O documento discute os conceitos fundamentais da teoria matemática da comunicação e seu papel na criptografia. Aborda tópicos como teoria da probabilidade, teoria da informação, quantidades de informação, codificação e segurança dos sistemas criptográficos. Apresenta também modelos matemáticos de sistemas criptográficos discretos e a noção de segurança perfeita destes sistemas.

1. Teoria Matemática
da Comunicação
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Criptografia Computacional
Tópicos
1) Conceitos básicos Teoria das Probabilidades
2) Conceitos básicos Teoria da Informação
a) Quantidade de informação
b) Capacidade de informação
c) Codificação
i) Codificação de fonte
ii) Codificação de canal
3) Papel da Teoria da Informação na Criptografia
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2. Bibliografia
• Douglas Stinson, Cryptography - Theory and Practice, CRC Press,
1995.
• T. Cover and J. Thomas, Elements of Information Theory, John
Wiley & Sons, 1991.
• A. Papoulis, Probability & Statistics, Prentice-Hall, 1990.
• M. Nelson, The Data Compression Book, M&T Publishing Inc., 1991.
• Stephen B. Wicker, Error Control Systems for Digital
Communications and Storage, Prentice-Hall, 1995
• Robert Lucky, Silicon Dreams - Information, Man and
Machine, St. Martin's Press 1991.
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Teoria da Informação: o início
• Trabalhos de C. E. Shannon com grande
influência no estudo da Criptografia
– 1948, A mathematical theory of communication
– 1949, Communication theory of secrecy systems*
• objectivo: estudar a estrutura matemática e
propriedades dos sistemas criptográficos
* trabalho realizado em 1945
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3. Tipos de sistemas criptográficos
• Existem 3 tipos de sistemas criptográficos,
segundo Shannon :
– Concealment systems
• Ex.: tinta invisível
– Privacy systems
• Ex.: equipamentos que implementam a inversão espectral
dum sinal de fala
– “True” secrecy systems
• o significado da mensagem é escondido por via da cifra
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Sistemas criptográficos discretos
• Shannon no seu estudo considerou apenas os
sistemas criptográficos discretos, onde as
mensagens são, por exemplo:
– letras/palavras duma linguagem
– níveis de amplitude quantizados dum sinal de fala
ou de vídeo
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4. Definição de sistema criptográfico
quintupleto (P,C,K,E,D)
• P - Conjunto finito de possíveis de textos em claro
• C - Conjunto finito de possíveis textos cifrados
• K - Espaço de chaves; Conjunto finito de chaves
possíveis
• E - Conjunto de regras de cifra
• D - Conjunto de regras de decifra
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Segurança nos sistemas criptográficos
• Existem 2 abordagens para discutir a segurança
dum sistema criptográfico:
– Segurança computacional: define-se
• em termos do nº de operações ou do tempo
• relativamente a um problema conhecido como difícil
– Ex.: factorização de números inteiros muito grandes
– Segurança incondicional
• o sistema não pode ser “quebrado”, mesmo com recursos
infinitos
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5. Sistemas criptográficos seguros
• Como desenvolver a teoria dos sistema
criptográficos que são incondicionalmente
seguros ?
Usando a Teoria das Probabilidades como
ferramenta formula-se então o conceito de
Segurança Perfeita.
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Teoria das probabilidades: tópicos para revisão
• Probabilidade
– conjuntos
– probabilidade e frequência de ocorrência
– probabilidade conjunta e probabilidade condicional
– independência
• Variáveis aleatórias
– função de frequência de ocorrência de X
– valor médio de X
– probabilidade conjunta de X e Y
– probabilidade condicional de X dado Y
– independência de variáveis aleatórias
– sequência de variáveis aleatórias
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6. Conjuntos
• Conceitos básicos
– objectos
– conjuntos
– elementos
– diagramas de Venn
• Operações sobre conjuntos
– subconjuntos
– igualdade
– união e intersecção
– complementar
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Probabilidade e Frequência de Ocorrência
• Experiências, resultados (outcomes) e acontecimentos (events)
Freq. Ocorrência de A
NA
Probabilidade P(A) = com N → ∞
de acontecer A N
0 ≤ P(A) ≤ 1 P(S) = 1
Espaço de acontecimentos possíveis
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7. Probabilidades Conjunta e Condicional
Probabilidade Conjunta
N A, B
P(A, B) = com N → ∞
N
Probabilidade Condicional
P(A, B) N N N
P(A | B) = = A, B = A, B com N → ∞
P(B) NB N NB
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Independência
P(A | B) = P(A) com A e B acontecimentos
independentes
P(A, B) por definição
P(A | B) =
P(B)
P(A, B)
P(A) = ⇔ P(A, B) = P(A) × P(B)
P(B)
Se A e B forem independentes
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8. Teorema de Bayes
• A probabilidade conjunta relaciona-se com a
probabilidade condicionada da seguinte forma:
– P(A,B) = P(A|B) . P(B)
– P(A,B) = P(B|A) . P(A)
• Teorema de Bayes
– P(A|B) = P(B|A) . P(A) / P(B) se P(B) > 0
• Corolário
– A e B são independentes sse P(A|B) = P(A)
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Modelo de sistema criptográfico
^
criptoanálise X
X=Dk[Y]
Gerador X Destino
de cifrador decifrador das
mensagens Y=Ek[X] mensagens
Canal seguro
K
Gerador
de
chaves
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9. Variáveis aleatórias
• v.a. X: conjunto de textos em claro ∈ P
• v.a. K: conjunto de chaves ∈ K
• v.a. Y: conjunto de criptogramas ∈ C
• Assume-se que:
– a chave k é escolhida antes dos textos de acordo
com P(K=k) ≡ p(k), logo X e K são independentes.
– 1 chave é usada apenas para 1 texto
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Probabilidades de variáveis aleatórias
• Probabilidades a priori:
• p(x) ≡ P(X=x): Probabilidade de X tomar o valor x
• p(k) ≡ P(K=k): Probabilidade de K tomar o valor k
• p(x) e p(k) induzem a distribuição de
probabilidades de y
• p(y): probabilidade do criptograma y ter sido transmitido
• Probabilidades a posteriori:
• p(x|y) ≡ P(X=x|Y=y): Prob. condicionada de X tomar o
valor x dado que Y toma o valor y
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10. Análise do sistema A
Dados:
k1
1
a k2 p(a) = 1/4, p(b) = 1-1/4 = 3/4
k1 2
b 3 p(k1) = 1/2, p( k2 ) = 1-1/2 = 1/2
k2
Pretende-se determinar:
p(y), p(k|y), p(y|x), p(x|y).
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Definição de segurança perfeita
• Um sistema tem segurança perfeita se, para
todo o x ∈ P e para todo o y ∈ C
p(x|y) = p(x)
– ou seja, não se “ganha” informação acerca do texto
em claro por observação do criptograma
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11. Sequência de variáveis aleatórias
• Sequência de variáveis aleatórias i.i.d.
• X = [ X1 X2 X3 ... Xn]
Concretização de X1
• x = [ x1 x2 x3 ... xn]
Concretização de X
• p(x): Probabilidade da sequência x
– p(x) = p(x1) × p(x2) × p(x3) × ... × p(xn) Indep.
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