Ipaee capitulo6

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E ANÁLISE
ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS

CAPÍTULO # 6

EXPERIMENTOS FATORIAIS

PROF. PEDRO FERREIRA FILHO
PROFa. ESTELA MARIS P. BERETA

1º SEMESTRE DE 2011

Capítulo 6 – Experimentos Fatoriais

6. EXPERIMENTOS FATORIAIS:

6.1. INTRODUÇÃO:
Um experimento é somente um teste ou uma serie de testes. Experimentos são feitos em todas
as disciplinas cientificas e de engenharia e são uma importante parte da maneira de aprendemos
sobre como sistemas e processos funcionam. A validade das conclusões que são retiradas de um
experimento depende, em grande extensão, de como o experimento foi conduzido.
Conseqüentemente, o planejamento do experimento desenvolve o papel principal na solução
futura do problema que inicialmente motivou tal experimento.
Neste capítulo, focamos os experimentos com dois ou mais fatores, os quais o profissional julga
serem importantes. O planejamento fatorial de experimentos será introduzido como uma técnica
poderosa para esse tipo de problema. Geralmente, em um planejamento fatorial de experimentos,
tentativas ou corridas experimentais são feitas em todas as combinações dos níveis dos fatores.
Por exemplo, se um engenheiro químico estiver interessado em investigar os efeitos do tempo de
reação e da temperatura de reação no rendimento de um processo, e se dois níveis do tempo (1h
e 1,5h) e dois níveis da temperatura (125°F e 150°F) forem considerados importantes, então um
planejamento fatorial consistiria em fazer as corridas experimentais em cada uma das quatro
combinações possíveis desses níveis de tempo e da temperatura de reação.
A maioria dos conceitos estatísticos introduzidos no Cap. 5 para experimentos com um único
fator pode ser estendida aos planejamentos fatoriais deste capítulo. A análise de variância, em
particular, continuará a ser usada como uma das ferramentas primárias para a análise estatística
de dados. Introduziremos também, vários métodos gráficos na analise de dados provenientes dos
experimentos planejados.
Um experimento fatorial pode ser conduzido tanto num experimento completamente
aleatorizado, quanto num experimento aleatorizado em blocos, ou ainda, em quadrado latino,
entre outros. A escolha de um destes experimentos deve ser feita em função das condições
experimentais, particularmente, das características das unidades experimentais.
Quando o número de fatores cresce, cresce o número de combinações entre os níveis dos
fatores dificultando, muitas vezes, a instalação do experimento. Um procedimento alternativo para
a resolução destas situações será apresentado no próximo capítulo.

Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos –1o Semestre de 2011 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 2


6.2. EXPERIMENTOS F ATORIAIS C OM FATORES C RUZAD OS:

Situação:
Os níveis de um fator são combinados com todos os níveis do outro (dos outros) fator(es).
Exemplo:
Fator A : Tempo de Reação  A1, A2, A3.
Fator B : Temperatura de Reação  B1, B2.

Fatores Cruzados:

Fator A A1 A2 A3

Fator B B1 B2

Tratamentos:
Combinações dos diferentes níveis dos fatores. 6 tratamentos: 3 x 2 = 6:
A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1 e A3B2.

Efeitos Fatoriais:
Consideremos a seguinte situação:
Fator 1: A1, A2.
Fator 2: B1, B2.

Resultados observados:

F2
F1 Total
B1 B2

A1 20 30 50
A2 40 52 92

Total 60 82 142



Questões:
1. Os fatores F1 e F2 apresentam efeito conjunto ou são “independentes”?
2. O Fator F1 apresenta efeito significativo?
3. O Fator F2 apresenta efeito significativo?
Solução:
Estudo dos efeitos do modelo:
 Efeito de Interação.
 Efeito Principal de F1 (1º Fator).
 Efeito Principal de F2 (2º Fator).

