Hình học 12

CHUAÅN KIEÁN THÖÙC HÌNH HOÏC 12
Leâ Xuaân Hieáu – 0966004478. 27/2 Caùch Maïng, Pleiku, Gia Lai 1
CHÖÔNG I THEÅ TÍCH KHOÁI ÑA DIEÄN
Baøi 1. THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP
THEÅ TÍCH KHOÁI CHOÙP V =
1
3
Bh
BAØI TAÄP
TÍNH THEÅ TÍCH CAÙC KHOÁI CHOÙP SAU ÑAÂY
Baøi 1. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng, AB = a, SA  (ABCD),
SSAC = 2a2
Baøi 2. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät, AB = a, BC = 2a, SB 
(ABCD), SSBD = 5a2
Baøi 3. Hình choùp S.ABCD, ABCD laø hình thoi, AC = 2, BD = 6, SC
(ABCD), SSCD =25
Baøi 4. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình bình haønh, AB=6, BC=CA=5; SD
 (ABCD), SD = 3
Baøi 5. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D, AB = a,
CD = 3a, AD = a, SC  (ABCD), SSBC = 5a2
Baøi 6. ABCD laø töù dieän ñeàu coù caïnh baèng 4m
Baøi 7. S.ABC laø choùp tam giaùc ñeàu, caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân baèng 4a
Baøi 8. S.ABCD laø choùp töù giaùc ñeàu, caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân baèng 6a
BAØI 2. XAÙC ÑÒNH VAØ TÍNH ÑÖÔØNG CAO CUÛA HÌNH CHOÙP
TOÙM TAÉC LYÙ THUYEÁT
1. Ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi 2 ñöôøng thaúng caét nhau trong (P) thì d vuoâng
goùc vôùi (P)
 
d a (P)
d b (P) d (P)
a b O
  

   
  
www.VNMATH.com
ketnoitrithuc2013.blogspot.com - Chuyên: Chia sẻ kiến thức thi ĐH

2. Hai ñöôøng thaúng song song nhau, ñöôøng thöù nhaát vuoâng goùc vôùi mp( ) thì
ñöôøng thöù 2 vuoâng goùc mp ()
d
d d’
d ( )
d' ( )
d / /d'
  
  

3. Hai maët phaúng cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng thöù 3 thì giao tuyeán cuûa
chuùng vuoâng goùc mp thöù 3
( ) (P)
( ) (P) d (P)
( ) ( ) d
  

   
    
4. Hai mp vuoâng goùc nhau, trong mp thöù nhaát, ñöôøng thaúng naøo vuoâng goùc vôùi
giao tuyeán thì ñöôøng thaúng ñoù vuoâng goùc vôùi mp thöù 2
( ) ( )
( ) ( ) d a ( )
a ( ),a d
   

      
   
5. Tæ soá theå tích. Hình choùp SABC coù A’,B’,C’P laàn löôït thuoäc caïnh SA, SB, SC
Thì SA B C
SABC
V SA SB SC
. .
V SA SB SC
     

A
B
C
S
A'
B'
C'
H
S
C
B
A
A'
B'
C'H'
www.VNMATH.com

BAØI TAÄP
Baøi 1. Töù dieän ABCD coù DC  (ABC), ABC vuoâng caân taïi B, AC = 3 2 ,
dieän tích ADC baèng 6, I laø trung ñieåm DA.
a. Tính VABCD
b. Tính VIABC
c. Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp (BCD)
Baøi 2. Töù dieän ABCD coù AD  (BCD),  BCD ñeàu caïnh a. Bieát VABCD = 6a3
.
I laø trung ñieåm AB.
a. Tính VI.BCD
b. Tính khoaûng caùch töø B ñeán mp (ADC)
Baøi 3. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng, AB = a, SA  (ABCD),
VS.ABCD = 3a3
. I laø trung ñieåm SC
a. Tính VI.ABCD
b. Tính VI.OBC
c. Tính khoaûng caùch töø O ñeán mp (IBC)
Baøi 4. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät, AB = a, BC = 2a,
(SBC)  (ABCD), (SBA)  (ABCD), dieän tích  SAB baèng 2a2
. M, N laø trung
ñieåm SA, SD
a. Tính VS.ABD
b. Tính VS.BMN
Baøi 5. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng, AB = 4, (SCB) (ABCD),
(SAB)  (ABCD), dieän tích  SBC = 8. I, J laø trung ñieåm SA, SC
a. Tính VSABCD
b. Tính VI.BCD
c. Tính VSBIJ
Baøi 6. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình thoi, AC = 2BD = 4, (SCD)
(ABCD), (SCA) (ABCD), dieän tích SCD = 5.
a. Tính VS.ABCD
b. Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp (SCD)
c. Tính khoảng cách töø A ñeán mp(SBC)
Baøi 7. Töù dieän ABCD coù (ABC)  (CBD), BCD vaø ABC ñeàu caïnh BC =
2a, tính VABCD
Baøi 8. Töù dieän ABCD coù (ABD)  (ABC), ABC vuoâng taïi C, CA = 8, CB =
6, ABD ñeàu. Tính VABCD
www.VNMATH.com

Baøi 9. Hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät AB = 2, BC = 4, SA =
SB = 5, (SAB)  (ABCD), I laø trung ñieåm SD
a. Tính VSABCD
b. Tính VI.BCD
Baøi 10. Cho hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình thoi, AC = 2a = 2BD, SAC
ñeàu, SBD caân taïi S. Caùc ñieåm M, N, P laàn löôït thuoäc caïnh SA, SB, SC sao
cho SM = ½ SA, SN = BN, SP = ¼ SC.
a. Tính theå tích khoái choùp SABCD
b. Tính theå tích khoái choùp SMNP
Baøi 11. Cho hình choùp S.ABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät, AB = 3a; BC =
4a = SA = SC, SB= SD. Caùc ñieåm M, N, laàn löôït thuoäc caïnh SA, SB sao cho
SM = ½ SA, SN = 2BN,
b. Tính theå tích khoái choùp SMNC
Baøi 3. GOÙC
TOÙM TAÉC LYÙ THUYEÁT
1. Goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët (P) laø goùc giöõa d vaø hình chieáu d’ cuûa d
leân mp (P)
2. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng (d,d') (d,a) neáu a // d’
3. Goùc giöõa hai maët phaúng laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng cuøng vuoâng goùc
giao tuyeán taïi 1 ñieåm
4. Goùc giöõa hai maët phaúng laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng laàn löôït vuoâng goùc
vôùi hai maët phaúng ñoù
BAØI TAÄP
Baøi 1. Cho hình choùp SABC coù SA  (ABC),  ABC vuoâng taïi A, AB = 3, BC
= 5, dieän tích S  SAC = 6 (ñvdt)
a. Tính theå tích khoái choùp SABC
b. Tính goùc giöõa SB vaø mp (ABC)
c. Tính cosin cuûa goùc giöõa SC vaø mp (ABC)
Baøi 2. Cho hình choùp SABC coù (SAB)  (ABC), (SBC)  (ABC),  ABC
vuoâng taïi caân taïi A, AB = 1, goùc giöõa ñöôøng thaúng SC vaø mp(ABC) baøng 450
a. Tính theå tích hình choùp
b. Tính cosin cuûa goùc giöõa SA vaø mp(ABC)
www.VNMATH.com

Baøi 3. Cho töù dieän ABCD coù ABC ñeàu caïnh a, DBC vuoâng caân taïi D,
(DBC)  (ABC)
a. Tính theå tích töù dieän ABCD
b. Tính cosin cuûa goùc giöõa DB vaø mp(ABC)
Baøi 4. Cho hình choùp ñeàu S.ABC ( ABC ñeàu , SA = SB = SC ) AB = a, M, N
laàn löôït laø trung ñieåm SB, SC, SA =
2a 3
3
.
a. Tính theå tích khoái choùp SABC
b. Tính goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy
c. Tính theå tích khoái choùp SAMN
Baøi 5. Cho hình choùp S.ABCD coù (SAB)(ABCD), ABCD laø hình vuoâng caïnh
a, SAB ñeàu
a. Tính theå tích choùp S.ABCD
b. Tính goùc giöõa SA vaø BC
c. Tính goùc giöõa SD vaø (ABCD)
Baøi 6. Cho hình choùp SABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät, CB = 3, BD = 5,
(SBD)  (ABCD), goùc giöõa SC vaø AD baèng 600
, SD = SB
a. Tính theå tích hình choùp SABCD
b. Tính sin cuûa goùc giöõa SA vaø CD
Baøi 7. Cho hình choùp S.ABCD coù SA =SC, SD = SB, ABCD laø hình thoi, AC
= 8, BD = 6, goùc giöõa SB vaø AD baèng 600
b. Cosin cuûa goùc giöõa SA vaø CD
Baøi 8. Hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD, caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân baèng 6a
Theå tích khoái choùp
a. cosin cuûa goùc giöõa SD vaø AB
b. Tính goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy
Baøi 9. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù ñoä daøi caïnh ñaùy baèng a, caùc maët
beân taïo vôùi maët ñaùy goùc 60o
. Maët phaúng (P) chöùa AB vaø ñi qua troïng taâm cuûa
tam giaùc SAC caét SC, SD laàn löôït taïi M, N. Tính theå tích khoái choùp S.ABMN
theo a.
www.VNMATH.com

Baøi 4 . LAÊNG TRUÏ  HÌNH HOÄP
Theå tích khoái laêng truï, khoái hoäp. V = B.h
Laêng truï ñöùng. Caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy
Laêng truï ñeàu. Laêng truï ñöùng coù ñaùy laø ña giaùc ñeàu
Hình hoäp. Laêng truï coù ñaùy laø hình bình haønh
Hình hoäp chöõ nhaät. Laêng truï ñöùng coù ñaùy laø hình chöõ nhaät
Baøi 1. Hình laêng truï ñöùng ABC.A’B’C’ coù  ABC vuoâng taïi B, AC = 5, AB =
4, goùc giöõa A’B vaø maët ñaùy baèng 450
. Tính theå tích hình laêng truï.
Baøi 2. Hình laêng truï ñöùng ABC.A’B’C’ coù AB = 4, AC = 5, BAC= 1200
, goùc
giöõa B’C vaø maët ñaùy baèng 600
. Tính theå tích hình laêng truï.
Baøi 3. Hình laêng truï ñeàu ABC.A’B’C’ coù caïnh ñaùy baèng 2, dieän tích maët beân
baèng 8. Tính theå tích hình laêng truï.
Baøi 4. Hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù AB = a, BC = 2a, goùc giöõa
maët (A’BD) vaø (ABCD) baèng 300
. Tính theå tích hình hoäp.
Baøi 5. Hình laêng truï ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù ñaùy laø hình thoi, AB = 4, goùc
ADC= 600
, goùc giöõa AB’ vaø mp (ABCD) baèng 450
BAØI TAÄP LAØM THEÂM
Baøi 1. Cho hình laêng truï (khoâng… ñöùng) ABC.A’B’C’ coù 4 ñieåm A’, A, B, C
laäp thaønh moät töù dieän ñeàu caïnh a.
a. Tìm hình chieáu cuûa A’ leân mp (ABC)
b. Tính theå tích khoái laêng truï
c. Tính goùc giöõa 2 mp (A’BC) vaø (ABC)
Baøi 2. Hình laêng truï ABC.A’B’C’ coù hình chieáu cuûa A’ leân mp (ABC) laø trung
ñieåm M cuûa ñoaïn BC,  ABC ñeàu caïnh 3, CC’ = 6.
a. Tính theå tích khoái laêng truï
b. Veõ MK  AB taïi K, Chöùng minh AB  A’K
c. Tính goùc giöõa 2 mp (AA’B) vaø (ABC)
Baøi 3. Hình laêng truï ABC.A’B’C’ coù ABC vuoâng caân taïi A, AB = a. goùc
giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy baúng 600
. Tính theå tích laêng truï bieát hình chieáu cuûa
B’ leân maët phaúng (ABC) laø Troïng taâm G cuûa ABC
www.VNMATH.com

Baøi 4. Hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ coù ABCD laø hình chöõ nhaät, AB = 3, AD =
4. Goùc giöõa mp(ABB’A’) vaø (ABCD) baèng 450
; Goùc giöõa mp(ADD’A’) vaø
(ABCD) baèng 600
, AA’ = 7.
Tính theå tích hình hoäp.
Baøi 5. Hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ coù A’.ABCD laø hình choùp ñeàu AB = 2a ,
goùc giöõa AA’ vaø (ABCD) baèng 600
Baøi 6. Treân caïnh AD cuûa hình vuoâng ABCD coù ñoä daøi laø a, laáy ñieåm M sao
cho AM = x (0  x  a). Treân nöûa ñöôøng thaúng Ax vuoâng goùc vôùi maët phaúng
(ABCD) taïi ñieåm A, laáy ñieåm S sao cho SA = y (y > 0). Tính theå tích khoái
choùp S.ABCM theo a, y vaø x. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa theå tích khoái choùp
S.ABCM, bieát raèng x2
+ y2
= a2
.
Baøi 7. Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù caùc caïnh AB=AD = a, AA’ =
a 3
2
vaø goùc BAD = 600
. Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh
A’D’ vaø A’B’. Chöùng minh raèng AC’ vuoâng goùc vôùi maët phaúng (BDMN).
Tính theå tích khoái choùp A.BDMN
Baøi 8. Cho hình choùp S.ABC, ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B coù AB = a,
BC = a 3 , SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC), SA = 2a. Goïi M, N laàn löôït
laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm A treân caùc caïnh SB vaø SC. Tính theå tích
cuûa khoái choùp A.BCNM.
Baøi 9. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät; SA  (ABCD);
AB = SA = 1; AD 2 . Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø SC; I laø
giao ñieåm cuûa BM vaø AC. Tính theå tích khoái töù dieän ANIB.
Baøi 10. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø moät hình vuoâng taâm O. Caùc
maët beân (SAB) vaø (SAD) vuoâng goùc vôùi ñaùy (ABCD). Cho AB = a, SA =
a 2 . Goïi H, K laàn löôït laø hình chieáu cuûa A treân SB, SD .Tính theå tích khoái
choùp S.AHK
BAØI TAÄP KHOAÛNG CAÙCH
Baøi 1. Hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ coù AB = 6, AA’ = 4 vaø A’.ABD laø hình
choùp tam giaùc ñeàu
a. Tính theå tích hình hoäp
b. Tính khoaûng caùch töø B ñeán mp(A’B’C’)
c. Tính khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng A’B’ ñeán mp(ABCD)
www.VNMATH.com

