Formaulas de volumen

1. Medici� del volumen de un objeto
El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto, dependerᠤel
estado en que se encuentre: gaseoso, lido o sᠤo.
En el caso de nubes gaseosas el volumen
varconsiderablemente seg? temperatura y
presiᠤtambi鮠depende de si est o no contenido en un
recipiente y, si lo estᠤadoptarᠤa forma y el tamaᠤ de dicho
recipiente. Si la masa gaseosa estᠤisuelta en la atmᠤra, es
difl precisar qu頳e entiende por volumen.
Para medir el volumen de un lido, se emplean
diversos recipientes graduados, dependiendo de la exactitud con la que
se desee conocer dicho volumen.
Algunos sᠤos tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse en
base a la geometrclᠤca. Por ejemplo, el
volumen de un sᠤo puede calcularse
aplicando conocimiento que proviene de la
geometr
Midiendo sus dimensiones, y aplicando
una fᠤla adecuada, podemos determinar
su volumen. Asel volumen de un
paralelepdo recto se determina midiendo
las tres aristas concurrentes a un v鲴ice y
multiplicᠤolas; el cubo es un caso especial de paralelepdo en el que todas sus
aristas son iguales y su volumen se obtiene elevando a tres su arista.
En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros
cuerpos como los prismas y las pirᠤdes. Estos cuerpos geom鴲icos tienen una
caracterica que los agrupa: el volumen de los paralelepdos, los prismas y los
cilindros, (sean ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su
ᠤa basal por la medida de su altura y en el caso de las pirᠤdes y conos, (tambi鮠
rectos u oblicuos) su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del
ᠤa basal y su altura. La esfera es un caso especial, ya que su volumen es
Si un sᠤo tiene una forma a la que no es posible aplicar alguna fᠤla conocida, se
pueden aplicar otros procedimientos tales como el principio de Cavalieri o el m鴯do
de desplazamiento de agua, en el cual dicho desplazamiento es provocado por
un cuerpo al sumergirlo en un recipiente con agua.
El volumen de un cuerpo es un n? que indica la cantidad de espacio que
鬠ocupa. Este n? se acompaᠤor una unidad de medida pertinente que permite
dimensionar el volumen medido.
Volumen en cuerpos poli餲icos regulares
El volumen de un cuerpo regular es un n? que se obtiene comparando el volumen
del cuerpo con la unidad. Consideraremos a la unidad como un cubo de arista uno y

2. por definiciᠤ su volumen serᠤ. Entonces, la medida del volumen de un cuerpo
serᠤgual al n? de cubos unitarios que contenga. Por ejemplo, considerando el cubo
unidad que se indica en la figura, el cuerpo adjunto estᠤormado por 25 cubos
unidad. Podemos afirmar entonces que el cuerpo del ejemplo tiene 25 unidades de
volumen .
Unidades de medida del volumen
Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el n?
que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide
un centtro o un metro, un kilᠤro, etc. Por definiciᠤ su volumen tendrᠤl valor 1,
acompaᠤ de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura
siguiente, el volumen del cubo mide un centtro c? y se abrevia por 1 cm3
.
Volumen del cubo unidad = 1 cm3
En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen
mᠤutilizadas:
Arista del
cubo
unidad
Unidad de
Volumen
asociada
Abreviatura
1 Miltro Miltro c? mm3
1 Centtro Centtro c? cm3
1 Dectro Dectro c? dm3
1 Metro Metro c? m3
1 Decᠤtro Decᠤtro c? Dm3
1 Hectᠤro Hectᠤro c? Hm3
1 Kilᠤro Kilᠤro c? Km3
Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centtro c?o, entonces todos los vol?s
obtenidos a partir de 鬠estarᠤ en centtros c?s. Se sigue la misma analogsi el cubo
unidad tiene otra unidad de volumen.
Medici� del volumen de algunos cuerpos simples con dos caras paralelas

