Calculo matrical de estructuras

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Calculo matrical de estructuras. ANALISIS ESTRUCTURAL

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Calculo matrical de estructuras

  1. 1. CÁLCUiOIWATRKflÁL“ DE ESTRUCTURAS ¿’Si2Hifiïlïïzïiíiïfiïïkhïïïífiáïfbïïáïiï“‘2'? %E}E€; Ï*“{SE9387?? ?‘Sii;34s‘. ,w. =‘¿¿: —2."= ;u«. >;». r_= ,. r2: . - N“ 929
  2. 2. INDICE INTRODUCCION l CAPITULO I: CONCEPTOS BASICOS DE CALCULO MATRICIAL 1.1.- Introducción. 1.2.- Métodos Matriciales. 3 1.3.- Discretización. Elementos y nudos. 4 1.4.- Grados de Libertad. Coordenadas. 4 1.5.- Métodos de Compatibilidad y equilibrio. 5 1.6.- Concepto de Matriz de Rigidez y Flexibilidad. 8 CAPITULO II: EL METODO DIRECTO DE LA RIGIÏDEZ I II.1.- Introducción. A 15 II.2.- Sistemas de coordenadas. 15 II.3.- Matrices. 22 II.4.- Transformación de coordenadas. 26 CAPITULO III: EL METODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ II III.1.- La estructura como conjunto de elemntos. 35 III.2.- El método directo de la rigidez. 37 III.3.- Imposición de las condiciones de contorno. 41 III.4.- Propiedades de la matriz de rigidez. 42 III.5.— Cálculo de las reacciones y de los esfuerzos en los elementos. 44 CAPITULO IV: CARGAS Y OTRAS ACCIONES NO APLICADAS DIRECTAMENTE SOBRE DOS NUDOS IV.1.- Introducción. 45 IV.2.- Cargas aplicadas en barras. 46 IV.3.- Movimientos de apoyos. 48 IV.4.— Cargas Térmicas. 50 IV.5.- Ensamblaje del vector de Cargas. 52 IV.6.- Cálculo de esfuerzos en los elementos. ‘53
  3. 3. ¡i Indice CAPITULO V: TECNICAS COMPLEMENTARIAS DE ANALISIS MATRICIAL V.1.- Introducción. 55 V.2.- Condiciones de contorno no concordantes. 55 V.3.- Apoyos elásticos. 57 V.4.- Condensación estática. 59 V.5.- Libertades en elementos. 60 V .6.. - Subestructuras o macroelementos. 62 V.7.- Ligaduras entre grados de libertad. 64 CAPITULO VI: METODOS MATRICIALES INDIRECTOS V1.1: Introducción. 67 VI.2.- Sistemas de coordenadas. Definición y requisitos. 67 V1.3; ixiatrices elementales. 70 VI.4.- Matrices estática y Cinemática. Relaciones de Contragradiencia. 72 VI.5.- El hdétodo Indirecto de la Rigidez. 75 VI.6.- El Método Indirecto dela Flexibilidad. 78 ANEXO I: MATRIZ DE RIGIIDEZ LNICLUYENDO LA DEFORMACION POR CORTANTE A1.1.- Ecuaciones básicas. 83 Al.2.- Matriz de rigidez del pórtico plano. 86 ANEXO II: MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTALES EN COORDENADAS GLOBALES Aïl. L-Introducción. AHI-Estructura articulada plana. AII.3.-Pórtico plano. AIl.4.-Emparrillado plano. AII.5.-Pórtico plano con libertad de giro en un extremo. M300000000 v-Oooxlxl BIBLIOGRAFIA 1s‘
  4. 4. INTRODUCCION El cálculo por ordenador es un hecho hoy en dia encontrándose extendido a todo tipo de estructuras. El conocimiento y estudio de sus bases teóricas, sti sistemática, y sus posibilidades, es imprescindible para poder realizar modelos simplificados de análisis que respondan a la realidad estructural correspondiente y cuyos resultados, correctamente interpretados, permitan la comprobación del diseño realizado o indiquen que modificaciones son necesarias. De los distintos métodos de cálculo de estructuras por ordenador quizás sea el Cálculo Matricial de Estructuras de barras el más usado; esto es debido al gran número de estructuras que se construyen que pueden ser analizadas mediante un modelo de barras. Aunque históricamente el Cálculo ltíatricial tiene un desarrollo temprano e independiente de otros métodos numéricos usados actualmente, hoy en dia el Método DÍFCCIO de la Rigidez, núcleo de estas notas, puede considerarse como una particularización del Método de los Elementos Finiros al caso de barras. El presente texto es el fruto de varios años de enseñanza de la materia, y ‘pretende ser base fundamental de un curso sobre ella destinado a personas que sólo necesitan tener conocimientos previos sobre Resistencia. de Materiales. El desarrollo teórico es tal que no se plantean grandes formulaciones, sino que se desarrolla la organización en vectores y matrices de las ecuaciones de las barras rectas, y se exponen las ideas necesarias para su manipulación y resolución, todo ello de una forma general y sistemática que permite su implementación en un ordenador. Se comienza la exposición en el Capítulo l presentando la idea de discrerización y los conceptos de elemento, nudo y grado de libertad, introduciendo el análisis matricial y la definición de. matriz de rigidez y flexibilidad. Los cuatro capitulos siguientes se centran en el Método Directo de la Rígidez, que es el método más usado en la actualidad. En el Capitulo Il se introducen las definiciones previas, los sistemas de coordenadas a utilizar y las ecuaciones a nivel del elemento, siendo en el Capítulo III donde se plantea el método propiamente dicho asi’ como la organización del cálculo asociada a él. El tratamiento sistemático de acciones distintas a cargas en los nudos se aborda en el Capítulo IV, en el que se establece un procedimiento genérico para el tratamiento de este tipo de cargas mostrando su potencia y generalidad con los casos más comunes. Se acaba con el Método Direcm de la Rigidez en el Capitulo V proporcionando una serie de técnicas complementarias de análisis matricial muy
  5. 5. IQ Introducción útiles y frecuentemente usadas. El tratamiento de apoyos elásticos, condensación estática y ligadura; entre grados de libertad son algunas de ellas. Por último en el Capitulo Vl se recogen de forma conjunta los Métodos Matriciales indirectos de cálculo de estructuras, tanto el de Rigídez como el de Flexibilidad, definiéndose las matrices Cinemática, estárica y las relaciones de contragradlencia. Al final del texto se incluyen dos anexos. En el primero de ellos se realiza un desarrollo simplificado de cóirio incluir la deformación por cortante en la flexión plana, calculando una nueva matriz de rigidez para el pórtico plano. En el Anexo Il se presentan las expresiones, en coordenadas globales, de las matrices de rigidez elementales más usadas teniendo en cuenta la posible existencia de rotulas en sus extremos. El texto se termina con una bibliografía básica sobre métodos matriciales de cálculo de estructuras cuya consulta permite ampliar los conocimientos sobre el tema a aquellos que lo deseen. r". "s"¡fiA-'L<I¡Anan. QAonqaaqoqq-n-q-q-----_----
  6. 6. CAPITULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE CALCULO MATRICIAL 1.1.- INTRODUCCIÓN La estructura es la parte de una construcción que tiene como función mantener la forma de ésta ante la acción de cargas y _otros agentes externos. Con ello nos referimos no sólo a las construcciones civiles, sino en general a todas las construcciones mecánicas. Las estructuras pueden estar formadas exclusivamente por elementos prismáticos o bien incluir otros elementos de forma laminar y cuerpos de dimensiones semejantes según las tres direcciones ortogonales. Según esto se podrían clasificar las estructuras en tres grandes grupos: estructuras de barras, estructuras laminares, estructuras continuas tridimensionales. En cálculo matricial nos vamos a ocupar únicamente de las estructuras de barras, las cuales pueden, a su‘ vez, agruparse en: estructuras articuladas y estructuras de nudos rígidos; y estas últimas pueden ser pórticos planos, emparrillados y pórticos tridimensionales. Los métodos clásicos de cálculo de estructuras en general eran especificos a un tipo concreto de estructura, aprovechando sus peculiaridades para realizar simplificaciones. En adelante estudiaremos los métodos matriciales que tratan de una forma general cualquier tipo de estructura de barras y cuya filosofía, extendida a dos y tres dimensiones, permite el estudio de estructuras laminares y continuas tridimensionales mediante lo que se conoce como Método de los Elementos Finitos. 1.2.- MÉTODOS MATRICIALES Los métodos matriciales actuales no son más que una extensión de las ideas de Maxwell y Mohr del siglo XIX. En general son de gran simplicidad y para su estudio sólo son necesarios, además el conocimiento de los teoremas generales del cálculo de estructuras, unos minimos conocimientos del algebra de vectores y matrices. La utilización de estos métodos ha sido posible gracias a la existencia del ordenador en el cual pueden simularse las ecuaciones y obtener soluciones en corto espacio de tiempo. A finales del siglo pasado y principios de este los métodos de cálculo fueron siendo cada vez más específicos, es decir para "cada tipo estructural en particular se establecían simplificaciones que permitían resolverlas manualmente, ello fue posible usando el sentido físico de las magnitudes y aplicando la
  7. 7. 4 Capítulo Í experiencia. Esto hizo que cada método tuviese una aplicación muy restringida a un tipo particular de estructura, necesitándose para su uso grandes dotes de simplificación y experiencia en el comportamiento resistente de ésta. Con los métodos matriciales estas ideas han cambiado: Se tiende a implementar en ordenador un método de cálculo lo suficientemente general como para que no haya que modificarlo para calcular una estructura cualquiera; ello conduce a veces a mayor número de operaciones, lo cual no tiene excesiva importancia si los realiza el ordenador. Esta filosofía lleva a un gran peligro: olvidar el sentido físico del problema, resumiendo el cálculo a suministrar al ordenador unos datos y obtener unos resultados que en gran número de casos se creen ciegamente. Es preciso conocer los fundamentos básicos del cálculo matricial y sus limitaciones, no olvidando que es sólo una herramienta muy potente que no debe ser usada sino por manos expertas. 1.3.- DISCRETIZACIÓN. ELEMENTOS Y NUDOS. . Para el análisis. la estructura se supone que está compuesta por una serie de barras prismáticas que admiten la idealización de la Resistencia de Materiales. Estas barras o elementos se unen en una serie de puntos a los que llamamos nudos. Las ecuaciones de la Resistencia de Ivlateriales se aplicaran a cada uno de los elementos, llegando a expresarse el comportamiento de cada punto o sección de este en función del comportamiento de los extremos del elemento; ello permitirá. a través de los nudos, relacionar unos elementos con otros y finalmente simular toda la estructura. De "esta forma se pasa de una solución continua (desplazamientos y esfuerzos en todos los puntos de la estructura) a un solución discreta (desplazamientos y esfuerzos en los nudos extremos de cada elemento). 1.4.- GRADOS DE LIBERTAD. COORDENADAS. La idea de discretización anterior puede formalizarse diciendo que se ha pasado del número infinito de grados de libertad (gdl) de los puntos de la estructura a un numero finito; entendiendo por gdl de un punto el número de coordenadas que es preciso fijar para que su movimiento quede determinado. En las ecuaciones se tendrán en cuenta los gdl de los nudos únicamente, expresándose a partir de ellos lo que ocurre en otro punto cualquiera de la estructura. Los gdl podrán asociarse no sólo a un punto sino a una estructura y/ o elemento, dependiendo en todo caso de las hipótesis de cálculo consideradas. Existirán tantos desplazantientos/ giros y fuerzas externas posibles como gdl, Iflflfiflflflbhbbbnnaonpanana
  8. 8. COIICEpIOS Básicos del Calculo Murrieta! LA pudiéndose hablar en general del gdl de un nudo o de los gdl, de un elemento, de una estructura o de parte de ella. Figura I.1.- Grados de libertad L5.- MÉTODOS DE COMPATIBILIDAD Y EQUILIBRIO En todo problema de estructuras existen tres tipos de relaciones que se han de cumplir. Las ecuaciones de equilibrio, dentro de la estructura y con las cargas externas; las ecuaciones de compatibilidad, entre los elementos de la estructura y con las condiciones de contorno; y, por último, la ley de comportamiento. Estos tres tipos de relaciones no sólo se han de cumplir, sino que son las únicas condiciones que se manejan en el cálculo de estructuras, aunque a veces se encuentren en forma más o menos solapada sobre todo en forma de teoremas energéticos. Cuando se trata de analizar una estructura isostática, el procedimiento inmediato será determinar los esfuerzos mediante las ecuaciones de equilibrio, determinar las deformaciones de cada elemento por la ley de comportamiento y, por último, de estas deformaciones, por medio de las ecuaciones de compatibilidad, obtener los desplazamientos. En el cálculo de estructuras hiperestáticas, no basta con las ecuaciones de equilibrio para obtener los esfuerzos y por tanto el procedimiento no será tan simple. Básicamente el problema se resolverá por la aplicación conjunta de los tres tipos de ecuaciones, lo cual puede hacerse de dos formas distintas. En el método da compatibilidad se comienza liberando una serie de ligaduras externas o internas hasta convertir la estructura en isostatica. Las fuerzas y esfuerzos correspondientes a esas ligaduras (hiperestáticas) se ponen de forma explicita como acciones extemas y se calculan todos los esfuerzos y reacciones en función de dichas hiperestáticas.
