Apuntes básicos sobre xeometría gráfica

1. Como xa vimos en apartados anteriores, no ámbito da
representación gráfico – plástica, temos desde imaxes
libres ou creativas (subxectivas), ata as máis
xeométricas (obxectivas), isto non quere dicir que o
xeito de facer unas exclúan as outras se non que se
axudan e complementan mutuamente tanto nos
traballos artísticos como nos técnicos.
Os principios que rexen para a creación de imaxes
artísticas son os mesmos que para as imaxes medidas
ou xeométricas.
O ámbito onde conflúen máis e con maior éxito é o
deseño gráfico e industrial, campo no que os criterios
estéticos (sentido da beleza da composición), do
debuxante son vitais xunto cos coñecementos da
xeometría.
Nestas imaxes temos deseños creados a partir de
formas xeométricas sinxelas.
Imaxes de Pixabay. CC 0
7. Forma e xeometría
7.1. As formas

2. As formas podemos clasificalas do seguinte
xeito:
Pola orixe:
• Naturais (minerais, animais, vexetais)
• Artificiais (artística, publicitarias)
No espazo:
• Lineais (cables, postes, columnas)
• Planas 2D (carteis, follas, cadros)
• Volumétricas 3D (edificios, coches, libros)
Gráficas:
• Xeométricas (regras e normas de trazado)
• Libres.
• Artísticas.
M. Busto. CC BY-SA
7. 2. Clasificación das formas
Rythme I. R. Delaunay
Wikimedia Commons.
Dominio Público
Catedral de Santiago. A.I. Fdez.
INTEF. CC BY-NC-SA
M. Busto. CC BY-SA

3. 7. 3. Características das formas
En xeral, cando falamos ou definimos unha forma
facémolo de dous xeitos:
• Polo contorno, que describe e delimita o perímetro da
forma. A liña é a que nos marca o contorno e pode ter
grosor ou non.
• Pola silueta, que é o recheo interior da forma. Esta pode
ter cores e formas.
Formas xeométricas básicas:
As formas básicas do debuxo son:
• Triángulo. Sensación de tensión, acción. Simboliza a
sabedoría.
• Cadrado. Sensación de orde, equilibrio. Simboliza o
mundo obxectivo.
• Círculo. Sensación de recollemento e movemento
continuo. Simboliza o infinito.
O ollo humano ten tendencia a simplificar as formas
complexas noutras máis simples coma as tres que
mencionamos. Imaxes de Pixabay. CC 0
M. Busto. CC BY-SA

4. 7. 4. A xeometría gráfica: Xeometría Plana
M.Busto. CC BY-SA
En apartados anteriores mencionamos os elementos que compoñen o alfabeto do debuxo,
estes eran o punto a recta e o plano tanto na plástica como no técnico. O punto é o elemento
básico da xeometría e non ten dimensións, solo indica un lugar, como por exemplo temos a
intersección de dúas rectas. A recta está formada por puntos moi xuntos, un diante do outro e a
idea do plano é que está xerado por moitas rectas xuntas, unha diante da outra.
Vexamos a imaxe onde aparecen todos estes elementos xeométricos.

5. A recta pode ter diferentes estados dependendo
se está limitada ou non:
• Recta ilimitada. Non ten principio nin fin.
• Semirrecta. Limitada por un punto.
• Segmento. Recta limitada por dous puntos.
Como sabemos, dúas rectas poden xerar
infinidade de ángulos pero hai tres que imos ver:
• Ángulo recto. Este é un dos ángulos máis
usados en xeometría e mide 90o
.
• Ángulo obtuso. Son aqueles maiores de 90o
graos.
• Ángulo agudo. Son os menores de 90o
graos.
Observa que os puntos denomínanse por medio de letras maiúsculas e
as rectas con minúsculas.
Os puntos podémolos indicar cunha crus +, e tamén con un punto.
Recta
Semirecta
Segmento
A B
A
r
a
90º
Ángulos
>90º
< 90º
7. 5. Rectas e relacións entre elas I

6. As rectas entre elas poden adoitar diferentes
posicións, pero as máis importantes na xeometría son:
• Rectas perpendiculares. Formando 90 graos.
• Rectas paralelas. Están sempre á mesma
distancia e por máis que se prolongan nunca se
atopan.
• Rectas que se cortan ou concorrentes.
Córtanse nun punto do plano ou do espazo.
Coas rectas podemos dividir segmentos en partes
iguais ou dividir un ángulo en dous iguais.
• División dun segmento en partes iguais. A recta
que divide chamámoslle mediatriz.
• División dun ángulo formado por dúas rectas
en partes iguais. A recta que divide chamámoslle
bisectriz. d=d.
A B
d
90º
V
s
r
Perpendiculares Paralelas
Rectas que se cortan
P
90º
d
Mediatriz
d
d
Bisectriz
d
d
7. 6. Rectas e relacións entre elas II

