Calculo diferencial

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Calculo diferencial

  1. 1. Cálculo diferencial e integral I Problemas resueltos
  2. 2. Canek: Portal de Matemáticas Cálculo diferencial e integral I Problemas resueltos Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador) Ignacio Canals Navarrete Manuel Meda Vidal Rafael Pérez Flores Carlos Antonio Ulín Jiménez Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco Editorial Reverté Barcelona Bogotá Buenos Aires Caracas México 2008
  3. 3. Universidad Autónoma Metropolitana Rector general Dr. José Lema Labadie Secretario general Mtro. Luis Javier Melgoza Valdivia Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco Rector Dr. Adrián de Garay Sánchez Secretaria Dra. Sylvie TurpinMarion Director de la División de Ciencias Básicas e Ingeniería Dr. Emilio Sordo Zabay Jefe del Departamento de Ciencias Básicas Dr. Luis Enrique Noreña Franco © M. en C. Ernesto Javier Espinosa Herrera (coordinador) Dr. Ignacio Canals Navarrete M. en C. Manuel Meda Vidal Dr. Rafael Pérez Flores y Dr. Carlos Antonio Ulín Jiménez © Departamento de Ciencias Básicas División de Ciencias Básicas e Ingeniería Unidad Azcapotzalco UniversidadAutónoma Metropolitana Av. San Pablo 180, col. Reynosa Tamaulipas Deleg. Azcapotzalco, C.P. 02200México D.F. © Reverté Ediciones, S.A. de C.V. Río Pánuco 141, col. Cuauhtémoc Deleg. Cuauhtémoc, C.P. 06500 México D.F. ISBN de la colección 978 968 6708 73-8 ISBN del volumen 978 968 6708 78-3 Primera edición 2008 Impreso en México. Printed in Mexico Programas Educativos, S.A. de C.V. Calzada Chabacano 65, local A Col. Asturias,México, D.F. Captura de datos: Teresa Jurado Dorantes Portada: LucilaMontoya García Cuidado editorial: Concepción Asuar Todo el material de Cálculo diferencial e integral I. Problemas resueltos se encuentra en línea en la dirección: http:nncanek.azc.uam.mx
  4. 4. Índice Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Capítulo 1 Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Algunos tiposdenúmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Representacióngeométricade losnúmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Propiedades algebraicasdelosnúmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Ordendelosnúmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Valorabsoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7 Resolucióndedesigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7.2 Desigualdades del tipo ax C b cx C d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7.3 Desigualdades del tipo a1x C b1 a2x C b2 a3x C b3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7.5 Desigualdades del tipo j ax C bj M conM 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.7.7 Desigualdades del tipo ax C b cx C d k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.7.8 Desigualdades del tipo ax2 C bx C c 0 con a ¤ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.8 Apéndicedel capítulo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.8.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Capítulo 2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2 Funciónrealdeunavariable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3 Álgebradefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4 Composiciónde funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.5 Gráficadeunafunciónrealdevariable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.6 Tiposdefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.7 Transformacionesdefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.8 Modelandoconfunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Capítulo 3 Límite de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 VII
  5. 5. VIII Cálculo diferencial e integral I. Problemas resueltos 3.2 Álgebradelímites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.3 Límiteslaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.4 Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 3.5 Límites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Capítulo 4 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 4.1 Continuidadenunpunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 4.2 Tiposdediscontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 4.3 Continuidadenintervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Capítulo 5 La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5.1 Larecta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5.2 Laderivada deuna función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 5.3 Velocidadinstantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Capítulo 6 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 6.1 Reglasbásicasdederivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 6.2 Regladelacadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 6.3 Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 6.4 Derivadas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 6.5 Derivadasdeordensuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 