NUMEROS ENTEROSProf.: Sonia Paz Oyarzún B.
Los números enteros surgen de la necesidad                 de dar solución a problemas                 no resueltos en los...
El conjunto de los números enteros es la   unión del conjunto de los números naturales o     enteros positivos, del conjun...
Z         = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}       Estos números los podemos representar en      una recta numérica. En la r...
Se extiende la recta numérica de modo que     cada punto representante de un Natural, le   corresponda un número simétrico...
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A los números enteros positivos se les puede                          omitir el signo.                       Por ejemplo: ...
Valor absoluto de un entero, es el número de            unidades que representa, y se puede interpretar            como su...
Si   n es negativo, entonces      I   -                                                                   nI = n          ...
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Imagina que partes                                                              desde el cero         a) Retrocedes 4 paso...
∀            MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS       La multiplicación de enteros mantiene las mismas propiedades          que la ...
El producto de dos enteros de igual signo es positivo.                              a · b = ab           (-a) · (-b) = ab ...
Resuelve         a) Cristina asiste una vez a la semana al cine. La entrada cuesta            $2.800. Cristina se enfermó,...
∀                                  POTENCIAS EN Z              Si la base a es un número entero y el exponente n es un    ...
¿ Cuántos años transcurrieron                              desde la muerte de Julio César                              (añ...
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
∀                                        TAREA         X Y Z              X+Y   X–Z   (Y + Z) - X   (X + Z) . Y   (X . Z) ...
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Presentación números enteros sonia paz

  1. 1. NUMEROS ENTEROSProf.: Sonia Paz Oyarzún B.
  2. 2. Los números enteros surgen de la necesidad de dar solución a problemas no resueltos en los naturales. 18 – 7 tiene solución en IN, pero 7 – 18 ¡ NO ! 18 – 7 = 11 7 – 18 =Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  3. 3. El conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales o enteros positivos, del conjunto formado sólo por el cero y el conjunto de los números ubicados en el sentido contrario a los positivos, o sea, los enteros negativos. Z = Z U {0} U Z- + IN es un subconjunto de Z, es decir todo natural es un número enteroProf.: Sonia Paz Oyarzún B.
  4. 4. Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Estos números los podemos representar en una recta numérica. En la recta numérica un número que se encuentre a la derecha de otro, será mayor que él. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nú eo Neaivs mrs gt o Nú eo Poit o mrs s ivsProf.: Sonia Paz Oyarzún B.
  5. 5. Se extiende la recta numérica de modo que cada punto representante de un Natural, le corresponda un número simétrico respecto del cero, es decir su opuesto inverso aditivo. -5 5 + = 0Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  6. 6. ¿ ∈ ó∉ ? a) ∈ -4 ___ Z e) ∉ -12 ___ N b) ∉ -8 ___ N f) ∉ -9 ___ N c) ∈ 7 ___ N g) ∉ -14 ___ N d) ∈ 6 ___ Z h) ∈ 0 ___ ZProf.: Sonia Paz Oyarzún B.
  7. 7. A los números enteros positivos se les puede omitir el signo. Por ejemplo: +4 = 4 Si a es positivo : + a=a Los números enteros se pueden ordenar de menor a mayor …< -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < … Por tanto un entero negativo, es menor que un positivoProf.: Sonia Paz Oyarzún B.
