5. 1 INTRODUCTION
L’analyse math´matique est l’´tude approfondie du calcul diff´rentiel et
e e e
int´gral. Ce cours porte sur le calcul int´gral. Il se divise en trois parties. La
e e
premi`re pr´sente la d´finition et les propri´t´s de l’int´grale d’une fonction
e e e ee e
continue d’une variable r´elle. La seconde utilise cet outil pour introduire
e
les fonctions analytiques ´l´mentaires (les fonctions logarithmique, exponen-
ee
tielle, trigonom´triques directes et inverses, eul´riennes). La derni`re, enfin,
e e e
porte sur la repr´sentation de ces fonctions par des s´ries de Taylor et des
e e
s´ries de Fourier.
e
Il s’agit d’un cours de math´matique formel, avec des d´monstrations
e e
rigoureuses et compl`tes de tous les th´or`mes pr´sent´s. Les exercices pro-
e e e e e
pos´s sont de mˆme nature et exigent de l’´tudiant qu’il en compose des
e e e
solutions rigoureuses et compl`tes. Ce cours est un deuxi`me cours d’ana-
e e
lyse et suppose que l’´tudiant connaˆ d´j` les propri´t´s des fonctions conti-
e ıt e a ee
nues ainsi que celles des fonctions d´rivables. Rappelons quelques-unes de
e
ces propri´t´s.
ee
On note [a, b] un intervalle compact (c’est-`-dire ferm´ born´),
a e e
[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b},
]a, b[ un intervalle ouvert,
]a, b[= {x | a < x < b}
et (a, b) un intervalle quelconque. (Ces notations pr´sument que a ≤ b). Un
e
intervalle compact peut ˆtre caract´ris´ par la propri´t´ suivante :
e e e ee
• Toute suite {xn }n≥1 de points de [a, b] contient une suite partielle {xnk }k≥1
qui converge vers un point de [a, b] (th´or`me de Bolzano-Weierstrass).
e e
Soit f : (a, b) → R une fonction. Elle est dite continue sur (a, b) si elle
est continue en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire si en chaque point x0
a
de (a, b),
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Un fonction continue jouit des propri´t´s suivantes :
ee
• L’image d’un intervalle quelconque par une fonction continue est un in-
tervalle (propri´t´ des valeurs interm´diaires).
ee e
• L’image d’un intervalle compact par une fonction continue est un intervalle
compact (propri´t´ des valeurs extrˆmes).
ee e
4
6. Une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle y
admet une fonction inverse f −1 qui est elle aussi continue et strictement
monotone.
Exemple.
Si n ∈ N, la fonction x → x1/n est d´finie et continue pour x ≥ 0 si n est
e
pair et pour tout x si n est impair.
La fonction f : (a, b) → R est dite d´rivable sur (a, b) si elle est d´rivable
e e
en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire si en chaque point x0 de (a, b), la
a
limite suivante
f (x) − f (x0 )
lim
x→x0 x − x0
existe. On ´crit alors
e
f (x) − f (x0 )
f (x0 ) = lim .
x→x0 x − x0
La fonction f est dite continˆ ment d´rivable si sa d´riv´e f est continue.
u e e e
Le th´or`me fondamental du calcul diff´rentiel est le th´or`me des ac-
e e e e e
croissements finis (quelquefois appel´ th´or`me de la moyenne ou encore
e e e
th´or`me de Rolle lorsque f (a) = f (b) = 0) :
e e
• Si f : [a, b] → R est continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[, il existe un
e
nombre c ∈]a, b[ tel que
f (b) − f (a) = f (c)(b − a).
L’inverse d’une fonction d´rivable est d´rivable aux points y correspon-
e e
dant aux points x o` f (x) = 0 (y = f (x) et x = f −1 (y)) et alors
u
1
f −1 (y) = .
f (x)
Exemple.
Un polynˆme de degr´ n,
o e
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ,
est d´rivable sur tout l’axe r´el et
e e
Pn (x) = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 .
Une fonction rationnelle,
Pn (x)
R(x) = ,
Qm (x)
5
7. est d´rivable aux points o` elle est d´finie (c’est-`-dire aux points o` le
e u e a u
d´nominateur Qm (x) ne s’annule pas) et
e
Pn (x)Qm (x) − Pn (x)Qm (x)
R (x) = .
Q2 (x)
m
Si p ∈ Q,
d p
x = p xp−1 , x > 0.
dx
1.1 Exercices 1
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
1. V´rifier que la suite de points de [−1, 1] d´finie par
e e
1 + (−1)n n
xn =
1+n
ne converge pas. En exhiber une suite partielle convergente.
2. Montrer qu’une fonction continue sur un intervalle ferm´ peut toujours
e
ˆtre prolong´e ` une fonction continue sur R tout entier. Cela reste-t-il
e e a
vrai pour un intervalle quelconque ?
3. Donner un exemple d’une fonction continue sur un intervalle ferm´ qui
e
n’y est pas born´e ou qui n’y atteint pas ses bornes. Mˆme question
e e
pour un intervalle born´.
e
4. Montrer qu’une fonction d´rivable sur un intervalle ferm´ peut toujours
e e
ˆtre prolong´e ` une fonction d´rivable sur R tout entier.
e e a e
5. Les fonctions suivantes sont-elles d´rivables en tous les points de leur
e
domaine de d´finition :
e
x1/2 , x1/3 , x3/2 , x4/3 ?
6. Soient 0 < a < b. D´terminer le point c du th´or`me des accroisse-
e e e
ments finis pour la fonction f (x) = x2 . Mˆme question pour la fonction
e
f (x) = x3 .
6
8. 2 ´
INTEGRATION DES FONCTIONS CONTINUES
L’int´gration des fonctions continues repose sur une propri´t´ suppl´mentaire
e ee e
de ces fonctions lorsqu’on les consid`re sur des intervalles compacts.
e
2.1 La continuit´ uniforme
e
Dire d’une fonction f : (a, b) → R qu’elle est continue, c’est dire qu’elle
est continue en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire qu’` chaque point x0
a a
et ` chaque > 0 correspond δ > 0 tel que
a
|x − x0 | < δ et x ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (x0 )| < .
Le nombre δ d´pend ` la fois de x0 et de
e a :
δ = δ(x0 , ).
Lorsqu’il peut ˆtre choisi ind´pendamment du point x0 ,
e e
δ = δ( ),
on dit que la fonction est uniform´ment continue sur l’intervalle (a, b).
e
En d’autres termes, une fonction f : (a, b) → R est uniform´ment e
continue sur (a, b) si ` chaque > 0 correspond δ > 0 tel que
a
|x − y| < δ et x, y ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (y)| < .
Exemples.
– La fonction f (x) = x2 est uniform´ment continue sur [0, 1] puisque :
e
|x2 − y 2 | = |(x + y)(x − y)| ≤ 2|x − y|.
