Factorización 
Consuelo Díaz 
Raquel Valdés
Factorización de 
diferencia de 
cuadrados 
y cubos 
FFaaccttoorriizzaacciióónn 
Estrategia 
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Factor 
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Factorización 
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Caso I. Factor Común 
Aparece en todos los términos de la expresión 
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Caso I. Factor Común 
Ejemplo Máx. 
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Segundo 
factor 
Factorización 
Resolviendo los ejemplos: 
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Caso Ib. Factor Común por 
Agrupación de Términos 
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Agrupación de Términos 
Resolviendo los ejemplos: 
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Agrupación de Términos 
Resolviendo los ejemplos: 
3m2 - 6mn + 4m-8n (3m2 - 6mn) + (4m-8n) 
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Caso Ib. Factor Común por 
Agrupación de Términos 
Resolviendo los ejemplos: 
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Caso II. Factorización de 
Trinomios 
Trinomio Cuadrado Perfecto 
a2 + 2ab + b2 
• Determinar si es tcp 
• Obtener la raíz...
Caso II. Factorización de 
Trinomios 
Resolviendo ejemplos: 
a2 + 2ab + b2 
(a + b)2 
¿ es tcp ? 
Sí 
a2 = a 
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Caso II. Factorización de 
Trinomios 
Resolviendo ejemplos: 
(2ax - 3)2 
¿ es tcp ? 
Sí 
4a2x2 = 2ax 
9 = 3 
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Caso IIb. Factorización de 
Trinomios 
Trinomio de la forma x2 + cx + d 
•Obtener la raíz cuadrada 
del primer término 
• ...
Caso IIb. Factorización de 
Trinomios 
Resolviendo ejemplos: 
(x -10)(x - 2) 
-10 - 2 = -12 
(-10)(-2) = 20 
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Caso II. Factorización de 
Trinomios 
Resolviendo ejemplos: 
(3ax - 3)(3ax -10) 
9a2x2 = 3ax 
-10 - 3 = -13 
procedimiento...
Caso IIb. Factorización de 
Trinomios 
Trinomio de la forma x2 + cx + d 
• Completar el tcp 
• Factorizar la diferencia 
d...
x2 -12x + 20 
(x - 2)(x -10) 
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2 
x2 = x 
2ax = -12x 
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x2 -12x + 36 - 36 + 20 
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Trinomio Cuadrado Perfecto 
Resultado del siguiente producto notable: 
(a + b)2 
(a - b)2 
o, 
= a2 + 2ab + b2 
= a2 - 2ab...
Trinomio de la forma 
x2 + cx + d 
Resultado del siguiente producto notable: 
(x + a)(x + b) 
Donde: 
c = a + b 
= x2 + (a...
Caso III. Factorización de la 
Diferencia de Cuadrados 
a2 - b2 
a2 -1 • Identificar la diferencia 
de cuadrados 
• Obtene...
Caso III. Factorización de la 
Diferencia de Cuadrados 
Resolviendo ejemplos: 
(3+ 4x3)(3- 4x3) 
9 = 3 
16x6 = 4x3 
proced...
Caso III. Factorización de la 
Diferencia de Cuadrados 
Resolviendo ejemplos: 
x2 + 2x +1- y2 
(x +1+ y)(x +1- y) 
(x +1)2...
Caso IV. Factorización de la 
Suma o Diferencia de Cubos 
a3 -1 
• Identificar si es suma o 
diferencia de cubos 
• Obtene...
Caso IV. Factorización de la 
Suma o Diferencia de Cubos 
Resolviendo ejemplos: 
(a -1)(a2 + a +1) 
3 a3 = a 
3 1 =1 
proc...
Caso IV. Factorización de la 
Suma o Diferencia de Cubos 
Resolviendo ejemplos: 
(-3+ 4x2)(9 +12x2 +16x4) 
3 - 27 = -3 
3 ...
Diferencia de Cuadrados 
Resultado del siguiente producto notable: 
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Suma y Diferencia de Cubos 
Resultado del siguiente producto notable: 
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 
o bien, 
(a - b)(a...
Estrategia General 
1. Factorizar todos los factores comunes. 
2. Observar el número de términos entre 
paréntesis (o en l...
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  • Durante la presentación, que los alumnos respondan en cada uno de los ejemplos cuál es el término común
  • El primer ejemplo se hace con todo detalle, explicando de dónde sale el segundo factor y haciendo énfasis en la expresión final.