3. Volumen de un cubo
Un cubo es cuerpo formado por seis caras cuadradas y
en cada v鲴ice convergen 3 aristas mutuamente
perpendiculares.
El volumen de un cubo es igual al valor de su arista
elevada a tres, como muestra la siguiente figura: Si la
arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen
se obtiene elevando a tres su arista:
Vcubo=(3cm)3
= 33
cm3
= 27cm3
Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces su volumen se calcula a
trav鳠de la fᠤla:
El volumen a ? a ? a = a3
de un cubo se puede tambi鮠definir como el producto del
ᠤa de la cara basal a ? a por la altura a, es decir:
V = a ? a ? a= (a ? a ) ? a = a2
? a = a3
Volumen de un paralelepdo
Un paralelepdo es un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de
ellas cuadradas (caras basales) y el resto rectangular (caras
laterales). Si las caras laterales son perpendiculares a la altura
del cuerpo entonces es le denomina paralelepdo recto, en caso
contrario se trata de un paralelepdo oblicuo.
El volumen del paralelepdo recto se calcula multiplicando las
longitudes de las tres aristas convergentes a un v鲴ice. Por
ejemplo, si las aristas de un paralelepdo recto son 2, 3 y 6 cm
entonces el volumen del mismo se obtiene multiplicando 2 ? 3 ?
6:
Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un v鲴ice miden a, b y c entonces su
volumen se calcula a trav鳠de la fᠤla:
El volumen a ? b ? c de un paralelepdo recto se puede tambi鮠definir como el
producto del ᠤa de la cara basal a ? b por la altura c, es decir:
V = (a ? b ) ? c = a ? b ? c

4. El procedimiento para calcular el volumen de un paralelepdo
oblicuo varrespecto al del paralelepdo recto sᠤ en que la
altura debe medirse en la perpendicular levantada desde el
plano que contiene a base inferior hasta alg? punto de la
base superior, como muestra la la roja en la figura adjunta.
Si las aristas de un paralelepdo oblicuo son 2, 3 y 4 cm
(como muestra la figura adjunta) entonces su volu?men se
obtiene multiplicando el ᠤa de la base (2 ? 3 = 6) por la
altura del mismo (6 ? 4 = 24), es decir:
Por lo tanto, si las aristas de la base de un paralelepdo miden a y b, y su altura
mide h entonces su volumen se calcula a trav鳠de la fᠤla del paralelepdo recto:
El volumen a ? b ? h de un paralelepdo oblicuo de aristas basales a, b y altura h
tambi鮠se puede definir como el producto del ᠤa de la cara basal a ? b por la
altura h, es decir,
V = (a ? b ) ? h = a ? b ? h
Volumen de un cilindro recto
Un cilindro recto, de base circular, es un cuerpo formado por
dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros
pertenecen a un segmento de recta perpendicular a ambos
culos, y por una superficie que las rodea por su borde, como
muestra la figura adjunta.
El volumen de un cilindro recto de base circular de radio r y
altura h se obtiene multiplicando el ᠤa de la circunferencia
basal por la altura h.
Sabemos que el ᠤa de un culo de radio r es:
Aculo = p ? r2
El volumen del cilindro cuya base es el culo descrito anteriormente se obtiene
multiplicando el ᠤa de dicho culo por la altura del cilindro, es decir:
Vcilindro = Aculo ? h o sea:
El volumen p ? r2
? h de un cilindro recto de base circular (con radio r) y altura h
tambi鮠se puede definir como el producto del ᠤa de la cara basal p ? r2
por la
altura h, es decir,

5. V = (p ? r2
) ? h = p ? r2
? h
Volumen de un cilindro oblicuo de base
circular
Un cilindro oblicuo, de base circular, es un cuerpo
formado por dos caras circulares paralelas, como base,
cuyos centros pasan por un segmento de recta que, a
diferencia del cilindro recto, no es perpendicular a
ambos culos, y rodeado por una superficie que ajusta a
los culos, como muestra la figura adjunta.
El volumen de un cilindro oblicuo de base circular de
radio r y altura h se obtiene multiplicando el ᠤa de la
circunferencia basal por la altura h.
Sabemos que el ᠤa de un culo de radio r es:
Aculo = p ? r2
El volumen del cilindro cuya base es el culo descrito anteriormente se obtiene
multiplicando el ᠤa de dicho culo por la altura del cilindro, es decir:
Vcilindro = Aculo ? h o sea:
Podemos resumir el cᠤulo del volumen de paralelepdos y cilindros en el siguiente
esquema:
Medici� del volumen de algunos cuerpos simples con s�una cara de base
Las pir�des
Una pirᠤde es un poliedro formado por un polno, llamado base, y por caras
laterales triangulares con un v鲴ice com?amado v鲴ice de la pirᠤde. Dependiendo
del n? de lados del polno base (o equivalentemente del n? de caras laterales) se
clasifican en pirᠤdes triangulares, cuadrangulares, etc.
Volumen de una pir�de recta de base cuadrada

