Cálculo integral y aplicaciones [francisco granero]

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Cálculo integral y aplicaciones [francisco granero]

  1. 1. QA603 G69 FRANCISCO GRANERO 1111111111/1 1/11111111 1/11111111l1li1111/111/1/ 1111111111111 0233000604 CALCULO INTEGRAL Y APLICACIONES francisco Granerohttp://gratislibrospdf.com/
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  3. 3. Cálculo Integral y Aplicaciones http://gratislibrospdf.com/
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  5. 5. Cálculo Integral y Aplicaciones Francisco Granero Doctor Ingeniero Industrial Profesor Titular de Matemática AplicadaE.T.S . Ingenieros Industriales y de Telecomunicaciones de Bilbao Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea Prentice ------ Hall Madrid. Méx ico. Santafé de Bogotá . Buenos Aires. Caracas. Lima . Montevideo San Juan. San José . Santiago. Sao Paulo • White Plains http://gratislibrospdf.com/
  6. 6. / datos de cata logación bibliográfica GRANERO, F. CÁLCULO INTEGRAL Y APLICACIONES PEARSON EDUCACIÓ N, S. A., Madrid, 2001 ISBN: 84-205-3223-1 Materia: Cálculo integral: 517 F o rmalo 195 X 250 Páginas: 312Todos los derechos reservadosNo está permitida la reproducción total o parcial de esta obrani su tratamiento o transmisión por cualquier medio o método,si n autorización escrita de la Editorial.DERECHOS RESERVADOS© 200 1 PEARSON EDUCACIÓN, S. A.Núñez de Balboa, 12028006 MADRIDFRANCISCO GRANEROCÁLCULO INTEGRAL Y APLICACIONESISBN: 84-205-3223-1Depósito legal: TO. 1112- 2001PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIÓN, S. A.Equipo editorial: Editora: Isabel Capella Asistente editorial: Sonia AyerraEquipo de producción: Director: José Antonio CIares Técnico: José Antonio HernánDiseño de cubierta: Mario Guindel, Yann Boix y Lía SáenzComposición: COPIBOOKImpreso por: GRAFILLESIMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN Este li bro ha sido impreso con papel y tintas ecológicos http://gratislibrospdf.com/
  7. 7. A Alicia, Patxi, Joseba y muy especialmente a Arantzahttp://gratislibrospdf.com/
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  9. 9. eontenidoPRÓLOGO XI1. INTEGRALES DEFINIDAS SIMPLES ......... . ..... ..... . .. ... ......... ... . . 1.1. La integral de Riemann . . . . . ........................................ . .... 1 Algunas condiciones suficientes de integrabilidad .. ... .... .......... ....... 4 Propiedades de la integral de Riemann ... . ......................... . . .. . ... 5 Teoremas fundamentales del Cálculo integral . . ..... .. .. ... ................ 8 Aplicaciones al cálculo de áreas planas ............... . . . .......... .. ...... 9 Generalización de la regla de Barrow .. ..... .. .... .. ..... .. . . .... .. . ... .... 11 1.2. Integrales impropias . . .. . . .. ... ... ..... . . . .... . ...... .. .. . ........ . . .. . .. 12 Carácter de una integral impropia ..... .......... ..... .. .... ..... . ... ... .... 13 Caso en el que el intervalo de integración es infinito ..... . ...... . . . . . .... .. 14 Caso en el que la función subintegral f(x) no es acotada ..... .. .... ... ... . . 16 1.3. Integrales eulerianas ............... .. . ...... . .. . . . . .. .. ............ . ..... . 17 Convergencia y cálculo de la función rep) .............. . . ... .. . .. . ... . .... 17 Prolongación de la función Gamma .... ......... . ... .. . .... . . .. ...... . .. ... 20 La función euleriana B(p, q) .. .... ... .. . .. ... .. ..... .. ...... .. . ...... . .. .. . 21 1.4. Integrales paramétricas .. . ...... .... . . .. .. . ... . . . ...... ... . . ....... . .. . .. 25 Propiedades de las integrales paramétricas . .. . ................. .... . .. . .... 26 Aplicaciones de la derivación paramétrica .. .. . . . .. . ...... . .. .. .. . ... ...... . 29 1.5. Aplicaciones de la integral definida simple .......... . ..... . ...... . . .. .... 29 Áreas planas en coordenadas paramétricas y polares ..... ... .... . . .... .. . .. . 30 Longitud de un arco de curva .. .... .... ............... . .. . .. . .. . . . ......... 33 http://gratislibrospdf.com/
  10. 10. VIII Contenido Volumen de un sólido de secciones conocidas . .... . .. . . .. .. ... . .... . . .. . .. 38 Volumen de un sólido de revolución .... . .......... . . . .. . . . .... . ... .. . . .. . . 40 Área lateral de un sólido de revolución ..... .. ...... . .... . .. ....... . ..... . . 41 Centros de gravedad o centroides . .. .......... . . . ... . .......... . .... .... . . . 44 Momentos de inercia . . .............. . . . ..... .. .. .. . . .............. . ... ... . 50 Ejercicios resueltos ....... . . . .. . . ... . . . .. .... . . .... .. ...... . . ...... . . . .. . ... .... 58 Ejercicios propuestos ... . . .. . .. . . . ............ . .... . .. . .. .. . . ... . .. . ............ 83 2. INTEGRALES CURVILÍNEAS....................... . . . . . ... . .. .. . ... . . .. . ... 99 2.1. Introducción... .. .. . . . .. . .. . ... . ... . ..... .. . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.2. Integrales curvilíneas en R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . •..•.. •. . . . . • . . • . . • .. • • . .. . • • . 99 Propiedades ................ . .. . .. . . . .. . . .. .... . ........ ....... ... .. . . .. .... 100 Resolución de una integral curvilínea en R2 .. .. . . . . . . . .. . ... ... . . . ... .. .. . . . 101 2.3. Integrales curvilíneas en R 3 . . .. . •. . .. . •. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . ... . . . . 105 2.4. Integral curvilínea de una función vectorial en R 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . •. 109 Propiedades y cálculo .............. . ... .. .......... . .... ... .... ...... .. . .. 109 Independencia del camino. Función potencial ..... . .. . .. . ...... . .. . .. . .. . . . 111 Independencia del camino con puntos singulares . . ... . ... . .. . .. . .. ..... . ... 115 2.5. Integral curvilínea de una función vectorial en R 3 .. . • . .. ..•.. • •. .• .. • .. • 117 Ejercicios propuestos .. ............ . ..... . ..... . ... .. . .. .... . . . .... . .... .. . ..... 119 3. INTEGRALES DOBLES.. ... ............. ... .. . . .. . . . . .... . .. . ...... . . . ... .... 125 3.1. La integral doble . .. .. . .. . . .. ..... . ... . .. .. . .. . . ... .. . .. . .. . . ... . .. .. . . . . . 125 Cálculo de áreas planas ... . .. . . ................. . . .. . ... . . . ...... .. . . ...... 125 Cálculo de volúmenes . . .. . . ......................... . ..... . ... . ... . .... . .. 127 Cambio de variables en una integral doble ..... . . . ...... . .............. .. . . 131 Teorema de Green .. . . . . .. . .... . ... . .................. . ... . . . ........ . .... . 135 Simplificaciones en el Cálculo de una integral doble . .. . .. . ..... . .. . . . . .. .. 139 Cálculo de áreas de superficies .............. . ................ .. ........... 140 Integral de superficie de una función escalar .... ... . .. .. ... . . .. ... . .. .. ... . 143 Integral de superficie de una función vectorial . .. . .. ... . . . ... . ... .. ... . . . . . 146 Teorema de Stokes ............. . .. . ...... . . . ...... . ...... .. . . . ....... . ... . 149 Ejercicios resueltos .... . .. . .. . ......... . ..... .. . . ......... . . .... .. . . . .. .. .. ... .. 155 Ejercicios propuestos ...... . ........ . ... . ......... . ...... ... ........ . ..... . .. . . . 162 4. INTEGRALES TRIPLES .. ....... . .. . .. . ...... .. . ... . .... . .. . ........ . .. . ..... 165 4.1. La integral triple . .... . .. . . .. .. . .. . . . ...... . ...................... . ... .. . . 165 Cambio de variables en una integral triple . .. . .... . .............. .. . ...... . 168 Límites de integración en cilíndricas y esféricas .... ... . .. . . . . .. .. .. .. .... . . 170 Simplificaciones en el cálculo de una integral triple .. . . ... .. . . . .......... . . 175 Teorema de Gauss-Ostrogradski . ... . ........ . .. . .. . .. . ............ .. .. . . . . 176 Interpretación vectorial de los teoremas de Gauss y Stokes . . . .. .. .......... 177 Otras aplicaciones de las integrales múltiples . .. .. .. .. .. . . ... . . . .... . ..... . 184 Integrales doble y triple de Dirichlet . .. . .... .. . ... . . ... .... .. ...... . . ... . . . 189 Ejercicios resueltos ... . ... . . . .. . ......... . ... . ..... . ......... . .. . ... . ...... ... .. 193 Ejercicios propuestos . . . .. . . . ... . .. . .. . . .. .. .. .. . .... .. ....... ... .. . ... .. .... . .. 199 http://gratislibrospdf.com/
  11. 11. Contenido IX TEMAS DE REPASOTI. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ..... .. ...... . ......... . . .. . . ........ .. .. . . .. 207 T1.1. La integral indefinida ... . .. ............. .. . ... . .. .. . . . .... . .. . . .. .. .. 207 TI.2. Integrales inmediatas ........ .. ... .. ...... . . ... ..... . ... .. . . ...... . ... 209 T1.3. Métodos usuales de integración .. ..... ............ .... . . ......... . . . . 211 Integración inmediata por simple observación . . .... ... .. . .. ... . .. ...... 211 Integración por descomposición o transformación de la función f(x) . . .. 212 Integración por partes ............ . ................ . . .. ... . ............ 213 Integración mediante cambios de variable ....... ... ..... ... . .... . ...... 215 Integración por recurrencia ....... . .... . ..... . . .. ......... . ........ .... 217 TI.4. Integrales de funciones racionales ...... ... .... ................ . . .. ... 219 Resolución de integrales racionales por el método de Hermite ..... . .. .. 223 T1.5. Transformación de diversos tipos de integrales en integrales racio- nales . ..... ......... . ... . ...... . ..................... . ......... . ....... 225 Integración de las funciones R (sen x, cos x) .. ...... .... .... . ... .. . .. . .. 225 Integración de las funciones R (x, J ax + 2bx + e) .................. . . 2 232 Integración de las funciones R [x, (ax + b)PI", (ax + b)/"IS, ... ] .... ... . 234 ex + d ex + d Integración de las funciones del tipo xlll(a + bx")J . ... ... .. .... ... .. . . . . 235 Integración de las funcio nes del tipo R(c{") .. . .... . . . ............ . ...... 237 T1.6. Integración aproximada .. .... .. ........... . .. ......... .. ... .... ...... 237 Introducción .. . ..... . ..................... .. .. . ...... ... . . . . . .. . ....... 237 Aproximación mediante desarrollo en serie ..... . ... .. ......... . ........ 238 Aproximación mediante el método de Simpson .. . ....... . ... . .. . .. . . . .. 240 Ejercicios resueltos .. ... . . . .. .. ..... . .. . .. . .. . .......... . .... ... .. ... ........... 244 Ejercicios propuestos .. .... .. . ...... . . .. .. . .. . ... . .. .. .... . . . ......... ........ .. 249T2. CURV AS y SUPERFICIES ... .... .. . ..... ... . .. . . . ....... ... .... . . .. . .. .. ... 255 T2.1. Introducción......... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 T2.2. Secciones cónicas .. . .... ....... . .. ... .......... . . . .. . . . . .... . . . .. . .. . . 259 T2.3. Curvas en R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . • . . . . . . 262 T2.4. Recta tangente a una curva alabeada en un punto de la misma ..... 264 T2.5. Superficies en general .. .... ............. ... ....... .... . . . ...... . ..... 267 T2.6. Curvas sobre una superficie ..... . . ..... ....................... . ... . .. 270 T2.7. Plano tangente y recta normal a una superficie en un punto de la misma ... .... .. . . .. . ......... .. ............. ... ............ .. . .. . .. .. . 272 T2.8. Superficies de revolución ............. . .. .. .. . .. . .. . ............ ... . .. 273 T2.9. Superficies regladas .. ...... . ........ . ........ ... ... ............ . .. .. . 276 Superficies cónicas o conos ... . ........ . ...... ... . .. ... . ... .... . .... .. 276 Superficies cilíndricas o cilindros .. . .. . .. .. .... . .. . . . .... . ........ .. ... 279 Superficies cuadráticas o cuádricas .... . ... .... . .. ........ ......... . ... 284REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 291ÍNDICE .... .. .. . ...... .. . .. ... . . ..... . . . .......... .. . . .. . .. .. . . .... ...... ...... . .... 293 http://gratislibrospdf.com/