Baøi 2. Hình hoäp ñöùng ABCD.A’B’C’D’(laêng truï ñöùng, ñaùy laø hình bình haønh)
coù AB = 2, BC= 4, goùc BCD = 300
, khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng A’D’
vaø BC baèng 5.
b. Tính khoaûng caùch d(D,BC)
c. Tính khoaûng caùch giöõa 2 mp (ABB’) vaø (DCC’)
Baøi 3. Hình hoäp ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù ñaùy laø hình thoi AC = 2BD = 4,
khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AB vaø C’D’ baèng 5.
b. Tính khoaûng caùch d(A,BC)
c. Tính khoaûng caùch d(A’D’, CC’)
Baøi 4. Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù AB = 3, AD = 4 goùc giöõa
ñöôøng thaúng DC’ vaø mp (ABCD) baèng 450
b. Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AB’ vaø CD
Baøi 5. Cho laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 coù AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5 vaø
o
BAC 120 . Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh CC1. Chöùng minh MB  MA1 vaø
tính khoaûng caùch d töø ñieåm A tôùi maët phaúng (A1BM).
Baøi 6. Cho hình choùp S.ABC coù goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ACB)
baèng 600
, ABC vaø SBC laø caùc tam giaùc ñeàu caïnh a. Tính khoaûng caùch töø B
ñeán mp(SAC).
Baøi 7. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ coù theå tích baèng 8a3
a. Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AB vaø A’D
b. Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(A’BC)
c. Tính theå tích hình choùp B.AA’D’
www.VNMATH.com

Chöông II
HÌNH CAÀU – HÌNH TRUÏ – HÌNH NOÙN
Baøi 1. HÌNH CAÀU
Dieän tích maët caàu S = 4 2
R
Theå tích khoái caàu V = 34
R
3

Baøi 1. Tìm taäp hôïp taâm caùc maët caàu ñi qua 2 ñieåm A, B phaân bieät cho tröôùc
Baøi 2. Tìm taäp hôïp taâm caùc maët caàu ñi qua 3 ñieåm A, B, C phaân bieät cho tröôùc
Baøi 3. Tìm taäp hôïp taâm caùc maët caàu ñi qua moät ñöôøng troøn cho tröôùc
Baøi 4. Cho hình choùp S.ABC coù  ABC vuoâng taïi A, AB = 3, CB = 5, SB 
(ABC), goùc giöõa SC vaø (ABC) baèng 450
.
a. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính hình caàu ngoaïi tieáp
b. Tính theå tích hình caàu ngoaïi tieáp hình choùp SABC
Baøi 5. Treân 3 tia Ox, Oy, Oz ñoâi moät vuoâng goùc nhau, laàn löôït laáy caùc ñieåm
A, B, C sao cho OA = 6, OB = 8, OC = 10
a. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính hình caàu ngoaïi tieáp töù dieän OABC
b. Tính dieän tích maët caàu ñoù
Baøi 6. Töù dieän ABCD coù BCD laø tam giaùc ñeàu caïnh a, AD  (BCD), goùc giöõa
(BCD) vaø (ABC) baèng 600
.
a. Tính AD
b. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính hình caàu ngoaïi tieáp ABCD
c. Tính theå tích hình caàu ñoù
Baøi 7. Tính theå tích maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ñeàu caïnh a
Baøi 8. Choùp tam giaùc ñeàu S.ABC coù AB = 3 3 , goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy
baèng 450
a. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính hình caàu ngoaïi tieáp hình choùp
b. Tính dieän tích maët caàu
Baøi 9. Choùp ABCD coù  ABC vuoâng taïi A, AC = 6, CB = 10 , (DBC) 
(ABC),  DCB caân taïi D, dieän tích  DCB baèng 10
a. Tính theå tích töù dieän
b. Xaùc ñònh taâm vaø tính theå tích hình caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD
www.VNMATH.com

Baøi 10. Choùp S.ABCD coù theå tích baèng 96 (ñvtt) SA  (ABCD), ABCD laø
hình chöõ nhaät, AB = 6, AD = 8. Tính theå tích hình caàu ngoaïi tieáp hình choùp
Baøi 11. Choùp S.ABCD coù ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SC  (ABCD), goùc
giöõa SA vaø maët ñaùy baèng 450
. Tính dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp hính choùp
Baøi 12. Choùp S.ABCD coù ABCD laø hình chöõ nhaät taâm O, AB = 3 , AD = 1,
SA = SB= SC = SD. VS.ABCD =
3
3
. Xaùc ñònh taâm vaø tính theå tích maët caàu
ngoaïi tieáp hình choùp
Baøi 13. Laêng truï ñeàu ABC.A’B’C’ coù caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân baèng 2a.
Tính dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp laêng truï
Baøi 14. Laêng truï ñeàu ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh ñaùy baèng a, caïnh beân baèng
4a. Tính dieän tích maët caàu ngoaïi tieáp laêng truï
Baøi 15. Hình hoäp chöõ nhaät coù 3 kích thöôùc 3, 4, 5. Tính theå tích hình caàu
ngoaïi tieáp
Baøi 16. Tính theå tích hình caàu ngoaïi tieáp hình laäp phöông coù caïnh baèng a
Baøi 17. Tính dieän tính maët caàu noäi tieáp hình laäp phöông coù caïnh baèng a
Baøi 2. HÌNH TRUÏ
O'
B'
O
A B
A'
Dieän tích xung quanh Sxq = 2R.h = 2 R.AA’
Theå tích V = R2
.h = R2
.AA’
Dieän tích hình troøn S = R2
; Chu vi ñöôøng troøn = 2 R
BAØI TAÄP
Baøi 1. Cho hình truï coù baùn kính R = 4, maët phaúng qua truïc cuûa hình truï caét
hình truï theo thieát dieän laø moät hình chöõ nhaät coù dieän tích baèng 24.
a. Tính theå tích khoái hình truï
b. Tính dieän tích xung quanh hình truï
c. Tính dieän tích toaøn phaàn hình truï
www.VNMATH.com

Baøi 2. Hình truï coù baùn kính R, maët phaúng qua truïc cuûa hình truï caét hình truï
theo thieát dieän laø moät hình vuoâng. Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình
truï theo R
Baøi 3. Cho hình truï (T) coù baùn kính R = 2, truïc OO’ baèng 4. Hình caàu (S) coù
ñöôøng kính OO’
a. Tính dieän tích xung quanh cuûa hình truï
b. Tính dieän tích maët caàu
c. So saùnh theå tích khoái truï (T) vaø khoái caàu (S)
Baøi 4. Moät hình truï coù baùn kính R vaø chieàu cao R 3
a. Tính dieän tích xung quanh vaø dieän tích toaøn phaàn hình truï
b. Tính theå tích khoái truï
c. Hai ñieåm A, B laàn löôït naèm treân hai ñöôøng troøn ñaùy sao cho goùc giöõa AB
vaø truïc cuûa hình truï baèng 300
. Tính khoaûng caùch giöõa AB vaø truïc cuûa hình truï
Baøi 5. Cho hình laêng truï töù giaùc ñeàu ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh ñaùy baèng a vaø
chieàu cao baèng 2a.
a. Tính dieän tích xung quanh hình truï ngoaïi tieáp laêng truï
b. Tính theå tích khoái truï noäi tieáp laêng truï
Baøi 6. Cho hình laêng truï töù giaùc ñeàu ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh ñaùy baèng a vaø
chieàu cao baèng 2a.
a. Tính dieän tích xung quanh hình truï ngoaïi tieáp laêng truï
b. Tính theå tích khoái truï noäi tieáp laêng truï
Baøi 7. Moät hình truï coù dieän tích xung quanh baèng 4 , thieát dieän qua truïc laø
hình vuoâng.
a. Tính dieän tích toaøn phaàn hình truï
b. Tính theå tích khoái truï
c. Tính theå tích khoái laêng truï töù giaùc ñeàu noäi tieáp trong hình truï
d. Tính theå tích khoái caàu ngoaïi tieáp hình truï
www.VNMATH.com

Baøi 3. HÌNH NOÙN
OA B
S
Dieän tích xung quanh.
Sxq = Rl (l: laø ñöôøng sinh, R baùn kính ñaùy, h chieàu cao)
Theå tích khoái noùn.
V = 21
R h
3

BAØI TAÄP
Baøi 1. Tính theå tích cuûa hình noùn trong caùc tröôøng hôïp sau
a. Ñöôøng sinh l = 3cm vaø goùc hôïp bôûi ñöôøng sinh vaø ñaùy laø 600
b. Baùn kính ñaùy r =4cm vaø goùc giöõa ñöôøng sinh vaø truïc cuûa hình noùn baèng 450
c. Thieát dieän qua truïc laø tam giaùc vuoâng caân coù dieän tích baèng 6 cm2
Baøi 2. Cho  ABC vuoâng taïi A, AB = 3, BC = 5.
Tính theå tích vaät theå sinh ra khi quay  ABC quanh ñöôøng thaúng AC
Baøi 3. Cho  ABC caân taïi A, AB = 4, 0
ABC 60 . H, M, N laàn löôït laø trung
ñieåm BC, AC, AB
a. Tính theå tích vaät theå sinh ra khi quay  ABC quanh ñöôøng thaúng AH
b. Tính theå tích vaät theå sinh ra khi quay hình thang MNCB quanh ñöôøng
thaúng AH
Baøi 1. Cho hình noùn ñænh S, vaø baùn kính ñaùy R, chieàu cao h = R. Maët phaúng
(P) di ñoäng, luoân qua S caét ñöôøng troøn ñaùy theo moät daây cung AB = a
(0 a 2R)
www.VNMATH.com

Baøi 2. Tính theo a, R dieän tích thieát dieän cuûa hình noùn vaø maët phaúng (P)
a. Xaùc ñònh a ñeå dieän tích ñoù lôùn nhaát
b. Khi a = 2R
6
3
, xaùc ñònh vaø tính goùc giöõa maët phaúng (P) vaø mp ñaùy
Baøi 3. Cho hình noùn coù ñænh S, ñaùy laø ñöôøng troøn taâm O, baùn kính R. Goùc giöõa
ñöôøng sinh vaø truïc baèng 300
. Maët phaúng (P) qua S hôïp vôùi ñaùy moät goùc  .
a. Hoûi  naèm trong giôùi haïn naøo thì maët phaúng (P) caét hình noùn ?
b. Khi (P) caét ñaùy theo moät daây AB. Tính theå tích töù dieän SOAB theo R vaø
. Ñònh  ñeå theå tích ñoù lôùn nhaát
Baøi 4. Cho hình noùn ñænh S, ñaùy laø ñöôøng troøn (C) coù baùn kính R, ñöôøng cao h
= 2R. Maët phaúng (P) song song vôùi ñaùy, caét hình noùn theo moät ñöôøng troøn
(C’). Tính theo R baùn kính cuûa (C’) neáu
a. Maët phaúng (P) chia hình noùn thaønh 2 phaàn coù theå tích baèng nhau
b. Maët phaúng (P) chia hình noùn thaønh 2 phaàn coù dieän tích xung quanh baèng nhau
OÂN TAÄP HÌNH HOÏC
Baøi 1. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a.
SA  (ABCD) vaø SA = a. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm AD, SC. Tính theå
tích töù dieän BDMN vaø khoaûng caùch töø D ñeán mp(BMN).
Baøi 2. Cho hình laêng truï ABC.A’B’C’ coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, hình
chieáu vuoâng goùc cuûa A’ leân maët phaúng (ABC) truøng vôùi taâm O cuûa tam giaùc
ABC. Moät maët phaúng (P) chöùa BC vaø vuoâng goùc vôùi AA’, caét laêng truï theo
moät thieát dieän coù dieän tích baèng
2
a 3
8
. Tính theå tích khoái laêng truï
ABC.A’B’C’.
Baøi 3. Tính theå tích cuûa hình choùp S.ABC, bieát ñaùy ABC laø moät tam giaùc ñeàu
caïnh a, maët beân (SAB) vuoâng goùc vôùi ñaùy, hai maët beân coøn laïi cuøng taïo vôùi
ñaùy goùc .
Baøi 4. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a, 0
BAD 60 ,
SA vuoâng goùc maët phaúng (ABCD), SA = a. Goïi C laø trung ñieåm cuûa SC. Maët
phaúng (P) ñi qua AC vaø song vôùi BD, caét caùc caïnh SB, SD cuûa hình choùp laàn
löôït taïi B, D. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD.
www.VNMATH.com

Baøi 5. Cho hình hoäp ABCD.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng, AB = AA
= 2a. Hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân maët phaúng ñaùy truøng vôùi taâm cuûa ñaùy.
M laø trung ñieåm cuûa BC. Tính theå tích hình hoäp vaø cosin cuûa goùc giöõa hai
ñöôøng thaúng AM vaø AC
Baøi 6. Cho laêng truï ABC.A'B'C' coù A.ABC laø hình choùp tam giaùc ñeàu caïnh
ñaùy AB = a, caïnh beân AA = b. Goïi  laø goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø
(ABC). Tính tan vaø theå tích cuûa khoái choùp A.BBCC.
Baøi 7. Cho khoái choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät, vôùi AB = 2AD
= 2a, saïnh SA vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD), caïnh SC taïo vôùi maët ñaùy
(ABCD) moät goùc 0
45 . Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc SAB, maët phaúng
(GCD) caét SA, SB laàn löôït taïi P vaø Q. Tính theå tích khoái choùp S.PQCD theo a.
Baøi 8. Cho hình choùp luïc giaùc ñeàu S.ABCDEF vôùi SA = a, AB = b. Tính theå
tích cuûa hình choùp ñoù vaø khoaûng caùch giöõa caùc ñöôøng thaúng SA, BE.
Baøi 9. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy laø ABC vuoâng caân taïi A, AB = AC = a.
Maët beân SBC vuoâng goùc vôùi maët ñaùy, hai maët beân coøn laïi ñeàu hôïp vôùi maët
ñaùy caùc goùc 600
. Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABC.
www.VNMATH.com

Chöông III. PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
Baøi 1. TOÏA ÑOÄ CUÛA ÑIEÅM VAØ VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN
A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
1. Heä truïc toïa ñoä Oxyz: 3 truïc Ox , Oy, Oz ñoâi moät vuoâng goùc nhau
2. Ba vecto ñôn vò i (1;0;0)  Ox ; j (0;1;0)  Oy; k (0;0;1)  Oz
3. Ñieåm M(x0; y0 ;z0) 0 0 0x .i y .j z .k 0
M  Ox  M(x; 0; 0) M  Oy  M(0; y; 0) M  Oz  M(0; 0; z)
M  (Oxy)  M(x; y; 0) M  (Oyz)  M(0; y; z) M  (Oxz)  M(x; 0; z)
4. Hai ñieåm A(xA;yA; zA) , B(xB; yB; zB)
Vecto B A B A B AAB x x ;y y ;z z
Ñoä daøi
2 2 2
B A B A B AAB= AB x x y y z z
I laø trung ñieåm AB A B A B A Bx x y y z z
I ; ;
2 2 2
   
  
 
G laø troïng taâm ABC A B C A B C A B Cx x x y y y z z z
G ; ;
3 3 3
      
  
 
5. Cho 2 vecto a = (a1; a2; a3 ) ; b = (b1;b2; b3 )
2 2 2
1 2 3a a a a
a ± b = (a1± b1; a2± b2; a3± b3 )
1 2 3ka ka ;ka ;ka
1 1 2 2 3 3a.b a b a b a b
31 2
1 2 3
aa a
a / /b a kb
b b b
a.b
cos a,b
a b
1 1 2 2 3 3a b a.b 0 a b a b a b 0
www.VNMATH.com