6. Una pir�de recta de base cuadrada es aquella
cuya base es un cuadrado de lado a y en la que el
segmento bajado desde el v鲴ice de la pirᠤde es
perpendicular al plano de su base. Ademᠤ la
longitud h de ese segmento se llama altura de la
pirᠤde. Ver figura adjunta:
El volumen de la pirᠤde recta de base cuadrada se
obtiene dividiendo por tres al producto entre su ᠤa
basal a2
y su altura h, es decir:
Volumen de una pir�de oblicua de base cuadrada
Una pir�de oblicua de base cuadrada es aquella
cuya base es un cuadrado de lado a y en la que el
segmento bajado desde el v鲴ice de la pirᠤde hasta
su base no es perpendicular al plano de la base. La
perpendicular bajada desde el v鲴ice de la pirᠤde
hasta su base (o al plano que contiene a la base) se
llama altura de la pirᠤde. En la figura adjunta, la
altura tiene longitud h.
El volumen de la pirᠤde oblicua de base cuadrada se obtiene de manera anᠤga al
de las pirᠤdes rectas, usando la misma fᠤla, es decir:
Volumen de conos rectos
La figura siguiente muestra un cono recto de radio basal r
y altura h. La base del cono es un culo, cuya ᠤa es:
Aculo = p ? r2
El volumen del cono recto corresponde a la tercera parte
del producto entre el ᠤa de su base y su altura, es decir:

7. Volumen de conos oblicuos
El cᠤulo del volumen en los conos oblicuos es anᠤgo
al de los cilindros rectos. Podemos observar en la figura
adjunta, un cono oblicuo de altura h y radio basal r. Su
volumen se obtiene, una vez mᠤ de manera anᠤga al
del cono recto y su fᠤla es la misma:
Podemos resumir el cᠤulo del volumen de pirᠤdes y conos en el siguiente
esquema:
Medici� del volumen de la esfera
El volumen de una esfera de radio r se obtiene a trav鳠de la fᠤla:

8. Arqudes ideᠤ m鴯do simple para determinar el volumen de la esfera. Imaginᠤa
semiesfera, un cono y un cilindro juntos. Supuso que la esfera tenradio R y tanto el
cono como el cilindro con el mismo radio basal R. Tambi鮠supuso que las alturas
del cono y el cilindro med R como muestra la siguiente figura:
De estas figuras, son conocidos los vol?s:
- Del cilindro: radio R y altura R, o sea p?R2
?R = p?R3
- Del cono: radio R y altura R, o sea (p?R2
?R )/3 = (p?R3
)/3
Luego cortᠤs tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro y del cono y a
una distancia d de la parte superior de las figuras. Luego se preguntᠤmo ser las
secciones determinados por este plano en la semiesfera, el cono y el cilindro:
La secci�el cilindro
En el cilindro la secciᠤue determina el plano es claramente un culo de radio R y su
ᠤa es:
La secci�e la semiesfera
En la semiesfera, la secciᠤircular que determina el plano que corta a la
semiesfera, tiene un radio r (menor a R ) que depende de la distancia d. La
siguiente figura muestra la situaciᠤ

9. El ᠤa del culo de radio r, es:
Ademᠤ usando el Teorema de Pit�ras, en el triᠤulo rectᠤulo de lados R , d y r
se cumple que:
La secci�n el cono
El cono que considerᠤqudes, tiene altura y radio basal R, por lo tanto el triᠤulo
formado por dicho radio basal, la altura y la pared del cono es rectᠤulo e isᠤles.
Por semejanza de triᠤulos, el circulo que determina el plano que corta al cono tiene
radio d. La siguiente figura lo muestra:
En el cono, la secciᠤue determina el plano, es un culo de radio d y su ᠤa es:
Juntando las f�las
Hasta ahora sabemos que:
pero de la semiesfera obtuvimos que:

