Resistencia de materiales - tomo II - Timoshenko

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Resistencia de materiales - tomo II - Timoshenko

  1. 1. S. TIMOSHENKO PROFESOR m: MECÁNICA TEÓRÏCA y PRÁCTICA DE LA UNIVERSIDAD DE STANBÜRD RESISTENCIA DE MATERIALES SEGUNDA PARTE TEORÍA Y PROBLEMAS MÁS COMPLEJOS 1. mamás por TOMÁS DELGADO PÉREZ DE ALBA nnnnnnnnn ¡»mmm-nun y AEITONÁUTXCU ESPASA-CALPE, S. A. MADRID l 9 5 7
  2. 2. ¿n 5., cv, 1 e NNrn<ÉÉNI>I ®@—< NOTACIONES Fatigae normales ligadas a planos perpendicula- res aleje x, y o z. Fatiga normal ligada a un plano perpendicular a la dirección n. Fatiga normal en el punto de fluencia. Fatiga normal de trabajo. Fatiga cortante. Fatígas cortantes paralelas a los ejes u, z. z, y ligadas a planos perpendiculares a los ejes x, y, z. Fatiga cortante de trabajo. Alargamiento total, flecha total. Alargamiento unitario. Alargamiento unitario en las direcciones ft, ‘u. z. Distorsión unitaria, peo por unidad de volumen. Módulo de elasticidad en tracción y compresión. Módulo de elasticidad por cortadura. Relación de Poisson. Dilatación. Módulo de elasticidad por volumen. Momento torsor. Momento flector en una viga. Fuerza cortante en una viga. Área de sección recta. Momentos de inercia de una figura plana con re- lación a los ejes y y z.
  3. 3. XII ‘NOTACIONE S k”, lc, Radios de giro correspondientes a l u, I‘. I Momento de inercia polar. Momento resistente. Rigidez a la torsión. Longitud de una barra, luz de una viga. Fuerzas concentradas. Temperatura, espesor. Energía de deformación. Distancia, longitud de un arco. q Carga por unidad de longitud. N CQQQ&¡QN’G ÍNDICE Plain»: Capitulos . __, _ L-Paonnwmas ESPECIALES EN LA FLEXIÓN nn vien. . . . . . l l. Vigas sobre fundacion elástica . . . . . . . . . . . . . . l 2. La viga semiinfinita sobre fundación elástica 12 3. Vigas de longitud finita sobre una fundación elás- 6 tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 4. Carga lateral y compresión axial combinadas. . 27 5. Vi gas continuas con acciones axiales y transver- sales. . 37 6. ’I‘irantes con c rga transversal. 41 ‘I. La elástica mediante series trigonornétricas. . . 4G B. Flexión de vigas en un plano principal que no es plano de simetría. Centro de torsión . . 53 9. Anchura efectiva de alas delgadas. .. 59 10. Limitaciones del método ¿le superposición. . 62 l] . —PmzAs cuevas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 ll. Fatígas de flexión en barras curvas. . . . , 68 12. Casos particulares. . . . 72 13. Dcformación de barras curvas. . . 82 14. Arco articulado en los extremos. . 97 15. Fatigas en un volante . .. . . . . . . . . 100 16. Elastica de una barra con una línea media circular. 104 l7. Deformación de barras con una pequeña curvatura inicial . . . . . . . .. . . . . . l07 18. Flexión de tubos ci v . . . . 110 ll). Flexión de una barra curva fuera ( e p an vaturainicia] . . . . . . . . . . . 115 ILL-Pumas Y ENVOLVENTES nnnmmss . . . . . . . . . 121 20. Flexión de una placa en superficie cilindrica. . . . . 121 21, Flexión de una placa rectangular de gran longitud cargada. uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 22. Dcformiucióvi (le nlacas rectangulares que tioncn una pequeña curvatura inicial. . . . . . . . . . . . 129 2.! ‘ Flcxión ura on dos direcciones rectangulares. . . . 133 24. Fatigas e origen térmico en las placas. . . . . . . . . . . . 137
  4. 4. mv ÍNDICE Cspltulos mmm 25. Flexión de placas circulares cargadas simétricamen» te respecto al centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 26. Placa circular cargada uniformemente. . . 142 27. Placa circular cargada en e] centro. . . . . 149 28. Placa circular cargada concéntricamente. . . . 152 29. Deformación de una placa circular que tiene un agujero en su centro y está cargada simétrica- mente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 30. Flexión de placas rectangulares. . . . . 159 31. Depósitos de pared delgada. sometidos a presi n in- terior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 32. Fatigas locales de flexión en depósitos de pared delgada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 33. Fatigas térmicas en eiivolventes cillndricas. . . 178 34. Torsión dc un anillo circular por un par distribuido uniformemente a. lo largo de su linea luedia. . . . . 181 IV. —PnmEo m: BARRAS, PLAGAS y DÁSOARAS. . . . . . . . . . . . . 189 35. Pandeo lateral de barras comprimidas por debaio do] limito de elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 36. Método de la energia para el cálculo do la carga crítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 37. Prmdeo de barras prismaticas solicitadas por fuer- zas axiales uniformemente distribuidas. . . 209 3B. Pandeo de barras de sección variable . . . . . . 21]. 39. Efecto de la fuerza cortante en ls. carga crítica. 214 40. Pandeo de Vigas entramadas. . . . . 216 al. Pandeo do anillos circulares y u externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 42. Pandeo de placas rectangulares. . . . 228 43. Pandeo de vigas sin apoyos laterales . 234 V. —DEFORMACIONES SIMÉTRXOAS ALREDEDOR DE UN am. 241 44. Cilindro de pared grunsa . . . . . . . . . . 241 45. Fatigas producidas por zunchado. 245 46. Disco giratorio de espesor uniforme. 249 47. Disco giratorio de espesor variable. . . .. . . . . . . 258 4B. Fatigas térmicas en un cilindro hueco de gran lon- gitud . . . . . . . . . . . . . 263 VI: —Tons1óN. . . 270 49. Ejes «le sección no circular. . . .. . 270 50. Analogla de 1a membrana. . . . . 272 El. Torsión de perfiles laminado . 279 52. Torsión de tubos delgados. . . . . . . . . . . . . . . 282 53. Torsión de piezas de pared delgada en las qiic algu- nas secciones no pueden altibear libremente. . . . . 286 54. Pandeo por torsión de piezas comprimidas dc pared delgada . . . . . . . . . . . . . 298 55. Fatigas secundarias en la orsv m. 302 56. Resorte liolicoidal de espirus abicrt 308 VII. —-C0NcENTnAcióN DE ramon. .. 310 57. Concentración de íatigas en pie s extendidas o comprimidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 58. Fatigas en una placa con un agujero circular. . . . . 318 ÍNDICE Clpitulol mïïiïeïiïïíïiiï. ‘Ï‘Ï'Ï? *Ï'ÏÏ‘? ?Ï? 'Ï. ‘ÏÏ’ “e” m Pm 60. Concentración de fatiga en torsión . . 6L Eje circular de diámetro variable. 62. Concentración de fitiga en flexión , 63. Inïeslïsgación de la concentración de fatiga con nm- 64. Método fotáéíáéziéé "plirláfá "niéáída a gg‘ B12338948 gn el punto de aplicación de una carga. - 5 ¡Bas e contacto entre bolas y rodillos. . . . . . . . . VIÍÏ. —DEFOBMAOIONES PLÁSTICAS. . . . . . . . . . . . . . :7- Ïeïgófioïzï: de ‘Vi-gas cupo. ‘¡nata al no sigue la ley 8' ¡ex-ión Plérst de vigas por car ns ra I ' .1. ' . . ¿a Fstígas . d 1 fl _ E‘ _ nsversa es 3?. sofia 32335.5? Í“. . ÏÏÏSÏ PÏÏÏÏIÏÏI . . ÍÏÍ. . . e onnación plástica de cilindros de pare-d gruesa IDC-PROPIEDADES MEOÁNIOAS mu LOS m-mgnugs 72. 73. 74. 75. 7G. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. ÍNDICE m: AUTORES. . . . . . . . . sometidos a presión interior. . . . . . . . Ensayos de tracción. . . . Ensayo de compresión Engurecimiento por delvvrumc , 4 for. deformación y fatigas ¡»m1. Tipos de rotura. Tiempo de efecto o liistúri Ba fatiga alterna. eii los metal . . . . . _ _ ‘ZÉÏQG “WWW que afectan al 1 mite de com. . cia. ._. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . . FWHZE variable y concentración de fatiga . I Propiedades ziiecanicas d ' ' ' e los metal - » . ras elevadas. ... ... ... ... .. es“ tcmpemn“ Diversas teorias de la rotura. Fahgas de trabajo. . . . . . . . . . . . XV Paglnns 323 329 334 340 347 351 366 359 366 366 378 383 387 392 398 398 405 408 414 420 425 431 437 443 458 468 477 495
  5. 5. RESISTENCIA DE MATERIALES SEGUNDA PARTE CAPÍTULO PRIMERO PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS l. Vigas sobre fundación elásticas-Consideremos una viga prismátics apoyada. en toda su longitud sobre una fundación elástica. continua, tal que cuando la. viga se deforma la intensidad de la. reacción distribuida. de modo continuo es en cada sección proporcional a la flecha de dicha sección ‘. Con esta, hipótesis, la. reacción por unidad de longitud de la. barra. puede represen- turse por le expresión k1, donde y es la. flecha y k una constante denominada. corrienteruente módulo de la, fundación. Esta, cons- tante representa la reacción por unidad «le longitud cuando la. flecha es igual s la unidad. La. sencilla hipótesis de que la reac- ción por unidad de longitud es proporcional a la flecha. da re- sultados satisfactorios en muchos casos prácticos. Por ejemplo, en el caso de carriles sobre traviesas ls solución obtenida. con esta hipótesis está de acuerdo con las determinaciones reales i. ‘ La. viga está embebids. an un material capaz de ejercer acciones hacia arriba y hacia abajo. Véase S. Timoshenko y B. F. Langer, Trans A. S. M. E" volu- men 54. ág. 277, 1932. La tec-ws de ln flexión de unn burra. sobre fun- dación e ústica ha sido desarrollada po: la‘. Winkler, DIE Lehre v. d. Elasnzdt u. Featiglceit, Praga, 1867, eg. ISZ. Véase también A. Zim- müfmenn, Die Bzrechnung de: Eiaen ahn-Oberbuuea. Berlín, i888. Los últimos estudios de le teoria pueden verso eu las siguientes publicacio- Bllxiuuuu n: uwnnnul. — A. u A
