Identifica y define proposiciones y enunciados

RAZONAMIENTO MATEMATICO 4º

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº1
APELLIDOS Y NOMBRES………………………………………………….SECCIÓN: A, B, C ,D, E, F
FECHA: …….MARZO 2012 TIEMPO: 2 HORAS

Razonamiento y demostración
Identifica y define enunciados y proposiciones

Es una parte de la lógica que tiene por objeto de estudio la proposición y la relación entre ellas, así como la
función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos

Enunciado.
Es toda frase que expresamos en la vida cotidiana o mediante símbolos matemáticos.
Ejemplos:
1. Lima no es una ciudad del Perú
2. ¡Qué pena, perdimos el viaje!
3. Varga Llosa gano el premio Nobel 2010
4. ¿Cuántos años tienes?
5. x+2 es un número Real
6. n + 8 >8

Proposición
Es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadero (V) o falso (F); pero no ambas
simultáneamente. Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como: p; q; r; s; t;
etc. (llamadas variables proposicionales).
Observaciones:
OBSERVACION 1
Aquellos enunciados que indican una pregunta, una orden o una exclamación, son expresiones no
proposicionales.
Ejemplos:
a) ¿Qué es la geometría?
b) b) Prohibido fumar
c) c) ¡Hola qué tal!

ESCRIBE TRES ENUNCIADOS NO PROPOSICIONALES
1. …………………………………………………………………………………………………………………………….
2. …………………………………………………………………………………………………………………………….
3. …………………………………………………………………………………………………………………………….

OBSERVACION 2
Los enunciados que usan las palabras "él", "ella" y los símbolos x, y, z. No tienen la propiedad de ser verdadero
o falso, es decir, no son proposiciones. Sin embargo, si a una de estas palabras y símbolos se le asigna un
determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es una proposición. A este tipo de enunciados se
les denomina enunciados abiertos.

Ejemplos:
a) Él está estudiando ingeniería,
b) x + 4 > 9
Así en (a), si la variable se remplaza por la constante Manuel tenemos "Manuel está estudiando ingeniería"; que
es una proposición cuyo valor de verdad (V o F), depende de que si Manuel esté estudiando o no.

De igual manera en (b), si la variable x se remplaza por un número mayor que 5 el enunciado se convierte en
una proposición verdadera, o si el remplazo se hace por un número menor que 5, la proposición resulta falsa.

Pablo Ninaquispe Consuelo Castillo Página 1


I. INSTRUCCIÓN escribe dentro de los paréntesis si los enunciados son: “ PROPOSICION” “NO
PROPOSICIONAL “ “ENUNCIADO ABIERTO”
1. 4 + 8 = 12

2. ¿Eres estudiante de química? (_____________________)

3. 8 < 5 (_____________________)

4. ¡Arriba Perú! (_____________________)

5. x + 3 = 11 (_____________________)

6. x es abogado (_____________________)

7. 8 - 3 * 5 (_____________________)

8. Manuel es ingeniero (_____________________)

9. x + y < 6 (_____________________)

10. Ponga atención (_____________________)

II. INSTRUCCIÓN Determine cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
1. 4 + 6 = 13 -3 (_____________________)

2. Los hombres no pueden vivir sin oxígeno. (_____________________)

3. x + 6 = 12 (_____________________)

4. 2 x 5 = 10 + 2 y 7 - 3 * 8 x 2 (_____________________)

5. ¿El silencio es fundamental para estudia (_____________________)

RESUELVE EN TU CUADERNO DE TRABAJO.

1. Define con tus propios términos:

a) Enunciado

b) Enunciado proposicional

c) Enunciado abierto

2. Elabora 5 enunciados no proposicionales

3. Elabora 5 enunciados abiertos

4. Elabora 5 enunciados proposicionales



APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………………………..….SECCIÓN:
FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 20 MIN

Identifica y define proposiciones de una lista de enunciados
INSTRUCCIÓN

ENCIERRA DENTRO DE UN CIRCULO LA ALTERNATIVA CORRECTA

1) 3 es divisor de 15 11) La tierra es plana.
a) Enunciado PROPOSICIONAL a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO b) Enunciado ABIERTO
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL c) Enunciado NO PROPOSICIONAL

2) La elipse es una figura geométrica. 12) −17 + 38 = 21

3) Abre la puerta 13) x > y-9

4) ¡Qué susto! 14) Hola ¿como estas?

