Soutenance

1. Université de Ngaoundéré Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique The University of Ngaoundere Faculty of Science Department of Mathematics and Computer Science Élaboration d’un système de vote électronique à crédit anonyme résistant à la coercition Présenté par: AMBASSA PACÔME LANDRY Soutenance de mémoire de Master recherche Mention: Ingénierie Informatique Parcours: Systèmes et Logiciels en Environnements Distribués 11 janvier 2013 Sous la direction de : Pr. TIEUDJO Daniel Maitre de Conférences Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 1 / 38

2. Plan Plan 1 Introduction 2 Système de vote électronique Généralités Propriétés du e-vote 3 Présentation de quelques schémas de vote électronique Schéma de Juels, Catalano et Jakobsson (JCJ), 2005 Courbes elliptiques Schéma de Porkodi, Arumuganathan et Vidya, 2011 4 Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés Description détaillée du schéma Illustration numérique avec SAGE 5 Conclusion et Perspectives Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 2 / 38

7. Introduction Introduction Définition du vote [Connes, 2006] Technique permettant à un groupe de personnes de faire, parmi plusieurs propositions, un choix collectif en agrégeant des préférences individuelles. Régime démocratique : augmentation du nombre de consultations électorales ⇒ coût organisationnel Condition de participation difficile ⇒ Longue file d’attente devant les bureaux de vote Fraude électorale ⇒ désintérêt la population Problème : Comment rendre le vote plus sûr, rapide, moins couteux et moins contraignant ? solution Rapprocher l’urne des électeurs puisque ceux-ci ne vont pas vers elle : le vote électronique Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 3 / 38

13. Introduction Introduction [Juel et al, 2005 ] En 2005, Juel et al, introduisent la notion de résistance à la coercition et proposent un schéma de vote électronique qui assure cette propriété. Problème : il n’est pas efﬁcient et n’assure pas la complétude Une nouvelle approche : [Porkodi et al, 2011 ] En 2011, Porkodi et al, propose un schéma de vote électronique basé sur les courbes elliptiques. Problème : il n’est pas résistant à la coercition Problématique Conception d’un système de vote par internet qui utilise le crédit anonyme pour assurer la résistance à la coercition et repose sur les systèmes cryptographiques de la théorie des courbes elliptiques Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 4 / 38

17. Système de vote électronique Généralités Vote Électronique Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 5 / 38

18. Système de vote électronique Généralités Vote Électronique Déﬁnition [rapport UCL, 2007] Le vote électronique (e-vote) est un système électoral ou référendum électronique qui implique le recours à des moyens électroniques au moins lors de l’enregistrement du suffrage. On distingue deux types de vote électronique : 1 Le vote hors ligne utilisation des bureaux de vote et des isoloirs utilisation d’urnes électronique : machine à voter 2 Le vote a distance par internet :via un site Internet auquel l’électeur se connecte par téléphone :via un serveur vocal interactif Avantages du i-vote « Plus pratique pour les électeurs « Réduction des coûts (bureaux et matériel) « Le décompte rapide des voix Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 6 / 38

22. Système de vote électronique Généralités Déroulement Phase Le vote électronique (par internet) se subdivise en 5 phases :

23. Première phase : conﬁguration ;

24. Deuxième phase : enregistrement ;

25. Troisième phase : vote ;

26. Quatrième phase : décompte ;

27. Cinquième phase : publication des résultats. Acteurs Les principaux intervenants d’un tel système sont :

28. Les votants ou électeurs ;

29. Les autorités électorales. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 7 / 38

30. Système de vote électronique Généralités Déroulement Phase Le vote électronique (par internet) se subdivise en 5 phases :

31. Première phase : conﬁguration ;

32. Deuxième phase : enregistrement ;

33. Troisième phase : vote ;

34. Quatrième phase : décompte ;

35. Cinquième phase : publication des résultats. Acteurs Les principaux intervenants d’un tel système sont :

36. Les votants ou électeurs ;

37. Les autorités électorales. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 7 / 38

38. Système de vote électronique Propriétés du e-vote Propriétés du e-vote Un système de vote pour être utilisable doit vérifier un ensemble de propriétés [Meng, 2010] : Propriétés de sécurité du e-vote De base · Éligibilité · Secret · Précision · Vérifiabilité individuelle · Pas de double vote · Complétude Étendu · Vérifiabilité universelle · Receipt-freeness · Résistance à la coercition Les propriétés de sécurité à satisfaire sont : très nombreuses ; à première vue contradictoires. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 8 / 38