1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
6. Tích coù höôùng cuûa 2 vecto a = (a1; a2; a3 ); b =(b1;b2; b3 )
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
a b a,b ; ; c
b b b b b b
Tính chaát.
c a
c b
a,b a . b .sin a,b
7. ÖÙng Duïng
a. Hai vecto u,v ñoàng phaúng u,v 0
b. Ba vecto u,v,w ñoàng phaúng u,v .w 0
c. Dieän tích tam giaùc ABC. SABC =
1
AB,AC
2
d. Theå tích töù dieän ABCD. VABCD =
1
AB,AC .AD
6
e. Theå tích hình hoäp ABCD.A’B’C’D’. VABCD.A’B’C’D’ = AB,AD .AA'
B. BAØI TAÄP
Baøi 1. Hai vectô baèng nhau
1. Cho tam giaùc ABC coù trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, AC vaø BC laàn löôït laø
M(1, 4, 3); N(2, 1, 0) vaø P(1, 1, 5). Tìm toïa ñoä cuûa caùc ñænh ABC.
2. Cho hình bình haønh ABCD vôùi A(2, 1, 1); B(4, 1, 3) vaø C(2, 3, 1). Tìm
toïa ñoä ñieåm D vaø toïa ñoä taâm cuûa hình bình haønh.
3. Cho hai ñieåm M(1, 2, 3) vaø N(4, 5, 6) chia ñoaïn AB thaønh ba phaàn baèng
nhau. Tìm toïa ñoä hai ñieåm A, B.
5. Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ bieát A’(1, 0, 1); B(2, 1, 2); D(1, 1, 1) vaø
C’(4, 5, 5). Tìm toïa ñoä caùc ñænh coøn laïi.
www.VNMATH.com

Baøi 2. Tìm toïa ñoä ñieåm vaø vectô
Cho vectô a = (1,2,3); b = (1,4,2) vaø c = (5,2,1). Tìm toïa ñoä cuûa vectô
a. m = 2 a + 3 b  5 c b. n = a + 24 b + 14 c
Baøi 3. Hai vectô cuøng phöông
1. Cho a = (2, m, 5) vaø b = (1, 2, n). Tìm m vaø n ñeå hai vectô cuøng phöông.
2. Xeùt tính thaúng haøng cuûa ba ñieåm A,B, C bieát raèng:
a. A(1, 3, 1); B(0, 1, 2) vaø C(0, 0, 1).
b. A(1, 1, 1); B(4, 3, 1) vaø C(9, 5, 1).
3. Cho ba ñieåm A(4, 3, 2); B(2, m, 3) vaø C(n, 4, 2).
a. Tìm m vaø n ñeå ba ñieåm A, B, C thaúng haøng.
b. Tìm giao ñieåm giöõa AB vôùi caùc maët phaúng toïa ñoä.
4. Cho hai ñieåm A(1, 3, 0); B(2, 1, 0). Tìm giao ñieåm cuûa AB vôùi truïc Ox, Oy
5. Tìm b cuøng phöông a = (2 2 , 1, 4) bieát | b | = 10.
Baøi 4. Tích voâ höôùng
1. Cho ba vectô a = (1, 1, 1); b = (4, 0, 1); c = (3, 2, 1). Tìm:
a. ( a . b ) c
b. a 2
b + b 2
c + c 2
a
2. Cho a = (3, 2, 4); b = (5, 1, 6) vaø c = (3, 0, 2). Tìm x sao cho a .x = 4;
b . x = 35 vaø c . x = 0
3. Tìm x cuøng phöông vôùi a = (2, 1, 1) bieát a .x = 3.
4. Cho a = (3m, 2m + 1, 5m  1). Tìm m ñeå:
a. a vuoâng goùc truïc Ox b. a vuoâng goùc truïc Oy
5. Cho A(2, 1, 3) vaø B(2, 1, 4).
a. Tìm M treân Ox sao cho tam giaùc MAB vuoâng taïi M.
b. Tìm N treân Oy sao cho tam giaùc NAB vuoâng taïi A.
Baøi 5. Goùc giöõa hai vectô
1. Tính goùc cuûa hai vectô trong moãi tröôøng hôïp sau:
a. a = (2, 1, 2); b = (0, 2 , 2 ) c. a = (2, 5, 0); b = (3, 7, 0)
b. a = (6, 0, 8); b = (12, 0, 9) d. a = (2, 0, 6); b = (3, 0, 9)
2. Tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC bieát A(3, 1, 0); B(2, 1, 1) vaø C(3, 2, –1)
www.VNMATH.com

Baøi 6. Tích höõu höôùng cuûa hai vectô vaø öùng duïng
1. Tìm vectô tích höõu höôùng cuûa caùc caëp vectô sau
a.a = (2, 1, 2); b = (0, 1, 5) b. a = (4, 6, 8); b = (1, 7, 2)
c. a = (3, 1, 6); b = (4, 2, 8) d. a = (4, 3, 6); b = (5, 2, 8)
2. Cho tam giaùc bieát A(2, 1, 3); B(3, 2, 2) vaø C(4, 0, 1)
a. Tìm dieän tích tam giaùc ABC. b. Tính ñoä daøi ñöôøng cao AH veõ töø A
3. Xeùt söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô trong moãi tröôøng hôïp sau:
a. a = (1, 1, 1) b = (0, 1, 2) c = (4, 2, 3)
b. a = (4, 3, 4) b = (2, 1, 2) c = (1, 2, 1)
c. a = (4, 2, 5) b = (3, 1, 3) c = (2, 0, 1)
4. Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ coù A(1,0,1); B’(2,1,2); D’(1,1,1);
C(4,5,5). Tính theå tích hình hoäp treân.
Baøi 7. Bài tập làm thêm
1. Cho a = (2, 1, 1); b = (1, 3, 2). Goïi v = m a  3 b vaøw = 3a + 2m b .
Ñònh m ñeå
a. v vaø w vuoâng goùc b. v vaø w cuøng phöông
2. Cho A(2, 3, 2); B(2, 3, 0); C(3, 0, 1); D(4, 6, 3). CMR ABCD laø töù
giaùc coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc nhau, tính dieän tích töù giaùc ABCD.
3. Cho ba ñieåm A(1, 0, 0); B(0, 0, 1); C(2, 1, 1)
a. Chöùng minh raèng A, B, C laø ba ñænh cuûa moät tam giaùc
b. Tính chu vi vaø dieän tích tam giaùc ABC
c. Tìm chaân ñöôøng cao H haï töø A cuûa tam giaùc ABC
d. Tìm toïa ñoä đñiểm D ñể töù giaùc ABCD laø hình bình haønh
e. Tính ñoä daøi ñöôøng cao cuûa tam giaùc ABC haï töø ñænh A.
4. Cho boán ñieåm A(1, 0, 0); B(0, 1, 0); C(0, 0, 1); D(2, 1, 1)
a. Chöùng minh raèng A, B, C, D laø boán ñænh cuûa moät töù dieän.
b. Tính theå tích töù dieän ABCD vaø tính ñoä daøi ñöôøng cao cuûa töù dieän haï töø A
5. Cho boán ñieåm A(1, 5, 10); B(5, 7, 8); C(2, 2, 7); D(5, 4, 2)
a. Chöùng minh raèng A, B, C, D cuøng naèm treân moät maët phaúng.
b. Tính dieän tích cuûa töù giaùc ABCD.
6. Cho boán ñieåm S(1, 2, 3); A(2, 2, 3); B(1, 3, 3); C(1, 2, 4)
a. Chöùng minh raèng SABC laø moät töù dieän.
www.VNMATH.com

b. Chöùng minh raèng SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB).
Baøi 2. MAËT CAÀU
TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
Maët caàu taâm I(a; b; c) baùn kính R > 0 laø taäp hôïp nhöõng ñieåm M(x; y; z)
caùch ñieåm I moät khoaûng R
Phöông trình : (xa)2
+ (yb)2
+(zc)2
= R2
hoaëc x2
+y2
+z2
2ax2by2cz+d = 0
Vôùi ñieàu kieän. a2
+ b2
+ c2
 d > 0, R= 2 2 2
a b c d  
1. Xaùc ñònh toaï ñoä taâm vaø tính baùn kính cuûa caùc maët caàu sau
a. (x – 2 )2
+ (y + 1)2
+ (z- 3)2
= 25 b. x2
+ (y – 1)2
+ ( z + 2)2
= 4
c. (x – 3 )2
+ (y + 1)2
+ z2
= 25 d. 2 2 2
x y z 6x 4y 2z 22 0      
e. 2 2 2
x y z 6x 0    f. 6 x 5 3 x 2        
g. 2 2 2
3x 3y 3z 6x 3y 15z 2 0      
2. Ñònh m ñeå caùc phöông trình sau laø phöông trình maët caàu
a. x2
+ y2
+ z2
+ 2mx  2my + 2(2m + 1)z 1 = 0
b. x2
+ y2
+ z2
+ 4mx – 2(m – 1)y – 4(m + 1)z 5 = 0
3. Vieát phöông trình maët caàu bieát raèng
a. Coù taâm I (3, 4, 5) vaø r = 3
b. Coù taâm I (1, 2, 3) vaø r = 2
c. Coù taâm J (0, 4, 1) vaø ñi qua ñieåm B(1, 2, 1)
d. Coù taâm I (3, 4, 5) vaø ñi qua ñieåm A(1, 2, 1)
e. Ñöôøng kính AB vôùi A (1, 3, 0) vaø B(5, 3, 4)
f. Ñöôøng kính MN vôùi M (0, 4, 1) vaø B(6, 2, 1)
g. c ể (0; 2; 0), B(1; 1; 0), C(2; 5; 3), D(−2; 2; )
h. c ng h nh ch BCD (2; 1; 1), B(−1;− ;3), C(1; 2; 0),
D(2; −1; 3)
Baøi 3. MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN
A. TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
1. Vectô phaùp tuyeán (VTPT ) cuûa maët phaúng (P) laø n (P), n 0
2. Vectô chæ phöông (VTCP) cuûa maët phaúng (P) laø u / /(P), u 0
www.VNMATH.com

3. Neáu maët phaúng (P) coù 2 VTCP u,v thì (P) coù VTPT laø n u,v
4. Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P): ax + by + cz + d = 0
Trong ñoù vectô phaùp tuyeán laø n =(a;b;c)
5. Maët phaúng (P) qua ñieåm M(x0; y0; z0 ), (P) coù VTPT n =(a;b;c)  phöông
trình toång quaùt (P): a(x  x0) + b(y  y0) + c(z  z0) = 0
6. Chuøm maët phaúng : neáu maët phaúng (P) chöùa ( ñi qua) giao tuyeán cuûa hai maët
phaúng (Q): ax + by + cz + d = 0 ; (R ): a’x + b’y + c’z + d’ = 0 thì phöông trình
(P): m(ax + by + cz + d) + n(a’x + b’y + c’z + d’ ) = 0 ( 2 2
m n 0)
7. Phöông trình ñoaïn chaén. Neáu maët phaúng (P) caét 3 truïc toïa ñoä laàn löôït taïi
A(a; 0;0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c  0)  phöông trình (P):
x y z
1
a b c
  
B. BAØI TAÄP
Baøi 1. Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (caên baûn)
1. Tìm pt toång quaùt cuûa maët phaúng (P) qua A vaø coù vectô phaùp tuyeán n vôùi
a. A(3, 4, 5); n = (1, 2, 3) b. A(2, 3, 0); n = (2, 3, 4).
c. A(0, -5, 1); n = (2, 3, 0) d. A(3, 0, 6); n = (1, 5, 3)
2. Tìm phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng (P) qua A vaø coù caëp vectô chæ
phöông a vaø b
a. A(2, 0, 1); a = (2, 2, 0); b = (4, 1, 3)
b. A(2, 2, 1); a = (1, 2, 4); b = (2, 1, 0)
c. A(2, 3, 4); a = (2, 1, 1); b = (1, 1, 1)
3. Laäp phöông trình maët phaúng Oxy
4. Laäp phöông trình maët phaúng Oxz
5. Laäp phöông trình maët phaúng Oyz
6. Laäp phöông trình toång quaùt maët phaúng (P) bieátt raèng:
a. (P) qua N(1, 4, 3) vaø vaø vuoâng goùc vôùi n = (1, 2, 3).
b. (P) qua E(5, 4, 2) vaø vuoâng goùc vôùi truïc Oz.
c. (P) qua A(3, 6, 1) vaø vuoâng goùc ñt BC bieát B(0, 1, 2); C(3, 5, 0).
d. (P) qua ñieåm B(1, 1, 2) vaø song song vôùi mp ( ): x + 3y  2z + 1 = 0.
e. (P) qua ñieåm M(2, 3, 1) vaø song song vôùi maët phaúng (Oxz).
f. (P) laø mp trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB vôùi A(3, 2, 1) vaø B(5, 0, 3).
www.VNMATH.com

g. (P) qua ba ñieåm A(2, 3, 5);B(1, 2, 1); C(1, 3, 2).
h. (P) qua 2 ñieåm A(1,2, 2), B(3, 1,2) vaø vuoâng goùc mp( ): 2x + y+6=0
i. (P) qua A(3, 2, 4) vaø chöùa truïc Oy.
j. (P) qua A(1, 2, 3); ñồng thôøi vuoâng goùc vôùi hai mp( ): x  2z + 1 = 0 vaø
( ): x + y  z + 1 = 0
Baøi 2. PHÖÔNG TRÌNH CHUØM MAËT PHAÚNG
1. Laäp phương trình maët phaúng (P) qua A(3, 4, 1) vaø chöùa giao tuyeán cuûa 2
maët phaúng (Q): x – y – 4z + 27 = 0 vaø (R): 2x – y + 3z + 11 = 0.
2. Cho ba maët phaúng ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) laàn löôït coù phöông trình: ( 1 ): 2x – y +
z + 1 = 0; ( 2 ):x + 3y – z + 2 = 0; ( 3 ): -2x + 2y + 3z + 3 = 0. Vieát phöông
trình maët phaúng (P) qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng ( 1 ) vaø ( 2 ); ñoàng
thôøi thoûa ñieàu kieän sau
a. Qua M(1, 2, 1)
b. Song song vôùi truïc Oz.
c. Vuoâng goùc maët phaúng ( 3 )
3. Vieát phöông trình cuûa maët phaúng trong moãi tröôøng hôïp sau:
a. Qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng y + 2z – 4 = 0 vaø x + y – z – 3 = 0;
ñoàng thôøi song song vôùi maët phaúng x + y + z – 3 = 0.
b. Qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng 3x + z – 2 = 0 vaø x + 4y – 5 = 0;
ñoàng thôøi vuoâng goùc vôùi maët phaúng 2x – y+ z + 7 = 0.
Baøi 3. PHÖÔNG TRÌNH ÑOAÏN CHAÉN
Laäp phöông trình maët phaúng trong caùc tröôøng hôïp sau
a. (P) qua 3 ñieåm A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,1)
b. (P) qua 3 ñieåm A(4,0,0), B(0,1,0), C(0,0,5)
c. (P) qua 3 ñieåm M(7,0,0), N(0,0,2), E(0,4,0)
d. (P) qua M(4, 1, 2), (P) caét Ox, Oy, Oz taïi A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c);
bieát a, b, c > 0 vaø theå tích töù dieän OABC nhoû nhaát. Tìm phöông trình mp(P)
www.VNMATH.com