Efeitos Principais:
Efeito específico de cada fator, ou ainda, a alteração que ocorre na variável resposta a
partir da troca de níveis do fator.
No exemplo:
A = [(40+52)/2] – [(30+20)/2] = 21
B = [(30+52)/2] – [(40+20)/2] = 11
Interpretação:
 A mudança do nível A1 para o nível A2 do fator 1 produz um acréscimo de 21 unidades na
variável resposta.
 A mudança do nível B1 para o nível B2 do fator 2 produz um acréscimo de 11 unidades na
variável resposta.



Efeitos da Interação:

Alteração produzida na variável resposta a partir da mudança de níveis de um fator dentro
dos diferentes níveis do outro fator.

AB1   40  20  20 
AB2   52  30  22 
valores são próximos para cada fator
B A1   30  20  10 
B A2   52  40  12 


Interpretação:
O comportamento com um fator é praticamente o mesmo nos diferentes níveis do outro
fator, isto é: A(B1)= 20  22 = A(B2), por outro lado: B(A1)= 10  12 = B(A2).

Conclusão:

Neste caso, não existe interação  Um fator não influência nos resultados
obtidos pelo outro fator. O efeito principal de A é [(20+22)/2] = 21, desconsiderando
o fator B, e o efeito de B é [(10+12)/2]= 11, independente do efeito de A.

Graficamente:



Uma segunda situação:

F2
F1 Total
B1 B2

A1 20 40 60
A2 50 12 62

Total 70 52 122

Efeito Principal:

A = [(50+12)/2] – [(20+40)/2] = 1
B = [(40+12)/2] – [(50+20)/2] = -9

Efeito da Interação:

A (B1) = 50 – 20 = 30
A (B2) = 12 – 40 = -28
B (A1) = 40 – 20 = 20
B (A2) = 12 – 50 = -38

Interpretação:
O comportamento de um fator não é o mesmo para os diferentes níveis do outro fator.


Geometricamente:

Forma Padrão:

 Curvas paralelas  não existe interação.

 Curvas não paralelas  existe interação.

Importante:

Os gráficos de interação podem apresentar diferentes comportamentos. Em geral, quando
as retas são paralelas, não existe interação. Quando as retas se cruzam ou não são paralelas,
pode ser que exista interação. Tudo depende da magnitude da interação e do erro experimental.
Nem sempre retas cruzadas indicam interação.

Algumas possíveis situações para o caso de um fatorial 2 x 2:



Outra abordagem para o efeito de interação no caso de fatores quantitativos:

Sem efeito de Interação:



Com efeito de interação:

6.2.1. EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS:
TWOWAY

Exemplo:
Um agrônomo está interessado em investigar o efeito da adubação nitrogenada em dois
níveis (N0 e N1), e da adubação fosfatada, também em dois níveis (P1 e P2), numa determinada
cultura. Os resultados do experimento são apresentados na tabela abaixo:

Fosfato
Nitrogênio P0 P1

1.00 1.60 3.20 4.50
N0 1.20 1.30 5.60 5.50
1.30 -- 4.40 --

1.50 2.30 3.80 5.00
N1 1.10 1.40 6.00 6.20
1.60 -- 4.80 --



Questões:
a) O rendimento da cultura dado um nível de fosfato independe do nível de nitrogênio?
b) Existe efeito de nitrogênio e de fosfato no rendimento da cultura?

Do ponto de vista estatístico:

a) Existe interação entre os fatores?
b) Os efeitos principais são significativos?



C A S O G E R A L : D O I S F A T OR E S
Consideremos
Fator A  a níveis i = 1,..., a
Fator B  b níveis i = 1,..., b
nij = número de observações para cada nível i do fator A e j do fator B.

Caso Particular:
nij = n  ij  experimento balanceado
Dados:

Fator B
Fator A
1 2 … b
1 y111, y112,…,y11n y121, y122,…,y12n … y1b1, y1b2,…,y11n
2 Y211, y212,…,y21n Y221, y222,…,y22n … Y2b1, y2b2,…,y2bn
… … … … …
a Ya11, ya12,…,ya1n Ya21, ya22,…,ya2n … Yab1, yab2,…,yabn

Observação:
A estrutura é a mesma de um experimento com um fator aleatorizado em blocos. Porém,
temos objetivos e interpretações diferentes.

