Tema 14 cinematica_del_cuerpo_rigido

1º I.T.I. :1º I.T.I. :
MECANICA IMECANICA I
Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALESDepartamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
TEMA Nº 14:TEMA Nº 14:
DINÁMICADINÁMICA
CINEMÁTICA DELCINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDOCUERPO RÍGIDO

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I.T.I 1º:I.T.I 1º:
Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales
Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila
IndiceIndice
 Punto 14.1 Introducción
 Punto 14.2 Traslación
 Punto 14.3 Movimiento plano
 Punto 14.4 Rotación en torno a un eje fijo
 Punto 14.4.1 Movimiento de una recta en la rotación en torno a un eje fijo
 Punto 14.4.2 Movimiento de un punto en la rotación en torno a un eje fijo
 Punto 14.5 Movimiento plano cualquiera
 Punto 15.5.1 Análisis del movimiento absoluto
 Punto 14.5.2 Velocidad relativa
 Punto 14.5.3 CIR
 Punto 14.5.4 Aceleración relativa
 Punto 14.6 Movimiento relativo a ejes en rotación
 Punto 14.6.1 Posición
 Punto 14.6.2 Velocidad
 Punto 14.6.3 Aceleración

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14.1 Introducción
En el capítulo anterior veíamos que para describir perfectamente el movimiento de un
punto bastaba con conocer en todo instante su situación. Sin embargo, en el caso del
movimiento de un sólido rígido la descripción completa de su movimiento exige que se
den la situación y la orientación del cuerpo, interviniendo tanto magnitudes lineales
como angulares.
En un cuerpo rígido, la separación entre dos puntos
cualesquiera es fija e independiente del tiempo,
con lo que también lo serán los ángulos
determinados por toda tripleta de puntos (figura).
Los cuerpos reales nunca son rígidos, no obstante,
en la mayoría de las aplicaciones técnicas, las
deformaciones debidas a las fuerzas aplicadas
suelen ser relativamente pequeñas.
Una vez terminado el análisis cinético, deberán calcularse las deformaciones. Si son
grandes, es posible que haya que repetir los análisis cinemático y cinético teniendo en
cuenta la deformación.

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Consideraremos 5 tipos generales de movimiento
de un cuerpo rígido:
1.- Traslación. En la traslación de un cuerpo rígido, la orientación de todo segmento
rectilíneo del cuerpo se mantiene constante. NO HAY ROTACIÓN.
Un movimiento en el cual una recta se mantenga siempre paralela a la velocidad, se
dice que es de traslación rectilínea en el que todo punto del cuerpo sigue una
trayectoria rectilínea en el sentido del movimiento.
En una traslación curvilínea, la orientación de todo segmento rectilíneo sigue siendo
invariable pero los distintos puntos no siguen trayectorias rectilíneas.
En la traslación coplanaria, la trayectoria de cada punto se mantiene siempre en un
plano.

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• En la rotación en torno a un eje fijo, una recta del cuerpo, el eje de rotación, está fija.
• Los puntos que no son del eje recorren trayectorias circulares centradas en el eje.
• Si el eje de rotación no corta al cuerpo, podemos imaginar que este se extiende hasta
incluir el eje de rotación, es decir, a fines cinemáticos el movimiento del cuerpo es el
mismo que tendría si formara parte de un cuerpo rígido mayor que incluyera al eje de
rotación.
• Como cada trayectoria circular está contenida en un plano, la rotación de un cuerpo
en torno a un eje fijo es un movimiento plano.
2.- Rotación en torno a un eje fijo.

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La traslación coplanaria y la rotación en torno a un eje fijo constituyen tipos concretos
de movimiento plano en los cuales las rectas del cuerpo cumplen condiciones
particulares. Todo otro tipo de movimiento plano entra en la categoría de movimiento
plano cualquiera.
3.- Movimiento plano cualquiera.
Cada punto del cuerpo permanece en un plano.
4.- Rotación en torno a un punto fijo. Uno de los
puntos del cuerpo está fijo y cada punto se mueve
siguiendo una trayectoria situada en la superficie
de una esfera centrada en el punto fijo.
5.- Movimiento cualquiera. El resto de movimientos entra dentro de esta categoría.

