1. MOVEMENTOMOVEMENTO
PERIÓDICOPERIÓDICO
2º BACH2º BACH

2. ÍNDICEÍNDICE
ԹIntroducción.Introducción.
ԹM.A.S.M.A.S.
ԹEnerxía do M.A.S.Enerxía do M.A.S.
ԹAplicacións do M.A.S.Aplicacións do M.A.S.
ԹPéndulo simple.Péndulo simple.
ԹPéndulo Físico.Péndulo Físico.
ԹSuperposición do M.A.S.Superposición do M.A.S.
ԹResume.Resume.
ԹBibliografía.Bibliografía.

3. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
Movemento periódico:Movemento periódico:
Repitense a intervalos deRepitense a intervalos de
tempo iguais.tempo iguais.
Movemento oscilatorio:Movemento oscilatorio:
Movemento periódico deMovemento periódico de
vaivén respecto a unhavaivén respecto a unha
situación de equilibro.situación de equilibro.

4. PARÁMETROS DO MOVEMENTO VIBRATORIO:PARÁMETROS DO MOVEMENTO VIBRATORIO:
Periodo(T):Periodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir unael tiempo que tarda el móvil en describir una
oscilación completa.oscilación completa.
Frecuencia(ƒ):Frecuencia(ƒ): el número de oscilacionesel número de oscilaciones ff = 1/T= 1/T
completas efectuadas en la unidad de tiempo.completas efectuadas en la unidad de tiempo.
Elongación:Elongación: en un instante dado es la posición de laen un instante dado es la posición de la
partículapartícula respecto de la posición de equilibrio.respecto de la posición de equilibrio.
Amplitud(A):Amplitud(A): es el valor máximo de la elongación.es el valor máximo de la elongación.
Frecuencia angular(Frecuencia angular( ωω):): ωω = 2= 2ππƒƒ

5. ECUACIÓN GENERALECUACIÓN GENERAL
ωt + ϕ :es la fase, cuya unidad en S.I es el
RADIÁN
ϕ : es la fase inicial (t = 0)
x = A cos(ω t +ϕ) x = A sin(ω t +ϕ)
M.A.S.M.A.S.

6. CINEMÁTICA DEL M.A.S.CINEMÁTICA DEL M.A.S.
Si x = A sin ωt
v= dx/dt = A ω cos ωt
a= dv/dt= -A ω2
sin ωt

7. DINÁMICA DEL M.A.S.DINÁMICA DEL M.A.S.
 ParaPara xx>0>0,, FF =-k=-kxx
 ParaPara xx<0<0,, FF ==kkxx
-LEY DE HOOKE: define el comportamiento del muelle
para un oscilador armónico.
*La fuerza restauradora de un muelle es
directamente proporcional a su deformación.
*Fm = -k x

8. Periodo de las oscilacionesPeriodo de las oscilaciones::
Tomando a= - ω2
x ; tenemos que el periodo
es:
El periodo de oscilación y la frecuencia del cuerpo
no depende de la amplitud de las oscilaciones.
En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de lasEn todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerzafuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza
restauradora del muelle:restauradora del muelle:
FFmm = m a= m a - k x = m a- k x = m a
T = 2π m / k

9. ENERGIA ASOCIADA ALENERGIA ASOCIADA AL
OSCILADOR ARMÓNICOOSCILADOR ARMÓNICO
W = |f| |∆r| cos ϕ
1.1. TRABAJOTRABAJO::

10. 2.2. ENERGIA CINETICAENERGIA CINETICA::
 Aquella capacidad que poseen los cuerpos paraAquella capacidad que poseen los cuerpos para
realizar trabajo en función de su movimiento.realizar trabajo en función de su movimiento.
Ec = 1/2 mv2
Ec = 1/2 k (A2
– x2
)
TEOREMA DE LA ENERGÍA
CINÉTICA
WT = ∆Ec

11. La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerzaLa Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza
conservativa, porque el trabajo que realiza unconservativa, porque el trabajo que realiza un
muelle no depende del camino seguido.muelle no depende del camino seguido.
3.3. FUERZASFUERZAS
CONSERVATIVASCONSERVATIVAS::

12. Esta energía, depende de las posiciones de las
partículas que forman el sistema.
En un sistema muelle-cuerpo, hablamos de energía
potencial elástica; por supuesto cuanto mayor
sea la compresión del muelle mayor es la energía.
Epelástica = ½ K x2
4.4. ENERGIA POTENCIALENERGIA POTENCIAL::

13.  El trabajo total realizado sobre una partícula seEl trabajo total realizado sobre una partícula se
puede expresar como:puede expresar como:
WWTOTALTOTAL = W= WCC + W+ WNCNC == ∆∆EcEc
 Teniendo en cuenta la relación entre el Wc y laTeniendo en cuenta la relación entre el Wc y la ∆∆EpEp
tenemos:tenemos:
WWNCNC == ∆∆Ec +Ec + ∆∆EpEp
 O lo que es lo mismo:O lo que es lo mismo: WWNCNC == ∆∆EmEm
5.5. CONSERVACIÓN DE LACONSERVACIÓN DE LA
ENERGIA MECÁNICAENERGIA MECÁNICA::

14. APLICACIONES DEL M.A.S.APLICACIONES DEL M.A.S.
M.A.S. vertical
Colgamos una masa del extremo libre
de un resorte vertical y se deja
descender suavemente; comienza a
oscilar de forma vertical, hasta que el
sistema alcanza el equilibrio.
Fuerza recuperadora -> F=kl
En el equilibrio se cumple -> mg=kΔl
k=mg/l -> f= 1/2 π k/m

15. M.A.S. angular
La frecuencia angular y
frecuencia vienen dadas por:
Ejemplo: rueda de balance de un reloj mecánico
Un resorte espiral ejerce un momento de
torsión de restitución proporcional al
desplazamiento angular respecto de la
posición de equilibrio.
τ = -K Θ
El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ)

16. PÉNDULO SIMPLEPÉNDULO SIMPLE
Constituido por unaConstituido por una
masa puntualmasa puntual
suspendida de un puntosuspendida de un punto
fijo mediante un hilofijo mediante un hilo
inextensible cuya masainextensible cuya masa
es despreciable.es despreciable.