Efeitos:
Num experimento com dois fatores, podemos ter que cada um dos mesmos pode ser fixo
ou aleatório, podemos, portanto encontrar as seguintes situações:

Fator Efeito Efeito Efeito

A Fixo Aleatório Fixo Aleatório
B Fixo Aleatório Aleatório Fixo

Modelo I Modelo II Modelo III
Modelo
Efeitos Fixos Efeitos Aleatórios Efeitos Mistos

No caso específico de efeitos fixos, o experimento tem por objetivo a análise especifica dos
níveis dos fatores utilizados no experimento, ou seja, identificar dentre os níveis (ou combinações
dos níveis dos fatores), aquele que apresenta a melhor resposta na característica de interesse.



Modelo:

yijk =  + i +  j + ( )ij + ijk
sendo:
yijk= variável resposta de comparação;
 = efeito comum independente dos fatores;
i = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1,..., a
j = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1,..., b
()ij = efeito da ij-ésima interação: i = 1,..., a; j = 1,..., b
ijk = erro aleatório: i = 1,..., a; j = 1,..., b; k = 1, 2,..., n

Suposição:
2
ijk ~ N(0,  )

Modelo com blocos:

yijk =  + i +  j + ( )ij + K + ijk
sendo:
k = efeito do k-ésimo bloco. k: i = 1,..., k
Obs.: considerando-se uma observação por tratamento por bloco.

Hipóteses de Interesse:

Efeito de Interação:

 H o :  β ij  0  i, j
I) 
H 1 :  β ij  0 p/ pelo menos um i e j
Efeitos Principais:

H o :  i  0
 H 1 :  i  0 p/ pelo menos um i

II ) 
H :β  0
 o j
 H 1 : β i  0 p/ pelo menos um j




Procedimento para Análise

 Analisar inicialmente o efeito de interação do modelo:
 Significante: verificar o efeito de um fator dentro dos diferentes níveis do outro
fator. Efeitos principais devem ser desconsiderados.
 Não Significante: analisar os efeitos principais.

Análise da Variância: Considerando nij = n para todo i e j (experimentos balanceados).

Notação:
b n
y
y i..   y ijk  y i..  bn
i..

j1 k 1

a n y . j.
y . j.   y ijk  y . j. 
an
j1 k 1

n y ij.
y ij.   y ijk  y ij.  n
k 1
a b n
y
y ...   y ijk  y ...  abn
...

i1 j1 k 1

Partição Soma de Quadrados:

SQT = SQM + SQE = SQA + SQB + SQAB + SQE

Expressões:
a b n
SQT   y ijk  y ... 2
i1 j1 k 1

 bn  y i..  y ... 2  an y i.j.  y ... 2
   
a b a b n
+ n   yij  yi ..  y. j .  y...     yijk  yij . 2
2
i 1 j 1 i 1 j 1 k 1
Graus de Liberdade:


Componente GL

Total abn - 1
A a-1
B b-1
AB (a - 1)(b - 1)
Erro ab(n - 1)

Esperanças de Quadrados Médios:

bn a 2
E QMA  σ 2   i
a  1 i 1

an a 2
E QMB  σ 2   βi
b  1 j 1

 
a b
E QMAB  σ 2 
n
  βij
2
a  1b  1 i 1i 1
E QME  σ 2
Portanto, considerando-se o conjunto de hipóteses fixadas anteriormente, temos que, em
todos os casos, sob Ho, o quadrado médio do efeito é um estimador não viciado de 2 tal como o
quadrado médio do erro. Logo, todas as estatísticas de teste terão conseqüentemente no
denominador o QME, dado  ~ N (0, 2).