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14.2 Traslación
Si A y B son dos puntos cualesquiera del cuerpo, sus
posiciones estarán relacionadas por la regla del triángulo
para la suma de vectores:
ABAB rrr /+=
Como la posición de B relativa a A (rB/A) es constante tanto en módulo como en
dirección, su derivada será nula, así al derivar respecto al tiempo la ecuación anterior se
tiene simplemente:
AB vv =
Expresión que nos dice que en un cuerpo rígido en traslación todos sus puntos tienen
igual velocidad. Podemos derivar respecto al tiempo la ecuación anterior y obtenemos:
AB aa =
La orientación de todo
segmento rectilíneo de
un cuerpo rígido se
mantiene constante.
Expresión que nos dice que en un cuerpo rígido en traslación todos sus puntos tienen
igual aceleración.
Como la forma, tamaño y orientación del cuerpo no importan para describir el
movimiento, la Cinemática de los puntos que constituyen un cuerpo rígido en
movimiento de traslación coincide con la Cinemática del punto (capítulo 13).

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14.3 Movimiento plano.
Características generales
• Cada punto del cuerpo permanece en un plano.
• Como todos los puntos de rectas perpendiculares a un plano
tienen igual movimiento, bastará considerar el movimiento en un
solo plano. En adelante, se utilizará el plano que contiene el
centro de masa al que llamaremos plano del movimiento.
• Así, la posición de un cuerpo rígido en movimiento plano
quedará determinada al dar la situación de un punto y la
orientación de una recta del plano del movimiento.
• La orientación de la recta se puede determinar o bien dando el
ángulo que forma con una dirección fija o dando la situación de
dos puntos cualesquiera de la recta.
• El movimiento de todo el cuerpo podrá determinarse a partir del
movimiento de dicho punto y el movimiento de la recta.

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Considerando el cuerpo de la figura en el que se han dibujado
dos segmentos rectilíneos separados un ángulo fijo β. Ambos
están en el plano de movimiento y los ángulos que forman con
una dirección fija de referencia son θAB y θCD. Estos ángulos
están relacionados de la forma:
Es importante observar que el movimiento
angular de rectas del plano del movimiento es
el mismo para toda recta de un cuerpo rígido:
βθθ += ABCD
Al moverse el cuerpo, variarán los ángulos θAB y θCD pero no el ángulo fijo β con lo que
al derivar la ecuación anterior respecto al tiempo, tendremos
ωωθθω ==== ABABCDCD

Donde ω es la velocidad angular, variación por unidad de tiempo de la posición
angular. Esta ecuación nos dice que todas las rectas del cuerpo tienen igual velocidad
angular ω. Derivando respecto al tiempo la ecuación anterior, tenemos
ααωθθωα ====== ABABABCDCDCD

Donde α es la aceleración angular, variación por unidad de tiempo de la velocidad
angular. Esto nos dice que todas las rectas del cuerpo tienen igual aceleración
angular α.

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14.4 Rotación en torno a un eje fijo
Se ha indicado que la posición de un cuerpo rígido en movimiento plano queda
determinada al dar la situación de un punto y la orientación de una recta del plano del
movimiento.
Así, el movimiento plano de todo cuerpo se puede determinar a partir del movimiento
de dicho punto y el movimiento de la recta.
En nuestro caso, en la rotación alrededor de un eje fijo, el punto del eje permanece
siempre en él. Por tanto, el movimiento de todo cuerpo se podrá determinar a partir del
movimiento de una recta.
A continuación se va a analizar,
en la rotación en torno a un eje fijo:
• El movimiento de una recta.
• El movimiento de un punto.

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14.4.1 Movimiento de una recta en la
rotación en torno a un eje fijo
En la rotación en torno a un eje fijo, la posición del cuerpo queda determinada al dar la
posición angular θ de una recta cualquiera del plano de movimiento.
La derivada respecto al tiempo de la posición angular da la velocidad angular ω(t) y la
segunda derivada da la aceleración angular α(t) del cuerpo rígido:
)(;)( 2
2
t
dt
d
dt
d
t
dt
d
α
ωθ
ω
θ
===
Si conocemos la aceleración angular en función del tiempo podremos integrar para
obtener la velocidad angular y la posición angular en función del tiempo así:
∫∫ =−=−
tt
dtttdttt
0
0
0
0 )()(;)()( ωθθαωω 2
000
2
1
)(;)( ttttt αωθθαωω ++=+=
Cuando se conozca la aceleración angular en función de la posición angular y no del
tiempo, la regla de la cadena para la derivación da
θ
ω
ω
θ
θ
ωω
θα
d
d
dt
d
d
d
dt
d
===)(
α=cte
que se puede integrar para obtener la velocidad angular
en función de la posición angular ∫=−
2
1
)(2/2/ 2
1
2
2
θ
θ
θθαωω d

