Mimoire de La méthode ziegler nichols pour la détermination des paramètres d un controleur pid pour un système 2 eme order

1. ‫الشعبية‬ ‫الديمقراطية‬ ‫الجزائرية‬ ‫الجمهورية‬
République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l'Enseignement Supérieur
et de la Recherche Scientifique
Université de Bechar
Faculté des Sciences et Technologie
Département de Technologie
‫وز‬‫العلمي‬ ‫والبحث‬ ‫العالي‬ ‫التعليم‬ ‫ارة‬
‫بشــار‬ ‫جامـــعة‬
‫والتكنولوجيا‬ ‫العلوم‬ ‫كلية‬
‫قســــم‬‫التكنولوجيا‬
Mémoire de Fin d’Etudes
pour l’obtention du diplôme de Licence
Domaine : Sciences Techniques
Filière : Génie Electrique
Spécialité : automatisme industriel
Thème
La méthode de Ziegler-Nichols pour la
détermination des paramètres d’un contrôleur PID
pour un système 2éme ordre
 Présenté par : Rahmani Oussama
Encadreur : HAIDAS Mohammed
Année Universitaire : 2013/2014

2. 2
REMERCIEMENTS
Je remercie dieu qui ma donné la force et la volonté d’accomplir ce modeste
travail.
Je tiens à présenter mes grandes reconnaissances à mon encadreur
Mr: Haidas Mohammed qui par son confiance, ses conseils ont porté une
attention constante à mon travail, ainsi que pour tous ses encouragements
pendant toute la durée de ce travail et pour les nombreux discussions
fructueuses que j'ai eu. Qu'ils trouvent dans ce mémoire l'expression de ma
profonde gratitude.
Je tiens également à exprimer mes plus vifs remerciements aux
membres de jury espérant qu'ils jugent très utiles et accepter mon présent
mémoire.
Sans oublier les enseignants qui mon soutenus durant les années de
mon cursus universitaire.
En fin je remercie vivement tous ceux qui de prés ou de loin, ont
contribué d’une manière ou d’une autre à la réalisation de ce mémoire.
A tous, on dit merci.
Rahmani Oussama

3. 3
DEDICACE
Je dédie ce modeste travail:
 A mon père et à ma mère sans l’aide des quels ce travail n’aurai
pu se réaliser, avec l’expression de mon respect et mon affection que
dieu les protège.
 A toute ma famille
 A mes amis
 A touts qui me connaissent

4. Sommaire
Introduction générale………………………………………………………….... 6
Chapitre I : Généralités sur les systèmes asservis
I.1. Introduction ……………………………………………………...................... 8
I.2. Principe général de la régulation ………………………………...................... 8
I .3.Expression de la fonction bouclée …………………………………………… 9
I.3.1. Système en Boucle Fermée (FTBF)…………………………...................... 9
I.3.2. système en boucle ouverte (FTBO)…………………….............................. 10
I.4. Nécessité de la boucle fermée ……………………………….......................... 11
I.5. Quelques types des régulateurs ……………………………………………… 11
I.6. Modélisation des systèmes dynamiques linéaires continus………………….. 12
I.7. Equations d'un système linéaire …………………………………………… 12
I.9. Qualités d’un système asservi ……………………………...........…………... 12
I.9.1. Stabilité : Compensation …………………………………...………….. 13
I.9.2. Précision …………………………………………………...…………... 13
I.9.3. Rapidité ………………………...…………………………..………….. 14
I.10. Comportement des systèmes asservis………………………….………….... 14
I.11. Conclusion ……………………………………………………...…………... 15
Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur
II.1. Introduction……………………………………………………..…………... 17
II.2. Description d’un brushless DC moteur …………………………………....... 17
II.3 Composition du moteur brushless……………………………………………. 18
II.4. Modélisation d’un brushless DC moteur ………………………………….... 18
II.4.1. Les équations électriques .………………….....................…………...... 18
II.5. Maxon BLDC Moteur ………….……………………………..…………...... 22
II.5.1. Maxon EC 45 flat ∅45 mm, brushless DC motor ……..…………......... 22
II.6. Les différents types de moteur brushless ……………………...………….... 23
II.6.1. Moteurs brushless outrunner……………………………..………….... 23
II.6.2. Moteurs brushless inrunner …………………………………………... 24
II.6.3. Moteurs brushless disques ……………………………….…………... 25

5. 5
II.7. Conclusion…………………………………………………………………... 25
Chapitre III : Asservissement en vitesse et en position du modèle
de l'articulation
III.1. Introduction………………………………………………………………... 27
III.2. Principe général d’un correcteur PID ……………………………………... 27
III.3. Réglage d'un PID …………………………………………………………... 28
III.4 Les paramètres du PID influencent sur la réponse du système de la manière
suivante…………………………………………………………………….. 29
III.5. Les caractéristiques du régulateur PID …………………..………………... 30
III.5.1.Structure des régulateurs PID ………………………………………... 30
III.6.Les actions PID ……………………………………………………………... 31
III.7.Méthode de Ziegler-Nichols …………………………………..………….... 32
III.7.1. Méthode de la réponse indicielle ………………………..…………... 32
III.7.2. Méthode du point critique…….……………………………………... 32
III.7.3.Autre méthode de Ziegler empiriques…………………..………….... 33
III.7.3.a. Essai en boucle ouverte ………………………………………... 33
III.7.3.b. Essai en boucle fermée ………………………………………... 34
III.8. Conclusion ………………………………………………………………... 34
Conclusion générale………………………………………………..…………... 36

6. 6
Introduction Générale
Les régulateurs PID répondent à plus du 90% des besoins industriels et le nombre
de régulateurs installés dans une usine pétrolière, par exemple, se compte par milliers.
Malheureusement, malgré l'expérience acquise au fil des ans, les valeurs choisies pour
les paramètres P, I et D ne sont pas toujours satisfaisantes, ni adaptées au processus à
régler.
L'histoire des régulateurs est déjà longue et il peut être intéressant de rappeler
quelques étapes importantes. Les premiers régulateurs de type centrifuge apparaissent
vers 1750 pour régler la vitesse des moulins à vent, suivi en 1788 du fameux
contrôleur de vitesse d'une machine à vapeur de James Watt.
En 1942, Ziegler et Nichols ont proposé deux démarches permettant de trouver
facilement les paramètres optimums pour une installation donnée. Au fil des ans, les
propositions de Ziegler et Nichols ont été adaptées ou modifiées selon les besoins.
De nos jours le moteur brushless est largement utilisés dans l’industrie.
Le défaut principal des moteurs à courant continu est la présence des balais, qui
engendrent des frottements, des parasites, et limitent la durée de vie du moteur par
leur usure. Pour éviter tous ces problèmes on utilise des moteurs brushless, ou
moteurs sans balais.
Dans un premier temps, nous étudierons le Généralité sur les systèmes asservis,
puis nous verrons modélisation d’un moteur brushless. Enfin, pour terminer nous
verrons commende PID d’un moteur brushless.

