Apostila hidráulica

UNIVERSIDADE DE MARÍLIA
FACULDADE DE ENGENHARIA E
ARQUITETURA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
5º TERMO
DISCIPLINA: HIDRÁULICA
PROF. MÁRCIO LUNARDELLI

UNIMAR – UNIVERSIDADE DE MARÍLIA FEA – FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA
HIDRÁULICA PROF. MÁRCIO LUNARDELLI
1. REVISÃO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE
2. CONDUTOS SOB PRESSÃO
2.1. INTRODUÇÃO
Denominam-se condutos sob pressão, ou dutos forçados, as canalizações
onde o líquido escoa sob uma pressão diferente da atmosférica.
As seções desses condutos são sempre fechadas, e o líquido escoa enchendo-as
totalmente; são em geral de seção circular, porém em casos especiais, como nas
galerias das centrais hidrelétricas ou nos grandes aquedutos, são usadas outras
formas.
2.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO TEOREMA DE BERNOULLI
A expressão de Daniel Bernoulli admite uma interpretação geométrica muito simples
que permite transformar as relações de energia em relações de altura.
Efetivamente, todos os termos da equação têm dimensão linear, pois:
z → Cota da partícula acima do plano de referência.
P/γ → Pressão existente nesse ponto, expressa em altura do líquido.
# Denominada altura piezométrica, que corresponde a altura de uma coluna liquida
de peso especifico "γ", capaz de equilibrar a pressão " P ".
V2
/2g→ Altura representativa da velocidade de que está animada a partícula.
* Essas grandezas lineares são denominadas cargas, e sua soma é chamada:
carga total ou efetiva
A soma:
Z
P V ²
2 gXγ+ = H+
Define-se a altura H de um plano acima do plano de referência, denominado: PCD
ou PCT, plano de carga dinâmico ou plano de carga total, respectivamente.
2

Observações:
a) a posição do plano de referência é arbitrária, mas o plano dinâmico deve ser
especificamente determinado em cada problema, pois as grandezas P/γ e V2
/2g
são próprias das condições de movimento.
b) linha piezométrica (LP) ou pressão ou greide hidráulico, fica acima do
conduto, a uma distância igual à pressão existente, expressa em altura de líquido
(P/γ), indicado em cada ponto o valor dessa pressão.
* LP é a linha que une os extremos das alturas.
linha de energia (LE) fica V2
/2g acima da LP e lhe é paralela, dada a constância da
velocidade.
a altura (z+P/γ) é, por alguns, denominada de altura potencial, mas em geral
dá-se-lhe o nome de cota piezométrica.
A figura abaixo representa uma canalização de seção constante sensivelmente
retilínea, na qual o movimento é controlado por um registro em 4. Se o registro é
fechado, a água sobe nos piezômetros instalados em A,B e C, até a cota da
superfície da água no reservatório, porém abrindo aquele registro, estabelece-se um
regime permanente e uniforme, pois sendo constante a seção do conduto, mantém-
se a velocidade do escoamento.
3
D H = P E R D A D E C A R G A
L E ( L IN H A D E E N E R G IA )
L P ( L IN H A P IE Z O M É T R IC A )
COTAPIEZOMÉTRICA
P L A N O D E R E F E R Ê N C I A
Z 2
Z 1
P L A N O D E C A R G A ( P C D )
P 2
γ
P 1
γ
V 2
2 g
V 1
2 g

Se não houvesse perda de energia, a água subiria até a mesma altura em todos os
piezômetros, ficando abaixo do nível do reservatório de uma distancia igual a V2
/2g,
mas na realidade, devido às resistências que se opõem ao movimento, a altura da
água nos diversos piezômetros vai diminuindo, e pode-se constatar
experimentalmente que a linha que une os extremos das colunas piezométricas é
uma reta .
Aplicando-se BERNOULLI às diversas seções do conduto, obtém-se :
Z 1
P V ²1 1
2 gXγ 1
+ ++
P V ²2 2
2 gXγ 2
+ + h p 2H = h p =1 Z 2 +
Dado o paralelismo da LP e LE, a perda de carga entre duas seções quaisquer é
igual à diferença das respectivas cotas piezométricas, o que se pode constatar pela
aplicação da equação de Bernoulli:
Z 1
P V ²1 1
2 gXγ 1
+ =+
P V ²2 2
2 gXγ 2
+ + h p ( 1 ,2 )
E sendo 1 e 2 → V1 = V2 hp(1,2) = hp1 - hp2
h p = Z +( 1 , 2 ) 1
-P 1
γ 1
Z +2
P 2
γ 2
4
Cota Piezométrica
p e rd a d e c a rg a
A B C
4
A B C
4

2.3. FÓRMULAS FUNDAMENTAIS DA PERDA DE CARGA
Para determinar a expressão geral da perda de carga (igual energia perdida por
unidade de peso):
* Considera-se um prisma líquido AB, de seção transversal A e comprimento l, que
se desloca com movimento uniforme no interior do conduto, sobre ele age a
gravidade e as pressões P1 e P2 nas suas faces extremas.
* Com perímetro X, escreve-se a equação de equilíbrio:
ϖ α + ( σs e n p 1 - p 2 ) A = x L0
Onde :
ω = peso do prisma líquido =
σ= resistência da parede por unidade de área
5
Componente do
Peso Segundo o
Eixo do Conduto
Resultante
das
Pressões
Atrito Entre o
Líquido e a
Parede
=+
P C D
L E
L P
A s e ç ã o
W s e n α
v ²1
2 g
P 1
γ
A
Z 1
l
Z 2
P 2
γ
v ²2
2 g
h p
B
A L γ
v o lu m e

X L = Área lateral do prisma líquido (superfície sujeita ao atrito)
ω sen α + (p1 – p2) A = σ0 X L
ω sen α + (p1 – p2) A = σ0 X L
A L γ sen α + (p1 – p2) A = σ0 X L
volume força resistência por unidade de área
L sen α = (z1 – z2)
(z1 – z2) A γ + (p1 – p2) A = σ0 X L
(z1 – z2) + p1 – p2 = σ0 X L
γ γ γ A
z1 + p1 – z2– p2 = σ0 X L
γ γ γ A
No entanto que o primeiro membro é a perda de carga entre as seções
consideradas, vem:
OBS:
h p = Z +( 1 , 2 ) 1
-P 1
γ 1
Z +2
P 2
γ 2
h p =
γ Ax
σ 0 L
A relação γ
σ 0 L
pode ser expressa por uma função de velocidade do
escoamento, ϕ ( V ), temos:
6
( II )
( III )
( I )

h p = Lx xϕX
Z
ϕ x( V ) = b V ²
Determinado na prática: V2
e ao coeficiente b, representativo da rugosidade da
parede e da natureza do líquido.
h p = b x xV ² 1
R
onde: R = Raio hidráulico = Área/Perímetro = A/X = P
Para condutos forçados de seção circular:
R =
D
4
R =
A
P
=
π x D ²
4
x
1
π x D
Substituindo R na equação ( IV ), temos :
h p =
4 b V ² I
D
x x x
que muitas vezes é escrita sob a forma:
h p =
4 b V ² l
D
x x x
Fórmula de Darcy-Weisbach ou Fórmula Universal de Perda de Carga, onde:
f = 8 g bx x
b =
f
8 x g
Substituindo a velocidade em função da vazão na equação V e VI temos:
h p =
4 b v ² l
D
X X X
h p =
4 b l
D
X X X
Q 4
D ²
x
xπ
7
( IV )
( V )
( VI )

