Circunferencia
Matemáticas III
Circunferencia
• Una circunferencia es el
lugar geométrico de los
puntos que equidistan
de un punto fijo llamado
centro.
•...
Si se desea conocer la ecuación de cierta circunferencia cuyo centro C se encuentra en
el origen de los ejes coordenados y...
EJEMPLOS
Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 4.
Sustituyendo en la ecuación...
Encuentra la ecuación de la circunferencia
cuyo centro esté en el origen y que sea
tangente a la recta 3𝑥 + 4𝑦 + 15 = 0
En...
• Para obtener la ecuación de la circunferencia, suponemos que el
centro tiene coordenadas 𝑂 = 𝑥0, 𝑦0 y que el radio es 𝑟....
Circunferencia
Obtener la ecuación de la circunferencia de centro O = (4,1) y de
radio r = 2
𝑥 − 4 2
+ 𝑦 − 1 2
= 22
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⟺ 𝑥2...
Obtener el centro y el radio de 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0
Aplicamos las fórmulas de 𝐷, 𝐸 y 𝐹.
𝐷 = 4 = −2𝑥0 ⇒ 𝑥0 = −2
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7 circunferencia

  1. 1. Circunferencia Matemáticas III
  2. 2. Circunferencia • Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro. • La distancia de cada punto al centro se llama radio. Centro C Radio r Punto P
  3. 3. Si se desea conocer la ecuación de cierta circunferencia cuyo centro C se encuentra en el origen de los ejes coordenados y el punto A (x, y) es un punto cualquiera de la circunferencia. Se representa de la siguiente manera Se tiene entonces que: AC = r Sustituyendo con la fórmula de la distancia entre dos puntos, se tiene que: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟 Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
  4. 4. EJEMPLOS Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 4. Sustituyendo en la ecuación de la circunferencia, se obtiene: 𝑥2 + 𝑦2 = (4)2 𝑥2 + 𝑦2 = 16 Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro se halle en el origen y que pase por el punto 𝐴(3,4) 𝐶𝐴 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Conociendo el radio se sustituye en la ecuación de la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = (5)2 𝑥2 + 𝑦2 = 25
  5. 5. Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro esté en el origen y que sea tangente a la recta 3𝑥 + 4𝑦 + 15 = 0 En la circunferencia, un radio siempre es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. En este caso el radio se calcula con la fórmula de distancia de un punto a una recta.
  6. 6. • Para obtener la ecuación de la circunferencia, suponemos que el centro tiene coordenadas 𝑂 = 𝑥0, 𝑦0 y que el radio es 𝑟. • Entonces si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la circunferencia, se tiene que 𝑑 𝑂, 𝑃 = 𝑟 ⇔ 𝐶𝑃 = 𝑟 ⟺ ⟺ 𝑥 − 𝑥0 2 + 𝑦 − 𝑦0 2 = 𝑟 ⟺ 𝑥 − 𝑥0 2 + 𝑦 − 𝑦0 2 = 𝑟2 ⟺ ⟺ 𝑥2 − 2𝑥0 𝑥 + 𝑥0 2 + 𝑦2 − 2𝑦0 𝑦 + 𝑦0 2 − 𝑟2 = 0 Si hacemos 𝐷 = −2𝑥0, 𝐸 = −2𝑦0 y 𝐹 = 𝑥0 2 + 𝑦0 2 − 𝑟2 ; se tiene entonces: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
  7. 7. Circunferencia Obtener la ecuación de la circunferencia de centro O = (4,1) y de radio r = 2 𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 1 2 = 22 ⟺ ⟺ 𝑥2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 − 4 = 0 ⟺ ⟺ 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 2𝑦 + 13 = 0 Obtener el centro y el radio de 𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 2 2 = 16 El centro es 𝑂 = 3, −2 𝑟 = 16 = 4
  8. 8. Obtener el centro y el radio de 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 Aplicamos las fórmulas de 𝐷, 𝐸 y 𝐹. 𝐷 = 4 = −2𝑥0 ⇒ 𝑥0 = −2 𝐸 = −6 = −2𝑦0 ⇒ 𝑦0 = 3 ⇒ 𝑂 = −2,3 𝐹 = 𝑥0 2 + 𝑦0 2 − 𝑟2 = −3 ⇒ 4 + 9 − 𝑟2 = −3 ⟹ ⟹ 𝑟2 = 3 + 4 + 9 ⟹ 𝑟2 = 16 ⟹ 𝑟 = 4 Obtener el centro y el radio de 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 Completando cuadrados, tenemos que: 𝑥2 + 4𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4 = 𝑥 + 2 2 − 4 𝑦2 − 6𝑦 = 𝑦2 − 6𝑦 + 9 − 9 = 𝑦 − 3 2 − 9 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 ⟺ ⟺ 𝑥 + 2 2 − 4 + 𝑦 − 3 2 − 9 − 3 = 0 ⟺ ⟺ 𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 16 ⟹ 𝑂 = −2,3 y 𝑟 = 4

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