Baøi 4. ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN
A. TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
1. Vectô phaùp tuyeán (VTPT ) cuûa ñöôøng thaúng (d) laø n (d), n 0
2. Vectô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng (d) laø u / /(d), u 0
3. Neáu ñöôøng thaúng (d) coù 2 VTPT 1 2n ,n thì (d) coù VTCP laø 1 2u n ,n
1n 2n
d u
4. Ñöôøng thaúng d coù VTCP u =(a; b ; c), d ñi qua ñieåm M(x0; y0; z0)
Phöông trình tham soá d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
  

 
  
tham soá t  R
Phöông trình chính taéc d: 0 0 0x x y y z z
a b c
  
  ( a, b, c  0)
5. Neáu ñöôøng thaúng d laø giao tuyeán cuûa 2 maët phaúng
(Q): ax + by + cz + d = 0 ; (R ): a’x + b’y + c’z + d’ = 0 thì phöông trình
toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng d laø :
(Q): ax by cz d 0
(P): a x b y c z d 0
    

      
Khi ñoù d coù VTCP laø Q Ru n ,n
B. BAØI TAÄP
PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG DAÏNG CƠ BAÛN
1. Vieát phöông trình tham soá vaø chính taéc cuûa ñöôøng thaúng d qua A vaø coù
vectô chæ phöông a trong moãi tröôøng hôïp sau:
a. A(3, 4, 5); a = (1, 1, 3) b. A(2, 3, 7); a = (2, 3, 5)
c. A(4, 5, 1); a = (4, 3, 0) d. A(3, 4, 6); a = (1, 6, 2)
2. Vieát phöông trình tham soá vaø chính taéc cuûa ñöôøng thaúng d qua A vaø coù caëp
vectô phaùp tuyeán 1n , 2n trong moãi tröôøng hôïp sau:
a. A(2, 0, 1); 1n = (2, 2, 3); 2n = (4, 1, 3).
www.VNMATH.com

b. A(2, 2, 1); 1n = (1, 2, 4); 2n = (2, 1, 5).
c. A(2, 3, 4); 1n = (2, 6, 8); 2n = (1, 1, 1).
3. Vi t pt tham số ường thẳng (trục) Ox
4. Vi t pt tham số ường thẳng (trục) Oy
5. Vi t pt tham số ường thẳng (trục) Oz
6. Vieát phöông trình tham soá vaø chính taéc cuûa ñöôøng thaúng d bieát:
a. d qua A(7, 2, 3) vaø cuøng phöông a = (2, 3, 4).
b. d qua A(4, 3, 2) vaø vuoâng goùc vôùi caëp vectô a = (7,2, 1) vaø b = (2, 4, 6)
c. d qua 2 ñieåm A(2, 9, 3) vaø B(1, 0, 1)
d. d qua A(4, 4, 1) vaø song song vôùi ñöôøng thaúng 1
x 3 4t
( ): y 1 2t
z 2 7t
  

  
  
e. d qua A(2, 2, 0) vaø vuoâng goùc maët phaúng (P): 3x  y + z – 2 = 0.
f. d qua A(0, 2, 1); vuoâng goùc vôùi 2 ñöôøng thaúng 1
x 3 4t
( ): y 1 2t
z 2 7t
  

  
  
vaø
2
x 2 y 1 3 z
( ):
3 2 4
  
  

g. d qua A(1, 7, 2) vaø song song vôùi 2 maët phaúng (P): 3x  y + z – 2 = 0 vaø
(Q): x  y +10 = 0
h. d qua A(4, 5, 6); song song maët phaúng (P): x + 2y  3z + 11 = 0 vaø vuoâng
goùc vôùi ñöôøng thaúng
x 3t
( ): y 2 t
z 4 t
 

  
  
.
7. Vieát phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng d bieát
a. d laø giao tuyeán cuûa ( 1 ): x – 2y + z + 5 = 0 vaø ( 2 ): 4x + y – z + 7 = 0
b. d chöùa trong 2 maët phaúng (P): x  4y  6z +3 = 0 vaø maët phaúng (Oyz)
9. Vieát phöông trình tham soá vaø chính taéc cuûa ñöôøng thaúng d bieát:
a. d coù phöông trình toång quaùt laø
2x y 3z 0
3x 4y 2z 5 0
   

   
www.VNMATH.com

b. d qua M(1, 1, 2) vaø song song vôùi ñöôøng thaúng ( ):
3x y 2z 7 0
x 3y 2z 3 0
    

   
c. d qua A(-1, -3, -4) vaø coù phöông song song vôùi giao tuyeán cuûa hai maët
phaúng ( 1 ): x + y + z + 1 = 0; ( 2 ): x +3y – 2z + 12 = 0.
www.VNMATH.com

TOÅNG HÔÏP PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG VAØ ÑÖÔØNG THAÚNG
1. Lập phương trình mp (P) chöùa ñieåm M(3,1,0) vaø ñöôøng thaúng
d:
x 1 y 2 z 2
3 2 2
  
 

(CÑ CÑ HAÛI PHOØNG 2006)
2. Vieát phöông trình maët phaúng ñi qua hai ñieåm M(4, 5, 2); N(3, 3, 1) vaø
song song vôùi truïc Oy.
3. Laäp phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng
x 4 t
(d): y 1 5t
z 7t
  

 
 
vaø vuoâng
goùc vôùi maët phaúng (P): x 2y z 5 0   
4. Cho 3 ñieåm A(1, 3, 2); B(1, 2, 1); C(1, 1, 3). Haõy vieát phöông trình tham soá
cuûa ñöôøng thaúng ( ) ñi qua troïng taâm tam giaùc ABC vaø vuoâng goùc vôùi maët
phaúng chöùa tam giaùc.
5. Vieát phöông trình maët phaúng qua A vaø chöùa ñöôøng thaúng d bieát raèng:
a. A(1, -2, 3) vaø
x 4 t
(d): y 1 5t
z 7t
  

 
 
.
b. A(2, 3, 6) vaø
x t
(d): y 3 3t
z 2 t
 

 
  
6. Cho hai ñöôøng thaúng 1
x 1
(d ): y 2 t
z 3 t
 

 
  
vaø 2
x 2 t
(d ): y 1 2t
z 3 3t
  

  
  
.
Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa (d1) vaø song song (d2).
1. Cho 3 ñieåm A(5; 4; 3) , B(1; 2; 3), C(2; 3 4)
a. laäp phöông trình maët phaúng (ABC)
b. Laäp phöông trình ñöôøng cao AH cuûa ABC
c. Laäp phöông trình ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn AB naèm trong mp(ABC)
www.VNMATH.com

2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua A vuoâng goùc d vaø naèm trong (P)
a. Cho maët phaúng (P): 2x + y + z – 1 = 0 ; (d):
x 1 y z 2
2 1 3
 
 

. Vieát
phöông trình ñöôøng thaúng qua A(0, 2, –1); vuoâng goùc vôùi d vaø naèm trong (P).
b. Cho maët phaúng (P): x + y + z = 0 vaø ñöôøng thaúng x 2y 3 0(d):
3x 2z 7 0
  
  
.
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñieåm qua A(1, 0, –1); vuoâng goùc d vaø naèm
trong (P).
c. Cho ñöôøng thaúng (d):
x 2z 3 0
y 2z 0
   

 
vaø (P): x + 3y – z + 4 = 0. Vieát
phöông trình ñöôøng thaúng (  ) ñi qua giao ñieåm của d vaø (P), ( ) vuoâng goùc
vôùi d vaø( ) naèm trong (P)
Baøi 5. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI
a. VTTÑ giöõa 2 mp (P): ax + by + cz + d = 0
(Q): a’x + b’y + c’z + d’ = 0
+
a b c d
(P) (Q)
a' b' c' d'
    
+
a b c d
(P) / /(Q)
a' b' c' d'
   
+
or
a b c
a' b' c'
   (P) caét (Q)
b. VTTÑ giöõa ñöôøng thaúng d vaø mp (P):
Ñeå xeùt VTTÑ giöõa ñöôøng thaúng d vaø mp (P) ta vieát phöông trình ñöôøng
thaúng d döôùi daïng tham soá vaø giaûi heä phöông trình
d :
(P) :



+ heä coù 1 nghieäm  d caét (P) taïi 1 ñieåm
+ heä voâ nghieäm  d // (P)
+ heä coù voâ soá nghieäm  d (P)
www.VNMATH.com

c. VTT Ñ giöõa ñt d vaø maët caàu (S):
Ñeå xeùt VTTÑ giöõa d vaø (S) ta giaûi heä pt
d :
(S) :



+ Heä coù 1 nghieäm  d vaø (S) coù 1 ñieåm chung (tieáp xuùc)
+ Heä coù 2 nghieäm  d caét (P) taïi 2 ñieåm
+ Heä voâ nghieäm  d khoâng caét (S)
d. VTTÑ Giöõa 2 ñöôøng thaúng d vaø d’ :
+ d qua M coù VTCP a ; d’ qua M’, coù VTCP b
a / /b
MM' / /
d / /d'
a



M a d
M’ b d’
a / /b
d d'
MM' / /a

 

a b d d'
M M’
a / / b
[a,b].MM' 0



d M' b
d d' I   d’ I M a
d’
M’ b
a / / b
[a,b].MM' 0



 d cheùo d’ M a d
Nhaéc: 1 2 3
1 2 3
a (a ,a ,a )
b (b ,b ,b )


31 2
1 2 3
aa a
a / /b
b b b
   ; a.b = a1.b1 + a 2.b2 + a3.b3
www.VNMATH.com

B. BAØI TAÄP
Baøi 1. Vò trí töông ñoái giöõa hai maët phaúng
1. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng sau
a. (P): 18x + 11y + 8z – 1 = 0 vaø (Q): – 14x + 2y + 10z + 3 = 0
b. (P): 3x – 5y – 7z + 21 = 0 vaø (Q): – 3x + 5y + 7z – 47 = 0
2. (P): 2x – my + 3z – 6 + m = 0 vaø (Q): (m+3)x – 2y + (5m+1)z – 10 = 0 vôùi
giaù trò naøo cuûa m ñeå 2 maët phaúng ñoù
a. Song song vôùi nhau b. Truøng nhau c. Caét nhau
Baøi 2. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG
1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa d vaø (), tìm giao ñieåm (neáu coù)
a. (d):
x 1 t
y 1 t
z 2t
  

  
  
vaø ( ): 3x + 5y – z – 2 = 0.
b. (d):
x 2 t
y 1
z t
  


  
vaø (): x + 2y – 4z + 1 = 0.
c. (d):
x 2 y
z
2 1

 

vaø ( ): 5x – z – 4 = 0.
d. (d):
x 2 y z 5
2 4 1
 
 

vaø ( ): y + 4z + 17 = 0.
2. Cho ñöôøng thaúng
5x 3y 2z 5 0
(d):
2x y z 1 0
    

   
vaø mp ( ): 4x 3y 7z 7 0     .
Chöùng minh raèng d naèm treân maët phaúng ( ) .
Baøi 3. XEÙT VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT CAÀU
a. d:
x 3 t
y 1 t
z 1
  

 
 
vaø (S): 2 2 2
x y z 6x 2y 4z 5 0      
b. d:
x 4 t
y 1
z 1 2t
  

 
  
vaø (S): 2 2 2
x y z 6x 2y 2z 10 0      
www.VNMATH.com

Baøi 4. VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG
1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng sau:
a.
x 1 y 7 z 3 x 6 y 1 z 2
(d): ;(d'):
2 1 4 3 2 1
     
   

b.
x 1 y 2 z x y 5 z 4
(d): ;(d'):
2 2 1 2 3 0
   
   
 
c.
x 2 y z 1 x 7 y 2 z
(d): ;(d'):
4 6 8 6 9 12
   
   
  
d.
x 1 y 2 z 3 x 7 y 6 z 5
(d): ;(d'):
9 6 3 6 4 2
     
   
2. Cho ba ñt 1
x t
(D ): y 5 2t
z 14 3t
 

 
  
, 2
x 1 4
(D ): y 2
z 1 5
   

  
    
, 3
x 4y 7 0
(D ):
5x 4z 35 0
   

  
a. Chöùng minh raèng (D1) vaø (D2) cheùo nhau.
b. Chöùng minh raèng (D1) vaø (D3) caét nhau, tìm toïa ñoä giao ñieåm.
c. Tìm pt hai mp (P1) vaø (P2) song song nhau vaø laàn löôït qua (D1), (D2).
3. Cho hai ñt 1 2
x 5 2t x 3 2
d : y 1 t ; d : y 3
z 5 t z 1
     
 
      
      
. Chöùng toû hai ñöôøng thaúng d1 vaø
d2 song song. Vieát phöông trình maët phaúng chöùa d1 vaø d2
4. Chöùng toû raèng hai ñt 1
x 7 3t
(d ): y 2 2t
z 1 2t
  

 
  
vaø 2
x 1 y 2 z 5
d :
2 3 4
  
 

cuøng
naèm trong moät maët phaúng. Laäp phöông trình maët phaúng ñoù.
5. Cho hai ñöôøng thaúng: 1 2
3x y 5z 0x 1 y z 1
(D ): ;(D ):
1 2 3 2x 3y 8z 0
    
  
   
a. Chöùng minh raèng hai ñöôøng thaúng treân vuoâng goùc nhau.
b. Hai ñöôøng thaúng ñoù coù caét nhau khoâng?
www.VNMATH.com

Baøi 6. HÌNH CHIEÁU – ÑOÁI XÖÙNG
Baøi toaùn 1. Cho A vaø mp (P), tìm hình chieáu cuûa A leân (P) vaø tìm A’ ñoái
xöùng cuûa A qua (P)
 Laäp ñöôøng thaúng d qua A vaø  (P) A
 Hình chieáu cuûa A leân (P) d
laø I = d  (P) I
 toïa ñoä I laø nghieäm:
d :
(P) :



P
 A’ ñoái xöùng vôùi A qua (P) A’
 I laø trung ñieåm AA’  toïa ñoä A’
Q
Baøi toaùn 2. Cho B vaø ñöôøng thaúng d B
Tìm hình chieáu cuûa B leân d
Tìm B’ ñoái xöùng cuûa B qua d: k d
 laäp mp (Q) qua B vaø  d
 hình chieáu cuûa B leân d B’
laø K = (Q)  d
 B’ ñoái xöùng vôùi B qua d
 K laø trung ñieåm BB’
Baøi toaùn 3. Cho ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Tìm phöông trình d’
hình chieáu cuûa d leân mp (P):
+ laäp phöông trình mp (Q)
Chöùa d vaø (Q)  (P)
+ d’ laø giao tuyeán cuûa
2 mp (P) vaø (Q)
 phöông trình cuûa
d’:
(P) :
(Q) :



www.VNMATH.com

B. BAØI TAÄP
Baøi 1. HÌNH CHIEÁU
1. Xaùc ñònh hình chieáu H cuûa A treân maët phaúng (P) bieát
a. A( 1, 3, 5) vaø (P): x + 2y + 8z – 1 = 0
b. A(–2, 1, 4) vaø (P): 2x – 3y + z – 20 = 0.
c. A( 4, 5, 6) vaø (P)  Oxy
2. Tìm hình chieáu H cuûa A leân ñöôøng thaúng d bieát
a. A( 3, –2, 5) vaø
x 1 y 2 z 5
(d):
2 3 4
  