  6. 6. 2 RESISTENCIA DE ‘MA TER] ATN)! Al estudiar la elástica de una viga, se obtuvo ¡ d‘y EI, E‘ — q. (a) donde q representa la intensidad de la. carga que obra sobre la viga. En un trozo descargado, la única fuerza sobre la viga es la reacción de intensidad Icy. Por consiguiente, g = — Icy, y la ecuación (a) será: (Py E , —— = —— . l M, Icy < ) Emplcando la notación l k = . V4 El, ' u) la solución general de la. ecuación (l) puede escribirse y = c3'(Acos{5z+BsenBx)+c-l3'(Ceos Bx+Dsen@x) (b) lo que puede comprobarse sustituyendo (b) en la ecuación (l). En cada caso particular se hallarán las constantes A, B, 0 y D por las condiciones especiales del F , , ' mismo. Y "” Sea, por ejemplo, el caso de una sola 14 0 ¡ carga concentrada que actúa sobre una {n} viga de longitud infinita (fig. l). Tomemos í como origen de coordenadas el punto de Fm 1 aplicación de la fuerza. Por simetría, hasta considerar el trozo de viga a la derecha de la carga —fig. l (b)—. Para aplicar a este caso la solución gene- ral (b), empezaremos por «letcrminar las constantes. Es lógico suponer que en puntos situados sobre la viga s. distancia infi- nes: Hnyushi. Theorie des Trrïgera auf elastischer Uncerlage, Berlin, 1921; Wïcghardl Zeitschri/ t lür urigewunrlte MILNL u. Mwch" vol. 2, i922; K. v. Senden and Schbieher, Batan und Eisen, 1926, l-Ieft 5; Paste-r. nsk, Batan u. Eiaen, 1926, 9 y ll); W. Pi-ugcr, Zeitsvhrift I. angewawdta Math u. llleclu, vol. 7, 1927, pág. 354; M. A. Biot, Journal Appl. Mad», vol. 4, iiig. l, A, i937. i suse Strenylit o) Materials, primera parte, pag. 131. emanan/ rss usmcunns m: LA FLEXIÓN DE VIGAS 3 nita de P la flecha y el giro de la sección correspondiente sean nulos. Esta condición puede satisfacerse únicamente si las con tantes A y B de la ecuación (b) son nulas. Por consiguiente 15 elástica para la parte de viga que se considera. será. i a . 'l=9_l5”(CC0B Bz+Dsen plz). (c) L” d“ “mmm? ” que quedan 0 y D las encontraremos . . ’ > por las condiciones en el origen, z = 0. En este punto la, em; v _ _ a tica debe tener una tangente horizontal; luego 11g) p = 0 ¿I z - o utilizando para y la expresión (c). 9-! ” (0°°5Px ‘iüflenfiï + ÜSenBz-D cosfix), ,o =0¡ de donde 0 = D. L“ mudó“ (C) Será, por tanto, y: Ce. j(cos pz+sen ¿xy (d) Las derivadas consecutivas de esta ecuación son: (¿y = — 2 BCe-Wse dz n B3’ dïy ¿»a = 2 5202 43' (sen p: c_ cos 3;) (e) d3y ' 0:3 = 4 (3302 -L’= cos gt m La constante 0 l ' z = o la fuerza e ta dïerininarcmos ahora, puesto que pam o - . I‘ Mi en el trozo de viga que considera. mos —fi . _ _É . _ g l (b) es "2" El 518110 * Procede del convenio esta- blecido para el s¡ _ gno de la. f = » . Primera pana Por Conaíguieïïgsa cortante (véase pagina 68, (V>, -., fliïlm = _E¿( dx
  7. 7. PROBLEMAS ESPECIALES EN’ LA wnwxiów mr, virus ñ 4 RESYRTENCÏA m1 11441121314135 inserta a continuación, en In que se emplean las mutaciones s1- gmentes: empleando la. ecuacmn (f), P q) = e“l3"(cos ['12 + sen 5.7:); E1 .4;1=0 = -a ' 2 q1=—e‘3‘ (sen Bx— eos Bz; LG) ¿e donde P fl = e‘ ,3‘ cos Bm; Z- - 3* sen fix. a ‘ 55131‘ En la figura 2 se dan gráficamente las funciones q; y 4;. - , bífeue sustituyendo este valor en las ecuaciones (d) y (¿lv 59 “ ' TABLA I P ¿,1 OS px+senan = Ïe- b‘ (cos fix + sentir) (3) 11711010111251 (p. 4;, 0 Y E swf r (e 2k . -— = =", -= ' B” ‘P 4' 9 5 B"? 9 ‘P 9 ¿“y P _ _ (4) «q nn M I= — El: d“, = " E‘; B‘ (San B1 nos BZ 0 1,0000 1,0000 1,0000 o 5,0 —0,030o —0,0124 —o,0245 —0,o121 1 0,1 1 0,9007 0,81001 0,0009 0,0003 3,7 ——11,o341 41,0070‘ »0,n‘21D —0,o1:;1 , . 1 - . - , _ 1 1- _ 1» m term de W d“ 3:: 22:22:: 1222:, 3:23: 311:; 2;: -212: -3;2::2-3;: ::: -213; DJ 0,8784 0,3564 0,6174 0,2610 ¡,0 —0,025S 0,0019 —Ü.0l2D —0,0l39 0,5 0,3251‘ 0,2415 0,53231 0.200s 4,1 —0,02s1 0,0040 —o,0o00 —o, o1a0 0,0 0.752s 0,1431 0,4520, 0,3099 4.2 —0,02o4, 0,0057 —o, oo74 —0,o131 0,7 0,0007 0,0500 0.372s 0,3190 4,3 —o,01711 0,00711 —o,0o54 —0,o125 0,3 0,0351 —0,o09a 0.3111 0,3223 4,4 —o, o155¡ o,0o701—«0,0o3s —0.0117 0,9 0,5712 —0,0057 0,2527 0,3135 4.5 —0,N32¡ 0,0085 —0,0023 —0,0108 1,0 0,5033 -—0,11os, 0.100s 0,3000 4,11 —0,o111 0,0090 —o,0o11 —0,o100 1.1 0,4475 —0,14571 0.1510 0,2007 4,7 11,0000 0,0001} 41,0001 1,2 0,31100 —0,171o 0,100” 0,22177 4,8 0,0050 0,0007 Ñ0,00a2 1,3 0,3055 ——0,1s07 0,0720, 0,2520 4,17 0,110117 0,0014 —o,007a 1,4 0,2340 —0,2m1 0,0410 0,2410 5,0 11.01124 0,0010 —0,00e5 1.14 0,2334 -o,20os 0,01511 0,2220 5.1 0,0os0¡ 0,0023 —0,0057 1,4 0.1950 —o_2077 —0,0050 0.201s 5,2 0,00751, 0,00211 —o,00411 1,7 0,1570 —0,2o47 —0,0235, 0,11112 5,3 0.0000‘ 0,0023 —0,0042 1,8‘ 0.1234 —0,10s5 —0,o07o 0,1510 5.4 0,0014 0,0020 -0.o035 1.o; 0,0032 41,1290 —0.o4s4 0,1415 5.5 0,01155 0,00170 —0,nn29 2.0 0,00117 _o_1704 —0,050a 0,1230 5,5 0,11052 0,0020 41.0023 2,1 0,04110 —0,11175 —o,001s 0,1057 5,7 0.0040 0,0021: —o, m11s 2.2 0,0244 —0,154s 47,0552 0,01105 5,5 0,0041 0.0027 —o,0014 2,511 0.0040 —a,141o —n, ows 0,07421 5,17 0,011511 0,00211 —o, o010 2,4 —0,o054 ——o,12s2 —o, n<1110 0,00111 41,0 11,0017 0,0031 0,0024 —0.mn7 2.6 —0,o140 —o.1140 -0,011sa 0,0402 0,1 0,0010 0,0020 0,0022 —0,111>c4 , «como 0,01103 0,2 0,00111 0,0022‘ 0,00201 —o,0002 —0,n110a 0,0257 5,3 0,0010 0,0011; 0,00141} +0_o001 Las ecuaciones (3) y F10. 2 2,8 —0,or1110 —o.057a 0,0204 0,4 0,0018 11,0015 0,0017 0,01108 _ - 2.", — 0,0103 — 0,0504 0.0132 0,5 0,0013 0,0012 0.01115 0,11004 litud decrece gradualmente. La longltud de onda a es Igual al 3,0 —0,042a —o. o40a 0,00711 0,0 11,0017 0,0000 0,110111 0,1100’. P _ . . Z Ben pz. es ¿cum . 3.1, ——0,u4s1 —o, o45o 0,01111 0,7 0,0010 0,01100‘ 0,0011 0,001111 periodo de las iunciones cos L‘) y - 8.2 -o, o1:11 —o, u4n7 —o, on24 0,11‘ 0,0015 0,00041 0,0010 0,00041 i) 4 TI‘ 5 313i —0Ü422 —0_I), ‘lfll —0.0058 0,0 0,0014 0,04102‘ 0.0008 0,0006 -11 _ 27: g l l 1 3.4 41,0400, —o,0:123 —o, o0s5 7.o 0.0013 0,0001’ 0.0007, 0.001» "1 — í _ k ' 6.5 — 0,0330 — 0,0253 — 0,0100 1 ¡ 1 rminación de la flecha, el m°m°“l’° Para simplificar la detc l _ l u emplea la tabla 11111110111111 que se 11001.01- y la Luci-za 001-1111110. s
  8. 8. 6 RESISTENCIA DE‘ MATERÏALES Empleando la notación (6) y las ecuaciones (d) a (I); se obtiene ll= %:<iü(lïx)s g= —%l(firt y ¿’y P M= —1-'«1.':2= ¿MBA (7) _ diu“ V_——El, d—fl_——e(px) Usando estas ecuaciones junto con la tabla I, se calculan fácilmente las flechas, el giro, el momento Hector y la fuerza cortante para cualquier sección recta de la viia. La flecha má. - xima y el momento flector máximo acontecen en el origen y valen, respeutivaixiente, 8 = (yx. ..) = ‘¿J-ix (s) Mo= <1Ln, -., = g. (9) Utilizando la expresión (3) y el principio de superposición, se puede calcular facilmente la flecha producida en una viga de longitud infinita sobre fundación elástica. por cualquier clase de carga. Como ejemplo, consideraremos el caso de una carga uniforme repartida sobre una longitud l de una viga infinitamem te larga (fig. 3). Consideraremos un pun- to cualquiera A y sean c y b las dis- tancias desde este punto a los extremos de la parte cargada. La flecha en A, producida, por un elemento de carga qdz. se obtendrá sustituyendo qdz en lugar de P en la ecuación (3) Fm. 3 y sora qdz _ z 5-9317’; 9 (cos (¿z + sen par). vaonnumas rzspwomnrs E‘? r A m * n A 4 iEXIÓW DE VTGAS 7 La flecha producida en A por toda la Carga vkfldrá ll= fb qdz e-Bflco ' qvlx o 833121, SBHMW”) +1 ¿Team "HWCDSM +senB’”)=2l¡c(2- 6‘F’cos[3b—e-? °cos{3c) m ' 9 Si c y b son grandes los va — n _o J loros de e B y e e son pequeños Y l“ flecha (,17) será i 1 - q gua . aproximadamente. a E; es decir, eii puntos alejados de los extremos - y pertene gnda’ puede despreciar“ la flexión de la bcientes a la Parte car. ¡a Carga uniforme q se transmite direct arre! y silPonerse que elásu-Ca’ Tomando e] punto A en “no d . lamente a la fun lil ción . e os extremos de l cargada se tiene c = o b _ l e- , a Par“! v *- Y cos {ic = 1 su - que l es Emnde, tendremos Í-‘tl ' - poniendo iibién e B“ cos al, _ 0 Por — - tanto, ‘I 9=<—; esdecit, lafl h h . 2k ec a. a ora es la mitad de la. encontrada anteriormente. De modo parecido f1‘ . ducirse la expresión delïnsnlieïiïgïdïg geuaïólgpül), puede de. toma‘ e“ l“ viga fuera d l r en ‘ ’ el Punto A se y c representan ¡la mayo: yitlfïïlïiïlsïfdgfliflïa, y} suponemos que b e as ístancias de dicho punto a los extrem d e“ A será ‘m ° 1*‘ Pam? Caïguda de la viga, la flecLa " qdac y: *‘*9‘E'(cosfiz+= ' qdz o 85351, uan aah-I fiñïg-rïz (Cos El o 4 . + :1 — o . —J seníïz) 2k(e (5 eos (Sc—e M008 ¿by (h) cuando c — o " Y b = l - es una cantidad Wande, He obtiene para lu flecha el J q . . V“ °T E70, que coincide con el hallado angenor. mente. A medida » q“ b V c aument | . . tiene u . . - _ 21H, a flecha (h) dmmmu cero pais. valores crecientes de b y ¿, _ Ye Y
  9. 9. 8 RESISTENCIA DE MATERTALES . . . _ d El caso de que la sohcitación sea un par (ig. 4 (GF; 1:3‘: ‘g analizarse utilizando la solución (3) wrrespondlentïla “¿la gp , , ' erzas aislada. La accion del par es equivalente a la de lasd 05mm wn, de ¡a figura, 4 (b), si Pe vale Ma, cuando e tien e . . ' h Utilizando la primera de las ecuaciones (7). la 59° 5 5 ‘m’ distancia n: del origen, Valdïá 1m nar) — «acera; P5 . _ _—_ ——— y = fiiqflfiït ‘FUN-T + ‘¿lll 2k a _ __ ¿Lvl? ‘f2, 2k ¿las Deducido de las ecuaciones (7% ü = _ 2p", dz . d r l pm- lo que la elástica que produce el par M“ resP0n e a n ecuacion y = J_¡_¡9Ea qpz)’ (N) k Diferenciando esta. ecuación, se obtiene? “E = M-jfï” nos) d’! ._ 950 a (l0') M = —E1,(-u2» 2 (ma). ¿‘y M ‘[5 í p= .—E , ——= ——; " (P3)- PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXÏÓN DE VIGAS 9 Utilizando estas ecuaciones junto con la tabla I, puede cal- cularse rapidamente la flecha, el giro, el momento Hector y la fuerza cortante en cualquier sección de la viga. Considetaremos ahora el caso de que sobre la viga actúen varias cargas concentradas. Veremos, como ejemplo, la flexión de un carril producida por las acciones contra él de las ruedas de una locomotora. Para aplicar los resultados de nuestro ana- lisis, es necesario admitir que el carril está embebido de modo continuo en una fundación elástica. Esta hipótesis es acepta- ble l, puesto que la distancia entre traviesas es pequeña com- parada con la longitud de onda a de la elástica dada por la ecuación (5). Para. obtener el valor del módulo de la funda- ción k, se divide la carga necesaria para hundir a la traviesa la unidad de longitud entre la separación de traviesas. A este efec- to, se supone que ln traviesa esta solicitada por dos cargas co- rrespondientes a la presión de los carriles. Supongamos, por ejemplo, que la traviesa se hunde l cm. en los puntos de apli- cación de dos cargas de 5.000 kg. y que la separación entre traviesas es 50 cm. , tendremos _ _5,000 1 x 50 = 100 kg. /cm. ¡ Para el caso de una ola rueda cuya carga es P, se utilizan las r-cuaciones (8) y (9) para el calculo de la flecha maxima y del momento fiector maximo. La fatiga máxima debida a la flexión del carril será. _M. .,. , P P -‘ ua Um¡¡—7—-= @=ü (i) donde Z representa el momento resistente del carril '. Para com- a _ ' Véanse publicaciones del autor sobre Strength o} Rails, Transac- ‘WM 0! the Institute o] Way a/ Communications, San Petersburgo. Ru- sia (191-3), y también las de Proa. o/ the Second International Congress l07 axipplted llitchanica. Zurich. i926. Véase también referencia 2. Al escribir la ecuación (t) se ha su uosto quo la fórmula obte- mdfï en la teoria elemental de vigas pue e aplicarse en la sección de “llhcación de la carga P. Un análisis mas profundo de la cuestión Ïmestm q“; debido a las fatígas locales, el resultado es muy distinto 9' que du la ecuación elemental u).
