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Analyse 2

              Notes de cours

              Andr´ Giroux
                    e
D´partement de Math´matiques et Statistique
 e                   e
          Universit´ de Montr´al
                   e         e
                Avril 2004
Table des mati`res
              e
1 INTRODUCTION                                                                                     4
  1.1 Exercices 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                          6

      ´
2 INTEGRATION DES FONCTIONS                     CONTINUES                                          7
  2.1 La continuit´ uniforme . . . . . . . .
                  e                             . . . . . . . . . .               .   .   .   .    7
  2.2 D´finition de l’int´grale . . . . . . .
        e                e                      . . . . . . . . . .               .   .   .   .    8
  2.3 Propri´t´s de l’int´grale . . . . . . .
            ee           e                      . . . . . . . . . .               .   .   .   .   12
  2.4 Exercices 2 . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . .               .   .   .   .   15

      ´   `
3 THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL                                          17
  3.1 Le th´or`me fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . 17
           e e
  3.2 Propri´t´s suppl´mentaires de l’int´grale . . . . . . . . . . . . 19
            ee        e                   e
  3.3 Exercices 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE                                                                     24
  4.1 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   24
  4.2 La fonction exponentielle . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   27
  4.3 Exposants irrationnels . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   29
  4.4 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   30
  4.5 Exercices 4 . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   32

5 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES      ´                                                               36
  5.1 D´finition des fonctions trigonom´triques
       e                                 e            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   36
  5.2 Propri´t´s des fonctions trigonom´triques
            ee                           e            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   39
  5.3 Les fonctions trigonom´triques inverses . .
                             e                        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   41
  5.4 La notion d’angle . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   43
  5.5 Exercices 5 . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   47

6 CALCUL DES PRIMITIVES                                                   50
  6.1 Primitives des fonctions analytiques usuelles . . . . . . . . . . 50
  6.2 Primitives des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . 53
  6.3 Exercices 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

      ´
7 INTEGRALES IMPROPRES                                                    58
  7.1 G´n´ralisation de l’int´grale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
        e e                  e
  7.2 La fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
  7.3 Exercices 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66




                                      1
´
8 SUITES ET SERIES DE FONCTIONS                                                                                     69
  8.1 La convergence uniforme . . . . . . . . .                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   69
  8.2 L’approximation des fonction continues                        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   74
  8.3 Les s´ries enti`res . . . . . . . . . . . . .
           e         e                                              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   76
  8.4 Exercices 8 . . . . . . . . . . . . . . . .                   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   81

    ´
9 SERIES DE TAYLOR                                                                                                  84
  9.1 D´veloppements limit´s . .
        e                    e          .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   84
      9.1.1 Notations de Landau         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   88
  9.2 S´ries infinies . . . . . . . .
       e                                .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   89
  9.3 Exercices 9 . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   95

    ´
10 SERIES DE FOURIER                                                                                               97
   10.1 La s´rie de Fourier . . . . . .
            e                               . . . . . . . . . . . . .                           .   .   .   .   . 97
   10.2 Th´or`mes de convergence . .
           e e                              . . . . . . . . . . . . .                           .   .   .   .   . 101
   10.3 L’approximation des fonctions       continues p´riodiques
                                                         e                                      .   .   .   .   . 107
   10.4 Exercices 10 . . . . . . . . . .    . . . . . . . . . . . . .                           .   .   .   .   . 109


Table des figures
   1     Sommes de Riemann . . . . . . . . .                .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    9
   2     Sommes de Darboux . . . . . . . . .                .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   11
   3     D´finition du logarithme . . . . . . .
          e                                                 .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   24
   4     Graphe du logarithme . . . . . . . .               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   26
   5     Graphe de l’exponentielle . . . . . .              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   28
   6     Les fonctions hyperboliques . . . . .              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   31
   7     L’arcsinus hyperbolique . . . . . . .              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   32
   8     Une fonction convexe . . . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   34
   9     D´finition de l’arccosinus . . . . . . .
           e                                                .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   36
   10    Le sinus et le cosinus . . . . . . . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   38
   11    La tangente . . . . . . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   39
   12    L’arcsinus et l’arccosinus . . . . . . .           .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   42
   13    L’arctangente . . . . . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   43
   14    Angle entre deux droites . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   44
   15    Le triangle rectangle . . . . . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   45
   16    Angle et longueur d’arc . . . . . . .              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   46
   17    Une substitution . . . . . . . . . . .             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   56
   18    Comparaison de s´ries et d’int´grales
                            e            e                  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   61
   19    La fonction gamma . . . . . . . . . .              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   63
   20    Quelques fonctions Qn (x) . . . . . .              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   74

                                       2
21   Les conditions de Dirichlet .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .    98
22   Quelques fonctions Dn (x) .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   104
23   Fonctions f2 et S6 (f2 ) . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   106
24   Fonctions f3 et S12 (f3 ) . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   107
25   Quelques fonctions Fn (x) .       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   109




                                       3
1    INTRODUCTION
     L’analyse math´matique est l’´tude approfondie du calcul diff´rentiel et
                      e             e                                   e
int´gral. Ce cours porte sur le calcul int´gral. Il se divise en trois parties. La
   e                                       e
premi`re pr´sente la d´finition et les propri´t´s de l’int´grale d’une fonction
        e     e           e                   ee            e
continue d’une variable r´elle. La seconde utilise cet outil pour introduire
                            e
les fonctions analytiques ´l´mentaires (les fonctions logarithmique, exponen-
                            ee
tielle, trigonom´triques directes et inverses, eul´riennes). La derni`re, enfin,
                  e                                e                    e
porte sur la repr´sentation de ces fonctions par des s´ries de Taylor et des
                    e                                     e
s´ries de Fourier.
 e
     Il s’agit d’un cours de math´matique formel, avec des d´monstrations
                                  e                                e
rigoureuses et compl`tes de tous les th´or`mes pr´sent´s. Les exercices pro-
                        e                 e e         e    e
pos´s sont de mˆme nature et exigent de l’´tudiant qu’il en compose des
    e               e                           e
solutions rigoureuses et compl`tes. Ce cours est un deuxi`me cours d’ana-
                                e                              e
lyse et suppose que l’´tudiant connaˆ d´j` les propri´t´s des fonctions conti-
                        e             ıt e a            ee
nues ainsi que celles des fonctions d´rivables. Rappelons quelques-unes de
                                        e
ces propri´t´s.
            ee

    On note [a, b] un intervalle compact (c’est-`-dire ferm´ born´),
                                                a          e     e

                            [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b},

]a, b[ un intervalle ouvert,

                               ]a, b[= {x | a < x < b}

et (a, b) un intervalle quelconque. (Ces notations pr´sument que a ≤ b). Un
                                                     e
intervalle compact peut ˆtre caract´ris´ par la propri´t´ suivante :
                          e          e e               ee
• Toute suite {xn }n≥1 de points de [a, b] contient une suite partielle {xnk }k≥1
     qui converge vers un point de [a, b] (th´or`me de Bolzano-Weierstrass).
                                              e e

    Soit f : (a, b) → R une fonction. Elle est dite continue sur (a, b) si elle
est continue en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire si en chaque point x0
                                                   a
de (a, b),
                              lim f (x) = f (x0 ).
                                x→x0

    Un fonction continue jouit des propri´t´s suivantes :
                                         ee
• L’image d’un intervalle quelconque par une fonction continue est un in-
     tervalle (propri´t´ des valeurs interm´diaires).
                     ee                    e
• L’image d’un intervalle compact par une fonction continue est un intervalle
     compact (propri´t´ des valeurs extrˆmes).
                     ee                  e

                                         4
Une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle y
admet une fonction inverse f −1 qui est elle aussi continue et strictement
monotone.
    Exemple.
    Si n ∈ N, la fonction x → x1/n est d´finie et continue pour x ≥ 0 si n est
                                        e
pair et pour tout x si n est impair.

    La fonction f : (a, b) → R est dite d´rivable sur (a, b) si elle est d´rivable
                                         e                                e
en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire si en chaque point x0 de (a, b), la
                                     a
limite suivante
                                    f (x) − f (x0 )
                               lim
                              x→x0      x − x0
existe. On ´crit alors
           e
                                           f (x) − f (x0 )
                         f (x0 ) = lim                     .
                                    x→x0       x − x0
La fonction f est dite continˆ ment d´rivable si sa d´riv´e f est continue.
                             u         e              e e
    Le th´or`me fondamental du calcul diff´rentiel est le th´or`me des ac-
         e e                               e               e e
croissements finis (quelquefois appel´ th´or`me de la moyenne ou encore
                                        e e e
th´or`me de Rolle lorsque f (a) = f (b) = 0) :
  e e
• Si f : [a, b] → R est continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[, il existe un
                                                e
      nombre c ∈]a, b[ tel que

                              f (b) − f (a) = f (c)(b − a).

   L’inverse d’une fonction d´rivable est d´rivable aux points y correspon-
                             e             e
dant aux points x o` f (x) = 0 (y = f (x) et x = f −1 (y)) et alors
                   u
                                                1
                                f −1 (y) =          .
                                              f (x)
   Exemple.
   Un polynˆme de degr´ n,
            o         e

                    Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ,

est d´rivable sur tout l’axe r´el et
     e                        e

                     Pn (x) = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 .

Une fonction rationnelle,
                                           Pn (x)
                                 R(x) =           ,
                                           Qm (x)

                                         5
est d´rivable aux points o` elle est d´finie (c’est-`-dire aux points o` le
     e                    u           e            a                  u
d´nominateur Qm (x) ne s’annule pas) et
 e

                             Pn (x)Qm (x) − Pn (x)Qm (x)
                   R (x) =                               .
                                       Q2 (x)
                                         m

Si p ∈ Q,
                           d p
                             x = p xp−1 , x > 0.
                          dx


1.1   Exercices 1
   Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
                 e
  1. V´rifier que la suite de points de [−1, 1] d´finie par
      e                                         e

                                        1 + (−1)n n
                                 xn =
                                           1+n
      ne converge pas. En exhiber une suite partielle convergente.
  2. Montrer qu’une fonction continue sur un intervalle ferm´ peut toujours
                                                             e
     ˆtre prolong´e ` une fonction continue sur R tout entier. Cela reste-t-il
     e           e a
     vrai pour un intervalle quelconque ?
  3. Donner un exemple d’une fonction continue sur un intervalle ferm´ qui
                                                                     e
     n’y est pas born´e ou qui n’y atteint pas ses bornes. Mˆme question
                     e                                      e
     pour un intervalle born´.
                            e
  4. Montrer qu’une fonction d´rivable sur un intervalle ferm´ peut toujours
                               e                             e
     ˆtre prolong´e ` une fonction d´rivable sur R tout entier.
     e           e a                e
  5. Les fonctions suivantes sont-elles d´rivables en tous les points de leur
                                         e
     domaine de d´finition :
                  e

                             x1/2 , x1/3 , x3/2 , x4/3 ?

  6. Soient 0 < a < b. D´terminer le point c du th´or`me des accroisse-
                          e                           e e
     ments finis pour la fonction f (x) = x2 . Mˆme question pour la fonction
                                               e
     f (x) = x3 .




                                        6
2        ´
      INTEGRATION DES FONCTIONS CONTINUES
   L’int´gration des fonctions continues repose sur une propri´t´ suppl´mentaire
         e                                                     ee      e
de ces fonctions lorsqu’on les consid`re sur des intervalles compacts.
                                     e

2.1   La continuit´ uniforme
                  e
    Dire d’une fonction f : (a, b) → R qu’elle est continue, c’est dire qu’elle
est continue en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire qu’` chaque point x0
                                                 a         a
et ` chaque > 0 correspond δ > 0 tel que
   a
          |x − x0 | < δ et x ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (x0 )| < .
Le nombre δ d´pend ` la fois de x0 et de
             e     a                           :
                                 δ = δ(x0 , ).
Lorsqu’il peut ˆtre choisi ind´pendamment du point x0 ,
               e              e
                                   δ = δ( ),
on dit que la fonction est uniform´ment continue sur l’intervalle (a, b).
                                  e
   En d’autres termes, une fonction f : (a, b) → R est uniform´ment   e
continue sur (a, b) si ` chaque > 0 correspond δ > 0 tel que
                       a
          |x − y| < δ et x, y ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (y)| < .
    Exemples.
    – La fonction f (x) = x2 est uniform´ment continue sur [0, 1] puisque :
                                        e
                     |x2 − y 2 | = |(x + y)(x − y)| ≤ 2|x − y|.
                           √
    – La fonction f (x) = x est uniform´ment continue sur [1, +∞[ ; en
                                             e
      vertu du th´or`me des accroissements finis en effet, il existe z entre x
                  e e
      et y tel que :
                          √       √      |x − y|    |x − y|
                         | x − y| = √ ≤                     .
                                          2 z          2
    – La fonction f (x) = x2 n’est pas uniform´ment continue sur [1, +∞[ ;
                                              e
      soient en effet xn = (n + 1/n) et yn = n. On a toujours
                                                       1
                           |f (xn ) − f (yn )| = 2 +      >2
                                                       n2
      bien que
                                          1
                                   |xn − yn | =
                                            .
                                          n
      Aucun nombre δ ne peut correspondre ` = 2.
                                          a

                                       7
√
   – La fonction f (x) = x est uniform´ment continue sur l’intervalle [0, 1],
                                      e
     en vertu du th´or`me suivant.
                    e e


Th´or`me 1 Une fonction f : [a, b] → R continue sur un intervalle com-
   e e
pact y est uniform´ment continue.
                  e

D´monstration. Supposons que le th´or`me est faux. Il existe alors > 0 tel
 e                                   e e
que, quelque soit δ > 0, on peut trouver deux points x, y de l’intervalle [a, b]
pour lesquels :
                      |x − y| < δ et |g(x) − g(y)| > .
Choisissons successivement δ = 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . On obtient deux suites
de points xn et yn de [a, b] tels que
                                    1
                    |xn − yn | <      et |g(xn ) − g(yn )| > .
                                    n
Par compacit´, la suite {xn }n≥1 contient une suite partielle {xnk }k≥1 qui
             e
converge vers un point z de [a, b]. Comme
                                                  1
                                 |xnk − ynk | <      ,
                                                  nk
la suite partielle {ynk }k≥1 correspondante converge aussi vers z. Par conti-
nuit´, on a donc
    e

                   lim (g(xnk ) − g(ynk )) = g(z) − g(z) = 0
                 k→+∞

ce qui est absurde puisque l’on a toujours

                               |g(xnk ) − g(ynk )| > .

C.Q.F.D.