  9. 9. 6 Capi/ alo l MÉTODO DE LA COMPATIBILIDAD (l) Ealaciorte: de Equilibrio Y wa) -¡. ui, . +3.); m) N12) -¡, (una, . r, M) (2) Ley de Comportamiento y l 21(2) f’; - Mm - u; t.r> - ¿(un un) 31;? - N12) - uns) -. f.(N') (a) Ecuaciones de Compatibilidad HJRXA--fH(HÍVFI'}-, IJJI) . _> 1), ,“ -¡, (H, .r, .r, ,.M, ) 611w. ‘f1 (HI ' FJ ' F Mi) Conocida: la: incognira: hiper-urática: H, . s: H3 calculan cl raw dc la: variable: del problema m ¿ ¡.11 ML! ) N0!) .14,‘ (I) . u,'(x) .915) MÉTODO DE EQUILIBRIO (l) Ecuaciones dt Compatibilidad ujlx) - s, (u, . u, . B, ) ujíz) - s: (u, . A1,. 9, ) (2) Ley de Comparzalníenxo ó°u, 'tx) ' -z¡ Ma) a) ar, - Mz) - g, (u, ') wa) - Ma) - wrx) 29.04,’) (3) Ecuaciones de Equilibrio f: '35 (”. !‘”; ’eI) F, -g¿(u¿, uf, B¡) Mr'31("tI"r'etl Conocido: la: daplammiemar y giro: d: lo: nudos. ¡la ia»- st calculan el resto a: lar variable: del problema Mu; wir) «i'm ¿Uvm . B'(z) -10-
  10. 10. Concepto: Básicos del Calculo Marricial 7 A continuación, mediante la ley de comportamiento, se expresan las deformaciones en función de los esfuerzos, y como éstos están ya en función de las hiperestáticas, se tienen deformaciones en función de hiperestáticas. Por último, se establecen las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones con los desplazamientos, para que se cumpla la continuidad de la estructura en las ligaduras liberadas. Como las deformaciones ya han sido puestas en función de las hiperestaticas, se tiene un sistema de tantas ecuaciones de compatibilidad como hiperestáticas, donde éstas son las únicas incógnitas. Una vez resuelto el sistema y conocidas dichas hiperestáticas se pueden obtener los esfuerzos y deformaciones directamente. Los desplazamientos se obtendrán de estas últimas por las relaciones de compatibilidad. Este método se conoce también ‘como nrétodo de las filerzas (por ser éstas incógnitas) o método de flexibilidad (por ser el sistema de ecuaciones uno con una matriz de coeficientes que es de flexibilidad). En el método de equilibrio, las incógnitas básicas no son las hiperestáticas, sino los desplazamientos de los nudos. En primer lugar se expresan, mediante la ley de comportamiento, los esfuerzos en función de las deformaciones. Estas, mediante las ecuaciones de compatibilidad, se relacionan con los desplazamientos de los nudos de unión entre elementos. De esta forma se tienen los esfuerzos en función de los desplazamientos. Por último se utilizan las ecuaciones de equilibrio de cada nudo obteniéndose una relación entre las fuerzas externas y los esfuerzos, y por tanto entre las fuerzas extemas y los desplazamientos de los nudos. Este sistema de tantas ecuaciones como incógnitas, permite conocer los desplazamientos en todos los nudos, y por las relaciones de compatibilidad y ley de comportamiento, las deformaciones y esfuerzos. El método se llama también ntétodo de los desplazanzien/ os (estos son las incógnitas) o método de la rigidez (por ser la matriz de coeficientes una matriz de rigidez). Los métodos clásicos de cálculo de estructuras hiperestáticas sencillas, son realmente métodos de compatibilidad, pues en ellos se convierte la estructura en isostatica y luego se obliga la continuidad. En estos métodos, siempre se tienen en cuenta las características particulares de cada estructura, utilizando la propia experiencia para simplificar el cálculo lo más posible. Dentro de este grupo entran los métodos para _el. cálculo de pórticos simples que “se estudian en Resistencia de Materiales y los métodos clásicos de cálculo de estructuras articuladas hiperestáticas. Los métodos de equilibrio, sin embargo, dado el gran número de ecuaciones que emplean, no fueron utilizados con mucha extensión mientras que el cálculo fue manual. En la actualidad, con el desarrollo de la informática, la mayor parte de los ingenieros disponen de un computador para sus cálculos, lo cual ha permitido un gran auge del tratamiento matricial del cálculo de estructuras. En este sentido, el método de equilibrio resulta el más adecuado ya que en él no hay que hacer elecciones dependientes de la estructura particular en estudio, sino que puede definirse desde un punto de vista muy general. Ello a veces implica un número mayor de ecuaciones en el sistema a resolver, pero eso sólo supone unos pocos -11-
  11. 11. 8 CnpíIu/ o Í segundos de trabajo del computador“; Esta mayor generalidad hace que sea más fácilmente mecanizable por lo que se ha extendido más, y resulta más adecuado que el de la flexibilidad para el cálculo mediante ordenador. 1.6.- CONCEPTO DE MATRIZ DE RIGIDEZ Y MATRIZ DE FLEXIBILIDAD El concepto intuitivo de rigidez y flexibilidad nos dice que los desplazamientos que se producen en una estructura ante una carga serán menores si la estructura es más rígida y mayores si es más flexible. El ejemplo más fácil es un muelle sometido a una fuerza P que produce un alargamiento ó, siendo p = K5 (1.1) donde K es la constante de rigidez de muelle, o la fuerza necesaria para producir un movimiento unidad. K responde a la idea intuitiva, cuando es grande, una cierta fuerza P produce pequeños desplazamientos. Algo parecido puede decirse de la flexibilidad " 6=]P= AP (1.2) Í Figura 1.2. donde/ l es el coeficiente de flexibilidad que representa el movitniento que aparece al aplicar una fuerza unidad. -12- DÓOOIOIOIOODOOOQQnnAnn¡ganganaaaaana. -.. ..-------.
  12. 12. Conceptos Básicos del Calculo Marricial 9 Las ideas anteriores pueden extenderse a una estructura con sólo generalizar los conceptos de fuerza y desplazamiento; para ello los desplazamientos se representan por el vector u y las fuerzas mediante el F, cada uno con n componentes. Estos vectores estarán relacionados por una matriz que segun la forma de la ecuación, será de rigidez o de flexibilidad. F= Ku K Lu= AF A nrarriz de rigidez nrarriz de flexibilidad (1.3) las matrices K y A son cuadradas y del orden del número de grados de libertad de la estructura. La definición de los coeficientes de cada matriz puede hacerse de forma sencilla. Si nos fijamos en la matriz de flexibilidad y en la ecuación que la define “r All Alí‘. Aln Fr ‘L: A21 A2: A2): F2 _ 0-4) ún An] Ani’ Ann Fn 0 Au O Agj 0-5) F : F _1 = u = 1' Ai)’ O Am. -13-
  13. 13. l 0 Capitulo l y por tanto AÜ es el movimiento que aparece en la coordenada ¡al dar una fuerza unidad en laj, siendo las demás componentes de F nulas. Igualmente, se pueden definir los coeficientes de la matriz de rigidez. o Ku‘ 0 Kzj 1.6 uj —l ¡(y 0 K "j es decir KÜ. representa la fuerza que aparece en la coordenada i al dar un desplazamiento unidad a la coordenada j, manteniendo a cero todas las demás . Asi pues, cada columna de las matrices de rigidez y flexibilidad puede generarse dando movimientos y fuerzas unidad a una coordenada y manteniendo cero las demás. De acuerdo con estas definiciones los elementos de la diagonal de ambas matrices serán positivos y las matrices simétricas. l Veamos a continuación un ejemplo de cálculo de matrices de rigidez y flexibilidad haciendo uso de las definiciones anteriores. Figura 1.3. -14- 1'. "«afififisihnndqsqnningun‘; ¡”A f. t x
  14. 14. Concepros Básicas del Calculo Mazricial 11 Si se considera una barra de un pórtico plano empotrada en un extremo, las relaciones existentes entre los desplazamientos y fuerzas del otro extremo podrán ser expresadas mediante matrices de rigidez o flexibilidad sin más que aplicar desplazamientos o fuerzas unidad, respectivamente, en dicho extremo. Si los vectores de esfuerzos y desplazamientos se definen como N u F= V ; u= v (L7) M Se podía obtener la matriz de rigidez superponiendo los problemas siguientes o — óEl/ L’ N 2 El/ L3 v M 413m u Il II u-0;v-1; 6-0 Figura 1.4. obteniéndose la matriz de rigidez definida por la ecuación siguiente EL”; o o m» L3 L3 ' M o ‘65’ L5’ L: 1- -15-
  15. 15. 12 Capítulo I La matriz de flexibilidad se calculará resolviendo y superponiendo los siguientes problemas simples u = L/ EA u = 0 u = 0 v = o v = 1,3/35: v = w223i a = o a = 13/251 a = L/ El N-l; V-0;M-0 A g——_v Figura 1.5. es decir la ecuación en este caso sería. á o o u L3 L” N 9 = o__ ' = = (L) z 351251 j: “ AF o L}. 2515/ La existencia de las matrices de rigidez o flexibilidad de un determinado elemento o estructura una vez definidos los grados de libertad sobre ellos depende de si existen o no ligaduras entre ellos. Para que un2_i_matriz de rividez exista no ueden esta: definidas relaciones entre los des laïaffi-ïientosïdelïïdisïïñtos ra-os La, ‘ P _ g V deïiberïad. Por-ejemplo "si eii-Tina"Bïïrïfïñfiifiaïlaïe"‘dïfiÏi-eïfdïïgradorde libertad en el sentido longitudinal, uno en cada extremo, sólo existirá la matriz de rigidez si los dos desplazamientos son independientes, barra extensible, si se considerase inextensible, desplazamientos acoplados, la matriz de rigidez no existiría. -15- ttrïflïqmïñhnqhaannnannggg--
  16. 16. Cortar-pros Básicos del Calculo Alairicial 13 Si a continuación nos fijamos en las matrices de flexibilidad podemos decir . . , . . "e. _ gue sólo existiran cuando entre las fuerzas definidas sobre los diferentes grados . .,. _.. _.- . ._. ... ____. ,.. ._. _., .._. _. ... ... ... .._-. .__. _.. ._. .__. . - . _._. ._. __. demlibertafldmno existan relaciones. En el casdamenor no existinÏTa-‘ñïïiïï? iculada se definen dos fuerzas, una en cada extremo, porque, en ausencia de cargas repartidas, el axil debe ser constante y por lo tanto ambas son de igual módulo y distinto signo; existiendo además infinitos pares de desplazamientos en los extremos que conducen a un mismo alargamiento y por lo tanto a unas mismas fuerzas. Estos razonamientos conducen habitualmente a definir sobre los grados de libertad, a efectos de matriz de flexibilidad, desplazamientos relativos a una referencia no relacionada con otro grado de libertad; es decir a usar elementos o estructuras que ya tienen impuestas unas condiciones de contorno y por lo tanto no es posible que existan movimientos de sólido rígido. Como resumen se puede decir qtie para que exista la matriz de__r_iv_ilc_l_e___z el conocimiento de losdesplazamientos debe terminar biunivocamente las fuerzas de las ma: ¿Égmgefisfie ' asimismp "ae-‘r ' uñiygca los n. w.. ..: .v. .,_, .-. .., .m. ... , . . . .. z._, .:. _., ._ mientras] que parattla ¿{setenta flcflonocimiento de las fuerzas debe determinar . ... ... ... .. ... ... .. _». anual. -.” desplazamientos existentes. 7040 Mi! ” 50h00 QWÜBO} -17-
  17. 17. .. mkrufi. v"hït. -13-
  18. 18. Pl, Po“. . : »Jy. _-" e lr_v_. «,¡, '.<<. ¿or W983’) ¡‘WA-n lswelaxun. : “ ‘ ” ' ‘w494i M" m Ar! ) ¿L ta) ¡’wow 44 EC (ea/ mbmth. fihïc 3 ¿C _ gar, ‘ LÁLHLÏ EL ¿ompkl-i‘p%i. ui t h ‘k LA. . J. - f ug l 111.113€’ " A ¿’emm ¿Satin ÏqgtMnCÑ/ ‘F’: Malwl-Loïovs-¿A (L: tos alaba-uc- Ük i‘ WM“ bUÍl/ lps. 3 P . ‘ PJ ¿urecfi- :3»; ic; tz. ipïmi . I - _ Ec. (No rnpd "J-UJL (lv-h: CAPITULO II y; ¿_ EL MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ i ¿a 11.1.. INTRODUCCIÓN 5 Ec ‘T'Ó: «_A_: .{. _. ¿xy ¿ c] yy“ ’ t . . . . i ‘esta: v, t usé Una vez analizado el concepto de discretización en una estructura de barras . . , Fra: y estando ésta definida por elementos que se unen en nudos, se estudiaran en ’ primer lugar las relaciones o ecuaciones elementales, con independencia de la estructura. . i’ . . vel, U-L. Debido a que los desplazamientos o esfuerzos en__cualguier punto dewla estructura, pueden ser obtenidos a partir de los correspondientes de los nudos, el obÏeÜvombásico va"¿"'5¿r calcular su valor en ellos. La base deieste cálculo va a ser la ecuación matricial del elemento que relaciona los esfuerzos en los extremos con los desplazamientos en ellos «it, ¿»É "Liewter-¿o — K'ó' ¿“nos en ¿’a5 ¿gvpÉ-mïmvsaíïos ¿gas-ag c», in: cvirimr; cuyas dimensiones serán dependientes del tipo de elemento representado. 112.- SISTEMAS DE COORDENADAS En las ecuaciones matriciales se va a hacer uso de una serie de sistemas coordenados que van a permitir, debido a su especialización, definirlas con claridad. Estos sistemas coordenados serán: sistema de referencia, sistema global, sistema local y sistema nodal. Figura Il.1.- Sistema coordenado de referencia. -19-
  19. 19. 16 Capítulo ll Sistema de referencia. Usualmente cartesiano, permite fijar la estructura en el espacio y definirla to ló icamente. Se utiliza rinci almente para dar unas coordenadas a los nudos. P0 g . Sistema global de coordenadas. “"2" m t. a; , Este sistema coordenadoznos pgrvriijte defimglps grados de libgrtadiflgila estructgmi mediantesusiesc. rip. ci. ó.ri. .srt_gad Normalmente esta definición se hace de forma idéntica en todos ellos en unción del tipo de estructura, y de forma coherente con el sistema de referencia. » Si se trata de una estructura_plana de nudos rigidos los grados de libertad . ... _.mt. «.. .vt cala-y n, ,. ... ,,. N.. . PÏ en cada nudo definirán unos vectores de desplazamientos fuerzas tales como u, Fx ‘ » F= a 6 M En una estructura__a_rticulada_plana, serán -20- . nnnlhlnbooboooannnonaannauna. ..nag. ..