  10. 10. ln RESISTENCIA DE MATERIALES parar las fatigas en carriles cuyas secciones son semejantes geo- métrioauieute, la ecuación (i) se pone en la forma siguiente: V- 4 —' . «m? -%-V% m siendo A el área de la sección del carril. Como el segundo factor del segundo miembro de la ecuación (j) permanece constante para secciones geométrioamente semejantes, y como el tercer factor no depende de las dimensiones del carril, se deduce que la fatiga maxima es inversamente proporcional al área de la sección recta; es decir, inversamente proporcional al peso del carril por unidad de longitud. El valor aproximado de la presión Rm“ sobre una traviesa se obtiene multiplicando la flecha maxima por la separación en- tre traviesas l y por el módulo de la fundación. De la ecuación (8), , m El _ P M‘ (k) PB 27W‘- 2 - 2». 47,‘ De aqui se deduce que la acción sobre la traviesa depende principalmente de la separación entre traviesas l. Debe seña. - larse que lc influye con su raíz cuarta en las ecuaciones (i) y (lc). Por consiguiente, un error en la determinación de lc vendra muy reducido al influir sobre am, y Rm“. Cuando son varias las cargas que actúan sobre el carril, se emplea el metodo de superposición. Veamos, como ejemplo. un caso numérico. Sea un carril de I, = 1.800 cm. ‘ y supongamos una separación de traviesas tal que lr = 100 kg. /em. '. De la. ecuación (2), ‘ “T ‘ 100 l _, B: = ————»————- = —— om. , 4EI, 4 >< 2 x 10‘ x 1,800 109 y de la ecuación (5), E. ..“ ü f3 Tomaremos, por ejemplo, un sistema de cuatro ruedas igua- les separadas a 165 cm. Escogiendo el origen de coordenadas en el punto de contacta de la primera rueda, los valores de pa: para a= =684 cm. pnmxmvwus nsmcmnns m: LA ‘FLEXIÓN mv virus 11 las demas seran los de la tabla Il y los de las funciones d‘ l“ tabla‘ de la Página 5. 10s que también se indican lp y ll] T A B L A I I k . . - _ Cargas , 2 3 4 0 1,51 3 03 4 5. 1 _ 02W _ Y , .1 l 0234 0,053 0,003 Superponiendo los efectos de las cuatro ruedas que actúan ¡obre 91 Carril. el momento flector en el unto d primera rueda, en virtud de la ecuación El) same apoyo de la i 4B d ‘ , ] es ecir e momento es un 25 por 100 menor que e] que produce una carga aislada P. Procediendo en forma análoga, se obaiene para el punto de contacto de la segunda rueda P Mi = 4-6 (1 - 0207 — 0,053 + 0,008) _—_ 0,75 E 4B Pi ed - . came: e? :Ï; ::l“: °bql1°, l debido ala acción de las ruedas adyu. debajo de la rima al; a segunda "ma" “.5 m“°"° "m" q“ P Pa. ste resultado ha sido comprobado en multitudd d ' - . . . e eterminaciones experimentales. Utilizando la eoua. '56" (3) y los valore d l úl . ' flecha bajo m prime; sueña: tima fila de la tabla. II, se haya la H 2k P M. = E (1 — 2 >< 0,207 — 0,053) _—. 0,533 8' = <1 + W234- 0.o42_o, oi2) = 1,13 ÏÉ. 2k Las fl h análogo. ee M’ en los “m” P““t°9» Pueden obtenerse de modo 8° V9» P0P tanto con ué fa ‘ldad ‘ de supe . . ’ q “l ' puede aplicarse el método car rposlclón y ‘¡btenar el efecto debido a una combinación El Ïïuïiïiïflrïfi” San? ’ .5" dispmlcló“ y s“ 5913*" “¡ón- n °° “Ps7 de ‘dels: llludo haci") fluponlerido que la funda" existe juego ent e; rm- " nucclone" "°g"t"’”'”' N95“ que re carril y los pernos, hay una pequeña resis- cid
  11. 11. 12 RESISTENCIA DE MATERIALES tencia en el movimiento hacia arriba del carril, lo que tiende a aumentar el momento fleetor debajo de la primera y última rueda. En el problema intervienen, ademas, otros elementos que pueden afectar al resultado del análisis. Sin embargo, en general, la teoría expuesta para la flexión del carril, en virtud de cargas estáticas, está. en satisfactorio acuerdo con los experimentos realizados. Problemas l. Utilizando los datos de la. tabla II, construir e] diagrama de momentos flectores para el carril, suponiendo que la acción de cada rueda es igual a 20.000 kg. Este diagrama mostraré que los momentos son negativos para las secciones medias entre ruedas, lo que indica que durante el movimiento de la locomotora el carril está sometido a un cambio en la acción de las fa- tigas de flexión. lo que puede oca- sionar roturas por fatiga alterna. 2. Encontrar el momento flec- tor en el centro de la. parte cargada de la viga de la figura 3, y el giro en FÍG- 5 la elástica correspondiente al extre- mo izquierdo del mismo trozo. 3. Encontrar la flecha en un punto cualquiera A, bajo la carga triangular que obra sobre la viga infinitamente lei-ga, apoyada de modo continuo y elástico. de la figura 5. Respuesta: Procsdiendo del mismo modo que al deducir la ecuación (y), pági- na 7. ¡e tiene y - ¡”g-k % [Maca — vlatflb) — 2 arenal») + 49o] 2. La vlga semllnflnlta sobre fundación elástica. —Si una. viga larga embebida en una fundación elás- M. tica se flexa por la acción de una fuerza P h ; y de un momento M, aplicados en su ex- P tremo (fig. 6), podremos utilizar la solución general (b) del artículo anterior. Puesto que flechas y momento-doctor tienden hacia cero, a medida que :2 aumenta deberá. tomarse A = B = 0, y tendremos y = 4-? ‘ (0 cos pa: + D sen pm). (a) Fro. 0 PROBLEMAS l , ESPFFÏALES m: mi FLEXIÓN DE VYGAS 13 Para‘ d t ‘ . _ ciones en el origen; es decir, bajo ¡a carga P; E1, (ÉL-a = __ M“ o sustituyendo la expresió . dos euuacíones lineales en Onyozáeiáffieïzïtïejgiaoionee, se obtienen = —V= P. z-o o = ; _ . 2831”! (P BMol. con e t - . s os valores la ecuación (a) se 950mb‘, y= “B” P 253131} cos E: x BM" (‘m Br — sen 32)] 2 P k {Perro — amo [son — com}. m, sustituyendo en (11) 3’ = 0. se obtiene la flecha bajo la carga 3 = (Wu-o = íl (P_. ¿M0, 2 no11, (11 ’) La expresión del ' ' _ giro se obtiene diferenoiand cio u . r . _ 0 la ecua- n l ) En el extremo (x = o), este gm) vale ‘L _ i (¿wlan __2iav1:1,‘P“ 25M“ (12) Empleando estas ecua ‘ pueden resolverse prohlenïïinïáï cïmïfgzflo de superposición, Si una viga la ‘f J s" dación elástica ágeïidnililnueïterïiïirdtcsicarïada, apoyada Se b“ fu". ' m ra 7101)‘, la reacción R se encuentra eïteiaurbllïerciznïiïlïyadï Hfigu. 9h s apoyo es num Observar“ que a echa . - ‘ la flexión cl l ‘ pieuiuble a clistan ' d o que e a “El! es des- cia gran e del apoyo y que su depresión en la
  12. 12. 14 RWSTSTENOYA DE MATFJRYALES fundación será igual a i, se calcula el valor de R sustituyendo M, = o y 5 = 1k en la ecuación (ll'). Así se obtiene; R=2p= ELïqc= a3» La elástica se obtiene ¡"estando las flechas dadas por la ecua- ción (ll) paraP= R, M, ,=0, de la depresión uniforme de 4 la viga 7:, y así se obtiene: =Z_. 9-5” R - y Ia 243m1, ww’ ¿ía -—-e‘6«'voosfix). (143 M "¿F/ EEEP-‘u- I " (b) En el ceso de extremo l empotrado ——fig. 7 (b)—, los i’ Fm. 7 valores de la reacción R y del momento M, se obtie— nen estableciendo que en el apoyo la flecha y el giro son nulos. Observando que a. distancia grande del apoyo la. flecha vale 1%, y empleando las ecuaciones (l1’) y (12), se obtienen para el cálculo de R y M, las ecuaciones siguientes 1: _1=. __L_ 12 M k mamut + a o) y i 0 =2TÑTUÏ + 25510) de donde M°= —2p2EI, %, R=4a3EI, %=g. (15) El signo menos de M‘, indica que el momento tiene la direc- ción indicada por la flecha de la figura 7 (b). ‘ En las ecuaciones (l1’) y (12) sc sustituye P = — R, ya que la dirección positiva para le. reacción se ha tomado hacia. arriba. PROBLEMAS marianistas EN LA u. * * EXIÓN m: VIGAS 1 5 Problemas l. Encontrar la elástica cl . i -. . ¿mama ¿rficuladfl en el extljllïïïdyvïgï Bemiinfinita sobre fundación solicitada por el pai- Mu (fis. g) Solución: La reacción en ¡a En (‘V1 ticulación se obtiene por la ecua- '*‘ “¡ón (l1’), teniendo mi cuenta que p 8 = 0: lo que de. p = ‘¿Mo Fic. 8 Suit/ t d e i ilyen o este valor de P en la ecuación (u) ¡e obfieflo M 9= e‘{3=ge¡¡3z_ Mu Fawïfiflifil- ae) Por diferene ' - iwciones sucesivas se obtiene d EÏ = zLlMwxisri. _ _ d’ M - E453 = M“ - son, m Vu _ EI ‘¡al! ‘l? = ‘anda ' N3“)- Fro. 9 Snlauufi. L . y m) uuautu)’ OE valor“ M" y P se “me” sudo l“ entidades dad“ en de las ecuaciones al. ) en lugar de 8 y de _ ¡_ 1 Encontrar l 15s ' t“ "5" elástica a e h“ M“ “m! Visa semíínfinita sobre hindu. Producida por una ca; - . EH: P. aplicada u la distancia o ue I
  13. 13. ta] y como se representa. enla fi [6 RESISTENCIA DE MATERÏALES le viga continua a le izquierda de .4. gura por linea de trazos lLi este cua! ) la ecuación (3) da ls elástica para z > 0, y en la sección A dela viga 4‘ P FH infinita ficticia, en virtud de la si- —Q a -—' inetria y empleando las ecuacio- ‘ / nes (7). tendremos V} (a) r _ E _ E’ M —4BD(B€l. V — 2 9050)» (c) Solución: Supongamos que —"" Para obtener la elástica de- (H senda es evidentemente necesario euperponer alas flechas de la viga x ficticia infinita las flechas que en una viga semiinfiníta producen las cargas de la figura 10 (b). Utili- (ll) y (c) se obtiene para x > 0 Ma. 10 nando las ecuaciones (3). Pa y = = ñ quam) + ? ¡" ¡ verso + o)J + ¡menso + en — ramiro + en (d) osea y - 5% tam) +9; lmacloiau + en + + á wtficlfilñfr + en — ¿«itaolciaim + en i. líde pero —c < a: < O; en este caso Esta expresión es también vá en lugar de z sn ques). debe emplearse el valor absoluto de z; 3. Vigas de longltud finita sobre una lundaclón elástica. —La flexión de una viga de longitud finita embebida en una fundación elástica puede estudiarse mediante la solución (3), (correspon- diente al caso de viga de longitud infinita unida al método de superposición ï. Consideremos, por ejemplo, el caso de una. viga de longitud finita con los extremos libres solicitada por dos fuer- zas P simétricamente aplicadas —fig. ll (a)—. Este caso de carga corresponde al de una traviesa bajo la acción de las presiones de los carriles. A cada una de las tres porciones de la viga puede __—ï_ ‘ Este método de análisis ha. si _ _ Final Report of the Second Congress of ¿hr lnternohona Anno. l. BM ¡md Structural Enyineerma, Berlin, 1938. do desarrollado r M. Hetentyi. gs PROBLEMAS Esrnciims E » * N LA irLEXIóN DE VIGAS 17 “Pliearse la solución «¿mami a « (b) del artículo 1 ° . l constantes de inte " - - ' y m cul” l“ y en los Puntos de íÏ-ÏÉZÏSÍÓÏIÜÍÁEEÏZSOELÜJCIOÏS ‘ein los extremos obtenerse la solución de modo m gas. ue e’ sm embargï’: r ho mas sencill ' do las soluciones corres ' ue i o’ superpomen" _ pendientes a los dos casos de . una “ga de longitud . film caiga, sobre y n (c). in a, que muestran las figuras ll (b) En la fioura 11 b t: _ las dos fuerza P. E; áaapïguja: Ïríbre viga ‘de longitud infinita (0) icha viga esta cargada con r-, —z——-i Fio. 11 las fuerzas Q m to . Iii viga e infiiiíïamceïte: Prsólïilriioaphclados fuera del 6mm A B de d“ la Visa dada. —fig 11 (al/ a Oïpimm‘ A Y B exñreuws de modo conveniente las fueruase Ve fimllmente que “M095111310 de anularsc la fuerza cortante 1Q‘) y los momento“ Mo- Ime- por las fuerzas P en las ‘leccion: Ïlnllïhtgit: fllector producidos tud infinita, represa t d k ’* - e a viga de longi. ¡a Parte central de l: avigacriingïfiíilgur: l; (b). lPor consiguiente. ciones que la viga finita. re r es ar en m mismas ‘londi’ tanto. todo aquello f p usen ada e“ la‘ figura 11 (a): y, P01‘ t ‘ . . puede dcducirse SUFGYIÏNÏZÉZHÉOal la flexión de esta. ultima, viga, Pas ll (67 y ll (v). m m“ q“ “mmm” las figu- nmsrsucu m: IATIlXA]3__1-_ n