7. Chapitre I :
Généralité sur les
Systèmes Asservis

8. Chapitre I : Généralité sur les systèmes asservis
8
I-1) Introduction :
En Automatique, on désigne par système un procédé de nature quelconque qui évolue
sous l’action de son entrée u (input) et dont l'évolution est caractérisée par sa sortie y
(output). Si ces deux grandeurs sont des fonctions d’une variable continue t, on parle de
système à temps continu, d’entrée u(t) et de sortie y(t).
Dans ce chapitre sera présenté les généralités sur les systèmes asservis ainsi que la
régulation en boucle ouverte et en boucle fermée.
I-2) Principe général de la régulation :
Dans la plupart des appareils dans des installations industrielles et domestiques, il est
nécessaire de maintenir des grandeurs physiques à des valeurs déterminées, en dépit des
variations externes ou internes influant sur ces grandeurs. Par exemple, le niveau d’eau
dans un réservoir, la température d’une étuve, la vitesse et la position des moteurs, étant
par nature variables, doivent donc être réglés par des actions convenables sur le processus
considéré. Si les perturbations influant sur la grandeur à contrôler sont lentes ou
négligeables, un simple réglage dit en boucle ouverte, permet d’obtenir et de maintenir la
valeur demandée (par exemple : action sur un robinet d’eau). Dans la majorité des cas,
cependant, ce type de réglage n’est pas suffisant, parce que trop grossier ou instable. Il faut
alors comparer, en permanence, la valeur mesurée de la grandeur réglée à celle que l’on
souhaite obtenir et agir en conséquence sur la grandeur d’action, dite grandeur réglante.
On a, dans ce cas, constitué une boucle de régulation et plus généralement une boucle
d’asservissement. Cette boucle nécessite la mise en ouvre d’un ensemble de moyens de
mesure, de traitement de signal ou de calcul, d’amplification et de commande d’actionneur,
constituant une chaine de régulation ou d’asservissement. La consigne est maintenue
constante et il se produit sur le procédé une modification d’une des entrées perturbatrices.
L’aspect régulation est considéré comme le plus important dans le milieu industriel, car les
valeurs des consignes sont souvent fixes. Néanmoins, pour tester les performances et la
qualité d’une boucle de régulation, on s’intéresse à l’aspect asservissement.

9. Chapitre I : Généralité sur les systèmes asservis
9
I -3) Expression de la fonction bouclée :
I-3-1) Système en Boucle Fermée ( FTBF ) :
Soit un système asservi, le plus général, représente par le schéma de la fig.
Figure. I.1: Schéma fonctionnel d’un système asservi (Boucle Fermée)
Soit A(p) et B(p), respectivement, les fonctions de transfert des chaines directes et de
retour.
Cherchons la fonction de transfert du système complet :
H(p) =
𝑆(𝑝)
𝜀(𝑝)
(I.1)
Nous avons les relations suivantes :
S(p) = A(p) .  (p) S ' (p) = B(p) .S(p)  (p) = E(p) – S ' (p)
S(p) = A(p) . [ E(p) – S ' (p) ] = A(p) . [ E(p) – B(p) . S(p) ]
d’où S(p) =
A(p)
1+A(p).B(p)
E(p) (I.2)
La fonction de transfert d'un système bouclé ou en Boucle Fermée (FTBF) est donc le
rapport de la fonction de transfert de sa chaîne directe à 1 + A(p). B(p.:
H(p) =
A(p)
1 A(p).B(p)
(I.3)
On distingue :
• Le calcul de l’erreur permet de comparer la valeur de la consigne à la valeur réelle de la
sortie (grandeur à réguler), INTERET
• un régulateur qui calcule la commande de façon à ce que le système atteigne l'objectif
fixé,

10. Chapitre I : Généralité sur les systèmes asservis
10
• un actionneur qui réalise l'interface de puissance,
• un capteur permettant la mesure (ou l'estimation) de la valeur à réguler.
Remarque :
On utilise ensuite les méthodes vues précédemment sur cette FTBF pour étudier la
réponse 𝑠(𝑡) du système à une entrée 𝑒(𝑡) quelconque. Ceci permet ensuite d'analyser les
performances du système bouclé.
I-3-2) Système en boucle ouverte ( FTBO ) :
Un système est en boucle ouverte lorsque la commande est élaborée sans l'aide de la
connaissance des grandeurs de sortie : il n'y a pas de feedback. Dans le cas contraire, le
système est dit en boucle fermée. La commande est alors fonction de la consigne ( la
valeur souhaitée en sortie) et de la sortie. Pour observer les grandeurs de sortie, on utilise
des capteurs. C'est l'information de ces capteurs qui va permettre d'élaborer la commande.
La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (également appelée F.T.B.O.) est la fonction
de transfert qui lie les transformées de Laplace de la sortie de la chaine de retour S ' (p) a
l'erreur S’(p). Elle correspond a l'ouverture de la boucle (Fig.I.2):
Figure. I.2: Schéma fonctionnel d'un système asservi en Boucle Ouverte
Dans ce cas,  = E puisque le comparateur ne reçoit plus qu'une seule information.
On a donc : S ' (p) = B(p) . S(p) (I.4)
= B(p) . A(p) .  (p)
= B(p) . A(p) . E(p)
d'ou :
𝑆(𝑝)
E(𝑝)
= K(p) = A(p) . B(p) (I.5)
La Fonction de Transfert en Boucle Ouverte (ou FTBO) d'un asservissement est le produit
des fonctions de transfert de la chaîne directe par la chaîne de retour.