 

b. A(–2, 3, 1) vaø
x 3t
(d): y 1 t
z t
 

 
 
c. A( 2, 4, 1) vaø d Ox
d. A( 3, –4, 1) vaø d Oy
e A( 12, 4, –3) vaø d Oz
3. Cho ñt
x 2 y 2 z 1
(d):
3 4 1
  
  vaø maët phaúng (P): x 2y 3z 4 0   
a. Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa d vaø vuoâng goùc (P)
b. Tìm phöông trình hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng d treân (P)
4. Xaùc ñònh hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñöôøng thaúng d xuoáng (P) bieát d:
x
y z
2
  vaø (P): 3x 2y z 15 0    .
5. CÑ SP Vónh Phuùc, KD, 2006.
Cho d:
x 2 y 1 z 1
2 3 5
  
 

vaø(P): 2x + y + z – 8 = 0
a. Chöùng minh d caét (P), tìm toïa ñoä giao ñieåm
b. Vieát phöông trình hình chieáu vuoâng goùc cuûa d leân (P)
Baøi 2. ÑOÁI XÖÙNG
1. Tìm ñieåm A’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua maët phaúng (P) bieát
a. A(1, 4, 2); (P): x  2y + 8z  1 = 0.
b. A(2, 1, 4); (P): 2x  3y + z  20 = 0
www.VNMATH.com

2. Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng cuûa A qua d trong caùc tröôøng hôïp sau
a. A(3, 2, 5) vaø
x 2 3t
(d): y t
z 1
  


 
. (CÑ SP Quaûng Ngaõi, 2006 )
b. A(–3, 1, –1) vaø
z 2
(d): x y
2

 
c. A(3, 2, 0) vaø
x 1 y 3 z 2
(d):
1 2 2
  
 
3. Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (d’) ñoái xöùng vôùi d qua maët phaúng (P) bieát
a.  2, 1  vaø (P): 3x – 4y + z – 2 = 0
b.
x 2 y 1 z 1
(d):
1 2 1
  
 

vaø(P): 2x – y + z + 1 = 0
Baøi 7. KHOAÛNG CAÙCH
TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
a. Khoaûng caùch töø M ñeán mp (P): Ax + By + Cy + D = 0
M M M
2 2 2
Ax By Cz D
d(M,(P))
A B C
  

 
b. Khoaûng caùch giöõa ñt d vaø mp (P) song song ( d//(P) )
Choïn M  d, M d
d(d,(P)) d(M,(P))
c. Khoaûng caùch giöûa 2 mp song song (P)//(Q)
choïn M  (P),  d(P, Q) = d(M, Q)
d. Khoaûng caùch töø M ñeán ñöôøng thaúng d: M
AM,a
d(M,d)
a
choïn A a d
e. Khoaûng caùch giöõa 2 ñt d, d’cheùo nhau
a,b .MM
d(d,d )
a,b
www.VNMATH.com

f) Khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng song song
Choïn M  d’, d(d, d’) = d(M, d) d’ M
d
n u,v
x 3t
y 1 t
z 2t
 

 
  
BAØI TAÄP
Baøi 1. KHOAÛNG CAÙCH TÖØ ÑIEÅM ÑEÁN MAËT PHAÚNG
1. Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (P) trong caùc tröôøng hôïp sau:
a. A(1, 3, 5) vaø (P): x + 2y + 8z – 1 = 0.
b. A(–2, 1, 4) vaø (P): 2x – 3y + z – 20 = 0.
c. A( 4, 5, 6) vaø (P): 3x + y + 7z + 2 = 0.
d. A( 1, 0, –1) vaø (P): x – 2y – 9z + 20 = 0.
2. Cho 4 ñieåm A(–1, 3, 2); B(4, 0, –3); C(5, –1, 4); D(0, 6, 1)
a. Tính khoaûng caùch töø A ñeán (DBC).
b. Tính khoaûng caùch töø C ñeán (DBA).
3. Cho caùc ñieåm A(1, 1, 3); B(–1, 3, 2); C(–1, 2, 3)
a. Tính khoaûng caùch töø goác toïa ñoä O ñeán (ABC).
b. Tính dieän tích ABC vaø theå tích töù dieän OABC
Baøi 2. Vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu
1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø maët phaúng trong caùc tröôøng hôïp sau
a. 2 2 2
x y z 6x 2y 4z 5 0       vaø x + 2y + z – 1 = 0
b. 2 2 2
x y z 6x 2y 2z 10 0       vaø x + 2y – 2z + 1 = 0
c. 2 2 2
x y z 4x 8y 2z 4 0       vaø x + y – z – 10 = 0
Baøi 3. Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song
1. Tính khoaûng caùch giöõa caùc caëp maët phaúng song song sau
a. (P): 2x – 3y + z – 2 = 0 vaø (Q): 2x – 3y + z – 40 = 0
b. (P): x – y + z – 42 = 0 vaø (Q): x – y + z + 1 = 0
2. Cho ñieåm A(–2, 4, 3) vaø maët phaúng (P): 2x 3y 6z 19 0   
a. Vieát pt toång quaùt cuûa maët phaúng (Q) chöùa A vaø song song vôùi (P).
b. Tính khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng (P) vaø (Q).
www.VNMATH.com

3. Lập phương trình mp (P) // (Q): 2x + y – 2z + 1 = 0 và (P) cách (Q) một
khoảng bằng 2
4. Lập pt mp (P) // (Q): x + 2y – 2z = 0 và (P) cách (Q) một khoảng bằng 1
5. Lập phương trình mp (P) // (Oyz) và (P) cách (Oyz) một khoảng bằng 3
Baøi 4. Khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song
1. Ch ng minh d//, Tính khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P)
a. (d):
x 1 y 3 z
2 4 3
 
  vaø (): 3x - 3y + 2z – 5 = 0.
b. (d):
x t
y 2 4t
z t
 

 
  
vaø ( ): y + 4z + 17 = 0.
2. Cho hai ñöôøng thaúng
x 1 y 2 z x y 5 z 4
(d): ;(d'):
2 2 1 2 3 0
   
   
 
.
a. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa (d’) vaø song song vôùi d.
b. Tính khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P).
Baøi 5. Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng
1. Cho A(1, 0, 0) vaø (d):
x 2 y 1 z
1 2 1
 
 
a. Vieát phương trình maët phaúng (P) qua A vaø vuoâng goùc vôùi d
b. Tính khoaûng caùch töø A ñeán d
2. Tính khoaûng caùch töø A ñeán ñöôøng thaúng d bieát:
a) A( 2, 4, 1);
x 7 3t
(d): y 2 2t
z 1 2t
  

 
  
b) A( 3, -2, 5);
x 1 y 2 z 5
(d):
2 3 4
  
 

c) A(1, 2, 1); (d):
x y 1 z 3
3 4 1
 
  .
Baøi 6. KHOAÛNG CAÙCH GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG
1. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng sau
a.
x 1 y 2 z x y 5 z 4
(d): ;(d'):
2 2 1 2 3 0
   
   
 
www.VNMATH.com

b.
x 2 y z 1 x 7 y 2 z
(d): ;(d'):
4 6 8 6 9 12
   
   
  
2. Tính khoảng cách giữa hai ñöôøng thaúng
a. (d1):
x 2t 1
y t 2
z 3t 3
  

  
  
vaø (d2):
x 4t' 2
y 2t' 3
z 6t' 1
   

 
   
b. (d):
x 7 y 3 z 9
14 4 6
  
 
 
vaø (d’):
x 3 y 1 z 1
7 2 3
  
 

1. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng d:
x 1 u
y 1 u
z 1
  

 
 
vaø (P)
caùch ñieåm M(2; 2; 0 ) moät khoaûng baèng 1
2. Cho d1:
x 3t
y t
z 1 2t
 


  
vaø d2 :
x 1 y 2 z
(d):
2 2 1
 
 

. Laäp phöông trình mp(P)
song song vaø caùch ñeàu hai ñöôøng thaúng d1; d2
x 3t
y 1 t
z 2t
 

 
  
vaø (P) caùch
ñeàu 2 ñieåm A(1;2;3), B( 3; 2; 1)
4. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa 2 ñieåm M(1;1;1), N(2;2;2) vaø (P)
caùch ñeàu 2 ñieåm A(1;2;3 ), B( 3; 2; 1)
5. Laäp phöông trình maët phaúng (P) qua ñieåm A(3; 4; 1) vaø (P) caùch M(1; 2; 3)
moät khoaûng lôùn nhaát
6. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñieåm M(1;1;1) , (P) // d:
x 3t
y t
z 2t
 


  
vaø
(P) caùch ñt d moät khoaûng lôùn nhaát.
www.VNMATH.com

x 3t
y t
z 2t
 


  
vaø caùch
ñieåm M(1;1;1) moät khoaûng lôùn nhaát
8. Laäp phöông trình maët phaúng (P) qua 2 ñieåm A(3; 1; 2), B(1;  1; 0 ) vaø caùch
ñieåm M(1;1;4) moät khoaûng lôùn nhaát
Baøi 8. GOÙC
a,b laàn löôït laø VTCP cuûa ñt d, d’; m, n laø VTPT cuûa mp(Q), (P)
+ Goùc giöõa 2 ñöôøng thaúng d, d’.
a.b
cos d,d'
a b
+ Goùc giöõa mp (Q) vaø mp (P).
m.n
cos P,Q
m n
+ Goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø mp (P):
a.n
sin d,P
a n
B. BAØI TAÄP
Baøi 1. TÍNH GOÙC GIÖÕA HAI MAËT PHAÚNG
a. ( ): 2x y 2z 1 0     ; ( ): 2y 2z 4 0   
b. ( ): 6x 8z 1 0    ; ( ):12x 9z 4 0   
c. ( ): 2x 5y 3 0    ; Oxy
d. ( ): 2x 6z 10 0    ; Oyz
e. Oxz ; ( ):2x y 2z 1 0    
Baøi 2. GOÙC GIÖÕA HAI ÑÖÔØNG THAÚNG
1. Tính goùc taïo bôûi ñöôøng thaúng
x 1 y 2 z 4
( ):
2 1 2
  
  

vôùi caùc truïc toïa ñoä
2. Tính goùc giöõa caùc caëp ñöôøng thaúng sau
www.VNMATH.com

a.
x t
(D) : y 3 t
z 1 3t
 

 
  
vaø
x 2t
(D ): y 3
z t
 

 
  
b.
x 1 y 2 z 4
( ):
2 1 2
  
  

vaø
x 2 y 3 z 4
( ):
3 6 2
  
  

c.
x 1 y 2 z 2
( ):
3 1 4
  
   vaø
x 3
(D) : y t
z 3 2t
 


  
Baøi 3. TÍNH GOÙC GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG
1.
x 1 2t
(d): y 1 3t
z 2 t
  

  
  
vaø ( ): 2x y 2z 1 0    
2.
x 2 y 1 z 3
( ):
4 1 2
  
  

vaø mp (Oxz)
3.
x 2t
(D) : y 2
z 3 t
 


   
vaø mp(Oyz)
4. Tính goùc giöõa mp (P): x + 2y  2z = 0 vaø truïc Ox
Baøi 1. Laäp phöông trình mp (P) qua 2 ñieåm A(1, 1, 1), B(–1, 3, 0) vaø (P) taïo
vôùi mp(Oxz) moät goùc 450
Baøi 2. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng d:
x 2 t
y t
z 1
  

 
 
vaø (P)
taïo vôùi truïc Oy moät goùc 450
Baøi 3. Laäp phöông trình mp (P) chöùa truïc Ox vaø (P) taïo vôùi mp (Q): 2x + y –
2z = 0 moät goùc a thoûa cosa =
1
3 2
www.VNMATH.com

Baøi 4. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d naèm trong mp (P): x– y + z – 5 = 0, d
qua A(3, – 1, 1) vaø d taïo vôùi
x 2 y 3 z 4
( ):
1 2 2
  
   moät goùc 450
Baøi 5. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d qua M(0, 2, 1) vaø taïo vôùi caùc ñöôøng
thaúng 1
x 2t
d : y 1 t
z 3 2t
 

 
  
; 2
x 3 y 1 z
d :
0 3 0
 
  ; 3
x 1 3t'
d : y 4
z 5
  


 
nhöõng goùc baèng
nhau
Baøi 6. (OÂN TAÄP) LAÄP PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG
a. Qua C(–1, –2, 3) vaø vuoâng goùc vôùi caû 2 mp (P1): x – y + 3 = 0, (P2): 2y
+ z – 2 = 0
b. Qua A(1,2,1), B(–1,3,–2) vaø vuoâng goùc vôùi mp (Q): x – 2y + 3y – 5 = 0
c. Goïi I, J, K laø hình chieáu cuûa M(2,3,–5) leân caùc mp toïa ñoä, vieát phöông
trình mp qua I, J, K
d. Goïi N, E, F laø hình chieáu cuûa M(2, 3, –5) leân caùc truïc toïa ñoä, vieâùt
phöông trình mp qua N, E, F
e. Qua E(1,–2,4) vaø chöùa Ox ñs: y + 2z = 0
f. Qua F(–1,1,2) vaø chöùa Oz ñs: x + y = 0
g. (P) song song vôùi (Q): 2x – 3y – 6z – 14 = 0 bieát khoaûng caùch töø goác O
ñeán (P) baèng 5
h. (P) qua 2 ñieåm (2,0,0), (0, 3, 0) vaø khoaûng caùch töø O ñeán (P) baèng 6/7
i. Qua 2 ñieåm A(2, 0, 0), B(0,2,0) vaø taïo vôùi mp Oyz moät goùc 600
j. (P) qua M(2, –1, 4) vaø caét Ox, Oy, Oz laàn löôït taïi A, B, C sao cho OC =
2OA = 2OB
(ñs: 2x + 2y + z – 6 = 0, 2x + 2y – z + 2 = 0, 2x – 2y + z – 10 = 0, 2x – 2y – z
– 2 = 0)
k. Qua N(–4,–9,–12), A(2, 0,0) vaø caét Oy, Oz laàn löôït taïi B, C sao cho OB
= 1 + OC
www.VNMATH.com

Baøi 7. OÂN TAÄP PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG
1. Vieát pt ñöôøng thaúng qua ñieåm M, ñoàng thôøi caét (D1) vaø (D2) bieát raèng:
a. M(-1, 2, 3); 1
x 1 y 5 z 2
(D ):
4 2 6
  
  vaø 2
x 3 2t
(D ): y 1 t
z 2 2t
  

 
  
b. M(1, 1, 1), 1 2
x 2 2t
x y 2z 0
(D ): ;(D ): y 5t
x y z 1 0
z 2 t
   
    
  