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14.4.2 Movimiento de un punto en la
rotación en torno a un eje fijo
En la rotación en torno a un eje fijo, los puntos que no estén en el eje recorren
trayectorias circulares centradas en dicho eje.
La velocidad del punto P puede escribirse en función de un
vector velocidad angular ω definido por: ω = ω k , de
- dirección: la del eje en torno al cual gira el cuerpo
- sentido: regla de la mano derecha
y en función de rP (vector de posición del punto P medido
relativo al eje de rotación), de la siguiente manera
tPPP errv ωω == x
Expresando el producto vectorial en función de las
coordenadas x-y, tenemos:
ji)ji)k θωθωθθω cosrsenrsenrcosrv PPPPP +−=+= (x(

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La aceleración del punto P que recorre su
trayectoria circular alrededor del eje de rotación,
tendrá componentes normal y tangencial
jiji θωθωθαθα senrcosrcosrsenra PPPPP
22
−−+−=
Por analogía con la velocidad de P, la componente tangencial
de la aceleración se podrá escribir en la forma:
PtP ra x)( α=
donde α es el vector aceleración angular definido por α = αk de
- dirección: la del eje en torno al cual gira el cuerpo
- sentido: regla de la mano derecha
Las componentes x-y de la aceleración se obtienen derivando la la velocidad así:
( ) ( ) nPtPnPtPP ereraaa 2
ωα +=+=
La componente normal de la aceleración se podrá escribir en la forma:
nPtPPnP ererva 2
)(x)k(x)( ωωωω ===
así: )x(xxxx PPPPP rrvra ωωαωα +=+=

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PROBLEMA 14.1PROBLEMA 14.1
El plato de un tocadiscos alcanza su velocidad de
funcionamiento de 33,33 rpm al cabo de 5 revoluciones a
partir del momento de ponerlo en marcha.
Determinar la aceleración angular inicial α0 del
plato si:
a) la aceleración angular es constante α = α0 =
constante
b) la aceleración angular disminuye linealmente
con la velocidad angular desde α0 cuando ω = 0
hasta α0/4 cuando ω = 33,33 rpm.

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Una rueda dentada de 80 mm de
diámetro gira en torno a un eje que
pasa por su centro O. En cierto
instante, la velocidad angular de la
rueda es de 2 rad/s en sentido
antihorario, aumentando a razón de 1
rad/s2
. Determinar la aceleración (en
módulo, dirección y sentido) del
diente A en dicho instante.

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14.5 Movimiento plano cualquiera
En este apartado se va a tratar todo movimiento plano en el cual las rectas del cuerpo
giren sin que haya ningún punto del cuerpo fijo.
Veremos que los movimiento planos cualesquiera son una SUPERPOSICIÓN de una
traslación y una rotación en torno a un eje fijo.
Existen dos métodos generales para la solución de los problemas de movimiento plano
cualquiera:
Método 1 (del movimiento absoluto): Se escriben las relaciones geométricas
que describen las ligaduras a las que está sometido el cuerpo y su interacción con
otros cuerpos. Después se utilizan estas relaciones para describir la situación y
movimiento de otros puntos del cuerpo.
Método 2 (del movimiento relativo): Aprovecha el concepto del movimiento
relativo de puntos. Como la distancia entre dos puntos de un cuerpo rígido es
invariable, las expresiones de la velocidad y aceleración relativas adoptan formas
sencillas que sólo dependen de la velocidad angular y de la aceleración angular
del cuerpo.

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14.5.1 Análisis del movimiento absoluto
Las ecuaciones relativas al movimiento angular del cuerpo rígido y al movimiento de
alguno de sus puntos se pueden obtener efectuando un análisis minucioso de la relación
entre puntos y rectas del cuerpo rígido.
Primero se obtiene la situación de un cierto punto del cuerpo en función de la
orientación angular de éste.
A continuación, las derivadas respecto al tiempo de esta relación dan la velocidad y la
aceleración del punto en función de la orientación angular, la velocidad angular y la
aceleración angular del cuerpo.
Como este método se apoya totalmente en la descripción geométrica del cuerpo o
cuerpos del problema, no se pueden deducir unas fórmulas generales. Habrá que
deducir fórmulas específicas para cada problema concreto.