7. 7. 7. Construción do plano
O plano xeométrico é ilimitado
aínda que podemos falar de
semiplano e de plano limitado por
dúas ou varias rectas.
A definición no espazo, podémola
facer dos seguintes xeitos:
• Por tres puntos non aliñados.
• Por dúas rectas paralelas.
• Por dúas rectas que se cortan.
• E tamén por un punto e unha
recta non aliñados.
A
B
V
s
r
Tres puntos non aliñados
Dúas rectas paralelas Dúas rectas que se cortan
AA
Unha recta e un punto
non aliñados
Podemos practicar o xeito de facer
estas construcións

8. 7. 8. A circunferencia
A circunferencia é unha curva plana pechada onde todos os seus
puntos equidistan (están á mesma distancia) dun punto chamado
centro. O círculo é o que queda no interior ou encerra a
circunferencia.
Na circunferencia podemos atopar os seguintes elementos:
• Centro: Punto que equidista de todos os puntos da
circunferencia.
• Diámetro: Liña que pasa polo centro da circunferencia.
• Radio: Segmento que une o centro con un punto da
circunferencia. Mide a metade do diámetro.
• Tanxente: Recta que toca nun punto da circunferencia sendo
perpendicular ao radio que pasa por ese punto.
• Secante: Recta que corta a circunferencia en dous puntos.
• Corda: É o segmento que une dous puntos da circunferencia
Esta forma plana é fundamental para a construción de múltiples
polígonos e figuras xeométricas así como cando temos que facer
trazados co compás.
Círculo
Circunferencia
Secante
Circunferencia
Tanxente
Radio
Diámetro
Centro
Corda

9. 7. 9. Formas poligonais
Os polígonos son formas planas
pechadas constituídas por lados unidos
formando ángulos. Constrúense mediante
trazados xeométricos e son a base para o
coñecemento do debuxo técnico. Este
coñecemento proporcionará as
competencias necesarias para deseñar e
crear obras para campos tan variados
como a enxeñería, arquitectura, deseño
gráfico, decoración, eta.

10. 7. 10. Triángulos
O triángulo é unha figura plana composta
por tres rectas que se cortan dúas a dúas.
Ten tres lados e a suma dos ángulos é de
180o
. Cada lado é menor que a suma dos
outros e maior ca diferencia.
Podemos diferenciar as seguintes clase de
triángulos:
En función dos lados:
• Equilátero. Lados e ángulos iguais.
• Isósceles. Dous lados iguais e dous
ángulos iguais.
• Escaleno. Lados e ángulos desiguais.
En función dos ángulos:
• Acutángulo. Ten ángulos agudos.
Menores de 90o
.
• Rectángulo. Ten un ángulo de 90o
.
• Obtusángulo. Un dos ángulos e obtuso.
Maior de 90o
.
Equilátero Isósceles Escaleno
Acutángulo Rectángulo Obtusángulo
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
b a
c
b a
c
b a
c
90o
o
A = > 90o
Revisemos as construcións de triángulos.

11. 7. 11. Cuadriláteros
Un cuadrilátero é unha figura plana poligonal pechada
composta por catro lados.
Paralelogramos:
• Cadrado. Catro lados iguais e ángulos de 90
o
.
• Rectángulo. Lados iguais dous a dous e ángulos de 90o
.
• Rombo. Lados iguais paralelos dous a dous as diagonais son
perpendiculares e de diferente lonxitude.
• Romboide. Lados paralelos dous a dous e as diagonais son
oblicuas e desiguais.
Trapecios:
• Rectángulo. Dous lados paralelos e dous ángulos de 90o
, as
diagonais son desiguais e oblicuas.
• Isósceles. Ten dous lados paralelos e ángulos iguais
dous a dous. Diagonais iguais.
• Escaleno. Dous lados paralelos. Lados, ángulos e
diagonais desiguais.
Trapezoides: Todo desigual. Lados, ángulos e diagonais.
Cadrado Rectángulo
Rombo Romboide
Trapecio escaleno
A B
CD
A B
CD
A B
CD
A B
CD
A B
CD
A B
C
D
A B
CD
Trapecio rectángulo Trapecio isósceles
Trapezoide
A
B
C
D
o
Revisemos as construcións de cuadriláteros.