  20. 20. El Método Directo de la Rigide: l Figura II.3.- Estructura articulada plana. Sistema de coordenadas global. En emparrillados “v F’? u = e, , r = M2 9x Mx Figura Il.4.- Emparrillado. Sistema de coordenadas global. En estructuras de nudos rígidos en el espacio -21-
  21. 21. 18 Capítulo II ux Fx "i" F)‘ u. F: u = i , F = 6,. M). 6), M). 6* M: t? E)“ Figura I_L5.- Pórtico tridimensional. Sistema de coordenadas global. En estructuras articuladas en el espacio u‘, l Fx u = 14,. , F = P}. u: í F2 -22- nnnnnnnnnonngpp. ... ... ..-------
  22. 22. El Mérodo Directo de la Rigidc: I 19 ¿Esmastocaldemcpairdertaggg- 7 El sistema local de coordenadas es el asociado ¿‘TÍ o‘): nggpgrrgiite dgfiguiiij___l_as_, eciia_c_i_ones. matri. ciales. .,c, n.. t,odo, sellos del mismo modo. Para ello definimos un sistema de coordenadas en cada extremo que sea ¿angie reflejar los rnovimientos. ,posibles en cada tipo de. elemento, y de tal forma que sea independiente de su posición. A t C (75, A L B A . 4‘{7 _J < ‘ B k C A">— B Eïiïdï ¡naná Figura Il.7. Por ejemplo, en la Figura Il.7., la hora de definir la relación cargas- movimientos en los dos elementos tendrán en estas coordenadas la misma forma. -23-
  23. 23. 20 Capítulo Il Los sistemas locales en los distintos tipos de elementos serán: __ar_t_it¿ulada_, ‘bi ó tridimensional: un desplazamiento en cada extremo en la dirección de la barra. ,1 1/ t Figura'II.8. Btéïïa-. -.Qé; _zl? ótttico plano; dosdesplazamientos, longitudinal y transversal, y un giro en cada extremo. Figura lI.9. Barra de emparrillado: desplazamiento transversal y los giros de flexión y torsión, en cada extremo. -24- Ï. ... ... ... Í""ÍÍQÍIIIIIIIIIChillan¡nuncacuan; ¡gg
  24. 24. El ¡Método Directo de 1a Rigidez I 2] Figura _II.10. Barra de pórticotridimensional: tres desplazamientos y giros en cada extremo Figura 11.11. Sistemanodal de coordenadas. Para facilitar el imponer condiciones de contorno en algunos casos es preciso definir un sistema de coordenadas particular en determinados nudos, distinto del sistema global. Asi’, es conveniente definir, por ejemplo, en el nudo B de la Figura 11.12. el sistema (x"-y") para luego imponer la condición de contorno de desplazamiento nulo en la dirección y". -25-
  25. 25. 22 Capítulo Il ¿“- xrp; l (war-w. €- M 7 O ¡’Í i r Figura 11.1"» Sistema de coordenadas nodal. umll.3.- MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTALES Anteriormente se ha definido el concepto de matriz de rigidez; un elemento KU de la matriz de rigidez es la fuerza según la coordenada Í que aparece al dar un movimiento unidad según la coordenadaj manteniendo cero todos los demás. De esta forma la matriz de rigidez puede ser generada por columnas, la columna)‘ se obtendrá dando un movimiento 1 segun dicha __coordenada y cero en las demás ydeteririinando las fuerzas que aparecen en cada _u_na de las coordenadasude la estructura. Este cálculo se llevará a cabo normalmente con las coordenadas locales definidas en el apartado anterior. Elemento de estructura articulada bi o tridimensional. paj. acfïumm Jr ¿oq : X G r l-¿I r , ,L, 'i¿, ,¡, ‘¡ P; EA _EÁ ’ ¡’V = L L 5': (11.1) P)" —ï Éfi ¿’J L L -26- AAAAAAAAAA. ... ..-. -------
  26. 26. El ¡Método Directo de la Rigidez l Figura 11.13. Elemento de pórtico plano; Figura 11.14. -27- 23
  27. 27. 24 52+ ° l2EI ' y Pxi o La [J I ‘D? !’ O 6EI M‘! _ L2 t l 0 Í v Plw‘ 2 125] M‘. O —____ J L3 O 6B] L- Elemento de emparrillado. Capítulo Il l o e GEI O L3 42-31 i . __ o L l o _6E¡'= ¿ o L3 ', 2Ei __ o 1. Figura Il. l5. -23- (11.2) xnAnAa4--_-
  28. 28. El Método Directo de la Rigidez Í 2 __ ñ o , o L3 L- L3 L- 6EI 451 6EI 251 P‘ , . __ 0 — __ o 5' " L? L L3 L " Ml" GJ GJ a. “ Mlxi _ O 0 Í 0 O -Ï 6.: ’. P” _ i251 _6El i251 _6E/ o 5'”. Mtd L3 L: L3 L3 9. , ' U Mix. 55’ 3€! o - 65’ ii’ o a‘, ’ L3 1- L: L ' o o -E o o Ei L L Elemento de pórtico tridimensional. Figura 11.16. -29-
  29. 29. 26 Capítulo Il I’ L? o o o o o 35.‘. o o o o o i251, e51, i251 s51 ° ‘rr ° ° ïr ° T ° ° ° T5’ o i251, o s51, o o _ i 251, s51, o ¡v! L’ ÏT L‘ L‘ y‘ P‘, o o o % o o o o o o o a‘, " r e51 451 s51 251 "v o o -' o t o o o - ' o ' o . "a L- T L- Z 9 a z’ o Í’: o o o l? o ÏÏÉ’: o o i? i’ u _ L‘ L n "'41 J’ o o o o o 5‘ o o o o o 5' p, ” T T 5.; _ i251 s51, l2EI¿ 6EI , L‘ ° '71‘ ° ° ° "7? ° 7*‘ ° ° ‘f r 0 i251, s51, o o o i251, n e51, o a M w‘ L‘ 7.7" L‘ T’ ’ I! ’ M. a- ” o o o a‘; o o o o o .5; o o ” 551 251 +51 451 o o t o ‘ u o o -‘ o ' o L‘ L 1.- T o e51; o o o 251, o _ e51, o o o 451, 7T T T. ’ T j además de estos elementos que son los más usuales podrian definirse otros para distintas circunstancias. Por ejemplo si se incluye la deformación por cortante las ecuaciones de los elementos en los que se considere la flexión podrian variarse para tener en cuenta este efecto, un calculo detallado incluyendo este efecto puede encontrarse en el anexo l. La imposición de las ecuaciones de eq_uilibrio__ y compatibilidad a los extremos de barra coincidentes en un nudo se realizará enwcoordenjadasglobales de dicho nudo, por lo tanto espgfiegigsofiuconocevr previamente la transformación desde el sistema localal global de forma que las ecuaciones de los distintos elementos puedan ser expresadas de forma común. Por otra parte una vez conocidos , lg, s___de_sjpl_azaniie_ntos g_i_ros, j1_fuerz_as_en, gagia nudo, sera preciso realizar el paso de coordenadasnglobales a locales de modo_que se puedan determinar los A ‘esfuerzos en coordenadas locales y a partir de ellos las tensiones. Se va a comenzar estudiando la relación existente entre dos ejes cartesianos planos, al dar un giro a uno de ellos. P'_, . = PA. cosa + P‘, sana (11.5) P‘), = -P, ..st'11.o1 + P), cosa -30-
  30. 30. El ¡Método Directo de Ia Rigídez I 27 o en forma matricial P’: = r cosa sana P; (11.6) P’), L ‘Sena cosa Py G%¿»LmL Figura II.17.- Transformación de coordenadas. vt z y ' 1.2.: 7 ‘l u“ ¡t 7C Si se llama LD a: X i‘ i 1 z y LD = l 2 = cosa -sena . (K7) m1 m: sana cosa donde (1,, m¡) son los cosenos directores de x’ respecto a (1,31), y (l¿, ,m_, ) los de y’ , se tendra’ . . - p= ¿p mu , y g ‘ t a Igual desarrollo puede hacerse para los movimientos ¿- = ¿D ¿ (11.9) . .. r — —. t.. ... ... ... -t un. ..“ y al serliïógauna matriz ortogonal su inversa es igual a su traspugsta, y por lo tanto se cumplirá -31-
  31. 31. 28 Capítulo II LD = LD’ -, LDL; = L}; LD = I (11-10) siendo las relaciones inversas: ‘¡WP = LD P‘ ; a = LD a" (ILII) ‘l La 9115-‘ ---: w". v:’*’ï& ¡‘mi ‘x "a tu »_. .. . . ‘D, N. r. "y‘: blülfyylc‘ i A continuación se van a estudiar a continuación las transformaciones más comunes en Cálculo Marrícial y en concreto en lo que se llamará El Método Directo de la Rigidcz e ¡i Barra: de] pórtico plano. i ¡a Plá} v. .. .,. .-. . - sznaïmfiotdtudefrmnuoawwu. El elemento completo tiene seis coordenadas, tres en cada extremo, transformándose de igual forma tres a tres Figura 11.18. siendo r d b HJDJ’ P', - L; 0 P, - i (11.12) _ = T , P'= LTP, P=LP‘ P; _ o LD ¡’J É {Í Dt ‘¿J siendo i _ N) 3am‘? Y, ‘ s i
  32. 32. El Alézodo Directo de la Rígidt’: I 29 ¡i cosa -sena O SENC! cosa 0 (11-13) LD = [ O o 1 E i. «¿J donde a es el ángulo desde el eje x global al eje x’ local. Los desplazamientos en ambos sistemas de coordenadas se relacionarán de forma análoga AAó'= LT¿; ó=Ló' (11.14) B37”_EÏÉ-9ÓI1ÍC9_. ïïlíïiïïlüléiQllfilwi ’ = T'; i¡*¿'¡1:m1"yb' . '" . . En este caso existen/ H coordenadas que incluyen los tres desplazamientos y giros de cada extremo. ‘ Figura 11.19. ¡’n Lg .0, 0 0 Fri PM. = o LD’, o o ‘PM = P = LT P _ P = L PQLIS) Pa" o o LD’, o Pa" a PIM! ‘ o o o L}; P“! D -X l -33-
  33. 33. 30 Capítulo ll 1D 1D t, LD . —. m, m: m3 (11-16) n, n. 22.3 es decir los cosenos directores de los ejes (x’, y‘, z') respecto a los (x, y,z), y PI‘ Ar xt xí I l I '17 FF. "' Pr! " 3 ¡”Mi = Mii a ) Pai M}: Pxi i Ma: ' (11.18) Pl’; = P. “ ’ PM: = M. “ PZD . Ma. e igualmente con el subïndicej La transformación es idéntica en el caso de los desplazamientos a‘ = L’¿;6=Ló‘ (11-19) En este elemento hay seis coordenadas, tres en cada extremo P’. L; 0 P. I = l 1 P! = L P ; P = P! P] O L; J -34- 4 - a a a a a a a 4 4 a a a 4 a a a a 4 C 4 a A A A 4 J J J J 4 A a A 1 A 1 a A 4 A A 1 1 J J J 1 1 4 ¡ . ¿ A 1 a
  34. 34. El Método Directo de la Rigidez l 31 Figura 11.2o. donde, si cr es el ángulo desde el eje x global al x’ local, se tendrá ioo j x f 1 / ‘LD = 0 cosa sana (11-31) 0,: wena cosa Por‘ Plyj D, , . _ D , (ILL2) P ¡ ’ M zi v P; = M zi Alofi ¿{pj P” P” 123 P‘- = Alu‘ = a . ) Alxí A43 e igual para los desplazamientos ¿v ___ LT 5 r ó = L ¿i (11.24) Barra articulada bidijiigitsional. _. ... ... .., .n. «.. .w. . . ... ¡»mas D, . hast»; m0.‘, - En el caso de la celosia es un poco particular debido a que en ejes locales no existen el mismo número de coordenadas que en globales. -35-
  35. 35. 32 Capítulo Il Figura 11.21. P“. Ü-"¡D _ LD’, o P)”. [Pai o Lf, Pay‘ Z ' ' tv Pau" D , , ’ ao s A vw- nk 0 o donde ' 4' ° 2:». cae»: L _ cosa j D _ [seria] al igual que los desplazamientos ó'= L’P;6=Ló' Barra articuladaDjridiniertsitiyiigil. s» . -.. -_. x--a= --» s. ..» -» --« -— = p¡= LTp¿p= Lpi (11.25) ¿zx/ g -. m: s». D-jii.26) «K2 (11.27) En este elemento sucede lo mismo que en el anterior, hay dos coordenadas locales y seis globales -35- I. ““. ‘.“QQQQQQQSQQA¡suunn; n‘. ..