      
2. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng qua M vuoâng goùc vectô a vaø caét d
a. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua M(1, 2, 3), vuoâng goùc vôùi
a (6,2, 3) vaø caét ñöôøng thaúng
13 80 135
6x 3y 2z 12 0;H( , , )
49 49 49
   
b. Cho ñieåm M(3, 2, 1) vaø ñöôøng thaúng
x y z 3
(d):
2 4 1

  . Vieát phöông
trình ñöôøng thaúng ( ) ñi qua M, vuoâng goùc vôùi d vaø caét d.
c. Laäp phöông trình cuûa ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm M(3, 2, 1); vuoâng goùc vôùi
ñöôøng thaúng (d1) vaø caét ñöôøng thaúng (d2) bieát
1 2
x t
x 1 y 2 z
d : ; d : y 2t 1
3 1 1
z t 1
 
  
   
  
– CÑ Coäng ñoàng Haø Taây, 2006
3. Laäp pt ñöôøng thaúng qua M vuoâng goùc ñöôøng thaúng d vaø song song mp (P)
a. Laäp pt ñt  qua M(1, 2, 3), 
x y z 3
d :
2 4 1

  vaø // (P): 2x – y + 1 = 0
b. Laäp pt ñt  qua M(3,2, 1),  
x 3z 0
d :
2y z 0
  

 
vaø  // (P): 2x – y + 1 = 0
4. Laäp pt ñöôøng thaúng qua M caét ñöôøng thaúng d vaø song song mp(P)
a. Laäp pt ñöôøng thaúng  qua M(1, 0, 4) caét
x 2t
(d): y 3 t
z 0
 

 
 
vaø  // (P): x + y
+ z + 10 = 0
www.VNMATH.com

b. Laäp pt ñt  qua M(1, 0, 4) caét
x t
d : y 2t
z 2 t
 


  
vaø // (P): 2x – 4y + z + 1= 0
c. Vieát pt ñt ñi qua ñieåm M(3, –2, –4); song song vôùi maët phaúng
( ):3x 2y 3z 7 0     ñoàng thôøi caét ñöôøng thaúng
x 2 y 4 z 1
(d):
3 2 2
  
 

5. Laäp pt ñöôøng thaúng d coù VTCP u vaø d caét hai ñöôøng thaúng khaùc
a. Laäp pt ñöôøng thaúng d song song vôùi Ox vaø d caét hai ñöôøng thaúng:
1
x 2 t
(d ): y 2 t
z 3 t
  

 
  
,
x 2 y 4 z 1
(d):
3 2 2
  
 

b. Laäp pt ñöôøng thaúng d song song vôùi Oz vaø d caét hai ñöôøng thaúng:
1
x 2 2t
(d ): y 2 t
z 13 2t
  

 
  
,
x 2 y 4 z 1
(d):
1 1 2
  
 

c. Laäp pt ñöôøng thaúng d  (P) :x + 2y –z = 0 vaø d caét hai ñöôøng thaúng
1
x z 1
(d ): y 2
3 1

  

,
x 2 y 4 z 1
(d):
1 1 2
  
 

PHÖÔNG TRÌNH ÑOAÏN VUOÂNG GOÙC CHUNG
6. Cho hai ñöôøng thaúng (d1), (d2) laàn löôït qua P1(1, 2, 1); P2(0, 1, 2) vaø coù
vectô chæ phöông 1a (1,0,1); 2a ( 1, 1,0) . Vieát phöông trình ñoaïn vuoâng
goùc chung d cuûa (d1) vaø (d2).
7. Cho hai ñöôøng thaúng 1 2
x y z 3 0 x 2y 2z 9 0
(D ): ;(D ):
y z 1 0 y z 1 0
        
 
      
.
Chöùng toû raèng D1 vuoâng goùc D2 .Vieát phöông trình ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa
hai ñöôøng thaúng treân.
8. CÑ KT CAÀN THÔ, 2006. Cho 2 ñt d:
x 1 t
x y 4 z 5
y 0 ; d':
0 2 3
z 5 t
  
 
  
   
. Goïi
 laø ñt vuoâng goùc chung cuûa d vaø d’. Tìm giao ñieåm M, N cuûa  vaø d, d’
www.VNMATH.com

Baøi 9. BAØI TOAÙN TÌM ÑIEÅM
Baøi 1. Cho d:
x 3 t
y 1 t
z 0
  

 
 
, (P): 3x – y – z = 0 , A(0, 3, 5), B(0, 1, 2)
a. Tìm ñieåm M  d sao cho khoaûng caùch töø M tôùi (P) baèng 11
b. Tìm ñieåm N  d sao cho khoaûng caùch töø A lôùi N ngaén nhaát
c. Tìm ñieåm E  (P) sao cho khoaûng caùch töø B tôùi E ngaén nhaát
d. Tìm ñieåm F  (P) sao cho khoaûng caùch töø A tôùi F ngaén nhaát
Baøi 2. Cho ñöôøng thaúng
x 1 t
(d): y 1 t
z 2t
  

  
 
vaø maët phaúng ( ): x 2y z 1 0    
1. Tìm toïa ñoä cuûa caùc ñieåm treân d sao cho khoaûng caùch töø moãi ñieåm ñeán maët
phaúng ( ) baèng 6 .
2. Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm N  d sao cho cách 2 ể A(1;2; 0); B(−2; 1; 1)
Baøi 3. Cho A(–1, 0, 2), B(0, 2, 4), C(3, 4, 0)
a. Tìm ñieåm M  d:
x t
y 3
z 1 t
 


  
sao cho SABM = 10
b. Tìm ñieåm N  d:
x y 2 x 3
1 2 3
  
 

sao cho VABCN = 10
Baøi 4. Cho A(3, 2,1), B(5,4,3) , d:
2x y 0
y 3z 3 0
  

  
, mp (P): x – 3y + 1= 0
a. Tìm M  d sao cho khoaûng caùch töø M ñeán A ngaén nhaát
b. Tìm M  (P) sao cho ñoaïn thaúng BN ngaén nhaát
c. Tìm ñieåm B’ sao cho  D  (P) ñeàu thoûa DB = DB’
Baøi 5. Tìm M  d:
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
  

 
   
vaø N  d’:
x 2 t
y t
z 4 t
  


  
sao cho MN vuoâng goùc
vôùi caû hai ñöôøng thaúng d, d’
www.VNMATH.com

Baøi 6. Cho ABC coù A(1, 2, 5) vaø pt hai ñöôøng trung tuyeán laø :
1
x 3 y 6 z 1
d :
2 2 1
  
 

, 2
x 4 y 2 z 2
d :
1 4 1
  
 

. Tìm phöông trình 3 caïnh
tam giaùc
Baøi 7. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu 2 ñeåm A(2, –4, 0), B(6, 0, 8)
Baøi 8. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu 3 ñeåm A(2, –4, 0), B(6, 0, 8), O(0,0,0)
Baøi 9. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm caùch mp (P): 2x + y – 2z – 5 = 0 moät khoaûng
baèng 2
Baøi 10. CAÙC BAØI TOAÙN CÖÏC TRÒ HÌNH HOÏC
Baøi 1.
Cho A(0, 2,1), B(5,0,3), C(4, 1, 0) , d:
2x y 0
y 3z 3 0
  

  
, mp (P): x – 3y + 1= 0
a. Tìm M  d sao cho AM BM nhoû nhaát
b. Tìm M  (P) sao cho MA MB MC  nhoû nhaát
Baøi 2. Tìm ñieåm M, N thuoäc mp(P) sao cho (MA + MB)min ; maxNA NB
1. A(– 1, 3, –2); B(–9, 4, 9) vaø (P): 2x – y + z + 1 = 0
2. A(1, 1, 2); B(2, 1, –3) vaø (P): 2x + y – 3z – 5 = 0
3. A(1, – 3, 0); B(5, –1, –2) vaø (P): x + y + z – 1 = 0
Baøi 3. Cho mp (P): x + y + z + 3 = 0 , A(1, 2, 0), B(-2, 0, 1), C(-1, -4, 0)
a. Tìm M  (P) sao cho MA + MB nhoû nhaát
b. Tìm N  (P) sao cho NA NC lôùn nhaát
Baøi 4. Cho A(1, 0, 4), B(2, 2, 5) vaø d:
x t
y t
z 1 t
 

 
  
a. Chöùng minh AB  d
b. Tìm M  d sao cho AM + BM nhoû nhaát
c. Tìm M  ch B c n ch nh nh
Baøi 5. Cho 2 ñieåm A(3, 1, –1), B(5, 0, –5) vaø ñöôøng thaúng d:
x 2 t
y t
z 4 t
  


  
.
Tìm C  d sao cho  ABC coù dieän tích nhoû nhaát
www.VNMATH.com

Baøi 6. Cho A(2, 5, 2), B(–1, 2, –1) vaø d:
x t
y 2 t
z t
 

  
 
a. Chöùng minh AB // d
Baøi 7. Cho A(0,3,1), B(2, 4,3), C(–1,3,4), D(0,3,3) . Tìm iểm I trên ường
thẳng CD sao cho tam gaùc ABI coù chu vi nh nh t
Baøi 8. Cho A(1,2,–1), B(7,–2,3) vaø d:
x 1 y 2 z 2
3 2 2
  
 

a. Chöùng minh A, B, d cuøng naèm trong moät maët phaúng
b. Tìm ñieåm I treân d sao AI + BI nhoû nhaát ñs: I(2,0,4)
Baøi 9. Cho ñt (  ):
x 2z 2 0
y 1 0
   

 
vaø hai iểm A(1,–1, 3), B(5,–1, 1).
Tìm điểm M  () sao cho MA2
+ MB2
nhoû nh t
Baøi 10. Cho A(2, 0, 2), B(5, 1, 1) vaø d:
x t
y 2 t
z t
 

  
 
a. chöùng minh A, B, d ñoàng phaúng
Baøi 11. OÂN TAÄP MAËT CAÀU
Baøi 1. Tìm taâm vaø baùn kính maët caàu
a. 2 2 2
x y z 6x 4y 2z 22 0      
b. 2 2 2
x y z 2x 3 0    
c. 6 x 5 3 x 2        
d. 2 2 2
3x 3y 3z 6x 3y 15z 2 0      
2. Ñònh m ñeå caùc phöông trình sau laø phöông trình maët caàu:
a. x2
+ y2
+ z2
+ 2mx – 2 my + 2(2m + 1)z – 1 = 0
b. x2
+ y2
+ z2
+ 4mx – 2(m –1)y – 4(m + 1)z – 5 = 0
www.VNMATH.com

Baøi 2. Vò trí töông ñoái giöõa maët phaúng vaø maët caàu
1. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø maët phaúng trong caùc tröôøng hôïp sau:
a. 2 2 2
x y z 6x 2y 4z 5 0       vaø x + 2y + z – 1 = 0
b. 2 2 2
x y z 6x 2y 2z 10 0       vaø x + 2y – 2z + 1 = 0
c. 2 2 2
x y z 4x 8y 2z 4 0       vaø x + y – z – 10 = 0
Baøi 3. Cho (S): (x + 2)2
+ (y – 1)2
+ z2
= 26 vaø ñt d: x =1, y =2 –5t, z = 4 + 5t
a. Tìm giao ñieåm A, B cuûa d vaø (S)
b. Laäp phöông trình caùc maët phaúng tieáp xuùc vôùi (S) taïi A, B
Ñs: A(1,2,–4); B(1,–3,1), 3x + y – 4z –21 = 0, 3x – 4y + z –16 = 0
Baøi 4. Phöông trình maët caàu
a. Coù taâm I (3, –4, 5) vaø ñi qua ñieåm A(–1, 2, –1).
b. Ñöôøng kính AB vôùi A (–1, 3, 0) vaø B(5, 3, –4).
c. Coù taâm I (1, 4, –2) vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng x – 4y + 2z – 2 = 0. Tìm
toïa ñoä tieáp ñieåm.
d. Qua 3 ñieåm A(1, –2, –1), B(–5, 10, –1), C(4, 1, 11) vaø coù taâm naèm treân
maët phaúng 2x – y + z + 3 = 0.
e. Qua 4 ñieåm A(3, 1, –3), B(–2, 4, 1) ,C(–5, 0, 0) vaø D(1, –2, 10).
f. Coù taâm I(6, 3, –4) vaø tieáp xuùc vôùi Oy ñs: (x – 6)2
+ (y – 3)2
+(z + 4)2
= 52
g. Nhaän ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa d vaø d’ laøm ñöôøng kính vôùi d:
x 4 t x 2
y 3 t ; d : y 1 2s
z 4 z s
   
 
    
   
ñs: (x –3)2
+ (y – 2)2
+ (z – 2)2
= 6
h. Coù taâm treân d:
x 2
y 0
Z t
  


 
vaø tieáp xuùc vôùi 2 mp (P): x – 2z – 8 = 0; (Q): 2x
– z + 5 = 0
i. Qua 3 ñieåm A(0,0,4), B(2,1,3), C(0,2,6) vaø coù taâm treân mp Oyz
Ñs: x2
+ y2
+ z2
–5y –7z + 12 = 0
2. Cho ñöôøng thaúng (d):
x 1 y 2 z
3 1 1
 
  vaø mp (P): 2x + y – 2z + 2 = 0
a. Laäp phöông trình maët caàu (S) coù taâm thuoäc d, tieáp xuùc vôùi (P) vaø R = 1.
www.VNMATH.com

b. Goïi M laø giao ñieåm cuûa (P) vaø d. T laø tieáp ñieåm cuûa (S) vôùi (P). Tính MT
3. (CÑSP TRAØ VINH 2005). Cho d:
5x 4y 3z 20 0
3x 4y z 8 0
    

   
vaø I(2, 3, –1). Laäp
pt maët caàu (S) taâm I vaø caét ñöôøng thaúng d taïi 2 ñieåm A, B sao cho AB = 8
Baøi 5. Ñöôøng troøn trong khoâng gian
1. Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc ñöôøng troøn sau
a. C):
2 2 2
x y z 2x 2y 2z 10 0
x 2y 2z 1 0
       

   
b. (C):
2 2 2
x y z 12x 4y 6z 24 0
2x 2y z 1 0
       

   
2. Cho maët caàu (S) : 2 2 2
x y z 4   vaø maët phaúng (P) : x + z = 2. Chöùng minh
raèng (P) caét (S). Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán
cuûa (P) vaø (S).
3. Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn
(C):
2 2 2
x y z 2(x y z) 22 0
3x 2y 6z 14 0
       

   
4. Cho 3 ñieåm A(2,4,1); B(–1,4,0); C(0,0,–3)
a. Ñònh taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (C) ngo i ti p tam gaùc ABC
b. Vieát pt m t c u (S) ch a ñöôøng troøn (C) vaø(S) coù baùn kính R beù nh t
c. Tìm giao ñieåm cuûa d:
x 2 5t
y 4 2t
z 1
  