2.2   D´finition de l’int´grale
       e                e
                                                                        `
   Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur un intervalle compact. A
chaque partition P de l’intervalle,

         P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } o` a = x0 < x1 < · · · < xn = b,
                                           u

associons avec Riemann une somme sup´rieure S(P, f ),
                                    e
                         n
           S(P, f ) =         sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }(xk − xk−1 ),
                        k=1


                                          8
et une somme inf´rieure s(P, f ),
                e
                            n
            s(P, f ) =           inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }(xk − xk−1 ).
                           k=1

 Lorsque la fonction est positive, ces sommes majorent et minorent respec-
tivement l’aire d´termin´e par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b
                 e      e
et le graphe de la fonction (figure (1) — les points de la partition ne sont
pas n´cessairement ´quidistants).
      e             e
               y

                                                    y   f x




                                                                        x
                   a                                             b



                            Fig. 1 – Sommes de Riemann

   Il est clair que l’on a

inf{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a) ≤ s(P, f ) ≤ S(P, f ) ≤ sup{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a)

pour toute partition P. Observons maintenant que, si Q est une partition
plus fine que P, c’est-`-dire si P ⊆ Q, on a
                      a

                       S(Q, f ) ≤ S(P, f ) ,     s(P, f ) ≤ s(Q, f ).        (1)

En effet, il suffit de v´rifier ces in´galit´s lorsque Q s’obtient de P par adjonc-
                      e           e     e
tion d’un seul point, Q = P ∪{x∗} ; or si j est l’indice tel que xj−1 < x∗ < xj ,
on a

                        sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(xj − xj−1 )
= sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(x ∗ −xj−1 )
≥ sup{f (x) | x∗ ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ x∗}(x ∗ −xj−1 )

et les autres termes de la somme S(P, f ) restent inchang´s. De ceci d´coule
                                                            e           e
la premi`re des in´galit´s (1). L’autre in´galit´ s’obtient de fa¸on similaire.
         e        e     e                 e     e                c

                                             9
On d´duit de ces relations que, quelles que soient les partitions P et Q, on
    e
a
             s(P, f ) ≤ s(P ∪ Q, f ) ≤ S(P ∪ Q, f ) ≤ S(Q, f ),
c’est-`-dire que toute somme inf´rieure est plus petite que toute somme
      a                           e
sup´rieure. Ainsi
    e
                         sup s(P, f ) ≤ inf S(P, f ).
                                        P                  P

En fait, on a toujours

                                       sup s(P, f ) = inf S(P, f ).                             (2)
                                        P                  P

Cela est une cons´quence de la continuit´ uniforme d’une fonction continue
                  e                     e
sur un intervalle compact. D´montrons la relation (2). Soit > 0 arbitraire.
                            e
Soit δ > 0 un nombre tel que

           |x − y| < δ et x, y ∈ [a, b] impliquent |f (x) − f (y)| <                        .
                                                                                    b−a
Soit aussi
                                        P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn }
une partition pour laquelle

                                      xk − xk−1 < δ pour tout k.

Soient enfin uk , vk ∈ [xk−1 , xk ] tels que, pour tout k,

 f (uk ) = inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk } , f (vk ) = sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }

(propri´t´ des valeurs extrˆmes). Alors
       ee                  e

                                            S(P, f ) − s(P, f )
     n
=         (sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk } − inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk })(xk − xk−1 )
    k=1
                n                                               n
           =         (f (vk ) − f (uk ))(xk − xk−1 ) ≤                     (xk − xk−1 ) =
                                                                     b−a
               k=1                                             k=1

ce qui d´montre la relation (2).
         e
    On exprime l’´quation (2) en disant que la fonction f est int´grable sur
                     e                                           e
l’intervalle [a, b], d’int´grale :
                          e
                                b
                                    f (x) dx = sup s(P, f ) = inf S(P, f ).
                            a                    P                   P


                                                      10
Lorsque f est positive, l’int´grale est donc exactement le nombre qui donne
                               e
l’aire d´termin´e par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b et le
        e       e
graphe de la fonction.
     La signification de l’int´grale ayant ´t´ bien ´tablie, nous pouvons main-
                             e            ee       e
tenant donner avec Darboux une fa¸on plus commode de la calculer (fi-
                                        c
gure (2) — les points o` la fonction est ´valu´e ne sont pas n´cessairement
                         u                 e     e                e
´quidistants).
e
               y

                                                              y    f x




                                                                                     x
                   a                                                            b



                                 Fig. 2 – Sommes de Darboux

Th´or`me 2 (Darboux) Quels que soient les nombres
  e e
                                       k−1             k
                       xk,n ∈ [a +         (b − a), a + (b − a)],
                                        n              n
on a
                             b                                     n
                                                b−a
                                 f (x) dx = lim                         f (xk,n ).
                         a                 n→+∞ n
                                                                  k=1

D´monstration. Soit
 e
                                       1             2
                   Pn = {a, a +          (b − a), a + (b − a), . . . , b}
                                       n             n
la partition uniforme de [a, b]. On a
                                                   n
                                    b−a
                       s(Pn , f ) ≤                     f (xk,n ) ≤ S(Pn , f )
                                     n
                                                  k=1

et
                                              b
                         s(Pn , f ) ≤             f (x) dx ≤ S(Pn , f ).
                                          a


                                                   11
Ainsi
                       b                                    n
                                      b−a
                           f (x) dx −                            f (xk,n ) ≤ S(Pn , f ) − s(Pn , f ).
                   a                   n
                                                           k=1

Or, en utilisant la continuit´ uniforme de la fonction f et la propri´t´ des
                             e                                       ee
valeurs extrˆmes, on voit comme pr´c´demment que
            e                        e e

                                              lim (S(Pn , f ) − s(Pn , f )) = 0.
                                         n→+∞

C.Q.F.D.
   Exemple.
   On a
                                1                                 n
                                                     1                 k       n+1  1
                                    x dx = lim                           = lim     = .
                            0                   n→+∞ n                 n n→+∞ 2n    2
                                                                 k=1



2.3     Propri´t´s de l’int´grale
              e e          e
     Les trois propri´t´s essentielles de l’int´grale d’une fonction continue sont
                     ee                        e
la lin´arit´, la positivit´ et l’additivit´.
      e    e              e               e

Th´or`me 3 (Lin´arit´ de l’int´grale) Soient f1 , f2 : [a, b] → R des
   e e             e      e          e
fonctions continues et c1 , c2 ∈ R des nombres. Alors
              b                                                             b                             b
                  (c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) dx = c1                               f1 (x) dx + c2                f2 (x) dx.
          a                                                             a                             a

D´monstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient :
 e
                                                     b
                                                         (c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) dx
                                                 a
                                         n
            b−a                                                   k                    k
      = lim                                     c1 f1 a +           (b − a) + c2 f2 a + (b − a)
        n→+∞ n                                                    n                    n
                                        k=1
                                    n                                                                     n
         b−a                                       k                 b−a                                                   k
= c1 lim                                 f1     a + (b − a) + c2 lim                                            f2 a +       (b − a)
    n→+∞ n                                         n            n→+∞ n                                                     n
                                k=1                                                                   k=1
                                                      b                              b
                                         = c1             f1 (x) dx + c2                 f2 (x) dx.
                                                  a                              a

C.Q.F.D.



                                                                   12
Th´or`me 4 (Positivit´ de l’int´grale) Soient f1 , f2 : [a, b] → R des
   e e                    e    e
fonctions continues telles que

                                         f1 (x) ≤ f2 (x) pour a ≤ x ≤ b.

Alors
                                               b                             b
                                                    f1 (x) dx ≤                  f2 (x) dx.
                                           a                             a

D´monstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient :
 e
                          b                                                  n
                                                        b−a                                            k
                              f1 (x) dx = lim                                        f1 a +              (b − a)
                      a                             n→+∞ n                                             n
                                                                         k=1
                                                    n                                                      b
                        b−a                                           k
                 ≤ lim                                  f2 a +          (b − a)                    =           f2 (x) dx.
                    n→+∞ n                                            n                                a
                                            k=1

C.Q.F.D.
    L’application de ce th´or`me aux fonctions f1 = ±f et f2 = |f | conduit
                          e e
a
` l’in´galit´ du triangle pour les int´grales :
      e     e                         e
                                                b                            b
                                                    f (x) dx ≤                   |f (x)| dx.
                                            a                            a



Th´or`me 5 (Additivit´ de l’int´grale) Soient f : [a, b] → R une fonc-
    e e                   e       e
tion continue et a < c < b. Alors
                                    b                           c                              b
                                        f (x) dx =                  f (x) dx +                     f (x) dx.
                                a                           a                              c

D´monstration. Soient P, P et P des partitions des intervalles [a, b], [a, c] et [c, b]
  e
respectivement. On a donc :

                                                    P ∪ {c} = P ∪ P .

En utilisant les in´galit´s (1), on voit d’une part que
                   e     e
      b
          f (x) dx = sup s(P, f ) ≤ sup s(P ∪ {c}, f ) = sup (s(P , f ) + s(P , f ))
  a                       P                             P                                      P ∪P
                                                                                     c                              b
               ≤ sup s(P , f ) + sup s(P , f ) =                                         f (x) dx +                     f (x) dx
                  P                             P                                a                              c


                                                                    13
(exercice (11)) et d’autre part que
      b
          f (x) dx = inf S(P, f ) ≥ inf S(P ∪ {c}, f ) = inf (S(P , f ) + S(P , f ))
  a                   P                          P                                      P ∪P
                                                                             c                      b
               ≥ inf S(P , f ) + inf S(P , f ) =                                 f (x) dx +             f (x) dx.
                  P                      P                               a                      c

C.Q.F.D.
   Il commode de poser
                                         a                                  b
                                             f (x) dx = −                       f (x) dx.
                                     b                                  a

L’int´grale
     e
                                                         b
                                                             f (x) dx
                                                     a
est ainsi d´finie quelle que soit la position relative des bornes d’int´gration
           e                                                          e
a et b — mais la propri´t´ de positivit´ ne vaut que si a < b.
                        ee              e

      Exemple.
      Si f : [0, +∞[→ R est continue et limx→+∞ f (x) = L,
                                                                 x
                                           1
                                             lim                     f (t) dt = L.
                                      x→+∞ x                 0

En effet, quelque soit               > 0,
                                x
                           1                       1 x
                                    f (t) dt − L =      (f (t) − L) dt
                           x  0                    x 0
                            1 y                     1 x
                          ≤       |f (t) − L| dt +        |f (t) − L| dt
                            x 0                     x y
                            y                     x−y
                          ≤    sup |f (t) − L| +        sup |f (t) − L|
                            x t≥0                   x    t≥y
                                  y                     x−y
                                <     sup |f (t) − L| +
                                  x t≥0                    x 2
d`s que y = y est assez grand puis, y ainsi fix´,
 e                                            e
                                             x
                                1
                                                 f (t) dt − L <                     +       <
                                x        0                                      2       2
d`s que
 e
                                                 2 y supt≥0 |f (t) − L|
                                     x>                                                     .


                                                                 14
2.4   Exercices 2
  Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
                e
  1. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R admettant une d´riv´e born´e
                                                           e e        e
     est uniform´ment continue.
                e
  2. En d´duire qu’une fonction rationnelle R : R → R born´e est uni-
          e                                               e
     form´ment continue sur R.
         e
  3. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R qui est uniform´ment continue
                                                           e
     sur (a, c] et sur [c, b) l’est aussi sur (a, b).
                                              √
  4. En d´duire que la fonction f (x) = 3 x est uniform´ment continue sur
          e                                             e
     R.
  5. La fonction f (x) = 1/x est-elle uniform´ment continue sur l’intervalle
                                             e
     ]0, 1] ? sur l’intervalle [1, +∞[ ?
  6. Les sommes sup´rieures et les sommes inf´rieures de Riemann peuvent
                     e                          e
     ˆtre calcul´es pour toute fonction born´e f : [a, b] → R mais il n’est
     e          e                             e
     plus certain que la fonction soit int´grable, c’est-`-dire que l’´quation
                                          e              a            e
     (2) soit vraie. Consid´rer avec Dirichlet la fonction indicatrice des
                            e
     nombres rationnels :

                                                                      1   si x ∈ Q
                                   f (x) = IQ (x) =
                                                                      0   sinon .

      Montrer qu’elle n’est int´grable sur aucun intervalle.
                               e
  7. D´montrer l’in´galit´ de Cauchy-Schwarz : si f, g : [a, b] → R sont
       e            e    e
     continues, alors

                           b                              b                        b
                               f (x)g(x) dx ≤                 f 2 (x) dx               g 2 (x) dx.
                       a                              a                        a

      (Suggestion : choisir le nombre λ de fa¸on optimale dans l’in´galit´ :
                                             c                     e     e
                                              b
                                     0≤           (f (x) + λg(x))2 dx.)
                                          a

  8. En d´duire l’in´galit´ de Minkowski :
         e          e     e

                   b                                              b                           b
                       (f (x) + g(x))2 dx ≤                           f (x)2 dx +                 g(x)2 dx.
               a                                              a                           a




                                                    15
9. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b]
    tel que
                                     b
                                         f (x) dx = f (c)(b − a).
                                 a
    (Premier th´or`me de la moyenne).
               e e
10. Soit f : [a, b] → [0, +∞[ une fonction continue et positive telle que
                                               b
                                                   f (x) dx = 0.
                                           a

    Montrer qu’elle est identiquement nulle.
11. V´rifier les relations suivantes :
     e

                             sup (a + b) ≤ sup a + sup b,
                        a∈A, b∈B                         a∈A         b∈B

                             inf          (a + b) ≥ inf a + inf b.
                        a∈A, b∈B                         a∈A         b∈B

12. Soient f : [a, b] → R une fonction continue et {an }n≥1 une suite de
    nombres convergeant vers a, an > a. Montrer que
                             b                                 b
                                 f (x) dx = lim                    f (x) dx.
                         a                           n→+∞ a
                                                            n




                                                   16
3       ´  `
      THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL
   Le th´or`me fondamental du calcul constitue la fa¸on habituelle d’´valuer
         e e                                        c                e
une int´grale. Il en fait aussi apparaˆ des propri´t´s suppl´mentaires.
       e                              ıtre        ee        e

3.1      Le th´or`me fondamental du calcul
              e e
    Faisant le lien entre le calcul diff´rentiel et le calcul int´gral en montrant
                                       e                        e
que la d´rivation et l’int´gration sont les op´rations inverses l’une de l’autre,
        e                 e                    e
le th´or`me fondamental du calcul a deux facettes.
     e e

Th´or`me 6 (Th´or`me fondamental du calcul I) Soit f : [a, b] → R
   e e             e e
une fonction continue. Alors, pour tout x ∈ [a, b],
                                         x
                                 d
                                             f (t) dt = f (x).
                                dx   a

D´monstration. Posons
 e                                                  x
                                 I(x) =                 f (t) dt.
                                                a
Soient a < x < b et h > 0 assez petit pour que les points x ± h soient dans
[a, b]. On a, en vertu des propri´t´s de lin´arit´ et d’additivit´ de l’int´grale,
                                 ee         e    e                e        e
que
               I(x + h) − I(x)             1 x+h
                               − f (x) =           (f (t) − f (x)) dt
                      h                    h x
et que
                                                             x
               I(x − h) − I(x)           1
                               − f (x) =                          (f (t) − f (x)) dt
                     −h                  h                  x−h
de telle sorte que, en vertu cette fois de la positivit´,
                                                       e

          I(x + h) − I(x)
                          − f (x) ≤ sup{|f (t) − f (x)| | x ≤ t ≤ x + h}
                 h
et que

         I(x − h) − I(x)
                         − f (x) ≤ sup{|f (t) − f (x)| | x − h ≤ t ≤ x}.
               −h

En utilisant la continuit´ de la fonction f au point x, on voit donc que
                         e

                              I(x + h) − I(x)
                          lim                 = f (x).
                          h→0        h

                                               17
Les cas o` x = a et o` x = b sont similaires. C.Q.F.D.
         u           u
   Remarque.
   Puisque
                         b                            x                        b
                             f (t) dt =                   f (t) dt +               f (t) dt,
                     a                            a                        x
on a aussi
                                              b
                                    d
                                                  f (t) dt = −f (x).
                                   dx     x



Th´or`me 7 (Th´or`me fondamental du calcul II) Soit F : [a, b] → R
   e e             e e
une fonction continˆment d´rivable. Alors
                   u      e
                                   b
                                       F (x) dx = F (b) − F (a).
                               a

D´monstration. Consid´rons la fonction
 e                   e
                                                               x
                                       J(x) =                      F (t) dt.
                                                           a

En vertu du th´or`me pr´c´dent, on a
              e e      e e

                                          J (x) = F (x).