√
– La fonction f (x) = x est uniform´ment continue sur [1, +∞[ ; en
e
vertu du th´or`me des accroissements finis en effet, il existe z entre x
e e
et y tel que :
√ √ |x − y| |x − y|
| x − y| = √ ≤ .
2 z 2
– La fonction f (x) = x2 n’est pas uniform´ment continue sur [1, +∞[ ;
e
soient en effet xn = (n + 1/n) et yn = n. On a toujours
1
|f (xn ) − f (yn )| = 2 + >2
n2
bien que
1
|xn − yn | =
.
n
Aucun nombre δ ne peut correspondre ` = 2.
a
7
9. √
– La fonction f (x) = x est uniform´ment continue sur l’intervalle [0, 1],
e
en vertu du th´or`me suivant.
e e
Th´or`me 1 Une fonction f : [a, b] → R continue sur un intervalle com-
e e
pact y est uniform´ment continue.
e
D´monstration. Supposons que le th´or`me est faux. Il existe alors > 0 tel
e e e
que, quelque soit δ > 0, on peut trouver deux points x, y de l’intervalle [a, b]
pour lesquels :
|x − y| < δ et |g(x) − g(y)| > .
Choisissons successivement δ = 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . On obtient deux suites
de points xn et yn de [a, b] tels que
1
|xn − yn | < et |g(xn ) − g(yn )| > .
n
Par compacit´, la suite {xn }n≥1 contient une suite partielle {xnk }k≥1 qui
e
converge vers un point z de [a, b]. Comme
1
|xnk − ynk | < ,
nk
la suite partielle {ynk }k≥1 correspondante converge aussi vers z. Par conti-
nuit´, on a donc
e
lim (g(xnk ) − g(ynk )) = g(z) − g(z) = 0
k→+∞
ce qui est absurde puisque l’on a toujours
|g(xnk ) − g(ynk )| > .
C.Q.F.D.
2.2 D´finition de l’int´grale
e e
`
Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur un intervalle compact. A
chaque partition P de l’intervalle,
P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } o` a = x0 < x1 < · · · < xn = b,
u
associons avec Riemann une somme sup´rieure S(P, f ),
e
n
S(P, f ) = sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }(xk − xk−1 ),
k=1
8
10. et une somme inf´rieure s(P, f ),
e
n
s(P, f ) = inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }(xk − xk−1 ).
k=1
Lorsque la fonction est positive, ces sommes majorent et minorent respec-
tivement l’aire d´termin´e par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b
e e
et le graphe de la fonction (figure (1) — les points de la partition ne sont
pas n´cessairement ´quidistants).
e e
y
y f x
x
a b
Fig. 1 – Sommes de Riemann
Il est clair que l’on a
inf{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a) ≤ s(P, f ) ≤ S(P, f ) ≤ sup{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a)
pour toute partition P. Observons maintenant que, si Q est une partition
plus fine que P, c’est-`-dire si P ⊆ Q, on a
a
S(Q, f ) ≤ S(P, f ) , s(P, f ) ≤ s(Q, f ). (1)
En effet, il suffit de v´rifier ces in´galit´s lorsque Q s’obtient de P par adjonc-
e e e
tion d’un seul point, Q = P ∪{x∗} ; or si j est l’indice tel que xj−1 < x∗ < xj ,
on a
sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(xj − xj−1 )
= sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(x ∗ −xj−1 )
≥ sup{f (x) | x∗ ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ x∗}(x ∗ −xj−1 )
et les autres termes de la somme S(P, f ) restent inchang´s. De ceci d´coule
e e
la premi`re des in´galit´s (1). L’autre in´galit´ s’obtient de fa¸on similaire.
e e e e e c
9
11. On d´duit de ces relations que, quelles que soient les partitions P et Q, on
e
a
s(P, f ) ≤ s(P ∪ Q, f ) ≤ S(P ∪ Q, f ) ≤ S(Q, f ),
c’est-`-dire que toute somme inf´rieure est plus petite que toute somme
a e
sup´rieure. Ainsi
e
sup s(P, f ) ≤ inf S(P, f ).
P P
En fait, on a toujours
sup s(P, f ) = inf S(P, f ). (2)
P P
Cela est une cons´quence de la continuit´ uniforme d’une fonction continue
e e
sur un intervalle compact. D´montrons la relation (2). Soit > 0 arbitraire.
e
Soit δ > 0 un nombre tel que
|x − y| < δ et x, y ∈ [a, b] impliquent |f (x) − f (y)| < .
b−a
Soit aussi
P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn }
une partition pour laquelle
xk − xk−1 < δ pour tout k.
Soient enfin uk , vk ∈ [xk−1 , xk ] tels que, pour tout k,
f (uk ) = inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk } , f (vk ) = sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }
(propri´t´ des valeurs extrˆmes). Alors
ee e
S(P, f ) − s(P, f )
n
= (sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk } − inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk })(xk − xk−1 )
k=1
n n
= (f (vk ) − f (uk ))(xk − xk−1 ) ≤ (xk − xk−1 ) =
b−a
k=1 k=1
ce qui d´montre la relation (2).
e
On exprime l’´quation (2) en disant que la fonction f est int´grable sur
e e
l’intervalle [a, b], d’int´grale :
e
b
f (x) dx = sup s(P, f ) = inf S(P, f ).
a P P
10
12. Lorsque f est positive, l’int´grale est donc exactement le nombre qui donne
e
l’aire d´termin´e par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b et le
e e
graphe de la fonction.
La signification de l’int´grale ayant ´t´ bien ´tablie, nous pouvons main-
e ee e
tenant donner avec Darboux une fa¸on plus commode de la calculer (fi-
c
gure (2) — les points o` la fonction est ´valu´e ne sont pas n´cessairement
u e e e
´quidistants).
e
y
y f x
x
a b
Fig. 2 – Sommes de Darboux
Th´or`me 2 (Darboux) Quels que soient les nombres
e e
k−1 k
xk,n ∈ [a + (b − a), a + (b − a)],
n n
on a
b n
b−a
f (x) dx = lim f (xk,n ).
a n→+∞ n
k=1
D´monstration. Soit
e
1 2
Pn = {a, a + (b − a), a + (b − a), . . . , b}
n n
la partition uniforme de [a, b]. On a
n
b−a
s(Pn , f ) ≤ f (xk,n ) ≤ S(Pn , f )
n
k=1
et
b
s(Pn , f ) ≤ f (x) dx ≤ S(Pn , f ).
a
11
13. Ainsi
b n
b−a
f (x) dx − f (xk,n ) ≤ S(Pn , f ) − s(Pn , f ).
a n
k=1
Or, en utilisant la continuit´ uniforme de la fonction f et la propri´t´ des
e ee
valeurs extrˆmes, on voit comme pr´c´demment que
e e e
lim (S(Pn , f ) − s(Pn , f )) = 0.
n→+∞
C.Q.F.D.