 
 
vôùi ñöôøng troøn (C)
Ñs: a) I(1, 2; –1); r = 3, b) 2 2 2
(x 1) (y 2) (z 1) 9     
1. Vieát phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu
(S): 2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0       vaø song song vôùi maët phaúng
( ): 4x 3y 12z 1 0    
www.VNMATH.com

2. Laäp phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng
8x 11y 8z 30 0
x y 2z 0
    

  
vaø
tieáp xuùc vôùi maët caàu 2 2 2
x y z 2x 6y 4z 15 0      
3. Laäp phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu
2 2 2
x y z 10x 2y 26z 113 0       vaø song song vôùi hai ñöôøng thaúng
x 5 y 1 z 13
2 3 2
  
 

vaø
x 7 y 1 z 8
3 2 0
  
 

4. Cho maët caàu (S): 2 2 2
x y z 6x 4y 2z 5 0       vaø maët phaúng (P): x +
2y + 2z + 11 = 0
a. Tìm taâm vaø baùn kính cuûa (S).
b. Tìm M  (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán (P) laø nhoû nhaát.
Baøi 12. BAØI TAÄP OÂN THI HOÏC KYØ II
1. Trong khoâng gian Oxyz cho caùc ñieåm A(2, 3, –2), B(–2, 1, 1), C(3, 3, 2)
a. Tìm toïa ñoä ñieåm D sao cho ABCD laø hình bình haønh
b. Tìm ñieåm M treân Ox sao cho MA = MB
c. Tìm ñieåm N treân Oy sao cho ANC vuoâng taïi C
d. Tìm ñieåm E treân Oz sao cho ñoä daøi ñoaïn BE = 3
e. CM 4 ñieåm O, A, B, C khoâng ñoàng phaúng, tính theå tích töù dieän ABCD
2. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính caùc maët caàu sau
a. x2
+ y2
+ (z + 1)2
= 6 b. (x + 1)2
+ (y  3)2
+ z2
= 25
c. (x  2)2
+ (y  3)2
+ (z + 5)2
= 9 d. x2
+ y2
+ z2
 2x + 6y  8z + 1 = 0
e. x2
+ y2
+ z2
+ 2x  4y  4 = 0
3. Laäp phöông trình maët caàu (S) trong caùc tröôøng hôïp sau
a. (S) coù taâm I(3, 0, 2), R = 3
b. (S) coù taâm I(2, 1, 6) vaø (S) ñi qua ñieåm M(0, 2, 4)
c. (S) coù taâm I(3, 2, 1) vaø (S) tieáp xuùc vôùi mp (P): 2x + 2y  z + 5 = 0
d. (S) ñi qua 4 ñieåm A(2, 3, 2), B(3, 1, 3), C(3, 5, 3), D(0, 1, 4)
e. (S) ñi qua 3 ñieåm A(1, 1, 1), B(1,  1, 3), C(2, 1, 0) vaø coù taâm treân
maët phaúng z = 1
www.VNMATH.com

f. (S) ñi qua 2 ñieåm A(2, 3, 2), B(3, 1, 3) vaø coù taâm treân ñt d:
x 1 t
y 2 t
z 4 t
  

 
   
VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG VAØ MAËT
4. Chöùng minh ñöôøng thaúng d vaø mp (P) caét nhau, tìm toïa ñoä giao ñieåm
a. d:
x 2 t
y 1 t
z 3t
  

 
 
, (P): x + y  z + 6 = 0
b. d:
x 1 y 1 z
2 1 3
 
 

, (P): x + y + 2z 7 = 0
5. Chöùng minh ñöôøng thaúng d// (Q)
a. d: x 3 = y +2 = z, (Q): 2x  y  z + 100 = 0
b. d:
x 2 t
y 1 t
z 3t
  

 
 
, (Q): x  2y + z + 2101 = 0
5. Chöùng minh ñöôøng thaúng d :
x 2 t
y 1 t
z 3 t
  

 
  
naèm trong mp(P): x + 2y + z  7 = 0
6. Chöùng minh ñöôøng thaúng d// d’
a. d:
x 2 t
y 1 t
z 3t
  

 
 
, d’:
x 5 y 5 z 5
2 2 6
  
 
 
b. d:
x 2 9t
y 1 3t
z 3 3t
   

 
  
, d’ :
x 2 3t
y 1 t
z 3 t
  

 
  
7. C/m d caét d’ , tìm toïa ñoä giao ñieåm
a. d:
x 2 t
y 1 t
z 3t
  

 
 
, d’:
x 1 y 4 z 3
2 2 6
  
 

www.VNMATH.com

b. d:
x 4 2t
y 1 t
z 3 t
  

 
  
, d’ :
x 2 3t
y 1 t
z 3 t
  

 
  
8. Chöùng minh d vaø d’ cheùo nhau, tính khoaûng caùch giöõa d vaø d’ :
d:
x 2 t
y 1 t
z 0
  

 
 
, d’:
x 1 y 4
z
2 2
 
 

9. Tìm m ñeå 2 mp sau song song
a. (P): x + my + 2z  4 = 0 & (Q): mx + 4y + ( 6  m)z + 1 = 0
b. (P): m x  3y  (m  2)z  4 = 0 & (Q): 2x + (m  7)y + 2z + m + 1= 0
10. Tìm m ñeå 2 mp sau truøng nhau :
(P): m x  3y  (m  2)z  4 = 0 & (Q): 2x + (m 7)y + 2z + m + 3 = 0
Goùc – khoaûng caùch – vò trí töông ñoái giöõa mp & maët caàu
Caùch laäp phöông trình maët phaúng
1. Tính cos cuûa goùc giöõa 2 mp sau
a. (P): 2x  y  2z + 1 = 0, (Q) : 2x + y + 2z = 0
b. (P): 2x  y + 1 = 0, mp (Oxy)
c. (P): y  2z + 1 = 0, mp (Oyz)
2. Tính cos goùc giöõa hai ñöôøng thaúng sau
a. d : x = y 3 = z + 1, d’:
x 3
y t 1
z 3t 1
 

 
  
b. d:
x 2 2t
y 3
z 1 t
  


  
, Oz
3. Tính goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng sau
a. Oy & (P): 2x + 2y + z  3 = 0
b. Oz & (P): y  z = 0
4. Tính khoaûng caùch töø ñieåm tôùi maët phaúng
a) M(2, 3, 1) tôùi (P): x  2y 2z = 0
b) A(3, 4, 5) tôùi mp Oxz
c) I tôùi mp Oyz vôùi I laø taâm cuûa (S): (x +2)2
+ (y  1)2
+ (z + 4)2
= 1
www.VNMATH.com

5. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø mp sau
a) (S ): (x +2)2
+ (y  1)2
+ (z + 4)2
= 1 & (P): 2x + 2y  z  7 = 0
b) (S ): x2
+ y2
+ z 2
= 4 & (P): x + 2y  2z  6 = 0
c) (S ): x2
+ y2
+ z 2
+ 2x + 6y = 0 & (P): x 2y  2z = 0
6. Laäp phöông trình mp (P) trong caùc tröôøng hôïp sau
a. (P) ssong vôùi (Q): 2x + 2y  z = 0 vaø khoaûng caùch töø goác O tôùi (P) baèng 1
b. (P) song song vôùi (Q): 2x  2y  z = 0 vaø tieáp xuùc vôùi (S): x2
+ y2
+ z 2
=9
c. (P) song song vôùi 2 ñöôøng thaúng Ox vaø d:
x 2 2t
y t
z 1 t
  


  
ñoàng thôøi (P) tieáp
xuùc vôùi maët caàu (S ): x2
+ y2
+ z 2
 2x + 4y + 3 = 0
7. Laäp phöông trình caùc mp sau
a. mp (P) qua 3 ñieåm M(2, 3, 1), N(2, 4, 2), E(0, 0, 1)
b. mp (P) qua 2 ñieåm M(2, 3, 1), N(2, 4, 2) vaø (P) song song vôùi Ox
c. mp (P) qua 1 ñieåm M(2, 3, 1) bieát (P) ssong vôùi 2 ñt d:
x 2 2t
y t
z 1 t
  


  
vaø Oy
d. mp (P) qua 1 ñieåm M(2, 3, 1) bieát (P)  Oz
e. mp (P) qua 1 ñieåm M(2, 3, 1) bieát (P) chöùa ñöôøng thaúng d:
x 2
y t
z 1 t
 


  
f. mp(P) qua ñöôøng thaúng d:
x 2 t
y 1 t
z 1 t
  

 
  
vaø (P) chöùa goác O
g. mp (P) chöùa ñöôøng thaúng d:
x 2 t
y 1 t
z 1 t
  

 
  
vaø song song vôùi d’: x = y = z
www.VNMATH.com

h. mp (P) chöùa ñt d:
x 2 t
y 1 t
z 1 t
  

 
  
vaø vuoâng goùc vôùi mp (Q): x + 2y – 5 = 0
8. Cho 2 ñöôøng thaúng d:
x 2 t
y 1 t
z 1 t
  

 
  
vaø d’:
x 1 y 3 z 2
1 2 3
  
 

a. Chöùng minh d caét d’
b. Laäp phöông trình mp (P) chöùa caû 2 ñöôøng thaúng treân
9. Cho 2 ñöôøng thaúng d:
x 2 t
y 1 t
z 1 t
  

 
  
vaø d’:
x 1 y 3
z 5
1 1
 
  
 
a. Chöùng minh d // d’
b. Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû hai ñöôøng thaúng treân
LAÄP PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG  HÌNH CHIEÁU  ÑOÁI XÖÙNG
1. Trong khoâng gian Oxyz cho caùc ñieåm A(0, 1,  1), B(2, 0, 2), C(3, 2, 1).
Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d trong caùc tröôøng hôïp sau:
a. d qua 2 ñieåm A, B
b. d qua A vaø song song vôùi BC
c. d qua trung ñieåm I cuûa BC vaø d  (ABC)
d. d qua troïng taâm G cuûa  ABC vaø d  (ABC)
2. Cho d:
x 2 y 2 z 2
2 2 3
  
  , m p (P): 2x  y  3 = 0
a. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d qua M(2, 1, 0) vaø d // vôùi d
b. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d’ qua B(2, 1, 1) vaø d  (P)
3. Cho mp (P): x + y  z = 0
a. Tìm hình chieáu cuûa ñieåm M(3,  1,  1) leân mp (P)
b. Tìm ñieåm A ñoái xöùng vôùi ñieåm B(0, 1, 3) qua mp (P)
4. Cho ñöôøng thaúng d:
x 2 t
y 2 t
z 3
  

 
 
a. Tìm hình chieáu cuûa ñieåm N(2, 1, 1) leân ñöôøng thaúng d
www.VNMATH.com

b. Tìm ñieåm A ñoái xöùng vôùi goác O qua ñöôøng thaúng d
5. Cho maët caàu (S): x2
+ y2
+ (z  3)2
= 4 vaø mp(P): x + y + z + 1 = 0. Goïi A laø
hình chieáu cuûa taâm I leân (P), B laø ñieåm ñoái xöùng vôùi taâm I qua (P). Tìm A, B.
VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI
6. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng sau
a. (P): 18x + 11y + 8z – 1 = 0 vaø (Q): –14x + 2y + 10z + 3 = 0
b. (P): 3x – 5y – 7z + 21 = 0 vaø (Q): –3x + 5y + 7z – 47 = 0
7. Cho 2 m t phẳng (P): 2x – my + 3z – 6 + m = 0 vaø (Q): (m+3)x – 2y +
(5m+1)z – 10 = 0 vôùi giaù trò naøo cuûa m ñeå 2 maët phaúng ñoù
a. Song song vôùi nhau
b. Truøng nhau
c. Caét nhau
8. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa ñt d vaø maët phaúng ( ), tìm toïa ñoä giao ñieåm, neáu
a. (d):
x 12 y 9 z 1
4 3 1
  
  vaø ( ): 3x + 5y – z – 2 = 0.
b. (d):
x 13 y 1 z 4
8 2 3
  
  vaø ( ): x + 2y – 4z + 1 = 0.
c. (d):
x 2 t
y 3 2t
z t
  

 
 
vaø (): 5x – z – 4 = 0.
d. d:
x t
y 4 3t
z t
 

 
  
vaø (): x− y + 4z + 4 = 0.
9. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa hai ñöôøng thaúng sau, tìm giao ể (n c )
a.
x 1 y 7 z 3 x 6 y 1 z 2
(d): ;(d'):
2 1 4 3 2 1
     
   

b.
x 1 y 2 z x y 5 z 4
(d): ;(d'):
2 2 1 2 3 0
   
   
 
c.
x 2 y z 1 x 7 y 2 z
(d): ;(d'):
4 6 8 6 9 12
   
   
  
d.
x 1 y 2 z 3 x 7 y 6 z 5
(d): ;(d'):
9 6 3 6 4 2
     
   
www.VNMATH.com

10. Laäp phöông trình toång quaùt maët phaúng (P) bieát raèng
a. (P) qua A(1, 4, 3) vaø vaø vuoâng goùc vôùi n = (1, 2, –3).
b. (P) qua A(5, –4, 2) vaø vuoâng goùc vôùi truïc Oz.
c. (P) qua A(–3, 6, 1) vaø vuoâng goùc ñt BC bieát B(0, –1, 2); C(3, –5, 6).
d. (P) qua ñieåm M(1, 1, 2) vaø song song vôùi mp ( ): x + 3y – 2z + 1 = 0.
e. (P) qua ñieåm M(2, –3, 1) vaø song song vôùi maët phaúng (Oxz).
f. (P) laø mp trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB vôùi A(–3, 2, 1) vaø B(9, 4, 3)
g. (P) qua ba ñieåm A(–2, –3, 5);B(1, –2, 1); C(–1, 3, 2).
h. (P) qua hai ñieåm A(1, –2, 2); B(–3, 1, –2) vaø vuoâng goùc mp( ): 2x + y –
z + 6 = 0.
i. (P) qua A(3, 2, 4) vaø chöùa truïc Oy.
j. (P) qua B(2,1,1) và ch a ường thẳng 2
x 1 y 2 z 5
(d ):
2 3 4
  
 

k. (P) qua A(1, 2, 3), ñồng thôøi vuoâng goùc vôùi hai maët phaúng (  ): x + 3y –
2z + 1 = 0 vaø ( ): x + y – z + 1 = 0
11. Cho ba ñöôøng thaúng 1 2
x t x 1 4
(D ): y 5 2t ;(D ): y 2
z 14 3t z 1 5
    
 
     
       
a. Chöùng minh raèng (D1) vaø (D2) cheùo nhau.
b. Lập pt mp (P) ch a (D1), song song (D2)
12. Cho hai ñöôøng thaúng 1 2
x 5 2t x 3 2
(d ): y 1 t ;(d ): y 3
z 5 t z 1
     
 
      
