Este documento describe diferentes medidas de tendencia central como la media, la mediana y la moda. Explica cómo calcular la media aritmética y la media ponderada, y sus propiedades. También describe cómo encontrar la mediana ordenando los datos y la moda como el valor más frecuente. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular y comparar estas medidas para resumir conjuntos de datos.
Medidas de Tendencia Central: Media, Mediana, Moda
1. 1
Sesión 1
Descripción de datos, medidas de
tendencia central
Objetivos: Al terminar esta sesión podrá:
1. Calcular la media aritmética, la media
ponderada, la mediana, la moda
2. Explicar las características, uso, ventajas y
desventajas de cada medida de tendencia
central.
2. 2
Características de la media
La media aritmética es, con mucho, la medida de
localización más usada.
Es calculada sumando los valores y dividiendo entre el
número de valores.
Las principales características de la media son:
- Requiere de una escala de intervalo.
- Todos los valores son utilizados.
- Es única.
- La suma de las desviaciones con respecto a la media
es cero.
3. 3
Media poblacional
Para datos no agrupados, la media poblacional
es la suma de todos los valores de la población
divididos entre el número total de valores de la
población: donde µ es la media poblacional, N es
el total de observaciones de la población y X un
valor particular.
N
X∑=µ
4. 4
Ejemplo 1
Un parámetro es una medida característica de la
población.
Ejemplo 1: La familia Castro es propietaria de
cuatro autos. Los siguientes datos corresponden
al kilometraje de cada uno de ellos:
56,000 23,000 42,000 73,000
Encuentre la media aritmética del kilometraje de
los autos:
µ = (56,000 + … + 73,000)/4 = 48,500
5. 5
Media muestral
Para datos no agrupados, la media muestral
es la suma de todos los valores de la muestra
dividida por el número de valores de la
muestra. Donde n es el número total de
valores en la muestra.
n
X
X
Σ
=
6. 6
Ejemplo 2
Un estadístico es una medida característica de
una muestra.
Ejemplo 2: Una muestra de cinco ejecutivos
recibió los siguientes bonos el último año
($000):
14.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0
4.15
5
77
5
0.15...0.14
==
++
=
Σ
=
n
X
X
7. 7
Propiedades de la media aritmética
Todos los datos de nivel de intervalo y de nivel de razón
tienen una media.
Para evaluar la media se consideran todos los valores.
Un conjunto de datos sólo tiene una media la cual es un
valor único.
La media es afectada por valores inusualmente grandes
o pequeños.
La media aritmética es la única medida de tendencia
central donde la suma de las desviaciones de cada
valor, respecto de la media, siempre es igual a cero.
8. 8
Ejemplo 3
Considere el siguiente conjunto de valores:
3, 8, y 4. La media es 5. Ilustrando la quinta
propiedad:
[ ] 0)54()58()53()( =−+−+−=−Σ XX
9. 9
Media ponderada
La media ponderada de un conjunto de
números X1, X2, …,Xn con pesos
correspondientes w1, w2, …,wn es calculada con
la siguiente fórmula:
)21
)2211
...(
...(
n
nn
w
www
XwXwXw
X
++
+++
=
10. 10
Ejemplo 6
Durante el periodo de una hora, en una tarde
calurosa de sábado, Cristina sirvió 50
refrescos. Ella vendió 5 bebidas de $0.50, 15
de $0.75, 15 de $0.90, y 15 de $1.15. Calcule
la media ponderada para el precio de estas
bebidas.
89.0$
50
50.44$
1515155
)15.1($15)90.0($15)75.0($15)50.0($5
==
+++
+++
=wX
11. 11
La mediana
La mediana es el valor que corresponde al
punto medio de los valores después de
ordenarlos de menor a mayor.
Cincuenta por ciento de las observaciones son
mayores que la mediana, y 50% son menores
que ella.
Para un conjunto par de valores, la mediana
será el promedio aritmético de los dos valores
centrales.
12. 12
Ejemplo 4
Las edades de una muestra de 5 estudiantes del colegio
son:
21, 25, 19, 20, 22
Ordenando los datos en forma ascendente, tenemos:
19, 20, 21, 22, 25. Entonces la mediana es 21.
Las estaturas de 4 jugadores de basquetbol, en
pulgadas, son:
76, 73, 80, 75
Entonces la mediana es 75.5
13. 13
Propiedades de la mediana
Es única; esto es, a semejanza de la media, sólo existe
una mediana para un conjunto de datos.
No se ve afectada por valores extremadamente grandes
o muy pequeños, y por tanto es una medida valiosa de
tendencia central cuando se presenta esta clase de
valores.
Puede calcularse para datos de nivel de razón, de
intervalo y ordinal.
14. 14
La moda
La moda es el valor de la observación que
aparece con más frecuencia.
Ejemplo 5: Las calificaciones de 10
estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87,
81, 75, 81, 87
Dado que 81 es el dato que aparece con
más frecuencia, éste es la moda.