Exemple.
On a
1 n
1 k n+1 1
x dx = lim = lim = .
0 n→+∞ n n n→+∞ 2n 2
k=1
2.3 Propri´t´s de l’int´grale
e e e
Les trois propri´t´s essentielles de l’int´grale d’une fonction continue sont
ee e
la lin´arit´, la positivit´ et l’additivit´.
e e e e
Th´or`me 3 (Lin´arit´ de l’int´grale) Soient f1 , f2 : [a, b] → R des
e e e e e
fonctions continues et c1 , c2 ∈ R des nombres. Alors
b b b
(c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) dx = c1 f1 (x) dx + c2 f2 (x) dx.
a a a
D´monstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient :
e
b
(c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) dx
a
n
b−a k k
= lim c1 f1 a + (b − a) + c2 f2 a + (b − a)
n→+∞ n n n
k=1
n n
b−a k b−a k
= c1 lim f1 a + (b − a) + c2 lim f2 a + (b − a)
n→+∞ n n n→+∞ n n
k=1 k=1
b b
= c1 f1 (x) dx + c2 f2 (x) dx.
a a
C.Q.F.D.
12
14. Th´or`me 4 (Positivit´ de l’int´grale) Soient f1 , f2 : [a, b] → R des
e e e e
fonctions continues telles que
f1 (x) ≤ f2 (x) pour a ≤ x ≤ b.
Alors
b b
f1 (x) dx ≤ f2 (x) dx.
a a
D´monstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient :
e
b n
b−a k
f1 (x) dx = lim f1 a + (b − a)
a n→+∞ n n
k=1
n b
b−a k
≤ lim f2 a + (b − a) = f2 (x) dx.
n→+∞ n n a
k=1
C.Q.F.D.
L’application de ce th´or`me aux fonctions f1 = ±f et f2 = |f | conduit
e e
a
` l’in´galit´ du triangle pour les int´grales :
e e e
b b
f (x) dx ≤ |f (x)| dx.
a a
Th´or`me 5 (Additivit´ de l’int´grale) Soient f : [a, b] → R une fonc-
e e e e
tion continue et a < c < b. Alors
b c b
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.
a a c
D´monstration. Soient P, P et P des partitions des intervalles [a, b], [a, c] et [c, b]
e
respectivement. On a donc :
P ∪ {c} = P ∪ P .
En utilisant les in´galit´s (1), on voit d’une part que
e e
b
f (x) dx = sup s(P, f ) ≤ sup s(P ∪ {c}, f ) = sup (s(P , f ) + s(P , f ))
a P P P ∪P
c b
≤ sup s(P , f ) + sup s(P , f ) = f (x) dx + f (x) dx
P P a c
13
15. (exercice (11)) et d’autre part que
b
f (x) dx = inf S(P, f ) ≥ inf S(P ∪ {c}, f ) = inf (S(P , f ) + S(P , f ))
a P P P ∪P
c b
≥ inf S(P , f ) + inf S(P , f ) = f (x) dx + f (x) dx.
P P a c
C.Q.F.D.
Il commode de poser
a b
f (x) dx = − f (x) dx.
b a
L’int´grale
e
b
f (x) dx
a
est ainsi d´finie quelle que soit la position relative des bornes d’int´gration
e e
a et b — mais la propri´t´ de positivit´ ne vaut que si a < b.
ee e
Exemple.
Si f : [0, +∞[→ R est continue et limx→+∞ f (x) = L,
x
1
lim f (t) dt = L.
x→+∞ x 0
En effet, quelque soit > 0,
x
1 1 x
f (t) dt − L = (f (t) − L) dt
x 0 x 0
1 y 1 x
≤ |f (t) − L| dt + |f (t) − L| dt
x 0 x y
y x−y
≤ sup |f (t) − L| + sup |f (t) − L|
x t≥0 x t≥y
y x−y
< sup |f (t) − L| +
x t≥0 x 2
d`s que y = y est assez grand puis, y ainsi fix´,
e e
x
1
f (t) dt − L < + <
x 0 2 2
d`s que
e
2 y supt≥0 |f (t) − L|
x> .
14
16. 2.4 Exercices 2
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
1. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R admettant une d´riv´e born´e
e e e
est uniform´ment continue.
e
2. En d´duire qu’une fonction rationnelle R : R → R born´e est uni-
e e
form´ment continue sur R.
e
3. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R qui est uniform´ment continue
e
sur (a, c] et sur [c, b) l’est aussi sur (a, b).
√
4. En d´duire que la fonction f (x) = 3 x est uniform´ment continue sur
e e
R.
5. La fonction f (x) = 1/x est-elle uniform´ment continue sur l’intervalle
e
]0, 1] ? sur l’intervalle [1, +∞[ ?
6. Les sommes sup´rieures et les sommes inf´rieures de Riemann peuvent
e e
ˆtre calcul´es pour toute fonction born´e f : [a, b] → R mais il n’est
e e e
plus certain que la fonction soit int´grable, c’est-`-dire que l’´quation
e a e
(2) soit vraie. Consid´rer avec Dirichlet la fonction indicatrice des
e
nombres rationnels :
1 si x ∈ Q
f (x) = IQ (x) =
0 sinon .
Montrer qu’elle n’est int´grable sur aucun intervalle.
e
7. D´montrer l’in´galit´ de Cauchy-Schwarz : si f, g : [a, b] → R sont
e e e
continues, alors
b b b
f (x)g(x) dx ≤ f 2 (x) dx g 2 (x) dx.
a a a
(Suggestion : choisir le nombre λ de fa¸on optimale dans l’in´galit´ :
c e e
b
0≤ (f (x) + λg(x))2 dx.)
a
8. En d´duire l’in´galit´ de Minkowski :
e e e
b b b
(f (x) + g(x))2 dx ≤ f (x)2 dx + g(x)2 dx.
a a a
15
17. 9. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b]
tel que
b
f (x) dx = f (c)(b − a).
a
(Premier th´or`me de la moyenne).
e e
10. Soit f : [a, b] → [0, +∞[ une fonction continue et positive telle que
b
f (x) dx = 0.
a
Montrer qu’elle est identiquement nulle.