15) Los hombres son mortales
5) 8 es un número par d) Enunciado PROPOSICIONAL
a) Enunciado PROPOSICIONAL e) Enunciado ABIERTO
b) Enunciado ABIERTO f) Enunciado NO PROPOSICIONAL
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
16) Cuba es una isla en el Pacífico
6) Los animales cuadrúpedos tienen 4 patas g) Enunciado PROPOSICIONAL
a) Enunciado PROPOSICIONAL h) Enunciado ABIERTO
b) Enunciado ABIERTO i) Enunciado NO PROPOSICIONAL
17) 2 + 2 = 4
7) Benito compró una bicicleta o una moto j) Enunciado PROPOSICIONAL
a) Enunciado PROPOSICIONAL k) Enunciado ABIERTO
b) Enunciado ABIERTO l) Enunciado NO PROPOSICIONAL
18) Ollanta Humala es el presidente de Guatemala
8) El símbolo de la plata es Ag m) Enunciado PROPOSICIONAL
a) Enunciado PROPOSICIONAL n) Enunciado ABIERTO
b) Enunciado ABIERTO o) Enunciado NO PROPOSICIONAL
19) Ollanta Humala no es el presidente de Guatemala y
9) Pedro es ingeniero sí es el presidente de Perú

10) Pedro es un hombre 20) Huaraz es la capital del Perú



APELLIDOS Y NOMBRES…………………………………………………………………..….SECCIÓN:
FECHA: ………….MARZO 2012 TIEMPO: 20 MIN

Identifica y define proposiciones de una lista de enunciados
INSTRUCCIÓN

ENCIERRA DENTRO DE UN CIRCULO LA ALTERNATIVA CORRECTA

1) Todas las gallinas son aves
a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO 11) El átomo es una molécula.
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL a) Enunciado PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO

2) ¿Crees en los ovnis? c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO 12) El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

3) Quisiera viajar por el mundo c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO 13) ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería!

4) Parece que llegarán a tiempo c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO 14) Valentín es bueno.

5) ¡Fuego!, ¡Fuego! Ayúdanos, Señor. c) Enunciado NO PROPOSICIONAL
b) Enunciado ABIERTO 15) El triángulo es polígono de tres lados.
6) Tegucigalpa es la capital de Honduras
b) Enunciado ABIERTO 16) Eduardo es ingeniero
7) 2+2=4
b) Enunciado ABIERTO 17) Quito es la capital de Loreto.
8) El Sol es una estrella
b) Enunciado ABIERTO 18) Quisiera que me regalen un libro.
9) el perro corre en el parque
b) Enunciado ABIERTO 19) La suma de dos números impares es un número par
10) Dolly fue la primera oveja clonada.
a) Enunciado PROPOSICIONAL 20) ¡Señoras y señores! En el escenario, el fútbol femenino
b) Enunciado ABIERTO a) Enunciado PROPOSICIONAL
c) Enunciado NO PROPOSICIONAL b) Enunciado ABIERTO



ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº2
APELLIDOS Y NOMBRES………………………………………………….SECCIÓN: A, B, C ,D, E, F
FECHA: ……..…….MARZO 2012 TIEMPO: 4 HORAS

Analiza tabla de verdad de proposiciones compuestas

Los términos “y", "o", "no", "si... entonces..:" y "si y sólo si", se llaman conectivos lógicos porque sirven para
UNIR dos o más proposiciones simples o compuestas. Los símbolos son.

Símbolo Nombre Lenguaje común
~ Negación “no”, “no es cierto que” “no es el caso que”
 Conjunción “y”, pero, sin embargo, además, aunque, no obstante
Ѵ Disyunción inclusiva “o”
 Disyunción exclusiva “o”, “o... o...”
 Condicional “si... entonces...”, “si... dado que...”, “... siempre que...”
 Bicondicional “sí y solo sí”

PROPOSICION SIMPLE

Una proposición es simple o atómica si en ella no existe conectivo lógico alguno.
Son proposiciones simples por ejemplo, las siguientes:

p: La puerta es de madera (V)
q: -6 es un número natural (F)
r: 8 + 7 = 15 (V)
s: El cuadrado tiene 5 lados (F)

PROPOSICIÓN COMPUESTA

Una proposición es compuesta o molecular si en su conformación existe al menos un conectivo
lógico. Son proposiciones compuestas por ejemplo las siguientes:
Si: 3 x 6 = 18 entonces 6 x 3 = 18

La selección bien gana o pierde

El pentágono es un polígono regular si y sólo si sus 5 lados tienen igual medida y sus ángulos
también de igual medida.

I. Escribir la representación simbólica de la proposición compuesta

1. Mario es bueno y es alto.

𝑝⋀𝑞



2. No es verdad que Mario no es bueno o que no es alto"

q
𝑝∨ 𝑞

3. SI p = "José es médico", q = "José es dentista" r = "Fidel es ingeniero".
Escribir cada una de las siguientes proposiciones en Forma simbólica.