QMAB
FAB  ~ F( a 1 )( b 1 ),ab( n1 )
QME
QMA
FA  ~ F( a 1,ab( n 1 )
QME
QMB
FA  ~ Fb 1,ab( n 1 )
QME
Observação:
Expressões Simplificadas:
a 2 ni 2
y... 1 a 2
SQT    y 
y... y2
SQA   yi..  abn 1 b 2

2
ijk SQB  y. j ..  ...
i 1 j1 abn bn i 1 an j1 abn

1 a b y2
SQAB  
n i 1 j 1
yij .  ...  SQA  SQB
2

abn
SQE  SQT  SQA  SQB  SQAB



2
y..
Nota: é usualmente chamado de fator de correção (FC).
n

Tabela ANOVA
Fonte de Graus de Soma de Quadrados
E(QM)* F
Variação Liberdade Quadrados Médios

Modelo ab - 1 SQM SQM/ab - 1

SQA bn a 2 QMA
A a-1 SQA σ2   i
a-1 a  1 i 1 QME

SQB an a 2 QMB
B b-1 SQB σ2   βi
a-1 b  1 j 1 QME

 
SQAB n a b QMAB
  βij
2
AB (a - 1)(b - 1) SQAB σ2 
a - 1b  1 a  1b  1 i 1i 1 QME

SQE
Erro N-a SQE
abn - 1 σ2 -

Total N-1 SQT - - -

Estimação dos Parâmetros:

ˆ
μ  y ... ; ˆ  y i..  y ... ;
 ˆ
β j  y .j.  y ...

 ij  yij .  yi ..  y. j .  y...
ˆ

ˆ ijk  y ij.
y (valor predito para ijk-ésima das observações é a média das n observações nas

combinações i e j).

  
ˆ ijk  μ  ˆi  β j  ˆβij  y ...  y i..  y ...   y ij  y ...  y ij.  y i..  y . j.  y ...  y ij.
y ˆ  ˆ  



Adequabilidade do Modelo:

Problema: 
ε ijk ~ N 0, σ 2 
Procedimentos já vistos:
 Gráfico Normal Probabilístico (aleatoriedade);
 Gráfico de Resíduos x Predito (verificar a homocedasticidade);
 Gráfico de Resíduos x Fatores.

Comparações múltiplas:

Problema:
Quando rejeitado Ho, como identificar diferenças?

 Interação não significativa  não se rejeita Ho  β ij  0  ij

 Analisar cada um dos efeitos principais, considerando os procedimentos de um
experimento de 1 fator.

 Interação significativa  rejeita-se Ho  β ij  0

 alternativas:
 comparar as médias de um fator dentro dos níveis do outro fator;
 aplicar comparações múltiplas para as combinações dos tratamentos.

Retornando ao Exemplo:

Dependent Variable: Y Y

Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 3 61.10550000 20.36850000 37.98 < .0001

Error 16 8.58000000 0.53625000 - -

Corrected Total 19 69.68550000 - - -



R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean

0.876875 23.13715 0.732291 3.165000

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

Nitrogênio 1 0.84050000 0.84050000 1.57 0.2286

Fosfato 1 60.20450000 60.20450000 112.27 < .0001

Nitro*Fosfato 1 0.06050000 0.06050000 0.11 0.7413

Y
Level of Nitrogênio N
Mean Std Dev

1 10 2.96000000 1.89220624

2 10 3.37000000 2.01717624

Y
Level of Fosfato N
Mean Std Dev

1 10 1.43000000 0.36530049

2 10 4.90000000 0.95916630

Y
Level of Nitrogênio Level of Fosfato N
Mean Std Dev

1 1 5 1.28000000 0.21679483

1 2 5 4.64000000 0.97621719



Y
Level of Nitrogênio Level of Fosfato N
Mean Std Dev

2 1 5 1.58000000 0.44384682

2 2 5 5.16000000 0.97365292

6.2.2. EXPERIMENTOS FATORIAIS: CASO GERAL:

Situação:
O número de fatores a serem investigados no experimento é maior que 2. Todos estes
fatores são cruzados, isto é, os níveis de um fator “combinam” com os níveis de todos os demais
fatores. As diferentes combinações obtidas definem os “tratamentos” a serem aleatorizados às
unidades experimentais. O número de tratamentos é dado pelo produto do número de níveis de
cada fator.
No caso de experimentos completamente aleatorizados, cada unidade experimental
receberá aleatoriamente um dos “tratamentos” acima, enquanto que nos casos de experimentos
aleatorizados em blocos, a distribuição aleatória ocorre dentro de cada bloco.