V =
Q
A
=
Q 4
D ²
x
xπ
h p =
6 4
²π
X b
Q ² l
D
x
5X
onde:
k =
6 4
²π
x b
que é a fórmula universal da perda de carga.
h p =
k Q ² l
D
X X
h p =
1 6 f
2 D ²
X X Q ²
g ²X X Xπ
h p =
0 , 0 8 2 6 2 f
D
X X
5
Q ² X l
* que dão a perda de carga em função da vazão, diâmetro e do comprimento do
conduto.
perda de carga unitária, é a perda de carga por unidade de comprimento da
canalização, isto é, o quociente da perda total pelo comprimento do duto (conduto).
J =
h p
l
obs: A perda de carga unitária é igual a inclinação da LP e da LE.
Ex: J = 0,002 m/m 12 m/km
V =
4 b V ²
D
xx
obs: causas da perda de carga
A fórmula geral foi deduzida supondo que prisma líquido se deslocasse no interior
com velocidade V1 atritando com as paredes do mesmo, essa hipótese não é exata:
8
( VII )
( m/m ) ( VIII )
( IX )

a) Junto a parede existe uma película aderente e imóvel de líquido, e não estando o
líquido em movimento e em contato com a parede, mas com cada camada
estacionaria;
c) Os diversos filetes líquidos tem velocidades próprias, diferentes da velocidade
media V1 e essa diferente distribuição das velocidades e causa de perda.
e ix o d o c o n d u t o
p a r á b o la ( r e g im e la m in a r )
r e g im e t u r b u le n t o
V
V
V m a x
2.4. CAUSAS DA PERDA DE CARGA
Distribuição das velocidades dos filetes líquidos
Experiência de REYNOLDS
laminar
Transição
Turbulento
9

O número de Reynolds (NR) e seu significado como indicador do grau de
turbulência do movimento.
N R =
V Dx x ρ
µ
onde
µ
ρν =
é a viscosidade cinemática (m2/s2)
N R =
V Dx
ν
onde
ρ = massa especifica (kgf s2
/m4
)
µ = viscosidade dinâmica (kgf s2
/m4
)
ν = viscosidade cinemática (m2
/s2
)
NR < 2000 Regime Laminar
NR > 4000 Regime Turbulento
exemplo
Adotando, no caso da água, o valor de NR=2000, T=15O
C; ν=1,146 x 10-6
; para os
diâmetros 0,01 m, 0,06 m, 0,10 m e 0,03 m. Quais as velocidades?
2.5. PERDA DE CARGA NO REGIME LAMINAR
O regime laminar só raramente ocorre na prática, como por exemplo, no
escoamento de líquidos muitos viscosos, tais como óleos pesados.
é dado por:
h p =
3 2 X µ
γ
V
D
2X X l
No movimento laminar a perda é proporcional a velocidade, e não ao quadrado da
velocidade, conforme feito na fórmula universal da perda de carga, que é aplicado
ao escoamento turbulento.
10
( X )
( XI )

2.6. FUNDAMENTO RACIONAL DAS FÓRMULAS DE PERDA DE CARGA
A aplicação dos princípios de analise dimensional permite determinar a natureza da
resistência unitária oferecida pela parede.
Considerando que a resistência unitária σ0 depende da :
− rugosidade da parede ;
− natureza do líquido ;
− velocidade do escoamento ;
− seção do conduto
Pode se escrever :
σ0 = F (rugosidade, µ, ρ, V, D)
rugosidade = ε (rugosidade absoluta)
D
e
= Rugosidade Relativa
* Representa a aspereza da
parede
Sendo a lei que exprime σ0 independente do sistema de unidades empregado, a
sua dimensão é a mesma da função "F", quando esta é desenvolvida em série,
seja:
K x µa
x ρb
x Vc
x Dd
x ee
O termo geral desta serie, na qual "K" é o coeficiente numérico do termo
considerado e a, b, c, d, e, são as potências desconhecidas das diversas
grandezas dimensionais.
Substituindo as grandezas por suas dimensões:
FL-2
= (FTL-2
)a
x (FT2
L-4
)b
x (LT-1
)c
x (L)d
x (L)e
igualando os expoentes, obtém-se:
F 1 = a + b
L -2 = - 2a - 4b + c + d + e
T 0 = a + 2b – c
11
e
D

b = 1 –a → 0 = a + 2b – c
b = c - a / 2
b = 1 - a → c = 2 x b + a
c = 2 x (1-a) + a
c = 2 – 2 x a + a
c = 2 – a
b = 1 – a
c = 2 - a
- 2 = - 2a - 4b - c + d + e
- 2 = - 2a - 4( 1 - a ) + ( 2 - a ) + d + e
- 2 = - 2a - 4 + 4a + 2 - a + d + e
2a - 4a + a = d + e
- a = d + e
d = - a - e
k V ² e = k
a - a e
xµ ρ ρ1 - a
x x x x
µ
ρ
a
V Dx x
x
e
D
e
x V ²
Como a expressão contém NR e e/D, pode-se escrever:
σ0 = ∅ ( e/D, NR ) ρ V2
Utilizando-se a fórmula
h p = γ x x L
X
A
σ 0
temos:
h p = γ
x
x lX
A
φ e
D
, N R x ρ x V ²
x
Para condutos circulares e levando em conta γ = ρ g, temos :
X
A
=
1
R
=
1
D / 4
4
D
=
e
γ
ρ
= g
h p = γ
x
x xV ² l4
D
φ e
D
, N R
x
2.7. CONDUTOS LISOS E RUGOSOS
Fórmulas racionais da perda de carga
12
b ( d a E q . V ) b = ( e /D , N R )xφ

δ
h p = f x
1
D x
V ²
2 g
x
f = f ( e / D , NR )
2.7.1. REGIME LAMINAR
h p =
3 2 X µ
γ
V
D
2X X l
2 g Vx x
2 g Vx x*
h p =
6 4 gx µ
γ
x
x x4 g
V
D
2
4 x
X X l
6 4
V Dx x ρ
l
D
X X
g
µ
V ²
2 gx
h p =
6 4
V Dx x ρ
l
D
X
µ
X
V ²
2 gx
h p =
6 4
Ν Ρ
l
D
X X
V ²
2 gx
Onde:
f = 64 / NR Só REGIME LAMINAR NR < 2000
f = f (NR)
2.7.2. REGIME TURBULENTO
Para estabelecer as expressões de "f" no movimento em regime turbulento deve-se:
a) Conhecer as diferenças entre os condutos lisos e rugosos
b) Conhecer a hipótese de PRANDTL; segundo a qual junto a parede se forma uma
película de líquido onde o movimento é laminar (Camada limite), seguindo se a zona
do movimento turbulento. A espessura da película (Camada) laminar é dada por:
D
N R fx
2.7.2.1. CONDUTO LISO
e < δ/3*
ou e < 100 ν/V
Se o tamanho e das asperezas é menor que a espessura da camada limite
19,5 a 30 D NR -7/8
13

OBS: As mesmas ficam cobertas pela camada laminar
Nos condutos lisos, o tamanho das asperezas (e) não influi sob a turbulência do
movimento, e o coeficiente "f" independe da rugosidade do conduto.
Segundo BLASIUS:
f = 0,136 NR-0,25
* para NR = 100.000
Segundo PRANDTL:
l
f
= 2 lo g ( N R ) - 0 ,8x x x1 0 f
f = f ( N R )1 x
* para NR até 3,6 x 106
2.7.2.2. CONDUTOS RUGOSOS
-
# Transição entre os regimes dos condutos lisos
* (δ/3 < e < 8xδ)
# Turbulência completa
* (e > 8xδ)
2.7.3. TRANSIÇÃO
Segundo COOLEBROOK
2 e
D
x
l
f
= 1 , 7 4 - 2 lo gx 1 0 x +
f
1 8 ,7
N R x
f = f 2 x
e
d , N R
2.7.4. TURBULÊNCIA COMPLETA
Segundo NIKURADSE
2 e
D
x
l
f
= 1 , 7 4 - 2 lo gx 1 0 x
OBS: página 202 → Tabela para vários materiais (valores de "e" )
14