  12. 12. http://gratislibrospdf.com/
  13. 13. Es al mismo Arquímedes a quien hace 2.200 años se debe el primer enfoque de la verdadera integración: obtuvo que el área de un seg- mento parabólico es los cuatro tercios de la del triángulo con iguales base y vértice, o lo que es lo mismo (cuadratura de la parábola), los dos tercios del paralelogramo circunscrito.Dos son los motivos por los que este libro, Cálculo Integral y Aplicaciones, ha sido publicado.El primero resulta evidente, ya que durante un segundo cuatrimestre deberá explicarse su conte-nido, exceptuando algunas aplicaciones de la integral, a nuestros alumn os de primer cursode Ingeniería. Éstos, conjuntamente con los estudiantes de Ciencias de cualquier Facultad o Es-cuela Superior, constituyen, pues, sus primeros y más directos destinatarios. Sin embargo, no ha sido escrito pensando únicamente en ellos. Hay un segundo motivo de-bido a la existencia de otros destinatarios, a los que me referiré después de comentar la estructu-ra de este libro, en la cual han tenido tanta influencia como los anteriores. Se ha dudado, y mucho, del lugar que debiera ocupar el tema «Métodos de Integración»que, .aunque finalmente ha sido relegado a tema de repaso, lo consideramos el más necesario detodos y es en el que, conj untamente con el primer tema «Integrales definidas simples», más noshemos esmerado. Estos dos temas, por el modo en que han sido estructurados, constituyen la herramienta fun-damental que permitirá manejar con eficacia los restantes conceptos del texto, o dicho de otraforma, aquellos estudiosos que se enfrenten a ambos temas y salgan con pie firme, poco ha desuponerles vérselas con las integrales curvilíneas, dobl es, de superficie, triples, campos vecto-riales y todas las aplicaciones. De ninguna de las integrales múltiples hemos necesitado sus definiciones, dado que han sidoobtenidas a partir exclusivamente de la integral simple de Riemann, definida y desarrollada deun modo exhaustivo en nuestro primer tema. Por lo que respecta al cálculo de las integrales múltiples, recuerdo que en mi época de estu-diante nunca llegué a manejarlas con soltura; ello se debió a los numerosos cambios en el ordende integración que entonces con tanta frecuencia se nos exigía. Esta experiencia y, claro está, la docente, nos ha guiado en muchos ejemplos del libro; enellos se presentan y discuten las pautas y caminos a segu ir para llevar a buen término el cálculo http://gratislibrospdf.com/
  14. 14. XII Prólogo de las integrales dobles y triples. Asimismo, se aconseja (en función de las superficies que inter- vienen) el tipo de coordenadas a utilizar y los órdenes más convenientes de integración. Las aplicaciones de la integral , los centros de gravedad, momentos de inercia, cálculos apro- ximados, etc. , se definen y resuelven utilizando, cuando es posible, las tres integrales: simples, dobles y triples, indicando en cada caso la conveniencia del empleo de una u otra de ellas. En la Teoría de Campos (Capítulo 4), desde un punto de vista vectorial se definen y de- muestran varios notables teoremas, algunos de los cuales tuvieron su origen en la Física: El teorema de Green (descubierto en 1828) apareció en relación con la teoría de los potenciales eléctrico y gravitatorio. El teorema de Gauss (1845) -también debe señalarse como autor el matemático ruso Ostrogradski- surgió con relación a la electrostática. El teorema de Stokes fue sugerido por primera vez al mismo en una carta que le enviara, en 1850, el físico Lord Kel- vin; Stokes 10 utilizó para la concesión de un cierto premio en 1854. Ha llegado el momento de referirnos a los otros destinatarios de este libro. Ellos son anti- guos ingenieros que por determinadas circunstancias desean recordar algunas materias o apren- der otras. Considero que una buena forma de hacerlo es trayendo aquí varias respuestas de un gran técnico sobre cuestiones relacionadas con la integral. Las respuestas de Pedro G. S., coinci- dentes con las de muchos amigos ingenieros, son las siguientes: En mi trabajo nunca he utilizado integrales. En cierta ocasión las necesité para calcular la superficie exacta de una estructura y me lo resolvió otro profesor. Fuera del trabajo las he necesitado en ocasiones y siempre por el mismo motivo. Últi- mamente con relativa frecuencia, mi hijo y un compañero suelen «exigirme » que les re- suelva algunas integrales, lo cual consigo a veces. Hace unos meses, al entregarle varias integrales resueltas «exigidas» por algún familiar, le adjunté mis apuntes sobre «Métodos de integración» (prácticamente iguales que los de este li- bro) e intenté convencerlo para que los leyera «como una novela», aunque con un bolígrafo en la mano. El resultado fue el siguiente: no recordando inicialmente gran parte de las derivadas, logró resolver en una semana (veinte hora,s) todas las integrales que en el tema mencionado aquí se presentan. Actualmente, < <juega» con los restantes temas del libro y principalmente con las aplicaciones. Estos últimos comentarios, más que avalar las «excelencias didácticas» de nuestro libro, conllevan la esperanza e ilusión (trabajaremos para lograrlo) de que el caso de Pedro no sea único. Finalmente, aunque en esta ocasión he asumido en su totalidad el desarrollo de los temas del texto, quiero agradecer aquí otras ayudas prestadas: A mis compañeros del Departamento de Matemática Aplicada de la Universidad del País Vasco. Al profesor Antonio Galván Díez de la Universidad de Cantabria. A los profesores Guillermo Urquiola Pujana y Antonio Crego Corona. A mis otros compañeros, por distintas cuestiones, J. V. Martín Zorraquino, Javier Zubillaga, 1. J. Doria Iriarte, Felipe Jiménez y J. L. Cano Martín. A Miguel España Martínez, Octavio Ruiz Quintana y Pedro Gómez Serranillas. A Isabel Capella y Sonia Ayerra por la gran profesionalidad que han demostrado durante la edición de este libro. También a todos ellos, conjuntamente con mis alumnos, va dedicado. F. GRANERO http://gratislibrospdf.com/
