Fmcap3 1(1)

1. 3) MECÁNICA CUÁNTICA

2.  F.CLASICA : Determinista
Y
X
y Vo
t=0 t=1
g
{1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista
e-
1
2
{1925} , W Heisenberg
Mecánica Matricial : [ ] estados
{1926} E Schroedinger
 Mecánica ondulatoria
{1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld
),(
),(
),(
),(:
tr
trEE
txEE
txyyO
Ψ





=
=
=

3. 3.1) Experimento de la doble
rendija
e-
D
1
2
D’
pantalla
La radiación de e-
s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia
por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como
producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.

4. Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones
típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por
la otra, el patrón final no mostraría interferencia.
e-
2
e-
2
1
1
α)
β)
X’
2
1Ψ
2
2Ψ
2
1Ψ
2
2Ψ+
Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ1:e-s por 1 y
Ψ2:e-s por 2, entonces, las probabilidades de encontrar a los electrones en Y se
determina con los , por lo tanto, las curvas de probabilidad
correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψ1 y Ψ2
correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento.
2
Ψ
X’
Y’
Y’

5. Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s
deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el
estado del e- debe de especificarse así:
Ψe= Ψ1+ Ψ2
De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la
interferencia,
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 cos
:
e
desfasaje entre
φ
φ
−Ψ = Ψ + Ψ = Ψ + Ψ + Ψ Ψ
Ψ ∧ Ψ
En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá
estar presente en 1 y 2.

6. 3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE
DE HEISENBERG
i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p)
x
p
2

≥∆∆ px
x∆
p∆
: incertidumbre de la posición
: incertidumbre de la cantidad de
movimiento lineal
Esta relación describe una interacción con
el sistema que no se puede controlar, es
proceso del universo.
ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO
2
E t∆ ∆ ≥

E∆
t∆
: incertidumbre de la energía
: incertidumbre del tiempo

7. 3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ
Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida
toda la información del sistema.
r P
T 2
2
( )
( )
2 : RES
r r t v a
r r t continua
d r
da Ley F m r
dt
= → →
= →
= →
rr r
2 2
2 2 2
" : "
( , ) ( , ) { }
1
M
c
OEM E B
E E x t E x t E sen kx wt
E deOEM
E E
v c
x v t
φ
−
→ = − +
∂ ∂
= → =
∂ ∂
ur uur

8. e-
e-
Ψ
X
= =
{ }
( , ) ( , ) ( )
( )
x t x t x
x x
PSI v
CF
ψ ψ ψ
ψ
= =
→
M
Valores
asociados
Probabilidad
H Ψ=E Ψ
Ec. de Schroedinger
La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo
las mediciones se efectuarán con |Ψ|2
,el cual se interpreta como
densidad de probabilidad.

9. |Ψ|2
: densidad de probabilidad …: densidad de probabilidad …
Indica la probabilidad de encontrar a la partículaIndica la probabilidad de encontrar a la partícula
en cierto volumen y en cierto tiempo.en cierto volumen y en cierto tiempo.
|Ψ|2
dv :… en el V=dv
|Ψ(x)|2
dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx
a b
x
P
v
[ ] ∫ Ψ=→
←
b
a
xab dxPbax
Xx
2
)(,:""

10. Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la
condición de normalidad de Ψ,
1
2
=∫
∞
∞−
dxψ ∃ de la partícula en X!
Las CF se describen usando sus valores esperados , CF <CF>
{ }∫
∞
∞−
= dxCFCF
2
ψ
Ψ: Describe al sistema
Ψ  Interpretar

11. Ejemplo: Problema de la partícula
en una caja
x
m v
L
La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con
velocidad v.
Estado Cinemático: v
Sistema restringido: x
Discretizar
< 0,L>

12. Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del
problema, los estados discretos,
Ψ Ψn  En ; n =1,2,3,…
Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último
como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que
describe los estados de m es,
{ }( )x Asen kxψ ≡
Donde se escogerá de tal manera que describa la
probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L,λ
π2
=k
, 0,
; 1, 2,3 ,...
2
,
2
2
n n
n
n
kx n x L
kL n n
n
k
L
L nv
n L
π
λ ν
π
π π
λ
= =
=
→ ≡
=
=
=
=
2
( ) ; 1,2,3,...n
n
x Asen x n
π
ψ
λ
 
≡ = 
 

13. Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por
{ }
2
2 2
2
2
,
2
2
2
2
,
2
2
8
1
2 2 2 2
2
2 8
( ) ,
nn
kn n
n
k n
kn n
n
h
p h
E mv
m m m
h
L
n h
h
E n
n
E E
m L m
x ASen nx
L mL
λ
λ
π
ψ
= = = =
 
  
 
   ÷
 
=
  = = = =
 
=  
 
Principio de
incertidumbre
ΨΨ
0 L
Ψn
Ψn2
=| Ψn |2
0 0L LL/2 L/2
L/3
L/3
2L/3
2L/3
En (E1)
9
4
1
n
3
2
1
v=cte

14. 3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER
Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede
ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a
la descripción del problema físico. Por ejemplo,
1. HΨ=E Ψ Estados estacionarios
H: Hamiltoneano operador de energía.
E: energía del estado estacionario.
2. Ec
de Schroedinger
F. clásica Física Cuántica
{ }
{ } { } { }{ }
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
( , ) ( ) .......................( )
( , ) 1 ( , )
..........................( )
( , ) 1
( , )
( , )
, ( , ) ( , )
x t A x Cos wt
x t x t
x v t
x t
A Cos wt A x t w Cos wt
x v
x t w p
x t x t
x v
ψ ψ α
ψ ψ
β
ψ
ψ
ψ
ψ ψ
=
∂ ∂
=
∂ ∂
 ∂
= − 
∂ 
∂ −
= − =
∂ h
2
2 22
2
2
2
v
w p
v v v
π
πυ λ
 
    
= = =     
    
 
h

15. …..... Ec
de Schrodinger
( )
{ }
2
2
2
2 2
2
2
2
( ) ( )
k p
k p p
p
E E E cte
p
E E E p m E E
m
m
x E E x
x
ψ ψ
= + =
= = − → = −
∂
= − −
∂ h
ψψ
ψψψ
ψψψ
Ev
m
t
ihv
m
EEp
xm
=






+−






∂
∂
=+∇−
=+
∂
∂
−
2
2
2
2
2
2
2
2
h
h
h
3. Caso general
),(),(),(
2
),( 2
2
trtrVtr
m
tr
t
i ψψψ +∇−=
∂
∂ h
h
ψψψ 2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂

16. Resolviendo el ejercicio…
∞ ∞
v
Ep
0 L
2
2 2
..
2
2
2
2
2 2 2
0
2
0 :
0 ( ) { }
2
( )
............
8
: 1 ( )
2
n
L
m
L E
x
x x x t ASen wt
mE
x ASen x
ASen nx
L
h
E n
mL
A Normalización dx A Sen cx dx
A
L
ψ ψ
α
ψ
π
ψ
∞
−∞
∂
− = −
∂
+ = → =
  
=  
  
 
→ =  
 
=
→ = =
=
∫ ∫
h
h
%
x