1. PRODUTO VETORIAL
( OU EXTERNO )
Para definirmos um vetor é preciso designarmos
seu módulo, direção e sentido.
 
Definiremos agora um novo vetor, denominado
produto vetorial dos vetores u e v
:

MÓDULO : Posteriormente
falaremos.
uxv
DIREÇÃO :  
Perpendicular ao plano que
contém os vetores u e v .
SENTIDO : Dado pela Regra da Mão
Direita .

2. REGRA DA MÃO
DIREITA Suponhamos que
se queira obter
 
 u xv :
u  
uxv 
Coloque o dedo
θ
indicador u
 apontado para o

v vetor
v
dedo médio
e o
 
apontado para o
vetor u xv
.

3. REGRA DA MÃO
DIREITA Suponhamos que
se queira obter
  
u v x u:
θ
 
Coloque o dedo
v  
indicador v
vx u apontado para o

vetor e o
u
dedo médio
 
apontado para o
vetor vxu
.

4. z
VETORES UNITÁRIOS
NOS EIXOS
 COORDENADOS
k 
 j
i y

i = (1 , 0 , 0)
x j = (0 , 1 , 0)

k = (0 , 0 , 1)

5. z PRODUTOS
VETORIAIS DOS
VETORES UNITÁRIOS
 
k  i = (1 , 0 , 0)
 j j = ( 0 , 1 , 0)

i y k = (0 , 0 , 1)
     
i x j = k  j x i = −k
x      
x k =
j

i  k x  = −
j i
k x i = j 
i x k = − j
 

6. PRODUTOS
y
PRODUTOS
VETORIAIS DOS
VETORIAIS DOS
VETORES UNITÁRIOS
VETORES UNITÁRIOS
por ELES MESMOS
por ELES MESMOS
j

   
x
i x i = 0
k
i
i = (1 , 0 , 0)


j = ( 0 , 1 , 0)
   
k = (0 , 0 , 1)  x  =0
j j
z

k x k = 0


7. PRODUTO VETORIAL
( OU EXTERNO )
   
Dados :  u = ( a, b, c ) = a.i + b. j + c.k
   
v = (d , e, f ) = d .i + e. j + f .k
       
u x v = (a. i + b. j + c.k)x(d. i + j + f.k)
   e. 
 
u x v = a.d. ix i+ a.e. ix j+ a.f. i k
x
+ b.d. x  + b.e. x + b.f. xk
j i j j j 
+ c.d.kx i + c.e.kx j + c.f.kxk
       
u x v = b. f . i + c.d. j + a.e.k - c.e. i - a.f. j - b.d.k

8. PRODUTO VETORIAL
( OU EXTERNO )
   
u x v =u^ v
       
u x v = b. f . i + c.d. j + a.e.k - c.e. i - a.f. j - b.d.k
  b c  a c  a b 
u xv= .i − .j + .k
e f d f d e
  
Embora o produto vetorial i j k
não seja um  
determinante, é conveniente u xv=a b c
e prático assim considerá-lo. d e f

9.   
i j k
 
u xv=a b c
d e f
Pela Regra da Mão Direita ou pela troca da
segunda com a terceira linha do determinante
acima, concluímos facilmente que :
   
Demonstra-se que : u x v = -v x u
    O Produto
u x v = u . v . sen θ Vetorial não
é comutativo.

10. PRODUTO VETORIAL DE UM
VETOR POR ELE MESMO
Sabemos que : Para dois vetores
EQUIPOLENTES,
   teríamos, por
i j k hipótese, que :
 
u xv=a b c  
d e f v=u

11.   
i j k Determinantes
   com filas
u xu =a b c =0 paralelas iguais,
são sempre
a b c iguais a zero.

O vetor 0 é conhecido
como vetor nulo.
Com efeito,
temos também
que :
  
u x(− u ) = 0

12. Por outro ponto de vista,
temos que :
   
u x v = u . v . sen θ
Quando :
     
 u x u ⇒ θ = 0º ⇒ u x u = u . u . sen 0º

 ou
     
u x (−u ) ⇒ θ = 180º ⇒ u x (−u ) = u . − u . sen 180º

Em ambos os casos, temos o módulo do
produto vetorial igual a zero.
Logo, em ambos os casos, temos o produto
vetorial igual ao vetor nulo.

13. Vetores de mesma
Vetores de mesma
direção terão para
direção terão para
produto vetorial, um
produto vetorial, um
vetor nulo..
vetor nulo

14. IDENTIDADE DE LAGRANGE
IDENTIDADE DE LAGRANGE
  
Sobre os
PRODUTOS
u .v = u . v . cos θ
Escalar e
Vetorial,    
aprendemos que : u x v = u . v . sen θ
Das Relações
Fundamentais da
Trigonometria, sen θ + cos θ = 1
2 2
temos que :
 2  2 2 2
Logo : ( u.v ) + u x v = u . v

15. APLICAÇÕES do PRODUTO
VETORIAL
 No cálculo da área
v h de paralelogramos,
θ temos :


u S P = u .h

Temos também que : h = v . sen θ
 
Logo : S = u . v . sen θ
P
 
Então: S = uxv
P

16. APLICAÇÕES do PRODUTO
VETORIAL
 No cálculo da área
v h de triângulos, basta
θ dividir a área do
 paralelogramo por 2.
u Temos então que:
SP  
| u× v |
S∆ = ⇒ S∆ =
2 2

18. C
Uma barra homogênea AB
de seção reta uniforme
está articulada em A e
é mantida na horizontal θ B
pelo fio ideal BC . A A
barra tem peso 100 N e D
o corpo D pesa 250 N.
Qual a tração no fio
e as componentes Dados : AB = 8 m
vertical e horizontal da 
reação da articulação A?  AC = 6 m

19. O diagrama abaixo mostra
esquematicamente as forças
presentes no sistema.
C
Ry
A
A
4m
T
θ B θ
Rx M 4m
B
A
250
D 100

20. Ry
4m
4m
Estabelecendo as
Estabelecendo as
condições de
condições de
M
M equilíbrio, temos ::
equilíbrio, temos
250
4m
4m
100
θ
θ
T
Da
B
 ∑ Fx = 0
B
Trigonometria
no triângulo
 6 
 ∑ Fy = 0
retângulo, temos: sen θ
= = 3/5
 10
10 
 M =0
∑ A
6 8
θ cosθ = = 4/5
8  10

21.  ∑ Fx = 0 T . sen θ

Ry
A
A
 ∑ Fy = 0 4m T . cos θ
Rx
B
 M =0
∑ A x
M 4m
x 100 250
Vetor
 R y + T . sen θ − 100 − 250 = 0 entrando no
 plano x
 Rx − T . cosθ = 0
− 100 x 4 − 250 x8 + T . sen θ .8 = 0 Vetor saindo
 do plano

22. Resolvendo o
sistema, temos :
T = 500 N
A reação no Rx = 40 N
ponto A é
obtida por :
R y = 50 N
R = R +R 2
x
2
y
R = 40 + 50 ≅ 64 N
2 2