  36. 36. El Método Directo de la Rigide: I 33 1 / * 1 Figura 11.22. Pl” . 7' . -P_ = =P= LP; P=LP (n38) 47' donde ¿D = m 1 aL29) ÏI es decir los cosenos directores del eje x’ local respecto al sistema global Una vez establecidas las transformaciones entre coordenadas en una forma común, las ecuaciones elementales, definidas en coordenadas locales, podran ser expresadas en coordenadas globales, lo que va a dar lugar al cálculo de la matriz de rigidez en dichas coordenadas. | = K! l D P! = P P ó ’ (11.30) P= Kó_; F= L’5 -37-
  37. 37. 34 Capítulo II luego en globales será P 2 aka“; a {l r = ¡ta (11-31) ma. .. Esta expresión relaciona P y ó en coordenadas globales a través de la matriz de rigidez en dichas coordenadas, cuya expresión es K ¿A K. LT (11.32) obteniéndose pues una ecuación análoga en ambos sistemas coordenados. Esta matriz de rigidez en coordenadas globales podría haber sido calculada directamente aplicando la definición de cada uno de sus términos como fuerzas causadas por movimientos unitarios. Estas transformaciones de las ecuaciones elementales serán de suma utilidad en la realización de programas de ordenador que trabajen según los métodos matriciales de cálculo de estructuras. -33- IFKAAHAFAAAAAAA-»
  38. 38. ¡Cuba CAPITULO III EL MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ II 111.1.» LA ESTRUCTURA COMO CONJUNTO DE ELEMENTOS La estructura puede idealizarse mediante un conjunto de elementos con una cierta distribución y propiedades, unidos entre s1’ mediante nudos. Esta división en elementos y nudos es fruto de un procesa de discrctización que podrá dar lugar, sobre una misma estructura, a distintas divisiones en elementos. Figura III.1 Para definir una estructura será preciso establecer: - Tipo estructural. (pórtico plano, estructura articulada, .. .) - Coordenadas de los nudos. (relativas a unos ejes de referencia) - Conectividades de los elementos a los nudos. (Nudos que definen cada barra) - Propiedades del material y de la secciones de sus elementos. - Condiciones de apoyo. - Fuerzas que actúan. El problema se va a abordar mediante el méiodo de equilibrio o rigidez, por tanto el objetivo es establecer un sistema de ecuaciones de la forma -39-
  39. 39. 36 Capítulo III ¡- = K u (III.1) donde K es la matriz de rigidez de la estructura, F el vector de fuerzas, y u el de desplazamientos, todos ellos en coordenadas de la estructura o globales. En general un elemento definido del nodo i al j llevará asociada una ecuación matricial del tipo. Ka ¡‘a ¿. - _ (III.2) P. K], k1, al. u W n N Q1 donde cada subíndice indica el grupo de coordenadas correspondientes a un extremo. Sobre la estructura hay definidos en general, los sistemas coordenadas de la Figura III.2. ' _ ' v? ’ A ¿J Sistema local global Figura III.2 En estos sistemas se van a establecer las siguientes relaciones: equilibrio de fuerzas en lgs nudos, la suma de las fuerzas en los extremos de las Barras P en cada nudo es igual a las fuerzas aplicadas eitternamente en elmf; c l_i_d__ad. lgsígmoxlimientos 6 de los extremos ‘de barrasmseriinflflos“mismos que losdel nudo a qgueconcurren u; y ¿eamggt7t«l& 19« C113 relaciona las fuerzas yidesplazatnientos en los extremos d_e_l elemento P = [tf fi. ' Con estasvtresrelaciones se va a sintetizar la ecuación matricial de la estructura ¿F . -40- ‘IïrmfsnnnnAnnnnAnn-annnnn-an------. .
  40. 40. El Método Directo de la Rigidez Il 37 HI.2.— EL MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ El cálculo de la matriz de rigidez de la estructura, supuesto ésta última perfectamente definida, puede llevarse a cabo mediante los siguientes pasos: - Cálculo de las ecuaciones matriciales elementales en coordenadas elementales o locales Pii = KtÍ ¿ni - Expresión de dicha ecuación en coordenadas de la estructura o globales. Pi = Kï ¿Í ; Ki = Li KH" Lïi V - Eeuació_n_ de compatibilidad de los extremos de las barras en los nudos. u. = a. = a? (111-5) - Ecuación de equilibrio entre las fuerzas de los extremos de las barras y las cargas aplicadas externamente en los nudos. “¿a2 P, ‘ A (IIL6) _ - X aïlrrmos - Sustitución de la ley de comportamiento en la forma particionada (III. 1) pj‘ = ¿I? + K1; ¿JF (¡J ¿ e) (111-7) J F _ IC v-É ¡E , - — Z (A1., o¡ + ¡s17- 61-) arts) LVIÏCIIIOS que una vez tenida en cuenta las relaciones anteriores de compatibilidad y equilibrio se convierte en ' -41-
  41. 41. 38 Capítulo III p . —. Í: ¡{u u, (III.9) siendo n el número de nudos. A modo ilustrativo se va a realizar a continuación el proceso anterior sobre la estructura de la Figura 111.3, y en concreto sobre un nudo de ella, el nudo 2. Figura 111.3 Las matrices de rigidez en coordenadas globales de las barras que concurren en el nudo 2, son fl Ü P l KH ¡"12 a ¿t P 2 K2! K2: ¿z h h P21 ¡"22 K2: b 521 (HI-lo) PJ ' K3: Ku ¿‘l -42- . A4¿AA-‘--A-A-----_-_-_
  42. 42. E! Método Directo de la Rigidez Il 39 P s _ [X55 '52] c ¿s P 2 _ '25 ¡"22 52 Siendo pues las fuerzas en el nudo 2 de los distintos elementos: P2" = ¡G151! * ¡"52 5; P2)’ = ¡"52 5; * ¡"53 5; mu“ P25 = ¡‘És 5; * K262 52€ La ecuación de compatibilidad entre barra y nudo será b . g = us (111.12) m >- n u E . _ 04 b! ll É a! o» La ecuación de equilibrio tendrá la forma F2 = Z Pf (111.13) 24117617103 y por lo tanto: F, =P; +Pf+P; = a11.14) Ïi "i 1 (K272 '* ¡‘[2132 " K262) "2 1’ ¡"22 "3 * ¡(És "s que puede escribirse como F2 = X21 “i " ¡"22 "2 * X23 "3 * Kzs "s 01m5) donde: -43-
  43. 43. 40 Capítulo III lobales asociado al nudo 2. , : vector de _fu_e__rza_sn_en coordenadas , MM, w__. .» adn mQ>V ' o w 42213: vectores de movimientos en globales asociados a los . - » nm . . tw». _.. .., ... .». . . .., . _. . . ,, ' rw ___. “ , .,. -.. .-. - . Vunudos], 2, 3 y 5, respectivamente. Submatriz que relaciona F, y u, , esmdecirhfuerzas que aparecen en . _ . ..«, .«. . , _. . ... ... .,. ... ¿.. ..‘. <1»g_-—u—». p,s—p—n . .,. ., mu, el nïdïïïaïdar sucesivamente movitnientos-utnidad en diclioqnvudo ‘yet-xt; enl-os-rdem-ás; Está ibr-madapor la surnaide" las submatricesïiuc corresponden al nudo _de los elementos que en elmconcurren. . Subgrnatrjmz"qvuejelaciorta¡F2 y_u¡_, o bien fuerzas que aparecen en el iïudoï al darsucesiyamente movimientos unidad en el nudo ¡"y cero en los demas. Está, formadapor-la Submatriz 2i del elemento que representa la misma relación, Si se procede de idéntica forma con todos los nudos se obtiene la matriz completa de la estructura. En ella se puede comprobar que las submatrices de la diagonal están formadas de tantos sumandos como barras llegan al nudo asociado al grupo de filas y columnas correspondientes. mientras que las otras submatrices sólo tienen un sumando, que será distinto de cero si existe conexión mediante algún elemento entre los nudos indicados por fila y columna, o bien cero si no existe dicha conexión. De esta forma bastaría para el ¿ironia/ ec ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura a partir de una matriz nula, sumar sobre ella las submatrices correspondientes a cada elemento en la posición correspondiente, es decir: Fl ul F 2 - - "2 F‘ . Ii'¡¡ KU u‘. _ (III, 16) El . u] F u" Il En el caso de la estructura anterior la matriz de rigidez seria -44- IIIOIIODOOOOIOOOOOQOOQOca¡nnnaaunacuan. ... ... .----
  44. 44. El Método Directo de la Rigidez I] 41 Kf, Kf‘, o o o ¡(fr ¡(fr fr '52 K213 0 11'55 K = o K3’; K, "_, +K_, "_, o K3‘, 1111-171 o o o 3;, ¡{:5 0 K512 Ksds K524 Kssfiqsflíses III.3.- IMPOSICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO. La matriz de rigidez de la estructura es singular si no se aplican las condicion, e_s__de_qcont_orno, ya que s rian posible movimientos corriossólido rigido. í ——_. . . 2.. L_a_ imposición de las condiciones de contorno evita esta singularidad y consiste en fijar los movimientos de una serie de grados de libertad que unen a la estructura con su entomo. Si se particiona el sistema de ecuaciones como Far‘ [MM K/ wv “M (111.18) FN ' M KNN "N donde se han reagrupado las ecuaciones de tal modo que las primeras corresponden a los g. d.l. cuyos movimientos se desean calcular, y por lo tanto las fuerzas aplicadas se conocen, y lasgiï tiltiinas son las ecuaciones correspondientes a los g. d.l. cuyos movimientos son conocidos, normalmente nulos, y cuyas fuerzas, reacciones, se quieren también conocer. Desarrollando el sistema de ecuaciones anterior y sigyN f: 0 , se tendrá FM = KMM "M (11119) que proporciona el sistema de ecuaciones a resolver, cuya dimensión será de (nixm) frente al [(nr, _+ n. ) x (ni + n)] inicial. -45-
  45. 45. 42 Capitulo ¡II III.4.- PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ La matriz de rigidez de la estructura tiene una serie de propiedades interesantes que es preciso resaltar: _, _-, .S. Lng_t_ri'_q: Es una matriz simétrica, lo que significa que Kb. = Kfi, la fuerza producida en el g. d.l. j al mover una unidad el i, manteniendo a cero todos los demás, es igual a que la que se producirá en i al desplazarj en las mismas condiciones. Para comprobarlo basta aplicar el Teorema de Reciprocidad entre ambas situaciones. lzïqgzvísgïgz‘ Al ser cero los elementos correspondientes a g. d.l. no conectados mediante algún elemento es posible, con una numeración adecuada, concentrar sobre una banda junto a la diagonal todos los elementos no nulos. Esta propiedad permitirá, en su tratamiento informático. ensamblar y almacenar sólo dicha banda central. Ancho de banda r1 Figura III.4 El ancho de banda depende de la máxima diferencia entre la numeración de los nudos conectados por elementos, ya que las submatrices ocupan posiciones en la diagonal y en columnas y filas separadas de ésta la diferencia entre los números de los nudos extremos de las barras, multiplicada por el número de g. d.l. de cada nudo. El ancho de la banda depende pues exclusivamente de la numeración de los nudos y es importante procurar realizarla de modo que reduzca en lo posible este ancho; de hecho hay programas de ordenador que renuineran para minimizar el ancho de la banda. De forma sencilla se puede ver cómo en el ejemplo anterior una sencilla renumeración disminuye el ancho de la banda. -45- &'—'ÍAKÍÑÓ““. ZQLQQQ¿¿A—— f‘) - A
  46. 46. El Método Directo de la Rigide: ll 43 ' Figura III.5 Kiai Kia: 11 0 0 x21 122-152-122 K2: o K = 0 11:12 KffKads 11:4 0 (mio) 0 Kacz Kids KÏ4*KÏ4*KÏ4 K485 ' 0 o o Kg’, Kg; - Dgfigfliïgïfinoytüva: es decir su autovalor menor, una vez aplicadas las sm, W , _ condiciones de contorno sobre ella, sera mayor que cero. Desde qunpupwtgtictvista Jïísíco esto indica que se trata de un. conilunto aíndeígttnable, .Sin. .2mt:4;a_uismos internos, unido a su entorno por apoyos suficientes para impedir movimientos comusólidït rígido. de. la. estructura- egizg ‘ ame; Todos los elementos de la diagonal son ówmïy r smlïhïuma del resto de los elementos" de su fila o columna Esta, propiedad no se cumple estrictamente, es decir suele’ ser aproximadamente asi’ aunque no obligatoriamente, y permite junto a la anterior que la rersflofllufición, del sistema de ecuaciones resultante este’ bien ‘njaficioztado _ ‘rm-mw ‘WM-r’ ng, i;_rttali; r_iente, y' pueda ser resuelto de fortna sencilla. W -47-
  47. 47. 44 Capítulo Jl] III.5.- CALCULO DE LAS REACCIONES Y DE LOS ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS El cálculo de las reacciones es inmediato a partir de la ecuación (3. 18), siempre que se disponga de las matrices ¡(NN y KNM. Bajo el supuesto uN = O, las reacciones serán las componentes de vector FN , FN = KNM Uh, _Otr, a forma de calcular las reacciones sería mediante el equilibrio de las fuerzas en los extremos de cada elemento en cada nudo, para lo cual será preciso calcular éstas previamente en coordenadas globales y realizar su suma. 12,. = z P, ’ = Xjkíja} (111.22) f estando extendido el sutnatorio a todos los extremos de barra en el nudo i. Para completar el cálculo de la estructura sera’ preciso calcular en cada elemento las fuerzas en los extremos lo cual se lleva a cabo en coordenadas locales o elementales, pudiendo ser calculadas a partir de dos expresiones equivalentes ‘HW T" ___ T z . l: n I= Kt Ï P L P LLLQ , P 1ta L a: “siempre que las cargas estén aplicadas únicamente en los nudos, y según interese en el proceso de calculo. Una vez conocidas las fuerzas en los extremos de los elementos se pueden construir los diagramas de esfuerzos a lo largo de él y por 1o tanto comprobar si su resistencia es la adecuada. -43- Dbnbbbboooooopoopop. ..