Les fonction J(x) et F (x) − F (a) admettent donc la mˆme d´riv´e sur l’in-
                                                      e    e e
tervalle [a, b]. Comme elles s’annulent toutes les deux pour x = a, elles
co¨
  ıncident partout sur l’intervalle [a, b] :

                                       J(b) = F (b) − F (a).

C.Q.F.D.
   En vertu de ce th´or`me, il suffit donc, pour ´valuer
                    e e                        e
                                                      b
                                                          f (x) dx,
                                                  a

de trouver une fonction F (x) telle que F (x) = f (x). On a alors tout sim-
plement
                                   b
                                       f (x) dx = F (b) − F (a).
                               a
(Pour abr´ger l’´criture, on ´crit
         e      e            e
                                                                          b
                               F (b) − F (a) = F (x) . )
                                                                          a


                                                           18
Une telle fonction F se nomme primitive de f (puisque que f est sa d´riv´e)
                                                                    e e
ou encore int´grale ind´finie de f . On la d´note par
              e           e                 e

                                             f (x) dx.

En d’autres mots,

                     F (x) =            f (x) dx ⇔ F (x) = f (x).

Une primitive n’est d´finie qu’` l’addition d’une constante pr`s.
                      e       a                              e
   Toute fonction continue f admet une primitive, nomm´ment la fonction
                                                          e
d´finie par l’´quation
 e           e
                                                      x
                                       F (x) =            f (t) dt
                                                  a
(en vertu du th´or`me (6)) mais si cela s’av`re ˆtre la seule repr´sentation
                 e e                            e e                  e
disponible de F , elle n’est gu`re utile pour ´valuer l’int´grale « d´finie » de
                               e              e            e         e
f . Cette situation se pr´sente cependant quelquefois. Et, en r`gle g´n´rale,
                          e                                       e    e e
le calcul des primitives est beaucoup plus difficile que le calcul des d´riv´es.
                                                                       e e

   Exemple.
   Si p ∈ Q, p = −1,
                                                          xp+1
                                          xp dx =
                                                          p+1
puisque
                                    d p+1
                                      x   = (p + 1)xp .
                                   dx
On a donc, si 0 < a < b,
                                   b
                                                 bp+1 − ap+1
                                       xp dx =               .
                               a                    p+1



3.2    Propri´t´s suppl´mentaires de l’int´grale
             e e       e                  e
    Le th´or`me fondamental du calcul met en lumi`re deux autres propri´t´s
          e e                                          e                      ee
de l’int´grale : l’int´gration par parties qui correspond a la r`gle de d´rivation
        e             e                                   `     e        e
d’un produit et la formule de changement de variable qui correspond ` la      a
r`gle de d´rivation en chaˆ (exercice (7)).
 e         e                 ıne



                                                 19
Th´or`me 8 (Int´gration par parties) Soient F, G : [a, b] → R des fonc-
    e e           e
tions continˆment d´rivables. Alors
            u      e
                     b                                             b           b
                         F (x)G (x) dx = F (x)G(x)                     −           F (x)G(x) dx.            (3)
                 a                                                 a       a

D´monstration. Puisque
 e
                            d
                              F (x)G(x) = F (x)G(x) + F (x)G (x),
                           dx
on a
                  F (x)G(x) =         F (x)G(x) dx +                       F (x)G (x) dx

c’est-`-dire
      a

                          F (x)G (x) dx = F (x)G(x) −                      F (x)G(x) dx

donc
      b                                               b                              b                      b
          F (x)G (x) dx =        F (x)G (x) dx            = F (x)G(x)                    −   F (x)G(x) dx
  a                                                   a                              a                      a
                                             b                b
                             = F (x)G(x)         −                F (x)G(x) dx.
                                             a            a

C.Q.F.D.
   L’utilisation de la formule (3) pour ´valuer une int´grale
                                        e              e
                                                 b
                                                     h(x) dx
                                             a

repose sur une factorisation judicieuse de la fonction h(x) sous la forme
h(x) = F (x)G (x).
   Exemple.
   Soit ` ´valuer
        ae
                               1 √
                                 x x + 1 dx.
                                         0
                                     √
Posant F (x) = x et G (x) = x + 1, on a F (x) = 1 et G(x) = 2(x + 1)3/2 /3.
Ainsi
                 √           2                 2
               x x + 1 dx = x(x + 1)3/2 −        (x + 1)3/2 dx
                             3                 3
             2              4               2
          = x(x + 1)3/2 − (x + 1)5/2 = (x + 1)3/2 (3x − 2)
             3              15             15

                                                     20
et                                                         √
                              1    √           2   3/2   4( 2 + 1)
                                  x x + 1 dx =    2 +2 =           .
                          0                    15           15

Th´or`me 9 (Changement de variable) Soit φ : [c, d] → R une fonc-
    e e
tion continˆment d´rivable strictement monotone et telle que φ([c, d]) =
            u        e
[a, b]. Pour toute fonction continue f : [a, b] → R, on a
                                         b                             d
                                             f (x) dx =                    f (φ(t))|φ (t)| dt.                                (4)
                                     a                             c
D´monstration. Soit F une primitive de f . Alors
 e

                                              f (φ(t))φ (t) dt = F (φ(t)).

La fonction φ effectue une bijection de l’intervalle [c, d] sur l’intervalle [a, b].
   Si φ est croissante (c’est-`-dire si φ > 0), on a
                              a
                  d                                                    d                             b
                      f (φ(t))φ (t) dt = F (φ(t))                          = F (b) − F (a) =             f (x) dx
              c                                                        c                         a
alors que si φ est d´croissante (c’est-`-dire si φ < 0), on a
                    e                  a
         d                                                                 d                                  b
             f (φ(t))(−φ (t)) dt = −F (φ(t))                                   = −F (a) + F (b) =                 f (x) dx.
     c                                                                     c                              a
C.Q.F.D.
   L’utilisation de la formule (4) pour ´valuer une int´grale
                                        e              e
                                                               b
                                                                   f (x) dx
                                                           a

repose sur sur un choix appropri´ de la nouvelle variable t = φ−1 (x).
                                e
   Exemple.
   Soit ` ´valuer
        ae
                                                       1
                                                           x x2 + 1 dx.
                                                   0
On pose t = x2 + 1 de telle sorte que
                                dt
                                   = 2x ≥ 0,
                                dx
l’intervalle 0 ≤ x ≤ 1 correspondant ` l’intervalle 1 ≤ t ≤ 2. On a
                                      a
                1                 2√
                                                           √
                     2 + 1 dx =
                                       1      1 3/2 2 2 2 − 1
                  x x                t dt = t           =         .
              0                 1      2      3       1      3


                                                                   21
3.3   Exercices 3
  Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
                e
  1. D´duire le th´or`me fondamental du calcul (th´or`me (6)) du premier
       e          e e                             e e
     th´or`me de la moyenne (exercice (9) du chapitre 2).
       e e
  2. Soient f : R → R une fonction continue et a, b : R → R des fonctions
     d´rivables telles que a(x) < b(x). Calculer
      e
                                                 b(x)
                                    d
                                                          f (t) dt.
                                   dx        a(x)

  3. Soit f : R → R une fonction continue. Calculer
                                             1
                                   d
                                                 f (x + t) dt.
                                  dx     0

  4. Soit f : R → R une fonction continue et p´riodique de p´riode 2p
                                                   e               e
     (f (t + 2p) = f (t) pour tout t). Montrer que, quel que soit le nombre
     x,
                                x+2p                                2p
                                       f (t) dt =                        f (t) dt.
                            x                                   0

  5. Soit f : [0, +∞[→ R une fonction continue. Posons
                                                            x
                                                 1
                                 φ(x) =                         f (t) dt.
                                                 x      0

      Montrer que φ est croissante si f l’est.
  6. Soit p > 0. Calculer
                                                      n
                                                                 kp
                                       lim                           .
                                   n→+∞                         np+1
                                                     k=1

  7. D´duire la r`gle de d´rivation d’un quotient de la r`gle de d´rivation
       e         e        e                              e        e
     d’un produit.
  8. Soit p > 2. Calculer
                                                 n
                                                         knp−2
                                  lim                            .
                                 n→+∞                   (k + n)p
                                             k=1

  9. Soit f : [−A, A] → R une fonction continue. Montrer que si f est
     impaire (c’est-`-dire f (−x) = −f (x) pour tout x),
                    a
                                        A
                                             f (x) dx = 0
                                       −A


                                            22
et que si f est paire (c’est-`-dire f (−x) = f (x) pour tout x),
                                 a
                                 A                                     A
                                     f (x) dx = 2                          f (x) dx.
                                −A                                 0

10. Soit f : [0, a] → R une fonction continˆment d´rivable. Montrer que
                                           u      e
                                                 a                         a
                     af (a) =                        f (x) dx +                xf (x) dx.
                                             0                         0

    Donner une interpr´tation g´om´trique de cette relation dans le cas
                        e      e e
    o` f (x) > 0 et f (0) = 0.
     u
11. Soient F : [a, b] → R une fonction continˆment d´rivable, positive et
                                             u      e
    d´croissante et g : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il
     e
    existe c ∈ [a, b] tel que
                           b                                                    c
                               F (x)g(x) dx = F (a)                                 g(x) dx.
                       a                                                    a

    (Deuxi`me th´or`me de la moyenne — comparer avec le premier (exer-
           e      e e
    cice (9) du chapitre 2)). (Suggestion : introduire la fonction
                                                               x
                                         G(x) =                    g(t) dt
                                                           a

    et int´grer par parties.)
          e
12. Soit p > 0. Montrer qu’il existe un nombre c ∈ [0, 1] tel que
                                         1
                                               xp         cp+1
                                                     dx =      .
                                     0       x2p + 1      p+1




                                                      23
4     LOGARITHME ET EXPONENTIELLE
    Les fonctions logarithmique et exponentielle sont ´troitement associ´es
                                                      e                 e
a e
` l’´tude des ph´nom`nes de croissance.
                e     e

4.1   Le logarithme
    On sait que la fonction x → 1/x n’admet pas de primitive rationnelle.
Le logarithme est la fonction log : ]0, +∞[→ R d´finie par
                                                e
                                                  x
                                                      dt
                                  log x =                .
                                              1        t
(figure (3)). En vertu du th´or`me fondamental du calcul (th´or`me (6)), le
                           e e                             e e
logarithme est une fonction d´rivable et
                             e
                                   d        1
                                     log x = .
                                  dx        x
Autre notation : ln x.
                 y

                2

              1.5                        y 1 x

                1

              0.5

                                                                       x
                         0.5      1    1.5             2     2.5   3

                     Fig. 3 – D´finition du logarithme
                               e

             ´
Th´or`me 10 (Equation fonctionnelle du logarithme) On a
  e e
                               log xy = log x + log y                      (5)
et si f : ]0, +∞[→ R est une fonction d´rivable telle que
                                       e
                               f (xy) = f (x) + f (y),                     (6)
il existe un nombre c ∈ R tel que
                                  f (x) = c log x.

                                         24
D´monstration. Pour d´montrer la premi`re affirmation, introduisons la
  e                  e                e
fonction
                       φ(x) = log xy − log y
(en fixant arbitrairement y > 0). Comme
                                         1    d
                             φ (x) =       =    log x
                                         x   dx
et comme
                               φ(1) = 0 = log 1,
on doit avoir
                                  φ(x) = log x.
Si, d’autre part, f satisfait l’´quation fonctionnelle (6), on aura, en d´rivant
                                e                                        e
par rapport ` x que, quelque soit y > 0,
             a

                                 yf (xy) = f (x)

donc
                                 yf (y) = f (1).
En passant aux primitives,

                            f (y) = f (1) log y + K

o` K est une constante. Puisque l’´quation fonctionnelle entraˆ que f (1) = 2f (1),
 u                                e                           ıne
f (1) = 0 donc K = 0 et on a bien

                                  f (x) = c log x

en posant c = f (1). C.Q.F.D.

     Comme cons´quences de l’´quation (5), on a
               e             e
                                       1
                                 log     = − log x,
                                       x
et
                      log xn = n log x pour tout n ∈ N
donc aussi
                                 1
                    log x1/m =     log x pour tout m ∈ N
                                 m
c’est-`-dire
      a
                    log xp = p log x quelque soit p ∈ Q.

                                          25
Puisque, de plus,
                            d2             1
                                log x = − 2 < 0,
                           dx2             x
le logarithme est une fonction strictement concave qui croˆ (stricte-
                                                              ıt
ment) de −∞ ` +∞ lorsque son argument croˆ de 0 ` +∞. Ces donn´es
               a                               ıt    a               e
permettent de tracer son graphe (figure (4)).
    La concavit´ d’une fonction entraˆ pour cette fonction d’importantes
               e                       ıne
cons´quences. (Exercices (7), (8), (9)).
     e


               2

               1

                           2       4        6      8       10
              -1

              -2


                         Fig. 4 – Graphe du logarithme


   Remarque.
   Le logarithme tend vers +∞ avec son argument mais plus lentement que
toute puissance (si petite soit-elle) de cet argument. En vertu de la r`gle de
                                                                       e
l’Hospital, on a en effet, que quel que soit p > 0 :

                   log x        x−1         1
                   limp
                         = lim   p−1
                                     = lim     = 0.
               x→+∞ x     x→+∞ px     x→+∞ pxp


   Exemple.
   On estime le nombre N d’atomes dans l’univers visible `
                                                         a

            N = 10000000000000000000000000000000000000000
              0000000000000000000000000000000000000000.

   Le logarithme de ce nombre est

                                 log N < 240.




                                       26
Th´or`me 11
  e e
                                    log e = 1.
D´monstration. Le nombre e est d´fini par
 e                              e
                                                      n
                                                  1
                             e = lim         1+           .
                                n→+∞              n
En utilisant les propri´t´s du logarithme, on obtient :
                       ee
                                        n
                                    1                                 1 n
         log e = log   lim     1+            = lim            log 1 +
                       n→+∞         n             n→+∞                n
                                                       1
                                  1            log 1 + n          − log 1
            = lim n log 1 +           = lim
              n→+∞                n      n→+∞         1/n
                                 d
                              =     log x     = 1.
                                dx        x=1
C.Q.F.D.

4.2   La fonction exponentielle
   La fonction exponentielle est la fonction inverse du logarithme, exp : R →]0, +∞[,
d´finie par la relation
 e
                          exp x = y ⇔ x = log y,
autrement dit
         exp(log y) = y si y > 0,    log(exp x) = x pour tout x ∈ R.
L’´quation fonctionnelle (5) du logarithme se traduit donc par l’´quation
  e                                                              e
fonctionnelle suivante pour l’exponentielle :
                        exp(x1 + x2 ) = exp x1 exp x2 .


  e e        ´
Th´or`me 12 (Equation diff´rentielle de l’exponentielle) On a
                         e
                               d
                                 exp x = exp x
                              dx
et si f : R → R est une fonction d´rivable telle que
                                  e
                                f (x) = af (x)
avec a ∈ R, il existe un nombre c ∈ R tel que
                               f (x) = c exp(ax).