  15. 15. eapítulo Integrales definidas simples 11.1. LA INTEGRAL DE RIEMANN Previamente a su estudio, recordemos los siguientes conceptos: Cuando la función y = f(x) está acotada en el intervalo cerrado [a, b], siempre existen dos valores finitos m, M E R , tales que Vx E [a , b], m ::::; f(x) ::::; M. Se llama partición del intervalo cerrado [a, b] a cualquier conjunto finito de puntos en la forma: P = {x o, Xl X 2 , . .. , XII } / a = X o < Xl < X 2 < ... < XII = b Dadas dos particiones de un mismo intervalo, se dice que P 2 es más fina que P I cuando P ¡ e P 2 Con relación al intervalo [2, 7] se tendría: PI = {2, 7} e P 2 = {2, 3, 7} e P 3 = {2, 3, 5, 7} Pasemos ahora, sin más, a efectuar el estudio de la integral definida (simple) de Riemann: Consideremos una función y = f(x) acotada en un intervalo [a , b] finito, del q ue se ha lleva- do a cabo un a partición PI en n subintervalos, es decir: Suponiendo en principio (véase Figura 1.1 donde se ha dibujado la función, continua para fijar ideas) que VX E [a , b] f(x) ~ O, resultan evidentes las siguientes desigualdades: m ::::; m¡ ::::; M¡ ::::; M, i E {l , 2, 3, ... , n } 11 11 11 11 L m(x¡ - x¡ _¡ ) ::::; L m/x¡ - x¡_ ¡) ::::; L M/x¡ - x¡_¡) ::::; L M(x¡ - x¡_¡) ¡= 1 ¡= ¡ ¡= 1 ¡= 1 http://gratislibrospdf.com/
  16. 16. 2 Cálculo integral y aplicaciones y M 111 - - L---~------~--~--~----~--~--~--~--------~~----~ x o a =Xo XI X2 . . . • . Xi .. XII = b Figura 1.1 y haciendo en esta última X¡ - X¡ - 1 = ~X¡ (LU¡ > O), se tiene: 11 m(b - a) ~ I m¡LU¡ ~ I M¡LU¡ ~ M(b - a) i= 1 ¡= 1 Es claro que todos los miembros de las desigualdades, representan áreas de valor positivo (producto de factores positivos) . En el caso de que f(x) < 0, obviamente dichos productos da- rán lugar a un valor negativo. Las áreas intermedias: 11 Sl (P]) = I mi~x¡, SI(P 1 ) = I M¡LU¡ ¡= 1 ¡= 1 reciben respectivamente el nombre de suma inferior y suma superior, correspondientes a la par- tición P l Realizando seguidamente otra partición P 2 más fina que P 1 (P 1 e P 2) es inmediato que se producen las desigualdades: -- S2(P 2) ~ SI(P 1 ) / S2(P 2) ~ SI(P l ) V Pi Pj : s(p¡) ~ S(P) Efectuando indefinidamente particiones P 3 P 4 ... , PI/l cada vez más finas, resultarán dos sucesiones {Sil} y {SI/l } cuyos términos y comportamiento hemos presentado en la Figura l.2, ideada por nosotros con el fin de dejar bien fijado este importantísimo concepto. Al ser la sucesión {sl/l} monótona creciente y estando acotada superiormente por todas las sumas superiores, tendrá extremo superior (límite de esta sucesión). El citado extremo que de- notaremos por s, se denomina «Integral por defecto» de f(x) en el correspondiente intervalo. Igualmente sucederá con la sucesión {SI/l} cuyo límite (S) se denomina «Integral por exce- so» de f(x) en el intervalo [a , b]. En el caso de que s = S, o sea si: lim sl/l = lim SI/l m - oo m - oo entonces se dice que y = f(x) es integrable según Riemann en el intervalo [a, b]. http://gratislibrospdf.com/
  17. 17. Integrales definidas simples 3 A (áreas) M(b-a) , SI , S2 1 1 , S3 1 I I I I I • SIII I I I I I , sm 1 1 1 1 s3 1 T SI + I s2 1 1 1 m (b - a) 1 1 I 1 1 I 1 1 I I I I Po P 1 P2 P3 ......... ... Pm P (particiones) Figura 1.2 Dicho valor común, recibe el nombre de Integral definida simple de Riemann y se repre-senta por: s= S= f f(x) dx Es inmediato deducir que la anterior igualdad Iim s", = lim implica doblemente (véase Fi- SIIlgura 1.2) que el valor s; puede hacerse tan pequeño como se desee, sin más que elegir una SI11 -partición lo suficientemente fina. Consecuentemente puede darse también la siguiente definiciónequivalente, relativa a la integración según Riemann: Q- «La condición necesaria y suficiente para que y = f(x) acotada en un intervalo finito seaintegrable en el mismo, es que si elegido un 8 E R+ exista una partición P tal que Sp - Sp < 8.»EjemploSupongamos una [unción y = f(x) definida en el intervalo [a = O, b = 3] de la siguiente forma: 2X -+ l si x EQ Y =f(x) = 3 2 { si x r/= Qal Determinar las sumas inferior (SI) y superior (SI) correspondientes a la partición: PI ={a=O, 1,2,b=3}b) Calcular en [O, 3] el valor de s (integral por defecto) y el de S (integral por exceso), deduciendo conello la existencia o no de la integral simple de Riemann. http://gratislibrospdf.com/
  18. 18. 4 Cálculo integral y aplicaciones RESOLUC iÓN 5 14 al SI = m 1 ·1 + 111 2 .1 + 111 3 .1 = 1·1 + 3 I + 2·] 3 22 3 y 3 2 o 3/2 2 x Figura 1.3 bl Habida cuenta de que s= lim I mi fui fui ...... O V iE { I,2 , ... ,n} 1/ -+ ex) i= 1 y observando la Figura 1.3 en donde hemos sombreado dos elementos de área correspondientes al anteJior sumatorio (s), resulta inmediato lo siguiente: s= 4 (área entre °y 2 + 3 (3 a 3) = 4 9 _ 3) de 2 21 Asimismo S = 3 3) de O a - + - ( de - 15 3 a 3) 27 =- ( 2 4 2 4 Consecuentemente al ser s =1= S, se tendrá que y = f(x) no es integrable (sentido Riemann) en el inter- valo [0, 3], o lo que es lo mi smo, que la integral simple! 1) de Riemann f: f(x) dx , no existe. • Algunas condiciones suficientes de integrabilidad La función constante y = f(x) = K es integrable en todo intervalo cerrado de R, pues evidente- mente (cualquiera que sea la partición), se verifica: 11 f [a ,b]cR,s=S= I K·fu¡=K(b-a) ¡= 1 (1) En lo que sigue de este Cap ítulo, prescindiremos de añadir el adjeti vo «simpl e» para referirnos a esta integral definida de Riemann . http://gratislibrospdf.com/