  48. 48. CAPITULO IV CARGAS Y OTRAS ACCIONES NO APLICADAS DIRECTAMENTE SOBRE LOS NUDOS IV.1.- INTRODUCCIÓN En el planteamiento realizado del Método Directo de la Rigidez se ha considerado la existencia únicamente de cargas exteriores aplicadas en los nudos. En la realidad existen cargas que por su propia naturaleza son repartidas, tai es el caso del peso propio, el viento o las variaciones térmicas, será preciso pues disponer de un procedimiento de, cálculo que permita incorporar estas acciones de forma lo más sistemática posible. lTlÍlLlÍlÍvÏÏlÏl Figura IV.1. Dado que las variables de trabajo son los desplazamientos y fuerzas en los nudos, el tratamientode estas acciones será tal que permita incorporar su efecto sobre la estructura mediante cargas en los extremos ‘de las banas, estáticamente equivalentes a las distribuidas. Para ello se va a introducir el concepto "fueizas de empotramiento", que no es más que elhconjunto de reacciones que existir-ia en tïrïa”"vigabiéïïnpótradzïsïiïeïa atlas acciones correspondientesjy que "jurïïomtaula utilizacionïel "pïíïïizipao desuperposición permitirán unïratamiento sencillo y general de todo tipo de cargas. A continuación se van a estudiar los tres tipos de acciones más comunes sobre las estructuras: Cargas, distribuidas o puntuales, aplicadas en los vanos, asientos de apoyos, y cargas térmicas; presentando simultáneamente a las explicaciones del primer caso el planteamiento general. -49-
  49. 49. 46 Capítulo Í V IV.2.- CARGAS APLICADAS EN BARRAS Si se piensa en primer lugar en cargas puntuales aplicadas en puntos intermedios de un elemento, la primera e inmediata solución es añadir un nudo bajo dicha carga. Esta no es una buena solución ya que aumenta innecesariamente el número de coordenadas, y no es generalizable al caso de cargas repartidas, a menos que se hiciera una aproximación agrupando por trozos tan pequeños como se quisiera. Figura IV.2.- Descomposición en cargas en nudos y cargas en elementos. La aplicación del principio de superposición puede resolver el problema de forma general si se suman dos estados: uno en el que todos los nudos tienen desplazamientos y giros nulos (empotrados), y sobre la estructuras están aplicadas solamente las cargas distribuidas. y otro en el que sobre los nudos están aplicadas las cargas exteriores puntuales y las reacciones de empotramiento del primer estado cambiadas de signo. La suma de ambos estados proporciona el estado original. " ' De esta forma la sistemática sería: l) Descomponer las cargas sobre la estructura en cargas puntuales aplicadas en los nudos, estado (a), y otras cargas, estado (b), Figura IV.2. 2) A su vez el estado (b) descomponerlo en’ otros dos, uno primero en el que todos los nudos se han empotrado. y sobre los elementos se han aplicado las cargas, estado (bl); y otro en el que se han aplicado sobre los nudos de la estructura las cargas opuestas a las que se obtendrían como reacciones en cada elemento al biempotrarlo y aplicar la carga, estado (b2), Figura IV.3. -59-
  50. 50. Cargas y otras Acciones no Aplicadas Directamente sobre los Nudos 47 ÜÏIÜÏE ‘Figura IV.3.- Tratamiento de las cargas en elementos. 3) Calcular mediante el Método directo de la Rigidez un problema con cargas únicamente en los nudos, calculadas al superponer los estados (a) y (b2). El resultado final de desplazamientos y esfuerzos se obtendría al superponer los estados (a), (bl) y (b2), teniendo en cuenta que: — Los desplazamientos en los nudos se obtienen directamente del calculo conjunto de (a) y (bZ). - Los desplazamientos en puntos no nodales se veran afectados por los tres estados, siendo su forma final la suma de su deformada como biempotrada, estado (bl), y la correspondiente obtenida por los desplazamientos y giros de sus extremos, estados (a) y (bz). - Para el cálculo de esfuerzos, nodales o intermedios en los vanos, será preciso superponer también los tres estados. De una manera formal, el proceso podemos decir que es: 1.- Expresar la carga sobre el elemento en el sistema local. 2.- Calcular mediante Resistencia de Materiales las fuerzas de empotramiento que aparecen f/ P. p. (IV. l) -51-
  51. 51. 48 Capítulo ¡V 3.- Pasar estas fuerzas a globales _ Pit = L ¡sy (IV.2) 4.- Analizar la estructura con cargas iguales y contrarias a las de empotramiento mas las cargas que actúan sobre los nudos. F = FCIÍ. + Fl! = F04“. - 2 Páflfflflfi" quñu r I ‘ v ——s IV.3.- MOVIMIENTOS DE APOYOS En general en una estructura hiperestática el movimiento de algún apoyo provoca sobre ella esfuerzos y deformaciones que en muchos casos reales es preciso cuantificar. Uno de los métodos para llevar a cabo esta cuantificación es aplicar los conceptos descritos en el apartado anterior. De esta forma, y si se supone que sólo existen cargas debidas a movimientos de los apoyos, el estado (bl) se formaría empotrando todos los nudos y aplicando los desplazamientos y giros prescritos calculándose a continuación las fuerzas de empotramiento que ello ocasionaria sobre la estructura. Figura IV.4.- Tratamiento de los movimientos de apoyos. El proceso a seguir sería semejante al de las cargas repartidas en los elementos, sólo que el estado (b) está formado por movimientos conocidos de los nudos. De esta forma el proceso a seguir seria : -52-
  52. 52. Cargas y otras Acciones no Aplicadas Directamente sobre las Nudos 49 1.-Los movimientos de los nudos empotrados se pasan a locales para cada uno de los elementos afectados. A" = LTA‘ ÜV-4) 2.- Se calculan las fuerzas de empotramiento de cada barra en dichas coordenadas, lo cual puede hacerse multiplicando el vector de movimientos conocidos por la matriz de rigidez del elemento. P" = K‘ A" = K‘ L’ A‘ (ïV-5t 3.-Transformación a globales. P‘ = L P" (IV-Ó) 4.- Calculo de la estructura con las cargas en nudos dadas por » F = Fax: + Fquiv. = F - z PllIatuApoy. avj) 0 Existe otro método para el tratamiento de movimientos de apoyos y es hacerlo directamente trabajando sobre el sistema de ecuaciones. Supóngase los vectores particionados en tres trozos: En la primera partición se agrupan todos los grados de libertad sin ninguna coacción ni movimiento impuesto, en la segunda se incluyen todos los grados de libertad con movimientos impuestos no nulos, y en la última aquellos que tienen movimiento nulo. " Si se particiona la matriz de rigidez de forma congruente con esta descripción se tendrá FI Ku 't, tt KIJII U; av 8) Fu = KIIJ KIIJI KIIJII Un ' FIII Kit/ J KIIIJI KIIIJII 0 que puede ponerse también como -53-
  53. 53. 50 Capítulo l V I F I XLII ¡‘Lt wait ¡‘un u; F K — K K (N9) tt ‘ IIJI un - II. I ‘,11 tt, ttt U” l! ¡ F III KIIIJI KII/ J Ktm/ t ¡‘tt/ Jn 0 dado que u“ es conocido. Desarrollando la primera partición se obtendría. Ft ' 't, tt “tt = FI “ Fcqttir. = 't. t "t (IV-IO) cuya solución permite resolver el problema y conocer el resto de los desplazamientos. El desarrollo de las otras dos particiones proporciona las reacciones. _ / FI] ' KIIJ "t " KIIJI “tt (un) Fm = ¡Ku/ J “t * KIIIJI “tt UV”) Ambos métodos conducen a idénticos resultados y no soh más que dos formas de plantear un mismo problema. 1v.4.- CARGAS TÉRMICAS , g En las estructuras ' taticas, __isosta_ticamente a o adas sometidas a . , . ammmua 3 *'”‘“ MMJÏTE _ ”“*m» gradientes termrcos no, Janaggf ’ " ' ' emento). ' Tc «————"/ :;Ü1' E Ti - Ti -Á} (b) " (bi) Figura I’.5.- Tratamiento de las acciones térmicas. -54- DQQQQéLÁQQQQLQAQQoAA
  54. 54. Cargas y otras Acciones no Aplicadas" Directamente sobre los Nudos 51 En estructuras hiperestática; esto no es asi’ y en general aparecen esfuerzos que pueden ser calculados de forma anzloga a como se ha hecho anteriormente con las cargas distribuidas en los elementos y los movimientos de apoyos, es decir formando un estado (bl) etnpotrando los nudos y calculando las reacciones que se producen en cada elemento al aplicar sobreél la carga térmica. Las reacciones de empotramientohde un elemento sometido a un gradiente lineal“ temperatura en su canto, variando entre T, y T, {moon coeficiente de dilatación ot, longitud L y canto h, pueden sercalculadas como: 0 ‘Vo o o T37.- P, . = K, -a 2 L = (IV. l3) . TP-TÏ L? f)‘, _ °' 2h vfápgko Te-Tí L ¿Jaufu-«e. Uu-TPLQLÁQ‘ ¡’a h donde K’ es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales. En el caso de incremento uniforme de temperatura Te = T, = 7' , se convierte en O EAotT 0 O P. .=K. 0 = “ 0 (rv.14) -aLT -EAotT O 0 O 0 Una vez conocidas todas ellas y pasadas a coordenadas globales se opera de forma idéntica a como se ha visto anteriormente F = FCXÍ + F = FCXÍ. - z Pïfemp. equiv. -55-
  55. 55. 52 Capitulo IV IV.5.- ENSAMBLAJE DEL VECTOR DE CARGAS Como se ha visto hasta ahora cuando las acciones no son únicamente cargas en los nudos es preciso determinar las fuerzas de empotramiento correspondientes a dichas acciones sea cual sea su origen. Si se recuerda el planteantiento efectuado para la formación del sistema de ecuaciones de la estructura, puede modificarse para tener en cuenta éstas fuerzas de empotramiento. F, - = Fra, - Z Pt" = Fra, - E L, F3“ (N16) f‘ l’ estando extendido el sumatorio en "e" a todos los extremos de barra coincidentes en el nudo Asi pues el sistema de ecuaciones a resolver será Ffi: .P* , K u (IV. l7) donde F y P‘ son vectores conocidos, y teniendo este último la forma z L! Pitt‘! z L, P5“ r _ - (IV. l8) P = á z L, Pg“ z L, PN“ Siendo necesario su ensamblaje al igual que se hacia con las matrices de rigidez. . ‘:Ï: ... ‘:‘: Ï;. ‘:5:f-nntstnnnninagn Jfldfildlnannaana anaag. .____. .._. __. ____
  56. 56. Cargas y otras Acciones no Aplicadas Directamente sobre los Nudos 53 IV. 6.- CALCULO DE ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS Como se indicó anteriormente mediante el principio de la superposición el cálculo se descompone en tres estados (a), (bl) y (b2), Figuras lV.2 y IV.3, resolviéndose mediante el Método Directo de la Rigidez la suma de (a) y (b2), lo cual permite conocer los desplazamientos en los nudos. Las fuerzas y esfuerzos en los extremos de los elementos serán la suma de los correspondientes debidos a los desplazamientos de los extremos K ‘ ó ' , asociados a los estados (a) y (b2), y de las reacciones de empotramiento P", estado (bl), es decir P‘ = K‘ s‘ + P" (ÏV-19) que admite ser expresada en otras formas en función de los desplazamientos en coordenadas globales. P'= K'LT¿+P" ; P'= LTK¿+P" (N30) cualquiera de ellas proporciona las fuerzas en los extremos que junto al tipo de carga aplicada permite construir los diagramas de esfuerzos del elemento y por lo tanto proceder a la comprobación del tensiones. -57-
  57. 57. I , .r a “ennirotnÏctien“aetiwflawesanaumasduïm ÜLEI. %W_QGÍIw fi. ücu_isimümm, ñsmüt mzazaeamüúzie.