  14. 14. ¡g RESÏSTENCÏA DE MATERIALES Para establecer las ecuaciones que determinan los valores apropiados de M0 y Qu, consideraremos la sección en A de la viga infinitamente larga. Tomando el origen de coordenadas en eando las ecuaciones (7), caleulemos el mo- esto punto y empl mento Hector M’ y la fuerza cortante V’ producidas en este punto por las fuerzas P. M‘ = f5 lima-cn + Macu. (a) V'= '—; WEG-cn + email. El momento M" y le. fuerza cortante V" producidos en el indicadas en la figura 11 (c), se ob- mismo punto por las fuerzas (7) unidas s. las (l0'); lo que da tienen mediante las ecuaciones M'= 99o + iusl>1+ 99o + son], ‘a 2 a») M V‘ = — %’[1 — emm ——2'Éi1 — «sin. Los valores apropiados de M“ y Q0 se obtienen de las ecua- ciones M’ -1'M”=0, , . (9) V ‘I- V :0, n. caso con facilidad empleando la tabla I. la. flecha y momento flector en cualquier sección de la viga dada. -—figu- ra ll (a)— se obtienen utili- quo se resuelven en cad Conocidos Mu y Q0, Fm. 12 haciendo c = 0. De esta forma, se obtiene p iremos y en el centro de la. viga. las expresiones siguientes: zando las ecuaciones (7), (10) y 00'), junto con el método de superposición. El caso par- ticular de la figura 12 se re- suelve en la forma expuesta, ara valor dela flecha. en los ex- ¡’ROBLEMAS ESPECIALES EN LA FI FXÏÓN » . DE vioAs 19 y. = y. = M’ ïlïlifil l: Shfil —— sen (al, (d) BI sz yeso “fi (e) k shgsz + sen sz’ El momento Hector en el centro es 2P Slug sen El M = 2 2 m ‘F Wim‘ El caso de una ' 1 deducir“ también dgïlïegsïuais ada en el centro (fiá 13): Puede díado ‘fig- 11 W)‘. Basta l hacer c = É y escñbïr P en ? lugar de 2P. - De esta forma, se ob. y FI ls B. tie fl n: para e] valor de las 90 as en los extremo 5 y centro ls ' - . s expresiones siguientes: Ch y. = ya = y? . LA, (g) k 513,31 —+- son pl = fl’ 9m” *I-- 2 2k ShBl + son pl e ' (h) z - 1 . _. El momento flectu 1 e“ e Punto de aplicación de la cai-ga vale c: E 9 4p shpz + son si’ (i) ‘ El método em l cl . . ‘a 11 (a)— puedepaeiieï 17m e] 7”” d° ‘NW “mama —fisu- ‘huémca ‘fio. 14 afin; también para, el caso de carga. anti. ° - o Y M0 constituyen en este caso un y sistema alltlsimét ' Hco —fi . 14 , __ y 8 (r) . Los xalores de Q0 y M0 se
  15. 15. 20 RESISTENCIA mi: MATERIALES determinan mediante un sistema de ecuaciones establecido de modo análogo a como se han escrito las ecuaciones (a), (b) y (c). Conocidos Qu y M n, todos los resultados concernientes a la flexión de la viga de la figura 14 (a) pueden obtenerse superpo- niendo los casos correspondientes a las figuras 14 (b) y 14 (c). Teniendo las soluciones correspondientes a los casos de car- ga simétrica y de carga. antisimétrica, puede resolverse con fa- cilidad cualquier otro caso de carga utilizando el principio de Fm. 14 superposición. Sea, por ejemplo, el caso de carga asimétrica de la figure. 15 (a). Su solución puede encontrarse superponiendo los casos de carga simétrica y antisimétrica de las figuras 15 (b) y 15 (c), El problema de la figura 16 puede resolverse de modo análogo. En cada caso, el problema se reduce a la determinación de valores apropiados de las fuerzas Q0 y momentos M n, median- te las ecuaciones (c). Al analizar la flexión de vigas de longitud finita se observa que la. influencia de fuerzas aplicadas en un extremo de la viga sobre la flecha cn el otro extremo depende del valor de El. Esta cantidad aumenta al crecer la longitud de la viga. Al mismo tiempo [véase tabla I), las funciones cg, u y 0 dccrccen rápida- Pkonnwwm msmvcur m m; . . , . . . LA una-xro}: m: VTGAS 2 l ¡“W156, y por encima de ci _ orto Valor d , fuerzas que actúan en un extremo d 91m Puede suponer“ que las - e a viga tienen u ' f cia despreciable sobre l na m "en" as deformacione w s del otro e t; m este Caso’ ¡a vi , x remo. ga puede considerarse como ' ' infinitamente ‘MER. ya qu l ¿"d e as can i ados q; (El), t]; (BZ) y 9 (BZ) son desprecia. 7 Á- ' i T I , 5 j” n T 7.4 7 47} / l w I V: 32 x}, Fm. 16 Fm. 15 blica comparadas con la unidad en las ecuaciones (b) 1o u - p inca considerablemente las ecuaciones ( ) v Cl e sim. E . En general el análisis de la fl ' ‘ 6 d ' . . m se hace clasíficándolas en treseguïgose vigas de lungltud Jim. Ill- gigas cortas, BL < 0‘50_ - ¡gas de lo ‘t d d; , Ill. Vigas lsrguïgglï; 21.9 a, 0,60 s fi] < 5. Al examinars 1 d - . precmge Por conïlfiesfitï: fiígïïisydfiá plane-r glrupo, puede des. mlutamente ñ . ' nsl erar a viga como ab- gida, 1 . . comparada con la dfigïïesfllïïl} Ïiefileaïlia (Ïlflegrlglsna muy pequeña e] caso de um c“ _ un aci n. ea, por ejemplo ' ga Balslada en el cent fi ' (st : = 0,60 e ‘ T0 ( g. 13) y supongamos riormente Pïrczïïïrïríamoïi niedlïrslte la? fórmulas “d” Eme" a 9., q c a nerencia entre la flecha en e]
  16. 16. 22 ansias-miran ns Mirmïums centro y la flecha en el extremo es alrededor de] ‘[2 por 100 de la flecha total. Esto indica que la flecha de la fundación se obtiene con gran aproximación considerando infinitamente ri- gida la viga y empleando para la flecha la fórmula _ P _ y ¡cl La característica esencial de las vigas del segundo grupo es que una fuerza que actúa en un extremo produce un efecto considerable en el otro. Estas vigas deben estudiarse según lo expuesto para vigas de longitud finita. En las vigas del tercer grupo puede suponerse, al estudiar un extremo de la viga, que el otro extremo esta infinitamente ale- jado. Puede considerarse, por consiguiente, la viga como in- finitamente larga. En todo lo estudiado se ha supuesto a la viga embebida de modo continuo en la fundación; pero los resultados obtenidos pueden aplicarse también a casos en que la viga está. apoyada en un gran número de apoyos elásticos equidistantes. Como un ejemplo de esta clase, expondremos el caso de una viga hori- zontal AB (flg. 17), que sirve de apoyo a un sistema de vigas verticales equidistantes, cargadas uniformemente a razón de q kg. /cm. 1. Todas las vigas estan articuladas en los extremos. Sean EI ¡ y ll la rigidez a la flexión y la longitud de las vigas verticales. La flecha en su centro será. (i) Donde R es la acción mutua entre la viga horizontal AB y la vertical considerada. Resolviendo en R La ecuación (j), se ve que la viga horizontal AB está. bajo la acción de una fuerza concentrada —fig. 17 (c)—, cuyo valor es 5 48 El R= —qli-—-- —'y- (k) 8 li} . _____ ‘ Diversos problemas de este naturaleza se presentan en las es- tructuras de buques. Un análisis completo de este género de roblemas se encuentren en Theory o] Structure al Ships, de I. G. Boo nov, vo- lumen 2, 19M, San Petersburgo. PROBLEMAS ESPECIALES EN LA maxtóv m»; VIGAS * 23 Suponiendo que la disgmei a a entre las vigas verticales es pequeña comparada con l 1 ' . _ sustituyendo las fuerzas cznctïflílriïlísl Ec: 1:11:18‘): horlmgm Y rga uni orme equivalm“ ‘fig- 17 (cl- puede también reem laz 1 ’ p arse a dis. tribución de carga indicada en la fi . . guru con linea de trazos u . _ - por m‘ ‘¡M83 distribuida continuamente de intensidad, Donde q‘ _ kg _ 9 ¿L 48 El ‘Ii-8a, k=Tl? .¿. (l) La ecuadó dif ‘ - . comiguíentei n erenoial de la elástica de la viga AB es, Por ¿‘y El’? = q, —- Ícy_ (m) S“ Ve que la ' 1, ' ‘¡'19 una viga oargïtigd: uiïirfldontal está en anáhigas °°ndi°i°ms ¿“ión elástica. rmemente y emlcebida en una fun. La intensidad d 1 dados Po! ‘ las cxprzsiziiïrgï ypel Éódulo-de l“ fundación está“ r l). aia estudiar 1a deformación de "' l“ viga, . . « , puede c1 , , t‘, u iizarse el método de superposición expuesto
  17. 17. 24 RESISTENCIA ma. MATERYMZES nte la ecuación ("Ü- Esm‘ - ' 1; dírectame mwnormenm o m egmr s la integral general de in. giendo el último camino, efcïipiïem° ecuación (m) en la, forma siguiente: y= ï + C'¡ sen B12831513 + G2 Se“ inch-p“: + 03 cos pa: (n) >< shpz + cuoosfiarChfir. Tomando en ei centro el origen de coordenadas '55» ¡7 M‘: m deduce por simetría que C3 = .Ü3 = 0. . - ' ' di ' summyendo enla ecuaclón (n) y utilizando las con clones en los extremos articulados ¿‘y (M24 = 0, (¡ig-LJ = 0. 3 n se encuentran 2senELShEl a _ —4h 2 2 ' r- lc cosfil+chi5l 2 cos ÉZCh Él 0 ___qií_2__g. ‘— Ïeospl-Hïb La elástica será, por consiguiente, msenflshfl ¡c {al + ot; Se“ “s! ” CÜS ¡ Eghá‘ 2 cos (o) _. al+ChplcoaBzCh3z - cos La flecha. en ei centro se obtiene haciendo x = 0, Y “le (¿L pz 2 cos -2- Ch w) 1 (ULA = 1"" cos B; + chgz . PROBLEMAS ESPECIALES mv m FLEXTÓN mi: VIGAS 25 sustituyendo este valor en ia ecuación (la), se halla la reac— ción en el apoyo central de la viga vertical correspondiente el punto medio de AB. Es interesante subrayar que esta reacción puede ser negativa, lo que indica, que la. viga. horizontal actúa como soporte de las vigas verticales cuando es suficientemente rígida. En caso cou- trario, puede aumenten la flexión de algunas vigas verticales. Problemas l. Encontrar ia expresión general de la. elástica, para, ei caso de ln figura 12, lina-pauta. - ïi _ ChBzcosml-x) +0115 (l-«flcosfiz. k y ‘ ShBl + sen BI 2. Encontrar las flechas en los extremos y el momento en ¡n sec- P i’ i‘ Fm. 18 Fm, 19 ción central de una viga. donde por dos pere: igualan y opuestos M. (figura 18). lteepueata: _2M ' ShBl-¡enal 9°‘ V‘ " T" X ' ShEcosE+ Cha-lung 2 2 2 2 “= "2M" ï‘"‘"' 3. Encontrar la flecha y el momento Hector en la sección centra] de una viga. apoyada. sobre fimdación elástica, que tiene sus extremos en. vllindo! y que está sargmla. en su punto medio (fig. ID). fiupuwtu: PB Sha! - sen pt 9» ‘ n emma M _ fi S_h{ivV+ senpl. ° ÁBChEIÁ-ooEBl
  18. 18. 26 RESISTENCIA m: MATERIALES 4. Encontrar la flecha y el momento flector en la sección central de una viga sobre fundación elástica, con los extremos articulados y sometida a una carga uniformemente repartida (fig. 20). Respuesta: y QChB-lcoss-l , :1 , ___2_1 J" 1.- chaucospz ShEl-seng M = .‘Ï_____2 2 . t 2B‘ C1131 + cosBX 5. Encontrar los momentos flectores en los extremos de la viga de la figure, 21, que descansa sobre una fundaoión elástica, está cargada Fio. 20 Flo. 21 de modo uniforme y con una carga. concentrada. en ese punto medio y tiene perfectamente empotrados los extremos. Respuesta: l ¡c¡g_ 22 Fm. 23 6. Encontrar la elástica de una viga sobre fundación elástica solL citada por unn r-arga concentrada que actúa on un extremo (fig. 22). Respuesta: 2Pp y _—_ ÉTSWÉEW-‘rfií [Shfiluusfimíïhad-xu) _ «en pzchpz uns su — m]. 7. Uiiu viga. sobre funduvióit elástica con los extremos articulados» PROBLEMAS nsPnmALns m: LA wnnxïów me weas 27 está flexade por un par 1M", aplicado en un extremo (bg. za, Han, “ la elástica. Respuesta: _ 4__ 2 M B’ v - (¿m9, _" mi 3,) [Chfll son Banshee — z) — cos 515m1 een aa — 1)]. 4. Carga lateral y compresión axial combinadas-Comen- ¡”enmf POT el Pmiïnlema sencillo dc una pieza con los extre- mos articulados solicitada » por una fuerza aislada P y comprimido. axialmente por dos fuerzas S iguales y opuestas (fig. 24). Supo- niendo que la fuerza P ao- . Fm 24 túa en uno de los planos I principales de la pieza, tendremos flexión en el mismo plano. Las ecuaciones diferenciales de la elástica para los dos trozos en que P divide a la. pieza son dt; Pc EIfi= ——-Sy———lz, (a) ¿”y _ P(l _ c) EÏEH‘ 7/_‘+(l—z)s (b) Empleando la notación V’ _ É = 12'; .' l 17) EI ¡ i pueden expresarse las soluciones generales de las ecuaciones‘ (a) y (b), en la forma. siguiente: g= C¡c0spva: +C, senpx-—gx, (c) ! I=0a00sp1:+C¡senpx— (l—. z), (d) Üeñto que en los extremos de la pieza la flexión es nula, se tiene Cl 0.. 0, — C’, tg pl.