17. ENERGÍA ASOCIADA AL PÉNDULO SIMPLEENERGÍA ASOCIADA AL PÉNDULO SIMPLE
 Por haber ganado altura, decimos que adquiere energíaPor haber ganado altura, decimos que adquiere energía
potencial gravitatoria. Es decir, en el centro no tiene energíapotencial gravitatoria. Es decir, en el centro no tiene energía
potencial y en los extremos si. Podemos entonces, aplicar elpotencial y en los extremos si. Podemos entonces, aplicar el
principio de conservación de la energía y afirmar que la energíaprincipio de conservación de la energía y afirmar que la energía
cinética del centro se ha transformado en potencial en loscinética del centro se ha transformado en potencial en los
puntos de máxima amplitud.puntos de máxima amplitud.

18. ECUACIONES DEL PÉNDULO SIMPLEECUACIONES DEL PÉNDULO SIMPLE
x = A cos (ωt + φ) = A cos (2πƒt + φ)
x = A sen(ωt + β) = A sen (2πƒt + β)
Periodo del péndulo:
T = 2π L / |g|

19. PÉNDULO FÍSICOPÉNDULO FÍSICO
El período del péndulo físico para
pequeñas amplitudes de
oscilación:
Al desplazarse el cuerpo, el peso (mg), causa un momento de
torsión de restitución:
τ = - (mg) (d senθ)
El péndulo físico oscila solamente
por acción de su peso

20. Si se suelta el cuerpo, oscila;
 Para ángulos pequeños, el movimiento
será armónico simple. (al aproximar senθ
con θ). Entonces:
τ = - (mg d) θ
 Para amplitudes mayores, el movimiento es
armónico, pero no simple.
Frecuencia:
Momento
de inercia:
Periodo:

21. SUPERPOSICIÓN DEL M.A.S.SUPERPOSICIÓN DEL M.A.S.
La superposición tiene lugar cuando dos fuerzas
perturbadoras actúan simultáneamente siendo el
movimiento resultante la suma de los distintos
M.A.S.
x1(t) = A1 sen (ω1t + ψ1)
x2(t) = A2 sen (ω2t + ψ2)
x(t) = x1(t)+ x2(t) =
= A1 sen (ω1t + ψ1) + A2 sen (ω2t + ψ2)

22. En una dimensión: FRECUENCIAS IGUALES
Α) Ψ1 = Ψ2 -> interferencia constructiva
Β) Ψ1 = Ψ2 + π -> interferencia destructiva C) Ψ1 = Ψ2 + π/2 -> m.a.s. en cuadratura
Casos particulares:
Resulta un M.A.S. de la misma frecuencia, donde:
A2
= A1
2
+ A2
2
+ 2A1 A2 cos|Ψ1 −Ψ2|
tgΨ = A1 sen Ψ1 + A2 sen Ψ2
A1 cos Ψ1 + A2 cos Ψ2

23. FRECUENCIAS DISTINTAS
PULSACIONES
El movimiento resultante no es un M.A.S.
La amplitud resultante será:
A2
= A1
2
+ A2
2
+ 2A1 A2 cos (Ψ1 −Ψ2)
Es el resultado de la superposición de dos M.A.S. de
frecuencias ligeramente diferentes.
x(t) = A cos ω1- ω2 t sen ω1+ ω2 t
2 2

24. En dimensiones perpendiculares:
FRECUENCIAS IGUALESx(t) = A sen (ωt + α)
y(t) = B sen (ωt + β)
Con δ = α – β eliminamos t, y
obtenemos:

25. FRECUENCIAS DISTINTAS
x = A sen (ωxt + α)
y = B sen (ωyt + β)
La trayectoria no será una elipse,
salvo que ωx= ωy
En el caso
general es una
curva conocida
como “curva de
Lissajous”.

26. RESUMENRESUMEN

27. BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA
‫ڟ‬ ““Física” .-Física” .- Paul A. Tipler - Ed.Reverté,sa.Paul A. Tipler - Ed.Reverté,sa.
‫ڟ‬ ““Física Universitaria” (vol. 1) .-Física Universitaria” (vol. 1) .- Sears, Zemansky, Young,Sears, Zemansky, Young,
Freedman - Pearson.Freedman - Pearson.
‫ڟ‬ ““Física”Física” (2º Bto.)(2º Bto.) .- J.L.Hernández Neira, M.Gisbert Briansó .-.- J.L.Hernández Neira, M.Gisbert Briansó .-
Bruño.Bruño.
‫ڟ‬ ““Física”Física” (2º Bto.)(2º Bto.) .- Á.Peña, J.A.García .- Ed.McGraw-Hill..- Á.Peña, J.A.García .- Ed.McGraw-Hill.