  58. 58. CAPITULO V TÉCNICAS COMPLEMENTARIAS DE ANÁLISIS MATRICIAL v.1.— INTRODUCCIÓN Si bien con lo estudiado hasta ahora pueden resolverse gran número de estructuras, existen algunas situaciones particulares que exigen el conocimiento de unas técnicas complementarias de análisis matricial que van a ser estudiadas en este capítulo. En una estructura, por ejemplo, pueden existir condiciones de contomo en algunos grados de libertad cuyas direcciones son no concordantes con los ejes globales, será pues necesario en ellos definir unas nuevas coordenadas, llamadas nodales, y realizar la transformación del sistema de ecuaciones. Todas las estructuras vistas hasta ahora estaban soportadas por apoyos infinitamente rígidos que impedían uno o más movimientos del nudo totalmente. En algunas ocasiones se presentan apoyos elásticos en los que los movimientos no son nulos sino proporcionales a la fuerza (reacción) que se desea transmitir. Este sera’ el problema que se trate en segundo lugar. A continuación se van a exponer los fundamentos y aplicaciones de la condensación estática, que es una técnica numérica que se utiliza para desacoplar unos grados de libertad de otros, asi como dos de sus aplicaciones más comunes: las barras con libertades y las subesrructuras o macroelementos. A veces además de existir sobre la estructura unas condiciones de contorno de fuerzas y desplazamientos, es necesario que para la mejor modelización de la realidad se impongan ligaduras entre grados de libertad, un ejemplo de ello puede ser los elementos o conjuntos mucho más rígidos que el resto de la estructura. V.2.- CONDICIONES DE CONTORNO NO CONCORDANTES Para analizar una estructura como la de la Figura V. l., en la que en el nudo A es preciso imponer una condición de contorno, en este caso en desplazamiento, no concordante con los ejes globales, será necesario definir unos ejes nodales en la dirección de dicha condición de contorno. La relación existente entre estas coordenadas y las globales vendrá dada por -59-
  59. 59. 56 Capitulo l’ . T - tt = L2’, u" ; u" = L; u (V-Ï) Figura V. l.- Condiciones de contorno no concordantes. Si la estructura fuera un pórtico plano los vectores y matrices de la ecuación anterior serian ' “x “x coso -sen. ot 0 o u = u), ; u" = u") ; LÏ, = seno cosa O (VW) g 0" 0 O l siendo fácil extrapolar a otro tipo de estructuras. Las fuerzas sobre dicho nudo también podrán expresarse análogamente. _ rÏ n . _ "T v.3 F-LDF", F'—LDF ( l y por lo tanto la ecuación matricial de equilibrio asociada a ese nudo, expresada en coordenadas globales, podrá ser modificada de la siguiente forma. l F¡ - P, ‘ = KU- llj = W K0. LB- u; (V4) “s- ‘Lvkip ' t‘ ¡k vx'" _ l f” I)‘ TÏn-Ï = Z LD, Lrp) M) habiendo recogido en el sumatorio con LW" la posibilidad de que puedan existir otros nudos con coordenadas nodales, no necesariamente iguales a las del i, de forma que si en el nodoj las coordenadas globales son idénticas a las nodales, LD¡" es la matriz identidad. __ " w ï(_'PJÏ: Z Klfifl] = Lot/ ll, - + i” -50- t? _1_I_1__I__'_I__i g_l__l__l_l_l_l I I I I n I a un I n n ¡ya
  60. 60. Tecnicas complementarias de análisis matricial 5 7 La expresión anterior equivale a premultiplicar por LDJ. " el grupo de filas correspondientes a las ecuaciones de equilibrio del nudo no concordante, y postmultiplicar por LDJ/ ‘T el grupo de columnas que rnrultiplica a los grados de libertad de dicho nudo. m, ¿Arteta naa (¿tg , “v, ,, _¿. g_ it Estas transformaciones pueden hacerse a nivel elemental y expresar directamente las ecuaciones de cada elemento en coordenadas nodales. Para ello se tendrá en cada extremo del elemento una matriz de transformación distinta, ya que en el caso general las coordenadas nodales de los dos extremos del elemento pueden ser diferentes. Así las fuerzas y movimientos elementales en coordenadas nodales serán ‘ e = Ll3r’P. - = Lt; .-’LDP; Hair. » t a» = Llr>i5ll W l a" = L23fn= Li3,-’L2n' w5- Pt‘ = 62-423»; W Convirtiendo la ecuación matricial en coordenadas locales en nodales aprovechando la onogonalidad de las matrices de transformación PH = Ki! ¿tt ; Ki! = L“ K siendo v.3.- APOYOS ELÁSTICOS Para transmitir cargas al suelo se supone habitualmente que éste es infinitamente rigido y que dicha transmisión no implica ningún desplazamiento; Esta hipótesis, aproximadamente cierta en gran número de casos, puede conducir a errores de consideración si la estructura es muy rígida, las cargas a transmitir son grandes, el suelo sobre el que esta’ dispuesto el cimiento puede ser considerado elástico, o bien simplemente porque la unión estructura-cimentación es elástica (normalmente atornillada). La existencia de apoyos elásticos hace que la condición de contomo en el apoyo venga expresada no por valores concretos de fuerzas o desplazamientos, sino por una relación entre ambos. Si se plantea la ecuación de equilibrio en el apoyo elástico conjuntamente para todos sus grados de libertad se tendrá -51-
  61. 61. 58 Capítulo V VI Fí-Pi‘ ‘l: P. ‘+Papoya= X"a"¡*K. -'ui (V9) eem. j= l donde F, - son las fuerzas externas aplicadas en el nudo i, P; las fuerzas de . O . . . empotramiento, y K¡ es la matriz de rigidez del apoyo. Las matrices de rigidez de los apoyos se pueden conocer calculando la resultante de fuerzas sobre el nudo cuando se aplican movimientos unidad. Cimentación sobre suelo flexible D" ' . w:= in-, t¡dt2far-4&t Union atomillada flexible Flgtira"’.2.- Ejemplos de conexiones no infinitamente rígidas. La forma simplificada de la matriz de un apoyo elástico es la idealizada a partir de muelles según los distintos grados de libertad de éste sin acoplamientos entre ellos, es decir, k_. o o K- = o k). o (V10) o O k¿_ que se corresponde con la Figura V.3. en el caso de un pórtico plano En resumen conocida la matriz de rigidez del apoyo basta con sumarla sobre la diagonal de la matriz de rigidez para imponer esta condición de contorno. -52- zïïiïinnnnnn-nnnaaa-aa-
  62. 62. Técnicas complementarias de análisis matricial 59 Figura V.3.- Idealización simplificada de un apoyo flexible. v.4.- CONDENSACIÓN ESTÁTICA La condensación estática es una técnica numérica utilizada para desacoplar unos grados de libertad de otros. Si suponemos las ecuaciones de un _ elemento, un conjunto de ellos, o una estructura en forma particionada F1 _ P; _ K1: K111 “I (VM) F11 Pf, K111 K111i “u simplemente operando se podrá poner Fin/ nin. = K1 lzquiv. u] donde Fleqlziv. = (FI ‘ P1‘) ' K111 K171! (Fu " pu‘) (V13) I I _l ¡*¡/ ¿,¡, ,¡‘. _ = Ki] ‘ ¡‘I u Kll II K111 (‘ud’) siendo I-l ' 1°] I “u = ¡‘II II (Fu ’ pu) " ¡‘II Il ¡‘I/ I “I (V15) De esta forma puede a continuación operarse únicamente con los grados -63-"
  63. 63. 60 Capítulo V de libertad en I sin ninguna pérdida de exactitud. La realización práctica de esta técnica no se lleva a cabo normalmente a partir de las expresiones anteriores sino que el desacoplamiento de ecuaciones se lleva a cabo modificando el sistema mediante combinaciones de filas hasta conseguir ceros en la columna del grado de libertad correspondiente. La utilidad de la condensación estática se va a poner de manifiesto en los dos apartados siguientes. V.5.- LIBERTADES EN LOS ELEMENTOS Los nudos de las estructuras estudiadas hasta ahora tenian un mismo número de grados de libertad. En la práctica pueden existir en una misma estructura nudos con diferente número de grados de libertad, tal es el caso de aquellas en los que coincidan barras con libertades. Figura V.4.- Libertades de giro y desplazamiento. El caso de elementos con libertades más común es el de aquellos en cuyos extremos puede haber rótulas, en las que además los titomentos suelen ser nulos. En estos elementos el giro de su extremo está libra de girar como el nudo, no efectuándose transmisión de fuerzas según el grado de libertad liberado, y por lo 0* 3 _; tanto el elemento no contribuye a la rigidez del nudo en esa dirección. A. a l. La solución a este problema puede llevarse a cabo mediante la Üá‘ 7€ 91; condensación de uno de los dos grados de libertad de idéntico carácter existentes- = en el nudo, por ejemplo en el caso de la rotula condensando el giro en el extremo -z de la barra, antes de proceder al tnontaje de las ecuaciones del nudo. -54- C9‘ 95 ; m«¿H Ó’ : <. nhfitfhháhéfAggggga-a
  64. 64. Técnicas complementarias dc análisis matricial 51 Condensación g. d.l. 6 Figura V.5. Este proceso de condensación convertiría además las cargas de « empotramiento perfecto sobre el elemento a otras, estéticamente equivalentes, de acuerdo con el criterio de fuerza nula sobre libertades. F” 0 = F/ cquiv. = F’ n. Plczuiv. (x416) siendo r _ ' _ t ¡‘l ' - P/ wuh, ’ P1 ¡‘I 11 ¡‘tt 11 P11 (V17) Figura V.6.- Obtención de la matriz de rigidez de un elemento con libertad de giro en el extrento final. -55.