  19. 19. 23 RESISTENCIA im MATERIALES Las otras dos constantes se deducen de la continuidad de la elástica en el punto de aplicación de la carga. P, lo que obliga a que las ecuwiones (c) y (al) den la misma flecha y el mismo giro para z = l—- c. Tendremos O2 sen p(l— c) = O‘ [sen p(l —— c) — tg P100“ 700 — 0)} P 0,12 cos pa — c) = ¿‘a7 [cos PU — c) + te 1>l sen PU — 01 + y de donde P sen pz: P Se“ rd '— °)_ 0 ———— v. =——w—w- ïñgpsenpl’ SPÜBPÏ sustituyendo en la ecuación (c), se obtiene para el trozo iz- quietdo de la pieza P sen pc P0 l (13) Diferenciando, tendremos E’: Psenm cospib-fi dx S sen pl Sl (19) fl = _ sen pz. dx? S sen pl - l derecha se Las expresiones que corresponden al ‘W020 de 3 obtienen escribiendo l-z en lugar de x; l'—°v e" Ve‘ d° c‘ y . d - cambiando el signo de ¡Z en las ecuaciones (13) Y U9)- De “i” modo, se obtiene , , = ÉÏEÉLTEÍÏTT‘) 50,, pa _ z) _ 51.5.9 a _. rc), co) Sp sen p ¿u = _ Lang? “ —_°> m p(l _ ac) + m) dz S sen pl M «¿"2 _. _ 1:1?“ n". . - i! son p(l _ x). (22) ¡u! S son pi PROBLEMAS asvacunus EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 29 En el caso particular de que la. carga se aplique en el centro l . . . . i, e introduciendo la natacion É = 3'12 = un, g. i (23) 4EI 4 , - de la pieza, se escribe c = dc la ecuación (18), deducimos P pl pl P7‘ tgu—u cu" z--= t Ñ - 24 (wm (w 2 “A22 2) ¿SEI las t) 3 El primer factor de la expresión (24) representa la flecha que produciría la carga P actuando sola. El segundo factor in- dica en qué proporción crece esa flecha por la acción de las fuer- zas S de compresión axial. Cuando S es pequeña comparada con la carga de Euler E ‘i . - (S, = %—), la cantidad u es pequena y el segundo factor de la ecuación (24) se aproxima a, la unidad, lo que indica que en este caso el efecto sobre la flecha de la fuerza axial de compresión es despreciable. Cuando S se aproxima al valor de Euler, ¡a cantidad u tiende a É ——véase ecuación (23)— y el segundo ¡actor de la. expresión (24) crece indefinidamente, de acuerdo con el analisis ya efectuado dc la carga critica. (véase pagina 238, primera parte). El valor máximo del momento flectur acontece bajo la carga y su valor, deducido de la segunda. de las ecuaciones (19), es , ¿“y Pp pl Pltg-u M“, =—EI —— = L‘I-At —= ———- 25 n (daczL-á ( 28 g 2 4 u ( ) También el primer factor de la expresión (25) representa el momento flector producido por la carga. P actuando sola, mien- tras que el segundo factor, denominado «factor de amplificación», representa la influencia sobre el momento tiector máximo de las fuerzas axiales S. Resuelto el problema para una carga transversal P (fig. 24),
  20. 20. 30 ausrsrimcn 1m MATERIALES se puede con facilidad obtener la solución para el caso de una pieza solicitada por un par aplicado en su extremo (fig. 25). Basta suponer en el analisis anterior que c disminuye y tiende hacia cero, mientras que Pc permanece constante e igual a M“. Fm. 25 Haciendo Pc = M o y son ka = Ica en la ecuación (18), se obtiene para la elástica la expresión _E, senpz__f 6 l S (senpl l . m) de donde dgl= lfi pcospx_l) dz S senpl l ' Los giros de la viga en los extremos son = ïlfi> 7' __Ï= _IL‘Ï.6(_I_______I_ (27) tien» S senpl l GEI 2usen2u (Zu? c‘) = ”°(”—*)= M°‘s< ‘ - w dz", s tgpl z 3191 2utg2u muy‘ De nuevo los primeros factores de las expresiones (27) y (28) representan los giros que produciría el par M, actuando solo (véase pag. 151, Primera parte), y los segundos factores repre- sentan el efecto de las fuerzas axiales S. Examinando las ecuaciones (18) y (26), se ve que la fuerza transversal P y el par M o figuran en ellas linealmente, mientras que la fuerza axial S figura de modo más complejo, ya que p también depende de S (véase ecuación 17). De esto se deduce que si en el punto G’ (fig. 24) se aplican dos fuerzas P y Q, le flecha en cualquier punto puede obtenerse superponiendo la flecha producida por la carga Q y las fuerzas axiales S a la fle- cha produeida por la carga P y las mismas fuerzas axiales. PROBLEMAS ESPECIALES EN m FLEXIÓN DE VIGAS sl Una consecuencia análoga se obtiene para el caso referente a pares aplicados en un extremo de la viga, en Sa“ sugeïPwlclón especial puede generalizarse fácilmente _ m“ e VÏÜÉ“ “W855 (fis. 26). Para cada porción de la, P1918 puede escribirse una ecuación análoga a las ecuaciones (a) y (b), y obtenerse una solución semejante a las ecuaciones (c) Y (dl- LEB constantes de la integración pueden encontrarse de las condiciones de continuidad en los puntos de aplicación de ¡“:5 “T838 y de las condiciones de apoyo de los extremos de la pieza. De esta forma se veria que la flecha en cualquier punto d’ l‘ Pieza es una función lineal de las cargas P1) P; m; Y ‘IW F18. 26 la flecha en cualquier punto puede b“, . flechas producidas en dicho punto p; caïdïniugzfilblsïdo las “T5195. Obrando siempre la fuerza axial S. Consideremos eglaïas‘. Eeneral de n fuerzas, de las que m estan aplicadas a La dereclio de la, sección recta, para ¡a que se quiere calcular la flecha expresión de esta flecha se obtiene empleando la ecuación (18) para las fuerzas P¡, P¡, P, yla ecuación (20) para las fuerzas, un: 9.4.2, . ... P,, . La flecha buscada será, _ senprc i-M ¡, - ¡nm y Spsenpli-iPdenflh-Eafh‘ senp(l: »r)c-, . ¡__z¡_n 2 P¡senp(l-—-c, ).. Spsenpl i-. .“ z 1P¡(l—-0¡). (29) Si ¡-, .¡. ,. S’ . m i en ‘lugar de fuerzas concentradas actúa sobre la pieza una, ¡‘ga uniforme de intensidad q, cada elemento q de esta carga s't d - - ‘in: Eolgma diïtancia o del extremo derecho puede conside- una uerza concentrada. Sustituyéndolc, en lugar
  21. 21. 32 RESISTENCIA DE MATERIALES de P‘, en la ecuación (29) y reemplazando sumas por integra- cionss, se obtiene la siguiente expresión para’ la’ elásticm _ ¡- = Ïnpz t ‘qsenpcdcHf-lf 290d‘? y Spsenpl o S 0 (px) = __ _‘__" una. sem» ‘Lzqwnpa odo Sl ¡_. q( v Spenpl Integrando pl S - "W _ ‘I. °° (2.-_1 —%¡z(l—z) <3°> W mg y q 1 u‘ 5 ql‘ (wmu- (lI)s-%= fileosu-‘L-ï) _ 384 I l __l__u_’ cosu 2_ (31) X f7” _. ,,c 24 “¿ón (30), se obtienen fácilmente las ex- Diferenciando la ecu El giro en el extremo presiones del giro. y del momento fleotor. izquierdo de la Pm“ es VEZ; y za tgu-u ¿y _ ¿z ____1 = q x . (32) (Ïv z-n ‘ 28 pl . 24 EI ¿un B 3 El l m flector máximo acontece en el centro y V610 moman t ‘I(1*°°5% z? 2(1 a-cosu) m ¿”y auf-ww- = g— tam? ‘ ‘33’ Mm¿, =—— fiuá- 8005€} s u . i , ‘ to solución (26) para el caso de un par Jun con Empleando la 53195 y utilizando el método la solución (29) para cargas transver i a l, x PROBLEMAS ESPECIALES EN LA WLEXIÓN’ DE VTGAS 33 de superposición, pueden resolverse fácilmente diversos casos hiperestáticcs de flexión de piezas. Sea, por ejemplo, el caso de una pieza empotrado en un ex- tremo y cargada de modo uni— forme (fig. 27). El momento a a flector M, en el empotramien- ¿m to se deduce de la condición de Fm. ¡’I que esta sección no gira en la deformación. Utilizando las ecuaciones (28) y (32), la condición se escribirá _nswufip3;s= o 24121 á“, SEI 2utg2u (2a)! ' de donde M, = _ LF 4 tg Zufigïï. (34) 8 u (tg 2u— 2m En el caso de una pieza uniformemente cargada con ambos extremos empotrados, los momentos M, en los extremos se ob- tienen de la ecuación ql‘ tgu-—-u M0l[ 3 3] 2 —24EI i a 31471 2utg2u—@ 3 _.41fl(__6.____. _5_)= 6.El 2usen2u (2u)‘ ' ¿adonde Mfi-Ïtgu-W (35) lzluïtgu s De las expresiones (34) y (35) se deduce que los valores de los momentos hiperestáticos se deducen multiplicando los mo- mentos obtenidos en la teoría elemental de vigas por ciertos factores de amplificación. Los calculos necesarios pueden sim- plificarse preparando tablas numéricas que dan los factores de amplificación 1. ‘ Diversos casos particulares de piezas comprimidas cargadas 1a- teralmente han ¡ido estudiados por A. P. Vender Fleet, Bull. Soc. o] EINIIIIUIA n “mm: n l
  22. 22. 34 RESISTENCIA ms MATERIALES Obtenido el momento maximo para una pieza esbelta la fatiga maxima uuméricamente se encuentra combinando las 1a- tigas de compresión y flexión, 1° q“? da s M“! ¡“imsx = —+ A Z (e) donde A y Z son el area de la sección recta y el módulo de la sección, respectivamente. Por ejemplo, en el caso de una pieza comprimida con los extremos articulados y cargada lateral- mente de modo uniforme, mediante la ecuación (33) se obtiene 2 —. MNMFÉ +1 . (t) A BZ u cos u A1 escoger las dimensiones apropiadas para la sección recta de una pieza de esta clase, es necesario tener en cuenta que el segundo miembro de la ecuación (f) no es lineal en S, puesto que la cantidad u también depende de S, según se ve en la ecua- ción (23). Debido a esto, la fatiga maxima. aumenta en mayor grado que la fuerza S. Por tanto, el método comente de deter- mmar las dimensiones de una sección, tomando ‘ | umul = m: (V) n donde n es el coeficiente dc seguridad, falla cn este caso. Si la pieza comprimida debe proyectarse de suerte que °°' mience la fluencia cuando las fuerzas S y q se hagan n Veces mayores, la sección debe escogerse de modo que cm, sea algo menor que ï, de suerte que quede satisfecha la ecuación gg S + gli 2(1—oosu! ) (h) n A SZ “Í 005M siendo ul = m4. ' ', , ' , 1900-1903. San Petersburgo En 323752225‘? ïï. "ï. fifilïï'ï3i'ïlí"íéïït a facturas de umpilliuuirión. , ‘ Se supone qu» el material de la pieza tiene un punta 40 50911015 bien definido. PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 35 multiplicando los dos miembros de (h) por n, se obtiene __7¿S' 7Ï2(l—cosu¡) A SZ ufcosu, l lo que indica que la fatiga máxima alcanza al punto de fluencia cuando S y q se han hecho n veces mayores. En otros casos de carga puede aplicarse un procedimiento análogo para el pro- yecto de piezas comprimidas. Se deduce de lo expuesto anterior- mente que para contar con un coeficiente de seguridad n en el proyecto de piezas comprimidas 1, debe utilizarse, en lugar de la ecuación (g) una ecuación análoga a la (h), eu la que el pará- metro w se sustituye por el u¡ = mu. WIN (i) Problemas l. Encontrar el giro en el extremo izquierdo de una pieza com- primida con los extremos articulndus y cargada on el centro con la fuer-za P. Respuesta: (LU) _ P EE"- Ü, “ ¡"W534 d. z,= u"2s cuan’ 716/7111 " ¡uficosu 2. Encontrar los giros en los extremos de una pieza comprimida con cai-ga triangular (fig, 28). F10. 25 Suhwïdn‘ sustituyendo en la ecuación (29) q-"Éïl-q en lugar dr- P_-_ y reemplazando las sumas por integrales, se obtiene Este método para. el proyecto de piezas comprimidas fué den- arrollado por K. S. ZILVPÍKW‘. Mamairs o/ the Institute a] E/ tyt/ tucrs u) ¡‘Vaya o/ Communication, 1913i, Sun Peu-rsburgn. vs 1
  23. 23. 36 RESISTENCIA DE MATERIALES , . "ïq a z “'q 0' , , = sïgg%l¿ % Sen pedo-gl jo 3+ senz= <l; w> j‘ u 1.- IÏID"L_Ï fifa-cms + Spsenpl 1-2 l San” c) Sl ¡‘Z l derivando respecto a I. se hüllflv dy z 24"; _ a)“, 612121‘? l’ du __ __ _%l __ (¿p? 6pm! “ I” donde a: y B son las funciones dadas por las expresiones (36) (vónse página. 37). _ _ _ 3. Encontrar los giros an los extremos de una pieza comprimlda cargada aímótricamenbe con dos fuerzas P, tal como indica la figura. 29. Reapucsta: (‘El __. (’LJ) :5 Eïflb»! ‘h’ aso- ¿I z-l 5' .1” - 2 cos — 4, Una pieza comprímida con los extremos empotrados está. car- gada. ta] como indica. la figura 29. Encontrar los momentos flectores M. en los extremos. _ Solución. Los momentos M , , se encuentran por la condición de que los exvremoa de la. pieza comprimída. no giran. Utilizando la, solucion ym. 29 del prnhh-mn anterior, y las ecuaciones (27) y (23), Se lmed“ ewfib" la. ecuación siguiente, que sirve pura obcener M“: M, L M”! P con v’; _ E¡¿ÏIz+3¡¿7!3+32("‘" ) de donde M"= _2P! «3l u_ co: 1I{>__¡)_ 7‘? Ein c nos u Si b = 0. resolvernumos al uuu do: una carga 21'. °°Í¡°°““'“d“ en d centro de ia pieza. PROBLEMAS ESPECIALES EN LA rLExróN DE VIGAS 37 5 Vigas continuas con acciones axiales y transvérsalea- En el caso de una viga continua con acciones axiales se procedr- como en el caso elemental de viga. continua (véase pág. 192, Prinzem parte) y se consideran dos tramos adyacentes (fig. 30) ‘, empleando las ecuaciones (23), (27) y (28) e introduciendo las ¡locaciones siguientes para ei tramo n: a" = (3.11: _ já] Zu” sen2u, , (27%)? (35) 6.=3[—1 —— ‘_. (2 tin)” 21!" tg 2 u, tgun-m, 1 37 ¿ug ( ) Ïu= Se deduce que el gïrn en el extremo derecho do! tramo n -——figura 30 (u)—, producido por los momentos que ucuïan eu los extremos M, “ y M, " es nm Mn- y]: _ p” 312i" a" 61111, ' (a) c Belflmfïïtótïfltïrlizofl; debe a. fl. Zimmermann, Sitzungab. Akad. Win”
  24. 24. 33 assrsrsncu mi: MArsRHms El giro correspondiente al extremo izquierdo del tramo n + l, producido por los momentos M, ‘ y 111,“, es Mn+1¿n+¡ Mnln+1 +8 . — - (b) GEI“, " ‘amm “vu-h Si no existe carga transversal en ninguno de los dos tramos considerados, las expresiones (u) y (b) deberan ser iguales, y se obtiene MMM + 49ml" + a. “ / "“)M. . I II n ¡»+1 +«. .oi"hM»+x= o. <3?! ) n+l Esta expresión constituye la ecuación de los tres momentos para una viga continua con acciones axiales, si no existen car- gas transversales en los dos tramos considerados. Si existe carga lateral, deben añadirse a las expresiones (a) y (b) los giros producidos por dicha carga. Sea, por ejemplo, el caso de que sobre los tramos n y 1» + l, y en dirección hac“ abajo, actúen cargas uniformes de intensidades q” y q, W, ¡. Los giros correspondientes se obtendrán por la ecuación (32): Y 9“ lugar de las expresiones (a) y (b), tendriamos: 111,7, M" J. _ qnlá’. M 6H3131" “n SEI" Yn24EIn MrH-iln-H. MJ“! + (d) G, +¡ GEITH d-lïu-¡Mflnfl Yn+124EI. *‘ Igualmdo esLas dos expresiones, se obtiene EúM"_l+2(Bn% +6”! 1,44))! " q. “ l. “ M. “ l 1,. ¡»+1 ' “¡un q, ._l, _‘{__ qn+y’n+¡ (39) Yn4ln Yn+1 41". “ Ésta ecuación es la de los tres momentos para el caso de car- ga uniforme en cada tramo. En cl caso de que las fuerzas axia- FBOBLEMAS ESPECIALES EN LA YLEXIÓN DE VIGAS 39 les S sean nulas, las funciones a, [5 y y valen la unidad y volve- mos a tener los resultados de la teoría elemental de vigas con- tinuas. Para otra clase de carga transversal, lo único que cambia en la ecuación (39) es su segundo miembro, que depende del giro que en el extremo común a los dos tramos considerados produce la carga transversal. Sea, por ejemplo, el caso de la carga trapezoidal de la figura 31. Dividiendo la carga en dos par- m; tu N tes, carga uniforme y carga trian- gular, utilizaremos los términos v; del segundo miembro dela ecua- _L "b ción (39) para tener en cuenta la l carga uniforme. A estos términos mu, 31 deben añadirse los términos oo- rrespondientes a las cargas triangulares. Utilizando los resulta- dos del problema 2 del artículo precedente, se halla que los dos términos que deben añadirse al segundo miembro de la ecua- ción (39), en el caso de la carga de la figura 31, son (ahi-quin ___ ___2(9n—9n+1)ln __ p”. (“a l) —*——¿'-‘P¡I”H “(Fun Us (e) donde a, _v B, son los valores definidos por las expresiones (36). Cuando actúan fuerzas concentradas sobre los tramos conside- rados, los giros apetecidos se encuentran facilmente por la ex» presión general de la elástica, ecuación (29). El calculo de los momentos a partir de las ecuaciones de los tres momentos puede simplificarse considerablemente emplean- do tablas numéricas de las funciones a, p y y ¡. Al deducir la ecuación (39), se supuso que el momento M, en el apoyo enésima tiene el mismo valor en los dos tramos adyacentes. Hay casos, sin embargo, en los que un momento exterior M)’, se aplica al apoyo, tal como se indica en la figu- ra 30 (c); en estos casos bay que distinguir entre el valor del ' Tables de esta clase se encuentran en el libro de A. S. Níles y J. S. Newoll, Airplcunc Smwturea, vnl. 2, 1938; véase también el libro del autor, Theory o] Elaatic Stability, 1938.