A. José es médico y Fidel es ingeniero.

B. Si José es médico o Fidel es ingeniero, entonces José es dentista.

C. José no es médico; pero Fidel no es ingeniero.

D. Si Fidel es ingeniero y José no es dentista, entonces José es médico.

II. Si: p = "José es médico", q = "José es dentista" y r = "Fidel es ingeniero".
Escribir en forma de oración el significado de las siguientes proposiciones.
A. p ~q

José es médico y no es dentista

B. (~p v q) r
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….

C. p ~ q
………………………………………………………………………………………………………………………………

D. r => (p v q)
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

Responde las siguientes preguntas desarrollando en tu cuaderno de trabajo

I. Dadas las siguientes proposiciones:
p : Estudio sistemáticamente
q : Obtendré buenas calificaciones en Álgebra
r : Voy a bailar todos los fines de semana
s : Me sentiré feliz



Escriba con palabras las siguientes proposiciones compuestas:
A. r⇒ s
B. p⇒ ( q s)
C. q p
D. (p r )⇒ q

II. Dadas las siguientes proposiciones:
p : Los Bancos Hipotecarios bajan a un 6 % los intereses de los préstamos
q : La venta de casas y departamentos experimentará un alza significativa
r : Disminuirá la demanda de arriendo de casas y departamentos
Escriba con palabras las siguientes proposiciones compuestas.
A. p⇒ ( q r )
B. (q r)
C. (p⇒r)
D. p⇒ ( q r)

1. Conjunción ( )
Une dos proposiciones mediante el término “y”
Ejemplo:

Juan es estudiante y juega fútbol

p: Juan es estudiante
En símbolos p  q
q: Juan juega fútbol

Tabla de valores de verdad de la conjunción

p q p ⋀ q
V V V La Conjunción es verdadera solo cuando
V F F ambas proposiciones son verdaderas
F V F
F F F

2. Disyunción Débil o Inclusiva (∨)
Une dos proposiciones mediante el término “o”
Ejemplo:
Juan irá al cine o al estadio

p: Juan irá al cine
En símbolos pѵq
q: Juan irá al estadio

p q p ∨ q La disyunción débil es falsa cuando los dos
V V V componentes son falsas; en los demás casos es
V F V verdadera”.
F V V Además si ambas componentes son verdaderas, la
F F F disyunción débil es verdadera, por esto se llama
también disyunción inclusiva.



Disyunción fuerte o Exclusiva ()
Une dos proposiciones mediante el conector “o” pero exclusivo.
Ejemplo:
Einstein era Peruano o Judío
P: Einstein era Peruano
En símbolos p  q
q: Einstein era Judío

p q p  q
La disyunción fuerte es verdadera
V V F
cuando sólo una de las componentes es
V F V verdadera; en los demás casos es falsa”.
F V V Además si ambas componentes son
F F F verdaderas, la disyunción fuerte es falsa,
por esto se llama disyunción exclusiva

3. Condicional ()
Es la combinación de dos proposiciones mediante: “si... entonces”
Ejemplo:
Si trabajas entonces tendrás dinero
P: Trabajas
En símbolos p  q
q: Tendrás dinero

p q p q
V V V
“El condicional es FALSO cuando el
V F F
antecedente es verdadero y el consecuente
F V V es falso; en los demás casos es verdadero”
F F V

4. Bicondicional ()
Es la combinación de dos proposiciones con “... si y solo si ...”
Ejemplo:
Serás profesional si y solo si estudias
P: Serás profesional
En símbolos p  q
q: Estudias

p q p q
V V V
V F F “El bicondicional es VERDADERO cuando
las dos componentes tienen igual valor de
F V F
verdad; en los demás casos es falso”.
F F V

5. Negación (~)
Cambia el valor de verdad de la proposición
Ejemplo:
No es cierto que Juan sea ingeniero y médico
P: Juan es Ingeniero
En símbolos ~(p  q)
q: Juan es médico
Observaciones:
1. ~(~ p) = p
2. p  q  ~(p  q)
3. Cuando las proposiciones compuestas tienen más de 2 conectivos, se usan SIGNOS de agrupación.
Ejemplo:
a) (p ѵ q)  r
b) p  [p ѵ (q  r)]



Una tabla de verdad es un esquema de filas y columnas que presentan los valores de verdad de las
variables y los conectivos que intervienen en un esquema molecular.

Evaluar un esquema consiste en determinar los valores de verdad del conectivo principal .

JERARQUIA DE CONECTORES LOGICOS
La jerarquía de las proposiciones son: negación, conjunción, disyunción, implicación, bicondicional
y la disyunción fuerte y son asociadas por la izquierda. De esta manera sin nos encontramos ante
la siguiente proposición:

El correcto para resolverlo sería para este caso:

1. Primero negamos

2. Luego resolvemos la conjunción

3. Por ultimo resolvemos la implicación.

RESULTADOS DE UNA TABLA
De acuerdo al resultado obtenido, una fórmula proposicional recibe un nombre especial, así tenemos que:

TAUTOLOGÍA.- Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos.