2.8. FÓRMULAS PRÁTICAS PARA O CÁLCULO DA PERDA DE CARGA
Tipos gerais das fórmulas.
Existe um grande número das chamadas fórmulas PRÁTICAs, que dão a relação
entre as diversas grandezas, com coeficientes e expoentes que traduzem os
resultados das experiências e das observações dos seus autores.
h p = b x V ² x l
R
R = A
P
J = h p
l
h p = J
l
= b x V ²
R
V =
l x R x J
b
V = C R x J
C =
1
b
As fórmulas da perda de carga podem ser classificadas nos seguintes
grupos :
a ) Fórmulas com o coeficiente constante [b=cte]
b ) Fórmulas onde o coeficiente depende de "V" [b=f(V)]
c ) Fórmulas onde o coeficiente depende "D" [b=f(D)]
d ) Fórmulas onde o coeficiente depende de "V" e "D" [b=ψ(V,D)]
a.1 ) Fórmula de DUPUIT
Tubos de ferro fundidos ( fo
fo
)
b = 0,0004
f = 8gb ≅ f = 0,0314
b.1 ) Fórmula de WEISSSBACH
α + β
V
b =
15
(XIII) FÓRMULA DE CHEZY

* Onde α e β são coeficientes representativos da rugosidade da parede.
c.1 ) Fórmula de DARCY
α + β
b =
D
d.1) Possui duas expressões:
1-) Expressão binômia - fórmula de LANG
α + β
b =
D x V
2-) Expressão monômia - FÓRMULA DE FLAMANT, e em geral todas
fórmulas com expoentes fracionários.
# Flamant para fo
fo
ou aço galvanizado
J = 0 , 0 0 0 9 2 x
V
1 , 7 5
D
1 , 3 5
= 4 x 0 , 0 0 0 2 3 x
1
D
0 , 2 5
x V
0 ,2 5
x V
2
b ( v a r ia c o m D e V )
OBS :
J = b x V ²
R
R = D
4
J = 4 x b x V ²
D
Fórmulas com expoentes fracionários são da forma :
J = b V1
m
D
n
sendo m e n próximos a 2 e 1
Q = V x A
16

V = Q
A
J = b x1
Q
π x D ²
4
m
D
n
K x Q
m
=
D
2 x m + n
Exemplo:
V = C x D x J
x y
Q = V x A
V =
π x D ²
4
=
π
4
x C x D x J
x + 2 y
Q = 0 , 7 8 5 4 x C x D x J
x + 2 y
2.9. PRINCIPAIS FÓRMULAS PRÁTICAS
1.DARCY
2.FLAMANT
3.MANNING
4.STRICKLER
5.FAIR-WHIPPLE-HSIAO
6.HAZEM-WILLIANS
2.9.1. FÓRMULA DE DARCY (1858)
É uma das fórmulas mais usadas para os cálculos das tubulações de fo
fo
. Foi Darcy
que primeiro reconheceu a importância do envelhecimento dos tubos. A medida que
passa o tempo, tornam-se mais rugosos.
A fórmula é :
J =
4 x b V ²
D
b =
α + β
D
V =
Q
A
17

J = 4 x b x
Q
π x D ²
4
D
6 4 x b x Q ²
J =
π ² x D
5
Para tubos novos: α=0,0002535 β=0,00000647
Para tubos em uso: α=0,000507 β=0,00001294 ( 20 a 30 anos de serviço )
Ferro Fundido ( fo
fo
) → ∅ 0,05 a 0,50 m
J =
k x Q ²
D 5
π ²
k =
6 4 x b
J = x Q ²δ
D
5δ =
k
δ = e s p e s s u r a d a c a m a d a la m in a r
Tabelados dos valores dos coeficientes da fórmula de Darcy para tubos em serviço.
(pág. 216)
D b f δ = 64 b / π2
D5
0,10 0,000636 0,0499 412,42
0,20 0,000571 0,0488 11,571
Exemplo :
D = 0,10 m Q = 10 l/s J = ?
J = δ x Q2
D = 0,10 m → δ = 412,42
J = 412,42 x 0,01 m3
/s
J = 0,0412 m/m ou J = 41,20 m/km
APÊNDICE TAB. A6 → pág.528 a 551
Valores de "J" para diferentes diâmetros em função de "Q" e "V"
18

C = 140C = 140
Exemplo : D = 0,40 m Seção = 0,125664 m2
Valor (m/s)
Velocidade
Perdas de Carga (m/m) Vazões (l/s)
Cim Amianto fºfº
0,20 0,000107 0,000216 25,132
0,30 0,000226 0,000485 37,689
0,50 0,000582 0,001348 62,830
0,90 0,001729 0,004369 113,094
2.9.2. FÓRMULA DE FLAMANT
Atualmente a fórmula de Flamant é utilizada quase que exclusivamente para o
cálculo dos tubos de pequenos diâmetro (D<0,10 m), usados nas instalações
domiciliares de distribuição d' água.
bb
D
V
D
V
b
JD
D
Q
k
D
V
bJ
×=
×=
×
×=×=
4
4
125,1
75.1
4
7
75,4
75,1
25,1
75,1
1
(XV)
Valores de b1 e k ( pág. 221 )
- para fo
fo
ou aço galvanizado, em serviço:
b1 = 0,00092 e k = 0,0014
- para tubo de PVC rígido:
b1 = 0,00054
- para condutos novos de fo
fo
e aço galvanizado:
b1 = 0,00074 e k = 0,00113
- para cimento amianto:
b1 = 0,00062 e k = 0,00095
2.9.3. FÓRMULA DE MANNING (1897)
Embora mais usada para o cálculo de CANAIS, nos EUA e Inglaterra é também
empregada para condutos sob pressão, com valores de "n" tabelados.
2
1
3
21
JR
n
V ××= ( XVI )
19

Para condutos de seção circular é mais cômodo utilizar diretamente o diâmetro em
vez do raio hidráulico (R).
R = D / 4 2
13
2
4
1
J
D
n
V ×





×=
(1/4)2/3
= 0,397
1/22/3
JD
n
0,397
V ××= ` ( XVII )
Onde:
Q=V A
Q = V ∏D2
/ 4 Substituindo em (XVII), temos:
JD
n
0,312
Q 1/22/3
××= ( XVIII )
OBS: Valor de "n" → pág. 223.
Onde "n" → coeficiente de rugosidade, dependendo da parede do conduto.
J = 6,35 n2
V2
/ D4/3
= 10,295 n2
Q2
/ D16/3
2.9.4. FÓRMULA DE STRICKLER
É idêntica a expressão de MANNING que, por sua vez, exprime a rugosidade por um
coeficiente "K", cujo valor é o inverso de n de MANNING.
V = K R2/3
J1/2
- Valores de K →___ 2pág. 224
k = 90 - condutos novos, fºfº
k = 100 - aço sem solda
- Ábaco da fórmula → pág. 318
2.9.5. FÓRMULA DE FAIR-WHIPPLE-HSIAO
É aconselhada para o cálculo dos condutos de pequenos diâmetro das instalações
domiciliares.
J = 0,002021 Q1,88
/ D4,88
Isolando Q :
Q = 27,113 J0,532
D2,596
* Tubos de Aço ou Ferro Galvanizado (Água Fria)
20