  8. 8. Valor absoluto de un entero, es el número de unidades que representa, y se puede interpretar como su distancia al cero en la recta numérica. Valor absoluto de n se anota InI Si n es positivo, entonces InI = n Ej.: I 654 I = 654 Ej.: I 3 I = 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  9. 9. Si n es negativo, entonces I - nI = n Ej.: I - 305 I = 305 Ej.: I - 5 I = 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  10. 10. ¿> ó <? a) > -15 ___ -16 e) > |-41| ___ -34 b) > 23 ___ -23 f) < -9 ___ 0 c) < 3 ___ 6 g) < 70 ___ 71 d) > 54 ___ |-45| h) > 0 ___ -2Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  11. 11. ∀ OPERATORIA EN Z Con la incorporación de los números negativos, la sustracción se define a partir de la suma. a + (-b) = a - b Es decir, sustraer un número es sumar su opuesto. Ej.: 30 + (-2) = 30 - 2 Como el opuesto de b es –b, se tiene que sustraer –b es sumar b a - (-b) = a + b Ej.: 55 + (-12) = 55 - 12 Si a = 0, se tiene que - (-b) =b, ∀ b ∈ Z Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  12. 12. ∀ ADICION DE ENTEROS La adición se entiende como un desplazamiento en la recta numérica, hacia donde indique su signo 1+5=6 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a) Al sumar dos enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se mantiene el signo. Ejs.: -7 + (-3) = -10 ; 8 + 16 = 24 b) Al sumar dos enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y el resultado queda con el signo del entero de mayor valor absoluto. Ejs.: 12 + (-5) = 12 – 5 = 7 4 + (-9) = 4 - 9 = -5 Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  13. 13. ∀ Al igual que en la adición de naturales, la adición de enteros es cerrada, asociativa y conmutativa. Además surgen dos nuevas propiedades 1) El cero es el elemento neutro para la adición, es decir: ∀ a ∈ Z: a + 0 = a Ejs.: 3 + 0 = 3 ; -15 + 0 = -15 2) Cada entero posee un único inverso aditivo, también llamado opuesto. ∀ a ∈ Z, ∃! (-a) ∈ Z : a + (- a) = 0 Ejs.: 7 + (-7) = 0; 24 + (-24) = 0 Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  14. 14. Imagina que partes desde el cero a) Retrocedes 4 pasos y avanzas 10 pasos. ¿ En qué punto te encuentras ? R. En el 6. f) Avanzas 2 pasos y retrocedes 5 pasos. ¿ En qué punto te encuentras ? R. En el -3. k) Si avanzas 12 pasos. ¿Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto –9 ? R. Debo retroceder 21 pasos. (-21)Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  15. 15. ∀ MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS La multiplicación de enteros mantiene las mismas propiedades que la multiplicación de naturales, es decir: es cerrada, asociativa, conmutativa, el neutro es el 1 y la distributividad respecto de la suma. El producto de dos enteros de distinto signo es negativo. (-a) · b = -ab a· (-b) = -ab Ej.: 4 · (-5) = -20 Recordemos que la multiplicación es una suma abreviada, entonces: 4 · (-5) = (-5) + (-5) + (-5) + (-5) = -20 Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  16. 16. El producto de dos enteros de igual signo es positivo. a · b = ab (-a) · (-b) = ab Ejs.: 7 · 8 = 56 ; (-5) · (-6)= 30Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  17. 17. Resuelve a) Cristina asiste una vez a la semana al cine. La entrada cuesta $2.800. Cristina se enfermó, así que en las 4 semanas que tiene el mes, sólo vio una película. ¿Cuánto ahorró en el mes? . R. En el mes ahorró $ 8.400. f) Juan Pablo recibe de su Papá $5.000 semanales . El día lunes se compró un completo de $650 y una bebida de $120. Martes y Jueves sólo compro un completo. El miércoles dos completos y una bebida, y el viernes no asistió a clases. ¿Cuánto dinero gastó? R. Gastó $ 3.490 (-3490)Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  18. 18. ∀ POTENCIAS EN Z Si la base a es un número entero y el exponente n es un número natural, entonces: a) Si la base a es positiva, la potencia es un entero positivo, ya que, se trata de un producto reiterado de números positivos. Ej.: 53 = 5 . 5 . 5 = 125 b) Si la base a es negativa y el exponente es par, la potencia es un entero positivo Ej.: (-4)2 = (-4) . (-4) = 16 c) Si la base a es negativa y el exponente es impar, la potencia es un entero negativo Ej.: (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = (-8) Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  19. 19. ¿ Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio César (año 44 A. de C.) hasta la caída del Imperio Romano de Occidente (año 476 D. de C.) ? 476 - (- 44) 476 + 44 520Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  20. 20. Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
  21. 21. ∀ TAREA X Y Z X+Y X–Z (Y + Z) - X (X + Z) . Y (X . Z) - Y (X . Y) - (Y . Z) -3 4 1 2 -1 -2 5 -3 2 1 3 -5 3 -1 -4 -4 -2 -3 5 2 6 -1 5 -3 Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.

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