  65. 65. 62 Capítulo V y la matriz de rigidez condensada I r r ‘l ¡‘11 = ¡‘tt ‘ ¡‘1 11 X1111 K111 (V18) equiv. Esta matriz puede ser obtenida directamente aplicando movimientos unidad, según los diferentes grados de libertad dejando libre los que se van a conden sar En una barra de pórtico plano por ejemplo si existiese una rótula en el extremo final se obtendría la siguiente matriz de rigidez. É‘; o o JE o L 1. o ¿g 351 o -3El L3 L! L3 K_ = 0 251 y o -3E1 (m9) 2 L L: .51 o ' o .51 o L 1, o -3El -3EI o ¿gt L3 L3 1.3 cuya expresión en coordenadas globales puede encontrarse en el Anexo Il. Este último procedimiento no suele usarse en la práctica debido a la dificultad que supondría programar en el ordenador todas y cada una de las posibles combinaciones de libertades sobre cada elemento, siendo más sistemático el proceso de condensación indicado en primer lugar. La aplicación de libertades en los elementos que coinciden en un nudo debe hacerse teniendo cuidado no hacer inestable el propionudo, ya que si se condensan todos los giros ninguna barra apartará rigidez de giro al nudo y se producirá un mecanismo interno a menos que se coaccione artificialmente dicho giro. ’.6.- SUBESTRUCTURAS O MACROELEh-TENTOS Para el cálculo de estructuras con gran numero de grados de libertad puede interesar dividirla en subestrttcturas tnás pequeñas de más fácil manejo e interpretación. Las razones para ello pueden ser varias, pero se pueden citar como más comunes las siguientes: estructuras repetitivas o ciclicas, en las que un mismo -55- ¡QQQQQQCQGGCAAAAAAAAA-d---_-
  66. 66. Técnicas complementaria: de análisis matricial 53 módulo se repite múltiples veces; estructuras modulares, o formadas por un número pequeño de módulos que, conectados de diferentes formas dan lugar a estructuras distintas; y estructuras que por su gran complejidad no son ni diseñadas ni calculadas por un mismo grupo de trabajo sino por varios que a veces están geográficamente alejados. i Si por ejemplo se quiere calcular mediante subestructuración la estructura de la Figura V.7. el proceso a seguir sería. a) Cálculo de las matrices asociadas a las subestructuras distintas con todos sus grados de libertad, es decir de Sl y S3. b) Condensación de los grados de libertad no comunes, es decir todos los que no se utilicen para las conexiones. c) Transformación de coordenadas si es necesario, en este caso implicaría calcular las ecuaciones de la subestructura S2 a partir de las Sl mediante la pre y post multiplicación por las matrices de giro correspondientes. d) Montaje de las ecuaciones de los grados de libertad comunes. e) Resolución del sistema de ecuaciones. f) Cálculo del resto de las incógnitas asociadas a los grados de libertad no comunes. g) Cálculo de esfuerzos en todos los elementos. Como se ha podido ver durante el proceso de cálculo se trata de cada SLlbCS/ FUCIUFÜ COTTlO un l7l0CI'0(fÍ('/77(? Il. Í!). -57-
  67. 67. 64 Capíiulti V V.7.- LIGADURAS ENTRE GRADOS DE LIBERTAD Las ecuaciones de ligadura que se van a contemplar son lineales, es decir, del tipo z u. = h. siendo CÜ, h]. constantes y u¡ el desplazamiento/ giro, según un grado de libertad cualquiera. Si hubiese r ecuaciones de restricción . _ se podría expresar matricialmente C u = h (V21) donde C es una matriz de (r x n), y u, h vectores de dimensión n, es decir el número total de grados de libertad. . Como al sistema de ecuaciones de la estructura. supuesto perfectamente determinado, se le añaden r ecuaciones adicionales se podrán eliminar de él r incógnitas. ordenando y particionando adecuadamente las ecuaciones de restricción. "' ¡l (V22) [C. Cl 1 11 u” siendo C¡ una matriz de (r x r), C” de (r x (n - r)). u, un vector de dimensión r que contiene todos los grados de libertad a eliminar del sistema de ecuaciones, u” un vector de dimensión (n — r), y h un vector de dimensión r. Despejando "1 '"‘ C1.‘ 7’ ‘ 51-! C11 "11 (V23) o bien u, = l1¡ + T, ¡¡ u” (V24) y por lo tanto el vector de desplazantientos de la estructura toma la forma -53-
  68. 68. Técnica: complementarias de análisis matricial 55 l T “I = ‘I + III u” (V35) "11 0 Í U = b 4' TUI’ Particionando la matriz de rigidez de la estructura F - P’ = K u F1 P1. K111 K111 - = (b + Tu”) (V37) F11 P, ', ‘- K111 Ku 11 ' Si se desarrolla la parte inferior se tendría una relación entre F, , y u, , que permitiría resolver el problema con sólo esos grados de libertad, pero relacionándolos aparecería una matriz no simétrica. En orden a seguir trabajando con matrices simétricas basta con premultiplicar toda la ecuación por T T, obteniéndose ' Fncquiv. = K” "cquiv. u” donde F11 . =TT(F‘Ï’"KÜ) (V19) cqutv. , ___ r n! It, , , ,cqu¡v, T K T (V30) Nótese que las ecuaciones de restricción han afectado al vector de cargas y a la matriz de rigidez, si se desarrollan las expresiones anteriores. Fncquiv. = T1 117 (F/ ‘PI’ ‘K1 1 h! ) * (Fil-Pl; ' '111 h! ) (“i”) , r , r (V32) ¡‘1111,, ,,, ,-, ., = T111 ¡‘11 T111 * (K111 T111 * T111 K111) * X11 11 lo que indica que la imposición de restricciones varía en general la rigidez del sistema y hace aparecer unas cargas ficticias adicionales. Estas cargas ficticias pueden interpretarse como aquellas que habría que poner sobre la estructura, -59-
  69. 69. 66 Capilu/ u V además de las que ésta ya tiene, para que se cumplan las ecuaciones de restricción. Desde un punto de vista matemático estas cargas serían las incógnitas asociadas a las nuevas ecuaciones añadidas al sistema de ecuaciones de la estructura, ya perfectamente determinado sin ellas. Aïwo ‘sima ti, tip-t, A. -_<í. _., .,, ,._. l.i e K‘ v[«x-: a9L&_ ‘iD/ Hifi’ i) (¡_. ‘i1‘, _. __ Gy-Lbv-¿XA ¿ 4. r ’ 7 W -70-
  70. 70. CAPITULO VI MÉTODOS MATRICIALES INDIRECTOS v1.1.— INTRODUCCIÓN El estudio de los métodos matriciales de cálculo de estructuras se completa en este capítulo mostrando los Métodos indirectos de Rigidaz y Flexibilidad, respectivamente asociados a los métodos de equilibrio y compatibilidad, llamados así porque la matriz del sistema de ecuaciones de la estructura no se obtiene directamente a partir de las elementales por simple superposición (ecuaciones de equilibrio y compatibilidad nudo a nudo), sino de forma indirecta (ecuaciones de equilibrio y compatibilidad que implican a grados de libertad de varios nudos no necesariamente conectados). Las ventajas del Método Direcio de la Rigirlez pueden resumirse en dos: es muy sistemático, y por lo tanto fácilmente programable en un ordenador, y es conceptualmente muy sencillo. Estas cualidades lo han hecho muy popular y universalmente usado para el cálculo de estructuras de barras, no obstante su mayor defecto es que no tiene en cuenta peculiaridades específicas de la estructura que se está calculando, estableciendo sistemas de ecuaciones muy grandes que proporcionan mucha información sobre la estructura, no siempre importante para su dimensionamiento o comprobación. El Método indirecto de la Flexibilidad, al ser un método de compatibilidad, va aprovechar las características particulares de la estructura, siendo posible con él formular sistemas de ecuaciones que sólo contengan las hiperestáticas, internas y/ o externas, los grados de libertad en los que estén aplicadas cargas puntuales y cualquier otro del que se desee una información directa inicial; conocida esta información será posible, a posteriori, obtener cualquier otra que se considere necesaria. Esta caracteristica hará que su sistemática sea menor y por lo tanto algo mas difícil de programar. Actualmente este método es muy usado en cálculos relativos a la optimización de estructuras. í__. ._. g El Método indirecto de la Rigidez tiene los inconvenientes del método directo, va a dar lugar a sistemas de ecuaciones grandes, y del de flexibilidad, no es muy sistemático, por lo que es poco usado, siendo su estudio interesante únicamente desde el punto de vista académico y como medio de definir y comprender lo que se denominará matriz estática. VI.2.- SISTEMAS DE COORDENADAS. DEFINICIÓN Y REQUISITOS. En los metodos indirectos se van a usar tres sistemas de coordenadas: sistema de referencia, sistema general, y sistema elemental. -71-
  71. 71. 68 Capítulo V] Sistema de coordenadas de referencia. Se utiliza para fijar la estructura en el espacio, definir las posiciones de los nudos v la orientación de los elementos. Es el mismo que el usado en el Método Direclo de la Rigidcz. ‘¡KY X a l l l l Figura VI. l.- Sistema de coordenadas de referencia. Sistema general de coordenadas. Es el sistema de coordenadas asociado a la estructura como conjunto definiéndose de forma muy distinta en los dos métodos, y dando lugar a las relaciones siguientes VALE F= Ku u= AF (V1.1) En el Método lirdírczcm de la Rigídaz se definen como coordenadas generales todos aquellos grados de libertad cuyo movimiento sea desconocido de modo que a partir de ellos sea posible definir cualquiera de las deformadas posibles de la estructura. Serán coordenadas generales en el Alá/ odo indirecto de la Flexibilidad los grados de libertad seleccionados como incógnitas hiperestáticas, internas y/ o externas, todos aquellos sobre los que actúen fuerzas puntuales, y cua] uier otro sobre el ue se desee conocer directamente su movimiento. Una vez elegidas las coordenadas será preciso comprobar que no existen ligaduras entre los movimientos de los grados de libertad elegidos en el caso del Método Indirccm de la Rígidaz, y gue las fuerzas son independientes entre sí en el , ya que en otro caso existirían en las matrices de la estructura filas y columnas que serian combinaciones lineales unas de otras, lo que impediría la resolución del sistema de ecuaciones resultante. -72- QCCCCÓCQQCQQQQQQQ
  72. 72. Método: Matriciales indirectos 69 Método Indifgcm de la mgidu Método indirecto de la Flexibilidad Figura VI.2.- Sistema general de coordenadas. Sistema elemental de coordenadas. Este sistema coordenado está asociado a cada elemento y al contrario que en el Método Directo de la Rígidez no es único para un tipo estructural dado. Las relaciones elementales a calcular serán _ P = k ó ; ó = a P (VI-Z) La elección de las coordenadas ha de efectuarse teniendo en cuenta precauciones similares a las tenidas en la elección de las coordenadas generales. En el Método indirecto de la Rigidez se deberá asegurar que los movimientos elegidos sobre el elemento son suficientes para que éste pueda seguir todas las deformadas de la estructura posibles, garantizando que no existen relaciones entre los movimientos elegidos. p . ;- Figura VI.3.- Sistema elemental de coordenadas. -73-
  73. 73. 70 Capítulo VI Si se trata del Método lndirccro de la Flexibilidad será necesario garantizar la independencia de las fuerzas lo que conduce a que los movimientos en el sistema elemental sean relativos, normalmente respecto del otro extremo, ya que para garantizar esta independencia será preciso tomar alguna referencia para dichos movimientos. V1.3» MATRICES ELEMENTALES Una vez definidas las coordenadas elementales es inmediato obtener las matrices elementales de rigidez k y flexibilidad a aplicando sus definiciones correspondientes. A continuación se van a exponer las elecciones mas comunes de grados de libertad en el caso de deformación axil y flexión plana, sobrentendiéndose que siempre existe la posibilidad de realizar la elección de grados de libertad y matriz de rigidez estudiada en el método directo, aunque ello significa que no existe la matriz de flexibilidad al implicar ligaduras entre las fuerzas. De este modo la exposición se va a ceñir a otrasgalternativas. s’ / st / Figura V1.4.- Coordenadas elementales en deformación axil. Para representar el comportamiento a deformación axil Figura V1.4 se define un sólo grado de libertad siendo el desplazamiento relativo al otro extremo, es decir el alargamiento de la barra. Para representar el comportantiettto a flexión en el plano hay diferentes altemativas, algunas de las más comunes pueden observarse en la Figura V1.5. -74-
  74. 74. Métodos Matriciales indirecto: 71 Figura VI.5.- Coordenadas elementales en flexión plana. Si se eligen los giros en los extremos, definidos relativos a la línea recta que los une, las matrices serán 4L -L 451 2151 _ 372"? ‘e75’! _ k _ T T (v1.4) a ' -L L ’ ' 251 451 ÉÏÏ Ïí-ÏÏ T T que en el ¡Método indirecto de la. Rigidez sólo será utilizable si en el elemento no existe desplazamiento transversal relativo entre sus extremos, ya que en otro caso no se podrian representar todas las deformadas posibles. Si se toman como coordenadas elementales el desplazamiento transversal y el giro, relativos de un extremo respecto del otro, entonces se tendrá L3 ¿3 IZE] -6EI — 3 7 a = 351 21:1 ; k z L L m5) L: L «sar 451 2151 E L3 L Existen otras posibles elecciones y tipos estructurales cuyas matrices pueden calcularse sin más que aplicar desplazamientos o fuerzas unidad en cada uno de los grados de libertad manteniendo el resto a cero, es decir aplicando las definiciones ya conocidas de las matrices. -75-