- Para tubos de Cobre ou Latão
Q = 55,934 D2,71
J0,57
(Água Fria)
Q = 63,281 D2,71
J0,57
(Água Quente)
2.9.6. FÓRMULA DE HAZEN - WILLIAMS
É a fórmula mais empregada e o seu uso esta sendo cada vez mais generalizado
entre nos.
V = 0,849 C R0,63
J0,54
Raio Hidráulico R = D/4
V = 0,355 C D0,63
J0,54
( XIX )
Q = V A → Q = V ∏D2
/4
Q = 0,2785 C D2,63
J0,54
( XX )
J = b1 V1,852
/ D1,17
→ J = k Q1,852
/ D4,87
k = 10,646 / C 1,852
( XXI )
Além de ser aplicável a condutos de diversos materiais em diferentes
condições, a fórmula de HAZEN-WILLIAMS, tem a facilidade da comparação e
adaptação dos resultados obtidos com os valores de C; tomando, por exemplo, como
base de comparação o valor de C=100; para a obtenção de outros valores baseados
nesta relação, temos as seguintes relações:
JC=J100 (100/C)1,852
QC=Q100 C/100
VC=V100 C/100 DC=D100 (100/C)0,38
Os fatores de conversão em relação a C=100, acham-se indicados na
tabela da pág. 223. Assim como os valores de k.
C C/100 100/C (100/C)0,38
(100/C)1,852
K
140 1,40 0,714 0,880 0,536 0,001130
100 1,00 1,000 1,000 1,000 0,002105
40 0,40 2,500 1,416 5,547 0,011500
Outro sistema como do para obter as perdas correspondentes a qualquer valor de
C é o de entrar na fórmula (XXI) como valor de C=100 (ou outro básico), e com a
VAZÃO EQUIVALENTE, obtida multiplicando a vazão do problema pela relação
100/C.
J = k Q1,852
/ D4,87
C = 100 → k = 0,002105
J=0,002105 Q1.852
/D4.87
→ J100 = r Q1,852
Tabela pág.231
* Método FÁCIL quando se esta sem calculadora
* para determinar "r"
21

D R
0,013 3611840
0,100 156,05
1,500 0,000292
Tabela pág. 232 a 234
* para determinar " Q "
Q Q1,852
0,10 0,01406
0,50 0,27700
2.10. PERDAS DE CARGA ACIDENTAIS OU LOCALIZADAS
Sempre que a mudança de direção ou da grandeza de velocidade, ha uma perda de
carga de corrente da alteração das condições de movimento, a qual se adiciona a
perda devido ao atrito.
Tais perdas são denominadas acidentais ou localizadas, e podem ser calculadas
pela expressão:
hp = k V2
/ 2g
- Sendo :
K → um coeficiente que depende da forma da singularidade (ou seja, do elemento
causador da perda; Ex: Curva, Registro, Mudança de diâmetro, etc).
As indicações a respeito das perdas acidentais são bastantes variáveis segundo as
diversas fontes:
2.10.1. PERDAS EM GRADES
22

2.10.2. PERDAS NA ENTRADA DOS CONDUTOS
v v v v
K = 0,78 A 1,0 K = 0,5 K = 0,25 K = 0,10
bordas agudas bordas arredondadas peça de adaptação
2.10.3. PERDAS DEVIDAS AO AUMENTO BRUSCO DA SEÇÃO
D 2
D 1
h p =
( v - v ) ²1 2
2 g
h p = =
v ²1
2 g
1 - D ²1
D ²2
v ²2
2 g
1 - D ²2
D ²1
k
h p = k
v ²1
2 g
tabela pág. 234
23
k = 1,45 - 0,45r - r2
r = área de passagem da água
área bruta da grade
pg 238

D1 / D2 0,1 0,2 0,3 ........... 0,9
k 0,98 0,92 0,83 ........... 0,04
2.10.4. PERDAS DEVIDAS À BRUSCA CONTRAÇÃO DA SEÇÃO
D 2
D 1
h p =
v ²2
2 g
1 - 1
C c
C =c
A 0
A 2
A0 = área na seção central contraída
h p = k
v ²2
2 g
tabela pág. 239
D1 / D2 0,1 0,2 0,3 ........... 0,9
k 0,50 0,48 0,45 ........... 0,10
2.10.5. PERDAS DEVIDAS AO AUMENTO GRADUAL DA SEÇÃO
24

D 2
D 1
θ
Valores de k segundo King
h p = k
v ²1
2 g
θ D2 / D1
1,1 1,2 ... 2,5 3 >3
5º 0,01 0,02 ... 0,04 0,04 0,05
10º 0,03 0,04 ... 0,08 0,08 0,08
60º 0,23 0,37 ... 0,70 0,71 0,72
2.10.6. PERDAS EM DERIVAÇÕES
k = 0 , 5 k = 1 - 1 , 2 k = 1 , 5 - 1 , 8
k = 3 k = 0 , 0 5 k = 0 , 1 0 k = 0 ,1 5
2.10.7. PERDAS EM CURVAS
Tabela pág.241
Relação entre o raio de Curvatura e o
Diâmetro
1
11
2
12
3
13
. . . .
. . . .
9
19
10
20
K 0,49 0,35 0,28 . . . . 0,31 0,32
25

0,35 0,37 0,38 . . . . 0,43 0,43
Para curvas diferentes de 90o
:
Grau da Curva 22º30’ 45º . . . . 150º
K / k90º 0,50 0,75 . . . . 1,23
2.10.8. PERDAS EM REGISTROS E VÁLVULAS
pág. 241 e 242
2.10.9. OUTROS VALORES DE k
pág. 242
2.10.10. CÁLCULO DAS PERDAS ACIDENTAIS PELOS COMPRIMENTOS
EQUIVALENTES DE CANALIZAÇÃO
Usando este sistema, considera-se o comprimento virtual da canalização,
adicionando ao seu comprimento real os comprimentos equivalentes as peças que
causam as perdas acidentais.
Tabela pág. 243 a 245.
3. CÁLCULO DOS CONDUTOS SOB PRESSÃO
3.1. CONDUTOS SIMPLES – PROBLEMAS FUNDAMENTAIS
Um conduto simples é quando possui diâmetro constante e não apresenta
derivações, isto é, transporta até a extremidade o volume d'água que recebeu a
entrada; diz-se que a vazão é virgem.
Os problemas sobre os cálculos dos condutos simples se reduzem a aplicação das
fórmulas de perda de carga: Darcy, H-W, Flamant, etc.
De acordo com as grandezas conhecidas e desconhecidas, pode se apresentar os
seguintes problemas:
DADOS CALCULAR
Q , D V , J
Q , V D , J
D , V Q , J
J , Q D , V
J , D Q , V
26

3.2. CONDUTOS EQUIVALENTES
Dois ou mais condutos, ou sistema de condutos, são equivalentes quando fornecem
a mesma descarga sob a mesma perda de carga.
Dois condutos simples são equivalentes quando:
h p = k L = k L1 2
Q ²
D 1
5
Q ²
D 2
5
A condição de equivalência é:
L 1
L 2
D 1
5
D 2
5
= L 2 = L 1
D 1
D 2
5
ou utilizando Hazen - Williams :
L 1
L 2
D 1
4 , 8 7
D 2
4 ,8 7
= L 2 = L 1
D 1
D 2
4 , 8 7
Tabela pág.266
Relação de Equivalência
D (0,2/D)5
(0,2/D)4,87
0,10 32 29,2
0,20 1 1
0,30 0,133 0,139
Exemplo:
Na tabela anterior temos:
* 1 metro de conduto de 0,10 m de diâmetro que equivale a 32 m de conduto de
0,20 m de diâmetro
ou seja :
1 m ( D = 0,10 m ) = 32 m ( D = 0,20 m )
1 m ( D = 0,30 m ) = 0,133 m ( D = 0,20 m )
∅ 0,20 m
Ex : 100 m D = 0,10 m 100 * 32 = 3200,0
200 m D = 0,20 m 200 * 1 = 200,0
400 m D = 0,30 m 400 * 0,133 = 53,2
3.3. CONDUTOS MISTOS OU EM SERIES
27