                                        27
D´monstration. En vertu de la r`gle pour d´river une fonction inverse, on a
  e                            e           e
bien
                 d              1        1
                   exp x = d         =       = y = exp x.
                dx          dy log y
                                       1/y
D’autre part, introduisant la fonction

                           g(x) = f (x) exp(−ax),

on a

g (x) = f (x) exp(−ax) − af (x) exp(−ax) = (f (x) − af (x)) exp(−ax) = 0

ce qui entraˆ
            ıne
                                  g(x) = c
pour une constante c appropri´e. C.Q.F.D.
                             e

     Comme pour toute fonction inverse, le graphe de la fonction exponen-
tielle (figure (5)) est le sym´trique de celui du logarithme relativement ` la
                             e                                           a
bissectrice y = x. Il s’agit d’une courbe strictement convexe qui croˆ     ıt
(strictement) de 0 ` +∞ lorsque l’abscisse croˆ de −∞ ` +∞ et ce, plus
                     a                           ıt        a
rapidement que toute puissance de cette abscisse (exercice (13)).


                                   20


                                   15


                                   10


                                    5


              -3     -2      -1              1      2      3

                    Fig. 5 – Graphe de l’exponentielle




                                     28
4.3    Exposants irrationnels
    Si n ∈ N est un entier naturel, xn est ´gal au produit de x par lui-mˆme
                                           e                              e
n fois et, lorsque x = 0, x−n est ´gal ` celui de x−1 par lui-mˆme n fois. Si
                                  e    a                        e
m ∈ N, la fonction x → x1/m est la fonction inverse de xm (elle est d´finie
                                                                        e
pour tout x ∈ R si m si impair et pour tout x ≥ 0 si m est pair). On convient
enfin de poser x0 = 1 lorsque x > 0.
    La fonction x → xp est donc bien d´finie sur l’intervalle ]0, +∞[ pour
                                          e
tout exposant p ∈ Q. Observons que l’on a

                          exp(p log x) = exp(log xp ) = xp .

Cette propri´t´ permet d’introduire des exposants irrationnels.
             ee
    Soit a ∈ R un nombre r´el quelconque. La fonction x → xa est la fonction
                          e
]0, +∞[ → ]0, +∞[ d´finie par l’´quation
                    e          e

                                  xa = exp(a log x).

    Observons que, en vertu du th´or`me (11), l’on a en particulier :
                                 e e

                            ea = exp a pour tout a ∈ R.

Les r`gles de calcul avec les exposants restent encore vraies.
     e

Th´or`me 13 (R`gles des exposants) Soient a, a1 , a2 ∈ R et x, y > 0.
   e e        e
Alors
a) (xy)a = xa y a
b) xa1 +a2 = xa1 xa2
c) xa1 a2 = (xa1 )a2

D´monstration. En vertu de la d´finition que nous avons pos´e, on a succes-
  e                            e                          e
sivement
a) (xy)a = ea log xy = ea log x+a log y = ea log x ea log y = xa y a ;
b) xa1 +a2 = e(a1 +a2 ) log x = ea1 log x+a2 log x = ea1 log x ea2 log x = xa1 xa2 ;
c) (xa1 )a2 = exp(a2 log xa1 ) = exp(a2 log(exp(a1 log x))) = exp(a2 a1 log x) =
    xa1 a2 .
C.Q.F.D.
   Une cons´quence en est que la formule de d´rivation
           e                                 e
                                      d a
                                        x = axa−1
                                     dx

                                            29
reste toujours valable.
    Fixons maintenant b > 0, b = 1, et consid´rons la fonction g : R →]0, +∞[
                                             e
d´finie par
 e
                                 g(x) = bx .
Puisque
                             d
                               g(x) = bx log b,
                            dx
elle est strictement monotone (croissante si b > 1, d´croissante si b < 1).
                                                     e
Son inverse est le logarithme de base b, d´not´ par logb . Autrement dit
                                             e e

                             x = logb y ⇔ y = bx .



4.4   Les fonctions hyperboliques
   Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont les fonctions R → R
d´finies par les relations
 e

                             ex + e−x            ex − e−x
                  cosh x =            , sinh x =
                                 2                   2
respectivement.

Th´or`me 14 Les fonctions hyperboliques jouissent des propri´t´s suivantes :
  e e                                                       ee
a) cosh2 x − sinh2 x = 1 ;
b) cosh x = sinh x , sinh x = cosh x ;
c) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y,
     sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x.

   D´monstration. En vertu des d´finitions que nous avons pos´es, on a
     e                          e                           e
successivement
a)
                                  e2x + 2 + e−2x e2x − 2 + e−2x
            cosh2 x − sinh2 x =                 −               = 1;
                                         4              4
b)
                      ex − e−x                     ex + e−x
           cosh x =            = sinh x , sinh x =          = cosh x;
                          2                            2



                                      30
c)
                                   cosh x cosh y + sinh x sinh y
            ex+y   +   ex−y   +e−x+y    + e−x−y       ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y
        =                                         +
                               4                                   4
                                    ex+y + e−x−y
                               =                 = cosh(x + y),
                                          2

                                   sinh x cosh y + sinh y cosh x
            ex+y   +   ex−y   −e−x+y    − e−x−y       ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y
        =                                         +
                               4                                   4
                                    ex+y − e−x−y
                               =                 = sinh(x + y).
                                          2
C.Q.F.D.

   Les graphes des fonctions hyperboliques se d´duisent de celui de l’expo-
                                               e
nentielle.

                                           15

                                           10         cosh x

                                            5


              -4               -2                          2        4
                   sinh x
                                           -5



                       Fig. 6 – Les fonctions hyperboliques

    Sa d´riv´e ´tant strictement positive, le sinus hyperbolique est une fonc-
         e e e
tion strictement croissante et admet une fonction inverse partout d´rivable,
                                                                      e
l’arcsinus hyperbolique, arcsinh : R → R.
    En r´solvant l’´quation quadratique
         e         e
                                      e2x − 1 = 2 y ex
a
` l’aide de la formule de Vi`te, on trouve
                            e
                                     ex = y +     1 + y2

                                             31
c’est-`-dire
      a
                       arcsinh y = log(y +       1 + y 2 ).
En d´rivant cette derni`re relation ou en utilisant la formule pour la d´riv´e
    e                   e                                               e e
d’une fonction inverse, on obtient enfin
                           d                     1
                             arcsinh y =                    .
                          dy                   1 + y2
Le graphe de l’arcsinus hyperbolique s’en d´duit.
                                           e

                                     3

                                     2

                                     1

               -10        -5                            5       10
                                   -1

                                   -2

                                   -3

                     Fig. 7 – L’arcsinus hyperbolique


4.5    Exercices 4
   Justifier compl`tement toutes ses affirmations.
                 e
   1. Soit
                                         n
                                             1
                                xn =           − log n.
                                             k
                                       k=1
      Montrer que la suite {xn }n∈N est d´croissante et minor´e par 1 − log 2
                                         e                   e
      — sa limite est la constante d’Euler-Mascheroni, d´not´e γ.
                                                         e e
   2. D´terminer toutes les fonctions ]0, +∞, [ → ]0, +∞[ d´rivables qui sa-
        e                                                  e
      tisfont l’´quation fonctionnelle
                e

                                f (xy) = f (x)f (y).

   3. Tracer le graphe de la fonction
                                              log x
                                   f (x) =          .
                                                x

                                       32
4. Calculer les limites suivantes :
   a)
                                         lim xa log x
                                         x→0

   b)
                                            lim xx
                                           x→0

   c)
                                           lim x1/x
                                           x→0

   d)
                                           lim x1/x .
                                         x→+∞

5. Soient 0 < a < b. Lequel des deux nombres suivants est le plus grand :
   ab ou ba ?
6. Calculer
                                                 x     n
                                   lim     1+              .
                               n→+∞              n
7. Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´rivable et telle que f (x) ≥ 0.
                                             e
   Montrer qu’elle satisfait l’in´galit´ de convexit´ suivante :
                                 e     e                e
                                           x2 − x3           x3 − x1
          x1 < x3 < x2 ⇒ f (x3 ) ≤                 f (x1 ) +         f (x2 )
                                           x2 − x1           x2 − x1
   qui exprime que son graphe est situ´ sous n’importe laquelle de ses
                                        e
   s´cantes (figure (8)). (Suggestion : utiliser le th´or`me des accroisse-
    e                                                e e
   ments finis.)
8. V´rifier que l’in´galit´ pr´c´dente peut s’´crire
    e              e     e e e               e

                    f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 )

   avec
                        λ1 > 0, λ2 > 0 et λ1 + λ2 = 1
   (une combinaison convexe de deux nombres). La g´n´raliser ` une
                                                  e e        a
   combinaison convexe de n nombres
                              n                   n
                        f          λk xk    ≤          λk f (xk )
                             k=1                 k=1

   par r´currence sur n (in´galit´ de Jensen).
        e                  e     e


                                      33
9. Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´rivable et telle que f (x) ≥ 0.
                                              e
    Montrer que quel que soit x0 ∈]a, b[, le graphe de f est situ´ au-dessus
                                                                   e
    de sa tangente en x0 :
                           f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 )
    (figure (8)).(Suggestion : utiliser le th´or`me fondamental du calcul.)
                                            e e




                                      le graphe de f


                    une sécante


                                        une tangente


                     Fig. 8 – Une fonction convexe


10. D´montrer l’in´galit´ entre la moyenne arithm´tique et la moyenne
      e           e     e                                 e
    g´om´trique de n nombres positifs x1 , x2 , . . . , xn :
     e e
                     √                      1
                     n
                         x1 x2 · · · xn ≤     (x1 + x2 + · · · + xn ).
                                            n
11. D´montrer l’in´galit´ entre la moyenne g´om´trique et la moyenne
     e            e     e                     e e
    harmonique de n nombres strictement positifs x1 , x2 , . . . , xn :
                             n                √
                                            ≤ n x1 x2 · · · xn .
                 1/x1 + 1/x2 + · · · + 1/xn
12. Montrer que
                                     log x ≤ x − 1.
13. Montrer que
                                       ex ≥ x + 1.
    En d´duire directement (c’est-`-dire sans utiliser la r`gle de l’Hospital)
         e                        a                        e
    que, quel que soit n ∈ N,
                                          xn
                                      lim    = 0.
                                     x→+∞ ex


                                        34
(Suggestion :
                               x     x/2 1
                                 = 2 x/2 x/2 ;
                              ex     e  e
    raisonner par r´currence sur n.)
                   e
14. D´terminer toutes les fonctions R → R qui satisfont l’´quation diff´rentielle
     e                                                    e           e

                               f (x) = −xf (x).

15. D´terminer la solution de l’´quation logistique :
     e                          e

                       f (x) = af (x)(b − f (x)) , x > 0

    o` a > 0 et b > 0 si 0 < f (0) < b.
     u
16. Montrer que
                                            log y
                                 logb y =         .
                                            log b
17. La fonction tangente hyperbolique est d´finie par
                                           e
                                            sinh x
                               tanh x =            .
                                            cosh x
    V´rifier qu’elle satisfait l’´quation diff´rentielle
     e                          e           e

                              f (x) = 1 − f 2 (x).

    Exprimer tanh(x+y) en terme de tanh x et de tanh y. Tracer le graphe.
18. V´rifier que la tangente hyperbolique admet une fonction inverse, l’arc-
      e
    tangente hyperbolique, arctanh : ] − 1, 1[ → R. Montrer que
                                          1     1+y
                           arctanh y =      log     .
                                          2     1−y
    Calculer la d´riv´e de cette fonction et tracer son graphe.
                 e e




                                    35
5                       ´
      FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
   Les fonctions trigonom´triques sont ´troitement associ´es ` l’´tude des
                         e             e                 e a e
ph´nom`nes p´riodiques.
  e    e      e

5.1   D´finition des fonctions trigonom´triques
       e                              e
    Le nombre π est, par d´finition, ´gal ` l’aire du disque de rayon unit´ :
                          e         e    a                               e
                                         1
                           π=2                     1 − x2 dx.
                                         −1

Pour −1 ≤ y ≤ 1, posons
                                     1
                  arccos y = 2                1 − t2 dt + y     1 − y2
                                 y

(figure (9) — arccos y repr´sente l’aire du secteur (pour v´rifier cette affir-
                           e                               e
mation, distinguer suivant que y est positif ou n´gatif)).
                                                 e




                                                                y   1




                     Fig. 9 – D´finition de l’arccosinus
                               e

    La fonction ainsi d´finie est continue sur [−1, 1] mais d´rivable seulement
                       e                                    e
sur ] − 1, 1[ o`
               u
                            d                −1
                               arccos y =           .
                           dy               1 − y2

                                              36
Elle est strictement d´croissante, de π ` 0 lorsque son argument y croˆ de
                      e                 a                             ıt
−1 ` 1. Donn´ 0 ≤ x ≤ π, il existe donc un et un seul nombre −1 ≤ y ≤ 1
    a          e
tel que
                                arccos y = x.
Les fonctions trigonom´triques cosinus et sinus sont d´finies pour 0 ≤ x ≤ π
                      e                               e
par les relations
                       cos x = y , sin x = 1 − y 2 .
 Elles sont prolong´es ` l’axe r´el R tout entier en posant d’abord, pour
                   e a          e
−π < x < 0,
                   cos x = cos(−x) , sin x = − sin(−x)
et ensuite, pour n ∈ Z,

                 cos(x + 2πn) = cos x , sin(x + 2πn) = sin x.

Observons les valeurs remarquables
                        π    1     π          3π      1
      cos 0 = 1 , cos     = √ , cos = 0 , cos    = − √ , cos π = −1
                        4     2    2           4       2
et
                    π      1    π          3π    1
        sin 0 = 0 , sin= √ , sin = 1 , sin    = √ , sin π = 0.
                     4      2   2           4     2
Observons aussi que la relation

                                  cos2 x + sin2 x = 1

reste valable sur tout l’axe r´el.
                              e
    Les fonctions p´riodiques de p´riode 2π ainsi obtenues sont continues :
                    e              e
ainsi, pour le cosinus,

                lim cos x = lim cos(−x) = lim cos z = cos 0
               x→0−              x→0−             z→0+

et

                  lim cos x = lim cos(x − 2π) =           lim cos z
                 x→π+            x→π+                    z→−π+
                   =      lim cos(−z) = lim cos w = cos π.
                         z→−π+             w→π−

     Elles sont mˆme d´rivables et satisfont les relations
                 e    e
                         d                    d
                           cos x = − sin x ,    sin x = cos x.          (7)
                        dx                   dx

                                          37
1
                                                           sinus

                                           0.5


                   -6         -4     -2                   2      4      6

                                          -0.5

                                                 cosinus
                                           -1

                              Fig. 10 – Le sinus et le cosinus

   V´rifions par exemple, la premi`re de ces relations. Lorsque 0 < x < π
     e                           e
tout d’abord, on a :
            d                     1         1
              cos x =       d
                                         = −1            = − 1 − y 2 = − sin x.
           dx              dy   arccos y  √
                                                 1−y 2

Consid´rons ensuite les points de raccordement. En x = 0, on a, en utilisant
       e
le th´or`me des accroissement finis — dans ce qui suit 0 < h1 < h,
     e e
                             cos h − 1
                        lim            = lim − sin h1 = − sin 0
                        h→0+     h      h→0+

et
          cos(−h) − 1       cos h − 1
     lim              = lim           = lim sin h1 = sin 0 = − sin 0.
     h→0+     −h       h→0+    −h      h→0+

En x = π :
                cos(π − h) − cos π
             lim                   = lim − sin(π − h1 ) = − sin π
           h→0+        −h           h→0+

et
                cos(π + h) − cos π        cos(−π + h) − cos π
              lim                   = lim
           h→0+         h            h→0+           h
             cos(π − h) − cos π
      = lim                     = lim sin(π − h1 ) = sin π = − sin π.
       h→0+          h             h→0+




                                             38
Ces diverses relations permettent de tracer les graphes des fonctions
trigonom´triques sinus et cosinus (figure (10)).
         e

   La fonction tangente est la fonction d´finie par la relation
                                         e

                            sin x            (2n + 1)π
                 tan x =            si x =             , n ∈ Z.
                            cos x                2
 Son domaine de d´finition « naturel » est l’intervalle ] − π/2, π/2[. Elle
                      e
satisfait la relation
                             d
                                tan x = 1 + tan2 x                          (8)
                            dx
comme il est ais´ de le v´rifier ` partir de la d´finition. On en d´duit l’allure
                  e      e      a               e                e
de son graphe (figure (11)).

