Ejercicios resueltos

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Ejercicios resueltos

  1. 1. Ingeniería Civil Industrial Escuela de Ingeniería Estadística Aplicada 1 2° Semestre 2014 1 CLae 19-8 1. Se sabe que en la fabricación de circuitos flexibles los defectos de manufactura se clasifican en tres diferentes tipos denominados A, B y C. Los defectos tipo A ocurren el 9% de las veces, los del tipo B el 10% de las veces y los del tipo C el 8,5% de las veces. En el 23,53% de las veces en que se da el defecto C, se dan también los defectos A y B. El 16% de las veces se dan los defectos A o B. Cuando ocurre el defecto A, la mitad de las veces también ocurre el defecto C. El 1% de las veces se da solo el defecto C. Si se elige aleatoriamente uno de estos circuitos, calcule la probabilidad de que: a) Tenga solo defecto tipo B. b) No tenga ninguno de los tres defectos. 2. Fijaciones Optimus necesita asesoramiento en su fabricación de tornillos. Para ello estudiantes de la UCN deberán realizar un análisis con el fin de optimizar su productividad. La empresa dispone de cuatro maquinas automáticas para la producción de los tornillos. Un análisis de los registros de inspección anteriores produce la siguiente información: Máquina Porcentaje producción Porcentaje defectuosos 1 15 4 2 30 3 3 20 5 4 35 2 Defina los sucesos utilizados en el análisis. Exprese y calcule las probabilidades pedidas a continuación, en función de dichos sucesos. a) Si se elige aleatoriamente un tornillo de estos y resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad que no haya sido producido en la máquina 4?. b) Si se eligen aleatoriamente 5 tornillos en diferentes momentos de la producción en el centro de maquinaria, ¿cuál es la probabilidad que al menos uno de ellos haya sido fabricado por la máquina 4? c) Para un control de calidad se depositan, en una misma caja, 5 tornillos de los producidos por cada una de las maquinas. El control de calidad consiste en elegir, al azar, tres de los tornillos depositados en la caja, para revisarlos acuciosamente. Determine la probabilidad de que en la revisión no se incluyan tornillos producidos por la maquina 1. 3. En un torneo de tenis participan 8 jugadores, c/u de los cuales tiene su propio ranking. Para decidir con quien debe jugar un participante del torneo, se saca un número desde una urna aleatoriamente para ver en qué posición (del 1 al 8, vea la figura) del cuadro le toca jugar. Suponga que en cualquier encuentro del torneo el jugador mejor rankeado gana. El perdedor de la final obtiene la copa del subcampeón.
  2. 2. Ingeniería Civil Industrial Escuela de Ingeniería Estadística Aplicada 1 2° Semestre 2014 2 Primera Ronda Segunda Ronda Finales Ganador 1 2 3 4 5 6 7 8 a) ¿Cuál es la probabilidad de que el mejor jugador gane el torneo? b) ¿Cuál es la probabilidad que el segundo mejor jugador obtenga la copa del subcampeón? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer mejor jugador pierda en primera ronda?
  3. 3. Ingeniería Civil Industrial Escuela de Ingeniería Estadística Aplicada 1 2° Semestre 2014 3 Solución: PROBLEMA 1 Definición de eventos: A = {el circuito tiene defecto tipo A} B = {el circuito tiene defecto tipo B} C = {el circuito tiene defecto tipo C} Información dada: P (A) = 0, 09 P (B) = 0, 10 P(C) = 0,085 P (A ∩ B/C) = 0, 2353 ⇒ P (A ∩ B∩ C) = 0, 0200005 P (A ∪ B) = 0, 16 ⇒ P (A ∩ B) = 0, 03 P (C/A) = 0, 5⇒ P (A ∩ C) = 0,045 P(C ∩ Ac ∩ Bc) = 0, 01 ⇒ P (B∩ C) = 0, 05 a) P (B ∩ Ac ∩ Cc) = P (B) - P(A∩B) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)= 0,04 b) P (Ac ∩ Bc ∩ Cc) = P (A∪B∪C)c= 1 - P(A∪B ∪ C)= 1 – 0,17= 0,83 PROBLEMA 2 Definición de los Eventos: Mi = {el tornillo es fabricado por la máquina i}, con i = 1,2,3,4. D = el tornillo resulta defectuoso. P (M1) = 0,15 P (D/M1) = 0,04 ⇒ 1 P (M ∩D) = 0,15⋅0,04 P (M2) = 0,30 P (D/M2) = 0,03 ⇒ 2 P (M ∩D) = 0,30⋅0,03 P (M3) = 0,20 P (D/M3) = 0,05 ⇒ 3 P (M ∩D) = 0,20⋅0,05 P (M4) = 0,35 P (D/M4) = 0,02 ⇒ 4 P (M ∩D) = 0,35⋅0,02 Probabilidades Defectuoso (D No defectuoso (DC) Total M1 0,006 0,144 0,15 M2 0,009 0,291 0,30 M3 0,010 0,190 0,20 M4 0,007 0,343 0,35 Total 0,032 0,968 1,00 a) P ( M4c /D) = 1 – P(M4/D) = 1 - P (M4 ∩ D)∙P (D) = 1 - 0,007∙0,032 = 0, 78125
  4. 4. Ingeniería Civil Industrial Escuela de Ingeniería Estadística Aplicada 1 2° Semestre 2014 4 b) Definición de eventos: Ti = {el tornillo i fue fabricado por la máquina 4}; con i = 1,2,3,4,5. P(T1 ∪ T2 ∪ T3 ∪ T4 ∪ T5) = 1 - P(T1c ∩T2c ∩T3c ∩T4c ∩T5c ) Por independencia, = 1 – (1 – 0,35)5 = 0,8840 c) Definición de eventos: A = {no hay tornillos producidos por M1 entre los tres revisados, elegidos sin reposición} = 0,3991 Otra forma: Definición de evento: Ai = {el tornillo revisado i no es producido por M1}, con i = 1,2,3 (sin reposición) P(A 1 ∩ A2 ∩ A3) = (15/20) ∙ (14/19) ∙ (13/18) = 0,3991
  5. 5. Ingeniería Civil Industrial Escuela de Ingeniería Estadística Aplicada 1 2° Semestre 2014 5 PROBLEMA 3 a) La probabilidad es 1 (evento seguro) puesto que siempre gana el jugador rankeado cada partido. b) Para que el segundo mejor gane la copa de subcampeón debe llegar a la final, y para ello no debe enfrentarse con el mejor jugador hasta la final, es decir, tienen que salir sorteados en lados distintos del cuadro. Como una vez que se le asignó un lugar en el cuadro al mejor jugador quedan 7 posiciones disponibles del cuadro para asignarle un lugar al segundo mejor (casos totales), y este debe quedar en un lado distinto del cuadro dónde salió sorteado el mejor jugador, tiene 4 posibilidades de que ello suceda (casos favorables) que representan las posiciones disponibles del otro lado del cuadro, entonces la probabilidad pedida es 4/7. c) Para que el tercer mejor jugador pierda en la primera ronda, le debe tocar jugar con el mejor jugador, o con el segundo mejor, lo que equivale a 2 posibilidades de 7 casos posibles. Así, la probabilidad pedida es 2/7.

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