6.6 Derivaciónimplícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Capítulo 7 Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Capítulo 8 Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 8.1 Derivabilidad y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 8.2 Máximosymínimoslocales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 8.3 Concavidad yconvexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Capítulo 9 Gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 9.1 Bosquejo de la gráficadeunafunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 9.2 Interpretación de gráficasysímbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 Capítulo 10 Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 10.1 Problemasde optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
  6. 6. Introducción No importa cuánto entregues, nunca será suficiente Donald W.Winnicott Cálculo diferencial e integral I. Problemas resueltos contiene el desarrollo, con todo detalle, y la solución del conjunto de ejercicios que aparecen en el libro de teoría Cálculo diferencial e integral I. Ambos libros fueron diseñados como una sola obra, en dos tomos, concebida para estudiantes de primer ingreso de escuelas de ingeniería. Tanto los ejemplos de la teoría como el conjunto de los ejercicios fueron elegidos entre aque-llos que los autores hemos utilizado en las múltiples ocasiones que hemos impartido este material en los programas de ingeniería de la Universidad AutónomaMetropolitana, unidad Azcapotzalco. Durante el proceso de elaboración de los dos tomos, siempre se procuró presentar la teoría, los ejemplos y los ejercicios de forma asequible para cualquier estudiante que inicia su formación universitaria en escuelas y facultades de ingeniería. Hemos puesto especial atención en una didáctica que refuerce en el estudiante el desarrollo de procesos de abstracción implícitos en el contenido matemático. Para nosotros, el alumno es el protagonista más importante en el proceso de la enseñanza y el aprendizaje, por lo que deseamos que, con este material, adquiera las bases necesarias para continuar aprendiendo y asimilando los conocimientos durante su formación en el campo de la ingeniería. Tanto el temario completo del libro de teoría como el del libro de problemas resueltos se encuentran disponibles en internet, en la dirección http://canek.azc.uam.mx. En las siguientes líneas se describe el contenido matemático de cada uno de los capítulos de la obra completa. El primer capítulo, Los números reales, trata sobre el universo donde se desarrolla esta parte de lamatemática denominada cálculo diferencial. Se presentan los números reales destacando sus subconjuntos: los números naturales, los enteros, los racionales y los irracionales. Se hace énfasis en la ubicación de éstos en una recta horizontal, en sus propiedades algebraicas y en su orden. Por la gran utilidad que tiene en el estudio del cálculo, se muestra el proceso de solución de diferentes tipos de desigualdades. El segundo capítulo, Funciones, centra la atención en uno de los elementos fundamentales de la matemática: el concepto de función y, como caso particular, el de función real de variable real. De ellas damos una repre-sentación gráfica, definimos operaciones incluyendo la composición y se explica la manera de transformar funciones obteniendo nuevas funciones a partir de una conocida. Clasificamos las funciones como sigue: funcionesmonótonas, pares e impares, lineales, cuadráticas, cúbicas, polinomiales, racionales y algebraicas. Analizamos también las funciones definidas por partes. Por último se muestra cómo se usan las funciones para representar o modelar situaciones de la vida real. IX
  7. 7. X Cálculo diferencial e integral I. Problemas resueltos En el tercer capítulo, Límites, presentamos otro concepto fundamental del cálculo: el límite de una función. En él encuentra el lector el álgebra de límites, límites laterales, infinitos y en infinito. En el cuarto capítulo, Continuidad, se utiliza el concepto de límite de una función para tipificar las funciones continuas. Desglosamos las diferentes formas en las que una función puede no ser continua. En el quinto capítulo, La derivada, utilizamos nuevamente el concepto de límite para definir otro concepto fundamental del cálculo: la derivada de una función. Se hace hincapié en la derivada como razón de cambio instantánea de una función. Posteriormente definimos en particular la recta tangente a una curva y la velocidad instantánea de un móvil. Puntualizamos la relación entre derivabilidad y continuidad de una función. En el sexto capítulo, Reglas de derivación, desarrollamos lo siguiente: puesto que la derivada es un límite, y en general es difícil o por lo menos laborioso calcular límites, se presentan distintas reglas que nos permiten calcular la derivada mediante la mera aplicación de fórmulas. Se resalta en particular la regla que nos permite determinar la derivada de una composición de funciones (regla de la cadena) y