O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria na circunferência. Em 1-2 frases, descreve como construir uma circunferência trigonométrica no plano cartesiano com raio unitário e medir arcos a partir do ponto A na direção anti-horária e horária. Também explica como representar arcos de medidas maiores que 2π através de voltas completas na circunferência.

1. Trigonometria na
circunferência.

2. Relembrando conceitos sobre
arcos de circunferência e
ângulos.
 O que é um arco de uma circunferência ?
Sejam A e B, dois pontos sobre uma circunferência L.
.
.
B
A
L
Se unirmos os pontos A e B, partindo de A e chegando a B, no
sentido anti-horário, teremos o arco AB. Denotamos 𝐴𝐵.

3. .
- Dois pontos A e B numa circunferência, dividem-na em duas partes, denominadas
arcos.
- O sentido que adotamos para representar um arco numa circunferência, influencia na
sua representação e denotação.
- Os pontos A e B são as extremidades do arco.
.
.
B
A
L
Se unirmos os pontos A e B, partindo de A e chegando a B, no
sentido horário, teremos o arco AB. Denotamos 𝐴𝐵.

4. Ângulo Central
 Observe a figura da circunferência L, de centro no ponto O, que
contém o arco 𝐴𝐵.
 Sabemos que, todo ângulo coplanar com uma circunferência L, cujo vértice
é o centro de L, é denominado ângulo central relativo à L.
 𝐴𝐵 é chamado de arco correspondente ao ângulo central A 𝑂𝐵.
O
A
B
L

5. Medida de arcos de
circunferência.
 Há dois tipos de medições que podem ser feitas para um arco 𝐴𝐵 de
uma circunferência, que são:
- Linear: é o comprimento do arco 𝐴𝐵, ou seja, a distância entre
as suas extremidades.
- Angular: está relacionada à medida do ângulo central,
correspondente à este arco, ou seja, a medida angular do arco 𝐴𝐵 é igual à
medida do ângulo central associado à ele.
• Denotaremos por m( 𝐴𝐵) a medida angular do arco 𝐴𝐵, e m( a
medida do ângulo central do arco 𝐴𝐵.
A 𝑂𝐵)

6. Medida em graus.
 É a unidade de medida que conhecemos desde o ensino
fundamental.
Dividindo uma circunferência em 360 partes congruentes entre
sí, temos que cada parte dela equivale a 1°(um grau).
1°

7. Medida em radianos.
 Medir um arco com essa unidade de medida, significa
responder à pergunta: Quantos arcos de comprimento igual à
um raio da circunferência, “cabem” no arco que se deseja
medir ?
 Veja os exemplos de um arco de medida 1 rad e 2 rad.
 Obs: lembre-se que a medida angular do arco está
relacionada à medida do seu ângulo central.

8.  De um modo geral, temos a relação:
𝛼 =
𝑙
𝑟
Onde, 𝑙 é o comprimento do arco, 𝑟 é o raio da circunferência e 𝛼 é a
medida do ângulo central do arco, conforme o desenho abaixo.
r
r
𝑙
𝛼

9. Trigonometria na circunferência.
 O que é uma circunferência trigonométrica ?
 Por que estudar trigonometria utilizando uma círcunferência ?
 Onde vamos usar estes conceitos ?

10. No decorrer desta aula, vamos nos preocupar em responder
estas questões.
 Observe às figuras abaixo, elas lembram conteúdos já vistos
anteriormente, como arcos de circunferência, e ângulos.

11. 1º Passo: Construção da circunferência
trigonométrica.
 Para construir uma circunferência trigonométrica, faremos algumas
convenções a seguir:
 No plano cartesiano, vamos considerar a circunferência de centro na
origem e raio unitário, conforme a figura abaixo. Vamos estudar um
método, que possamos utilizar para representar e calcular medidas de
arcos.
 Os arcos serão medidos a partir do ponto A.
 A representação acima, é a de uma circunferência trigonométrica.
O
r = 1
.A(1,0)

12.  Vimos que, para representar um arco em uma circunferência,
podemos nos deslocar por ela em dois sentidos, horário e anti-
horário.
- O sentido anti-horário, será indicado com o sinal positivo.
- O sentido horário, será indicado com o sinal negativo.
Para ilustrar esta ideia, veja as representações abaixo.
Consideremos um arco AP qualquer, numa circunferência de centro em
O e raio unitário.
* Se , então m( 𝐴𝑃) =∝> 0 ;
.
.
A
P

13. * Se, então -m( 𝐴𝑃) =∝< 0;
* Se A=P, então m( 𝐴𝑃) =0.
A
P
A=P
.
.
.