  19. 19. Integrales definidas simples 5 Si Y = f(x) es una función monótona (creciente o decreciente) en el intervalo [a , b] , enton-ces es integrable en él. Efectivamente: como ambas demostraciones son análogas, supongamospor ejemplo, que en [a, b] la función es monótona creciente (y, por consiguiente, acotada). Eli-jamos un 8 1 E R +, y efectuemos una partición P de [a , b] en n partes iguales, de modo que la b - aamplitud de cada parte (subintervalo) - - sea menor que 8 1 , En estas condiciones y apoyán- ndonos en la Figura lA, escribiremos: SI = f(a)· (Xl - a) + f(xI) (X 2 - XI) + ... + f(xll - ¡) (b - XIl - ¡) SI = f(x¡) (Xl - a) + f(x 2 )· (x 2 - XI) + ... + f(b) · (b - x lI - l) b-aCon lo que restando y al ser X¡ - X¡_¡ = - - , resulta: n b -a SI - sI = [f(x¡) +f(x 2 ) + ... + f(b) - fea) -f(x l ) - ... - f(x ll - ¡)] - - = n b - a = [f(b) - fea)] - - < [f(b) - f(a)]8 1 nConsecuentemente (f acotada) SI - sI < B => f(x) es integrable. y --_---*-_~_-L- _ _ _- L - _.......--l~ x o a = xo XI X2 ..•.. XII _ I x lI=b Figura 1.4 Toda función continua o continua a trozos en un intervalo [a , b] es integrable en el mi smo.En efecto: elijamos un 8 ¡ E R + Y efectuemos una partición P de forma que en cualquier subin -tervalo se verifique (continuidad) M¡ - m¡ < 8 1 , En estas condiciones: 11 11 SI - s/, = I M/1x¡ - I 111¡l1x¡ = I (M¡ - m¡)l1x¡ < /,¡(b - a) = E ¡= t ¡= t ¡= 1Propiedades de la integral de RiemannPuesto que la mayor parte de las propiedades que aquí presentaremos se desprenden claramentedel concepto y definición de esta integral, prescindiremos cuando sea posible de las correspon-dientes demostraciones. http://gratislibrospdf.com/
  20. 20. 6 Cálculo integra l y aplicaciones 1. Sea y = f(x) una función integrable y con signo constante en [a, b]. En estas condicio- nes ¡f f(x) dX¡ es el valor del área encerrada por el eje x, la curva y = f(x), y las rectas x = a, x = b. 2. Si f(x) y g(x) son integrables en [a , b] , entonces las funciones: K -f(x), f(x) + g(x), f(x) f(x)· g(x), - g(x) I g(x) -=1 O 1 x E [a, b] son también integrables en [a, b], verificándose: f Kf(x) dx = K f f f(x) dx, [f(x) + g(x)] dx = f f(x) dx + f g(x) dx 3. f f(x) dx = O 4. f f(x) dx = f f(t) dt 5. f f(x) dx = f f(x) dx + r f(x) dx 6. fb f(x) dx = - a r Jb a f(x) dx 7. Si Ix E [a, b], f(x) ~ O: ff(X)dX ~O 8. Si 1 x E [a , b], f(x) ~ g(x): f f(x) dx ~ f g(x) dx 9. ¡f f(x) dX¡ ~ f If(x) 1dx 10. Teorema del valor medio integral Sea y = f(x) una función integrable en el intervalo [a , b] , Y sean m M E R tales que 1 x E [a, b], 111 ~ f(x) ~ M. En estas condiciones: Existe un valor j,l E [111, M] tal que fb f(x) dx = j,l(b - a). a Este valor j,l se denomina valor medio o valor medio integral de la función y = f(x) en el intervalo [a, b]. http://gratislibrospdf.com/
  21. 21. Integrales definidas simples 7 Si por añadidura, la función y = f(x) es continua en [a, b J, entonces: Existe al menos un punto e E [a , bJ tal que j-L = f(e) = f f(x)dx -,,--=--a- - - b- a(propiedad evidente puesto que por la continuidad, f alcanza todos los valores entre In y M; Yen particular alcanzará el valor {L.) Probemos pues el primer apartado: Como ti x E [a, b J In ~ f(x) ~ M, aplicando la Propiedad 8, se tiene: bmdx = m(b - fb f(x)dx fbMdx = M(b - . f a a) ~ a ~ a) acon lo que dividiendo por b - a, resulta: rn. ~ fa f(x)dx ~M ~ existe {L E [m , MJ/{L ff(X)dX = ,,--,,--a- - - b-a b-a La Figura 1.5 muestra, utilizando una función y = f(x) continua, la interpretación geométri-ca de este teorema. Nótese que en el segundo gráfico, existen dos puntos e 1 y e 2 para los que{L = f(e l ) =f(e 2 ). y y M M , , ~¿ =/(c) , , , , , , m ----- , , - -- - - - ., - - - -- --- -- - - - - -- -- - --r---- , , m ------- OL----a~----~c--------~--~x o a x Figura 1.5 Generalización. Consideremos dos funciones f(x), g(x) integrables en el intervalo [a , bJ,teniendo además g(x) signo constante en dicho intervalo: Siendo In, M E R de modo que m ~f(x) ~ M , existe un valor {L E [m, M] tal que: f b f(x)· g(x) dx = j-l fb g(x) dx a a Si por añadidura y = f(x) es continua en [a, b J, entonces existe al menos un punto e E [a , b Jtal que {L = f(e). La demostración de esta generalización es totalmente análoga a la anterior (se parte de ladesigualdad m ~ f ~ M, se multiplican sus términos por g, oo.). http://gratislibrospdf.com/
  22. 22. 8 Cálculo integral y aplicaciones Teoremas fundamentales del cálculo integral Definición Sea y = f(t) una función integrable sobre el intervalo [a , b]. Apoyándonos en que f x f(t) dt = fX f(x) dx (x E (l II [a, b]) es evidentemente función de x (continua en el citado intervalo, como fácilmente se prueba a partir de la relación 1), daremos la siguiente definición: Se denomina función primitiva de f a toda función F tal que f f(t) dt = F(x) +e (1) Visto lo anterior, enunciemos y probemos ahora el siguiente teorema : Primer teorema fundamental del cálculo integral «Si y = f(t) es una función continua en el intervalo [a, b], la función F(x) definida en (1 ) es derivable en dicho intervalo, verificándose que F(x) = f(x).» Para probarlo, veamos que existe el límite que define a la derivada de F(x) y que el citado límite es f( x) : dF(x) F(x) = - - = lim F(x + Lli) A" - F(x) = lim 1 A " [fx+x f(t) dt - e - (fX f(t) dt - e)] = l. dx I.x~O LlÁ I.x~O LlÁ a a 1 fX + I.X (2) 1 lim A " f(t) dt = lim - . f(c)Lli = lim f(c) = f(x) I.x~O LlÁ x I.x~O Lli I.x~O (pues como e E [x, x + Lli], e -+ x cuando Lli -+ O). I Acabamos de obtener «la derivada de una integral respecto de su extremo superior (x) >>. Te- niendo en cuenta que IX f(t) dt = - f(t) dt, resultan inmediatas las siguientes relaciones que más adelante se aplicarán: - d fX f(t) dt = f(x) - d fa f(t) dt = - f(x) (2) dx a dx x Segundo teorema fundam ental del cálculo integ ral Si f es una función continua en el intervalo [a , b] y la función F es una de sus primitivas, entonces: f f(x) dx = F(b) - F(a) (regla de Barrow) ( 3) (2) Dado que f es continu a en [x, x + ~xl e [a , bJ, podrá escri birse (T. del valor medio): 3e E [x, x + fu1 jf HX f(t) dI = f(e) · fu ( 3) El Tema de repaso I (Métodos de integrac ió n) trata con detalle del cálculo de primiti vas. http://gratislibrospdf.com/