11. Chapitre I : Généralité sur les systèmes asservis
11
La fonction de transfert en boucle ouverte a une grande importance dans l'étude de la
stabilité des systèmes ; de plus, elle est directement accessible à la mesure.
I-4) Nécessité de la boucle fermée :
Un système de commande peut opérer en boucle ouverte à partir du seul signal de
consigne. Mais la boucle fermée (contre réaction) est capable de stabiliser un système
instable en BO.
Une (BF) permet de :
 Compenser les perturbations externes.
 Compenser les incertitudes internes au processus lui-même. Pour cela, un système
de commande peut réaliser deux fonctions distinctes :
 L’asservissement, c'est à dire la poursuite par la sortie d'une consigne variable
dans le temps
 La régulation, à savoir la compensation de l'effet de perturbations variables sur la
sortie (la consigne restant fixe)
L’utilisation du feedback (retour) est le principe fondamental en automatique. La
commande (appliquée au système) est élaborée en fonction de la consigne (sortie désirée)
et de la sortie. La figure suivante représente le principe du feedback :
Figure. I.3 : principe du feedback
I-5) Quelques types des régulateurs :
On distingue trois grandes classes de régulateurs :
• Analogique : il est réalisé avec des composants analogiques et son signal de sortie évolue
de manière continue avec le temps → système asservi continu.
• Numérique : il est réalisé à partir d'un système programmable et son signal de sortie
est le résultat d'un algorithme de calcul → système asservi échantillonné.
• T.O.R. (Tout ou Rien).

12. Chapitre I : Généralité sur les systèmes asservis
12
I-6) Modélisation des systèmes dynamiques linéaires continus :
Pour effectuer la commande et le réglage d'un système dynamique, il est important d'en
connaître le comportement, et donc les relations mathématiques existant entre les
grandeurs d'entrées et les grandeurs de sortie : on cherche le modèle mathématique du
système.
On peut distinguer deux sortes de modèles :
• Modèle de connaissance. C'est le modèle du physicien qui est obtenu en écrivant
toutes les équations différentielles régissant le fonctionnement du système.
• Modèle de commande. C'est le modèle de l'ingénieur qui n'est qu'un modèle
approché plus simple, mais suffisant pour appréhender le comportement dynamique
du système.
I-7) Equations d'un système linéaire :
Un système est dit linéaire si l'équation liant la sortie à l'entrée est une équation
différentielle linéaire à coefficients constants. La forme générale de cette équation est :
b0s(t) + b1
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
+ … +bn
𝑑 𝑛 𝑠(𝑡)
𝑑𝑡 𝑛
= a0e(t) + a1
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
+ … + am
𝑑 𝑚 𝑒(𝑡)
𝑑𝑡 𝑚
(I.6)
L’indice n représente l'ordre du système linéaire. Seuls les systèmes pour lesquels m ≤ n
sont réalisables pratiquement.
On appelle fonction de transfert d'un système linéaire le rapport entre la transformée de
Laplace de la sortie sur celle de l'entrée :
G(p)=
𝑆(𝑃)
𝐸(𝑃)
=
𝑏0+𝑏1𝑝+⋯+𝑏 𝑚 𝑝 𝑚
𝑎0+𝑎1 𝑝+⋯+𝑎 𝑛 𝑝 𝑛 (I.7)
I-8) Qualités d’un système asservi :
Tous les systèmes asservis ont pour but d'assurer l'égalité (ou au moins la plus petite
erreur) entre la consigne et la sortie. Le cahier des charges de tout système bouclé
s'énonce au moins en 3 points :

13. Chapitre I : Généralité sur les systèmes asservis
13
I-8-1) Stabilité : Compensation
Un des risques majeurs de tout système bouclé dans un asservissement est l'oscillation.
On considère le système suivant :
Figure. I.4 :stabilité système bouclée
Si K est très grand, une faible erreur e impose une commande u importante. Dans ce cas, la
sortie y peut dépasser la consigne yc, entraînant ainsi une réaction en sens oppose mais
toute aussi importante. Le système peut alors fortement osciller sans jamais trouver une
position d'équilibre.
I-8-2) Précision :
Sur la figure précédente, l'écart e mesure la précision du système asservi. Or, puisque la
commande u est déterminée à partir de l'erreur e, il est aisé de voir qu'une loi de commande
du type u = K.e exigera un grand gain pour avoir une erreur e faible (e = u/K). Il faudra
alors trouver un compromis pour le choix du gain afin d'éviter que le système ne devienne
instable (voir précédemment).
Pour mesurer la précision d’un système asservi on s’intéresse à l’erreur.
Le système est d’autant plus précis que l’erreur est proche de zéro. Idéalement cette erreur
devrait être nulle, pratiquement c’est impossible à tout instant et ceci pour deux raisons :
 Lorsque la consigne varie la sortie ne varie pas instantanément à cause de l’inertie du
système
 Il existe des perturbations qui affectent le comportement du système et modifient au
moins temporairement la valeur de la sortie
Lorsqu’il s’agit d’un système asservi, on parle de la précision statique et dynamique.
 Précisions dynamique : caractérisée pendant le régime transitoire essentiellement
pour une sollicitation en échelon de position. Elle est liée directement au degré de la
stabilité de la marge de gain et de phase