la derivación de una función definida implícitamente. En el séptimo capítulo, Razones de cambio relacionadas, calculamos la derivada o razón de cambio instan-tánea de una función a partir de una expresión que vincula la función que derivamos con otras funciones presentes en el contexto de un ejercicio. En el octavo capítulo, Aplicaciones de la derivada, se muestra el uso de la derivada para encontrar cuándo una función crece o decrece (tipo de monotonía), para calcular y clasificar sus puntos críticos (máximos y mínimos) y para describir los intervalos de concavidad de la función. En el noveno capítulo, Gráfica de una función, se articula un gran número de conceptos presentados en los capítulos anteriores para determinar el comportamiento de una función en su dominio y representar la gráfica de la función con mayor precisión. En el décimo capítulo, Optimización, culminamos nuestro estudio con el análisis de una situación real, la cual modelamos mediante una función real de variable real. De esta función se determina dónde alcanza sus valores extremos (su máximo y su mínimo). Es decir, optimizamos un modelo que representa un proceso real. Ernesto Javier Espinosa Herrera Coordinador
  8. 8. CAPÍTULO 1 Los números reales 1.1 Algunos tipos de números Ejercicios 1.1.1 Expresar el número racional dado mediante una expresión decimal finita (es decir, con periodo 0) o bien periódica infinita: 1. 3 8 : H Dividimos 3 entre 8: 0:3750 8j 3:0 60 40 0 ) 3 8 D 0:375N0 D 0:375 : 2. 5 6 : H Dividimos 5 entre 6: 0:83 6j 5:0 20 2 ) 5 6 D 0:833::: D 0:8N3 : 1
  9. 9. 2 Cálculo diferencial e integral I. Problemas resueltos 3. 8 125 : H Dividimos 8 entre 125: 0:0640 125j 8:00 500 0 ) 8 125 D 0:064N0 D 0:064 : 4. 17 3 : H Dividimos 17 entre 3: 5:6 3j 17:0 20 2 ) 17 3 D 5:66::: D 5:N6 : 5. 100 9 : H Dividimos 100 entre 9: 11:1 9j 100:0 10 1 ) 100 9 D 11:11::: D 11:N1 : 6. 25 22 : H Dividimos 25 entre 22: 1:136 22j 25 30 80 140 8 ) 25 22 D 1:13636::: D 1:136 :
  10. 10. 1.1 Algunos tipos de números 3 7. 1 10 : H Dividimos 1 entre 10: 0:10 10j 1:0 0 ) 1 10 D 0:1N0 D 0:1 : 8. 1 100 D 1 102 : H Dividimos 1 entre 100 D 102: 0:010 100j 1:00 0 ) 1 100 D 0:01N0 D 0:01 : 9. 1 10n con n 2 N: H Dividimos 1 entre 10n: 0: .n´1/ ceros 0 0 10 1 .´n/ ceros 0 0 j 1: 0” 0 .n1/ ceros 0 0 ) 1 10n D 0: ”0 0 .n1/ ceros 1N0 D 0: ”0 0 .n1/ ceros 1 : 10. Dé un ejemplo de número entero no natural. H 1. 11. Dé un ejemplo de número racional no entero. H 1 2 , este número se obtiene dividiendo la unidad en dos partes iguales. 12. ¿Cómo haría para hallar la representación decimal de un número racional de la forma p q con p entero y q natural? H Dividiendo p entre q.
  11. 11. 4 Cálculo diferencial e integral I. Problemas resueltos 13. Transforme la representación decimal periódica 0:3 en racional, de la forma p q con p entero y q natural. H 0:3 D 1 3 . En efecto: r D 0:33333:::I 10r D 3:3333::: D 3 C 0:33333::: D 3 CrI 10r r D 3I 9r D 3I r D 3 9 D 1 3 : 14. Transforme la representación decimal periódica 0:50 en racional, de la forma p q con p entero y q natural. H 0:50 D 1 2 . En efecto: r D 0:5I 10r D 5I r D 5 10 D 1 2 : 15. Transforme la representación decimal periódica 0:142857 en racional, de la forma p q con p entero y q natural. H 0:142857 D 1 7 . En efecto: r D 0:142857I 1 000 000r D 142 857:142857 D 142 857C 0:142857 D 142 857C rI 1 000 000r r D 142 857I 999 999r D 142 857I r D 142 857 999 999 D 1 7 : 16. Transforme la representación decimal periódica 0:13 en racional, de la forma p q con p entero y q natural. H 0:13 D 2 15 .
  12. 12. 1.1 Algunos tipos de números 5 En efecto: r D 0:13I 10r D 1:3 D 1 C 0:3 D 1 C rI 100r D 13:3 D 13 C 0:3 D 13 C rI 100r 10r D 12I 90r D 12I r D 12 90 D 2 15 : 17. Transforme la representación decimal periódica 0:212 en racional, de la forma p q con p entero y q natural. H 0:212 D 7 33 . En efecto: r D 0:212I 10r D 2:12 D 2 C 0:12 D 2 C rI 1 000r D 212:12 D 212 C 0:12 D 212C rI 1 000r 10r D 210I 990r D 210I r D 210 990 D 7 33 : Otra forma de resolver: r D 0:212I 100r D 21:212 D 21C 0:212 D 21 C rI 100r r D 21I 99r D 21I r D 21 99 D 7 33 : 18. Transforme la representación decimal periódica 0:3123 en racional, de la forma p q con p entero y q natural. H 0:3123 D 104 333 . En efecto: r D 0:3123I 10r D 3:123 D 3 C 0:123 D 3 C rI 10 000r D 3 123:123 D 3 123C 0:123 D 3 123C rI 10 000r 10r D 3 120I 9 990r D 3 120I r D 3120 9 990 D 104 333 :
  13. 13. 6 Cálculo diferencial e integral I. Problemas resueltos Otra forma de resolver: r D 0:3123I 1 000r D 312:3123 D 312 C0:3123 D 312 C rI 1 000r r D 312I 999r D 312I r D 312 999 D 104 333 : 1.2 Representación geométrica de los números reales Ejercicios 1.2.1 1. ¿Cuándo se dice que 2 puntos A y A 0 son simétricos con respecto a un tercero O? H Cuando O es el punto medio del segmento rectilíneo AA0. 2. Dados dos puntos A y O ¿cómo hallaría el simétrico de A con respecto a O? H Trazando la recta AO y llevando, a partir de O, una distancia igual a AO, pero en sentido opuesto:

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