  23. 23. Integrales definidas simples 9 Este resultado se pone rápidamente de manifiesto, particularizando la relación (1) parax = a y para x = b, es decir: para x = a: "f(t) dt = O = F(a) + e -+ e= - F(a) f" para x = b : fb f(t)dt = F(b) + e = F(b) - F(a) (3) "Aplicaciones al cálculo de áreas planasTeniendo en cuenta la relación que existe entre el área y la integral de Riemann, habiendo pro-bado mediante los anteriores teoremas fundamentales que: A(área) = fb f(x) dx = F(b) - F(a), siendo P(x) = f(x) (4) "y razonando finalmente con elementos diferenciales (tanto en la variable x como en la varia-ble y), son inmediatos los resultados siguientes (Figura 1.6): dA 1 = [f(x) - g(x)] dx -+ Al = f [f(x) - g(x)] dx d dA 2 = [f(y) - g(y)] dy -+ A2 = f e [f(y) - g(y)] dy y L---+----,F--------------_ - -- _ x o .. ", " x f(y) - g (y) Figura 1.6 (4) Supondremos para todo lo que sigue que se domina el cálculo de primitivas. http://gratislibrospdf.com/
  24. 24. 10 Cálculo integral y aplicaciones Ejemplo al Calcular el área (A) encerrada por el eje x en el intervalo [O, 7[/ 2] y las curvas y = cosx, y = senx. bl Hall ar el área limitada por las curvas y2 + X - 3 = O, x - y - 1 = O. RESOLUCiÓN al Una vez dibujada la Figura l.7 (primer gráfico), se tiene: y y x = g(y)=y+ I -------:-+-----F---------+-------~ x 3 L---------~--------~------~x y = cosx (- 1, -2) Figura 1.7 A = Al + A 2= f "/4 sen xdx + f"/2cos x dx = -cosx J "/4 + senxJ"/2 o "/4 o " /4 - j2 = 2 - j2 (calcúlese nuevamente mediante una única 2 integral en la variab le y) Obtengamos asi mi smo el área A 3 : [J j2 j2 f " /4 1[/4 A3 = (cosx-senx)dx= sen x+cosx = - + - - 0 - 1 =j2 - o o 2 2 bl Efectuemos la integración con relación a la variable y, que evidentemente es mucho más simple [cual- quier recta r normal al eje y, corta (en la región) primero a una curva y luego, siempre a la otra]. ? dA = [f(y) - g(y) ] ely = [3 - y- - (y + J)] ely --+ A = JI? - (2 - y- 9 y) ely = - -2 2 Para dejar bien fijados estos conceptos, se propone finalmente comprobar que el área de la región limi- tada por las curvas y = fex) = - X2 + 3x - 1, Y = g(x) = x 3 - 2 X2 + X - 1, es A = 37/ 12 (en caso de duda, véase el ejemplo Resuelto 2 al final de la sección). • http://gratislibrospdf.com/
  25. 25. Integrales definidas simples 11RecomendacionesLa aplicación no controlada de la regla de Barrow (3), puede dar lugar a graves errores. Se hadicho anteriormente, que si la función f es integrable en [a, b] entonces su primitiva F es conti-nua en ese intervalo. Consecuentemente, siempre debe aplicarse (3) a lo largo de una rama con-tinua de la función y = F(x). Veamos algunos casos:1. El cálculo: I 1 JI n 3n n 1= J --2 _ 11+x dx = arctg x - 1 = arctg 1 - arctg ( - 1) = - - - = 4 4 2no es correcto, ya que al ser f(x) > O en [ - 1, 1] debería resultar (Propiedad 7) 1> O. Con-secuentemente deberá tomarse la rama continua de F(x) = arctg x (Figura 1.8). Con ello, setendría: 1 = arctg 1 - arctg ( - 1) = 4. n - ( - 4. = 2: n) n y y y =:rr/2 -~-~~--~~- ~ - ~~~-~~~- ~~ ~ -~ ~ ---~~-~-~~-----~x --~---~-_L-_------~x -3 o Figura 1.82. Más escandaloso todavía, sería el cálculo: ~ dx = - ~J [~ - ~)J = 4 Ji -3X x 1 -3 = - 1 (- 3 --< O 3pues en esta ocasión son dos las causas del error: F(x) = - l/x no es continua en [ - 3, 1], yademás (segundo gráfico de la Figura 1.8) la función subintegral f(x) no está acotada en dichointervalo, lo cual fue una de las exigencias que se impusieron a la integral de Riemann. Aunque el tipo de integrales en las que y = f(x) no está acotada en algún o algunos puntosdel intervalo de integración se estudiarán con detalle en la Sección 1.2, consideramos oportunoenunciar aquí la Regla de Barrow generalizada.Generalización de la Regla de Barrow«Cuando la función y = f(x) no es continua en ciertos puntos del intervalo de integración, perotiene primitiva F(x) y ésta es continua en dicho intervalo, entonces, es correcta la aplicación dela regla de Barrow.» http://gratislibrospdf.com/
  26. 26. 12 Cálculo integral y aplicaciones Esto sucede por ejemplo con la función: 1 f(x) = 3G (cuyo gráfico es similar al segundo de la Figura 1.8) ~X2 El cálculo: - 1- dx = 2 ~ JI o X- 2 3 / . dx = 2·3 ifx JI o =6 es correcto, pues la función f(x) tiene primitiva F(x) = 3 ifx continua en [ - 1, 1].1.2. INTEGRALES IMPROPIAS Consideremos una función subintegral f(x) con igual signo (no negativo, por ejemplo) en todo su intervalo de integración. Supongamos para centrar ideas que el gráfico de la citada función es el representado en la Figura 1.9, y que quieren determinarse las áreas sombreadas Al y A 2 . JI ~--------~*---~----------~------------~~--------~x O a p b e H Figura 1.9 La obtención de A I (intervalo de integración infinito) y A 2 (con función no acotada en su interval o de integración), hace imprescindible generalizar el concepto de «integral definida de Riemann» (área A, correspondiente a una función acotada en un intervalo finito). Cuando la integral en cuestión presenta al menos una de las anteriores desviaciones respecto de la integral de Riemann (desviaciones que llamaremos singularidades), se dice que es una integral impropia (de primera especie si tiene intervalo infinito, o de segunda especie si la fun - ción subintegral no es acotada). Para el cálculo de Al se escribirá (Figura 1.9): Al = f OO f (x) dx = lim f11 f(x ) dx = [lim F(H)J - F(c) e H -+ CIJ e H -"*a:., y se dirá que la integral es convergente, divergente, o que no tiene sentido (en ocasiones se emplea también aquí la denominación «oscilante»), si respectivamente el anterior límite existe y es finito , es infinito, o finalmente si no existe. http://gratislibrospdf.com/
  27. 27. Integrales definidas simples 13 En el caso del intervalo (- 00 , e] o del ( - 00 , 00 ) que descompondríamos en (- 00 , e] uu [e , 00 ), todos los conceptos son similares. Para el cálculo de A 2 se utilizan iguales denominaciones, escribiendo ahora: A 2= fb f(x) dx = {I Iim /1 -+ (1 + fb f(x) dx = F(b) - J1 lim F(P) p ..., a"o lo que es lo mismo (8 siempre es un número real positivo): A 2= f bf(x) dx a = lim /;-+ 0 fb a +c. f(x ) dx = F(b) - lim F(a + e-+ Q 8)Carácter de una integral impropiaHabida cuenta de que en gran número de ocasiones no disponemos de una función primitivaF(x) , o porque únicamente interesa el carácter de la integral, es necesario estudiar ciertos méto-dos para determinar esta convergencia o divergencia. Teniendo presente, además, que cualquier intervalo puede dividirse en subintervalos dondela función f(x) tiene siempre el mismo signo, y puesto que si f(x) ~ O en [a , b] puede tomarsela determinación positiva haciendo fb f(x) dx = - fb - f(x) dx, limitaremos todo el estudio a a nintegrales cuyas funciones subintegrales f(x) son no negativas. Asimismo, si la función f(x) no está acotada en varios puntos de su intervalo de integración(Figura 1.10), se escribirá: b f e fd fe fb fa f(x)dx = a + e + d + ey este estudio de las integrales impropias de segunda especie quedará reducido a integrales enlas que f(x) no está acotada en el extremo inferior (ya comentado) o en el superior (cuyo con-cepto, evidentemente, es totalmente análogo al anterior). y x =e dos singularidades (en x = e y en x = e) o a e d e b x Figura 1.10 http://gratislibrospdf.com/