14. Chapitre I : Généralité sur les systèmes asservis
14
 La précision statique : a pour but d’évaluer l’aptitude du système à suivre différentes
catégories de sollicitation d’entrée. Elle est caractérisée par la différence en régime
permanent entre l’entrée (cosigne) et la sortie (réponse), cette différence appelée écart
ou erreur.
 Erreur statique : on appel erreur statique la valeur de e(t) lorsque le temps tend vers
l’infini pour une réponse à un échelon unitaire
 Erreur de trainage : on appelle erreur trainage la valeur de e(t) lorsque le temps tend
vers l’infini pour une réponse à une rampe unitaire.
I-8-3) Rapidité :
C'est l'inertie propre du processus qui limite sa rapidité de réponse. On ne peut donc
espérer rendre un processus plus rapide qu'en modifiant son signal de commande u (u
grand de façon à faire réagir très vite le système). Néanmoins, il convient là encore de faire
attention à des dépassements ou des saturations.
I-9) Comportement des systèmes asservis :
Un gain dans la chaine directe permet d'améliorer la précision d'un asservissement (mais
ce gain ne permet pas d'annuler l'erreur de position ou de vitesse). Il n'est pas possible
d'augmenter ce gain de façon trop importante car il peut dégrader la stabilité du système,
voire rendre le système instable.
D'ou le dilemme classique en automatique :
 Un gain faible donne un système stable mais peu précis
 Un gain fort donne un système plus précis mais moins stable.
Le gain de la boucle ouverte à une action sur l'asservissement, on parle d'un correcteur
proportionnel.
Un correcteur est un système qui va élaborer la commande d'un système en fonction de
l'erreur mesurée entre la sortie et la consigne. Un correcteur proportionnel est un système
qui donne une commande proportionnelle à l'erreur mesurée. Beaucoup de systèmes
peuvent être commandés par ces types de correcteurs simples à mettre en œuvre. Le
réglage du gain va consister à obtenir un bon compromis stabilité précision.

15. Chapitre I : Généralité sur les systèmes asservis
15
Figure. I.5: système avec un correcteur
I.10.Conclusion :
Dans Ce chapitre on na fait un détail d’étude Généralité sur les systèmes asservis tel que
systèmes asservis, boucle Fermée, boucle ouverte, les régulateurs, Modélisation des
systèmes dynamiques, la Stabilité, la Précision et la Rapidité, a fin de connaitre les
éléments principaux de l’asservissement et ces problèmes rencontrés, d’où la nécessité de
l’utilisation des correcteurs et son dimensionnement.

16. Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur
16
Chapitre II :
Modélisation
brushless DC moteur

17. Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur
17
II-1) Introduction :
Les moteurs sans balais « brushless » permettent d’obtenir des ratios
performances/encombrement très impressionnants par rapport aux technologies plus
conventionnelles. Associée à un système électronique, l’amélioration des performances de
cette technologie est continue depuis une vingtaine d’années.
la technologie brushless trouve sa place dans la chaîne de traction électrique et hybride des
véhicules là où l’encombrement et le poids doivent être optimisés robotique bien sûr, mais
aussi véhicules électriques, outillages portatifs, ventilateurs ou encore disques durs.
Le défaut principal des moteurs à courant continu est la présence des balais, qui engendrent
des frottements, des parasites, et limitent la durée de vie du moteur par leur usure. Pour
éviter tous ces problèmes on utilise des moteurs brushless, ou moteurs sans balais.
II-2) Description d’un brushless DC moteur :
Le stator est constitué de bobines d'excitation qui sont généralement au nombre de 3 ou
de 6. Celles-ci sont le plus souvent connectées en étoile, mais elles peuvent également être
connectées en triangle.
Le rotor est constitué d'aimants permanents comportant 2 à 8 pôles avec une alternance des
pôles Nord et Sud.
La plupart des moteurs BLDC comprennent également un ensemble de trois capteurs à
effet Hall qui, positionné à 60° ou à 120° l’un de l’autre, permettent de connaître la
position du rotor. La connaissance de la position du rotor permet à un circuit électronique
auxiliaire d’effectuer les commutations de l’alimentation.
Figure. II.1 : Schéma d’un brushless DC moteur

18. Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur
18
II -3) Composition du moteur brushless :
Un moteur brushless comporte les mêmes éléments qu’un moteur à courant continu,
excepté le collecteur, mais l’emplacement des bobines et des aimants permanents sont
inversés. Le rotor est composé d’un ou plusieurs aimants permanents, et le stator de
plusieurs bobinages.
Figure. II.2 : schéma d’un moteur brushless
II-4) Modélisation d’un brushless DC moteur :
Figure. II.3 : Schéma équivalent brushless DC moteur
II-4-1) Les équations électriques sont :
Ve = Ri+ L
di
dt
+e (II.1)
Ve = Ri+e
e = – Ri – L
di
dt
+ vs (II.2)

19. Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur
19
J
dWm
dt
= ∑Ti (II.3)
Te = kfwm + J
dWm
dt
+ TL (II.4)
E= kewm et Te = ktwm (II.5)
Par conséquent, les équations de réécriture II.2 et II.3, l'équation II.6 et II.7 sont obtenus,
di
dt
= – i
R
L
–
Ke
L
wm+
1
L
vs (II.6)
dWm
dt
= i
Kt
J
–
Kf
J
wm +
1
J
TL (II.7)
pour l'équation
L{
di
dt
= – i
R
L
–
Ke
L
wm +
1
L
vs} (II.8)
ceci implique II.6
Si = – i
R
L
–
Ke
L
wm +
1
L
Vs (II.9)
L{
dWm
dt
= i
Kt
J
–
Kf
J
wm +
1
J
TL} (II.10)
ceci implique :
Swm = – i
Kt
J
–
Kf
J
wm +
1
J
TL (II.11)
à ne pas charger (TL = 0): équation II.11devient:
Swm = – i
Kt
J
–
Kf
J
wm +
1
J
TL (II.12)
De l'équation II.12, i est fait l'objet d'un substitut dans l'équation II.9.

20. Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur
20
i =
SWm+
Kf
J
Wm
Kt
J
(II.13)
(
SWm+
Kf
J
Wm
Kt
J
)(s +
R
L
) = –
Ke
L
wm +
1
L
Vs (II.14)
L'équation II.14 devient:
{(
𝑠2J
𝐾𝑡
+
SKf
Kt
+
SRJ
KtL
+
KfR
KtL
) +
Ke
L
}wm =
1
L
vs (II.15)
Vs = {
𝑠2JL+sKfL+ sR j+KfR+KeKt
𝐾𝑡
} wm (II.16)
G(s) =
Wm
𝑽𝑠
=
Kt
𝑠2JL+sKfL+ sRJ+KfR+KeKt
(II.17)
G(s) =
Wm
𝑽𝑠
=
Kt
𝑠2JL+(KfL+ RJ)s+KfR+KeKt
(II.18)
- La constante de frottement est faible, c'est-à-𝑘 𝑘 𝑓 𝑓 tend vers 0, ce qui implique que;
- RJ ≫ KfL, et
- Ke 𝑘t ≫ RKf
Et les remises à zéro des valeurs négligeables, la fonction de transfert est finalement
s'écrire;
G(s) =
Wm
𝑽𝑠
=
Kt
𝑠2JL+RJs+KeKt
(II.19)
Donc, en réarrangement et de manipulation mathématique sur "JL", en multipliant haut et
en bas de l'équation II.19 par:
R
𝐾𝑒𝐾𝑡
×
1
𝑅
Equation II.20 est obtenu après la manipulation,

21. Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur
21
G(s) =
1
𝐾𝑠
RJ
𝐾𝑒𝐾𝑡
×
L
𝑅
× 𝑠2+
RJ
𝐾𝑒𝐾𝑡
×s+1
(II.20)
De l'équation II.13, les constantes suivantes sont acquis, La mécanique (constante de
temps),
𝜏 𝑚 =
RJ
𝐾𝑒𝐾𝑡
(II.21)
𝜏e =
L
𝑅
(II.22)
G(s) =
1
𝐾𝑠
RJ
𝐾𝑒𝐾𝑡
×
L
𝑅
× 𝑠2+
RJ
𝐾𝑒𝐾𝑡
×s+1
(II.23)
𝑉𝑠 = la tension de la source à courant continu
i= le courant d'induit
Te= le couple électrique,
kf = la constante de frottement
J = l'inertie du rotor
wm = la vitesse angulaire
TL = la charge mécanique supposée
ke = the back emf constant
kt= la constante de couple
U(t) : la tension d'alimentation
R : la résistance de l'enroulement
L : l'inductance de l'enroulement
i(t) : le courant passant à travers l'enroulement
w : la vitesse angulaire du moteur
e(t) : la force contre électromotrice
Kw : la constante "contre électromotrice" exprimée en V / RPM

22. Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur
22
II-5) Maxon BLDC Moteur:
II-5-1) Maxon EC 45 flat ∅45 mm, brushless DC motor:
Le moteur BLDC prévue à cette thèse est le CE 45 ∅ plat de 45 mm, sans balais, 30
Watt de moteurs Maxon. Le numéro de commande du moteur est 200142. Les paramètres
utilisés dans la modélisation sont extraites de la fiche technique de ce moteur avec les
paramètres pertinents utilisés correspondant. Ci-dessous dans le tableau 5.1, les principaux
paramètres extraits utilisés pour la tâche de modélisation.
Maxon moteur Unité Valeur
Valeur à la tension nominale
1 tension nominale V 12.0
2 Vitesse à charge rpm 12.0
3 Non Courant de charge mA 151
4 Vitesse nominale rpm 2860
5 Couple nominal (couple permanent max) mNm 59.0
6 Courant nominal (max. courant continu) A 2.14
7 Couple de décrochage mNm 255
8 Courant de démarrage A 10.0
9 Efficacité maximale % 77
Caractéristiques
10 La phase de résistance terminale à la phase Ω 1.20
11 D'inductance de phase terminale à la phase mH 0.560
12 Couple constant mNm/A 25.5
13 Vitesse constante rpm/V 37.4
14 Vitesse / couple Gradient rpm/mNm 17.6
15 Constante de temps mécanique ms 17.1
16 Rotor à inertie gcm2 92.5
17 Nombre de phases 3
Tableau II.1 : paramètres du moteur BLDC utilisés

23. Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur
23
Figure. II.4: Schéma bloc du moteur brushless
II-6) Les différents types de moteur brushless :
Selon les applications, il existe une grande variété de moteurs brushless avec des
caractéristiques de couples, vitesses, inertie différentes en fonction de leurs constitutions.
II-6-1) Moteurs brushless outrunner :
On appelle « outrunner » les moteurs brushless dont le rotor est autour du stator. Cette
configuration est intéressante en termes de couple moteur, car les aimants sont disposés sur
un diamètre important, ce qui crée un bras de levier très intéressant. De plus, cette
disposition permet de placer facilement plusieurs séries d’aimants (jusqu’à 32 pôles sur
certains moteurs brushless outrunners) et de bobines. Les bobines sont toujours câblées par
groupes de 3, et les aimants sont soit collés par groupes de 2, soit constitués d’une partie
magnétique comprenant plusieurs pôles. Comme pour un moteur pas à pas, les moteurs
brushless outrunners comprenant plus de 3 bobines et 2 pôles ne font qu’une fraction de
tour lorsque le champ a tourné de 180°. Leur fréquence de rotation est donc plus faible
mais le couple très élevé. Ces moteurs brushless outrunners sont souvent utilisés dans des
applications qui nécessitent un fort couple, car ils peuvent être reliés à la charge sans
nécessiter de dispositif de réduction. Leur coefficient Kv est relativement faible par rapport
aux autres types de moteurs brushless. Les principales applications des moteurs brushless
outrunners sont les suivantes : ventilateurs, moteurs de disques durs, Cd-rom, moteurs de
vélos électriques (intégrés dans me moyeu), bateaux ou avions radio commandés…

24. Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur
24
Figure. II.5 :Rotor et stator d'un moteur brushless outrunner
II-6-2) Moteurs brushless inrunner :
Contrairement au type précédent, les moteurs brushless inrunners ont le rotor à
l’intérieur du stator. Ils n’ont généralement qu’une seule paire de pôles sur le rotor, et 3
bobines au stator. L’inertie du rotor est beaucoup plus faible que pour un moteur outrunner,
et les vitesses atteintes par ce type de moteur sont beaucoup plus élevées (Kv jusqu’à
7700tr/min/V). La gestion électronique de la commutation est par contre plus simple car le
rotor tourne à la même fréquence que le champ magnétique. Le couple des moteurs
brushless inrunners est plus faible que pour un outrunner car les aimants sont sur un
diamètre plus petit à taille de moteur égale. Ce type de moteur brushless est très utilisé
dans l’industrie car il se rapproche beaucoup d’un moteur à courant continu à balais et
collecteur.
Figure. II.6:Moteurs brushless inrunner