42. Système de vote électronique Propriétés du e-vote Propriétés du vote et lien cryptographique TABLE 1: Tableau récapitulatif des propriétés d’un e-vote et lien cryptographique Propriétés d’un e-vote Services de sécurité Primitives cryptographiques Exemples de primitives Secret des votes Confidentialité Chiffrement homomorphique Elgamal, Paillier,... Receipt-freenes Rechiffrement Éligibilité Authentification Technique symétrique Mot de passe Technique asymétrique Signature Précision Intégrité Fonction de hachage SHA Non répudiation Signature Elgamal Mixnet Déchiffrement Secret des votes Anonymat Rechiffrement Signature aveugle RSA Confidentialité Chaine de caractères Résistance à la coercition Crédit anonyme Mot de vote Anonymat Signature Vérifiabilité individuelle Preuves Validité Vérifiabilité universelle Chaum Pedersen Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 9 / 38

43. Système de vote électronique Propriétés du e-vote Déﬁnition des concepts crédit anonyme (credential en anglais) Jeton cryptographique unique. permettant de prouver une propriété ou un droit lié à son possesseur, sans révéler l’identité de celui-ci. Protège les informations privées de son possesseur en fournissant le service d’anonymat. Résistance à la coercition ⇒ receipt-freeness Suppose qu’aucun attaquant ne doit forcer un électeur à voter d’une manière particulière ou à s’abstenir de voter. protection contre · Attaque par randomisation ; · Attaque par abstention forcé ; · Attaque par simulation ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 10 / 38

46. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 11 / 38

47. Présentation de quelques schémas de vote électronique Schéma de Juels, Catalano et Jakobsson (JCJ), 2005 Fonctionnement TABLE 2: Description détaillé du schéma Phases de vote Actions Primitives cryptographique Enregistrement R vérifie l’éligibilité de Vi Génération et transmission à Vi d’un crédit anonyme Enregistrement de la paire (identifiant, crédit chiffré) Vote Identification de Vi et construction du vote vi = (A,B,C) A = chiffT candidat, B = chiffcredit Chiffrement ElGamal C = preuve Preuve de validité Transmission de vi sur BB Décompte Exclusion des votes invalide Élimination des crédits dupliqués PET Mixer des votes muni de leur crédit Mixnet à rechiffrement Élimination des votes accompagnés de crédit non valide PET Déchiffrer le reste des votes et compter les voix Déchiffrement ElGamal Publication Vérifier et publier le résultat Limites Inefficience du schéma car le décompte est effectué en temps quadratique [weber, 2006] Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 12 / 38

48. Présentation de quelques schémas de vote électronique Schéma de Juels, Catalano et Jakobsson (JCJ), 2005 Fonctionnement TABLE 2: Description détaillé du schéma Phases de vote Actions Primitives cryptographique Enregistrement R vérifie l’éligibilité de Vi Génération et transmission à Vi d’un crédit anonyme Enregistrement de la paire (identifiant, crédit chiffré) Vote Identification de Vi et construction du vote vi = (A,B,C) A = chiffT candidat, B = chiffcredit Chiffrement ElGamal C = preuve Preuve de validité Transmission de vi sur BB Décompte Exclusion des votes invalide Élimination des crédits dupliqués PET Mixer des votes muni de leur crédit Mixnet à rechiffrement Élimination des votes accompagnés de crédit non valide PET Déchiffrer le reste des votes et compter les voix Déchiffrement ElGamal Publication Vérifier et publier le résultat Limites Manque de complétude : suppression des votes valides Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 12 / 38

49. Présentation de quelques schémas de vote électronique Courbes elliptiques Courbe elliptique sur un corps quelconque Deﬁnition Soit k un corps, une courbe elliptique E déﬁnie sur le corps k est donné par l’équation de Weierstrass : E : y2 +a1xy +a3y = x3 +a2x2 +a4x +a6 (1) où ai ∈ k et ∆ = 0 avec ∆ le discriminant de E FIGURE 2: Courbe d’équation y2 = x3 −3x +4 sur R FIGURE 3: Courbe d’équation y2 +y = x3 −7x +6 sur R Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 13 / 38

50. Présentation de quelques schémas de vote électronique Courbes elliptiques Courbes elliptiques déﬁnies sur un corps ﬁni Représentation est constituée d’un ensemble de point discret FIGURE 4: Courbe d’équation y2 = x3 +2x +3 sur F997 FIGURE 5: Courbe d’équation y2 = x3 +10x +4 sur F13 Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 14 / 38