11. V´rifier les relations suivantes :
e
sup (a + b) ≤ sup a + sup b,
a∈A, b∈B a∈A b∈B
inf (a + b) ≥ inf a + inf b.
a∈A, b∈B a∈A b∈B
12. Soient f : [a, b] → R une fonction continue et {an }n≥1 une suite de
nombres convergeant vers a, an > a. Montrer que
b b
f (x) dx = lim f (x) dx.
a n→+∞ a
n
16
18. 3 ´ `
THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL
Le th´or`me fondamental du calcul constitue la fa¸on habituelle d’´valuer
e e c e
une int´grale. Il en fait aussi apparaˆ des propri´t´s suppl´mentaires.
e ıtre ee e
3.1 Le th´or`me fondamental du calcul
e e
Faisant le lien entre le calcul diff´rentiel et le calcul int´gral en montrant
e e
que la d´rivation et l’int´gration sont les op´rations inverses l’une de l’autre,
e e e
le th´or`me fondamental du calcul a deux facettes.
e e
Th´or`me 6 (Th´or`me fondamental du calcul I) Soit f : [a, b] → R
e e e e
une fonction continue. Alors, pour tout x ∈ [a, b],
x
d
f (t) dt = f (x).
dx a
D´monstration. Posons
e x
I(x) = f (t) dt.
a
Soient a < x < b et h > 0 assez petit pour que les points x ± h soient dans
[a, b]. On a, en vertu des propri´t´s de lin´arit´ et d’additivit´ de l’int´grale,
ee e e e e
que
I(x + h) − I(x) 1 x+h
− f (x) = (f (t) − f (x)) dt
h h x
et que
x
I(x − h) − I(x) 1
− f (x) = (f (t) − f (x)) dt
−h h x−h
de telle sorte que, en vertu cette fois de la positivit´,
e
I(x + h) − I(x)
− f (x) ≤ sup{|f (t) − f (x)| | x ≤ t ≤ x + h}
h
et que
I(x − h) − I(x)
− f (x) ≤ sup{|f (t) − f (x)| | x − h ≤ t ≤ x}.
−h
En utilisant la continuit´ de la fonction f au point x, on voit donc que
e
I(x + h) − I(x)
lim = f (x).
h→0 h
17
19. Les cas o` x = a et o` x = b sont similaires. C.Q.F.D.
u u
Remarque.
Puisque
b x b
f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt,
a a x
on a aussi
b
d
f (t) dt = −f (x).
dx x
Th´or`me 7 (Th´or`me fondamental du calcul II) Soit F : [a, b] → R
e e e e
une fonction continˆment d´rivable. Alors
u e
b
F (x) dx = F (b) − F (a).
a
D´monstration. Consid´rons la fonction
e e
x
J(x) = F (t) dt.
a
En vertu du th´or`me pr´c´dent, on a
e e e e
J (x) = F (x).
Les fonction J(x) et F (x) − F (a) admettent donc la mˆme d´riv´e sur l’in-
e e e
tervalle [a, b]. Comme elles s’annulent toutes les deux pour x = a, elles
co¨
ıncident partout sur l’intervalle [a, b] :
J(b) = F (b) − F (a).
C.Q.F.D.
En vertu de ce th´or`me, il suffit donc, pour ´valuer
e e e
b
f (x) dx,
a
de trouver une fonction F (x) telle que F (x) = f (x). On a alors tout sim-
plement
b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
(Pour abr´ger l’´criture, on ´crit
e e e
b
F (b) − F (a) = F (x) . )
a
18
20. Une telle fonction F se nomme primitive de f (puisque que f est sa d´riv´e)
e e
ou encore int´grale ind´finie de f . On la d´note par
e e e
f (x) dx.
En d’autres mots,
F (x) = f (x) dx ⇔ F (x) = f (x).
Une primitive n’est d´finie qu’` l’addition d’une constante pr`s.
e a e
Toute fonction continue f admet une primitive, nomm´ment la fonction
e
d´finie par l’´quation
e e
x
F (x) = f (t) dt
a
(en vertu du th´or`me (6)) mais si cela s’av`re ˆtre la seule repr´sentation
e e e e e
disponible de F , elle n’est gu`re utile pour ´valuer l’int´grale « d´finie » de
e e e e
f . Cette situation se pr´sente cependant quelquefois. Et, en r`gle g´n´rale,
e e e e
le calcul des primitives est beaucoup plus difficile que le calcul des d´riv´es.
e e
Exemple.
Si p ∈ Q, p = −1,
xp+1
xp dx =
p+1
puisque
d p+1
x = (p + 1)xp .
dx
On a donc, si 0 < a < b,
b
bp+1 − ap+1
xp dx = .
a p+1
3.2 Propri´t´s suppl´mentaires de l’int´grale
e e e e
Le th´or`me fondamental du calcul met en lumi`re deux autres propri´t´s
e e e ee
de l’int´grale : l’int´gration par parties qui correspond a la r`gle de d´rivation
e e ` e e
d’un produit et la formule de changement de variable qui correspond ` la a
r`gle de d´rivation en chaˆ (exercice (7)).
e e ıne
19
21. Th´or`me 8 (Int´gration par parties) Soient F, G : [a, b] → R des fonc-
e e e
tions continˆment d´rivables. Alors
u e
b b b
F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx. (3)
a a a
D´monstration. Puisque
e
d
F (x)G(x) = F (x)G(x) + F (x)G (x),
dx
on a
F (x)G(x) = F (x)G(x) dx + F (x)G (x) dx
c’est-`-dire
a
F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx
donc
b b b b
F (x)G (x) dx = F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx
a a a a
b b
= F (x)G(x) − F (x)G(x) dx.
a a
C.Q.F.D.
L’utilisation de la formule (3) pour ´valuer une int´grale
e e
b
h(x) dx
a
repose sur une factorisation judicieuse de la fonction h(x) sous la forme
h(x) = F (x)G (x).
Exemple.
Soit ` ´valuer
ae
1 √
x x + 1 dx.
0
√
Posant F (x) = x et G (x) = x + 1, on a F (x) = 1 et G(x) = 2(x + 1)3/2 /3.
Ainsi
√ 2 2
x x + 1 dx = x(x + 1)3/2 − (x + 1)3/2 dx
3 3
2 4 2
= x(x + 1)3/2 − (x + 1)5/2 = (x + 1)3/2 (3x − 2)
3 15 15
20
22. et √
1 √ 2 3/2 4( 2 + 1)
x x + 1 dx = 2 +2 = .
0 15 15
Th´or`me 9 (Changement de variable) Soit φ : [c, d] → R une fonc-
e e
tion continˆment d´rivable strictement monotone et telle que φ([c, d]) =
u e
[a, b]. Pour toute fonction continue f : [a, b] → R, on a
b d
f (x) dx = f (φ(t))|φ (t)| dt. (4)
a c
D´monstration. Soit F une primitive de f . Alors
e
f (φ(t))φ (t) dt = F (φ(t)).
La fonction φ effectue une bijection de l’intervalle [c, d] sur l’intervalle [a, b].
Si φ est croissante (c’est-`-dire si φ > 0), on a
a
d d b
f (φ(t))φ (t) dt = F (φ(t)) = F (b) − F (a) = f (x) dx
c c a
alors que si φ est d´croissante (c’est-`-dire si φ < 0), on a
e a
d d b
f (φ(t))(−φ (t)) dt = −F (φ(t)) = −F (a) + F (b) = f (x) dx.
c c a
C.Q.F.D.