25. Chapitre II : Modélisation brushless DC moteur
25
II-6-3) Moteurs brushless disques :
Le rotor et le stator peuvent également être constitués de deux disques faces à face, avec
les rayons et les bobines répartis selon les rayons de ces deux disques. Ce type de moteur
brushless est peu employé car l’action des bobines sur les aimants crée un effort axial
important qui nécessite des butées à billes conséquentes, sans offrir de différences notables
au niveau des performances par rapport à un moteur brushless outrunner.
Figure. II.7 :Moteurs brushless disques
II-7) Conclusion :
Pour un moteur brushless, on a constaté que la réponse en position est instable, hors que
la réponse en vitesse converge vers la stabilité, d’où, on voit bien la nécessité d’une
commande pour stabiliser un système qui ne l’est pas, et améliorer les performances.
Concernant le choix du moteur, on a choisi brushless dc moteur, car est le plus utilisé dans
l’automatique et la robotique, pour ces dimensions et sa non-influence de la charge sur la
vitesse (vitesse est relativement constante quelque soit la charge), ainsi la simplicité de
polarisation.
Le prochain chapitre sera consacré à l’implémentation de la commande PID appliquée sur
un modèle d’un moteur brushless

26. Chapitre III :
Commende PID
d’un moteur
brushless

27. Chapitre III : Commande PID d’un moteur brushless
27
III-1) Introduction :
La commande PID est dite aussi (correcteur, régulateur, contrôleur), se compose
de trois termes P, I et D, d’où le ‘P’ correspond au terme proportionnel, ‘I’ pour
terme intégral et ‘D’ pour le terme dérivé de la commande. Les régulateurs PID sont
probablement les plus largement utilisés dans le contrôle industriel. Même les plus
complexes systèmes de contrôle industriel peut comporter un réseau de contrôle dont
le principal élément de contrôle est un module de contrôle PID.
Le régulateur PID est une simple implémentation de retour d’information
(Feedback). Il a la capacité d'éliminer la compensation de l'état d'équilibre grâce à
l'action intégrale, et il peut anticiper le futur grâce à une action dérivée.
Ce chapitre a pour but, d’implémenter la commande PID classique pour un moteur
à courant continu à excitation séparée, pour un seul objectif est d’annuler
l’erreur statique, diminuer le dépassement, diminuer le temps de réponse et le
temps de monté afin d'obtenir une réponse adéquate du procédé et de la régulation
et d’avoir un système précis, rapide, stable et robuste. Le réglage des coefficients
(paramètres) de la commande PID est basé sur la méthode empirique de « Ziegler &
Nichols ».
III-2) Principe général d’un correcteur PID :
L'erreur observée es t la différence entre la consigne et la mesure. Le PID permet
trois actions en fonction de cette erreur :
 Une action Proportionnelle : l'erreur est multipliée par un gain Kp
 Une action Intégrale : l'erreur est intégrée sur un intervalle de temps s, puis
multipliée par un gain Ki
 Une action Dérivée : l’erreur est drivée suivant un temps s, puis multipliée par un
gain Kd
Les actions dérivées et intégrales ne s'emploient jamais seules mais en combinaison
avec l'action proportionnelle.
Il existe plusieurs architectures possibles pour combiner les trois effets (série,
parallèle ou mixte), on présente ici une architecture parallèle :

28. Chapitre III : Commande PID d’un moteur brushless
28
Figure III.1 : Correcteur PID
La fonction de transfert avec la transformée de Laplace du régulateur PID parallèle est
la somme des trois actions:
C(s) = KP +Ki *
1
s
+ KdS =
KdS2+KPS+1
S
avec S =
du
dt
III-3) Réglage d'un PID :
Le réglage d'un PID consiste à déterminer les coefficients Kp, Ki et kd afin
d'obtenir une réponse adéquate du procédé et de la régulation. L'objectif est d'être
robuste, rapide et précis. Il faut pour cela limiter le/ou les éventuels dépassements
(overshoots).
 La robustesse est sans doute le paramètre le plus important et délicat. On dit
qu'un système est robuste si la régulation fonctionne toujours même si le modèle
change un peu. Un régulateur doit être capable d'assurer sa tâche même avec ces
changements afin de s'adapter à des usages non prévus.
 La rapidité du régulateur dépend du temps de montée et du temps d'établissement
du régime stationnaire.
 Le critère de précision est basé sur l'erreur statique.

29. Chapitre III : Commande PID d’un moteur brushless
29
Figure III.2: Réponse d’un système du second ordre
III-4) Les paramètres du PID influencent sur la réponse du système
de la manière suivante :
 Kp : Lorsque Kp augmente, le temps de montée (rise time) est plus court mais il
y a un dépassement plus important. Le temps d'établissement varie peu et
l'erreur statique se trouve améliorée.
 Ki : Lorsqu’il augmente, le temps de montée est plus court mais il y a un
dépassement plus important. Le temps d'établissement au régime stationnaire
s'allonge mais dans ce cas on assure une erreur statique réduite. Donc plus ce
paramètre est élevé, moins l'erreur statique est grande, mais plus la réponse du
système est ralentie.
 Kd : Lorsque Kd augmente, le temps de montée change peu mais le
dépassement diminue. Le temps d'établissement au régime stationnaire est
meilleur. Pas d'influences sur l'erreur statique. Si ce paramètre est trop élevé, le
système anticipe trop et la consigne n'est pas atteinte dans des délais adéquats.
Pour ces trois paramètres, le réglage au-delà d'un seuil trop élevé a pour effet
d'engendrer une oscillation du système de plus en plus importante menant à
l'instabilité.

30. Chapitre III : Commande PID d’un moteur brushless
30
III-5) Les caractéristiques du régulateur PID :
Le régulateur standard le plus utilisé dans l’industrie est le régulateur PID
(proportionnel intégral dérivé), car il permet de régler à l’aide de ses trois paramètres
les performances (amortissement, temps de réponse, ...) d’un processus modélisé par
un deuxième ordre. Nombreux sont les systèmes physiques qui, même en étant
complexes, ont un comportement voisin de celui d’un deuxième ordre. Par
conséquent, le régulateur PID est bien adapté à la plupart des processus de type
industriel et est relativement robuste par rapport aux variations des paramètres du
procédé.
Si la dynamique dominante du système est supérieure à un deuxième ordre, ou si le
système contient un retard important ou plusieurs modes oscillants, le régulateur PID
n’est plus adéquat et un régulateur plus complexe (avec plus de paramètres) doit être
utilisé, au dépend de la sensibilité aux variations des paramètres du procédé.
Il existe trois types d’algorithme PID, le PID série, le PID parallèle et le PID mixte.
III-5-1) Structure des régulateurs PID :
Type Parallèle : PID=KP(1+
1
𝑠+𝑇 𝑖
)(1+sTd)
figure III.3 : régulateur parallèle