12. Os polígonos regulares de máis de catro lados pódense construír
por varios métodos, vexamos cales son.
• Pentágono. Ten 5 lados iguais e 5 ángulos iguais.
• Hexágono. 6 lados iguais e 6 ángulos iguais.
• Heptágono. 7 lados iguais e 7 ángulos iguais.
• Octógono. 8 lados iguais e 8 ángulos iguais.
• Enneágono. 9 lados iguais e 9 ángulos iguais.
• Decágono. 10 lados iguais e 10 ángulos iguais.
Polígonos estrelados.
Son estrelas que se creadas a partir dun polígono regular unindo
vértices alternativamente. Se saltas un, son polígonos estrelados dun
paso, se saltas dous é de dous pasos e así sucesivamente.
Podemos ver como se fan os polígonos.
M.Busto. CC BY-SA
7. 12. Polígonos regulares de máis de catro lados

13. 7. 13. Xeometría do espazo
A xeometría espacial é a que se encarga do estudo das
propiedades e medidas dos corpos ou figuras sólidas con volume
que ocupan un lugar no espazo tridimensional.
No lateral temos mostras de sólidos regulares (caras e ángulos
iguais), e un sólido irregular, o dodecaedro disdiakis.
Regulares:
• Tetraedro. 4 caras de triángulos equiláteros.
• Octaedro. 8 caras de triángulos equiláteros.
• Hexaedro ou cubo. 6 caras compostas por cadrados.
• Dodecaedro. 12 caras compostas por pentágonos regulares.
• Icosaedro. 20 caras de triángulos equiláteros.
Irregular:
• Hexaquisoctaedro. Tamén chamado dodecaedro disdiakis. 48
caras de triángulos escalenos.
Podemos facer algún desenvolvemento dun poliedro regular. O hexaedro, por exemplo.
Tetrahedron. CC BY-SA Dodecahedron. CC BY-SA
Octahedron. CC BY-SA Icosahedron. CC BY-SA
Hexahedron. CC BY-SA Dodecaedro disdiakis. CC BY-SA
Da Wikipedia.

14. 7. 14. Formas tridimensionais e a súa representación
Ao noso arredor temos infinidade de obxectos que teñen
tres dimensións. Continuamente estamos tendo
experiencias visuais 3D, pero cando queremos representar
algún obxecto ou edificio xurde a pregunta de como facelo.
As tres dimensións son o longo, ancho e alto, partindo
das cal e aplicando normas de debuxo xeométrico
podemos construír volumes (obxectos tridimensionais)
debuxados nun plano. Estas regras foron inventadas por
matemáticos e xeómetras denominándoas “Xeometría do
espazo e descritiva”, por exemplo, un cubo pódenos servir
para representar unha casa ou outros obxectos que teñan
unha forma parecida, o cubo ten tres dimensións igual que
unha casa sinxela solo nos falta o tellado que son dous
planos inclinados.
Vexamos os sistemas de representación das formas 3D
nun plano:
Gaspard Monge (1746-1818.
Impulsor da Xeometría Descritiva 1799.
Wikimedia Commons. Dominio Público.
Tes que ter en conta que os xeitos de representar as formas que estamos a analizar, proveñen de
acordos entre nos chamados convencións.

15. 7.15. Sistema acoutado e sistema diédrico
Curvas de nivel.
Wikimedia Commons.
CC BY-SA M. Busto. CC BY-SA
Fr mapy bno. Wikipedia. CC BY-SA
Vexamos os sistemas de representación nun plano de debuxo:
• Acoutado. Entre outras cousas serve para representar as curvas de nivel dun mapa. En
xeografía terás visto algún.
• Diédrico. Emprégase para representar o alzado, planta e perfil dunha casa ou de obxectos en
xeral.
Vexamos algunhas imaxes e debuxos deses sistemas de representación gráfica.

16. 7.16. Sistema axonométrico e perspectiva cabaleira
M. Busto. CC BY-SA
• Axonométrico. Representa as cousas en 3D e úsase para debuxar a
perspectiva de obxectos.
• Perspectiva cabaleira. Igual que o Axonométrico emprégase para facer
perspectivas.
Vexamos algunhas imaxes e debuxos destes sistemas de representación
gráfica.

17. 7.17. Sistema cónico
M. Busto. CC BY-SA
• Cónico. É o máis parecido á nosa maneira de percibir o ver espazo e
emprégase entre outras en arquitectura para representar edificios e
espazos urbanos.
Vexamos algunha imaxe e debuxos deste sistema de representación gráfica.

18. Forma e xeometría. Manuel Busto Magdalena, dentro do curso con licenza:
Curso: O tempo e o espazo con liñas e cores por Maribel Iglesias e Manuel Busto. Baixo licenza
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 3.0 España.
Créditos e autoría:
Úsanse imaxes e recursos de produción propia, que se fan públicos con licenza CC BY-SA, ou CC BY-NC-SA, outras de dominio
público, con licenza creative commons, GNU... tomados preferentemente de bancos de recursos educativos abertos. Tamén se
empregan, acolléndose ao dereito de cita segundo a lexislación vixente, imaxes e recursos diversos de diferentes páxinas web, e se
enlaza, cando é posible, a súa licenza ao pé dos propios recursos.
Outras licenzas:
Quedan fora desta licenza as imaxes, recursos... que manteñen a súa propia licenza, sinalada en cada caso.
7.18. Dereitos de autor
Bibliografía de consultada
Rodríguez de Abajo, F.J. Álvarez Bengoa, V. “Dibujo técnico”. Editorial Donostiarra. San Sebastián.1984.