L’utilisation de la formule (4) pour ´valuer une int´grale
e e
b
f (x) dx
a
repose sur sur un choix appropri´ de la nouvelle variable t = φ−1 (x).
e
Exemple.
Soit ` ´valuer
ae
1
x x2 + 1 dx.
0
On pose t = x2 + 1 de telle sorte que
dt
= 2x ≥ 0,
dx
l’intervalle 0 ≤ x ≤ 1 correspondant ` l’intervalle 1 ≤ t ≤ 2. On a
a
1 2√
√
2 + 1 dx =
1 1 3/2 2 2 2 − 1
x x t dt = t = .
0 1 2 3 1 3
21
23. 3.3 Exercices 3
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
1. D´duire le th´or`me fondamental du calcul (th´or`me (6)) du premier
e e e e e
th´or`me de la moyenne (exercice (9) du chapitre 2).
e e
2. Soient f : R → R une fonction continue et a, b : R → R des fonctions
d´rivables telles que a(x) < b(x). Calculer
e
b(x)
d
f (t) dt.
dx a(x)
3. Soit f : R → R une fonction continue. Calculer
1
d
f (x + t) dt.
dx 0
4. Soit f : R → R une fonction continue et p´riodique de p´riode 2p
e e
(f (t + 2p) = f (t) pour tout t). Montrer que, quel que soit le nombre
x,
x+2p 2p
f (t) dt = f (t) dt.
x 0
5. Soit f : [0, +∞[→ R une fonction continue. Posons
x
1
φ(x) = f (t) dt.
x 0
Montrer que φ est croissante si f l’est.
6. Soit p > 0. Calculer
n
kp
lim .
n→+∞ np+1
k=1
7. D´duire la r`gle de d´rivation d’un quotient de la r`gle de d´rivation
e e e e e
d’un produit.
8. Soit p > 2. Calculer
n
knp−2
lim .
n→+∞ (k + n)p
k=1
9. Soit f : [−A, A] → R une fonction continue. Montrer que si f est
impaire (c’est-`-dire f (−x) = −f (x) pour tout x),
a
A
f (x) dx = 0
−A
22
24. et que si f est paire (c’est-`-dire f (−x) = f (x) pour tout x),
a
A A
f (x) dx = 2 f (x) dx.
−A 0
10. Soit f : [0, a] → R une fonction continˆment d´rivable. Montrer que
u e
a a
af (a) = f (x) dx + xf (x) dx.
0 0
Donner une interpr´tation g´om´trique de cette relation dans le cas
e e e
o` f (x) > 0 et f (0) = 0.
u
11. Soient F : [a, b] → R une fonction continˆment d´rivable, positive et
u e
d´croissante et g : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il
e
existe c ∈ [a, b] tel que
b c
F (x)g(x) dx = F (a) g(x) dx.
a a
(Deuxi`me th´or`me de la moyenne — comparer avec le premier (exer-
e e e
cice (9) du chapitre 2)). (Suggestion : introduire la fonction
x
G(x) = g(t) dt
a
et int´grer par parties.)
e
12. Soit p > 0. Montrer qu’il existe un nombre c ∈ [0, 1] tel que
1
xp cp+1
dx = .
0 x2p + 1 p+1
23
25. 4 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE
Les fonctions logarithmique et exponentielle sont ´troitement associ´es
e e
a e
` l’´tude des ph´nom`nes de croissance.
e e
4.1 Le logarithme
On sait que la fonction x → 1/x n’admet pas de primitive rationnelle.
Le logarithme est la fonction log : ]0, +∞[→ R d´finie par
e
x
dt
log x = .
1 t
(figure (3)). En vertu du th´or`me fondamental du calcul (th´or`me (6)), le
e e e e
logarithme est une fonction d´rivable et
e
d 1
log x = .
dx x
Autre notation : ln x.
y
2
1.5 y 1 x
1
0.5
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3
Fig. 3 – D´finition du logarithme
e
´
Th´or`me 10 (Equation fonctionnelle du logarithme) On a
e e
log xy = log x + log y (5)
et si f : ]0, +∞[→ R est une fonction d´rivable telle que
e
f (xy) = f (x) + f (y), (6)
il existe un nombre c ∈ R tel que
f (x) = c log x.
24
26. D´monstration. Pour d´montrer la premi`re affirmation, introduisons la
e e e
fonction
φ(x) = log xy − log y
(en fixant arbitrairement y > 0). Comme
1 d
φ (x) = = log x
x dx
et comme
φ(1) = 0 = log 1,
on doit avoir
φ(x) = log x.
Si, d’autre part, f satisfait l’´quation fonctionnelle (6), on aura, en d´rivant
e e
par rapport ` x que, quelque soit y > 0,
a
yf (xy) = f (x)
donc
yf (y) = f (1).
En passant aux primitives,
f (y) = f (1) log y + K
o` K est une constante. Puisque l’´quation fonctionnelle entraˆ que f (1) = 2f (1),
u e ıne
f (1) = 0 donc K = 0 et on a bien
f (x) = c log x
en posant c = f (1). C.Q.F.D.
Comme cons´quences de l’´quation (5), on a
e e
1
log = − log x,
x
et
log xn = n log x pour tout n ∈ N
donc aussi
1
log x1/m = log x pour tout m ∈ N
m
c’est-`-dire
a
log xp = p log x quelque soit p ∈ Q.
25
27. Puisque, de plus,
d2 1
log x = − 2 < 0,
dx2 x
le logarithme est une fonction strictement concave qui croˆ (stricte-
ıt
ment) de −∞ ` +∞ lorsque son argument croˆ de 0 ` +∞. Ces donn´es
a ıt a e
permettent de tracer son graphe (figure (4)).
La concavit´ d’une fonction entraˆ pour cette fonction d’importantes
e ıne
cons´quences. (Exercices (7), (8), (9)).
e
2
1
2 4 6 8 10
-1
-2
Fig. 4 – Graphe du logarithme
Remarque.
Le logarithme tend vers +∞ avec son argument mais plus lentement que
toute puissance (si petite soit-elle) de cet argument. En vertu de la r`gle de
e
l’Hospital, on a en effet, que quel que soit p > 0 :
log x x−1 1
limp
= lim p−1
= lim = 0.
x→+∞ x x→+∞ px x→+∞ pxp
Exemple.
On estime le nombre N d’atomes dans l’univers visible `
a
N = 10000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000.
Le logarithme de ce nombre est
log N < 240.
26
28. Th´or`me 11
e e
log e = 1.
D´monstration. Le nombre e est d´fini par
e e
n
1
e = lim 1+ .
n→+∞ n
En utilisant les propri´t´s du logarithme, on obtient :
ee
n
1 1 n
log e = log lim 1+ = lim log 1 +
n→+∞ n n→+∞ n
1
1 log 1 + n − log 1
= lim n log 1 + = lim
n→+∞ n n→+∞ 1/n
d
= log x = 1.
dx x=1
C.Q.F.D.