Consideremos uma situação onde três fatores (A, B e C) estão presentes, com:
 A : 2 níveis = a1, a2;
 B : 3 níveis = b1, b2, b3;  Fatorial 2 x 3 x 2
 C : 2 níveis = c1, c2.

Fatores Cruzados  Tratamentos = 2 x 3 x 2 = 12
 a1b1c1, a1b1c2, a1b2c1, a1b2c2, a1b3c1, a1b3c2, a2b1c1, a2,b1c2, a2b2c1, a2b2c2,
a2b3c1 e a2b3c2.

Neste caso, os efeitos a serem estudados são:

 Efeitos Principais  A, B, C;
 Efeitos de interação de 2 fatores  AB, AC, BC;
 Efeito de interação de 3 fatores  ABC.



Numa situação geral, onde k fatores são investigados, teremos que:

k 
 
 j efeitos com a presença de j fatores.
 

No caso acima:

 3
 
 1  três efeitos principais (somente j=1 fator presente)  A, B, C;
 
 3
 
2  três efeitos com iteração de dois fatores (j=2)  AB, AC, BC;
 
 3
 
 3  um efeito com interação de todos fatores (j=k=3)  ABC.
 

Problema:
 À medida que cresce o número de fatores e o número de níveis por fator, podemos ter
dificuldade com relação ao número de unidades experimentais para se realizar o experimento.
 O número de fatores estudados em um único experimento deve ser o menor possível. É
desaconselhável, por exemplo, estudar cinco fatores ao mesmo tempo. Torna-se difícil
interpretar uma interação quíntupla (ABCDE) significante. Usualmente, como será visto mais à
frente, quando é necessária a utilização de experimentos com muitos fatores, as interações de
maior ordem são desconsideradas.

Alternativas:
 Fatoriais 2k e 3k;
 Fatoriais Fracionários;
 EVOP;
 Superfície de Resposta (Fatores Quantitativos).

Procedimento para análise

 Iniciar o teste dos efeitos sempre por eles, com a presença de um maior número de fatores
(interação de maior ordem):



 rejeição de Ho: não devem ser observados os efeitos com menor número de fatores;
 não-rejeição de Ho: testar efeitos com menor número de fatores.

ANOVA:
A análise de variância é feita de forma usual, com a devida partição da variabilidade total e
com as estatísticas F, tendo como denominador o QME.

Adequabilidade do Modelo, Comparações Múltiplas e Estimação dos Parâmetros:
Também seguem os procedimentos vistos para o caso de dois fatores (twoway).

Caso de Três Fatores: A, B e C

A = i i = 1,..., a (a níveis)

B = j j = 1,…, b (b níveis)

C = k k = 1,…, c (c níveis)
Modelo:

yijkl =  + i + j + ()ij + k + ()ik + ()jk + ()ijk + ijkl

onde:
yijk= variável resposta de comparação
 = efeito comum independente dos fatores
i = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1,..., a
j = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1,..., b
()ij = efeito da ij-ésima interação de AB: i = 1,..., a; j = 1,..., b
k = efeito principal do k-ésimo nível de C: k= 1,..., c
()ik = efeito da ik-ésima interação de AC: i = 1,...,a; k = 1,...,c
()jk = efeito da jk-ésima interação de BC: j = 1,...,b; k = 1,...,c
()ijk = efeito da ijk-ésima interação de ABC: i = 1,...,a; j = 1,...,b; k= 1,...,c
ijk = erro aleatório: i = 1,..., a; j = 1,..., b; k = 1,...,c; l = 1,...,n

Suposição:
2
ijk ~ N(0,  )


Modelo com blocos:

yijkl =  + l + i + j + ( )ij + k + ()ik + ()jk + ()ijk + ijkl

onde:
l = efeito do l-ésimo bloco k: i = 1,..., l
Obs: Considerando uma observação por tratamento por bloco.

Partição da Soma de Quadrados e Respectivas Expressões: Ver Montgomery (Cap. 13,
página 300-302).