Ejemplo: La proposición “p ( p  q )” es una tautología, tal como lo puedes comprobar en su tabla de
verdad.

p q p  (p  q)
V V V V V
V F V V V
F V F V V
F F F V F

CONTRADICCIÓN.- Cuando los valores del operador principal son todos falsos.

Ejemplo: La proposición “( p  q )  ~ q” es una contradicción, tal como lo puedes comprobar en su tabla de
verdad.

p q (p  q)  ~q
V V V F F
V F F F V
F V F F F
F F F F V

4.2.3. CONTINGENCIA o CONSISTENCIA.-
Cuando los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y por lo menos una falsedad.

Ejemplo: La proposición “( p  q )  ~p” es una contingencia, tal como lo puedes comprobar en su tabla de
verdad.

p q (p  q) ~p
V V V F F
V F V F F
F V V V V
F F F V V



DESARROLLA LA SIGUIENTE ACTIVIDAD EN TU CUADERNO DE TRABAJO
1. Construir una tabla de verdad para (p) (p v q) q e indica de qué se trata:

a) Tautología b) Contradicción d) Contingencia

2. Construir una tabla de verdad para p  (p)  ( q)  e indica de qué se trata:


3).- Halla los valores de verdad de las siguientes proposiciones:
I.- ( 2 + 5 = 7 )  ( 3 – 1 = 4 )
II.- ( 3 + 5 = 8 )  ( 4 + 2 = 7 )
III ( 4 – 0 = 0 )  ( 6 – 4 > 1 )
IV. ( 5 + 4 < 9 )  ( 2 + 5 = 8 )

a) VFFV b) FVVF c) VFVF d) FFVV e) VFVV

3. Dadas las proposiciones lógicas:
p : 51 es un número primo. q: 5 es un número racional. r : 81 es un cuadrado perfecto.
Halla los valores de verdad de:
I.- (~p  q)  (r  p)
II. ~(p  q)  (q  ~r)

a) VV b) VF c) FV d) FF e) Faltan datos.

4. Si la proposición compuesta: (p  ~q)  (~t  s) Es falsa, halla los valores de verdad de “p”, “q”, “t” y
“s” respectivamente.

a) VVFF b) VFFF c) FFVV d) VFFV e) FFFV

5. Si la siguiente proposición: (~p  q)  (~q  r) Es falsa, halla los valores de verdad de:
I.- (~q  p)  (p  ~r)
II. (p  ~r)  (q  ~p)
a) VV b) FV c) VF d) FF e) Faltan datos.

6. Si la siguiente proposición: ~q  p)  (~p  r) Es verdadera, halla los valores de verdad de:
I.- (q  ~r)  p
II. (~p  ~q)  (p r)
a) FF b) VF c) VV d) FV e) Faltan datos.

7. Construir una tabla de verdad para p(p) e indica de qué se trata:

8. Construir la tabla de verdad de: (~p  q)  (p  ~q) e indica de qué se trata:

9. Hallar la tabla de verdad de: (pq)(pq) e indica de qué se trata:

10. Construir la tabla de verdad de: (p  ~q)  (~p  q) Luego indica cuál de las proposiciones
siguientes es verdadera.
I. Es una contingencia. II. Es una contradicción.
III. Hay tres valores de verdad. IV.Hay dos valores de falsedad.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y IV e) I y III



11. Construir una tabla de verdad para (pq)p e indica de qué se trata:


12. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I.- ( 3 + 7  10 )  ( 4 x 0 = 4 )
II.- ( 12 + 5 <15 )  ( 5 > -10 )
III ( 7 x 1 = 7 )  ( 12  9 + 3 )

a) I y II b) II y III c) Sólo I d) Sólo II e) Sólo III

13. Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta: (~p  q)  (p  q)
y dar el resultado.

a) FFVV b) FVVV c) FVVF d) VVVF e) VVFF

14. Al construir la tabla de verdad de: (p  ~q)  (p  ~q) El número de valores verdaderos en el
resultado es:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

15. Sabiendo que: (r  q)  ~p Es falsa, halla los valores de verdad de:
I.- (p  r)  (~q  t)
II. ~(~p  q)  (r q)

a) VV b) VF c) FV d) FF e) Faltan datos.

16. La siguiente proposición compuesta: ~(q  p)  (p  ~q) es una:

a) Tautología b) Contingencia d) Contradicción

17. De las siguientes proposiciones:

I.- 5 + 2 = 8, además: 4 < 5
II.- 2 < -2, si y sólo si: 3 + 8 < 4 + 6
III 6 . 0 = 0 en consecuencia: 4 . 1 = 1

Indica los valores de verdad respectivos.

a)VVF b) FFF c) FVF d) VFF e) VFV

18. La siguiente proposición compuesta: (p  ~q)  (p  q) es una :

a) tautología b) contingencia c) contradicción d) equivalencia e) disyunción


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