                                     7.5
                                        5
                                     2.5

              -1.5     -1      -0.5             0.5       1   1.5
                                   -2.5
                                       -5
                                    -7.5


                             Fig. 11 – La tangente


5.2   Propri´t´s des fonctions trigonom´triques
            e e                        e
    e e           ´
Th´or`me 15 (Equation diff´rentielle de sinus et cosinus) Les fonc-
                                e
tions sinus et cosinus sont deux solutions de l’´quation diff´rentielle
                                                e           e

                                f (x) + f (x) = 0.                         (9)

Si, r´ciproquement f : R → R est une fonction deux fois d´rivable qui
     e                                                            e
satisfait l’´quation pr´c´dente, il existe deux nombres a, b ∈ R tels que
            e          e e

                             f (x) = a cos x + b sin x.




                                        39
D´monstration. La premi`re affirmation suit des relations (7). Pour d´montrer
  e                      e                                         e
la seconde, posons a = f (0), b = f (0) et consid´rons la fonction
                                                 e
                        g(x) = f (x) − a cos x − b sin x.
Elle satisfait l’´quation diff´rentielle
                 e           e
                                 g (x) + g(x) = 0
sous les conditions initiales
                                g(0) = g (0) = 0.
Introduisons alors la fonction
                             h(x) = g 2 (x) + g 2 (x).
Comme
                       h (x) = 2g (x)(g(x) + g (x)) = 0,
on doit avoir
                         h(x) = h(0) = 0 pour tout x
c’est-`-dire que
      a
                            g(x) = 0 pour tout x.
C.Q.F.D.
Th´or`me 16 (Formules d’addition) Quelques soient x, y ∈ R, on a :
  e e
                      sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
                     cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y.
D´monstration. La fonction f (x) = sin(x + y), (y fix´), satisfait l’´quation
  e                                                       e            e
diff´rentielle (9) et est donc de la forme f (x) = a cos x + b sin x. Puisque
    e
f (0) = sin y et que f (0) = cos y, il faut que a = sin y et que b = cos y ce qui
d´montre la premi`re formule.
  e                 e
    La d´monstration de la seconde est similaire. C.Q.F.D.
         e

   Les relations suivantes sont un cas particulier fr´quemment utilis´ :
                                                     e               e
                cos 2x = cos2 x − sin2 x , sin 2x = 2 sin x cos x.
   La formule d’addition pour la tangente suit du th´or`me : si x, y et x +
                                                    e e
y = (2k + 2)π/2 avec k ∈ Z,
                                           tan x + tan y
                         tan(x + y) =                     .
                                          1 + tan x tan y



                                          40
Th´or`me 17 (Relations d’orthogonalit´) Quelques soient m, n ∈ N0 ,
   e e                               e
on a :

                                    +π
                                            cos mx sin nx dx = 0
                                   −π

                           +π
                                                                0    si m = n
                                cos mx cos nx dx =
                          −π                                    π    si m = n

                           +π
                                                               0     si m = n
                                sin mx sin nx dx =
                          −π                                   π     si m = n.

D´monstration. En vertu des formule d’addition, on a, par exemple,
 e
           +π                                   +π
                                                     cos(m − n)x + cos(m + n)x
                cos mx cos nx dx =                                             dx.
        −π                                  −π                   2

Si m = n, on en tire
       +π
                                   1        sin(m − n)x sin(m + n)x               π
            cos mx cos nx dx =                         +                               =0
      −π                           2           m−n         m+n                    −π

alors que si m = n, on obtient
                    +π
                                                1          sin 2mx    π
                         cos2 mx dx =                 x+                   = π.
                   −π                           2             2m      −π

Les autres cas sont similaires. C.Q.F.D.

5.3   Les fonctions trigonom´triques inverses
                            e
   La fonction arccosinus (figure (12)), arccos : [−1, 1] → [0, π], est d´finie
                                                                        e
par la relation
                                            1
                     arccos y = 2                    1 − t2 dt + y   1 − y2
                                        y

 comme nous l’avons vu. Elle est continue sur [−1, 1] et d´rivable sur ]−1, 1[,
                                                          e
avec
                          d                 −1
                             arccos y =           .
                         dy                1 − y2


                                                     41
C’est une fonction strictement d´croissante et l’on a
                                e

                         cos(arccos y) = y , y ∈ [−1, 1]

et
                         arccos(cos x) = x , x ∈ [0, π].
Cependant, la fonction cosinus ´tant une fonction paire et p´riodique de
                                 e                               e
p´riode 2π, elle n’admet pas d’inverse globale et de la relation cos x = y on
 e
ne peut pas conclure que x = arccos y. En fait, on a

              cos x = y ⇔ x = ± arccos y + 2kπ avec k ∈ Z.


                                       3

                                       2
                arccosinus

                                       1


              -1          -0.5                    0.5            1

                   arcsinus           -1



                    Fig. 12 – L’arcsinus et l’arccosinus


    La fonction sinus ´tant strictement croissante sur [−π/2, π/2], elle y
                       e
admet une fonction inverse continue mais d´rivable seulement sur ] − 1, 1[
                                           e
(parce que sin (±π/2) = 0). La fonction inverse est l’arcsinus (figure (12)),
arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2]. On a donc

                         sin(arcsin y) = y , y ∈ [−1, 1]

et
                     arcsin(sin x) = x , x ∈ [π/2, π/2].
Comme cos x > 0 lorsque −π/2 < x < π/2, on a pour tout y ∈] − 1, 1[ :

          d                   1         1          1                 1
            arcsin y =    d
                                    =       =                =
         dy              dx   sin x   cos x     1 − sin2 x       1 − y2