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Deducir una expresión que relacione la posición
de un punto del borde de una rueda cuando
ruede sin deslizamiento sobre una superficie
horizontal en reposo. Utilizar dicha expresión
para:
a) Dar la velocidad del punto en función de θ y
ω.
b) Demostrar que la velocidad del punto de
contacto entre la rueda y la superficie es
instantáneamente nula.
c) ...
d) ...

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14.5.2 Velocidad relativa
Si A y B son dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido,
sus posiciones estarán relacionadas así:
ABAB /rrr +=
y derivándola respecto al tiempo:
ABAB /vvv +=
Ecuaciones aplicables a dos puntos cualesquiera, tanto si forman parte del cuerpo
rígido como si no. Si los puntos A y B pertenecen a un cuerpo rígido, su separación
será constante y el punto B resulta recorrer una trayectoria circular alrededor del punto
A. Por tanto, la velocidad relativa vB/A vendrá dada por
ABtABAB r /// rxkev ωω ==
entonces ABAtABAABAB r /// rxkvevvvv ωω +=+=+=
Por tanto, la velocidad del punto cualquiera B de un cuerpo rígido es la suma de la
traslación de todo el cuerpo con A más una rotación de todo el cuerpo alrededor de A.

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Por lo tanto, la ecuación de la velocidad relativa se puede utilizar en los siguientes casos:
a) Para hallar las dos componentes de la velocidad de un cierto punto B cuando se
conozcan la velocidad angular del cuerpo y la velocidad de otro punto del cuerpo.
b) Cuando se conozcan las direcciones de las velocidades de dos puntos A y B (ejemplo:
si se deslizan a lo largo de guías fijas) y se da una de las tres magnitudes que faltan
(módulo de la velocidad en A, idem en B o la velocidad angular)
Cuando dos o más cuerpos rígidos estén unidos por un
pasador, podrán escribirse por separado las ecuaciones
de la velocidad relativa correspondientes a cada uno de
los cuerpos. Uno de los puntos utilizados en cada
ecuación deberá ser el punto común que une los dos
cuerpos y cuya velocidad será la misma para cada cuerpo.
CBBCCABABA
CBCABAB
//
//
rxkvrxkv
vvvvv
ωω +=+
+=+=
La ecuación anterior es una ecuación vectorial,
que en el caso de movimiento plano, tiene dos
componentes escalares independientes (una para
i y otra para j).

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Una escalera AB tiene una longitud
de 3 m y se desliza por la pared y el
suelo. Cuando el ángulo θ vale 30º,
el extremo inferior de la escalera se
está moviendo hacia la derecha con
una velocidad constante de 2 m/s.
Determinar la velocidad del
extremo superior de la escalera y la
velocidad angular de ésta en ese
instante.

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La rueda del mecanismo corredera-cigüeñal de la figura gira en sentido
antihorario con velocidad constante de 10 rad/s.
Determinar la velocidad de la corredera B y la velocidad angular de la biela AB
del cigüeñal cuando θ vale 60º.

- 23 -
bisbis

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14.5.3 Centro instantáneo de rotación (CIR)
En un movimiento plano cualquiera de un cuerpo rígido, no hay ningún punto que se
halle siempre en reposo. No obstante, en cada instante, es siempre posible hallar un
punto del cuerpo (o de su extensión), llamado CIR, que tenga velocidad nula.
El CIR de un cuerpo rígido en movimiento plano cualquiera no es un punto fijo. La
aceleración del CIR no suele ser nula. Por tanto, diferentes puntos del cuerpo rígido
serán CIR en diferentes instantes y la situación del CIR se moverá respecto al tiempo.
Para situar el CIR trazaremos perpendiculares a las
velocidades conocidas (de al menos dos puntos) y el
punto de corte indicará el CIR (punto C). Eso es debido a
que la velocidad de C es nula y que las velocidades de A
y de B se calculan como:
CBB
CAA
/
/
rxkv
rxkv
ω
ω
=
=