Diz-se que uma canalização é mista ou em serie quando constituída por diversos
trechos de diâmetros diferentes, porem constante em cada trecho. A vazão que
percorre todos os condutos é a mesma, e a perda de carga total é igual a soma de
todas as perdas que neles ocorrem.
Existe a perda de carga acidentais ou secundarias que seria hp1 (perda na redução
de seção) e hp2 (perda no aumento de seção) que são usualmente desprezadas.
A perda total independe da ordem de seqüência dos diâmetros dos diversos
condutos.
hp total = hp1 + hp2 + hp3
hp total = k Q2
l1/ D1
5
+ k Q2
l2/ D2
5
+ k Q2
l3/ D3
5
(1)
Para substituir um sistema de condutos por um conduto simples equivalente, o
diâmetro "D" e o comprimento "L" deste conduto devem ser tais que a sua vazão e a
perda de carga sejam iguais as do sistema, isto é:
hp = k Q2
L / D5
( 2 )
Comparando (1) e (2), e admitindo que os coeficientes sejam iguais para todos os
diâmetros, obtém-se a relação:
L/D5
= l1/ D1
5
+ l2 / D2
5
+ l3/ D3
5
( 3 )
Através da qual se pode calcular o diâmetro do conduto equivalente conhecendo o
comprimento "L" do seu percurso, e o vice-versa.
É valida esta relação para H-W.
V ²1
2 g
V ²2
2 g
V ²3
2 g
h p 1
h p 2
h p 3
L E
L P
L 1
D 1
L 2
D 2
L 3
D 3
P R
28

hp = hp1 + hp2 + hp3
3.4. CONDUTOS EM PARALELO
Os condutos em paralelo, complexos ou múltiplos, são constituídos por diversas
canalizações que tem os mesmo ponto inicial e final, de modo que a vazão que
recebem no primeiro se reparte pelos diversos condutos do feixe e é por eles
conduzidos ate o segundo.
Q
L D Q 11 1
L D Q 22 2
L D Q 33 3
P A
γ
A B
P B
γ
h p = h + h + h 31 2
Q
O problema do condutos em paralelo pode ser resolvido com o auxilio da equação
da continuidade, a qual da:
Q = Q1+ Q2+ Q3 ( 4 )
e das equações que exprimem as perdas de cargas totais entre os pontos extremos
do sistema, as quais são as mesmas em quaisquer dos condutos que os constituem,
pois as cotas piezométricas desses pontos são comuns a todos eles.
hp1 = J1* l1
hp2 = J2* l2
hp3 = J3* l3 k1 Q1
2
l = k Q2
2
l2 = k Q3
2
l3
-
3
NA PRÁTICA
Problemas que freqüentemente aparecem:
a ) Substituição dos diversos condutos em paralelo por um único a eles
equivalentes no qual, evidentemente,
29

hp = k Q2
L / D5
(6)
Q = Q1 + Q2 + Q3
( D5
/ L)1/2
= ( D5
/ l1)1/2
+ ( D5
/ l2) + ( D5
/ l3)1/2
(7)
* Se L = l1 = l2 = l3 tem-se:
( D )5
= ( D1
5
)1/2
+ ( D2
5
) 1/2
+ ( D3
5
)1/2
(8)
* Se todos os condutos tem o mesmo diâmetro (D):
( D5
)1/2
= n ( D1
5
)1/2
D = n2/5
D1 (9)
Ex : n = 3
D1 = 0,50 m
D1 = 32/5
* 0,50 D = 0,77 m
b ) Determinação das vazões nos diferentes condutos, em função do D e da Q total
do sistema.
- Arbitrando uma perda de carga "Y" entre os pontos A e B, as vazões q1, q2 e q3 em
cada um dos condutos serão:
q1 = k ( y/l1)1/2
( D1
5
)1/2
J = δ Q2
q2 = k ( y/l2)1/2
( D2
5
)1/2
Q = (1/k)1/2
(D5
)1/2
(hp/l)1/2
q3 = k ( y/l3)1/2
( D3
5
)1/2 K
y
( 10 )
e a Vazão Total do sistema para perda de carga y:
q = q1 + q2 + q3 (11)
Dividindo essa vazão fictícia "q" pela vazão real,
Q = Q1 + Q2 + Q3 :
q / Q = q1 + q2 + q3 / Q1 + Q2 + Q3 = q1 / Q1 + q2 / Q2 + q3 / Q3
e finalmente:
Q1 = q1 * Q / q
Q2 = q2 * Q / q
Q3 = q3 * Q / q (12)
Relações pelas quais se determinam as vazões nos diversos condutos, em
função da Vazão Total Real e as Vazões Auxiliares "q".
3.5. DISTRIBUIÇÃO EM PERCURSO
Quando um conduto faz parte de um sistema de distribuição, os ramais que dele
partem, estão geralmente implantado de modo irregular ao longo do seu percurso, e
o cálculo do diâmetro do conduto-tronco é complicado.
30

É geralmente impossível solução exata; na PRÁTICA costuma se fazer o cálculo
admitindo que, em vez de feitas pelas laterais, a descarga é feita uniformemente ao
longo do conduto principal, como se nele houvesse uma fenda longitudinal.
Seja um conduto AB, de comprimento L, que recebe uma vazão Q e fornece, na
extremidade, uma vazão Qe, distribuindo ao longo do seu percurso uma vazão
Qo-Qe; supondo que a distribuição seja uniforme, chamando q → vazão distribuída
por metro de conduto (l/sm)
Qo = Qe + q l ( 13 )
A vazão numa seção M de conduto, a distância X da extremidade da jusante, sera:
Qx = Qe + q x ( 14 )
L P
P R
P C D
h p
P
γ
M
X
L
Q E
A
B
A perda de carga em todo conduto AB, será :
hp=k Q2
l / D5
, mas sendo sua descarga variável de uma seção para outro; fica hp =
∫0
l
k Q2
l / D Qx = Qe + q x
Substituindo Qe e integrando:
hp = ∫ k (Qe+qx)2
/ D5
dx = K/D5
(Qe2
l + q2
l3
/3 + Qe q l2
) (15)
[Qe2
dx + 2 Qe qx dx + q2
x2
dx ]
[Qe2
x 2 Qe q x2
/2 q2
x3
/3 ] Variando de l a 0
A expressão (15) mostra que a perda de carga, no caso, é uma função do terceiro
grau do comprimento do conduto e que a linha piezométrica é uma parábola do
terceiro grau.
31

Quando a vazão da extremidade (Qe) é nula isto é, toda contribuição Qo é
consumida em percurso (Qo=ql), a perda de carga é igual a terça parte do que
ocorreria se toda contribuição fosse transportada até a extremidade de jusante.
hp = k / D5
(q2
l3
/3) → hp = 1/3 k Qo2
/ D5
l (16)
Na PRÁTICA, para facilitar os cálculos recorre-se ao seguinte artifício, admitindo-se
que o conduto seja percorrido, em toda extensão, por uma Vazão fictícia (Q fictícia),
que produz a mesma perda de carga que a verificada na distribuição de percurso.
Colocando l em evidencia na expressão (15), tem-se:
hp = k / D5
( Qe2
+ Qe q l + q2
l2
/3 ) l
Q fictício este valor pode ser determinado, tomando as expressões:
(Qe + 1/2 ql) = (Qe2
+ qlQe + 1/4 q2
l2
) É um pouco menor que Q fictícia
(Qe + 1/√3 q ) = (Qe2
+ 2/√3 Qeql + q2
l2
/3) É um pouco maior que Q fictícia
1/2 = 0,5
1/√3 = 0,575 > 0,55 Q fictício = Qe + 0,55ql
Pode-se usar uma expressão ainda mais simples, pois existe muitos elementos
em jogo e a precisão é desnecessária no cálculo:
Q fictícia = Qe + 0,55ql (17)
Q fictícia = Qe + 0,55 (Qo + Qe)
Q fictícia = Qe + 0,55Qo - 0,5Qe
Q fictícia = 0,5Qe + 0,5Qo
Q fictício =
2
QeQo +
( 18 )
Isto é, pode-se supor que a vazão fictícia seja igual a media das vazões de montante
e jusante da canalização.
OBS: O artifício utilizado é muito usado no cálculo da rede de distribuição urbana.
EXEMPLO:
32

q = 0 , 0 2 l/ s . m
4 l/ s
2 l/ s
3 l/ s
l = 2 0 0 m
l = 2 0 0 m
l = 3 0 0 m
3.6. PRESSÕES ABSOLUTAS E PRESSÕES EFETIVAS
* Diversas posições do conduto em relação a linha piezométric
N A
N A
P a t m = 1 0 , 3 3 m
γ
A
B
P C A
L P A
P C E
L P E
Q
P
O
N
M
H = h p
33