                                        42
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  • 1. Analyse 2 Notes de cours Andr´ Giroux e D´partement de Math´matiques et Statistique e e Universit´ de Montr´al e e Avril 2004
  • 2. Table des mati`res e 1 INTRODUCTION 4 1.1 Exercices 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ´ 2 INTEGRATION DES FONCTIONS CONTINUES 7 2.1 La continuit´ uniforme . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 D´finition de l’int´grale . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Propri´t´s de l’int´grale . . . . . . . ee e . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Exercices 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ´ ` 3 THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL 17 3.1 Le th´or`me fondamental du calcul . . . . . . . . . . . . . . . 17 e e 3.2 Propri´t´s suppl´mentaires de l’int´grale . . . . . . . . . . . . 19 ee e e 3.3 Exercices 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE 24 4.1 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Exposants irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.5 Exercices 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES ´ 36 5.1 D´finition des fonctions trigonom´triques e e . . . . . . . . . . . 36 5.2 Propri´t´s des fonctions trigonom´triques ee e . . . . . . . . . . . 39 5.3 Les fonctions trigonom´triques inverses . . e . . . . . . . . . . . 41 5.4 La notion d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.5 Exercices 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6 CALCUL DES PRIMITIVES 50 6.1 Primitives des fonctions analytiques usuelles . . . . . . . . . . 50 6.2 Primitives des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . 53 6.3 Exercices 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ´ 7 INTEGRALES IMPROPRES 58 7.1 G´n´ralisation de l’int´grale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 e e e 7.2 La fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.3 Exercices 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1
  • 3. ´ 8 SUITES ET SERIES DE FONCTIONS 69 8.1 La convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.2 L’approximation des fonction continues . . . . . . . . . . . . 74 8.3 Les s´ries enti`res . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . 76 8.4 Exercices 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ´ 9 SERIES DE TAYLOR 84 9.1 D´veloppements limit´s . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.1.1 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9.2 S´ries infinies . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.3 Exercices 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 ´ 10 SERIES DE FOURIER 97 10.1 La s´rie de Fourier . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.2 Th´or`mes de convergence . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.3 L’approximation des fonctions continues p´riodiques e . . . . . 107 10.4 Exercices 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Table des figures 1 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 D´finition du logarithme . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Graphe du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Graphe de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7 L’arcsinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8 Une fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9 D´finition de l’arccosinus . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 36 10 Le sinus et le cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 11 La tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12 L’arcsinus et l’arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 13 L’arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 14 Angle entre deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 15 Le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 16 Angle et longueur d’arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 17 Une substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 18 Comparaison de s´ries et d’int´grales e e . . . . . . . . . . . . . . 61 19 La fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 20 Quelques fonctions Qn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2
  • 4. 21 Les conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 22 Quelques fonctions Dn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 23 Fonctions f2 et S6 (f2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 24 Fonctions f3 et S12 (f3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 25 Quelques fonctions Fn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3
  • 5. 1 INTRODUCTION L’analyse math´matique est l’´tude approfondie du calcul diff´rentiel et e e e int´gral. Ce cours porte sur le calcul int´gral. Il se divise en trois parties. La e e premi`re pr´sente la d´finition et les propri´t´s de l’int´grale d’une fonction e e e ee e continue d’une variable r´elle. La seconde utilise cet outil pour introduire e les fonctions analytiques ´l´mentaires (les fonctions logarithmique, exponen- ee tielle, trigonom´triques directes et inverses, eul´riennes). La derni`re, enfin, e e e porte sur la repr´sentation de ces fonctions par des s´ries de Taylor et des e e s´ries de Fourier. e Il s’agit d’un cours de math´matique formel, avec des d´monstrations e e rigoureuses et compl`tes de tous les th´or`mes pr´sent´s. Les exercices pro- e e e e e pos´s sont de mˆme nature et exigent de l’´tudiant qu’il en compose des e e e solutions rigoureuses et compl`tes. Ce cours est un deuxi`me cours d’ana- e e lyse et suppose que l’´tudiant connaˆ d´j` les propri´t´s des fonctions conti- e ıt e a ee nues ainsi que celles des fonctions d´rivables. Rappelons quelques-unes de e ces propri´t´s. ee On note [a, b] un intervalle compact (c’est-`-dire ferm´ born´), a e e [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}, ]a, b[ un intervalle ouvert, ]a, b[= {x | a < x < b} et (a, b) un intervalle quelconque. (Ces notations pr´sument que a ≤ b). Un e intervalle compact peut ˆtre caract´ris´ par la propri´t´ suivante : e e e ee • Toute suite {xn }n≥1 de points de [a, b] contient une suite partielle {xnk }k≥1 qui converge vers un point de [a, b] (th´or`me de Bolzano-Weierstrass). e e Soit f : (a, b) → R une fonction. Elle est dite continue sur (a, b) si elle est continue en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire si en chaque point x0 a de (a, b), lim f (x) = f (x0 ). x→x0 Un fonction continue jouit des propri´t´s suivantes : ee • L’image d’un intervalle quelconque par une fonction continue est un in- tervalle (propri´t´ des valeurs interm´diaires). ee e • L’image d’un intervalle compact par une fonction continue est un intervalle compact (propri´t´ des valeurs extrˆmes). ee e 4
  • 6. Une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle y admet une fonction inverse f −1 qui est elle aussi continue et strictement monotone. Exemple. Si n ∈ N, la fonction x → x1/n est d´finie et continue pour x ≥ 0 si n est e pair et pour tout x si n est impair. La fonction f : (a, b) → R est dite d´rivable sur (a, b) si elle est d´rivable e e en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire si en chaque point x0 de (a, b), la a limite suivante f (x) − f (x0 ) lim x→x0 x − x0 existe. On ´crit alors e f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = lim . x→x0 x − x0 La fonction f est dite continˆ ment d´rivable si sa d´riv´e f est continue. u e e e Le th´or`me fondamental du calcul diff´rentiel est le th´or`me des ac- e e e e e croissements finis (quelquefois appel´ th´or`me de la moyenne ou encore e e e th´or`me de Rolle lorsque f (a) = f (b) = 0) : e e • Si f : [a, b] → R est continue sur [a, b] et d´rivable sur ]a, b[, il existe un e nombre c ∈]a, b[ tel que f (b) − f (a) = f (c)(b − a). L’inverse d’une fonction d´rivable est d´rivable aux points y correspon- e e dant aux points x o` f (x) = 0 (y = f (x) et x = f −1 (y)) et alors u 1 f −1 (y) = . f (x) Exemple. Un polynˆme de degr´ n, o e Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , est d´rivable sur tout l’axe r´el et e e Pn (x) = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 . Une fonction rationnelle, Pn (x) R(x) = , Qm (x) 5
  • 7. est d´rivable aux points o` elle est d´finie (c’est-`-dire aux points o` le e u e a u d´nominateur Qm (x) ne s’annule pas) et e Pn (x)Qm (x) − Pn (x)Qm (x) R (x) = . Q2 (x) m Si p ∈ Q, d p x = p xp−1 , x > 0. dx 1.1 Exercices 1 Justifier compl`tement toutes ses affirmations. e 1. V´rifier que la suite de points de [−1, 1] d´finie par e e 1 + (−1)n n xn = 1+n ne converge pas. En exhiber une suite partielle convergente. 2. Montrer qu’une fonction continue sur un intervalle ferm´ peut toujours e ˆtre prolong´e ` une fonction continue sur R tout entier. Cela reste-t-il e e a vrai pour un intervalle quelconque ? 3. Donner un exemple d’une fonction continue sur un intervalle ferm´ qui e n’y est pas born´e ou qui n’y atteint pas ses bornes. Mˆme question e e pour un intervalle born´. e 4. Montrer qu’une fonction d´rivable sur un intervalle ferm´ peut toujours e e ˆtre prolong´e ` une fonction d´rivable sur R tout entier. e e a e 5. Les fonctions suivantes sont-elles d´rivables en tous les points de leur e domaine de d´finition : e x1/2 , x1/3 , x3/2 , x4/3 ? 6. Soient 0 < a < b. D´terminer le point c du th´or`me des accroisse- e e e ments finis pour la fonction f (x) = x2 . Mˆme question pour la fonction e f (x) = x3 . 6
  • 8. 2 ´ INTEGRATION DES FONCTIONS CONTINUES L’int´gration des fonctions continues repose sur une propri´t´ suppl´mentaire e ee e de ces fonctions lorsqu’on les consid`re sur des intervalles compacts. e 2.1 La continuit´ uniforme e Dire d’une fonction f : (a, b) → R qu’elle est continue, c’est dire qu’elle est continue en chaque point x0 de (a, b), c’est-`-dire qu’` chaque point x0 a a et ` chaque > 0 correspond δ > 0 tel que a |x − x0 | < δ et x ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (x0 )| < . Le nombre δ d´pend ` la fois de x0 et de e a : δ = δ(x0 , ). Lorsqu’il peut ˆtre choisi ind´pendamment du point x0 , e e δ = δ( ), on dit que la fonction est uniform´ment continue sur l’intervalle (a, b). e En d’autres termes, une fonction f : (a, b) → R est uniform´ment e continue sur (a, b) si ` chaque > 0 correspond δ > 0 tel que a |x − y| < δ et x, y ∈ (a, b) impliquent |f (x) − f (y)| < . Exemples. – La fonction f (x) = x2 est uniform´ment continue sur [0, 1] puisque : e |x2 − y 2 | = |(x + y)(x − y)| ≤ 2|x − y|. √ – La fonction f (x) = x est uniform´ment continue sur [1, +∞[ ; en e vertu du th´or`me des accroissements finis en effet, il existe z entre x e e et y tel que : √ √ |x − y| |x − y| | x − y| = √ ≤ . 2 z 2 – La fonction f (x) = x2 n’est pas uniform´ment continue sur [1, +∞[ ; e soient en effet xn = (n + 1/n) et yn = n. On a toujours 1 |f (xn ) − f (yn )| = 2 + >2 n2 bien que 1 |xn − yn | = . n Aucun nombre δ ne peut correspondre ` = 2. a 7
  • 9. – La fonction f (x) = x est uniform´ment continue sur l’intervalle [0, 1], e en vertu du th´or`me suivant. e e Th´or`me 1 Une fonction f : [a, b] → R continue sur un intervalle com- e e pact y est uniform´ment continue. e D´monstration. Supposons que le th´or`me est faux. Il existe alors > 0 tel e e e que, quelque soit δ > 0, on peut trouver deux points x, y de l’intervalle [a, b] pour lesquels : |x − y| < δ et |g(x) − g(y)| > . Choisissons successivement δ = 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . On obtient deux suites de points xn et yn de [a, b] tels que 1 |xn − yn | < et |g(xn ) − g(yn )| > . n Par compacit´, la suite {xn }n≥1 contient une suite partielle {xnk }k≥1 qui e converge vers un point z de [a, b]. Comme 1 |xnk − ynk | < , nk la suite partielle {ynk }k≥1 correspondante converge aussi vers z. Par conti- nuit´, on a donc e lim (g(xnk ) − g(ynk )) = g(z) − g(z) = 0 k→+∞ ce qui est absurde puisque l’on a toujours |g(xnk ) − g(ynk )| > . C.Q.F.D. 2.2 D´finition de l’int´grale e e ` Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur un intervalle compact. A chaque partition P de l’intervalle, P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } o` a = x0 < x1 < · · · < xn = b, u associons avec Riemann une somme sup´rieure S(P, f ), e n S(P, f ) = sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }(xk − xk−1 ), k=1 8
  • 10. et une somme inf´rieure s(P, f ), e n s(P, f ) = inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk }(xk − xk−1 ). k=1 Lorsque la fonction est positive, ces sommes majorent et minorent respec- tivement l’aire d´termin´e par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b e e et le graphe de la fonction (figure (1) — les points de la partition ne sont pas n´cessairement ´quidistants). e e y y f x x a b Fig. 1 – Sommes de Riemann Il est clair que l’on a inf{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a) ≤ s(P, f ) ≤ S(P, f ) ≤ sup{f (x) | a ≤ x ≤ b}(b−a) pour toute partition P. Observons maintenant que, si Q est une partition plus fine que P, c’est-`-dire si P ⊆ Q, on a a S(Q, f ) ≤ S(P, f ) , s(P, f ) ≤ s(Q, f ). (1) En effet, il suffit de v´rifier ces in´galit´s lorsque Q s’obtient de P par adjonc- e e e tion d’un seul point, Q = P ∪{x∗} ; or si j est l’indice tel que xj−1 < x∗ < xj , on a sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(xj − xj−1 ) = sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ xj }(x ∗ −xj−1 ) ≥ sup{f (x) | x∗ ≤ x ≤ xj }(xj − x∗) + sup{f (x) | xj−1 ≤ x ≤ x∗}(x ∗ −xj−1 ) et les autres termes de la somme S(P, f ) restent inchang´s. De ceci d´coule e e la premi`re des in´galit´s (1). L’autre in´galit´ s’obtient de fa¸on similaire. e e e e e c 9
  • 11. On d´duit de ces relations que, quelles que soient les partitions P et Q, on e a s(P, f ) ≤ s(P ∪ Q, f ) ≤ S(P ∪ Q, f ) ≤ S(Q, f ), c’est-`-dire que toute somme inf´rieure est plus petite que toute somme a e sup´rieure. Ainsi e sup s(P, f ) ≤ inf S(P, f ). P P En fait, on a toujours sup s(P, f ) = inf S(P, f ). (2) P P Cela est une cons´quence de la continuit´ uniforme d’une fonction continue e e sur un intervalle compact. D´montrons la relation (2). Soit > 0 arbitraire. e Soit δ > 0 un nombre tel que |x − y| < δ et x, y ∈ [a, b] impliquent |f (x) − f (y)| < . b−a Soit aussi P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } une partition pour laquelle xk − xk−1 < δ pour tout k. Soient enfin uk , vk ∈ [xk−1 , xk ] tels que, pour tout k, f (uk ) = inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk } , f (vk ) = sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk } (propri´t´ des valeurs extrˆmes). Alors ee e S(P, f ) − s(P, f ) n = (sup{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk } − inf{f (x) | xk−1 ≤ x ≤ xk })(xk − xk−1 ) k=1 n n = (f (vk ) − f (uk ))(xk − xk−1 ) ≤ (xk − xk−1 ) = b−a k=1 k=1 ce qui d´montre la relation (2). e On exprime l’´quation (2) en disant que la fonction f est int´grable sur e e l’intervalle [a, b], d’int´grale : e b f (x) dx = sup s(P, f ) = inf S(P, f ). a P P 10