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Si las velocidades de los puntos A y de B fuesen
paralelas, el CIR debería hallarse en la recta que
une dichos puntos. Como el módulo de la
velocidad relativa es ωr, la situación del CIR se
halla por semejanza de triángulos.
Una vez localizado el CIR, la velocidad de cualquier otro punto del cuerpo se podrá
hallar utilizando la ecuación de la velocidad relativa CDCDCD // rxkvvv ω=+=
Si las velocidades de los
puntos fuesen iguales en
un instante cualquiera, el
cuerpo se hallaría
instantáneamente en
traslación y ω = 0. (CIR
en el infinito).
Cuando dos o más cuerpos estén unidos por un pasador, podremos hallar un CIR para
cada cuerpo. En general, estos CIR no coincidirán en posición. Como la velocidad
absoluta del punto que une dos cuerpos es la misma para cada uno de ellos, los CIR de
uno y otro deberán estar sobre la recta que pase por el punto común de ambos cuerpos.

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En el instante representado en la figura, la corredera A se está moviendo hacia
la derecha con una velocidad de 3 m/s. Hallar la situación del CIR y utilizarlo
para hallar la velocidad angular del brazo AB y la velocidad de la corredera B.

- 27 -
14.5.4 Aceleración
relativa
Derivando dos veces respecto al tiempo la ecuación
de la posición relativa obtenemos:
Ecuación aplicable a dos puntos cualesquiera, tanto
si forman parte del cuerpo rígido como si no.
ABAB aaa /+=
Pero si los puntos A y B pertenecen a un cuerpo rígido, su separación será constante y
el punto B resulta recorrer una trayectoria circular alrededor del punto A. Por tanto, la
aceleración relativa aB/A vendrá dada por
( ) ( ) ( ) ( )[ ] nABtABABABnABtABAB rraaa eerxkxkrxk 2
/////// ωαωωα +=+=+=
( ) ( )[ ] nABtABAABABAABAB rraaaaa eerxkxkrxk 2
///// ωαωωα ++=++=+=
y
Como la componente normal de la aceleración relativa contiene a ω, habrá que resolver
antes el problema de la velocidad relativa para poder resolver el de aceleración relativa.
Luego:

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Para las condiciones e instante especificados en el ejemplo 14-4. Hallar la
aceleración angular de la escalera y la aceleración de su extremo superior.
θ= 30º
ω = 0,770 rad/s (antihorario)
vA = 1,155 m/s ↓
aB = 0

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Para las condiciones e instante
especificados en el ejemplo 14-5.
Hallar la aceleración angular de la
biela AB y la aceleración de la
corredera B. θ = 60º
Ø = 15,06º
ωAB = 1,553 rad/s (horario)
vB = 22,50 m/s ←

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14.6 Movimiento relativo a ejes
en rotación
Hasta ahora se ha descrito la posición, la velocidad y la aceleración de cada punto
utilizando un sistema de coordenadas fijo. Sin embargo, existen otros tipos de
problemas para los cuales conviene describir el movimiento de uno de los puntos
relativo a un sistema de coordenadas en rotación, a saber:
1.- Cuando el movimiento se observa desde un sistema de coordenadas que está
girando. Ejemplo: Cuando se observa desde la Tierra en rotación el movimiento de
cohetes o naves espaciales.
2.- Cuando los movimientos de dos puntos están relacionados de alguna manera
pero no son iguales y no están en un mismo cuerpo rígido. Ejemplo: Mecanismos
conectados mediante pasadores que se deslizan por ranuras. El movimiento relativo se
especifica suficientemente dando la traslación y la rotación de la pieza que contiene la
ranura, la forma de dicha ranura y la rapidez con que el pasador la recorre.
3.- Problemas de cinética en los que interviene la rotación de cuerpos rígidos de
forma irregular. Para algunos cuerpos, si utilizamos ejes de coordenadas que giran con
el cuerpo, los momentos y productos de inercia serán constantes, cosa que no ocurre
con ejes fijos, a menos que el cuerpo presente simetrías.