PCA - Plano de Carga Absoluto
LPA - Linha Piezométrica Absoluta
PCE - Plano de Carga Efetivo
LPE - Linha Piezométrico Efetivo ou Linha da Pressão Efetiva
CONSIDERAÇÕES
1a
Posição) Canalizações assentadas abaixo da LPE em toda sua extensão
MQ - Carga Estática Absoluta (CAE)
MP - Carga Dinâmica Absoluta (CDA)
MO - Carga Estática Efetiva (CEE)
MN - Carga Dinâmica Efetiva (CDE)
* pressões positivas ( maior que a atmosfera )
2a
Posição) Canalizações coincide com LPE
* Todas os pontos estão a pressão atmosfera, ou seja CDE = Diâmetro
* É o caso dos chamados condutos livres, esses condutos são chamados
CANAIS. * Pressões positivas
3a
Posição) A canalização passa acima da LPE, porem abaixo da LPA e do PCE
* Pressões negativas
a r s o b p r e s s ã o
34

N A
N A
A
B
L P A
P C E
L P E
h pP
h p 2
h p 2
* Problema : Bolhas na tubulação
PS1: Para solucionar esse problema, opto para instalação com 2 ( dois ) diâmetros e
com caixa de passagem.
1o
) Maior
2º) Menor (inclinação grande)
Nos trechos AP e PB. Com J1 ≠ J2 obtendo a mesma Vazão (Q)
PS2: Colocação de ventosa para extrair o ar da parte superior da canalização
C P
v e n t o s a
4a
Posição) A canalização corta LPA, mas fica abaixo do PCE.
* Uso também como solução do problema caixa de passagem.
5a
Posição) A canalização corta a LPE e o PCE mais fica abaixo da LPA. Trata-se de
um Sifão!
* São os condutos que parte da canalização se encontram acima do nivel do
reservatório que o alimenta, de modo que o líquido é elevado acima daquele
nível e depois descarregado em ponto mais baixo que o mesmo.
OBS: Uma vez escorvado o sifão, a pressão atmosférica faz o líquido subir no ramo
ascendente, e se estabelece um regime permanente de escoamento.
35

Exemplo: tirar gasolina de um carro.
P C A
P C E
L P A
L P E
6a
Posição) A canalização acima do PCE e da LPA mais abaixo do PCA.
7a
Posição) A canalização corta o PCA.
"BOMBEAMENTO"
3.7. PRESSÕES POTÊNCIA DE UMA INSTALAÇÃO DE RECALQUE -
DIÂMETRO ECONÔMICO DE CANALIZAÇÃO
Um conduto de recalque leva água de um ponto a outro de cota mais elevada,
graças a energia que lhe é comunicada por uma bomba.
De acordo com o principio de conservação de energia, pode se escrever:
36

- + - =
E levando em conta que a equação de BERNOULLI representa a energia do
líquido por unidade de peso;
Hm = ALTURA MANOMÉTRICA ( hs + hr ) = H +
∑ hp
∑ hp = h' + h''
Resolvendo o balanco de energia:
z1 - h' + Hm - h'' = z2
Hm = ( z2 -z1 ) + ( h' + h'')
Hm = H +Σ hp →Energia por unidade de peso
 Energia Adicionada
A potencia da bomba será; sendo ηb o seu rendimento:
NB = ρ Q Hm / 75 η (CV)
e a potencia do motor que a aciona Nm =Nb /ηu,a potência da instalação sera:
N = ρ Q Hm / 75 η (CV)
Sendo η o rendimento complexivo do grupo motor bomba
η = ηm * ηb
37
ENERGIA
DO
RESERVA-
TÓRIO R1
ENERGIA
PERDIDA
NA
CANALIZA-
ÇÃO DE
SUCÇÃO
ENERGIA
ADICIONA-
DA PELA
BOMBA
ENERGIA
PERDIDA
NA
CANALIZA-
ÇÃO DE
RECAL-
QUE
ENERGIA
DO
RESERVA-
TÓRIO R2

PS: O rendimento da bomba varia de 50 a 80% e dos motores de 70 a 90% sendo
menor nas menores potências.
DIÂMETRO ECONÔMICO: É aquele que torna mínimo o custo de instalação; se for
usado um diâmetro pequeno. ↑ hp ↓ Custo de Canalização ↑ Potencia ∴ ↑ Custo
C U S T O
D I Â M E T R OD I Â M E T R O
E C O N Ô M I C O
C U S T O D E
M A Q U I N Á R I A
C U S T O D E IN S T A L A Ç Ã O
C U S T O D E
C A N A L I Z A Ç Ã O
- "C" a despesa anual de um conduto com 1 m de diâmetro e 1 m de
comprimento, incluindo perda de amortização e conservação.
- "C1" o custo anual de operação da maquinaria, por CV, também incluindo as
despesas de amortização e manutenção
- D; l; Hm; Q e N → Conhecidas
O custo total da instalação será:
C = C1 N + C D l onde
N = ρ Q Hm / 75 η = ρ Q (H + Jl)/75 η = ρ Q (H + kQ2
/D5
l )/75 η

JL = hp = k Q2
/D5
l
Condição do mínimo custo: dC/dD = 0
Isto é,
dC/dD = C1d/dD [ρQ/75η (H+kQ2
/D5
l )] + d/dD (CDL) = 0
dC/dD = C1 ρQ/75η k l Q2
(-5/D6
) + Cl = 0 Derivando
Isolando valor de D;
QkDQ
C
Ck
D ×=→××
×
××
= 1
6
75
5
η
γ
38

FÓRMULA DE BRESSE: QkD ×=
K ≅ 1,3 a 1,7
freqüentemente se obtém:
QD ×= 5,1 (Tab. pág.280) A velocidade da água para o coeficiente K =1,5 é
igual a 0,564 m/s, assim:
V = Q/A = 4 Q /∏ D2 QkD ×=
V = 4 Q /∏ QkD ×= → Q /∏ K2
Q →V = 4 / ∏ K2
V = 1,27324 / K2
K V (m/s)
1,00 1,27
0,20 0,88
1,40 0,65
3.8. CONDUTOS ALIMENTADOS POR AMBAS AS EXTREMIDADES
RESERVATÓRIO DE COMPENSAÇÃO
Seja um conduto de diâmetro constante que liga os reservatório R1 e R2, cujos
níveis tem diferença de cota h.
Se ao longo do conduto não existe solicitação, a linha piezométrica é a reta
MN.
39

P C D
P C E
P R
Z 1
Z 2
A
B
C
q
Q 1
L 1
L 2
M
N
X
Z c
h
Linha Piezométrica MN
q = 0 → J = h / l1 + l2
( )
h
llQk
D 21
2
+××
=
21
5
ll
hD
kQ
+
×
×=
Linha Piezométrica = MON
q ≠ 0 → X < h
Q1 = q + Q2
40