14.  IMPORTANTE: O ponto P é chamado de imagem do ângulo de
medida ∝.
Atividades:
Para responder os itens abaixo, considere sempre uma circunferência
de raio unitário, e com centro na origem O do plano cartesiano.
1-) Represente os arcos de medidas: 0rad,
𝜋
2
rad, 𝜋rad,
3𝜋
2
rad e 2𝜋rad.
* Note que, pela relação 𝛼 =
𝑙
𝑟
, como 𝑟 = 1, temos que ∝= 𝑙. Ou seja, a
medida angular do arco está diretamente associada a medida do seu
comprimento.

15. 2-) Represente, numa mesma circunferência, as imagens dos arcos do
item 1.
3-) No item 2, represente as imagens dos arcos com as respectivas
medidas abaixo:
*
𝜋
4
rad,
3𝜋
4
rad,
5𝜋
4
rad,
7𝜋
4
rad;
*
𝜋
6
rad,
5𝜋
6
rad,
7𝜋
6
rad,
11𝜋
6
rad;
*
𝜋
3
rad,
2𝜋
3
rad,
4𝜋
3
rad,
5𝜋
3
rad.
4-) Qual foi o seu raciocínio para construção destes valores ?

16. 5-) Represente agora, no sentido horário, os arcos de medidas: 0rad,
−
𝜋
2
rad,−𝜋rad, −
3𝜋
2
rad e −2𝜋rad.
6-) Represente, numa mesma circunferência, as imagens dos arcos do
item 5.
7-) No item 5, represente as imagens dos arcos com as respectivas
medidas abaixo:
* −
𝜋
4
rad, −
3𝜋
4
rad, −
5𝜋
4
rad, −
7𝜋
4
rad;
* −
𝜋
6
rad, −
5𝜋
6
rad, −
7𝜋
6
rad, −
11𝜋
6
rad;
* −
𝜋
3
rad, −
2𝜋
3
rad, −
4𝜋
3
rad, −
5𝜋
3
rad.
8-) Volte para a atividade 3, e escreva algumas medidas de arcos em
graus.

17. BATALHA NAVAL
Montagem do tabuleiro:
• Número de jogadores: 2.
• Em seu tabuleiro, sem que seu oponente veja, o jogador posiciona sua
esquadra composta de:
- 1 porta-aviões (quatro marcas em posições consecutivas numa reta ou numa
circunferência).
- 2 submarinos (três marcas em posições consecutivas numa reta ou numa
circunferência).
- 3 destroyers ( 2 marcas em posições consecutivas numa reta ou numa
circunferência).
- 4 fragatas ( 1 marca # ).
* As marcas são para cada peça da esquadra.
 Os jogadores decidem quem começa.

18. Regras do jogo:
 Alternadamente, cada jogador tem direito a “dar um tiro” falando uma posição do
tabuleiro da seguinte forma: primeiro o raio da circunferência e depois o ângulo. Por
exemplo: (3,60°).
 Se o tiro atingir algum dos navios do adversário, este diz “acertou” e especifica o tipo
de navio. O jogador que acertou, registra no seu tabuleiro, o navio do adversário
com uma cor diferente da que usou para marcar a sua esquadra e tem direito a
novos tiros até errar.
 No caso de o tiro não atingir nenhum navio, o adversário diz “água” e é sua vez de
jogar.
 O jogo prossegue dessa forma até que uma das frotas seja totalmente destruída.
 O vencedor é o jogador que conseguir afundar todos os navios de seu adversário.

19. Destroyer Fragata
Porta-aviões
Submarino

20. Tabuleiro do jogo Batalha Naval
0°2 31
30°
60°
90°

21. Arcos Côngruos
 Se a medida de um ângulo for maior que 2𝜋𝑟𝑎𝑑(𝑜𝑢 360°),
como faremos para representá-lo no círculo trigonométrico?
Qual é a sua imagem?
* Tente representar alguns valores, como 3𝜋(540°),
7𝜋
3
, −
9𝜋
2
.
8-) Construa um círculo trigonométrico, e verifique o que ocorre
com as imagens dos arcos de medidas:
1.
𝜋
2
rad,
𝜋
2
+ 2 𝜋 rad,
𝜋
2
+ 4𝜋 rad,
𝜋
2
+ 6𝜋 rad;
2.
𝜋
2
− 2𝜋 rad,
𝜋
2
− 4𝜋 rad,
𝜋
2
− 6𝜋 rad;

22. 9-) O que você percebeu com relação à imagem dos arcos anteriores ?
10-) Quantas voltas, no sentido anti-horário, nós completamos no item
1, para cada um dos arcos?
11-) Quantas voltas, no sentido horário, nós completamos no item 2,
para cada um dos arcos?
12-) O que todos estes arcos, possuem em comum ?
13-) Escreva uma expressão matemática que determina os valores
destes arcos, em função do número de voltas no círculo
trigonométrico.

23.  Familiarizados com a circunferência
trigonométrica, os alunos já tem base para estudar
cálculos de seno, cosseno e tangente de arcos
com o auxílio do ciclo na próxima aula, e também,
complementar seu estudo de funções
trigonométricas.