      
. Chöùng toû hai
ñöôøng thaúng (d1) vaø (d2) song song. Vieát pt maët phaúng chöùa (d1) vaø (d2).
13. Laäp phöông trình mp (P) // (Q): 2x + y – 2z + 1 = 0 vaø (P) caùch (Q) moät
khoaûng baèng 2
14. Laäp pt mp (P) // (Q): x + 2y – 2z = 0 vaø (P) caùch (Q) moät khoaûng baèng 1
15. Laäp phöông trình mp (P) // (Oyz) vaø (P) caùch (Oyz) moät khoaûng baèng 3
16. Phöông trình ñoaïn chaén
Laäp phöông trình maët phaúng trong caùc tröôøng hôïp sau
a. (P) qua 3 ñieåm A(1,0,0), B(0,–2,0), C(0,0,–1)
b. (P) qua 3 ñieåm A(0,5,0), B(0,0,2), C(–3,0,0)
c. (P) qua 3 ñieåm M(0,0,4), N(–2,0,0), E(0,0,1)
www.VNMATH.com

17.Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng d bieát:
a. d qua A(7, 2, –3) vaø cuøng phöông a = (2, –3, 4).
b. d qua A(4, 3, 2) vaø vuoâng goùc vôùi caëp vectô a = (7, –2, 1) vaø b = (2, 4, 6)
c. d qua A(–2, –9, 3) vaø B(1, 0, –1)
d. d qua A(4, 4, 1) vaø song song vôùi ñöôøng thaúng
x 3t
( ): y 1
z t 4
 

 
  
e. d qua A(2, –2, 0) vaø vuoâng goùc maët phaúng (P): 3x – y + z – 2 = 0
f. d qua A(0, 2, 1); vuoâng goùc vôùi 2 ñöôøng thaúng 1
x 3 4t
( ): y 1 2t
z 2 7t
  

  
  
vaø
2
x 2 y 1 3 z
( ):
3 2 4
  
  

g. d qua A(1, 7, 2) vaø song song vôùi 2 maët phaúng (P): 3x – y + z – 2 = 0 vaø
(Q): x – y + 10 = 0
h. d qua A(4, 5, 6); song song maët phaúng (P): x + 2y – 3z + 11 = 0 vaø vuoâng
goùc vôùi ñöôøng thaúng
x 3t
( ): y 2 t
z 4 t
 

  
  
.
18. Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (P) trong caùc tröôøng hôïp sau:
a. A( 1, 3, 5) vaø (P): x + 2y + 8z – 1 = 0.
b. A thoûa OA (2, 1,4) vaø (P): 2x – 3y + z – 20 = 0.(O laø gốc tọa ñoä)
19. Cho 4 ñieåm A(–1, 3, 2); B(4, 0, –3); C(5, –1, 4); D(0, 6, 1)
a. Tính khoaûng caùch töø A ñeán (DBC).
b. Tính khoaûng caùch töø C ñeán (DBA).
20. Cho caùc ñieåm A(1, 1, 3); B(–1, 3, 2); C(–1, 2, 3)
a. Tính khoaûng caùch töø goác toïa ñoä O ñeán (ABC).
b. Cho D thõa AD 2BC , nh kh ảng cách ừ D ớ (OCD)
c. Tính dieän tích ABC vaø theå tích töù dieän OABC
21. Tính khoaûng caùch giöõa caùc caëp maët phaúng song song sau:
a. (P): 2x – 3y + z – 2 = 0 vaø (Q): 2x – 3y + z – 40 = 0.
b. (P): x – y + z – 42 = 0 vaø (Q): x – y + z + 1 = 0.
www.VNMATH.com

c. (P): 2x − y −2z = 0, (Q): 2x − y − 2z + 18 = 0
22. Tính khoaûng caùch töø A ñeán ñöôøng thaúng d bieát:
a. A( 2, 4, 1);
x 7 3t
(d): y 2 2t
z 1 2t
  

 
  
b. A( 3, –2, 5);
x 1 y 2 z 5
(d):
2 3 4
  
 

c. A(1, 2, 1); (d):
x y 1 z 3
3 4 1
 
  .
23. Tính goùc giöõa hai maët phaúng
a. ( ): 2x y 2z 1 0     ; ( ): 2y 2z 4 0   
b. (P): x + 2 = 0 ; ( ): y 9z 4 0   
c. ( ): 2x 5y 3 0    ; Oxy
d. ( ): 2x 6z 10 0    ; Oyz
24. Tính goùc giöõa caùc caëp ñöôøng thaúng sau
a.
x 1 y 2 z 4
( ):
2 1 2
  
  

vaø
x 2 y 3 z 4
( '):
3 6 2
  
  

b.
x 1 y 2 z 2
( ):
3 1 4
  
   vaø
x
(D): y z
2
 
25. Tính goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng
a.
x 1 2t
(d): y 1 3t
z 2 t
  

  
  
vaø ( ): 2x y 2z 1 0    
b.
x 2 y 1 z 3
( ):
4 1 2
  
  

vaø mp (Oxz)
HÌNH CHIEÁU
26. Xaùc ñònh hình chieáu H cuûa A treân maët phaúng (P) bieát
a. A( 1, 3, 5) vaø (P): x + 2y + 8z – 1 = 0
b. A(−2, 1, 4) vaø (P): 2x − 3y + z − 20 = 0
c. A( 4, 5, 6) vaø (P)  Oxy
d. A( 1, 4, −1) vaø (P)  Oxz
www.VNMATH.com

27. Tìm hình chieáu H cuûa A leân ñt d, từ nh kh ảng cách ừ ớ , bieát:
a. A( 3, −2, 5) vaø
x 1 y 2 z 5
(d):
2 3 4
  
 

b. A( 2, 4, 1) vaø d Ox
c. A( 3, −4, 1) vaø d Oy
28. Tìm ñieåm A’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua maët phaúng (P) bieát
a. A(−1, 4, 2); (P): x − 2y + 8z − 1 = 0
b. A(−2, 1, 4); (P): 2x − 3y + z − 20 = 0
29. Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng cuûa A qua d trong caùc tröôøng hôïp sau
a. A(3, 2, 0) vaø
x 1 y 3 z 2
(d):
1 2 2
  
 
b. A (1, 2, –1)vaø (d):
x 1 3t
y 2 2t
z 2 2t
   

 
  
30. Tìm pt ñöôøng thaúng (d’) laø hình chieáu cuûa d leân maët phaúng (P) bieát
a. d:
x 3t
y 2
z t
 


 
vaø (P): 3x – 4y + z – 2 = 0
b. d Ox vaø(P): 2x – 3y + z – 4 = 0
c.
x 2 y 1 z 1
(d):
1 2 1
  
 

vaø(P): 2x – y + z + 1 = 0
MAËT CAÀU
a. (x−2)2
+ (y + 1)2
+ (z + 5)2
= 25
b. 2 2 2
x y z 6x 4y 2z 22 0      
c. 2 2 2
x y z 6x 0   
d. 6 x 5 3 x 2        
e. 2 2 2
3x 3y 3z 6x 3y 15z 2 0      
32. Ñònh m ñeå caùc phöông trình sau laø phöông trình maët caàu
a. x2
+ y2
+ z2
+ 2mx – 2my + 2(2m + 1)z –1 = 0
b. x2
+ y2
+ z2
+ 4mx – 2(m – 1)y – 4(m + 1)z – 5 = 0
www.VNMATH.com

33. Xeùt vò trí töông ñoái giöõa maët caàu vaø maët phaúng trong caùc tröôøng hôïp sau
a. 2 2 2
x y z 6x 2y 4z 5 0       vaø x + 2y + z – 1 = 0
b. 2 2 2
x y z 6x 2y 2z 10 0       vaø x + 2y − 2z + 1 = 0
c. 2 2 2
x y z 4x 8y 2z 4 0       vaø x + y − z – 10 = 0
a. Coù taâm I (3, 4, 5) vaø ñi qua ñieåm A(1, 2, 1)
b. Ñöôøng kính AB vôùi A (1, 3, 0) vaø B(5, 3, 4)
c. Coù taâm I (1, 4, 2) vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng x – 4y + 2z – 2 = 0. Tìm
toïa ñoä tieáp ñieåm
d. Qua 3 ñieåm A(1, 2, 1), B(5, 10, 1), C(4, 1, 11) vaø coù taâm naèm treân
maët phaúng 2x – y + z + 3 = 0
e. Qua 4 ñieåm A(3, 1, 3), B(2, 4, 1) ,C(5, 0, 0) vaø D(1, 2, 10)
f. Qua 2 ñieåm A(3, 1, 3), B(2, 4, 1) và có tâm trên đt d:
x t
y 2
z 1
 


 
g. Coù taâm treân d:
x 2
y 0
  


vaø tieáp xuùc vôùi 2 mp (P): x  2z – 8 = 0
h. (Q): 2x – z + 5 = 0 Ñs: x2
+ y2
+ z2
+ 4x + 6z + 49/5 = 0
Vaø: x2
+ y2
+ z2
+ 4x + 22z + 481/5 = 0
i. Qua 3 ñieåm A(0,0,4), B(2,1,3), C(0,2,6) vaø coù taâm treân mp Oyz
Ñs: x2
+ y2
+ z2
–5y –7z + 12 = 0
35. Vieát phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu
(S): 2 2 2
x y z 2x 4y 6z 2 0       vaø song song vôùi maët phaúng
( ): 4x 3y 12z 1 0    
36. Laäp phöông trình maët phaúng tieáp xuùc vôùi maët caàu
2 2 2
x y z 10x 2y 26z 113 0       vaø song song vôùi hai ñöôøng
thaúng
x 5 y 1 z 13
2 3 2
  
 

vaø
x 7 y 1 z 8
3 2 0
  
 

37. Cho (S): (x + 2)2
+ (y – 1)2
+ z2
= 26 vaø ñt d: x =1, y =2 –5t, z = 4 + 5t
a. Tìm giao ñieåm A, B cuûa d vaø (S)
b. Laäp phöông trình caùc maët phaúng tieáp xuùc vôùi (S) taïi A, B
Ñs: A(1,2,4); B(1, 3,1) 3x + y – 4z –21 = 0, 3x – 4y + z 16 = 0
www.VNMATH.com

Baøi 13. CAÙC HÌNH KHOÁI
Baøi 1. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’, coù A truøng vôùi goác O, C(4,4,0),
A’(0, 0,4)
a. Tìm toaï ñoä caùc ñænh
b. Goïi I laø taâm cuûa hình hoäp, tính theå tích hình choùp I. C’D’CD
c. Laäp phöông trình caùc maët phaúng (CDB’), (AC’D’), chöùng minh hai maët
phaúng naøy vuoâng goùc
Baøi 2. Trong khoâng gian Oxyz cho hình hoäp chöõ nhaät OABC.O’A’B’C’ trong
ñoù O laø goác toïa ñoä, A(3,0,0); C(0,4,0), O’(0,0,5).
a. Tìm toïa ñoä caùc ñænh coøn laïi
b. Tính theå tích hình hoäp
c. Goïi M laø taâm cuûa hình chöõ nhaät BB’C’C. Tính khoaûng caùch töø ñieåm B
ñeán maët phaúng (OAM)
d. Tính cosin goùc giöõa maët phaúng (C BO’) vaø (BO’A).
Baøi 3. (CÑSP CAØ MAU, 2005) Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù
toïa ñoä caùc ñieåm A(0,0,0), B(3, 0, 0), D(0,4,0), A’(0,0,5)
a. Vieát pt mp (ACD’)
b. Tính theå tích töù dieän ACDB’
Baøi 4. Cho hình hoäp ñöùng ABCD.A’B’C’D’ coù ñaùy ABCD laø hình thoi, taâm
laø goác O. Chieàu cao cuûa hình hoäp bằng 6. Cho A(–3, 0, 0) ; B(0, 4, 0)
a. Tìm toaï ñoä caùc ñænh coøn laïi
b. Tính theå tích hình hoäp
c. Tính khoaûng caùch töø D’ ñeán maët phaúng (ADC’)
Baøi 5. Cho hình choùp töù giaùc ñeàu S.ABCD coù S(0,0, 6 ); A(2,0,0). B(0,2,0)
a. Tìm toaï ñoä caùc ñænh coøn laïi
b. Vieát phöông trình caùc maët cuûa hình choùp
c. Tính goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy
d. Tính theå tích hình choùp S.ABCD
Baøi 6. (Khoái D, 2004) Cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1. Bieát raèng A(a, 0,
0); B(-a, 0, 0); C(0, 1, 0); B1(a, 0, b), vôùi a > 0, b > 0.
a. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a, b.
b. Cho a, b thay ñoåi nhöng luoân thoûa a + b = 4. Tìm a, b ñeå khoaûng caùch giöõa
hai ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 lôùn nhaát.
www.VNMATH.com

Baøi 7. Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù A truøng vôùi goác toïa ñoä,
B(a, 0, 0), D(0, a, 0), A’(0, 0, b) vôùi a > 0, b > 0. Goïi M laø trng ñieåm caïnh CC’
a. Tính theå tích khoái töù dieän BDA’M theo a, b.
b. Xaùc ñònh tæ soá
a
b
ñeå hai maët phaúng (A'BD) (MBD) .
Baøi 8. Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi, AC caét BD taïi goác
O. Bieát A(2, 0, 0); B(0, 1, 0); S(0, 0, 2 2 ). Goïi M laø trung ñieåm caïnh SC.
a. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SA, BM.
b. Giaû söû mp (ABM) caét ñöôøng thaúng SD taïi N. Tính theå tích khoái choùp
S.ABMN.
Baøi 9. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ vôùi A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), D(0, a,
0), A’(0, 0, a), (a > 0 )
a. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng AD’ vaø DC’
b. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC, I laø taâm cuûa maët beân CDD’C’. Tìm phöông
trình maët phaúng (AMI)
c. Tính dieän tích thieát dieän cuûa mp (AMI) vaø hình laäp phöông
(ñs:a) 600
,
2
a 3 a 14
;b) x- 2y 3z 0; c)
3 4
  )
Baøi 10. Trong khoâng gian Oxyz cho hình laêng truï ñöùng OAB.O’A’B’ vôùi ñaùy
laø tam giaùc caân OAB,O laø goác toïa ñoä, A(3, 0, 0), goùc AOB = 300
, B coù hoaønh
ñoä, tung ñoä döông, O’(0,0,4).
a. Tìm caùc ñænh coøn laïi
b. Tính theå tích hình laêng truï
c. Laäp phöông trình mp (A’OB)
d. Tính goùc giöõa 2 mp (A’OB) vaø (B’OA)
Baøi 11. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ coù caïnh baèng a.
a. Chöùng minh raèng ñöôøng cheùo A’C vuoâng goùc maët phaúng (AB’D’).
b. Chöùng minh raèng giao ñieåm cuûa ñöôøng cheùo A’C vaø maët phaúng (AB’D’)
laø troïng taâm cuûa tam giaùc AB’D’.
c. Tìm khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng (AB’D’) vaø (C’BD).
d. Tìm cosin cuûa goùc taïo bôûi hai maët phaúng (AA’C) vaø (ABB’A’).
e. Goïi M, N laø trung ñieåm cuûa AB, C’D’, chöùng minh MN  (CDA’B’)
www.VNMATH.com

Hình học 12

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (19)

Similar a Hình học 12

Similar a Hình học 12 (20)

Más de Hải Finiks Huỳnh

Más de Hải Finiks Huỳnh (20)

Último

Último (20)

Hình học 12