4.2 La fonction exponentielle
La fonction exponentielle est la fonction inverse du logarithme, exp : R →]0, +∞[,
d´finie par la relation
e
exp x = y ⇔ x = log y,
autrement dit
exp(log y) = y si y > 0, log(exp x) = x pour tout x ∈ R.
L’´quation fonctionnelle (5) du logarithme se traduit donc par l’´quation
e e
fonctionnelle suivante pour l’exponentielle :
exp(x1 + x2 ) = exp x1 exp x2 .
e e ´
Th´or`me 12 (Equation diff´rentielle de l’exponentielle) On a
e
d
exp x = exp x
dx
et si f : R → R est une fonction d´rivable telle que
e
f (x) = af (x)
avec a ∈ R, il existe un nombre c ∈ R tel que
f (x) = c exp(ax).
27
29. D´monstration. En vertu de la r`gle pour d´river une fonction inverse, on a
e e e
bien
d 1 1
exp x = d = = y = exp x.
dx dy log y
1/y
D’autre part, introduisant la fonction
g(x) = f (x) exp(−ax),
on a
g (x) = f (x) exp(−ax) − af (x) exp(−ax) = (f (x) − af (x)) exp(−ax) = 0
ce qui entraˆ
ıne
g(x) = c
pour une constante c appropri´e. C.Q.F.D.
e
Comme pour toute fonction inverse, le graphe de la fonction exponen-
tielle (figure (5)) est le sym´trique de celui du logarithme relativement ` la
e a
bissectrice y = x. Il s’agit d’une courbe strictement convexe qui croˆ ıt
(strictement) de 0 ` +∞ lorsque l’abscisse croˆ de −∞ ` +∞ et ce, plus
a ıt a
rapidement que toute puissance de cette abscisse (exercice (13)).
20
15
10
5
-3 -2 -1 1 2 3
Fig. 5 – Graphe de l’exponentielle
28
30. 4.3 Exposants irrationnels
Si n ∈ N est un entier naturel, xn est ´gal au produit de x par lui-mˆme
e e
n fois et, lorsque x = 0, x−n est ´gal ` celui de x−1 par lui-mˆme n fois. Si
e a e
m ∈ N, la fonction x → x1/m est la fonction inverse de xm (elle est d´finie
e
pour tout x ∈ R si m si impair et pour tout x ≥ 0 si m est pair). On convient
enfin de poser x0 = 1 lorsque x > 0.
La fonction x → xp est donc bien d´finie sur l’intervalle ]0, +∞[ pour
e
tout exposant p ∈ Q. Observons que l’on a
exp(p log x) = exp(log xp ) = xp .
Cette propri´t´ permet d’introduire des exposants irrationnels.
ee
Soit a ∈ R un nombre r´el quelconque. La fonction x → xa est la fonction
e
]0, +∞[ → ]0, +∞[ d´finie par l’´quation
e e
xa = exp(a log x).
Observons que, en vertu du th´or`me (11), l’on a en particulier :
e e
ea = exp a pour tout a ∈ R.
Les r`gles de calcul avec les exposants restent encore vraies.
e
Th´or`me 13 (R`gles des exposants) Soient a, a1 , a2 ∈ R et x, y > 0.
e e e
Alors
a) (xy)a = xa y a
b) xa1 +a2 = xa1 xa2
c) xa1 a2 = (xa1 )a2
D´monstration. En vertu de la d´finition que nous avons pos´e, on a succes-
e e e
sivement
a) (xy)a = ea log xy = ea log x+a log y = ea log x ea log y = xa y a ;
b) xa1 +a2 = e(a1 +a2 ) log x = ea1 log x+a2 log x = ea1 log x ea2 log x = xa1 xa2 ;
c) (xa1 )a2 = exp(a2 log xa1 ) = exp(a2 log(exp(a1 log x))) = exp(a2 a1 log x) =
xa1 a2 .
C.Q.F.D.
Une cons´quence en est que la formule de d´rivation
e e
d a
x = axa−1
dx
29
31. reste toujours valable.
Fixons maintenant b > 0, b = 1, et consid´rons la fonction g : R →]0, +∞[
e
d´finie par
e
g(x) = bx .
Puisque
d
g(x) = bx log b,
dx
elle est strictement monotone (croissante si b > 1, d´croissante si b < 1).
e
Son inverse est le logarithme de base b, d´not´ par logb . Autrement dit
e e
x = logb y ⇔ y = bx .
4.4 Les fonctions hyperboliques
Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont les fonctions R → R
d´finies par les relations
e
ex + e−x ex − e−x
cosh x = , sinh x =
2 2
respectivement.
Th´or`me 14 Les fonctions hyperboliques jouissent des propri´t´s suivantes :
e e ee
a) cosh2 x − sinh2 x = 1 ;
b) cosh x = sinh x , sinh x = cosh x ;
c) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y,
sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x.
D´monstration. En vertu des d´finitions que nous avons pos´es, on a
e e e
successivement
a)
e2x + 2 + e−2x e2x − 2 + e−2x
cosh2 x − sinh2 x = − = 1;
4 4
b)
ex − e−x ex + e−x
cosh x = = sinh x , sinh x = = cosh x;
2 2
30
32. c)
cosh x cosh y + sinh x sinh y
ex+y + ex−y +e−x+y + e−x−y ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y
= +
4 4
ex+y + e−x−y
= = cosh(x + y),
2
sinh x cosh y + sinh y cosh x
ex+y + ex−y −e−x+y − e−x−y ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y
= +
4 4
ex+y − e−x−y
= = sinh(x + y).
2
C.Q.F.D.
Les graphes des fonctions hyperboliques se d´duisent de celui de l’expo-
e
nentielle.
15
10 cosh x
5
-4 -2 2 4
sinh x
-5
Fig. 6 – Les fonctions hyperboliques
Sa d´riv´e ´tant strictement positive, le sinus hyperbolique est une fonc-
e e e
tion strictement croissante et admet une fonction inverse partout d´rivable,
e
l’arcsinus hyperbolique, arcsinh : R → R.
En r´solvant l’´quation quadratique
e e
e2x − 1 = 2 y ex
a
` l’aide de la formule de Vi`te, on trouve
e
ex = y + 1 + y2
31
33. c’est-`-dire
a
arcsinh y = log(y + 1 + y 2 ).