  • 12. Lorsque f est positive, l’int´grale est donc exactement le nombre qui donne e l’aire d´termin´e par l’axe des abscisses, les droites x = a et x = b et le e e graphe de la fonction. La signification de l’int´grale ayant ´t´ bien ´tablie, nous pouvons main- e ee e tenant donner avec Darboux une fa¸on plus commode de la calculer (fi- c gure (2) — les points o` la fonction est ´valu´e ne sont pas n´cessairement u e e e ´quidistants). e y y f x x a b Fig. 2 – Sommes de Darboux Th´or`me 2 (Darboux) Quels que soient les nombres e e k−1 k xk,n ∈ [a + (b − a), a + (b − a)], n n on a b n b−a f (x) dx = lim f (xk,n ). a n→+∞ n k=1 D´monstration. Soit e 1 2 Pn = {a, a + (b − a), a + (b − a), . . . , b} n n la partition uniforme de [a, b]. On a n b−a s(Pn , f ) ≤ f (xk,n ) ≤ S(Pn , f ) n k=1 et b s(Pn , f ) ≤ f (x) dx ≤ S(Pn , f ). a 11
  • 13. Ainsi b n b−a f (x) dx − f (xk,n ) ≤ S(Pn , f ) − s(Pn , f ). a n k=1 Or, en utilisant la continuit´ uniforme de la fonction f et la propri´t´ des e ee valeurs extrˆmes, on voit comme pr´c´demment que e e e lim (S(Pn , f ) − s(Pn , f )) = 0. n→+∞ C.Q.F.D. Exemple. On a 1 n 1 k n+1 1 x dx = lim = lim = . 0 n→+∞ n n n→+∞ 2n 2 k=1 2.3 Propri´t´s de l’int´grale e e e Les trois propri´t´s essentielles de l’int´grale d’une fonction continue sont ee e la lin´arit´, la positivit´ et l’additivit´. e e e e Th´or`me 3 (Lin´arit´ de l’int´grale) Soient f1 , f2 : [a, b] → R des e e e e e fonctions continues et c1 , c2 ∈ R des nombres. Alors b b b (c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) dx = c1 f1 (x) dx + c2 f2 (x) dx. a a a D´monstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient : e b (c1 f1 (x) + c2 f2 (x)) dx a n b−a k k = lim c1 f1 a + (b − a) + c2 f2 a + (b − a) n→+∞ n n n k=1 n n b−a k b−a k = c1 lim f1 a + (b − a) + c2 lim f2 a + (b − a) n→+∞ n n n→+∞ n n k=1 k=1 b b = c1 f1 (x) dx + c2 f2 (x) dx. a a C.Q.F.D. 12
  • 14. Th´or`me 4 (Positivit´ de l’int´grale) Soient f1 , f2 : [a, b] → R des e e e e fonctions continues telles que f1 (x) ≤ f2 (x) pour a ≤ x ≤ b. Alors b b f1 (x) dx ≤ f2 (x) dx. a a D´monstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient : e b n b−a k f1 (x) dx = lim f1 a + (b − a) a n→+∞ n n k=1 n b b−a k ≤ lim f2 a + (b − a) = f2 (x) dx. n→+∞ n n a k=1 C.Q.F.D. L’application de ce th´or`me aux fonctions f1 = ±f et f2 = |f | conduit e e a ` l’in´galit´ du triangle pour les int´grales : e e e b b f (x) dx ≤ |f (x)| dx. a a Th´or`me 5 (Additivit´ de l’int´grale) Soient f : [a, b] → R une fonc- e e e e tion continue et a < c < b. Alors b c b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a a c D´monstration. Soient P, P et P des partitions des intervalles [a, b], [a, c] et [c, b] e respectivement. On a donc : P ∪ {c} = P ∪ P . En utilisant les in´galit´s (1), on voit d’une part que e e b f (x) dx = sup s(P, f ) ≤ sup s(P ∪ {c}, f ) = sup (s(P , f ) + s(P , f )) a P P P ∪P c b ≤ sup s(P , f ) + sup s(P , f ) = f (x) dx + f (x) dx P P a c 13
  • 15. (exercice (11)) et d’autre part que b f (x) dx = inf S(P, f ) ≥ inf S(P ∪ {c}, f ) = inf (S(P , f ) + S(P , f )) a P P P ∪P c b ≥ inf S(P , f ) + inf S(P , f ) = f (x) dx + f (x) dx. P P a c C.Q.F.D. Il commode de poser a b f (x) dx = − f (x) dx. b a L’int´grale e b f (x) dx a est ainsi d´finie quelle que soit la position relative des bornes d’int´gration e e a et b — mais la propri´t´ de positivit´ ne vaut que si a < b. ee e Exemple. Si f : [0, +∞[→ R est continue et limx→+∞ f (x) = L, x 1 lim f (t) dt = L. x→+∞ x 0 En effet, quelque soit > 0, x 1 1 x f (t) dt − L = (f (t) − L) dt x 0 x 0 1 y 1 x ≤ |f (t) − L| dt + |f (t) − L| dt x 0 x y y x−y ≤ sup |f (t) − L| + sup |f (t) − L| x t≥0 x t≥y y x−y < sup |f (t) − L| + x t≥0 x 2 d`s que y = y est assez grand puis, y ainsi fix´, e e x 1 f (t) dt − L < + < x 0 2 2 d`s que e 2 y supt≥0 |f (t) − L| x> . 14
  • 16. 2.4 Exercices 2 Justifier compl`tement toutes ses affirmations. e 1. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R admettant une d´riv´e born´e e e e est uniform´ment continue. e 2. En d´duire qu’une fonction rationnelle R : R → R born´e est uni- e e form´ment continue sur R. e 3. Montrer qu’une fonction f : (a, b) → R qui est uniform´ment continue e sur (a, c] et sur [c, b) l’est aussi sur (a, b). √ 4. En d´duire que la fonction f (x) = 3 x est uniform´ment continue sur e e R. 5. La fonction f (x) = 1/x est-elle uniform´ment continue sur l’intervalle e ]0, 1] ? sur l’intervalle [1, +∞[ ? 6. Les sommes sup´rieures et les sommes inf´rieures de Riemann peuvent e e ˆtre calcul´es pour toute fonction born´e f : [a, b] → R mais il n’est e e e plus certain que la fonction soit int´grable, c’est-`-dire que l’´quation e a e (2) soit vraie. Consid´rer avec Dirichlet la fonction indicatrice des e nombres rationnels : 1 si x ∈ Q f (x) = IQ (x) = 0 sinon . Montrer qu’elle n’est int´grable sur aucun intervalle. e 7. D´montrer l’in´galit´ de Cauchy-Schwarz : si f, g : [a, b] → R sont e e e continues, alors b b b f (x)g(x) dx ≤ f 2 (x) dx g 2 (x) dx. a a a (Suggestion : choisir le nombre λ de fa¸on optimale dans l’in´galit´ : c e e b 0≤ (f (x) + λg(x))2 dx.) a 8. En d´duire l’in´galit´ de Minkowski : e e e b b b (f (x) + g(x))2 dx ≤ f (x)2 dx + g(x)2 dx. a a a 15
  • 17. 9. Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que b f (x) dx = f (c)(b − a). a (Premier th´or`me de la moyenne). e e 10. Soit f : [a, b] → [0, +∞[ une fonction continue et positive telle que b f (x) dx = 0. a Montrer qu’elle est identiquement nulle. 11. V´rifier les relations suivantes : e sup (a + b) ≤ sup a + sup b, a∈A, b∈B a∈A b∈B inf (a + b) ≥ inf a + inf b. a∈A, b∈B a∈A b∈B 12. Soient f : [a, b] → R une fonction continue et {an }n≥1 une suite de nombres convergeant vers a, an > a. Montrer que b b f (x) dx = lim f (x) dx. a n→+∞ a n 16
  • 18. 3 ´ ` THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL Le th´or`me fondamental du calcul constitue la fa¸on habituelle d’´valuer e e c e une int´grale. Il en fait aussi apparaˆ des propri´t´s suppl´mentaires. e ıtre ee e 3.1 Le th´or`me fondamental du calcul e e Faisant le lien entre le calcul diff´rentiel et le calcul int´gral en montrant e e que la d´rivation et l’int´gration sont les op´rations inverses l’une de l’autre, e e e le th´or`me fondamental du calcul a deux facettes. e e Th´or`me 6 (Th´or`me fondamental du calcul I) Soit f : [a, b] → R e e e e une fonction continue. Alors, pour tout x ∈ [a, b], x d f (t) dt = f (x). dx a D´monstration. Posons e x I(x) = f (t) dt. a Soient a < x < b et h > 0 assez petit pour que les points x ± h soient dans [a, b]. On a, en vertu des propri´t´s de lin´arit´ et d’additivit´ de l’int´grale, ee e e e e que I(x + h) − I(x) 1 x+h − f (x) = (f (t) − f (x)) dt h h x et que x I(x − h) − I(x) 1 − f (x) = (f (t) − f (x)) dt −h h x−h de telle sorte que, en vertu cette fois de la positivit´, e I(x + h) − I(x) − f (x) ≤ sup{|f (t) − f (x)| | x ≤ t ≤ x + h} h et que I(x − h) − I(x) − f (x) ≤ sup{|f (t) − f (x)| | x − h ≤ t ≤ x}. −h En utilisant la continuit´ de la fonction f au point x, on voit donc que e I(x + h) − I(x) lim = f (x). h→0 h 17
  • 19. Les cas o` x = a et o` x = b sont similaires. C.Q.F.D. u u Remarque. Puisque b x b f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt, a a x on a aussi b d f (t) dt = −f (x). dx x Th´or`me 7 (Th´or`me fondamental du calcul II) Soit F : [a, b] → R e e e e une fonction continˆment d´rivable. Alors u e b F (x) dx = F (b) − F (a). a D´monstration. Consid´rons la fonction e e x J(x) = F (t) dt. a En vertu du th´or`me pr´c´dent, on a e e e e J (x) = F (x). Les fonction J(x) et F (x) − F (a) admettent donc la mˆme d´riv´e sur l’in- e e e tervalle [a, b]. Comme elles s’annulent toutes les deux pour x = a, elles co¨ ıncident partout sur l’intervalle [a, b] : J(b) = F (b) − F (a). C.Q.F.D. En vertu de ce th´or`me, il suffit donc, pour ´valuer e e e b f (x) dx, a de trouver une fonction F (x) telle que F (x) = f (x). On a alors tout sim- plement b f (x) dx = F (b) − F (a). a (Pour abr´ger l’´criture, on ´crit e e e b F (b) − F (a) = F (x) . ) a 18
  • 20. Une telle fonction F se nomme primitive de f (puisque que f est sa d´riv´e) e e ou encore int´grale ind´finie de f . On la d´note par e e e f (x) dx. En d’autres mots, F (x) = f (x) dx ⇔ F (x) = f (x). Une primitive n’est d´finie qu’` l’addition d’une constante pr`s. e a e Toute fonction continue f admet une primitive, nomm´ment la fonction e d´finie par l’´quation e e x F (x) = f (t) dt a (en vertu du th´or`me (6)) mais si cela s’av`re ˆtre la seule repr´sentation e e e e e disponible de F , elle n’est gu`re utile pour ´valuer l’int´grale « d´finie » de e e e e f . Cette situation se pr´sente cependant quelquefois. Et, en r`gle g´n´rale, e e e e le calcul des primitives est beaucoup plus difficile que le calcul des d´riv´es. e e Exemple. Si p ∈ Q, p = −1, xp+1 xp dx = p+1 puisque d p+1 x = (p + 1)xp . dx On a donc, si 0 < a < b, b bp+1 − ap+1 xp dx = . a p+1 3.2 Propri´t´s suppl´mentaires de l’int´grale e e e e Le th´or`me fondamental du calcul met en lumi`re deux autres propri´t´s e e e ee de l’int´grale : l’int´gration par parties qui correspond a la r`gle de d´rivation e e ` e e d’un produit et la formule de changement de variable qui correspond ` la a r`gle de d´rivation en chaˆ (exercice (7)). e e ıne 19
  • 21. Th´or`me 8 (Int´gration par parties) Soient F, G : [a, b] → R des fonc- e e e tions continˆment d´rivables. Alors u e b b b F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx. (3) a a a D´monstration. Puisque e d F (x)G(x) = F (x)G(x) + F (x)G (x), dx on a F (x)G(x) = F (x)G(x) dx + F (x)G (x) dx c’est-`-dire a F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx donc b b b b F (x)G (x) dx = F (x)G (x) dx = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx a a a a b b = F (x)G(x) − F (x)G(x) dx. a a C.Q.F.D. L’utilisation de la formule (3) pour ´valuer une int´grale e e b h(x) dx a repose sur une factorisation judicieuse de la fonction h(x) sous la forme h(x) = F (x)G (x). Exemple. Soit ` ´valuer ae 1 √ x x + 1 dx. 0 √ Posant F (x) = x et G (x) = x + 1, on a F (x) = 1 et G(x) = 2(x + 1)3/2 /3. Ainsi √ 2 2 x x + 1 dx = x(x + 1)3/2 − (x + 1)3/2 dx 3 3 2 4 2 = x(x + 1)3/2 − (x + 1)5/2 = (x + 1)3/2 (3x − 2) 3 15 15 20
  • 22. et √ 1 √ 2 3/2 4( 2 + 1) x x + 1 dx = 2 +2 = . 0 15 15 Th´or`me 9 (Changement de variable) Soit φ : [c, d] → R une fonc- e e tion continˆment d´rivable strictement monotone et telle que φ([c, d]) = u e [a, b]. Pour toute fonction continue f : [a, b] → R, on a b d f (x) dx = f (φ(t))|φ (t)| dt. (4) a c D´monstration. Soit F une primitive de f . Alors e f (φ(t))φ (t) dt = F (φ(t)). La fonction φ effectue une bijection de l’intervalle [c, d] sur l’intervalle [a, b]. Si φ est croissante (c’est-`-dire si φ > 0), on a a d d b f (φ(t))φ (t) dt = F (φ(t)) = F (b) − F (a) = f (x) dx c c a alors que si φ est d´croissante (c’est-`-dire si φ < 0), on a e a d d b f (φ(t))(−φ (t)) dt = −F (φ(t)) = −F (a) + F (b) = f (x) dx. c c a C.Q.F.D. L’utilisation de la formule (4) pour ´valuer une int´grale e e b f (x) dx a repose sur sur un choix appropri´ de la nouvelle variable t = φ−1 (x). e Exemple. Soit ` ´valuer ae 1 x x2 + 1 dx. 0 On pose t = x2 + 1 de telle sorte que dt = 2x ≥ 0, dx l’intervalle 0 ≤ x ≤ 1 correspondant ` l’intervalle 1 ≤ t ≤ 2. On a a 1 2√ √ 2 + 1 dx = 1 1 3/2 2 2 2 − 1 x x t dt = t = . 0 1 2 3 1 3 21
  • 23. 3.3 Exercices 3 Justifier compl`tement toutes ses affirmations. e 1. D´duire le th´or`me fondamental du calcul (th´or`me (6)) du premier e e e e e th´or`me de la moyenne (exercice (9) du chapitre 2). e e 2. Soient f : R → R une fonction continue et a, b : R → R des fonctions d´rivables telles que a(x) < b(x). Calculer e b(x) d f (t) dt. dx a(x) 3. Soit f : R → R une fonction continue. Calculer 1 d f (x + t) dt. dx 0 4. Soit f : R → R une fonction continue et p´riodique de p´riode 2p e e (f (t + 2p) = f (t) pour tout t). Montrer que, quel que soit le nombre x, x+2p 2p f (t) dt = f (t) dt. x 0 5. Soit f : [0, +∞[→ R une fonction continue. Posons x 1 φ(x) = f (t) dt. x 0 Montrer que φ est croissante si f l’est. 6. Soit p > 0. Calculer n kp lim . n→+∞ np+1 k=1 7. D´duire la r`gle de d´rivation d’un quotient de la r`gle de d´rivation e e e e e d’un produit. 8. Soit p > 2. Calculer n knp−2 lim . n→+∞ (k + n)p k=1 9. Soit f : [−A, A] → R une fonction continue. Montrer que si f est impaire (c’est-`-dire f (−x) = −f (x) pour tout x), a A f (x) dx = 0 −A 22
  • 24. et que si f est paire (c’est-`-dire f (−x) = f (x) pour tout x), a A A f (x) dx = 2 f (x) dx. −A 0 10. Soit f : [0, a] → R une fonction continˆment d´rivable. Montrer que u e a a af (a) = f (x) dx + xf (x) dx. 0 0 Donner une interpr´tation g´om´trique de cette relation dans le cas e e e o` f (x) > 0 et f (0) = 0. u 11. Soient F : [a, b] → R une fonction continˆment d´rivable, positive et u e d´croissante et g : [a, b] → R une fonction continue. Montrer qu’il e existe c ∈ [a, b] tel que b c F (x)g(x) dx = F (a) g(x) dx. a a (Deuxi`me th´or`me de la moyenne — comparer avec le premier (exer- e e e cice (9) du chapitre 2)). (Suggestion : introduire la fonction x G(x) = g(t) dt a et int´grer par parties.) e 12. Soit p > 0. Montrer qu’il existe un nombre c ∈ [0, 1] tel que 1 xp cp+1 dx = . 0 x2p + 1 p+1 23
  • 25. 4 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE Les fonctions logarithmique et exponentielle sont ´troitement associ´es e e a e ` l’´tude des ph´nom`nes de croissance. e e 4.1 Le logarithme On sait que la fonction x → 1/x n’admet pas de primitive rationnelle. Le logarithme est la fonction log : ]0, +∞[→ R d´finie par e x dt log x = . 1 t (figure (3)). En vertu du th´or`me fondamental du calcul (th´or`me (6)), le e e e e logarithme est une fonction d´rivable et e d 1 log x = . dx x Autre notation : ln x. y 2 1.5 y 1 x 1 0.5 x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Fig. 3 – D´finition du logarithme e ´ Th´or`me 10 (Equation fonctionnelle du logarithme) On a e e log xy = log x + log y (5) et si f : ]0, +∞[→ R est une fonction d´rivable telle que e f (xy) = f (x) + f (y), (6) il existe un nombre c ∈ R tel que f (x) = c log x. 24
  • 26. D´monstration. Pour d´montrer la premi`re affirmation, introduisons la e e e fonction φ(x) = log xy − log y (en fixant arbitrairement y > 0). Comme 1 d φ (x) = = log x x dx et comme φ(1) = 0 = log 1, on doit avoir φ(x) = log x. Si, d’autre part, f satisfait l’´quation fonctionnelle (6), on aura, en d´rivant e e par rapport ` x que, quelque soit y > 0, a yf (xy) = f (x) donc yf (y) = f (1). En passant aux primitives, f (y) = f (1) log y + K o` K est une constante. Puisque l’´quation fonctionnelle entraˆ que f (1) = 2f (1), u e ıne f (1) = 0 donc K = 0 et on a bien f (x) = c log x en posant c = f (1). C.Q.F.D. Comme cons´quences de l’´quation (5), on a e e 1 log = − log x, x et log xn = n log x pour tout n ∈ N donc aussi 1 log x1/m = log x pour tout m ∈ N m c’est-`-dire a log xp = p log x quelque soit p ∈ Q. 25
  • 27. Puisque, de plus, d2 1 log x = − 2 < 0, dx2 x le logarithme est une fonction strictement concave qui croˆ (stricte- ıt ment) de −∞ ` +∞ lorsque son argument croˆ de 0 ` +∞. Ces donn´es a ıt a e permettent de tracer son graphe (figure (4)). La concavit´ d’une fonction entraˆ pour cette fonction d’importantes e ıne cons´quences. (Exercices (7), (8), (9)). e 2 1 2 4 6 8 10 -1 -2 Fig. 4 – Graphe du logarithme Remarque. Le logarithme tend vers +∞ avec son argument mais plus lentement que toute puissance (si petite soit-elle) de cet argument. En vertu de la r`gle de e l’Hospital, on a en effet, que quel que soit p > 0 : log x x−1 1 limp = lim p−1 = lim = 0. x→+∞ x x→+∞ px x→+∞ pxp Exemple. On estime le nombre N d’atomes dans l’univers visible ` a N = 10000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000. Le logarithme de ce nombre est log N < 240. 26