  25. 25. 40 ¡arms-ramon ns MATERIALES momento Hector a la izquierda y a la. derecha. del apoyo. La ro- lación entre los dos momentos es, naturalmente ‘, m—m—m: , de donde M; = M, ,— M2. (f) La ecuación (39), en este caso, se reemplaza por la siguiente: l L l ‘ E‘ "MH + 2a, : M, + 2p. .“ “l M; +a. +¡ ‘ ‘l M”, In In» ¿»+1 Inn-r; _ 9-_‘-i_ Lib. 4o g: “u. 7"” 41H, ( ) Si los apoyos de una viga continua con carga. axial no estan ou linea recta, es preciso añadir a los segundos miembros de las ecuaciones (39) o (40) los términos adicionales debidos a la di- ferencia en el nivel de los tres apoyos consecutivos. Estos tér- minos no estan influídos por la presencia de las fuerzas axiales y son los mismos que en el caso de una. viga continua. elemental (véase pág. 195, Primra parte). Prohle mas l. Escribir el segundo miembro de le ecuación de los tres momen- tos en el ceso de existir una fuerza concentrada P en el tramo It + l, a una. distancia o. “ del apoyo n + l. Rupunxta: __ SPE (sen p, ¡+¡c, ¡+¡ _ en“) _ _ "HP (sei¡11_, ,+¡r, ,¿__¡ cm“) SGH-l “un Paula-u ¿»+1 pri-O-¡In-r] 5°“ Pnq-¡Ïvwi ¡»+1 2. Escribir el segundo miembro de la ecuación de los tres momen- tos si el tramo n este cargado en la forma que indios la figura 29, p3- gim. 36, y en el tramo n + l no arista carga. Respuesta: Empleando la solución del problema 3, página. Lili, se obtiene le siguiente expresión: °pE(i°iïï’_n_¡)= El’. ‘vs: ‘pe. 2 3. Escribir el segundo miembro dele ecuación delos tras momen- tos si la carga es le que indica ls figura 32. f _ La dirección de M2,, indicada en la figura 30 a. se toma como positiva para el momento exterior. rmsnmvus ssuscrsnss mr LA wnsxrów mr vmss 41 _ 6 "r °°S fi”; _ pá! " p" co: Par’? n). 6. ‘tirantes con carga transversaL-Si un tirante está. some- tido a la acción de fuerzas extensolas S y de una carga causen. Respuma : Fm. 32 ‘rada ÜTMWVNflBJ P (fiv. 33), podremos escribir la ecuación dife- rencial de la elástica de cada porción del tirante del mismo modo que se hizo para una pieza comprimida (art. 4). Basta cambiar el signo de S. En este caso, en lugar de las cantidades p‘ y ui, defi. mdas por las expresiones (17) y (23), respectivamente, se tendrá, fi Fra. 33 _pny_. ul, y en lugar de p y u tendremos p’/ ——l= piy 7‘ ' ‘ l = “i- Suúiuyendo —S, pi y m‘, en lugar de S, p y u, en las fórmulas obtenidas para la pieza comprimida de ls. figu. ra 24, se obtendrán. las aplicables al caso del tirsnte dela figura 33 Haciendo la sustitución y teniendo en cuenta las conocidas relg: ciones sen ui = ¿Sh u, cos ui = Ch m gg m‘ . ___ ¡Th . ,¿_ Se obtiene para el trozo izquierdo del tirente de la figura, 33 derivadas de las ecuaciones (18) y (19), la expresiones siguientes; _PShPCSh Po — ¿PSM px + Fl z. (41) ¿y Pshpc Pc _ = ._ c}, _ dz sshpz p” + sz’ sc ti’! = __PpSh pc sb (42) dx’ s Sh pl m‘
  26. 26. 42 RESISTENCIA mr. MATERIALES Para la parte derecha del tírante, y utilizaírlxdo lasvrtaecnlïzïclïé ' a . ¡le! (20) Y (22% puede wteflerse form-Ïllagafiga exige obtenerse las elásticas para el caso de una carga als a , P d a a ü- fácilmenm la elástica para cualquier otra clase e earg P d 1 lodo de superposición. _ canse): PZ): ejemplo un tirante uniformemente cargado. Apli- cando las ecuaciones (30) y (31): 5° Obtiene y la. flecha máxima. será. 5 ql‘ CTÍ" i + ï = ,5, ZZ. ‘ (han (43) y. ..“ = (gh-á = 3'84 E} ’ u. 384 E1 24 donde i 1 ‘L 611771 + 2_ 91W) = Á’ 5 w 24 E] giro de la elástica, en el extremo ¡Zqmeram dedmíd‘) de la ecuación (32), 95 ¿y _ ql“ u-ÏM‘. (44) ¿Ja-n “El u‘ 3 El enbo Hector máximo que en este caso acontece en el mom r _ . . al ¿emm de la, luz, deducido de la ecuación (35), V 9 _ql°‘2_<0_l¿.4 —_1> = É (45) Mm“ __ .8. Mich“ 8 Wu) donde h l) 2 <9 v» —- _. 4am) S u” Uh u V’ PROBLFVWAF ESPFCÏALEÑ EN’ LA FLEYIÓN DE VTGAS 43 Se ve que la flecha y el momento flector máximo se obtiene multiplicando los valores correspondientes de la, teoría elemen- tal de vigas por los factores 91m) y 4;, (u), que dependen del valor de la fuerza axial extensora S. Los valores numéricos de estos factores se dan en la. tabla III 1. En el caso de flexión de un tírante por un per aplicado en su extremo derecho, la. elástica. se deduce de la ecuación (26), de donde M0 (z Shpx) . (46) l Sh pl Si se aplican dos pares iguales y opuestos a los extremos de un tirarme, se puede obtener la elástica. por el método de super- posición , A12311423 Mo[t—ws_hz<l—z>] s z Shpl T s z Shpl M _ Chp(á—x u e . =_° 1——}¿——. (47) S ch7i De esta ecuación se deduce que la Hecha, en el centro y el giro en el extremo izquierdo del tirantes valen M0 Clru-l _ Mol? Chu- (‘w"ïÏ= Ï9 (in? __8”EAI ‘ 1 *' — uEChu 2 (48) = :1L°7,Thu, =L/ [É . dz , _,, S 2 E u E] momento Hector en el centro es l‘? l M , __= —E1'—y) = M --. í ) é (¡Mi z_x u Chu (49) 2 En las ublícaciones de A. P. Van der Fleet, mencionadas ama- noruwnte (Vease pág. 33), se estudian divnrsos (rusos de Hernán de tirantes, y también en el libro dr- I. G. Boobnuv, ’l'hm)ry a/ Structure u/ ships, vol. 2, 1914, San Petersburgo. De osue úlumo libro se ha tomado la (¡abla 3. a1
  27. 27. 44 RESISTENCIA or. MATERIALES Una vez halladas las elásticas de un tirante de extremos Tv ticulados flexado por cargas transversales y por pure? ‘en 09 extremos se pueden resolver facilmente casos hxperestaticos de 1 . ., flexión de tirantes, aplicando el metodo de superposicioï; Seix“, por ejemplo, el caso de un tirante cargado unlformemen , los extremos empotrados. Empleando las expresiones (44) y (48), los momentos M en los extremos se deducen de la ecuación o qls u_. Thu M“! Thu 271131 1“, 2131 u de donde (50) siendo Los valores numéricos de la función al), (u) figuran en l: m‘ bla III. Utilizando las expresiones (45) y (49). 9° 0mm“ ‘5 "m" mento M1, en el centro qz= 2 (Chun 1) ql“ u-Thu M = ‘ a uechu 12 áfishu = d’ ‘¿Shu :9 = É Ma). (51) 24 uFShu 24 La flecha en el centro se obtiene mediante las ecuaciones 143))’ (48)) Y V319 l 1 ‘¡f2 5 ql‘ En __É _ . al‘ (u 41"? ) (P127 .3) = 3,5251 ,47) (52) 161111 u‘ Shu PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 45 donde 2 — — ————— . q) m) _ 24 (u? uCluu-u) a7 2 Shu TABLA III caverna-ms PARA LA DETERMINACIÓN DE ¡Luca/121 Y MOMENTOS FLEOTORES MÁXIMOS EN TIRANTES CON cuan TKANSVERSAL |1- ‘lfi ‘l’ i ‘lts “ 91 ‘P2 ‘P: ‘lla El? ) 0 1,000 1.000 1,000 0,6 0,054 0,107 0.047 0,01)) 0,190 0,5 0,005 0,034 0,072 7,0 0,047 0,175 0,041 0,367 0,121 1,! ) 0,704 0,930 0,004 7,6 0.041 0,166 0,030 0,347 0.106 1,6 0,611 0,875 0,758 8,0 0,036 0,161 0,031 0.328 0,093 2.0 0,307 0,50€ 0,571) 5,5 0,032 0,127 0,020 0,311 0 083 2,6 0,263 0,736 0,563 9.0 0,020 0,115 0,025 0,296 0,074 8,0 02M) 0 ,672 0,467 9,5 0,020 0,105 0,022 0,288 0,066 3,5 0,15.‘! Ü ,61 l 0,880 10,0 0,021 0,006 0,020 0,270 0,060 4,0 0,120 0, 503 0,320 10.5 0,021 0.088 0,018 0,260 0.054 ¡,5 0,007 0,519 0,207 11,0 0,020 0.08] 0,017 0,248 0,060 5,0 0,070 0,480 0.224 11,0 0,013 0,075 0,015 0,238 0,045 5,5 0,066 0,440 0,150 12,0 0,010 0,069 0,014 0,220 0,042 9,1) 0,055 0,417 0,162 — — — — — — Todas estas funciones valen la unidad para u = 0; es decir, cuando solamente actúa la carga transversal. A medida que la fuerza extensora aumenta, las funciones disminuyen; es decir, las fuerzas extensoras disminuyen las flechas y los momentos fleeto» res en los tirantes cargados transversalmente. A] estudiar la fle- xión de placas delgadas (véase pag. 124), haremos aplicación de la tabla anterior. i‘ Problemas 1. Encontrar la flecha maxima y el momento Hector máximo en un tirante cargado en cl centro. Respuesta. - i P! ‘ —Th ‘ww = ‘¿sin % is Pl Thu M“, .. Í _“_. . u: 2. Encontrar los momentos {lectores M0 en los nxtremns de un tii-ante, que los tiene empotrados, y que está. simétricamuntu cargado con dos fuerzas P, tal como indica la figura 20.