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14.6.1 Posición
Consideremos que A y B sean dos puntos
cualesquiera animados de movimiento plano.
En función de un sistema de coordenadas fijo X-Y,
las situaciones de A y B vienen dadas por:
jiji BBBAAA YXrYXr +=+= y
Supongamos que el punto A pertenece a un cuerpo rígido que gira con velocidad
angular ω y con aceleración angular α, de valores:
Supongamos además que el movimiento del punto A pueda describirse fácilmente en
el sistema de coordenadas fijo.
Por otra parte, supongamos que el punto B se mueva de una manera prefijada relativa
al cuerpo rígido giratorio (Ejemplo- pasador que corre por una ranura).
Aun cuando pudiera ser fácil describir el movimiento del punto B relativo al cuerpo
giratorio, pudiera no ser fácil la descripción de su movimiento relativo al sistema de
coordenadas fijo X-Y.
kyk θαθω  ==

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Sea x-y un sistema de coordenadas, con origen en
el punto A, solidario al cuerpo rígido y que gire
con él. Así, el vector de posición relativa es
yxAB eyexr +=/
Donde ex y ey son los vectores unitarios asociados a
los ejes giratorios, por lo que varían con el tiempo.
Por tanto, la posición de B vendrá determinada por:
( )yxAABAB eyexrrrr ++=+= /
x
y
rA = XAi + YAj
ex = cosθ i + senθ j
ey = - senθ i + cosθ j
En donde: son funciones del tiempo conocidas.
Vamos a describir el movimiento del punto B
relativo al cuerpo giratorio:

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14.6.2 Velocidad
Derivando respecto al tiempo la expresión de la
posición del punto B:
( )
dt
ed
y
dt
ed
xvv
dt
ed
ye
dt
dy
dt
ed
xe
dt
dx
v
dt
eyexd
v
dt
rd
vv
yx
BrelA
y
y
x
xA
yx
A
AB
AB
+++=
=++++=
+
+=+= /
vBrel es la velocidad de B relativa al sistema de coordenadas giratorio x-y y los dos
últimos términos aparecen por que las direcciones de los vectores unitarios ex y ey
varían con el tiempo por la rotación de los ejes x-y.
θ
θ
θ
θθ
θ
θ
θ d
ed
dt
d
d
ed
dt
ed
d
ed
dt
d
d
ed
dt
ed yyyxxx  ==== y
Como:
x
y
y
x
e
d
ed
e
d
ed
−==
θθ
y
Tenemos:
yx
y
xy
x
ee
dt
ed
ee
dt
ed
xyx ωθωθ =−=== 
( )yxAABAB eyexrrrr ++=+= /
Brelv

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Aplicando estos resultados en la ecuación de la
velocidad relativa tenemos:
( ) ( ) BrelABAyxBrelAB vrveyexvvv ++=+++= /xxx ωωω
Donde vA, vB y ω se miden relativos al sistema de coordenadas fijo X-Y.
rB/A y vBrel se miden relativos al sistema de coordenadas giratorio x-y
Todos los vectores de la ecuación anterior se deben expresar en un sistema de
coordenadas común antes de efectuar las sumas y el producto vectorial.
O bien rB/A y vBrel se expresan en el sistema de coordenadas fijo X-Y mediante:
ex = cosθ i + senθ j ey = - senθ i + cosθ j
O bien vA y vB deberán expresarse en el sistema de coordenadas giratorio x-y usando:
i = cosθ ex - senθ ey j = senθ ex + cosθ ey
La elección se basará en la forma en que se conozcan los datos y en la forma en que
quieran tenerse los resultados.

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( ) BrelABAB vrvv ++= /xω
Si A y B son dos puntos fijos de un mismo cuerpo rígido, entonces la vBrel = 0, ω será
su velocidad angular y la ecuación anterior se reduce a la deducida en el apartado
14.5.2 que analizaba la velocidad relativa en movimiento plano cualquiera.
Si A es un punto fijo de un cuerpo rígido en rotación y B es un pasador que corre en
una ranura del cuerpo será la velocidad que tendría el punto B si
estuviera fijo en el cuerpo en vez de estar moviéndose respecto a él. El último término
vBrel (tangente a la ranura) es la velocidad adicional que tiene el punto B a causa de su
movimiento a lo largo de la ranura.
( )ABA rv /xω+
Interpretación de la expresión obtenida:

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Al oscilar el brazo BC, de
400 mm de longitud, del
mecanismo representado en
la figura, el collar C se
desliza en uno y otro sentido
por el brazo AD. Sabiendo
que Ø = 1,5 sen πt rad donde
t se expresa en segundos,
determinar la velocidad de
rotación del brazo AD y la
velocidad de la corredera a
lo largo del brazo AD
cuando t = 1/3 s.