En d´rivant cette derni`re relation ou en utilisant la formule pour la d´riv´e
e e e e
d’une fonction inverse, on obtient enfin
d 1
arcsinh y = .
dy 1 + y2
Le graphe de l’arcsinus hyperbolique s’en d´duit.
e
3
2
1
-10 -5 5 10
-1
-2
-3
Fig. 7 – L’arcsinus hyperbolique
4.5 Exercices 4
Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
e
1. Soit
n
1
xn = − log n.
k
k=1
Montrer que la suite {xn }n∈N est d´croissante et minor´e par 1 − log 2
e e
— sa limite est la constante d’Euler-Mascheroni, d´not´e γ.
e e
2. D´terminer toutes les fonctions ]0, +∞, [ → ]0, +∞[ d´rivables qui sa-
e e
tisfont l’´quation fonctionnelle
e
f (xy) = f (x)f (y).
3. Tracer le graphe de la fonction
log x
f (x) = .
x
32
34. 4. Calculer les limites suivantes :
a)
lim xa log x
x→0
b)
lim xx
x→0
c)
lim x1/x
x→0
d)
lim x1/x .
x→+∞
5. Soient 0 < a < b. Lequel des deux nombres suivants est le plus grand :
ab ou ba ?
6. Calculer
x n
lim 1+ .
n→+∞ n
7. Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´rivable et telle que f (x) ≥ 0.
e
Montrer qu’elle satisfait l’in´galit´ de convexit´ suivante :
e e e
x2 − x3 x3 − x1
x1 < x3 < x2 ⇒ f (x3 ) ≤ f (x1 ) + f (x2 )
x2 − x1 x2 − x1
qui exprime que son graphe est situ´ sous n’importe laquelle de ses
e
s´cantes (figure (8)). (Suggestion : utiliser le th´or`me des accroisse-
e e e
ments finis.)
8. V´rifier que l’in´galit´ pr´c´dente peut s’´crire
e e e e e e
f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 )
avec
λ1 > 0, λ2 > 0 et λ1 + λ2 = 1
(une combinaison convexe de deux nombres). La g´n´raliser ` une
e e a
combinaison convexe de n nombres
n n
f λk xk ≤ λk f (xk )
k=1 k=1
par r´currence sur n (in´galit´ de Jensen).
e e e
33
35. 9. Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´rivable et telle que f (x) ≥ 0.
e
Montrer que quel que soit x0 ∈]a, b[, le graphe de f est situ´ au-dessus
e
de sa tangente en x0 :
f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 )
(figure (8)).(Suggestion : utiliser le th´or`me fondamental du calcul.)
e e
le graphe de f
une sécante
une tangente
Fig. 8 – Une fonction convexe
10. D´montrer l’in´galit´ entre la moyenne arithm´tique et la moyenne
e e e e
g´om´trique de n nombres positifs x1 , x2 , . . . , xn :
e e
√ 1
n
x1 x2 · · · xn ≤ (x1 + x2 + · · · + xn ).
n
11. D´montrer l’in´galit´ entre la moyenne g´om´trique et la moyenne
e e e e e
harmonique de n nombres strictement positifs x1 , x2 , . . . , xn :
n √
≤ n x1 x2 · · · xn .
1/x1 + 1/x2 + · · · + 1/xn
12. Montrer que
log x ≤ x − 1.
13. Montrer que
ex ≥ x + 1.
En d´duire directement (c’est-`-dire sans utiliser la r`gle de l’Hospital)
e a e
que, quel que soit n ∈ N,
xn
lim = 0.
x→+∞ ex
34
36. (Suggestion :
x x/2 1
= 2 x/2 x/2 ;
ex e e
raisonner par r´currence sur n.)
e
14. D´terminer toutes les fonctions R → R qui satisfont l’´quation diff´rentielle
e e e
f (x) = −xf (x).
15. D´terminer la solution de l’´quation logistique :
e e
f (x) = af (x)(b − f (x)) , x > 0
o` a > 0 et b > 0 si 0 < f (0) < b.
u
16. Montrer que
log y
logb y = .
log b
17. La fonction tangente hyperbolique est d´finie par
e
sinh x
tanh x = .
cosh x
V´rifier qu’elle satisfait l’´quation diff´rentielle
e e e
f (x) = 1 − f 2 (x).
Exprimer tanh(x+y) en terme de tanh x et de tanh y. Tracer le graphe.
18. V´rifier que la tangente hyperbolique admet une fonction inverse, l’arc-
e
tangente hyperbolique, arctanh : ] − 1, 1[ → R. Montrer que
1 1+y
arctanh y = log .
2 1−y
Calculer la d´riv´e de cette fonction et tracer son graphe.
e e
35
37. 5 ´
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
Les fonctions trigonom´triques sont ´troitement associ´es ` l’´tude des
e e e a e
ph´nom`nes p´riodiques.
e e e
5.1 D´finition des fonctions trigonom´triques
e e
Le nombre π est, par d´finition, ´gal ` l’aire du disque de rayon unit´ :
e e a e
1
π=2 1 − x2 dx.
−1
Pour −1 ≤ y ≤ 1, posons
1
arccos y = 2 1 − t2 dt + y 1 − y2
y
(figure (9) — arccos y repr´sente l’aire du secteur (pour v´rifier cette affir-
e e
mation, distinguer suivant que y est positif ou n´gatif)).
e
y 1
Fig. 9 – D´finition de l’arccosinus
e
La fonction ainsi d´finie est continue sur [−1, 1] mais d´rivable seulement
e e
sur ] − 1, 1[ o`
u
d −1
arccos y = .
dy 1 − y2
36
38. Elle est strictement d´croissante, de π ` 0 lorsque son argument y croˆ de
e a ıt
−1 ` 1. Donn´ 0 ≤ x ≤ π, il existe donc un et un seul nombre −1 ≤ y ≤ 1
a e
tel que
arccos y = x.
Les fonctions trigonom´triques cosinus et sinus sont d´finies pour 0 ≤ x ≤ π
e e
par les relations
cos x = y , sin x = 1 − y 2 .
Elles sont prolong´es ` l’axe r´el R tout entier en posant d’abord, pour
e a e
−π < x < 0,
cos x = cos(−x) , sin x = − sin(−x)
et ensuite, pour n ∈ Z,
cos(x + 2πn) = cos x , sin(x + 2πn) = sin x.
Observons les valeurs remarquables
π 1 π 3π 1
cos 0 = 1 , cos = √ , cos = 0 , cos = − √ , cos π = −1
4 2 2 4 2
et
π 1 π 3π 1
sin 0 = 0 , sin= √ , sin = 1 , sin = √ , sin π = 0.