Hipóteses de Interesse:

Efeito de Interação de Três Fatores:

H o :  β ijk  0  i, j, k
I) 
 H1 :  β ijk  0 p/ pelo menos um i, j e k

Efeito de Interação de Dois Fatores:

H o :  β ij  0  i, j
II .1) 
 H1 :  β ij  0 p/ pelo menos um i, j
H :   ik  0  i, k
II .2)  o
 H1 :   ik  0 p/ pelo menos um i, k H o : β jk  0  j, k
II .3) 
 H1 : β jk  0 p/ pelo menos um j e k

Efeitos Principais:

 Ho : i  0
 H1 :  i  0 p/ pelo menos um i

 Ho : β j  0
III ) 
 H1 : βi  0 p/ pelo menos um j
 Ho :  k  0

 H o :  k  0 p/ pelo menos um k



Tabela ANOVA
Fonte de Graus de Soma de Quadrados
E(QM)* F
Variação Liberdade Quadrados Médios
Modelo abc - 1 SQM SQM/ab - 1
SQA bcn a 2 QMA
A a-1 SQA σ2   i
a-1 a  1 i 1 QME
SQB acn a 2 QMB
B b-1 SQB σ2   βi
a-1 b  1 j 1 QME

 
SQAB cn a b QMAB
  βij
2
AB (a-1)(b-1) SQAB σ2 
a - 1b  1 a  1b  1 i 1i 1 QME
SQC abn c 2 QMC
C c-1 SQC σ2   k
a-1 c  1 k 1 QME
SQAC a c
   ik 
bn 2 QMAC
AC (a-1)(c-1) SQAC σ2 
a - 1c  1 a  1c  1 i 1k 1 QME

 
SQBC an b c QMBC
    jk
2
BC (b-1)(c-1) SQBC σ2 
b - 1c  1 b  1c  1 j 1 k 1 QME

 
SQABC n a b c QMABC
(a-1)(b-
   ijk
2
ABC SQABC σ2 
1)(c-1) a - 1b  1( c  1 ) a  1b  1c  1 i 1 j 1 k 1 QME
SQE
Erro abc(n-1) SQE σ2 -
abc n - 1
Total abcn - 1 SQT abcn - 1 - -

Exemplo:
Certa indústria química está estudando uma dada reação. Três fatores são considerados
importantes na composição desta reação: Temperatura, Concentração e Catalisador. Um
experimento fatorial, completamente aleatorizado com fatores cruzados, foi realizado para se
verificar o efeito destes fatores na qualidade final da reação. Em função de estudos anteriores, os
seguintes níveis dos fatores foram fixados: Temperatura 160ºC e 180ºC; Concentração 20% e
40%; Catalisador C1 e C2. O tempo de reação para duas reações de cada uma das combinações
dos níveis dos fatores foi observado e os resultados, obtidos. São apresentados na tabela abaixo.
Quanto menor o tempo de reação, melhor é a qualidade da reação.

Temperatura (ºC) Concentração (%) Catalisador Y
C1 59 61
20
160 C2 50 64
40 C1 50 58


C2 46 44
C1 74 70
20
C2 81 85
180
C1 69 67
40
C2 79 81

Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 7 2635.000000 376.428571 47.05 <.0001

Error 8 64.000000 8.000000 - -

Corrected Total 15 2699.000000 - - -

R-Square Coeff Var Root MSE y Mean

0.976288 4.402221 2.828427 64.25000

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

temp 1 2116.000000 2116.000000 264.50 <.0001

conc 1 100.000000 100.000000 12.50 0.0077

temp*conc 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198

cata 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198

temp*cata 1 400.000000 400.000000 50.00 0.0001

conc*cata 1 0.000000 0.000000 0.00 1.0000

temp*conc*cata 1 1.000000 1.000000 0.13 0.7328



INTERAÇÃO TEMP*CONC*CATA



temp Cata y LSMEAN LSMEAN Number

160 C1 57.0000000 1

160 C2 48.5000000 2

180 C1 70.0000000 3

180 C2 81.5000000 4

y
Level of conc N
Mean Std Dev

20 8 66.7500000 12.7363372

40 8 61.7500000 14.4593025


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