamo" kako izgleda graf funkcije f za "desnoga susjeda" x+C, tj. graf
funkcije g(x) nastaje kao graf funkcije f(x) pomaknut ulijevo; drugim riječima, translatiramo graf
funkcije f(x) paralelno x-osi za –C. (Napomena: ako niste sigurni treba li translatirati "ulijevo"
ili "udesno", najlakše je razmotriti čiju vrijednost f(x+C) nanosite da biste nacrtali g(0)).
27

32. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
Odnos f(x) i A⋅f(x)
Ukoliko je koeficijent A različit od 1, u svakoj točki x iz domene funkcije f funkcijsku vrijednost
množimo brojem A i tako dobivamo g(x). Lako se vidi da ova transformacija deformira graf
funkcije f u smjeru y-osi: (izdužuje graf ako je A>1 ili ga "stišće" ako je 0<A<1). Posebno, ako
je A negativan, dodatno imamo simetriju (zrcaljenje) s obzirom na x-os.
Napomena: Utjecaj koeficijenta A puno se bolje vidi na primjeru sinusoide – naime, na grafu
kvadratne funkcije nije jasno je li deformacija nastala "stiskanjem" u smjeru y-osi ili širenjem u
smjeru x-osi. S druge strane, na sinusoidama se vidi da se nul-točke nisu pomaknule, tj. nema
deformacije u smjeru x-osi.
Odnos f(x) i f(B⋅x)
Utjecaj koeficijenta B na graf funkcije jednako je jednostavan za razumijevanje, ali nešto
nezgodniji za očitavanje s grafa. Budući da su i kvadratna funkcija i sinus parne funkcije,
djelovanje ovoga koeficijenta za slučaj B<0 razmotrit ćemo na funkciji f(x)=x3.
Da bismo dobili funkcijsku vrijednost g(x), pri čemu je g(x)=f(B⋅x), za svaki x iz domene funkcije
g kao funkcijsku vrijednost nanosimo vrijednost koju f pridružuje broju B⋅x. Djelovanje
koeficijenta B najlakše je uočiti na sinusoidi: krenemo li od x=0, vidimo da je sinusoida prošla
cijeli svoj osnovni lik ("potrošila" temeljni period) za x=2π/B (na primjer, ako je B=2, osnovni lik
sinusoide iscrtali smo već za x=π, za vrijednost B=1/2, za cijeli osnovni lik trebamo crtati graf do
x=4π).
Očito, koeficijent B deformira graf funkcije f(x) u smjeru x-osi, odnosno "širi" ga ako je B>0, i
"sužava" ako je 0<B<1. Posebno, ako je B negativan, dodatno imamo simetriju (zrcaljenje) s
obzirom na y-os.
28

33. 2. Funkcije
I ovdje vrijedi napomena da je djelovanje koeficijenta B lakše uočiti na primjeru sinusoide nego
na grafu polinoma.
29

34. Matematika 1 – preddiplomski studij arhitekture
2b Vježbe
1. Koja svojstva (surjekcija, injekcija, parna, neparna, rastuća, padajuća, lokalni ekstremi,
globalni ekstremi,...) ima f(x)=x2+1, f : R→R ? Definirajte funkciju g, takvu da je g(x)=x2+1,
a da g bude bijekcija. Zapamtite, f ≠ g !
2. Nacrtajte po jedan graf funkcije za svako od sljedećih svojstava:
po dijelovima monotona;
rastuća a nije strogo rastuća;
ograničena odozdo;
ograničena.
⎛ 1⎞ 3x + 1
3. Koliki je f ⎜ ⎟ ako je f (x ) = x + 2 ?
⎝x⎠ x +2
⎛ 1⎞ ⎛ x + 1⎞ x − 1
4. Koliki je f ⎜ ⎟ ako je f ⎜ ⎟= ? Možemo li ovo zaključiti razmišljanjem, bez
⎝x⎠ ⎝ x − 1⎠ x + 1
računanja?
⎧0 x ∈ Q
5. Zadana je funkcija f (x ) = ⎨ . Kolike su sljedeće funkcijske vrijednosti:
⎩1 x ∈ R Q
f (π ), (
f log2 3 4 ,
?
)
(
f (sin 3 ), f 4 − 0,5 )
1
6. Nađite kompoziciju f°f°f(x), ako je f (x ) = .
1− x
7. Izračunajte:
(2x3+3x-1)⋅(x+1)
(x3-2x2+4x-3):(x-1)
x 3 − 3x 2 + 3
8. Izdvojite cijeli dio racionalne funkcije: R (x ) =
x2 − 1
9. Odredite prirodno područje definicije funkcija:
f (x ) = x 2 − 4x + 3
x −2
f (x ) = − ln
x−4
f (x ) = ln(4 − x )
2+ x
f (x ) =
1− x2
10. Skicirajte grafove funkcija:
f (x ) = x + 1 f (x ) = 1 − x
⎛ π⎞
f (x ) = −2 sin⎜ x + ⎟ f (x ) = − cos(x − π )
⎝ 2⎠
π
f (x ) = 2 sin(x ) + f (x ) = − cos(x ) − π
2
30

35. 2. Funkcije
2c Rješenja
1. Nije ni surjekcija ni injekcija, parna je, lijevo od nule pada, desno od nule raste
g(x)=x2+1, g:[0,∞) → [1,∞)
3
+1
⎛ 1⎞ 1 1 x 2 + 3x
3. f⎜ ⎟ = + x 2 = +
⎝ x ⎠ x ⎛ 1⎞ x 2x 2 + 1
⎜ ⎟ +2
⎝x⎠
⎛ 1⎞
4. f ⎜ ⎟ = x . Iz definicije funkcije vidi se da je funkcijska vrijednost recipročna argumentu.
⎝x⎠
5.
f (π ) = 1 ( )
f log 2 3 4 = f (2 / 3 ) = 0
(
f (sin 3 ) = 1 f 4 −0 ,5
) = f (1/ 2) = 0
⎛ 1 ⎞ 1 x −1 ⎛ x − 1⎞ 1
6. f f (x ) = f ⎜ ⎟= = ; f f f (x ) = f ⎜ ⎟= =x
⎝ 1− x ⎠ 1− 1 x ⎝ x ⎠ 1− x − 1
1− x x
7. (2x3+3x-1)⋅(x+1) = 2x4+2x3+3x2+2x-1; (x3-2x2+4x-3):(x-1) = x2-x+3
x 3 − 3x 2 + 3 x
8. 2
= x −3+ 2
x −1 x −1
9.
f (x ) = x 2 − 4x + 3 Rj.: (–∞, 1] U [3,∞) f (x ) = − ln
x−2
Rj.: (–∞, 2)
x−4
f (x ) = ln(4 − x ) Rj.: x < 4 2+x
f (x ) = Rj.: x ≤ -2 U -1 ≤ x ≤ 1
1− x2
10.
31