    Los siguientes ejemplos son ejercicios que los alumnos resuelven.
  • Igual que el Caso I, sólo identificar a quiénes agrupar
  • Que el grupo resuelva cada paso siguiendo el procedimiento y regresar a él cuando es necesario
  • Igual al anterior
  • Dar tiempo para que se resuelva individualmente y después comprobar los resultados´o que alguien lo explique
  • Si es necesario ir a la descripción de un tcp. En los ejemplos preguntar si son tcp y por qué
  • Llevar paso a paso el procedimiento, el grupo responde si es tcp, las raíces cuadradas ... El signo del doble producto, el resultado. Si es necesario regresar al procedimiento.
  • Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
  • Si es necesario describir o recordar de dónde vienen estos trinomios. Evaluar si los ejemplos son o no tcp. Si cumplen la forma descrita.
  • Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores.
  • Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
  • Si es necesario describir o recordar de dónde vienen estos trinomios. Evaluar si los ejemplos son o no tcp.
  • Completando el tcp. Explicar cada paso del procedimiento. Pedir que el segundo ejemplo lo resuelvan individualmente
  • Si es necesario describir o recordar de dónde viene la diferencia de cuadrados. Evaluar si los ejemplos son diferencia de los cuadrados de quién
  • Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores.
  • Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
  • Si es necesario describir o recordar de dónde viene la diferencia o suma de cubos.
    Evaluar si los ejemplos son diferencia o suma de los cubos de quién
  • Explicar el procedimiento paso a paso, que el grupo calcule los valores
  • Dar tiempo para que los alumnos lo resuelvan individualmente, alguien explicará el procedimiento y resultado
  • Tener listos un par de ejemplos para seguir la estrategia general.
  • Factorizacion

    1. 1. Factorización Consuelo Díaz Raquel Valdés
    2. 2. Factorización de diferencia de cuadrados y cubos FFaaccttoorriizzaacciióónn Estrategia Factor común y por agrupación Factorización de trinomios
    3. 3. Factor Expresión algebraica que multiplica a una segunda expresión (a - b)( x - z) (a - b) y ( x - z) Factorización Son factores a - b( x - z) b y ( x - z) Operación necesaria para re-escribir una expresión algebraica como producto de factores simples ma2 -mb2 = m(a + b)(a - b)
    4. 4. Caso I. Factor Común Aparece en todos los términos de la expresión algebraica, un término común ma2 -mb2 3x2 y - x 24a2xy2 - 36x2 y4 a(x +1) - b(x +1) • Identificar el máximo término común • Dividir la expresión algebraica original entre el máximo término común
    5. 5. Caso I. Factor Común Ejemplo Máx. factor común Segundo factor Factorización Resolviendo los ejemplos: ma2 -mb2 3x2 y - x 24a2xy2 - 36x2 y4 a(x +1) - b(x +1) m a2 - b2 m(a2 - b2) x 3xy -1 x(3xy -1) 12xy2 2 2 2a - 3xy 12xy2(2a2 - 3xy2) x +1 a - b (x +1)(a - b)
    6. 6. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Aparece un término común compuesto después de agrupar términos con factores comunes simples ax + a - bx -b • Agrupar términos con factores comunes, usando la propiedad asociativa • Factorizar (Caso I) en cada grupo, los factores comunes • Identificar el máximo término común • Dividir la expresión algebraica entre el máximo término común 3m2 - 6mn + 4m-8n 2am+ n -1- 2an + 2a -m
    7. 7. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Resolviendo los ejemplos: ax + a -bx -b (ax + a) - (bx + b) (a - b)(x +1) a(x +1) - b(x +1) procedimiento
    8. 8. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Resolviendo los ejemplos: 3m2 - 6mn + 4m-8n (3m2 - 6mn) + (4m-8n) (3m+ 4)(m- 2n) 3m(m- 2n) + 4(m- 2n) procedimiento
    9. 9. Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Resolviendo los ejemplos: 2am+ n -1- 2an + 2a -m (2am- 2an + 2a) - (m- n +1) (2a -1)(m- n +1) 2a(m- n +1) - (m- n +1) procedimiento