P C D
P C E
P R
Z 1
Z 2
A
B
C
q
Q 1
L 1
L 2
M
N
X
Z c
h
E
P
Linha Piezométrica = MEN
q ≠ 0 → X = h
Q1 = q ( Q2 = 0 ) 5
1 Dl
h
kQ
×
×=
Linha Piezométrica = MPN
X > h
q = Q1 + Q2
q = k √D5
[(z1-y)1/2
/l1 + (z2-y)1/2
/l2 ]
y = zc - y
Onde: zc + C Q2 = y
Linha Piezométrica = MCN
q ≠ 0 → X = z1 - zc
qmax= k √ D5
[( z1-zc)1/2
/ l1 + (z2-zc)1/2
/l2]
Pc = Nula; atua a pressão atmosférica.
3.9. PROBLEMA DE BELANGER OU DOS TRÊS RESERVATÓRIOS
O problema de Belanger ou dos três reservatórios consiste em, dados três
reservatórios cujos os níveis se encontram em cotas conhecidas, determinar as
41

condições do escoamento dos condutos que os ligam. Essas condições são
dependentes da cota piezométrica (z + P/γ) do ponto de bifurcação das canalizações.
P C E
P R
R 1
R 2
R 3Z
L 1
D 1
Q 1
L 2 D 2 Q 2
L3
D3
Q
3 Z 3
C
X
Z 2
Z 1
h 2
h 3
P c
γ
1.º Caso: (z + Pc/γ) > z2 ou x < h2
Q1 = Q2 + Q3
R 1
R 2
R 3
Q 1
Q 2
Q 3
2.º Caso: (z +Pc/γ) < z2 ou x > h2
Q1 + Q2 = Q3
42

R 1
R 2
R 3
Q 1
Q 2
Q 3
OBS: Só muda o sentido da vazão ( Q2 ).
3.º Caso: (z + Pc/γ ) = Z2 ou x = h2
Q2 = 0 e Q1 = Q3
P C E
P R
R 1
R 2
R 3Z
Z 3
C
X
Z 2
Z 1
h 2
h 3
P c
γ
R 1
R 2
R 3
Q 1
Q 2 = 0
Q 3
43

As condições do movimento dependem como é evidente, alem das cotas dos
níveis dos reservatório se do ponto de bifurcação, dos diâmetros e dos
comprimentos das canalizações e, segundo os elementos conhecidos, o problema
se apresenta sob dois aspectos:
a ) PROBLEMA DIRETO
Dados: z1, Z2, Z3 e z
l1, l2, l3
D1, D2, D3
CALCULAR : Q1, Q2, Q3
X (Perda de Carga)
b ) PROBLEMA INVERSO
Dados: z1, z2, z3 e z
Q1, Q2, Q3
l1, l2, l3
CALCULAR : D1, D2, D3
X ( Perda de carga )
Para a solução desses problemas, dispomos das seguintes equações
1a
) Equação da perda de carga no trecho R1C
X = z1 - (z + Pc/γ ) = k Q1
2
/ D1
5
l1 = δ Q1
2
l1
2a
) Equação da perda de carga no trecho CR2
h2 - X = (z + Pc/γ ) - z2 = k Q2
2
/ D2
5
l2 = δQ2
2
l2
3a
) Equação da perda de carga no trecho CR3
h3 - X = (z + Pc/γ ) - z3 = k Q3
2
/ D3
2
l3 = δ Q3
2
l3
CASO DIRETO:
4a
) Equação: Q1 = Q2 + Q3
* Procedimento por tentativas
- isolando as vazões em função da perda X;
11
1
δ×
=
l
X
Q
22
2
2
δ×
−
=
l
Xh
Q
33
3
3
δ×
−
=
l
Xh
Q (I)
Q1 = Q2 + Q3 ( 2 ) ∴ substituindo (1) em (2):
44

XhCXhBXA −×+−×=× 32
A, B e C → são valores conhecidos
ou
Usando DARCY temos, ( pág. 216 )
( x/δ1)1/2
= (h2-x/δ2)1/2
+ (h3-x/δ3)1/2
Obs: Para saber se estou no caso 1o
, 2o
ou 3o
é considerado
Q2 = 0 ou X = h2
Quando não haveria escoamento no trecho CR2; Para essa hipótese teremos:
Q1 e Q3 → Calculado
E se :
Q1 > Q3 → (1º Caso) R abastece R e R
Q1 < Q3 → (2o
Caso) R1 e R2 abastece R3
Q1 = Q3 → não ha vazão no trecho CR2
* Não é garantido que caia sempre no 1o
Caso. Tem-se que verificar as
condições:
x < h2 → recebe água de R1 e R2 o R3
x > h2 → a relação dos valores encontrados para x = h2
Q1 = Q2 + Q3 → fica absurdo chegar a essa relação
PROBLEMA INVERSO
- Devem ser determinados os valores dos diâmetros
X
lQk
D 1
2
1
1
××
=
Xh
lQk
D
−
××
=
2
2
2
2
2
Xh
lQk
D
−
××
=
3
3
2
3
3
A 4a
Equação pode ser obtida através do custo mínimo da instalação.
C = c l1 D1 + c l2 D2 + c l3 D3 e,
Como condição de custo mínimo:
dC/dx = cl1dD1/dx + cl2dD2/dx + cl3dD3/dx = 0
* Derivando e substituindo alguns termos, temos:
ou
Q
D
Q
D
Q
D
2
3
6
3
2
2
6
2
2
1
6
1
+=
45

D
1/ J
1 = D
2 / J
2 + D
3 / J
3
Exprimindo D1 , D2 e D3; da equacao ( 1 ):
D1 = k1/5
Q1
2/5
l1
1/5
/ x1/5
; J1 = x / l1
( ) ( ) 5/6
3
5/6
3
5/2
3
5/6
2
5/6
2
5/2
2
5/6
5/6
1
5/2
1
Xh
lQ
Xh
lQ
X
lQ
−
×
+
−
×
=
×
(2)
* No qual o único valor desconhecido é x, que pode ser determinado por
tentativas.
46

4. EXERCÍCIOS APLICATIVOS
4.1. Uma tubulação nova de aço com 10 cm de diâmetro conduz 757 m3
/dia de óleo
combustível pesado a Temperatura de 33 o
C (v = 0,77x10-4
m2
/s) Determinar o
regime de escoamento.
4.2. Qual o regime que existe num conduto de 300 mm de diâmetro quando nele
escoa:
a) água a 15oC
b) petróleo : sendo 2 m/s a velocidade do movimento. Determinar a velocidade
critica num e noutro caso.
Sendo:
água a 15o
C : υ = 1,146 x 10-6
m2
/s.
petróleo : υ = 3,83 x 10-4
m2
/s.
4.3. Calcular a perda de carga num conduto de aço, com 300 mm de diâmetro e
1.500 m de comprimento, que transporta 45 l/s de um óleo de densidade 0,85 e
coeficiente de viscosidade dinâmica 0,0105 Kgf.s/m2
.
4.4. Determinar a perda de carga num conduto de aço soldado liso (e = 0,1 mm),
com 250 mm de diâmetro e 1.000 m de comprimento, quando nele escoa 75 l/s.
a) água a 15o
C
b) de gasolina υ = 0,07 x 10-4
m2
/s.
Empregar o diagrama de MOODY
4.5. Calcular a descarga numa canalização de aço rebitado (e = 3mm), com 300 mm
de diâmetro, sendo a perda de carga de 7,20 m em 600 m. O líquido que escoa é
água e a temperatura é de 15o
C.
4.6. Calcular o volume d' água que pode ser obtido diariamente com uma adutora de
fo
fo
, com 200 mm de diâmetro e 3200 m de comprimento, alimentada por um
reservatório cujo nível esta na cota 58,00. O conduto descarrega no ar e a sua
extremidade esta na cota 10,00.
4.7. Um conduto de fo
fo
com 0,30 m de diâmetro, a pressão no ponto A é de 2,6
Kgf/cm2
e no ponto B, 1.500 m adiante e 1,50 m acima de A, é de 2.0 Kgf/cm2
.
Calcular a descarga da canalização. Obs: aplicar a fórmula de Darcy e H-W.
4.8. Qual a perda de carga em 1.500 m de tubulação de 300 mm de diâmetro, de
concreto, com revestimento de argamassa em condições medias (C=120), escoando
85 l/s.
4.9. Que diâmetro deve ter uma tubulação de concreto (C=120) para transportar 425
l/s com a perda de carga quilométrica de 3,0 m.
47