  28. 28. 14 Cálcu lo integral y aplicaciones Ejemplo Las tres integrales impropias (m E R +): TI = f oo a - XIII 1 e/x (a >0) T2 = fb--- a (X - a)1II dx T 2 =fb--- a (b - X)III dx representantes de las tres singularidades a las que ha quedado reducido el estudio de dichas integrales im- propias, reciben el nombre de integrales tipo (TI de primera especie, T 2 y T~ de segunda) y se suelen utilizar para determinar el carácter de otras integrales por comparación con ellas. converge si m > 1 converge si m < 1 Probar que: TI { T, { . diverge si m ";; 1 - dlverge si m ~ 1 RESOLUCiÓN L1x1JH, si m= 1 oo -;;; e/X = 1 fH j a TI = lim X- III dx = lim fa X H ~ oo a H~ oo x-III+ I JH si m =1= 1 - m+ 1 . con lo que si m = 1, evidentemente TI = 00 (divergente). si 1 - m < O si m =1= 1: TI = -I- ( lim H I - III - al-III ) = {finito, l - m H ~oo 00 , si 1 - m > O Consecuentemente converge si m > 1 Y diverge en los demás casos. Probemos ahora que con T 2 (y T ~ del mismo modo) sucede al revés (hagámoslo con m =1= 1, pues para m = 1 claramente también es divergente): b b 1 fb (x-a)_III+IJ T = dx = lim (x - a)-lIIdx = lim - -- - - 2 f a (X - a)11I e-O a +t: l:-+ Q - In +1 a +e si 1 - m > O = -1- [ . (b - a)I-1II - lim(¡;)I - 1II ] = {finito (convergente), 1- In <~o 00 (divergente), si 1 - In <O Obviamente a la integral tipo T~ le sucederá lo mi smo (5). • Caso en el que el intervalo de integración es infinito Consideremos una integral 11 = 100 f(x) dx, siendo f(x) acotada y no negativa (por lo ya co- mentado) en el intervalo [a, 00 ). (5) El motivo de lomar (b - x)" en lugar de (x - b)" con lo que T 2 := T ~, radica en que por ser b ;:> x (a :s; x :s; b) , si sucediera, por ejemplo, que l1l = 1/2, se tendría (x - b)I !2 Y consecuentemente la integral T ~ carecería de sentido. http://gratislibrospdf.com/
  29. 29. Integrales definidas simples 15 Para determinar el carácter de esta integral impropia de primera especie, únicamente utiliza-remos ciertos criterios, análogos a los que el alumno ya conoce por haberlos estudiado en todotipo de series. De dichos criterios presentamos aquí los siguientes:Criterio del límite . . f(x) {k finito, siendo m > 1 : / 1 converge SI 11m - - = x-+ oo ~ k =f. O (pudiera ser (0 ), con m ~ 1 : /1 diverge x"Criterio de comparación (equivalente al anterior)Aplicando la propiedad (8) de la integral de Riemann se tienen los siguientes resultados (k E R+): 1 Si Vx E [a, (0 ), kf(x) < - IH con m > 1 : /1 converge x 1 Si Vx E [a , (0), kf(x) > XIII con m - ~ 1: /1 es divergenteCriterio integralSea y = f(x) , como se ha dicho, una función acotada y no negativa en el intervalo [a E R, (0 ): Si f(x) es decreciente en [b ~ O, (0 ), entonces, la serie ¿f(n) y la integral/ 1 tienen el mis-mo carácter (6).Ejemplos1. Probar que si lim f(x) =1= O, entonces, la integral impropia de primera especie 11 es divergente . x-+ eo Nótese que este enunciado resulta equivalente al siguiente: «Es condición necesaria para la convergencia de 11 que lim f(x) (caso de que este límite exista) = O» x- 00RESOLUC iÓNPor la hipótesis, si lim f(x) = k(k E R + al ser f no negativa) =1= O, entonces podrá determinarse un X o tal x- 00que Vx > X o se verifique f(x) > K. Consecuentemente: = aeo f(x)dx = f~ f(x)dx + f Xo f(x)dx > 11 f a eo Al (finito) + f eo Xo Kdx = rocon lo que 11 sería divergente. • (6) Nótese, con relación a la convergencia, que si a < b, el intervalo la, b] no influye por corresponderle (funciónacotada en intervalo finito) un área finita. http://gratislibrospdf.com/
  30. 30. 16 Cá lcul o integra l y ap li cac ion es 2 . Utilizando los tres criterios estudiados , determínese el carácter de la integral impropia (de primera especie): ro X2 1= f - 2 (2x 2 + 3) 2 dx (una única singularidad) RESOLUC iÓN (s iempre debe comprobarse previamente la condición necesaria de convergencia) . f(x). X2 1 xm + 2 al ]¡m - - = 11m 4 2 : - lim 4 x ~ ro I x ~ ro 4x + 12x + 9 XIII x ~ ro 4x + 12x 2 + 9 xl1! XIII +2 1 XIII 1 = Iim -4- = - Iim 2" = - (finito) con m = 2> 1 = 1 converge. x ~ ro 4x 4 x~ ro X 4 X2 1 1 1 bl V X E [- 2 00 ) f(x) " <- 4x 4 = - 4 - X2 = 4f(x) < - (m XIII = 2 > 1) = 1 converge. el Puesto que sería muy engorroso precisar todas las exigencias del criterio integral (f decrece a partir de x = ~ ), con las integrales que generalmente se estudian es suficiente un razonamiento análogo al siguiente (~ == tiene igual carácter que): f(x) es acotada y no negativa en [ - 2, 00 ), y necesariamente decrecerá en [b ~ O, w ) puesto que lim f(x) = O. En consecuencia: x -tCX) • Caso en el que la función subintegral ((x) no es acotada Consideremos la integral 12 = f: f(x) dx, siendo f(x) no acotada (supongamos en su extremo inferior x = a) y no negativa por lo repetidamente mencionado. Sin más consideraciones, únicamente apoyándonos en los resultados hasta aquí obtenidos y trasladándolos al criterio del límite, por ejemplo, el carácter de la integral 12 podrá extraerse del siguiente cuadro: Si lim f(x) = {k fin ito, siendo In < 1 : 2 es convergente 1 x --+a + 1 k =1= O (puede ser (0 ), con In ~ 1 : 12 diverge - - -- (x - a)" En el caso de que la singularidad tuviera lugar en el extremo superior b, el primer término de la anterior igualdad sería: lim [f(X) : x--+ b - 1 (b - x)" J. Si la función f(x) integrable en [a, b] no está definida en el punto C E [a, b] pero la disconti- nuidad en C es evitable, entonces (regla de Barrow generalizada) la correspondiente integral, denominada por tal motivo «seudoimpropia», es convergente con relación a dicho punto c. http://gratislibrospdf.com/