    10. 10. Caso II. Factorización de Trinomios Trinomio Cuadrado Perfecto a2 + 2ab + b2 • Determinar si es tcp • Obtener la raíz cuadrada del primer y tercer términos • Observar el signo del segundo término • Escribir el binomio al cuadrado x2 - 2x +1 4a2x2 -12ax + 9
    11. 11. Caso II. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos: a2 + 2ab + b2 (a + b)2 ¿ es tcp ? Sí a2 = a b2 = b + 2ab procedimiento
    12. 12. Caso II. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos: (2ax - 3)2 ¿ es tcp ? Sí 4a2x2 = 2ax 9 = 3 -12ax procedimiento 4a2x2 -12ax + 9
    13. 13. Caso IIb. Factorización de Trinomios Trinomio de la forma x2 + cx + d •Obtener la raíz cuadrada del primer término • Determinar dos números que sumados sean igual a c y que multiplicados sean igual a d • Escribir el producto de binomios x2 -12x + 20 9a2x2 - 39ax + 30
    14. 14. Caso IIb. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos: (x -10)(x - 2) -10 - 2 = -12 (-10)(-2) = 20 procedimiento x2 -12x + 20 x2 = x
    15. 15. Caso II. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos: (3ax - 3)(3ax -10) 9a2x2 = 3ax -10 - 3 = -13 procedimiento 9a2x2 - 39ax + 30 (-10)(-3) = 30 3(ax -1)(3ax -10)
    16. 16. Caso IIb. Factorización de Trinomios Trinomio de la forma x2 + cx + d • Completar el tcp • Factorizar la diferencia de cuadrados resultantes x2 -12x + 20 9a2x2 - 39ax + 30 Método general
    17. 17. x2 -12x + 20 (x - 2)(x -10) (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 x2 = x 2ax = -12x a x = - 12 = - x2 -12x + 36 - 36 + 20 (x - 6 + 4)(x - 6 - 4) (x - 6)2 -16 6 2 x (-6)2 = 36
    18. 18. Trinomio Cuadrado Perfecto Resultado del siguiente producto notable: (a + b)2 (a - b)2 o, = a2 + 2ab + b2 = a2 - 2ab + b2
    19. 19. Trinomio de la forma x2 + cx + d Resultado del siguiente producto notable: (x + a)(x + b) Donde: c = a + b = x2 + (a + b)x + ab d = ab y
    20. 20. Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados a2 - b2 a2 -1 • Identificar la diferencia de cuadrados • Obtener la raíz cuadrada del primer y segundo términos • Escribir el producto de binomios conjugados 9 -16x6 x2 + 2x +1- y2
    21. 21. Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados Resolviendo ejemplos: (3+ 4x3)(3- 4x3) 9 = 3 16x6 = 4x3 procedimiento 9 -16x6
    22. 22. Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados Resolviendo ejemplos: x2 + 2x +1- y2 (x +1+ y)(x +1- y) (x +1)2 = x +1 y2 = y procedimiento
    23. 23. Caso IV. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos a3 -1 • Identificar si es suma o diferencia de cubos • Obtener la raíz cúbica del primer y segundo términos • Escribir el producto del binomios por trinomio correspondiente 27 + 64x6 a3 - b3
    24. 24. Caso IV. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos Resolviendo ejemplos: (a -1)(a2 + a +1) 3 a3 = a 3 1 =1 procedimiento a3 -1 diferencia
    25. 25. Caso IV. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos Resolviendo ejemplos: (-3+ 4x2)(9 +12x2 +16x4) 3 - 27 = -3 3 64x6 = 4x2 procedimiento - 27 + 64x6 suma
    26. 26. Diferencia de Cuadrados Resultado del siguiente producto notable: (a + b)(a - b) = a2 - b2
    27. 27. Suma y Diferencia de Cubos Resultado del siguiente producto notable: (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 o bien, (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
    28. 28. Estrategia General 1. Factorizar todos los factores comunes. 2. Observar el número de términos entre paréntesis (o en la expresión original). Si hay: I. Cuatro términos: factorizar por agrupación. II. Tres términos: probar si es tcp y factorizar así; si no es tcp, emplear el caso general. III.Dos términos y cuadrados: buscar la diferencia de cuadrados y factorizarla. IV. Dos términos y cubos: buscar la suma o diferenica de cubos y factorizar. 3. Asegurarse de que la expresión está factorizada completamente.

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