- 37 -
14.6.3 Aceleración
Derivando respecto al tiempo la ecuación de la
velocidad obtenida anteriormente:
dt
vd
dt
rd
r
dt
d
aa BrelAB
ABAB +++= /
/ xx ω
ω
Del cálculo de la velocidad relativa: ( )ABBrel
AB
rv
dt
rd
/
/
xω+=
( ) ( )
( ) ( )BrelBrelyxBrel
yx
yx
yxBrel
vaeyexa
dt
ed
y
dt
ed
xeyex
dt
eyexd
dt
vd
xxx ωωω +=++=
=





+++=
+
=



Un cálculo semejante de la derivada de la velocidad de B relativa nos da:
es la aceleración de B relativa al sistema de coordenadas giratorio x-y (medida en él).
Aplicando las ecuaciones anteriores en la ecuación * y reagrupando términos se llega a
( ) BrelABAB vrvv ++= /xω
*
α

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( ) BrelBrelABABAB varraa x2xxx // ωωωα ++++=
Donde aA, aB, ω y α se miden relativos al sistema de coordenadas fijo X-Y.
rB/A, vBrel y aBrel se miden relativos al sistema de coordenadas giratorio x-y
Todos los vectores de la ecuación anterior se deben expresar en un sistema de
coordenadas común antes de efectuar las sumas y productos vectoriales.
O bien rB/A, vBrel y aBrel se expresan en el sistema de coordenadas fijo X-Y mediante:
ex = cosθ i + senθ j ey = - senθ i + cosθ j
O bien aA, aB, ω y α deberán expresarse en el sistema de coordenadas giratorio x-y
usando: i = cosθ ex - senθ ey j = senθ ex + cosθ ey
La elección se basará en la forma en que se conozcan los datos y en la forma en que
quieran tenerse los resultados.

- 39 -
Interpretación de la expresión obtenida:
( ) BrelBrelABABAB varraa x2xxx // ωωωα ++++=
Si A y B son dos puntos fijos de un mismo cuerpo rígido, entonces la vBrel = aBrel = 0, ω
y α son la velocidad angular y la aceleración angular y la ecuación anterior se reduce a
la deducida en el apartado 14.5.4 que analizaba la aceleración relativa en movimiento
plano cualquiera.
Si A es un punto fijo de un cuerpo rígido en rotación y B es un pasador que se desliza
por una ranura del cuerpo, la aceleración que tendría el punto B si estuviera fijo en el
cuerpo en vez de estar moviéndose respecto a él será:
El término aBrel es la aceleración adicional que tiene el punto B a causa de su
movimiento a lo largo de la ranura.
El término restante 2 ω x vBrel es la aceleración de Coriolis, perpendicular tanto a ω
como a vBrel y por tanto estará en el plano de movimiento y será perpendicular a la
ranura a lo largo de la cual se mueve el pasador.
( )ABABA rra // xxx ωωα ++

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En el mecanismo de la figura, el brazo
AB gira en sentido horario con una
frecuencia constante de 6 rpm
mientras el pasador P se mueve hacia
fuera a lo largo de una guía radial
practicada en el disco giratorio con
una velocidad constante de 25 mm/s.
En el instante representado, r = 7,5
cm, ω = 12 rpm, α = 0,1 rad/s2
, ambas
en sentido horario. Determinar la
velocidad y la aceleración absolutas
del pasador P en ese instante.

- 41 -
bisbis

- 42 -
PROBLEMAPROBLEMA
EXAMENEXAMEN
La barra AB de la figura tiene una
velocidad angular antihoraria de 2 rad/s
y una aceleración angular antihoraria de
10 rad/s2
.
a) Determinar la velocidad angular de la
barra AC y la velocidad del pasador A
respecto a la ranura de la barra AB.
(ωAC = 10 rad/s; vA rel = -3,58 m/s)
b) Determinar la aceleración angular
angular de la barra AC y la aceleración
del pasador A respecto a la ranura de la
barra AB. (αAC = 170 rad/s2
; aA rel =
-75,13 m/s2
)

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