  28. 28. 46 RESISTENCIA DE MATWRTAT ER Solución: Los momentos en los extremos se deducen de la ecua- ción P Chpb MlThu_ s "fi "Wii? -°- Ch? 3. Hallar los momentos fleotores en los extremos de un tirnnte, que los tiene empotrados, y sufre una carga triangular como la de le figura 28. Idea: Ernplear la solución del problema 2 de la página 35, junto con la ecuación (46). 7. La elástica mediante series trlgonométricaa-Al estudiar la deformación de las vigas, es muy útil a menudo representar la elástica por una serie trigonométrica 1. Esto tiene la ventaja de que con una sola expresión matemática se representa la ecuación de la curva a todo lo largo de la luz. Sea, por ejemplo, el caso de la viga con los extremos apoyados “ representada en la figu- ra 34. La flecha en cualquier pun- ° P , to puede representarse por la serie l (“Í siguiente: rx "nz y= alsen +a. ,,sen"—l- +a, sen—+, .. (a) F10. 34 El significado geométrico de esta representación analítica equi- vale a suponer que la elástica, como curva, puede obtenerse su- perponiendo curvas sinnsoidales, tales como las (b), (c), (d), et- cétera, de la fi gura 34. El primer término de la serie (a) representa la primera curva; el segundo término, la segunda; etc, Los coe- ficientes a1, a2, a3 representan las ordenadas máximas de estas curvas sinusoidales, y los números l, Z, 3 . . . , el número de ondas. Determinando adecuadamente los coeficientes a1, a, . . . l Véase la publicación del autor, Application o] General Coordina- ¿es in Solution o/ Problems mi Banding of Bar: azul Plantas, en Boletin del Instituto Politécnico de Kiev (Rusia), 1909; véase también de lI. M. Wostcrgnard, Prme, Amar. Son. Civ. Eng. , vol. 47. págs. 455-533. í En otros casos ol estudio resulta complicado desde el punto de vista gli-activo. PROBLEMAS nsrncunns EN LA FLEXIÓN nm weas 47 la serie (a) puede representar cualquier elástica ‘ con un grado de exactitud que depende del número de términos que se em- pleen. La. determinación de estos coeficientes se hace conside- rando la energía. de deformación de la viga (ecuación 188, pá. - gina. 290, Prirrbera parte), dada por la ecuación ' = l 2 U 2 o __) dx. (b) dz‘ La segunda derivada de y, deducida de (u), es day 2 ¿a a 2 g dz2=—-a¡7;sen"l afiïïzsen 7a, ‘ a332;gen3_7lrz. ._ La ecuación (b) se refiere al cuadrado de esta derivada, en el que hay términos de dos clases: Mr‘ n-rcz nïm? ‘ n th“ —-— tien’ ——- y 2a, .a, ,, n sen L? sen mm’. Por integración directa, se ve que jwsen'? dz= á y flsen ïmïsenflfldz= q o o I l donde m i n. Por consiguiente, en la integral (b) desaparecen los términos de la forma una", y solamente quedan los que contienen cua- drados de los coeficientes: 1611:‘ p; a , , U= w (1.a; +24a; +34ag+. ..)_—. a 2 ‘°°, ,4a¿_ (53) n-l En un estudio anterior —véase ecuación (a), pág. 332, Pm‘. mera partc- se vió que si un sistema elástico experimenta un pequeño desplazamiento a partir de su posición de equilibrio, compatible con las ligaduras, el aumento de la. energía potencial del sistema es igual al trabajo sumirústrado por las fuerzas ex- ‘ Véase Bierly, Fourier Series and Sphericzzt Hannomïca 55 19-24 Véase también Osgood, Advanced Calcular, 1923, pag. 391.
  29. 29. 48 RESISTENCIA DE msnm/ mms teriores a lo largo del desplazamiento. (hiando la elástica se representa por la. serie (u), se pueden obtener desplazamientos de la naturaleza del indicado, dando pequeñas variaciones a los coeficientes al, a2, a3 . . . Si, en general, al coeficiente a, ‘ se le da un incremento don, tendremos el término (a, + don) sen TLTKC . 77/KZ . -—— en la serie (a), en lugar del a, ‘ sen ——. Los demas términos l l no varian. Este aumento da, del coeficiente u, representa un desplazamiento adiciona] dado por la curva sinusoidal da” sen 91%, superpuesto s la elástica primitiva. A lo largo de este des- plazamiento, las iuerzas exteriores trabajan. En el caso de una carga aislada P, aplicada a la distancia c del apoyo izquierdo, el punto de aplicación de la carga experimenta un desplazamiento mm l y la carga realiza el trabajo vertical da, sen (la. (sen 2C) P. (c) Veamos ahora el aumento de la energia de deformación, dada por lo ecuación (53) cuando a" se incrementa en 4a. . Será SU __ E1117‘ dU = -7 da, 8a 21a "m" "' (d) Igualándolo al trabajo realizado (c), Es. ‘ W = p un Z529, L ‘¿l? de donde _2Pl° 1 S nm: " Elx‘ fi z an Dsducído de aqui el valor de cada uno de los coeficientes de la serie (a), la ecuación de la elástica será y= zï (senÏsonE + lsenE-Fscn? + . . Elx‘ l l 2‘ n: ‘IE i“; l senfliasenïï- (54) Elx‘ . —¡ n‘ l t PROBLEMAS ESPECIALES EN LA ITLEXIÓN DE VIGAS 49 Expresión por la que puede calcnlarse la flecha para. cual- quier valor de ac. Por ejemplo, la flecha en el centro cuando la carga. está. en el centro, o = ac = á, vale 2Pl3l l l EM +9+¿¡+. ..). Tomando solamente el primer término de esta serie se oh- , tiene II <3=(y), -z1 _ gpzs _ pzz " Em ‘ 43,7 El. 8 Comparando con la ecuación (90), pagina 137. Primera parte, se ve que se ha obtenido 48,7 donde allí era 48; de modo que el error que supone emplear el primer término de la serie en lugar «le la, serie completa es alrededor de 11/2 por 100. Esta aproxi- macion es suficiente en la mayoría de los casos prácticos y ve- remos mas eJempIOs en los que usando solamente el primer tér- mino de (u) se obtiene una aproximación suficiente. Conocida. la solución para una carga aislada (ecuación 54) y empleando el método de superposición, se pueden resolver pm. blemas más °°mPl°Í°5- Sea, por ejemplo, una viga cargada de modo uniforme e intensidad q. Cada elemento de carga qdo situado a una distancia c del apoyo izquierdo, produce una flecha dada por la ecuación (54), poniendo P = qdo; flTÍC 711W? sen —- S81’) —- _2'I¿0{Ï”'°= z z y-VEIT‘ En] n‘ o Integrando esta expresión con relación a o desde a = 0 a v = l, la flecha total será. = 4G" °° l nm: ” 1:11:53: 1, . , . ,, M7559“ T‘ (55) ‘ RZSXGTIIUIA n: nnnulm-l‘. n ¡
  30. 30. 50 RESISTENCIA TVE MATERIALES Tomando solamente el primer término y refiriéndonos al centro de la, viga, se obtendrá para la flecha el valor Comparándolo con la solución exacta 5 ql‘ _ qt‘ — 384 El 76,8 EI‘ se ve que el error cometido al tomar solamente el primer tér- mino es menor en este caso del ‘l, por 100. La serie trigono- métrica. (u) es especialmente útil cuando la viga. está, sometida a la acción de una compresión o extensión, además de una carga Fm. 35 transversal. En el caso de la figura 35, la articulación B se apro- xima a la articulación fija A durante la deformación por flexión en una cantidad igual a la diferencia entre la longitud (le la elás- tica y la. longitud de la cuerda A B 1. Para curvaturas pequeñas, esta. diferencia es (véase pág. 170, Primera parte) x= Ï ¡‘(iï/ Ydx. (ss) 2 o dx Dado y por la serie (a), el cuadrado de su derivada contiene términos de las formas g M2117‘ , 1mm nmnfl una: mn: a ——— cos —- y 2am. ———— cos -r-— cos ———- - " l’ l l“ l l Integrando, se ve que l z fcoszrïxdx= g fcosT-ÏcosÏEdz=0,n*m. o 2 o l . ______ ¡ La contracción longitudinal debida. s. la fuerza axial puedn. con- siderarse constante para deformaciones pequeñas. PROBLEMA? asvsmanns EN’ LA FLEXIÓN DE VIGAS 51 Por tanto, el valor de A será x "aÉ = _ a r 4lnwlnan. (57) P - . ‘ara calcular los coeficientes al, 11,, a3 . . . de las series (a), consideraremos el trabajo realizado por las fuerzas exteriores para un desplazamiento do" sen g desde la. posición de equi- ÏÍÏWÏO- En el caso de la figura 35, tanto la fuerza P como las fuerzas axiales S realizan trabajo. El incremento de 7., debido “J dun eXPerimentado por el coeficiente a", será. 8A n? d)‘ = a ¿“n = 2- nïandan. P“ Cmflíguïeflte. el trabajo realizado por las fuerzas S vale 2 S 1% naa" dan. Es” tTabRÍO debe añadirse al (c) correspondiente a la fuerza transversal y la suma igualarse al aumento de la ener la de de Íbrmacíón —ecuación (d)—. Ds esta, manera se obtíeneg h P se“ 7%‘: d“! + S "¡andan = E]? Manda». De donde n “r É mi sen píc- EIm n? (nz _ Sp ) 1 E141” Si la relación de la carga longitudinal a su valor crítico (Véhc pág. 2a‘) se representa por Sl‘ d = ———’ E111‘ se obtiene _ 2P” 1 ‘mw ‘la El, “ fight-a) sen f.
  31. 31. .. .» 52 RESISTENCIA mi: mxranums sustituyendo en la serie (a), la elástica será 2P” 1 c a: 1 p 21cv 21:1: y= ïlnïi1—asennïsennl ‘lzwzï-«ÏGBTSGH l . -_- 2P” n: ¿L-senq-L-‘¡Ïsennïï- (58) Elm‘ n=1n‘(n'-—oi) l Comparando este resultado con la ecuación (54), correspon- diente al caso de que actúe solamente la carga P, se ve que la deformación de la barra aumenta por efecto de las fuerzas de compresión S. Hemos visto que el primer término de la serie (a) representa una buena aproximación de la elástica; por consiguiente, el au- mento de flecha producido por las fuerzas axiales variará con la relación l — a Esta conclusión es valida también para el caso de que sean varias las cargas transversales que actúan sobre la viga o de que actúe una carga transversal distribuida. Representando por 8“ la flecha maxima producida cuando solamente actúan las car- gas transversales, puede suponerse, con aproximación suficiente, que bajo la acción combinada de las fuerzas de compresión S y dichas cargas transversales la flecha maxima es a- 8° . .. 1_ a. (59) Esta expresión de la flecha maxima puede utilizarse para un calculo aproximado del momento flector. Sea, por ejemplo, el caso de una pieza con los extremos articulados y uniforme- mente eargada. El momento fleotor maximo valdrá, en este caso, aproximadamente, S80 ' — s 1—-a' Si la fuerza axial es extensora, en lugar de compresora. el método empleado es valido sustituyendo — a en vez de a en la expresión de la elástica (68). Tomando solamente el primer tér- l» . {g (607. PROBLEMAS nsrncunas mw LA mamon mi: VIGAS 53 mino de esta expresión, la fórmula aproximada que da la flecha en el centro será. 3o 8= 9 1+0: (31) donde So representa la flecha producida por las cargas trans- versales únicamente. Conviene subrayar que en el caso de fuer- zas axiales de extensión a. puede ser mayor que la unidad y que el grado de exactitud de la ecuación aproximada (61) disminuye al aumentar u. Refiriéndonos, por ejemplo, a una carga transver- sal uniformemente repartida, el error de la ecuación (61) para a = l es alrededor del 0,3 por 100. Para u = Z, el error es 0,7 por 100, y para o: = 10 el error se eleva al 1,7 por 100. En el caso de una pieza con los extremos empotrados se puede deducir una ecuación análoga a la (61) para el calculo aproximado de la flecha en el centro. Dicha ecuación es , _a. , a. (62) 1 + 4 Donde 8° es la flecha en el centro producida por las cargas trans- versales actuando solas y u. tiene el mismo significado que an- teriormente. Más adelante veremos aplicaciones de estas ecuaciones apro- ximadas al estudiar la deformación de placas rectangulares. El método de las series trigonométricas puede emplearse tam- bién en el analisis de vigas de sección variable 1. 8. Flexión de vigas en un plano principal que no es plano ¡lo simetría. Centro de torsión-Al analizar la flexión pura (véase pagina 84, Primera parte), se encontró que el plano de la elás- tica coincide con el plano de los pares flectores siempre que di- chos pares actúen en uno de los dos planos principales de flexión. Esto no es valido, sin embargo, en el caso de que la viga esté so- licitada a flexión por un sistema coplanar de fuerzas transver- sales. Si el plano en que estas fuerzas actúan no es un plano de simetría de la viga, la flexión viene acompañada de ordinario . ' Véase la publicación de M. Hutényi, Journal a/ Applied Mecha- mca, 1937, vol. 42, A49.