31. Chapitre III : Commande PID d’un moteur brushless
31
Type Mixte : PID=KP+
1
𝑠+𝑇 𝑖
+sTd
Figure III.4 : régulateur mixte
Type Série : PID=KP(1+
1
𝑠+𝑇 𝑖
)(1+sTd)
Figure III.5 : régulateur série
III -6) Les actions PID :
Un régulateur PID est obtenu par l’association de ces trois actions et il remplit
essentiellement les trois fonctions suivantes :
- Fonction proportionnelle donne un système plus précis, plus rapide.
- Fonction intégrateur élimine l’erreur statique.
- Fonction dérivée accélère la correction.

32. Chapitre III : Commande PID d’un moteur brushless
32
III -7) Méthode de Ziegler-Nichols :
En 1942, Ziegler et Nichols ont proposé deux approches heuristiques basées sur
leur expérience et quelques simulations pour ajuster rapidement les paramètres des
régulateurs
P, PI et PID. La première méthode nécessite l'enregistrement de la réponse
indicielle en boucle ouverte, alors que la deuxième demande d'amener le système
bouclé à sa limite de stabilité.
III-7-1) Méthode de la réponse indicielle :
Pour obtenir les paramètres du régulateur PID, il suffit d'enregistrer la réponse
indicielle du processus seul (c'est-à-dire sans le régulateur), puis de tracer la tangente
au point d'inflexion de la courbe. On mesure ensuite sa pente p, le retard apparent L
correspondant au point d'intersection de la tangente avec l'abscisse et le gain K0 = y∞
/E ,On peut alors calculer les coefficients du régulateur choisi à l'aide du tableau 1.
Généralement, les gains Kp proposés par Ziegler-Nichols sont trop élevés et
conduisent à
un dépassement supérieur à 20%. Il ne faut donc pas craindre de réduire Kp d'un
facteur 2
pour obtenir une réponse satisfaisante.
Tableau III.1: Paramètres PID obtenus à partir d'une réponse indicielle (ZNt)
III-7-2) Méthode du point critique :
Cette méthode est basée sur la connaissance du point critique du processus.
Expérimentalement, on boucle le processus sur un simple régulateur proportionnel
dont on augmente le gain jusqu'à amener le système à osciller de manière permanente;
on se trouve ainsi à la limite de stabilité. Après avoir relevé le gain critique Kcr du
régulateur et la période d'oscillation Tcr de la réponse, on peut calculer les paramètres
du régulateur choisi à l'aide du tableau 2. Ici également, les valeurs proposées
conduisent à un temps de montée relativement court malheureusement assorti d'un
Type Kp Ti Td
P 1/(pLK0) = 1/(aK0)
PI 0.9/(pLK0) = 0.9/(aK0) 3L
PID 1.2/(pLK0) = 1.2/(aK0) 2L 0.5L

33. Chapitre III : Commande PID d’un moteur brushless
33
dépassement élevé. Cette situation n'étant pas toujours satisfaisante, on peut être
amené à corriger les coefficients proposés et, en particulier, à diminuer le gain Kp. On
notera que les paramètres Ti et Td proposés par les deux méthodes de Ziegler-Nichols
sont dans un rapport constant égal à4 Le régulateur possède donc deux zéros
confondus valant −1/(2Td) = −2/Ti.
Tableau III.2: Paramètres PID obtenus à partir du point critique (ZNf )
III-7-3) Autre méthode de Ziegler empiriques :
Il s’agit de la méthode Ziegler la plus ancienne, basée sur l’observation de la
réponse du processus et la connaissance de la structure du correcteur. Le modèle
supposé du système à commander est : F(S) =
Ke−Ts
S
III-7-3-a) Essai en boucle ouverte :
Cet essai est réalisé s’il est possible d’ouvrir la boucle de commande. On règle alors
 Le gain proportionnel à 1,
 L’action intégrale à ∞,
 L’action dérivée à 0.
L’entrée du sortie est un échelon, et on relève la sortie (avec K = ΔY/ΔYr)
Figure. II.7 : la sortie d’un système boucle ouverte
Type Kp Ti Td
P 0.5 Kcr
PI 0.4 Kcr 0.8 Tcr
PID 0.6 Kcr 0.5 Tcr 0.125 Tcr

34. Chapitre III : Commande PID d’un moteur brushless
34
Régulateur Réglage
P Kp = T/τ
PI Kp = 0.9 T/τ, Ti = 3.3 T
PID Kp = 1.27 T/τ, Ti = 2 T, Td = 0.5 T
Tableau III.3 : Paramètres PID en boucle ouverte
III-7-3-b) Essai en boucle fermée :
Cette méthode est utilisée quand le processus est instable en boucle ouverte, ou
qu’il n’est pas techniquement possible d’ouvrir le boucle. On réalise alors un test de
pompage. Pour cela, on règle
 Le gain proportionnel jusqu’au gain critique Kpc,
 L’action intégrale à ∞,
 L’action dérivée à 0.
On mesure alors la période des oscillations, Tosc, que fait la sortie du système.
Régulateur Réglage
P Kp = 0.5 Kpc
PI Kp = 0.45 Kpc , Ti = 0.83
PID Kp = 0.6 Kpc , Ti = 0.5 Tosc , Td = 0.125 Tosc
Tableau III.4 : Paramètres PID en boucle fermée
III-8) Conclusion :
Les trois actions du régulateur PID permettent de commander le moteur
brushless , tout en garantissant une annulation de l’erreur permanente de la
sortie régulée, vis-à-vis d’échelons en entrée de consigne. Cette propriété de
précision est due à la présence d’une action intégrale. L’ajout d’une action dérivée
permet d’augmenter la stabilité du moteur brushless, et donc de diminuer le
dépassement de la réponse indicielle. L’ajout de cette dérivée n’est pas systématique
et dépend des propriétés du moteur électrique, du cahier de charge imposé (en terme
de dépassement), dans certains cas il suffit l’utilisation d’un régulateur PI

35. Chapitre III : Commande PID d’un moteur brushless
35
uniquement, comme l’asservissement en vitesse du moteur électrique. La réalisation
de l’action dérivée est préférentiellement réalisée sur la mesure, afin d’éviter la
saturation de la commande.
Un des intérêts du régulateur PID, qui explique sa popularité dans le milieu
industriel, est sans conteste la possibilité de le régler sans connaissance
approfondie du système. En effet, on dispose de méthodes empiriques, fondées
uniquement sur la réponse temporelle du système, selon une procédure
expérimentale, comme la méthode d’oscillation de Ziegler- Nichols utilisée ,
permettant dans la majorité des cas d’aboutir à des performances acceptable.