51. Présentation de quelques schémas de vote électronique Courbes elliptiques Problème du logarithme discret sur les courbes elliptiques (PLD) Definition (PLD sur les courbes elliptiques) Soient E une courbe elliptique définie sur un corps fini Fp, P un sous-groupe cyclique de E(Fp) d’ordre premier n engendré par le point P et un point Q ∈ P , chercher l’entier k ∈ [0,n −1] tel que Q = [k]P. L’entier k est le logarithme discret de Q en base P. Definition (Multiplication scalaire) Soient E une courbe elliptique, P un point de E(Fq) et k ∈ Z. La multiplication scalaire, notée [k]P, est la fonction définie comme suit : E(Fp)×Z −→ E(Fp) (P,k) −→ [k]P = P +P +...+P k fois avec [0]P = O et [k]P = [−k](−P) Fonction à calculer pour concevoir un cryptosystéme sur les courbes elliptiques Fonction est « à sens unique » Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 15 / 38

54. Présentation de quelques schémas de vote électronique Schéma de Porkodi, Arumuganathan et Vidya, 2011 Schéma de Porkodi et al 2011 (version simpliﬁée) Phase de vote · l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ) et construit son bulletin de vote vi = (C,P) où C = (ci,1,ci,2) = ([αi ]G,[αi ]h +Pj ) est le chiffrement du candidat choisit représenté par Pj P est la preuve de validité du vote · transmission de vi sur le tableau de vote publique ; Phase de décompte · calculer : c = (c1,c2) = ( m ∑ i=1 ci,1, m ∑ i=1 ci,2) = ( ( m ∑ i=1 αi ) P, ( m ∑ i=1 αi ) h +( r ∑ j=1 [dj ]Pj )) · Les autorités Aj envoient wj = [sj ]c1 ; · Calculent c2 −[s]c1 · Déterminent (d1,...,dr ) pour cela calculer ∑r j=1 [dj ]Pj et comparer avec c2 −[s]c1 Limite Ce schéma n’est pas résistant à la coercition car ne satisfait pas le receipt-freeness Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 16 / 38

58. Proposition d’un schéma de vote électronique Notre schéma schéma · Basé sur la théorie des courbes elliptiques ; · le crédit anonyme construit sur une signature agrégée ; participants

59. les électeurs Vi avec i ∈ [1,m] ;

60. les candidats c1,...,ck ;

61. les autorités : d’enregistrement Rj avec j ∈ [1,l] de décompte Tj avec j ∈ [1,n] Comment résisté à la coercition ? Pour le faire l’électeur crée un faux crédit Pour l’attaquant : faux ≈ vrai Les votes associés à un faux crédit sont éliminés lors du décompte Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 17 / 38

70. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés Chiffrement ElGamal distribué Génération des clés distribuées choisir une courbe elliptique E(Fp) et G un point de E d’ordre q Choisir un entier aléatoire s ∈ [1,q −1] et calculer h = [s]G. Exécuter le partage de secret à seuil (t,n) de Shamir. Générer un polynôme P(x) = a0 +a1x +...+at−1xt−1 , a0 = P(0) = s Partager sj = P(j) aux Tj grâce au partage de clé de Difﬁe Hellman. Chiffrement Pour chiffrer un message m ∈ E(Fp), choisir un nombre aléatoire k ∈ [1,n −1] calculer c = (c1,c2) avec c1 = [k]G et c2 = [k]h +m Déchiffrement distribué Un sous-ensemble ∆ à t autorités retrouve m en utilisant l’interpolation de Lagrange : m = c2 −[s]c1 où [s]c1 = ∑ j∈∆ λj wj et λj = ∏ k∈∆,k=j ( k k −j ) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 18 / 38

74. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés Autres outils Mixnet à rechiffrement universellement vériﬁable Crée un canal anonyme pour la transmission des votes ; Correspondance entrée / sortie difﬁcile ; Preuve de rechiffrement après permutation Preuves à divulgation nulle de connaissance Égalité de logarithme discret : Protocole de Chaum-Pedersen Prouveur connait x et veut montrer que B = [x]G et C = [x]H Validité du contenu d’un message chiffré : Méthode de Byoungcheon Lee [Lee, 2000] version elliptique Soit M = m1,...,mn le prouveur chiffre mi en (c1,c2) et veut montrer que le plaintext (message en clair) est un élément de M sans dévoiler mi Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 19 / 38

75. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés Autres outils Mixnet à rechiffrement universellement vériﬁable Crée un canal anonyme pour la transmission des votes ; Correspondance entrée / sortie difﬁcile ; Preuve de rechiffrement après permutation Preuves à divulgation nulle de connaissance Égalité de logarithme discret : Protocole de Chaum-Pedersen Prouveur connait x et veut montrer que B = [x]G et C = [x]H Validité du contenu d’un message chiffré : Méthode de Byoungcheon Lee [Lee, 2000] version elliptique Soit M = m1,...,mn le prouveur chiffre mi en (c1,c2) et veut montrer que le plaintext (message en clair) est un élément de M sans dévoiler mi Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 19 / 38

76. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés Construction du crédit anonyme ® Le crédit anonyme est généré par les Rj et transmis à l’électeur ; ® Ces autorités, ne doivent pas connaitre son contenu ; Réalisation nécessite utilisation des signatures agrégées (Aggregate Signatures). signatures agrégées [Boneh et al, 2003] ® Introduite par Boneh et al en 2003 ; ® Une signature agrégée est une signature électronique qui permet à plusieurs signataires de signer des messages différents et ensuite d’agréger ces différentes signatures en une seule ; ® Étant donné n signatures de n messages provenant de n signataires. Il est possible d’agréger ces signatures en une seule ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 20 / 38

77. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés Construction du crédit anonyme ® Le crédit anonyme est généré par les Rj et transmis à l’électeur ; ® Ces autorités, ne doivent pas connaitre son contenu ; Réalisation nécessite utilisation des signatures agrégées (Aggregate Signatures). signatures agrégées [Boneh et al, 2003] ® Introduite par Boneh et al en 2003 ; ® Une signature agrégée est une signature électronique qui permet à plusieurs signataires de signer des messages différents et ensuite d’agréger ces différentes signatures en une seule ; ® Étant donné n signatures de n messages provenant de n signataires. Il est possible d’agréger ces signatures en une seule ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 20 / 38

78. Proposition d’un schéma de vote électronique Outils cryptographiques utilisés Schéma de signature agrégée basé sur les courbes elliptiques Soient F = E(Fp) le groupe de points de E déﬁnie sur un corps Fp, P un générateur de F d’ordre q , H : {0,1}∗ → F une fonction de hachage. Génération des clés Chaque entité crée la clé publique et la clé privée correspondante 1 choisir aléatoirement x ∈ Z∗ q et calculer v = [x]P ; 2 la clé publique est v et la clé privée x ; Signature pour chaque signataire avec la clé publique v, la clé privée x et le message m ∈ {0,1}∗ : 1 calculer h = H(m) où h ∈ F ; 2 calculer σ = [x]h c’est la signature ; Agrégation pour un ensemble de signataire Si (i ∈ [1,n]) : 1 le signataire i fournit une signature σi de mi ∈ {0,1}∗ ; 2 calculer δ = ∑n i=1 σi la signature agrégé est δ ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 21 / 38

82. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma Phase 1 et 2 : Configuration Enregistrement Première phase : Configuration ‚ choisir : une courbe elliptique d’équation y2 = x3 +ax +b et G un générateur de E(Fp) d’ordre q ; ƒ Coopération de Tj pour la génération des paramètres d’un système cryptographique ElGamal distribué à seuil (t,n) ; „ génération des clés privées et publiques des autorités d’enregistrement ; … représentation des candidats comme k points Pr = [(m +1)r ]P ∈ E(Fp). Abstention=candidat ; illustration Deuxième phase : enregistrement ‚ Chaque électeur Vi potentiel se rend dans un bureau et prouve son éligibilité ; ƒ Transmission à l’électeur du crédit anonyme δ = ∑n i=1 σi ; „ L’électeur Vi génère Si = chiffR(δi ) et l’envoie à Rj ; … Les autorités Rj rechiffrent Si , † Choix par Vi d’un identifiant et d’un mot de passe qu’il utilisera pour s’authentifier ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 22 / 38

93. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma Troisième phase : vote ‚ Authentification de l’électeur à l’aide de l’identifiant et du mot de passe générés précédemment ; ƒ l’électeur Vi choisit aléatoirement (αi ,βi ,εi ) et construit son vote vi = (C,A,B,P) où C = (ci1,ci2) = ([αi ]G,[αi ]h +Pr ) est le chiffrement du candidat choisit représenté par Pr A est le chiffrement du crédit anonyme δi B = ∆i = [εi ]δ P est la preuve de validité du vote „ transmission de vi sur le tableau de vote publique via un canal anonyme (mixnet à rechiffrement universellement vérifiable) ; illustration Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 23 / 38

96. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma Quatrième phase : décompte ‚ Vériﬁcation des preuves de validité par Tj et élimination des entrées où elle est incorrect ; ƒ Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides „ Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr contenus dans le tableau des votes valides ; ct = (c1,c2) = m ∑ i=1 ci1, m ∑ i=1 ci1 = m ∑ i=1 αi G, m ∑ i=1 (αi ) h + k ∑ r=1 [dr ]Pr … Coopération de Tj pour déchiffrer ct . Reconstruction de la clé privée s pour calculer [s]c1 [P(0)]c1 = ∑t i=1 si ∏1≤i≤t i=j j j−i c1 ⇒ [P(0)]c1 = ∑t i=1 si c1 ∏1≤i≤t i=j j j−i calculer c2 −[s]c1 Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 24 / 38

100. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma Quatrième phase : décompte (suite) † compter les voix. Calculer la somme ∑r [dr ]Pr Comparer le résultat à celui du calcul de c2 −[s]c1. lorsque les deux valeurs coïncident en déduire dr , (r ∈ [1,k]) Remarque Pour k ≥ 3 la détermination de dr lors du calcule de la somme ∑k r=0 [dr ]Pr dans E(Fp) est une instance du problème de sac à dos ou problème de la somme de sous-ensemble qui est NP-complet. Cinquième phase : publication des résultats . 1 Vérifier que le chiffrement ct est correct. 2 Vérifier que le déchiffrement distribué de ct est correct Après vérifications, le résultat final est publié. illustration Décompte Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 25 / 38

101. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma Analyse du Schéma Le schéma assure les propriétés suivantes : Éligibilité Secret des votes Précision Équité Complétude Pas de double vote Vérifiabilité universelle Receipt freeness Résistance à la coercition Limites Pas de vérifiabilité individuelle : la possibilité n’est pas offerte aux électeurs de vérifier le contenu de leur vote TABLE 3: Comparaisons des schémas de JCJ, Porkodi et notre schéma Propriétés JCJ Porkodi notre schéma Complétude non oui oui Vérifiabilité universelle oui oui oui Vérifiabilité individuelle non oui non Résistance à la coercition oui non oui Go to conclusion Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 26 / 38

102. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma Analyse du Schéma Le schéma assure les propriétés suivantes : Éligibilité Secret des votes Précision Équité Complétude Pas de double vote Vérifiabilité universelle Receipt freeness Résistance à la coercition Limites N’est pas approprié pour une élection à un nombre de candidat k ≥ 3 TABLE 3: Comparaisons des schémas de JCJ, Porkodi et notre schéma Propriétés JCJ Porkodi notre schéma Complétude non oui oui Vérifiabilité universelle oui oui oui Vérifiabilité individuelle non oui non Résistance à la coercition oui non oui Go to conclusion Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 26 / 38

103. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma Analyse du Schéma Le schéma assure les propriétés suivantes : Éligibilité Secret des votes Précision Équité Complétude Pas de double vote Vérifiabilité universelle Receipt freeness Résistance à la coercition Limites TABLE 3: Comparaisons des schémas de JCJ, Porkodi et notre schéma Propriétés JCJ Porkodi notre schéma Complétude non oui oui Vérifiabilité universelle oui oui oui Vérifiabilité individuelle non oui non Résistance à la coercition oui non oui Go to conclusion Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 26 / 38

104. Proposition d’un schéma de vote électronique Description détaillée du schéma Analyse du Schéma Le schéma assure les propriétés suivantes : Éligibilité Secret des votes Précision Équité Complétude Pas de double vote Vérifiabilité universelle Receipt freeness Résistance à la coercition Limites TABLE 3: Comparaisons des schémas de JCJ, Porkodi et notre schéma Propriétés JCJ Porkodi notre schéma Complétude non oui oui Vérifiabilité universelle oui oui oui Vérifiabilité individuelle non oui non Résistance à la coercition oui non oui Go to conclusion Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 26 / 38

105. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE Première phase : configuration Supposons que nous avons pour l’élection 8 autorités (3 d’enregistrements et 5 de décomptes), 10 électeurs et 4 candidats. Le but est d’illustrer les différentes phases de notre schéma de vote. Phase de configuration x Nous choisissons une courbe elliptique E définie sur le corps Fp d’équation y2 = x3 +4x +20 (mod 10007) avec p = 10007 et un point de base G de coordonnées (2,6) d’ordre 2011, y Nous générons les clés pour un système cryptographique ElGamal distribué. Nous choisissons la clé privée s = 248 et calculons une clé publique h = [s]G = (5919,4268) Nous exécutons la fonction secret-share partage (partage à seuil(3,5) génération du polynôme secret P(x) = 215x2 +139x +248 (mod 257) calcul des paires (i,si ) = (i,P(i)) soit (1,s1) = (1,88), (2,s2) = (2,101), (3,s3) = (3,30), (4,s4) = (4,132), (5,s5) = (5,150) et partage à Tj grâce au partage de clé de Diffie- Hellman. Seuls 3 autorités sur les 5 seront nécessaires pour « reconstruire la clé privée. z Nous générons les clés des autorités d’enregistrement la clé privée SkR = n = 329 et la clé publique correspondante est PkR = [n]G = (8850,665) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 27 / 38

109. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE Phase de conﬁguration (suite) { Enregistrement des candidats cr et représentation de ceux-ci comme des points de E(Fp). Nos 4 candidats sont représentés par : Tableau des candidats Numéros Nom encodage 0 Abstention P0 = P (372,441) 1 Candidat 1 P1 = [(10 +1)]P = [11]P (7587,5187) 2 Candidat 2 P2 = (10 +1)2 P = [121]P (4158,1719) 3 Candidat 3 P3 = (10 +1)3 P = [1331]P (2057,5956) Retour. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 28 / 38

110. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE Deuxième phase : enregistrement x Enregistrement des électeurs par Rj j ∈ [1,3] dans un bureau d’enregistrement. y Transmission du crédit anonyme δ Pour 10 électeurs nous obtenons les valeurs suivantes : Tableau des électeurs Identiﬁant votant crédit(δi ) 1 V1 (3363 , 649 ) 2 V2 (8909 , 9177 ) 3 V3 (2637 , 6635 ) 4 V4 (3988 , 7365 ) 5 V5 (5331 , 9187 ) 6 V6 (2128 , 3659 ) 7 V7 (1840 , 4566 ) 8 V8 (942 , 7912 ) 9 V9 (1842 , 9216 ) 10 V10 (9445 , 3839 ) Retour. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 29 / 38

111. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE Troisième phase : vote construction de vi représenté par : chiffT (Pr ) = (ci1,ci2) = ([αi ]G,[αi ]h +Pr ) où Pr ∈ {P0,P1,P2,P3} , chiffR(δi ), ∆i = [εi ]δi . Les votes de 10 électeurs sont donnés dans le tableau suivant TABLE 4: Valeurs numériques des votes chiffrés de 10 électeurs chiffrement candidat chiffrement crédit ci1 = [αi ]G ci2 = [αi ]h +Pr [βi ]G [βi ]h +δi ∆i = [εi ]δi 1 (755 ,5751 ) (6282 ,4084) (8266 , 8509) (682 , 5185 ) (2052 , 9153 ) 2 (6398,7981) (79, 3699) (8452, 9255) (1501, 5053) (6499,6674) 3 (292,8254) (2829, 7423) (1286, 6603) (6298, 8735) (738, 2180) 4 (5328, 262) (6618, 5577) (2546, 1912) (952, 7400) (1284, 4271) 5 (7233, 3289) (8155, 4502) (9936,7976) (3141, 623) (7039, 7012) 6 (2758, 2407) (8290, 2404) (4213, 633) (1255, 3720) (9740, 2390) 7 (1501, 4954) (4893, 515) (1536, 3970) (3467, 4297) (8266, 1498) 8 (8494, 4038) (9804, 2913) (426, 6193) (3880, 1072) (7759, 8044) 9 (7775, 706) (5617, 9050) (6455, 9969) (2291, 3627) (7088, 9113) 10 (6656, 6110) (2433, 1433) (2885 : 7192) (8266, 1498) (5055, 7047) 11 (2597, 2974) (6141, 3797) (7692, 1505) (2057, 4051) (738 ,2180) 12 (5305, 503) (8728, 8426) (9127, 481) (3820, 9194) (738, 2180) 13 (4349, 2593) (5463, 471) (7160, 8309) (7780, 1857) (1284, 4271) 14 (9078, 2582) (5386, 9200) (5404, 6462) (9332, 4147) (6499, 6674) 15 (2229, 6908) (8455, 9906) (1363, 6474) (8276, 19) (7039, 7012) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 30 / 38

112. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE Rechiffrement Rechiffrement du vote lors de la transmission des votes pour assurer le receipt freeness. TABLE 5: Valeurs numérique des votes rechiffrés de 10 électeurs rechiffrement candidat rechiffrement crédit ci1 = [γi ]G ci2 = [γi ]h +Pr [λi ]G [λi ]h +δi ∆i = [ωi ]δi 1 (5787, 3794) (662, 1280) (3569, 53 ) (9086, 2549) (4681, 8556) 2 (850, 3576) (7433, 7140) (4598, 8374) (9239, 7897) (2031, 7870 ) 3 (3644, 6345) (3833, 5853) (3013,3711) (4435,3965 ) (5755, 4552 ) 4 (9064, 5957) (161, 8646) (1048, 5603) (6409, 3499) (6836, 8203) 5 (9167, 7773) (3093, 721) (5755, 4552) (216, 1262) (4453, 8742) 6 (8601, 5258) (4130, 8767) (3985, 6905) (4732, 1991) (8839, 8576) 7 (7170, 30) (2030, 8942) (2597, 7033) (4095, 5743) (3467, 5710) 8 (6108, 4734) (4252, 7785) (6452, 5050) (3283, 7764) (9086, 7458) 9 (8051, 9792) (6820,4660) (8671 ,1234) (9100, 8126) (150 , 9556) 10 (4997, 8577) (8991, 8514) (1303,6131) (3675,3756) (6355, 5304) 11 (439, 3284) (1228, 1351) (5100, 1175) (3031, 439) (5755, 4552) 12 (2829,7423) (2234, 6486) (8671 ,1234) (4215, 6891) (5755, 4552) 13 (3000, 3982) (8732, 5994) (7603, 3516) (9863, 1816 ) (6836, 8203) 14 (6035, 3650) (8665, 2226) (8591,5200 ) (9830, 4351) (2031, 7870) 15 (9402,9125) (1255,6287) (2714 , 4636) (9386 , 2769 ) (4453,8742) Retour. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 31 / 38

113. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE Quatrième phase : décompte x Rechercher les valeurs dupliquées de ∆i et élimination des votes non valides et des doubles vote TABLE 6: Identiﬁcation des valeurs dupliquées de ∆i rechiffrement candidat rechiffrement crédit ci1 = [γi ]G ci2 = [γi ]h +Pr [λi ]G [λi ]h +δi ∆i = [ωi ]δi (5787, 3794) (662, 1280) (3569, 53 ) (9086, 2549) (4681, 8556) (850, 3576) (7433, 7140) (4598, 8374) (9239, 7897) (2031, 7870 ) (3644, 6345) (3833, 5853) (3013,3711) (4435,3965 ) (5755, 4552 ) (9064, 5957) (161, 8646) (1048, 5603) (6409, 3499) (6836, 8203) (9167, 7773) (3093, 721) (5755, 4552) (216, 1262) (4453, 8742) (8601, 5258) (4130, 8767) (3985, 6905) (4732, 1991) (8839, 8576) (7170, 30) (2030, 8942) (2597, 7033) (4095, 5743) (3467, 5710) (6108, 4734) (4252, 7785) (6452, 5050) (3283, 7764) (9086, 7458) (8051, 9792) (6820,4660) (8671 ,1234) (9100, 8126) (150 , 9556) (4997, 8577) (8991, 8514) (1303,6131) (3675,3756) (6355, 5304) (439, 3284) (1228, 1351) (5100, 1175) (3031, 439) (5755, 4552) (2829,7423) (2234, 6486) (8671 ,1234) (4215, 6891) (5755, 4552) (3000, 3982) (8732, 5994) (7603, 3516) (9863, 1816 ) (6836, 8203) (6035, 3650) (8665, 2226) (8591,5200 ) (9830, 4351) (2031, 7870) (9402,9125) (1255,6287) (2714 , 4636) (9386 , 2769 ) (4453,8742) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 32 / 38

114. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE Quatrième phase Quatrième phase : décompte (suite) TABLE 7: Élimination des double votes rechiffrement candidat rechiffrement crédit ci1 = [γi ]G ci2 = [γi ]h +Pr [λi ]G [λi ]h +δi ∆i = [ωi ]δi (5787, 3794) (662, 1280) (3569, 53 ) (9086, 2549) (4681, 8556) (850, 3576) (7433, 7140) (4598, 8374) (9239, 7897) (2031, 7870 ) ////////(3644,/////////6345) ////////(3833,/////////5853) ////////////////(3013,3711) ///////////////(4435,3965//) ////////(5755,////////4552 /) (9064, 5957) (161, 8646) (1048, 5603) (6409, 3499) (6836, 8203) ////////(9167,/////////7773) ////////(3093,///////721) ////////(5755,/////////4552) ///////(216,////////1262) ////////(4453,/////////8742) (8601, 5258) (4130, 8767) (3985, 6905) (4732, 1991) (8839, 8576) (7170, 30) (2030, 8942) (2597, 7033) (4095, 5743) (3467, 5710) (6108, 4734) (4252, 7785) (6452, 5050) (3283, 7764) (9086, 7458) (8051, 9792) (6820,4660) (8671 ,1234) (9100, 8126) (150 , 9556) (4997, 8577) (8991, 8514) (1303,6131) (3675,3756) (6355, 5304) (439, 3284) (1228, 1351) (5100, 1175) (3031, 439) (5755, 4552) ////////////////(2829,7423) ////////(2234,/////////6486) ////////(8671/////////,1234) ////////(4215,/////////6891) ////////(5755,/////////4552) ////////(3000,/////////3982) ////////(8732,/////////5994) ////////(7603,/////////3516) ////////(9863,////////1816 /) ////////(6836,/////////8203) ////////(6035,/////////3650) ////////(8665,/////////2226) ///////////////(8591,5200//) ////////(9830,/////////4351) ////////(2031,/////////7870) (9402,9125) (1255,6287) (2714 , 4636) (9386 , 2769 ) (4453,8742) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 33 / 38

115. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE Quatrième phase : décompte (suite) y Il résulte un tableau de votes unique et valide représenter par TABLE 8: Tableau de vote unique et valide rechiffrement candidat rechiffrement crédit ci1 = [γi ]G ci2 = [γi ]h +Pr [λi ]G λi h +δi ∆i = [ωi ]δi (5787, 3794) (662, 1280) (3569, 53 ) (9086, 2549) (4681, 8556) (850, 3576) (7433, 7140) (4598, 8374) (9239, 7897) (2031, 7870 ) (9064, 5957) (161, 8646) (1048, 5603) (6409, 3499) (6836, 8203) (8601, 5258) (4130, 8767) (3985, 6905) (4732, 1991) (8839, 8576) (7170, 30) (2030, 8942) (2597, 7033) (4095, 5743) (3467, 5710) (6108, 4734) (4252, 7785) (6452, 5050) (3283, 7764) (9086, 7458) (8051, 9792) (6820,4660) (8671 ,1234) (9100, 8126) (150 , 9556) (4997, 8577) (8991, 8514) (1303,6131) (3675,3756) (6355, 5304) (439, 3284) (1228, 1351) (5100, 1175) (3031, 439) (5755, 4552) (9402,9125) (1255,6287) (2714 , 4636) (9386 , 2769 ) (4453,8742) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 34 / 38

116. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE Quatrième phase : décompte (ﬁn) z Combiner les chiffrés des choix des candidats Pr C = (c1,c2) = 10 ∑ i=1 ci1, 10 ∑ i=1 ci1 = 10 ∑ i=1 (γi ) G, 10 ∑ i=1 (γi ) h + 3 ∑ r=0 [dr ]Pr On obtient c1 = ∑10 i=1 ci1 = (1556,6700) et c2 = ∑10 i=1 ci2 = (9839,3723) { Déchiffrer les votes. Reconstruction de la clé : supposons que nous avons les parts des 3 premières autorités (1,88), (2,101), (3,30). Nous calculons [P(0)]c1 = [s1]c1 2·3 (2−1)(3−1) +[s2]c1 1·3 (1−2)(3−2) +[s3]c1 1·2 (1−3)(2−3) = [88]c1 6 2 +[101]c1 3 −1 +[30]c1 mod 257 = [264]c1 −[46]c1 +[30]c1 = [248]c1 = (6163,6689) Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 35 / 38

117. Proposition d’un schéma de vote électronique Illustration numérique avec SAGE Nous obtenons [s]c1 = (6163,6689), le déchiffrement s’obtient en calculant c2 −[s]c1 = (3647,9144). | compter les voix. calculer ∑3 r=0 [dr ]Pr en comparant le résultat à celui du calcul de c2 −[s]c1. Pour notre exemple après calcul nous obtenons ∑3 r=0 [dr ]Pr = [3]P0 +[2]P1 +[4]P2 +P3 = (3647,9144) Cinquième phase : publication des résultats Après le décompte des voix et la vériﬁcation, les résultats sont publiés Tableau des résultats Numéros Nom nombre de voix 0 Abstention 3 1 Candidat 1 2 2 Candidat 2 4 3 Candidat 3 1 Le vainqueur est le candidat 2. Retour. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 36 / 38

118. Conclusion et Perspectives Conclusion et Perspectives Conclusion

119. Vote électronique : système cryptographique.

120. Présentation de deux schémas de vote électronique et leurs limites.

121. Construction d’un crédit anonyme et utilisation proposition d’un schéma de vote résistant à la coercition.

122. Illustration numérique de ce système grâce à SAGE. Perspectives

123. Utiliser un algorithme efﬁcient pour la résolution du problème de sac à dos

124. Implémenter un prototype du système de vote ;

125. Faire une preuve de sécurité formelle ;

126. Gérer les attaques induite par Internet ;

127. Adapter le système pour l’utiliser sur équipement légers ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 37 / 38

128. Conclusion et Perspectives Conclusion et Perspectives Conclusion

129. Vote électronique : système cryptographique.

130. Présentation de deux schémas de vote électronique et leurs limites.

131. Construction d’un crédit anonyme et utilisation proposition d’un schéma de vote résistant à la coercition.

132. Illustration numérique de ce système grâce à SAGE. Perspectives

133. Utiliser un algorithme efﬁcient pour la résolution du problème de sac à dos

134. Implémenter un prototype du système de vote ;

135. Faire une preuve de sécurité formelle ;

136. Gérer les attaques induite par Internet ;

137. Adapter le système pour l’utiliser sur équipement légers ; Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 37 / 38

138. Présenté par : AMBASSA PACÔME LANDRY (U.N) Vote Électronique:Coercition 11 janvier 2013 38 / 38

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