  75. 75. 72 Capíluln Vl VI.4.- MATRICES ESTÁTICA Y CINEMÁTICA. RELACIONES DE CONTRAGRADIENCIA. Una vez definidas las coordenadas elementales su ensamblaje para formar la matriz de la estructura se va a realizar por medio de ecuaciones de equilibrio y compatibilidad globales, no sólo nodales como se hacia en el método directo. A estas ecuaciones agrupadas matricialmente es a lo que se denomina matrices estática y Cinemática. La matriz estática. representa las relaciones de equilibrio existentes entre las coordenadas elementales y generales, y se define a través de la ecuación p = b F ¿___ (V1.6) donde P agrupa las fuerzas sobre coordenadas elementales y F sobre las generales, siendo b la nzarriz estática. r Cada uno de los términos representa la fuerza que aparece sobre la 2 f, ‘ 4 r ‘i . 3 (l? ! C. elementales ; -« M3 - l Figura ’I.6.- Cálculo de la iria/ ri: (má/ ica. -75- DCQQÓJÏÉJÉÉÓOIIIII/ lt
  76. 76. Fr"? Métodos Matriciales lndirectos 73 coordenada elemental i al aplicar una fuerza unidad según la coordenada general j manteniendo. nulas las demás. La generación de la matriz estática para un problema dado es inmediata con la definición anterior siempre que éste sea isostático. Si para la estructura de barras inextensibles de la Figura V1.6 se consideran las coordenadas generales y elementales mostradas, la matriz estática será ‘L “l ‘4 -¡_ -I -l = L+l 4) z t_ I t N”) -L -l 0 -L -’ «.7 0+1 a o l c La matriz Cinemática proporciona relaciones de compatibilidad entre las coordenadas elementales y generales definiéndose a través de la siguiente ecuación = _ , _ Wi V1.8 ó ü U < Y ‘N ( ) siendo 6 los movimientos sobre las coordenadas elementales, u sobre las generales y ot la matriz Cinemática. . Los términos otü- representan el movimiento que se produce sobre el grado de libertad elemental i cuando sobre el general j se provoca un movimiento unidad manteniendo a cero los demás. Con esta definición pueden calcularse los diferentes términos con facilidad. Por ejemplo la matriz Cinemática de la estructura de la Figura V supuesto que las barras son inextensibles sera’ V114 ‘V6! ‘/ l ' r mi» _i vi! í É L . {o ¿yLl 1‘ a: Los procedimientos utilizados para el cálculo de las matrices estática y Cinemática recuerdan a los tnétodos de compatibilidad y equilibrio, respectivamente. A partir de la superposición de los estados de equilibrio de fuerzas descritos en la Figura V1.6 más unas condiciones de compatibilidad se podria resolver la estructura (Método de compatibilidad). Igualmente podría resolverse a partir de la superposición de deformadas de la Figura V1.7 y de unas ecuaciones de equilibrio (Método de equilibrio). Esta asociación sugiere que la matriz estática se va a usar en el Método indirecto de la Flexibilidad, y la matriz Cinemática en el Método indirecto de la Rigidaz, proporcionando además los requisitos para que dichas matrices sean útiles a estos métodos : la nzatriz estática -77-
  77. 77. 74 Capitulo V] r/ I. ‘TfR 2 2 / t‘ yr ‘¿. — i: l, ’ 4 3 < 1-- 3 (b) l c‘ ¿anuales (al C. elementales Figura V1.7.- Cálculo de la ntatriz Cinemática. debe relacionar todas las posibles fuerzas en coordenadas generales con las existentes sobre las coordenadas elementales, mientras que la matriz Cinemática debe correlacionar los movimientos de todas las deformadas posibles de la estructura a nivel elemental y general. Si se supone a continuación que sobre una estructura estan definidas unas coordenadas elementales y generales coherentes con lo anterior y se aplica el Principio de los Trabajos Virtuales en ella se tendrá ¿r P = ur ¡, - (V1.9) es decir, la igualdad entre el trabajo interno y el externo, para lo cual se ha supuesto que sólo existen cargas en los nudos y que las coordenadas elegidas recogen todo el trabajo externo e interno posible en la estructura, es decir cumplan los requisitos de ambos metodos. Sustituyendo la definición de la nmtrir. estática se tendrá -73- i-fllrï-rhnbponana
  78. 78. Métodos Matriciales‘ indirecta): 75 ¿’(bP)= uTP = u= bTó (VI-IO) al cumplirse para todo F. Si se sustituye ahora en la relación (V1.9) la definición de matriz Cinemática (a u)’ P = u’ F = F = a’ P (VI-lll ya que es cierta para todo u. Una nueva sustitución en las expresiones anteriores de las definiciones de las matrices proporciona ar b = br a = ¡ (v1.12) que relaciona ambas matrices. A las relaciones obtenidas se les denominan de contragradiencía ya que permiten utilizar ambas matrices para expresar relaciones de equilibrio y compatibilidad (VI.13) VI.5.- EL MÉTODO INDIRECTO DE LA RIGIDEZ. Supóngase una estructura hiperestática como la de la Figura V1.7 sometida a fuerzas únicamente en los nudos. El primer paso a dar sería definir sobre ella dos sistemas de grados de libertad uno elemental y otro general que permitieran representar todas las deformadas posibles de la estructura, construyendo a partir de su definición la matriz Cinemática, ecuación (V1.8) y definiendo los vectores de fuerzas como P, “ Fl MÍ P: P: = :7 , F: M: (VI.14) P M3 M3 Mi’ donde se han agrupado las fuerzas por elementos. Análogamente los vectores de -79-
  79. 79. 76 Capúulu VI movimientos serán 57 ¿a 65 u] 5 = h = ‘ ¿ u = e: (V1-15) 6 63 03 62' La construcción de las ecuaciones de la estructura se lleva a cabo a partir de las ecuaciones elementales desacopladas que no son más que la expresión conjunta de las ecuaciones elementales p = ¡(D ¿ . ¡(D = l" ° (VLló) o A1’ siendo K D la matriz dc rigidez desacoplada una matriz diagonal a bloques. Si a continuación se opera en (Vl. 16) teniendo en cuenta las relaciones de contragradiencia. F JP = a7KD5 = aT KDUU (VI-Ni luego F. —.¡{u ¿ K= aTKDu y (VI.18) sistema de ecuaciones que puede tener o no impuestas todas las condiciones de contorno. Normalmente, como es el caso de la Figura V1.8, se habrán escogido las coordenadas generales y elementales representando las condiciones de contomo con lo cual sólo sera’ preciso resolver (VI.18). En caso contrario sería necesario aplicar condiciones de contorno en forma análoga a como se hacía en el Método Directo de la Rigidcz. Una vez conocidos los movimientos en coordenadas generales se procederá al cálculo de los movimientos y fuerzas en coordenadas locales 0a ll oz u ; P = RD 5 (VÏ-19) con lo cual queda completo el cálculo Si existiesen acciones distintas a cargas en nudos el tratamiento seria similar al realizado en el método directo. Descomponiendo en dos estados (bl) y (b2), Figura V1.8. teniendo el ‘primero de ellos nulos todos los movimientos sobre las coordenadas elementales definidas y aplicadas las cargas sobre los -39-
  80. 80. Métodos" Matriciales lndírectar 77 elementos; en el segundo se sitúan las reacciones obtenidas en los problemas elementales anteriores cambiadas de signo. En este caso las ecuaciones elementales desacopladas serán la suma de (bl) y (c2) p = ¡(D5 + p‘ (v1.20) 3 4 v” ‘x 3 2 ‘X l 7"» <—* 2 1 1 c_ generalcs C elementales ti M‘: M 3 3 =3 i ¿b t; (A ‘Q’ Y y 4' 2 u, ‘ a a * Pl- 1: (b 2) —%> Yv/ Figura VI.8.- Tratamiento de las cargas no nodales en el Método lndirecto de la Rigidez. correspondiendo ¡(D6 al estado (bZ) y P’ al (bl). Operando con la matriz Cinemática para obtener las ecuaciones en coordenadas generales, se tendrá F= aTKDo1u+aTP‘ ; F= Ku+F‘ (VI-Zn que resuelve el problema. -31-
  81. 81. 78 Capíluln V! V1.6» EL INIÉTODO INDIRECTO DE LA FLEXIBILÏDAD. Al ser el Mémdo indirecto de la Flexibilidad un método de compatibilidad el primer paso a dar será convertir la estructura en isostática mediante la elección adecuada de hiperestáticas, internas y/ o externas, y la liberación de los vínculos correspondientes. Si se tratara de una estructura con sólo cargas en nudos, por ejemplo la de la Figura V1.9, bastaría con tomar como hiperestática el desplazamiento vertical del apoyo deslizante, y elegir el sistema de coordenadas generales y elementales de la Figura V1.6 para tener descrito el problema. Los vectores de fuerzas asociadas serian Edson In-¿sa Figura V1.9» Elección de hiperestaticas. M, Ma Fl u _, i P: Pili: i 3 F: M: (V112) P M3 M3 Mi’ y los correspondientes desplazamientos o. " 6a ul a 5 l: 1, = t: ‘W ó 93 63 ef, ’ Las ecuaciones desacopladas del problema se obtendrian por agrupamiento de las elementales -32-
  82. 82. Métodos Matriciales indirecta: 79 (la 0 v ¿ = AD P . AD = b ( 1.24) 0 a siendo A D la matriz de flexibilidad dasacoplada, diagonal a bloques. Operando con las relaciones de contragradiencia es posible obtener las ecuaciones acopladas o de la estructura. u= bTó= bTADP= bTADbF (V135) yporlo tanto u= AF ; A= bTA, ,.b (VI-26) Si el sistema anterior corresponde a una estructura hiperestática no tendrá impuestas todas las condiciones de contorno ya que en él los vínculos correspondientes a las hiperestáticas continúan liberados, por lo que para su resolución será preciso coaccionar dichos vinculos. Esta imposición de condiciones de Contorno conducirá al cálculo de las hiperestáticas en primer lugar. Si se llama F H a la parte‘ de las coordenadas generales que indican incógnita hiperestática, internas y/ o externas, y F o al resto se tendrá o p= [bo by] F ; u = u (v1.27) F" u” ypor lo tanto A q, “ b _ bOTADbO bOTADbH _ A00 ¿on (V128) — D - bHTADbO bHTADbH _ A“ A” si ahora se impone u” = 0 se tendrá ¡H = _ HH -1 H0 ¡:0 (A l A (v1.29) U0 = A00 F0 +AOH FH Conocidos todos los valores sobre las coordenadas elementales el cálculo ‘ de los valores correspondientes sobre las locales será -33-
  83. 83. 80 Capítulo VI P= bF ; ó= ADP (v1.30) Los movimientos en coordenadas elementales calculados en el Método Indirecto de la Flexibilidad no cumplen en general las condiciones de contorno de la estructura, ya que en ningún momento se han impuesto éstas sobre ellas ni directa ni indirectamente, siendo preciso interpretarlos en forma relativa a la condición de contorno impuesta para el cálculo de la matriz de flexibilidad elemental. Si sobre la estructura hubiese aplicada acciones distintas a cargas en nudos ‘podrian usarse dos métodos distintos para resolverla. El primero de ellos consistiría en efectuar una superposición análoga a la realizada en el Método indirecto de la Rigidez, Figura V1.8, y a continuación, dado que el problema (bl) es una superposición de problemas elementales conocidos, resolver el problema (b2) por el Método lndircc/ ti de la Flexibilidad. 3 2 Í ‘(L_). ‘T 4 A 2 C. generales C 3191135113135 ¿uu- (' 1 9.. A . ... —--—¿— . . V. A F1 iiyy! 5 Y Y <-' u —>- ir r r2 H ’—> L, (b 1 ) (b 2 ) -> <__ ' T) 55-5;- P'ahm _ 0 Figura V1.10.- Tratamiento de cargas no nodales en el Método indirecto de la Flaxíbilídr/ tl. El segundo procedimiento que se puede seguir presenta una dualidad con el seguido en los metodos de Rigidez y consiste, una vez elegidas las incógnitas -34-
  84. 84. 82 Capítulo VI calcularán como P = P“ + P“ = P = b (F-F"‘) (v1.33) a = a"'+ab2 = a = a* +ADP quedando con ello completa la resolución del problema. , _ 4 x w V «l»; 7/ ¿«s»? "a/ J . . _ ; :// Pl M“: -35- T L! ’ I I 442,4? A454 M;
  85. 85. Métodos Matriciales indirectos a] hiperestáticas y convertida la estructura en isostatica, en proceder a una superposición en el que el primer estado (bl) es de liberamiento perfecto, Figura v1.10, es decir es un estado en el que todas las fuerzas sobre las coordenadas elementales se han hecho nulas. Si a las fuerzas y desplazamientos de este estado se denomina con el superíndice *, en (bl), Figura Vl. ll, se tendrá P‘ = o ; u‘ = bTa' (V131) no siendo F nulo, sino tal que sea un sistema de fuerzas estáticamente equivalente al de fuerzas no nodales aplicado y coherente con la hipótesis de liberamienm perfecto. Por ejemplo si todos los grados de libertad elementales fueran giros, F" sería el conjunto de reacciones de los problemas elementales de las vigas biapoyadas. Esta interpretación de F’ hace necesario considerar como coordenadas generales de la estructura todos los grados de libertad no coaccionados sobre los cuales aparecen dichas reacciones de Iiberamienzg g perfecto. Superponiendo a este estado otro (b2) en el que apareciesen todas las cargas puntuales extemamente aplicadas y las reacciones anteriores con signo cambiado se obtendría el problema original y se completaría su resolución. Figura VI.1l. - Deformadas elemental y global del estado (bl). Los movimientos del sistema total en coordenadas generales serán los del estado (bl) u’ más los del estado (b2) A (F - F‘) es decir bl (v1.32) u= u = ‘ u = u +A(F-F') +u ecuación con la que, una vez coaccionados los vínculos hiperestaticos liberados, se obtendrán las hiperestáticas y los movimientos sobre los grados de libertad generales. Conocidos éstos, los correspondientes sobre las elementales se -35- I
  86. 86. ANEXO I MATRIZ DE RIGIDEZ INCLUYENDO LA DEFORMACIÓN POR CORTANTE AI.1.- ECUACIONES BÁSICAS La inclusión de la deformación debida al esfuerzo cortante en el comportamiento a flexión dará lugar a unas nuevas relaciones y por lo tanto a una nueva matriz de rigidez. ' Si se considera una rebanada diferencial de una barra de directriz recta. * y l x EZZZZZZZZIZZZEEEEEEEEEB-> '-<—>-' dx Figura ALI. debido al cortante existirá una’ deformación 7' adicional ¿y=7¿x= é¿x_= %=_¿= AVG= dd‘ï (ALI) siendo At el área equivalente a cortante que depende de la forma de la sección, es decir, de su geometría. En general, existirá una deformación de flexión que producirá un’ desplazamiento uf y una deformación cortante que producirá un. desplazamiento u‘, siendo el desplazamiento total la suma de ambos. u = I/ + u‘. Si se calcula el desplazamiento total. azul = M(x) = M-Fx _ ¿iii = V(x) = F’ (A12) (¿x2 El El ’ dx AeG AcG -37-

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