36. 36
Conclusion Générale
L’inconvénient des moteurs à courant continu est la présence des balais, qui
engendrent des frottements, des parasites, et limitent la durée de vie par contre ce
problème est résolue avec le moteur brushless tout en améliorant ces performances et
donnant un pas d’avance aux technologies,
Dans ce travail, le régulateur PID a été utilisée comme un outil technique
essentiel utilisé dans la modélisation et le contrôle du système.
Le principe d’un correcteur est de « modeler » la fonction de transfert en boucle
ouverte pour trouver un système ; la détermination de l’erreur, Le temps réponse
et le dépassement.
Pour cela, on a fait la méthode de Ziegler Nichols au niveau des réponses
indicielles d’un système 2 éme
ordre réglé par un contrôleur PID.
Ce travail nous a permis d’acquérir une expérience enrichissante dans le domaine
de la régulation des moteurs électriques tel que le moteur brushless, et mettre des
connaissances acquises durant nos études.

37. 37
Bibliographies:
[1] ECET-462, « The Design of PID Controllers using Ziegler Nichols
Tuning» --Brian R Copeland; Purdue University, calumet; March, 2008
[2] Zoom sur, « Les Moteurs BruShless», N° 3 - Septembre 2013
[3] Département Automatique-Robotique, « Commande, Cours», Franck Plestan,
Année 2009/2010.
[4] Ing. V. Leleux, « Circuit de commande d'un moteur brushless DC
par onduleur triphasé commandé en modulation de largeur
d'impulsion par microcontrôleur», Ir. N.Gillieaux-Vetcour, Gramme –
Liège, Revue Scientifique des ISILF n°19, 2005.
[5] Bouiche Hachemi, Brahami Mohamed, « Commande PID d’un moteur à
courant continu», Université Abderrahmane Mira – Bejaia, 2009-2010.
[6] Lahbib Amaanan, « Les différentes techniques de commande des
moteurs brushless», Polytech’ Clermont-Ferrand, 2013-2014.
[7] Soumya sekhsokh, Kawtar oukili, «Etude D’une Boucle de Régulation de
Niveau : Implémentation de Régulateur et Réglage du Procède»,
Ecole Supérieure de technologie, FES, 2010/2011.
[8] Oludayo John Oguntoyinbo, «PID Control OF Brushless DC Motor and
Robot trajectory Planning and Simulation with
Matlab®/Simulink®», university of applied sciences, Vasa Yrkeshogskola,
2009.
[9] Ben ismail Ameni, Ben Slimane Nabil,Guezguez Nadia, «Asservissement de
position et de vitesse d'une articulation Robotique», Université de
Sousse, République Tunisienne,2011-2012.
[10] Guenane Lounas, «simulation des correcteurs classiques(P.I.D)sous
PSpice et Matlab(Simulink) », Université A/Mira de Bejaia,2009-2010.

38. 38
[11] Prof. Mohammed-Karim Fellah, «Partie 1-Automatique 1 et 2
(Asservissements Linéaires Continus)», Université Djillali Liabès – Sidi
Bel-Abbès, Novembre 2013.
[12] Prof. Freddy Mudry- «Ajustage des Paramètres d’un Régulateur
PID», ecole d’ingénieurs du canton de vaud, mars 2006.
[13] Automatique, «Systèmes linéaires, non linéaires, à temps continu, à
temps discret, représentation d'état», Cours et exercices corrigés.
[14] Benayad kamel, « Comparaison entre méthode de ziegler-nichols de
cohen-coon pour la détermination des paramètres des
contrôleurs à structure PID pour la commande d’un moteur à
courant continu »,université de béchar ,2011.

39. 39
Liste de figures
Figure. I.1: Schéma fonctionnel d’un système asservi (Boucle Fermée)………... 3
Figure. I.2: Schéma fonctionnel d'un système asservi en Boucle Ouverte ……… 4
Figure. I.3 : Principe du feedback ……………………………………………….. 5
Figure. I.4 : Stabilité système bouclée …………………………………………… 7
Figure. I.5: Système avec un correcteur ………………………………………… 8
Figure. II.1 : Schéma d’un brushless DC moteur ……………………………….. 11
Figure. II.2 : Schéma d’un moteur brushless …………………………………… 12
Figure. II.3 : Schéma équivalent brushless DC moteur ………………………… 12
Figure. II.4: Schéma bloc du moteur brushless ………………………………… 17
Figure. II.5 : Rotor et stator d'un moteur brushless outrunner ………………… 18
Figure. II.6: Moteurs brushless inrunner ……………………………………… 18
Figure. II.7 : Moteurs brushless disques ……………………………………… 19
Figure III.1 : Correcteur PID ……………………………………………........ 21
Figure III.2: Réponse d’un système du second ordre 23 …………………….. 23
figure III.3 : Régulateur parallèle ……....…………………………………..... 24
Figure III.4 : Régulateur mixte ..….………………………………………… 25

40. 40
Figure III.5 : Régulateur série …………………………………………………
Figure. III.7 : La sortie d’un système boucle ouverte……………………………..
25
28
Figure.III.8 : Modélisation sous Matlab de sortie de moteur brushless………….
Figure.III.9 : Modélisation sous Matlab de BLDC en boucle ouverte Avec PID..
Figure.III.10 : Modélisation sous Matlab de BLDC en boucle Fermé Avec PID…
30
30
30
Figure.III.11 : Modélisation sous Matlab de BLDC en boucle Fermé avec Zoom 31
Figure.III.12 : Modélisation sous Matlab de BLDC avec bode…………………… 31