  • 28. Th´or`me 11 e e log e = 1. D´monstration. Le nombre e est d´fini par e e n 1 e = lim 1+ . n→+∞ n En utilisant les propri´t´s du logarithme, on obtient : ee n 1 1 n log e = log lim 1+ = lim log 1 + n→+∞ n n→+∞ n 1 1 log 1 + n − log 1 = lim n log 1 + = lim n→+∞ n n→+∞ 1/n d = log x = 1. dx x=1 C.Q.F.D. 4.2 La fonction exponentielle La fonction exponentielle est la fonction inverse du logarithme, exp : R →]0, +∞[, d´finie par la relation e exp x = y ⇔ x = log y, autrement dit exp(log y) = y si y > 0, log(exp x) = x pour tout x ∈ R. L’´quation fonctionnelle (5) du logarithme se traduit donc par l’´quation e e fonctionnelle suivante pour l’exponentielle : exp(x1 + x2 ) = exp x1 exp x2 . e e ´ Th´or`me 12 (Equation diff´rentielle de l’exponentielle) On a e d exp x = exp x dx et si f : R → R est une fonction d´rivable telle que e f (x) = af (x) avec a ∈ R, il existe un nombre c ∈ R tel que f (x) = c exp(ax). 27
  • 29. D´monstration. En vertu de la r`gle pour d´river une fonction inverse, on a e e e bien d 1 1 exp x = d = = y = exp x. dx dy log y 1/y D’autre part, introduisant la fonction g(x) = f (x) exp(−ax), on a g (x) = f (x) exp(−ax) − af (x) exp(−ax) = (f (x) − af (x)) exp(−ax) = 0 ce qui entraˆ ıne g(x) = c pour une constante c appropri´e. C.Q.F.D. e Comme pour toute fonction inverse, le graphe de la fonction exponen- tielle (figure (5)) est le sym´trique de celui du logarithme relativement ` la e a bissectrice y = x. Il s’agit d’une courbe strictement convexe qui croˆ ıt (strictement) de 0 ` +∞ lorsque l’abscisse croˆ de −∞ ` +∞ et ce, plus a ıt a rapidement que toute puissance de cette abscisse (exercice (13)). 20 15 10 5 -3 -2 -1 1 2 3 Fig. 5 – Graphe de l’exponentielle 28
  • 30. 4.3 Exposants irrationnels Si n ∈ N est un entier naturel, xn est ´gal au produit de x par lui-mˆme e e n fois et, lorsque x = 0, x−n est ´gal ` celui de x−1 par lui-mˆme n fois. Si e a e m ∈ N, la fonction x → x1/m est la fonction inverse de xm (elle est d´finie e pour tout x ∈ R si m si impair et pour tout x ≥ 0 si m est pair). On convient enfin de poser x0 = 1 lorsque x > 0. La fonction x → xp est donc bien d´finie sur l’intervalle ]0, +∞[ pour e tout exposant p ∈ Q. Observons que l’on a exp(p log x) = exp(log xp ) = xp . Cette propri´t´ permet d’introduire des exposants irrationnels. ee Soit a ∈ R un nombre r´el quelconque. La fonction x → xa est la fonction e ]0, +∞[ → ]0, +∞[ d´finie par l’´quation e e xa = exp(a log x). Observons que, en vertu du th´or`me (11), l’on a en particulier : e e ea = exp a pour tout a ∈ R. Les r`gles de calcul avec les exposants restent encore vraies. e Th´or`me 13 (R`gles des exposants) Soient a, a1 , a2 ∈ R et x, y > 0. e e e Alors a) (xy)a = xa y a b) xa1 +a2 = xa1 xa2 c) xa1 a2 = (xa1 )a2 D´monstration. En vertu de la d´finition que nous avons pos´e, on a succes- e e e sivement a) (xy)a = ea log xy = ea log x+a log y = ea log x ea log y = xa y a ; b) xa1 +a2 = e(a1 +a2 ) log x = ea1 log x+a2 log x = ea1 log x ea2 log x = xa1 xa2 ; c) (xa1 )a2 = exp(a2 log xa1 ) = exp(a2 log(exp(a1 log x))) = exp(a2 a1 log x) = xa1 a2 . C.Q.F.D. Une cons´quence en est que la formule de d´rivation e e d a x = axa−1 dx 29
  • 31. reste toujours valable. Fixons maintenant b > 0, b = 1, et consid´rons la fonction g : R →]0, +∞[ e d´finie par e g(x) = bx . Puisque d g(x) = bx log b, dx elle est strictement monotone (croissante si b > 1, d´croissante si b < 1). e Son inverse est le logarithme de base b, d´not´ par logb . Autrement dit e e x = logb y ⇔ y = bx . 4.4 Les fonctions hyperboliques Le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique sont les fonctions R → R d´finies par les relations e ex + e−x ex − e−x cosh x = , sinh x = 2 2 respectivement. Th´or`me 14 Les fonctions hyperboliques jouissent des propri´t´s suivantes : e e ee a) cosh2 x − sinh2 x = 1 ; b) cosh x = sinh x , sinh x = cosh x ; c) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x. D´monstration. En vertu des d´finitions que nous avons pos´es, on a e e e successivement a) e2x + 2 + e−2x e2x − 2 + e−2x cosh2 x − sinh2 x = − = 1; 4 4 b) ex − e−x ex + e−x cosh x = = sinh x , sinh x = = cosh x; 2 2 30
  • 32. c) cosh x cosh y + sinh x sinh y ex+y + ex−y +e−x+y + e−x−y ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y = + 4 4 ex+y + e−x−y = = cosh(x + y), 2 sinh x cosh y + sinh y cosh x ex+y + ex−y −e−x+y − e−x−y ex+y − ex−y + e−x+y − e−x−y = + 4 4 ex+y − e−x−y = = sinh(x + y). 2 C.Q.F.D. Les graphes des fonctions hyperboliques se d´duisent de celui de l’expo- e nentielle. 15 10 cosh x 5 -4 -2 2 4 sinh x -5 Fig. 6 – Les fonctions hyperboliques Sa d´riv´e ´tant strictement positive, le sinus hyperbolique est une fonc- e e e tion strictement croissante et admet une fonction inverse partout d´rivable, e l’arcsinus hyperbolique, arcsinh : R → R. En r´solvant l’´quation quadratique e e e2x − 1 = 2 y ex a ` l’aide de la formule de Vi`te, on trouve e ex = y + 1 + y2 31
  • 33. c’est-`-dire a arcsinh y = log(y + 1 + y 2 ). En d´rivant cette derni`re relation ou en utilisant la formule pour la d´riv´e e e e e d’une fonction inverse, on obtient enfin d 1 arcsinh y = . dy 1 + y2 Le graphe de l’arcsinus hyperbolique s’en d´duit. e 3 2 1 -10 -5 5 10 -1 -2 -3 Fig. 7 – L’arcsinus hyperbolique 4.5 Exercices 4 Justifier compl`tement toutes ses affirmations. e 1. Soit n 1 xn = − log n. k k=1 Montrer que la suite {xn }n∈N est d´croissante et minor´e par 1 − log 2 e e — sa limite est la constante d’Euler-Mascheroni, d´not´e γ. e e 2. D´terminer toutes les fonctions ]0, +∞, [ → ]0, +∞[ d´rivables qui sa- e e tisfont l’´quation fonctionnelle e f (xy) = f (x)f (y). 3. Tracer le graphe de la fonction log x f (x) = . x 32
  • 34. 4. Calculer les limites suivantes : a) lim xa log x x→0 b) lim xx x→0 c) lim x1/x x→0 d) lim x1/x . x→+∞ 5. Soient 0 < a < b. Lequel des deux nombres suivants est le plus grand : ab ou ba ? 6. Calculer x n lim 1+ . n→+∞ n 7. Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´rivable et telle que f (x) ≥ 0. e Montrer qu’elle satisfait l’in´galit´ de convexit´ suivante : e e e x2 − x3 x3 − x1 x1 < x3 < x2 ⇒ f (x3 ) ≤ f (x1 ) + f (x2 ) x2 − x1 x2 − x1 qui exprime que son graphe est situ´ sous n’importe laquelle de ses e s´cantes (figure (8)). (Suggestion : utiliser le th´or`me des accroisse- e e e ments finis.) 8. V´rifier que l’in´galit´ pr´c´dente peut s’´crire e e e e e e f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) avec λ1 > 0, λ2 > 0 et λ1 + λ2 = 1 (une combinaison convexe de deux nombres). La g´n´raliser ` une e e a combinaison convexe de n nombres n n f λk xk ≤ λk f (xk ) k=1 k=1 par r´currence sur n (in´galit´ de Jensen). e e e 33
  • 35. 9. Soit f :]a, b[→ R une fonction deux fois d´rivable et telle que f (x) ≥ 0. e Montrer que quel que soit x0 ∈]a, b[, le graphe de f est situ´ au-dessus e de sa tangente en x0 : f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) (figure (8)).(Suggestion : utiliser le th´or`me fondamental du calcul.) e e le graphe de f une sécante une tangente Fig. 8 – Une fonction convexe 10. D´montrer l’in´galit´ entre la moyenne arithm´tique et la moyenne e e e e g´om´trique de n nombres positifs x1 , x2 , . . . , xn : e e √ 1 n x1 x2 · · · xn ≤ (x1 + x2 + · · · + xn ). n 11. D´montrer l’in´galit´ entre la moyenne g´om´trique et la moyenne e e e e e harmonique de n nombres strictement positifs x1 , x2 , . . . , xn : n √ ≤ n x1 x2 · · · xn . 1/x1 + 1/x2 + · · · + 1/xn 12. Montrer que log x ≤ x − 1. 13. Montrer que ex ≥ x + 1. En d´duire directement (c’est-`-dire sans utiliser la r`gle de l’Hospital) e a e que, quel que soit n ∈ N, xn lim = 0. x→+∞ ex 34
  • 36. (Suggestion : x x/2 1 = 2 x/2 x/2 ; ex e e raisonner par r´currence sur n.) e 14. D´terminer toutes les fonctions R → R qui satisfont l’´quation diff´rentielle e e e f (x) = −xf (x). 15. D´terminer la solution de l’´quation logistique : e e f (x) = af (x)(b − f (x)) , x > 0 o` a > 0 et b > 0 si 0 < f (0) < b. u 16. Montrer que log y logb y = . log b 17. La fonction tangente hyperbolique est d´finie par e sinh x tanh x = . cosh x V´rifier qu’elle satisfait l’´quation diff´rentielle e e e f (x) = 1 − f 2 (x). Exprimer tanh(x+y) en terme de tanh x et de tanh y. Tracer le graphe. 18. V´rifier que la tangente hyperbolique admet une fonction inverse, l’arc- e tangente hyperbolique, arctanh : ] − 1, 1[ → R. Montrer que 1 1+y arctanh y = log . 2 1−y Calculer la d´riv´e de cette fonction et tracer son graphe. e e 35
  • 37. 5 ´ FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES Les fonctions trigonom´triques sont ´troitement associ´es ` l’´tude des e e e a e ph´nom`nes p´riodiques. e e e 5.1 D´finition des fonctions trigonom´triques e e Le nombre π est, par d´finition, ´gal ` l’aire du disque de rayon unit´ : e e a e 1 π=2 1 − x2 dx. −1 Pour −1 ≤ y ≤ 1, posons 1 arccos y = 2 1 − t2 dt + y 1 − y2 y (figure (9) — arccos y repr´sente l’aire du secteur (pour v´rifier cette affir- e e mation, distinguer suivant que y est positif ou n´gatif)). e y 1 Fig. 9 – D´finition de l’arccosinus e La fonction ainsi d´finie est continue sur [−1, 1] mais d´rivable seulement e e sur ] − 1, 1[ o` u d −1 arccos y = . dy 1 − y2 36
  • 38. Elle est strictement d´croissante, de π ` 0 lorsque son argument y croˆ de e a ıt −1 ` 1. Donn´ 0 ≤ x ≤ π, il existe donc un et un seul nombre −1 ≤ y ≤ 1 a e tel que arccos y = x. Les fonctions trigonom´triques cosinus et sinus sont d´finies pour 0 ≤ x ≤ π e e par les relations cos x = y , sin x = 1 − y 2 . Elles sont prolong´es ` l’axe r´el R tout entier en posant d’abord, pour e a e −π < x < 0, cos x = cos(−x) , sin x = − sin(−x) et ensuite, pour n ∈ Z, cos(x + 2πn) = cos x , sin(x + 2πn) = sin x. Observons les valeurs remarquables π 1 π 3π 1 cos 0 = 1 , cos = √ , cos = 0 , cos = − √ , cos π = −1 4 2 2 4 2 et π 1 π 3π 1 sin 0 = 0 , sin= √ , sin = 1 , sin = √ , sin π = 0. 4 2 2 4 2 Observons aussi que la relation cos2 x + sin2 x = 1 reste valable sur tout l’axe r´el. e Les fonctions p´riodiques de p´riode 2π ainsi obtenues sont continues : e e ainsi, pour le cosinus, lim cos x = lim cos(−x) = lim cos z = cos 0 x→0− x→0− z→0+ et lim cos x = lim cos(x − 2π) = lim cos z x→π+ x→π+ z→−π+ = lim cos(−z) = lim cos w = cos π. z→−π+ w→π− Elles sont mˆme d´rivables et satisfont les relations e e d d cos x = − sin x , sin x = cos x. (7) dx dx 37
  • 39. 1 sinus 0.5 -6 -4 -2 2 4 6 -0.5 cosinus -1 Fig. 10 – Le sinus et le cosinus V´rifions par exemple, la premi`re de ces relations. Lorsque 0 < x < π e e tout d’abord, on a : d 1 1 cos x = d = −1 = − 1 − y 2 = − sin x. dx dy arccos y √ 1−y 2 Consid´rons ensuite les points de raccordement. En x = 0, on a, en utilisant e le th´or`me des accroissement finis — dans ce qui suit 0 < h1 < h, e e cos h − 1 lim = lim − sin h1 = − sin 0 h→0+ h h→0+ et cos(−h) − 1 cos h − 1 lim = lim = lim sin h1 = sin 0 = − sin 0. h→0+ −h h→0+ −h h→0+ En x = π : cos(π − h) − cos π lim = lim − sin(π − h1 ) = − sin π h→0+ −h h→0+ et cos(π + h) − cos π cos(−π + h) − cos π lim = lim h→0+ h h→0+ h cos(π − h) − cos π = lim = lim sin(π − h1 ) = sin π = − sin π. h→0+ h h→0+ 38
  • 40. Ces diverses relations permettent de tracer les graphes des fonctions trigonom´triques sinus et cosinus (figure (10)). e La fonction tangente est la fonction d´finie par la relation e sin x (2n + 1)π tan x = si x = , n ∈ Z. cos x 2 Son domaine de d´finition « naturel » est l’intervalle ] − π/2, π/2[. Elle e satisfait la relation d tan x = 1 + tan2 x (8) dx comme il est ais´ de le v´rifier ` partir de la d´finition. On en d´duit l’allure e e a e e de son graphe (figure (11)). 7.5 5 2.5 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -2.5 -5 -7.5 Fig. 11 – La tangente 5.2 Propri´t´s des fonctions trigonom´triques e e e e e ´ Th´or`me 15 (Equation diff´rentielle de sinus et cosinus) Les fonc- e tions sinus et cosinus sont deux solutions de l’´quation diff´rentielle e e f (x) + f (x) = 0. (9) Si, r´ciproquement f : R → R est une fonction deux fois d´rivable qui e e satisfait l’´quation pr´c´dente, il existe deux nombres a, b ∈ R tels que e e e f (x) = a cos x + b sin x. 39
  • 41. D´monstration. La premi`re affirmation suit des relations (7). Pour d´montrer e e e la seconde, posons a = f (0), b = f (0) et consid´rons la fonction e g(x) = f (x) − a cos x − b sin x. Elle satisfait l’´quation diff´rentielle e e g (x) + g(x) = 0 sous les conditions initiales g(0) = g (0) = 0. Introduisons alors la fonction h(x) = g 2 (x) + g 2 (x). Comme h (x) = 2g (x)(g(x) + g (x)) = 0, on doit avoir h(x) = h(0) = 0 pour tout x c’est-`-dire que a g(x) = 0 pour tout x. C.Q.F.D. Th´or`me 16 (Formules d’addition) Quelques soient x, y ∈ R, on a : e e sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y. D´monstration. La fonction f (x) = sin(x + y), (y fix´), satisfait l’´quation e e e diff´rentielle (9) et est donc de la forme f (x) = a cos x + b sin x. Puisque e f (0) = sin y et que f (0) = cos y, il faut que a = sin y et que b = cos y ce qui d´montre la premi`re formule. e e La d´monstration de la seconde est similaire. C.Q.F.D. e Les relations suivantes sont un cas particulier fr´quemment utilis´ : e e cos 2x = cos2 x − sin2 x , sin 2x = 2 sin x cos x. La formule d’addition pour la tangente suit du th´or`me : si x, y et x + e e y = (2k + 2)π/2 avec k ∈ Z, tan x + tan y tan(x + y) = . 1 + tan x tan y 40
  • 42. Th´or`me 17 (Relations d’orthogonalit´) Quelques soient m, n ∈ N0 , e e e on a : +π cos mx sin nx dx = 0 −π +π 0 si m = n cos mx cos nx dx = −π π si m = n +π 0 si m = n sin mx sin nx dx = −π π si m = n. D´monstration. En vertu des formule d’addition, on a, par exemple, e +π +π cos(m − n)x + cos(m + n)x cos mx cos nx dx = dx. −π −π 2 Si m = n, on en tire +π 1 sin(m − n)x sin(m + n)x π cos mx cos nx dx = + =0 −π 2 m−n m+n −π alors que si m = n, on obtient +π 1 sin 2mx π cos2 mx dx = x+ = π. −π 2 2m −π Les autres cas sont similaires. C.Q.F.D. 5.3 Les fonctions trigonom´triques inverses e La fonction arccosinus (figure (12)), arccos : [−1, 1] → [0, π], est d´finie e par la relation 1 arccos y = 2 1 − t2 dt + y 1 − y2 y comme nous l’avons vu. Elle est continue sur [−1, 1] et d´rivable sur ]−1, 1[, e avec d −1 arccos y = . dy 1 − y2 41
  • 43. C’est une fonction strictement d´croissante et l’on a e cos(arccos y) = y , y ∈ [−1, 1] et arccos(cos x) = x , x ∈ [0, π]. Cependant, la fonction cosinus ´tant une fonction paire et p´riodique de e e p´riode 2π, elle n’admet pas d’inverse globale et de la relation cos x = y on e ne peut pas conclure que x = arccos y. En fait, on a cos x = y ⇔ x = ± arccos y + 2kπ avec k ∈ Z. 3 2 arccosinus 1 -1 -0.5 0.5 1 arcsinus -1 Fig. 12 – L’arcsinus et l’arccosinus La fonction sinus ´tant strictement croissante sur [−π/2, π/2], elle y e admet une fonction inverse continue mais d´rivable seulement sur ] − 1, 1[ e (parce que sin (±π/2) = 0). La fonction inverse est l’arcsinus (figure (12)), arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2]. On a donc sin(arcsin y) = y , y ∈ [−1, 1] et arcsin(sin x) = x , x ∈ [π/2, π/2]. Comme cos x > 0 lorsque −π/2 < x < π/2, on a pour tout y ∈] − 1, 1[ : d 1 1 1 1 arcsin y = d = = = dy dx sin x cos x 1 − sin2 x 1 − y2 42