4 2 2 4 2
Observons aussi que la relation
cos2 x + sin2 x = 1
reste valable sur tout l’axe r´el.
e
Les fonctions p´riodiques de p´riode 2π ainsi obtenues sont continues :
e e
ainsi, pour le cosinus,
lim cos x = lim cos(−x) = lim cos z = cos 0
x→0− x→0− z→0+
et
lim cos x = lim cos(x − 2π) = lim cos z
x→π+ x→π+ z→−π+
= lim cos(−z) = lim cos w = cos π.
z→−π+ w→π−
Elles sont mˆme d´rivables et satisfont les relations
e e
d d
cos x = − sin x , sin x = cos x. (7)
dx dx
37
39. 1
sinus
0.5
-6 -4 -2 2 4 6
-0.5
cosinus
-1
Fig. 10 – Le sinus et le cosinus
V´rifions par exemple, la premi`re de ces relations. Lorsque 0 < x < π
e e
tout d’abord, on a :
d 1 1
cos x = d
= −1 = − 1 − y 2 = − sin x.
dx dy arccos y √
1−y 2
Consid´rons ensuite les points de raccordement. En x = 0, on a, en utilisant
e
le th´or`me des accroissement finis — dans ce qui suit 0 < h1 < h,
e e
cos h − 1
lim = lim − sin h1 = − sin 0
h→0+ h h→0+
et
cos(−h) − 1 cos h − 1
lim = lim = lim sin h1 = sin 0 = − sin 0.
h→0+ −h h→0+ −h h→0+
En x = π :
cos(π − h) − cos π
lim = lim − sin(π − h1 ) = − sin π
h→0+ −h h→0+
et
cos(π + h) − cos π cos(−π + h) − cos π
lim = lim
h→0+ h h→0+ h
cos(π − h) − cos π
= lim = lim sin(π − h1 ) = sin π = − sin π.
h→0+ h h→0+
38
40. Ces diverses relations permettent de tracer les graphes des fonctions
trigonom´triques sinus et cosinus (figure (10)).
e
La fonction tangente est la fonction d´finie par la relation
e
sin x (2n + 1)π
tan x = si x = , n ∈ Z.
cos x 2
Son domaine de d´finition « naturel » est l’intervalle ] − π/2, π/2[. Elle
e
satisfait la relation
d
tan x = 1 + tan2 x (8)
dx
comme il est ais´ de le v´rifier ` partir de la d´finition. On en d´duit l’allure
e e a e e
de son graphe (figure (11)).
7.5
5
2.5
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-2.5
-5
-7.5
Fig. 11 – La tangente
5.2 Propri´t´s des fonctions trigonom´triques
e e e
e e ´
Th´or`me 15 (Equation diff´rentielle de sinus et cosinus) Les fonc-
e
tions sinus et cosinus sont deux solutions de l’´quation diff´rentielle
e e
f (x) + f (x) = 0. (9)
Si, r´ciproquement f : R → R est une fonction deux fois d´rivable qui
e e
satisfait l’´quation pr´c´dente, il existe deux nombres a, b ∈ R tels que
e e e
f (x) = a cos x + b sin x.
39
41. D´monstration. La premi`re affirmation suit des relations (7). Pour d´montrer
e e e
la seconde, posons a = f (0), b = f (0) et consid´rons la fonction
e
g(x) = f (x) − a cos x − b sin x.
Elle satisfait l’´quation diff´rentielle
e e
g (x) + g(x) = 0
sous les conditions initiales
g(0) = g (0) = 0.
Introduisons alors la fonction
h(x) = g 2 (x) + g 2 (x).
Comme
h (x) = 2g (x)(g(x) + g (x)) = 0,
on doit avoir
h(x) = h(0) = 0 pour tout x
c’est-`-dire que
a
g(x) = 0 pour tout x.
C.Q.F.D.
Th´or`me 16 (Formules d’addition) Quelques soient x, y ∈ R, on a :
e e
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y.
D´monstration. La fonction f (x) = sin(x + y), (y fix´), satisfait l’´quation
e e e
diff´rentielle (9) et est donc de la forme f (x) = a cos x + b sin x. Puisque
e
f (0) = sin y et que f (0) = cos y, il faut que a = sin y et que b = cos y ce qui
d´montre la premi`re formule.
e e
La d´monstration de la seconde est similaire. C.Q.F.D.
e
Les relations suivantes sont un cas particulier fr´quemment utilis´ :
e e
cos 2x = cos2 x − sin2 x , sin 2x = 2 sin x cos x.
La formule d’addition pour la tangente suit du th´or`me : si x, y et x +
e e
y = (2k + 2)π/2 avec k ∈ Z,
tan x + tan y
tan(x + y) = .
1 + tan x tan y
40
42. Th´or`me 17 (Relations d’orthogonalit´) Quelques soient m, n ∈ N0 ,
e e e
on a :
+π
cos mx sin nx dx = 0
−π
+π
0 si m = n
cos mx cos nx dx =
−π π si m = n
+π
0 si m = n
sin mx sin nx dx =
−π π si m = n.
D´monstration. En vertu des formule d’addition, on a, par exemple,
e
+π +π
cos(m − n)x + cos(m + n)x
cos mx cos nx dx = dx.
−π −π 2
Si m = n, on en tire
+π
1 sin(m − n)x sin(m + n)x π
cos mx cos nx dx = + =0
−π 2 m−n m+n −π
alors que si m = n, on obtient
+π
1 sin 2mx π
cos2 mx dx = x+ = π.
−π 2 2m −π
Les autres cas sont similaires. C.Q.F.D.
5.3 Les fonctions trigonom´triques inverses
e
La fonction arccosinus (figure (12)), arccos : [−1, 1] → [0, π], est d´finie
e
par la relation
1
arccos y = 2 1 − t2 dt + y 1 − y2
y
comme nous l’avons vu. Elle est continue sur [−1, 1] et d´rivable sur ]−1, 1[,
e
avec
d −1
arccos y = .
dy 1 − y2
41
43. C’est une fonction strictement d´croissante et l’on a
e
cos(arccos y) = y , y ∈ [−1, 1]
et
arccos(cos x) = x , x ∈ [0, π].
Cependant, la fonction cosinus ´tant une fonction paire et p´riodique de
e e
p´riode 2π, elle n’admet pas d’inverse globale et de la relation cos x = y on
e
ne peut pas conclure que x = arccos y. En fait, on a
cos x = y ⇔ x = ± arccos y + 2kπ avec k ∈ Z.
3
2
arccosinus
1
-1 -0.5 0.5 1
arcsinus -1
Fig. 12 – L’arcsinus et l’arccosinus
La fonction sinus ´tant strictement croissante sur [−π/2, π/2], elle y
e
admet une fonction inverse continue mais d´rivable seulement sur ] − 1, 1[
e
(parce que sin (±π/2) = 0). La fonction inverse est l’arcsinus (figure (12)),
arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2]. On a donc
sin(arcsin y) = y , y ∈ [−1, 1]
et
arcsin(sin x) = x , x ∈ [π/2, π/2].
Comme cos x > 0 lorsque −π/2 < x < π/2, on a pour tout y ∈] − 1, 1[ :
d 1 1 1 1
arcsin y = d
= = =
dy dx sin x cos x 1 − sin2 x 1 − y2
42