  31. 31. Integrales definidas simples 171.3. INTEGRALES EULERIANAS Estas integrales, llamadas también funciones eulerianas Gamma y Beta, aparecen muy frecuen- temente en todo tipo de cálculos, y su concurso da lugar a la resolución de numerosísimas inte- grales definidas. B(p, q) = J: XP- l (1 - X)q- l dx con p, q E R+ con pE R+ Con frecuencia, se las denomina asimismo, integrales eulerianas de primera y segunda espe- cie respectivamente. Convergencia y cálculo de la función euleriana r(p) Veamos en primer lugar, que esta integral converge Vp > O y diverge en los demás casos. Para ello, descomponemos rep) en dos integrales con una única singularidad (cuando p < 1, en x = O obviamente existe singularidad): No es difícil observar que la última integral (impropia por tener infinito su intervalo de integración) siempre converge (cualquiera que sea p). Comprobémoslo mediante el criterio del límite: 1 X",+p -l lim (XP-l e-X) : - = lim . = O (siempre) finito, con m = 2 > 1 x--+ w x11l x--+oo eX por lo que concierne a la singularidad debida a x = O, escribiremos: 1 1 x" lim (x p - e - X) : {e -X --t l = lim - - x-+O (X - O) " f x-+O X 1- p y como la convergencia se da cuando m < 1 y este límite finito (m ~ 1 - p), resultará para ello que: l-p ~ m<l ~ l-p<1 ~ p>O operando de forma análoga se probaría que, cuando p ~ O, la integral r(p) es divergente. Cálculo de r(p) Obtendremos su valor a partir de la función euleriana r(p + 1) e integrando por partes (recuér- dese que p > O) : http://gratislibrospdf.com/
  32. 32. 18 Cálculo integral y aplicaciones [(p + 1) = f oo xpe - Xdx{x~ = u ........ du = PXP~ldX} = - xpe-xJo oo + o e x dx = dv v= - e x Aplicando esta ley de reculTencia (para valores donde la función Gamma es convergente) e iniciándola con [(p) = (p - 1)[,(p - 1), escribiremos: [(p) = (p - 1)r(p - 1) , [(p - 1) = (p - 2)r(p - 2) [(p - 3) = (p - 3)[,(p - 3), ... que da lugar a la forma más conveniente: [(p) = (p - 1)r(p - 1) [(p) = (p - 1)(P - 2)[,(p - 2) [(p) = (p - 1)(P - 2)(P - 3)[,(p - 3) (4) de donde resulta finalmente la relación: [(p) = (p - 1) (p - 2) (p - 3) ... r1(r) , r(a elección) > O (5) Cuando p E N, Y puesto que [(1) = Loo e - xdx = 1, se tiene: [(p) = (p - 1)(P - 2)(P - 3) .. . 3·2·1 [(1) = (p - 1)1 lo cual justifica, aún cuando p no sea natural, que se escriba frecuentemente: y que sirve para generalizar el concepto «factorial de un número». Nótese asimismo que [(1) = 1 = (l - 1) 1 ~ 01 = 1. Cuando p if: N, el cálculo de [(p) suele llevarse a cabo mediante unas tablas (Figura 1.11), con las que, como se verá, pueden obtenerse muy aproximados todos los valores de [(p) con p E R +. Obsérvese que los valores de estas tablas son las ordenadas [(P), p E [1 , 2), de una pequeña porción de la curva representada en la Figura 1.12. http://gratislibrospdf.com/
  33. 33. Integrales definidas simples 19 I VALORES DE r(p), 1 :S P < 2 ~~-0----------2-----3------4-----5-----6-----7------8-----9~ 1,0 1 0,9943 0,9888 0,9835 0,9784 0,9735 0,9687 0,9642 0,9597 0,9555 1,1 0,9514 0,9474 0,9436 0,9399 0,9364 0,9330 0,9298 0,9267 0,9237 0,9209 1,2 0,9182 0,9156 0,9131 0,9108 0,9085 0,9064 0,9044 0,9025 0,9007 0,9990 1,3 0,8975 0,8960 0,8946 0,8934 0,8922 0,8912 0,8902 0,8893 0,8885 0,8879 1,4 0,8873 0,8868 0,8864 0,8860 0,8858 0,8857 0,8856 0,8856 0,8857 0,8859 1,5 0,8862 0,8866 0,8870 0,8876 0,8882 0,8889 0,8896 0,8905 0,8914 0,8924 1,6 0,8935 0,8947 0,8959 0,8972 0,8986 0,9001 0,9017 0,9033 0,9050 0,9068 1,7 0,9086 0,9106 0,9126 0,9147 0,9168 0,9191 0,9214 0,9238 0,9262 0,9288 1,8 0,9314 0,9341 0,9368 0,9397 0,9426 0,9456 0,9487 0,9518 0,9551 0,9584 1,9 0,9618 0,9652 0,9688 0,9724 0,9761 0,9799 0,9837 0,9877 0,9917 0,958 Figura 1.11 Consecuentemente, para calcular el valor r(p), se hará: Cuando p E N -> ro» = (p - 1)! r(p) si p E (O, 1) -> r(p + 1) (en tablas) = pr(p) { p t/= N {Si P > 1 -> se aplica (5) con r E O, 2) Y tablas Complementando lo expuesto con la siguiente fórmula, que aquí no demostraremos (métodode integración de los residuos): ti r(p) .ro - p) = -- , O<p < 1 (6) senpnen la mayoría de casos no se necesitará recurrir a las tablas. r (P) 11 V IV::) , , , , , , , , , ~~~~~~~~~-4--+-----~p { --4 -3 -2 -1 o 1 2 3 f f Figura 1.12 http://gratislibrospdf.com/
  34. 34. 20 Cálculo integral y aplicaciones La aplicación de (6) para p = ~ da lugar a [r(~) J = n, y puesto que r(p) es siem- pre positivo (xP- ¡ e - x> O, t:j x), resulta el valor r(~) = Jn, con el que se obtienen los r(~) para todo n E N. Ejemplo 9 Calcular el valor r(p) cuando a) p = 11, b) p = 0,32, e) p = 4,36, d) p = - . 2 RESOLUCiÓN (véanse previamente valores aprox imados en la Figura 1.12) al Para un valor de p relativamente grande, e l cálculo de r(p) será difícil. Si no se requiere exactitud, puede utili za rse la fórmula aproximada (Stirling) p! ~ j2;;;c .pI. e - P En este caso se tendrá: r(l l) = lO! = 3.628.800 (exactamente) , r(ll) ~ 3.598.696 (Stirling) 0,8946 bl r(0,32 < 1) : r(l ,32) = 0,32r(0,32) => r(0,32) = - - = 2,7956. 0,32 el r(4,36) = 3,36·2,36· 1,36· r(l,36) = 10,7842·0,8902 = 9,600l. dI r ( 2 {tablas} = 222 r (3) = 8. 0 ,8862 = 11 ,631375. 9) 7 5 3 2 105 9) r ( - {aplicando r(J /2) = 2 Jn} = -. -2 . -. -2 r (1) = -105 Jn = 6,5625· 1,7724 = 7 5 3 1 2 2 - 2 16 II ,631375 • Prolongación de la función Gamma En el caso de que p ~ O, la integral r(p) = LX) XP-l e - Xdx es, como se ha visto, divergente. No obstante, si r(p) se define exclusivamente a partir de la relación: r(p + 1) t:j P E R : r(p + 1) = pr(p) =*" r(p) = -- - (7) p habremos realizado una extrapolación de la función Gamma, dado que si p > O su valor coinci- de con el de la integral, y si p < O resulta un valor finito. Veámoslo calculando, por ejemplo r( - 5/2). http://gratislibrospdf.com/

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