10. Si en el ᠤa del cilindro reemplazamos R2
por r2
+ d2
entonces tendremos que:
Es decir, la suma de las ᠤas de las secciones del cono y la semiesfera es igual al
ᠤa de la secciᠤel cilindro.
Esto ocurre para cualquier valor de d, por lo tanto, si consideramos las secciones
(que forma el plano al cortar las figuras) como rebanadas finas, para cada trde
rebanadas tendros que:
Rebanada del cilindro = Rebanada de la semiesfera + Rebanada del cono
De la relaciᠤnterior podros suponer entonces que:
Volumen del cilindro = Volumen de la semiesfera + Volumen del cono
y si reemplazamos en esta relaciᠤas fᠤlas conocidas del volumen del cono y el
cilindro, entonces es posible determinar el volumen de la semiesfera:
Despejando,
Por lo tanto, el volumen de la esfera es el doble del de la semiesfera:
El m鴯do de Arqudes para encontrar el volumen de la esfera es simple e ingenioso.
Arqudes quedᠤn maravillado con 鬬 que dispuso grabar en su tumba esta figura,
en recuerdo de su idea:

11. Clasificaci� de los cuerpos
Se puede observar del diagrama que a partir de esta clasificaciᠤ existen
bᠤcamente tres formas de calcular su volumen: el de los cilindros, el de las
pirᠤdes y el de la esfera.
Medici� del volumen en cuerpos no regulares
Por desplazamiento de lido
Cuando un sᠤo no tiene una forma geom鴲ica que permita determinar
por cᠤulo su volumen, se mide 鳴e directamente. El procedimiento se
le atribuye a Arqudes.
Supongamos que se desea saber el volumen de una piedra
pequeᠤPor lo general las piedras tienen una forma muy irregular, por
lo que es muy difl calcular su volumen comparᠤolo con un cubo
unidad. En estos casos se calcula su volumen por desplazamiento de
agua.

12. En un recipiente graduado vertemos un lido y, a continuaciᠤ sumergimos en 鬠el
sᠤo cuyo volumen deseamos conocer. El aumento de nivel del lido nos
permitirᠤpor sustracciᠤ determinar el volumen del sᠤo. Normalmente el lido
empleado serᠤgua, pero si el sᠤo se disuelve en ella (por ejemplo la sal o el az?
usaremos otro lido que no disuelva al sᠤo.
El siguiente diagrama muestra un objeto irregular y un recipiente con 9 centtros c?s
de agua. La cantidad de agua debe ser la suficiente para que el objeto pueda ser
sumergido en ella.
Se introduce el objeto en el recipiente y se mide el desplazamiento de agua que
provocᠤfont>
Al introducir el objeto al recipiente el agua subiᠤ nivel marcando un volumen de 11
cm 3
. Antes de introducirlo el volumen del agua marcaba 9 cm 3
por lo que la
diferencia de volumen se debe al objeto.
El volumen del objeto se obtiene restando el volumen del agua, con el objeto,
menos el volumen del agua sin el objeto:
V = 11 cm 3
- 9 cm 3
= 2 cm 3
Por lo tanto el objeto tiene un volumen de 2 cm 3.
Este m鴯do es bastante sencillo, pero es ?sᠤpara objetos pequeᠤque no absorben
el lido en el que son sumergidos. No es posible usarlo para medir el volumen de
una pirᠤde Egipcia, por ejemplo.
Principio de Cavalieri
Otra manera de conocer el volumen de un sᠤo cuando no tiene una forma
geom鴲ica que permita calcular su volumen a trav鳠 de las fᠤlas vistas es usa.
Veamos un ejemplo que visualiza este principio.

13. Usando tres montoncitos de 15 fichas (monedas de $10 u objetos similares, todos
iguales) y una cinta de cartulina cuyo ancho sea mayor que el diᠤtro de las fichas,
ordena las fichas en 3 pilas de modo que sᠤuna sea recta y las otras dos sean
oblicuas o sinuosas y a continuaciᠤasa la cinta entre las fichas a la misma altura en
las tres pilas.
Notarᠤ que las ᠤas de las fichas que tocan la cinta son iguales para las tres pilas y
si pasas la cinta a cualquier otra altura, las ᠤas de las fichas siguen siendo iguales.
El Pricipio de Cavalieri asegura que si esto ocurre para cualquier altura entonces
las tres pilas tienen el mismo volumen.