4.10. Uma canalização de cimento amianto (C=140), com 400 mm de diâmetro, é
alimentada por um reservatório cujo o nível esta na cota 130. Calcular a pressão no
ponto de cota 90, a 1.800 m do reservatório, para a vazão de 80 l/s.
4.11. Uma canalização de fo
fo
de 800 m de comprimento e 0.30m de diâmetro esta
descarregando em um reservatório 60 l/s. Calcular a diferença de nível entre a
represa e o reservatório considerando todas as perdas de carga
RR
4.12. Analisar as perdas localizadas no ramal de 3/4 de polegadas que abastece o
chuveiro de uma instalação predial.
1
3
2
4 5
6
7
8
9
0 , 3 5
1 , 1 0
1 , 6 5
1 , 5 0
0 , 5 0
1 1 /2 “
3 / 4 “
4.13. O projeto de uma linha adutora ligando dois reservatórios previa uma vazão de
250 l/s. A adutora, medindo 1.400 m de comprimento, foi executada em tubos de
concreto (C=120), com diâmetro de 600 m coloca da em funcionamento, verificou-se
que a vazão era de 180 l/s devido a alguma obstrução deixada em seu interior por
ocasião da construção. Calcular a perda de carga provocada pela obstrução.
48

4.14. Um sifão de fo
fo
com 300 m de comprimento de 150 mm de diâmetro tema
extremidade de descarga a 6 m abaixo do nível do reservatório de onde extrai a
água. Calcular a descarga e a pressão do ponto mais alto do sifão, que esta 2 m
acima do nível da água e 100 m da entrada do sifão.
4.15. Uma canalização de 250 mm de diâmetro tem 360 m. Determinar o
comprimento de uma canalização equivalente de 200 mm de diâmetro.
4.16. Um conduto misto é constituído por dois trechos, um com 350 mm de diâmetro
e 800 m de comprimento e outro com 200 mm e 500 m. substituir este conduto por
outro de diâmetro uniforme, ligando os pontos extremos que, em linha reta distante
1.200 m.
4.17. O sistema em paralelo representado na figura é atravessado pela vazão de
140 l/s.
a ) Calcular a vazão de cada conduto.
b ) Calcular a perda de carga no trecho AB.
c ) Calcular o diâmetro do conduto que substitui o sistema, tendo ele o percurso
L2.
4.18. Calcular as pressões nos e esboçar a linha piezométrica, empregar as tabelas
das fórmulas de Darcy (ferro fundido em uso)
5 5 ,0 0
2 0 0 M
1 7 5 M
1 5 0 M
1 2 5 M
4 0 , 0 0
3 4 , 0 0
2 2 , 0 0
1 8 ,0 0
6 l/ s
4 l/ s
7 l/ s
9 l/s
p la n o d e r e fe r ê n c ia
trechos comprimento
s
vazões
(l/s)
diâmetros
(m)
velocidad
e
perdas de carga cotas
piezométricas
cotas
do
carga
acima
49

(m) (m/s) terreno
a
jusante
do
terreno
unitária no
trecho
montant
e
jusante
4.19. Determinar o diâmetro constante de um conduto retilíneo "AB", do qual se
derivam vazões de 25 e 30 l/s em "C" e "D", respectivamente; do ponto "D" ao "B" a
pressão deve ser de 1,5 Kg/cm2
. O material da canalização é ferro fundido (em uso).
Empregar a fórmula de Darcy.
2 0 m
3 0 m
2 0 m
2 5 l/s
5 0 l/s
2 0 mA
C
D
B
4.20.
h
A B
Q A = 3 5 l/ s
Q B = 5 0 l/ s
l1 = 3 0 0 m
D 1 = 2 2 5 m m
l3 = 2 5 0 m
D 3 = 1 5 0 m m
l2 = 1 5 0 m
D 2 = 1 2 5 m m
l4 = 1 0 0 m
D 4 = 1 7 5 m m
4.21.
50

h
l1 = 1 5 0 m
D 1 = 1 5 0 m m
l2 = 2 0 0 m
D 2 = 2 0 0 m m
l3 = 3 0 0 m
D 3 = 2 5 0 m m
a) Calcular a vazão em cada conduto do sistema acima para H = 8,00 m
b) Calcular "H" se a vazão total é de 200 l/s
( Q1 + Q2 = Q3 = 200 l/s )
4.22. Um sifão de fo
fo
com 300 m de comprimento de 150 mm de diâmetro tema
extremidade de descarga a 6 m abaixo do nível do reservatório de onde extrai a
água. Calcular a descarga e a pressão do ponto mais alto do sifão, que esta 2 m
acima do nível da água e 100 m da entrada do sifão.
4.23. Determinar o diâmetro de uma adutora de recalque com extensão de 2.200 m
destinado a conduzir a vazão de 45 l/s vencendo um desnível de 51 m, admitindo
que a tubulação seja de fofo e que o coeficiente (C=100) da fórmula de HW. O
funcionamento da adutora será 24 h/dia.
4.24. Para o abastecimento d'água de uma cidade, nas horas de maior consumo
são necessário 50 l/s, que são fornecido por um reservatório R1 através de uma
adutora de 250 mm de diâmetro e 2.800 m de comprimento, com uma pressão de
14 m no ponto B, onde começa a rede de distribuição.
Para atender o crescimento da cidade, quando a solicitação máxima chegar a 74
l/s, foi prevista a construção de um reservatório de compensação de 800 m3
de
capacidade com o nível na cota 83,50 a 1.200 m de B.
a ) Calcular o diâmetro da canalização R2-B, para que o reservatório R2
forneça 24 l/s mantendo-se a pressão de 14 m em B.
b ) Verificar se R2 pode ser enchido em 8 horas, durante a noite, quando a
solicitação em B e praticamente nula.
c ) Calcular ate que instante o reservatório R2 recebe água de R1.
4.25. O nível d'água no reservatório A esta 6 m acima de B. uma canalização
de 150 mm de diâmetro e de 270 m de extensão, oriunda de A entronca-se num
certo ponto, com outra de 100 mm, de 150 m de extensão oriunda de B, e ambas
alimentam uma canalização de 200 mm de diâmetro 120m de comprimento. Achar
51

a diferença de nível entre o ponto em que esta canalização cuja a descarga é de
42,5 l/s, descarrega livremente no ar e o nível d'água no reservatório A.
4.26. Três reservatórios estão ligados de acordo com a figura. Calcular Q1, Q2 e
Q3.
R 1
R 2
R 3
L 1 = 1 0 0 M
L 2 = 2 0 0 M
L 3 = 6 0 0 M
1 2 0
1 1 8
1 1 4
6 , 0 M
2 , 0 M
D 1 = D 2 = D 3 = 3 0 0 M M
4.27. Caso Indireto ( Inverso )
R 1
R 2
R 3
6 0
5 2
3 8
2 2 , 0 m
8 , 0 m
L 1
L 3
L 2
L 1 = 3 0 0 m
L 2 = 2 0 0 m
L 3 = 5 0 0 m
Q 1 = 1 2 0 l/s
Q 2 = 5 0 l/ s
Q 3 = 2 0 l/ s
4.28. Calcular Q1, Q2, Q3, Q4 e D4. sabendo-se que a pressão é de 1,5 kgf/cm2
em
B.
52

R 1
R 2
R 3
R 4
6 0
9 0
1 0 0
7 0
5 0
B
D 1 = 0 , 4 m
l1 = 1 0 0 0 m
D 2 = 0 , 3 m
l2 = 2 0 0 0 m
D 3 = 0 , 3 5 m
l3 = 1 0 0 0 m
D 4 =
l4 = 1 k m
53

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