  32. 32. 54 xnmsmvors DE MATERIALES de una torsión de la viga. A lo largo de nuestro análisis, veremos cómo esta torsión puede eliminarse y establecerse una flexión simple mediante un corrimiento adecuado del plano en que obran las fuerzas paralelamente a sí mismo. Comenzaremos por los casos sencillos en los que la sección de la viga tiene un eje de simetría (eje z) y las fuerzas actúan en un plano perpendicular a este eje (fig. 36). Sea, por ejemplo, el caso de la figura 36 (a) y vamos a determinar la posición del plano vertical para el que, al obrar las cargas, se produce única- mente flexión de la. viga en un plano vertical. De los estudios realizados sobre la distribu- ción de las fatigas cortantes verticales 1,, ” (véase pagi- na 105, Primera parte), se deduce que prácticamente l la totalidad de la fuerza cor- tante V la equilibran las alas solamente. Si consideramos las alas como dos vigas separadas cuyas secciones tienen mo- mentos de inercia I; e 1:, respectivamente, sus curvaturas y sus flechas, al flexar, seran iguales si las cargas se reparten s0 bre ellas en la relación 1', : I 1. Las fuerzas cortantes en dichas alas también estaran on la. misma relación. Esta condición se cumple si las cargas transversales obran en el plano vertical que pasa por el punto 0 -—fig. 36 (u)—, tal que 7h _ 1'. w — — . h, I’ donde h‘ y h, son las distancias de 0 a los centros de gravedad de las secciones de las alas. Se ve, pues, que en el caso de alas de espesor pequeño, el punto 0 no coincide con el centro de grs. - vedad O de la sección total y que se desplaza hacia el ala cuya sección tiene mayor momento de inercia. En el caso límite —figura 36 (b)—, en el que desaparece una de las alas, puede suponerse con suficiente aproximación que el punto 0 coincide con el centro da gravedad del ala y que las cargas transversales ‘ El cfccto de ls. fuerza cortante en lu. detunmcióu de las alas se desprecia en este estudio. PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 55 deben actuar en el plano vertical que pasa por este punto si se quiere tener solamente flexión. El punto 0, que goza de esta Pm_ piedad, se denomina centro de torsión. Consideremos ¿hora una sección en U ——fig. 36 (c)-—, y vamos a. determinar la posición del plano en el que deben actuar las cargas verticales, a, fin de producir únicamente flexión con el eje z como línea. neutra‘ Veamos la distribución de fatigas cortantes sobre 1a sección en la flexión simple. Para calcular las fatígas cortantes verti- cales t“ en el alma, puede utilizarse el método empleado para vigas en 1 (pág. 114, Primera parte) y suponerse con suficien- te aproximación que la fuerza cortante vertical v es absor- bida solamente por el alma. En las alas existen fatigas cortan- tes horizontales que represen- taremos por v”. Para encon- trar el valor de estas fatigas, separaremos del ala un elemen- to mediante dos secciones rec- tas a distancia dz y un plano Fm‘ 37 Vertical mn mm, paralelo al alma (fig. 37). Si la viga flexa con la convexidad hacia abajo, el ala superior estara comprimida y las fuerzas de compresión N y ¿V + dN que obran sobre el elemento indicado valdrán dM M ád l + dx x 1. donde la integración se extiende a la porción rayada de la seo- ción del ala. La integral representa el momento del area rayada respecto al eje z. La diferencia de las fuerzas N y N + dN debe ser igual a la suma de las fatigas cortantes 1,, que obran sobre la cara mn m, n¡ del elemento. Suponiendo que estas fatigas se distribuyen uniformemente sobre la cara, y representando por t al espesor del ala, se obtiene la ecuación siguiente, que sirve para el calculo de t“: (¿M d 1,, Ma: =dN= —- - kzfydd, M ) = —¡—fydA. y N+dN= ._ [yaa
  33. 33. 56 RESISTENCIA DE MATERIALES De donde V = — —— dA. a) W m y ( El momento del area rayada es proporcional a la distancia u desde el borde del ala; por consiguiente, ru es proporcional a u. Según se ha visto anteriormente (véase pág. 106, Primera parte), deben actuar horizontalmente en la sección recta del ala y a lo largo de la linea mn unas fatigas cortan- fi_ tes T“ iguales a las rn. Por consiguien- ï te, las fatigas rn no se distribuyen uni- o c ¡ formemente sobre la sección del ala, sino H proporcionalmente a la distancia u. En la unión del ala y cl alma, la distribución de fatiga cortante cs complicada. Nos- V y R otros, en este cálculo aproximado, su- gm, 33 pondremos que la ecuación (a) es válida desde u = 0 hasta u = b. Representando por h la distancia entre los centros de grave- dad de las alas y observando quo el momento de la sección recta bt del ala rcspccto al eje z es btg, se deduce, de la ecuación (a), (Tz1)m¡x = (run. .. = (b) La resultante R de las. fatigas cortantes 1,, distribuidas sobre la sección de area bt dol ala es R _ Vbh _ gt: Vbaht 21, 2 41, r W La suma dc las flmtigas cortantes v” que actúan sobre la sec- ción del ala inferior será, evidentemente, una fuerza igual y de dirección opuesta. De aquí se dcducc que las fatigas cortantes que actúan sobre la sección en LI sc reducen a las fuerzas do la figu- ra 38. Este sistema de fuerzas equivale cstátícamente a una fuer- za V aplicada en un punto 0 a una distancia del centro del alma: 1th __ WW. V 41, rxoRLwMAs nsrnnmnms EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 57 Por consiguiente, si se quiere obtener flexión simple con el eje z como línea neutra, es necesario que el plano vertical que contenga las cargas transversales paso por el punto 0, denomi- nado centro de torsión. Para cualquier otra posición dc este pla- no, la flexión de la viga viene acompañada de torsión y las fati- gas no siguen la sencilla ley por la que o, es proporcional a y y, por tanto, es independiente de la coordenada z. En el caso F10. 39 de un angular (fig. 39), la fatiga cortante 1 en puntos a lo largo de mu tiene la dirección de Ia figura y vale 1 V : —— M T thy' donde la integral representa el momento del area rayada res- pecto al 616 z. Estas fatigas cortantes dan una resultante de la dirección señalada en la figura 39 (b) y de valor R _ Vb9t_ _ _ 34W Una iiierza dci mismo valor se obtendría para el ala inferior. La resultante de estas dos fuerzas es igual a V y pasa por el punto de intersección de las lineas medias de las alas 0, que en este caso es, por consiguiente, el centro do torsión. En el caso de una sección en Z (fig. 40), suponiendo flexión simplo en un plano vertical y procediendo como en el caso de ‘ Para el cálculo de las fatigus se emplea el mismo método que para la succión en U.
  34. 34. 58 RESISTENCIA DE MATERIALES sección en | _|, enoontrariamos que las fuerzas cortantes R tienen en ambas alas la misma dirección. Su resultante pasa, por con- siguiente, por el centro de gravedad C‘. Sumando vectorialmente a esta resultante la fuerza cortante vertical V, se obtiene la di- rección del plano inclinado en el que deben aplicarse las fuerzas transversales para producir flexión simple de la viga en el plano vertical. El punto C‘ es, en este caso, el centro de torsión. Suponiendo que las secciones analizadas pertenecen a vigas en voladizo empctradas por un extremo y cargadas en e] otro con una fuerza concentrada P, puede deducirse que si la carga P se aplica en el centro de torsión, produce flexión del voladizo sin torsión alguna. Mediante el tcorcma de reciprocidad de los trabajos (véase pág. 324, Primera parte), se deduce que si se aplica un par torsor en el mismo extremo de la viga y en un plano perpendicular al eje del voladizo, no se produce durante la torsión flecha alguna del centro de torsión. Por tanto, durante la torsión cada sección recta de la viga en voladizo gira con rela- ción al eje que pasa por el centro de torsión y es paralelo al eje de la viga. El método expuesto para la determinación del centro de torsión en los casos sencillos examinados puede generalizarse y extenderse a secciones asimétricas formadas por elementos de pequeño espesor, con tal de que dicho espesor sea lo suficiente- mente pequeño y, por tanto, pueda admitirse con exactitud que la distribución de fatigas cortantes a lo largo de dicho espesor cs uniforme 1. , En el artículo 53 (pag. 296) se hará un estudio mas detenido de este problema. Cuando todas las dimensiones de la sección son del mismo orden, el problema de la determinación del centro de torsión es ‘ El problema de la determinación del centro de torsión ha sido estudiado por diversos autores, Véanse, por cjcm lo, A. A. Grifflth y G. I. Taylor, Technical Reports a/ the Advisory ‘ommillce for AM0- noutim, Inglaterra, vol. 3, pág. 950, 1917; R. lllaullart, Schweiz, Bruna, vol. 77, pag. 197; vol. 79, púÏ/ Ï 254, y vol. 83, pags. lll y 170; C. Weber, Zeitschr. /. angew. Math u. och” vol. 4, 1924, pág. 334: A. Eggensch- wylcr, Proa. o/ the Second Internal). Congress [or Appl. Mcciu, Zurich, 1926, pag. 434. Ultimamente ha crecido la importancia del problema en el proyecto do aviones. La nota bibliográfica corrospondit-nte flguru on la publicación de P. Kuhn, Taclin. Notes, Not. Adv. 00mm. , núm. WL PROBLEMAS ESPECIALES ww LA wLaxIóN oa VTGAS 59 mucho mas complicado; la solución exacta de este problema se conoce en solamente pocos casos 1. 9. Anchura electiva de alas delgadas-La fórmula de la flexión simple (véase ecuación 55, pag. 86, Primm parte) mues- tra que las fatigas de flexión cn una viga son proporcionales a la distancia del punto considerado al eje neutro. Esta deduc- ción es correcta en tanto que nos refiramos a. vigas en las que Ï-b TdlÏÏ 5"‘! e n n ¡—l‘ (a) t Ji l ’ z (b) las dimensiones de la sección recta son pequeñas compara- das con su longitud y estudio- mos puntos a considerables distancias de los extremos. En las aplicaciones prácti- cas se usan con frecuencia vi- gas con alas anchas, para las FICI- 41 que la fórmula de la flexión simple no puede aplicarse con suficiente exactitud. Sea, por ejemplo, el caso de una viga. apo. yada en los extremos y cargada en su plano central xy. La viga consta de un nervio y de un ala ancha (fig. 41). Se observa. que existen fatigas cortantes que obran entre las alas y el ner- vio en las superficies de unión mn —-fig. 41 (a)— y dirigidas 00m0 indica: 19- figum 41 (b). Se ve que estas fatigas tienden a disminuir la deformación del nervio; es decir, a hacerle más rí- gido. Al mismo tiempo producen compresión en las alas. Consi- derando el trozo de ala a un lado del nervio, como una placa rec- tangular sometida. a la acción de fuerzas cortantes a lo largo de ‘ Véanse lu publicación de M. Seegar y K. Pearson, London. Roy 500- ¡’WW (Nene A), V01» 90. 1920. pag. 211, y la publicación (lul autor en London Math, Soc. Prac. (serie 2), vo]. 20, 1922, pág. 398. Vea“ también Theory of Elaatwity, i934, pág. 301,
  35. 35. 60 RESISTENCIA mr. MATERIALES un borde —fig. 41 (o)—, se ve que las fatigas de compresión no se distribuirán uniformemente sobre el ancho del ala. y un estu- dio detenido muestra 1 que la distribución es la que indica el area rayada, en la que la fatiga máxima en el ala es igual a la que corresponde a las fibras de la cara superior del nervio. De esta variada distribución de la fatiga se deduce que para aplicar a la viga de la figura 41 (a) la fórmula de la flexión sim- ple, debe usarse una, anchura reducida 2 A, en lugar de la real 2 b de las dos alas, si se quiere obtener un valor correcto para la fatiga máxima. Esta anchura reducida se denomina corriente- mente ancho efectivo y puede calcularse si se conoce la distri- bución de fatigas representada por el área rayada de la figu- ra 41 (c). Basta. para. ello igualar el area del rectángulo dibu- jado de trozos en la figura al área rayada. Su valor 2 x, varia ‘corrientcmente a lo largo de la luz de la viga; depende de las di- mensiones de la viga y también de la forma del diagrama de momentos flectores. En el caso particular de que el ancho del ala sea muy gran- de (por ejemplo, 2 b 5 l) y el diagrama de momentos flectores este dado por la curva sinusoidal M= M,sen%. (a) la anchura reducida es constante e igual a _ 41 " 13m5’ donde u es el módulo dc Poisson. Para p. = 0,3 se obtiene 2k, = 0,363 l. (63) 2x, Por tanto, en este caso particular, la viga real puede susti- tuirse por una viga en T equivalente de sección constante y en la que el ancho del ala es 0,363 l. Aplicando a esta viga las ' El estudio dc la solución rigurosa, obtenida por Th. von Kill‘- man, uedc verse en Theory al lfIuatíozLy. pag. 156, i934. Véansc tam- bién Mctzcr, Lit/ ljri/ Li‘ [Vorach-ung, vol. 4, pág. l, i929; K. Girk- mann, Der nsltlhlbdll, vo (i, paig. 98, 1933; N. Rcissvier. Z. ongcw. Math. Mech. , vol. 14, ping 2. 1934; E. ltcissner, Dm‘ Slchlbau, vol. 7, pág. 206, i934; E. Chwalla, Der Stahlbau, vol. 9, pag. 73, 1936. PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 61 fórmulas de la flexión simple se obtiene la misma fatiga máxima y la misma rigidez a la flexión que corresponde a la viga real. En el caso de carga transversal cualesquiera, e] diagrama de momentos flectores puede representarse por una serie de senos: M, = 2M” sen ‘LF. (b; donde los coeficientes M" pueden calcularse mediante las co- nocidas fórmulas 1 2 l M": - Mzsenmdz. (c) l D l Por ejemplo, en el caso de carga uniforme, se tiene M = Ml- x) ' 2 y la fórmula (c) da 4 ql‘ M = ———- y d n 11,”, ( > donden= l, 3, 5 Conocidos los coeficientes M" de la serie (b), se obtiene la anchura efectiva mediante la solución rigurosa; la que, en el caso de alas de gran anchura, da l M 27 = B — 4 . (64) 3 M , , sen —- E l n—l, s,5,. .. 4 +137” f5 donde a = es la relación del área tl al area de la sección del nervio, y k = = 0,878 para p. = 0,3. Tomando, por ejemplo, el caso de una carga uniformemente distribuida y sustituyendo, en lugar dc M, “ en la formula (li-LL ‘ Véase articulo 7.

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