Booklet reais

O conjunto dos números reais
Exercícios
7 Determine, se existirem, o supremo, ínfimo, máximo e mínimo em R dos seguintes
conjuntos.
a) x ∈ R : x2
− 4x ≤ 0 b) x ∈ R : x2
− 4x ≤ 0 ∩ Q
c) 1
n
: n ∈ N d) (−1)n
n
: n ∈ N
8 Sejam A = {−3, −2} ∪ (Q ∩ [0, 1]) e B =] − 4, −2] ∪ ([0, 1] ∩ (R Q)). Indique,
caso existam, os supremos e os ínfimos em R dos conjuntos A, B, A ∪ B e A ∩ B.
9 Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições:
a) O ínfimo de um subconjunto não vazio de R formado apenas por números
racionais é necessariamente um número racional.
b) O ínfimo de um subconjunto não vazio de R formado apenas por números
naturais é necessariamente um número natural.
c) Para todo o número real x ̸= 0 existe um número racional entre 0 e x.
d) Qualquer conjunto não vazio de racionais (estritamente) positivos tem ínfimo
(estritamente) positivo.
Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 1. 23
Cálculo Infinitesimal I (M111)
Departamento de Matemática, FCUP
Ano lectivo 2015/16
Programa e Avaliação
Limites e Continuidade
Sucessões. Limites. Continuidade.
Derivadas e Primitivas
Derivadas e Primitivas. Técnicas de primitivação.
Integrais
Conceito de área. Integrais. Teorema Fundamental do Cálculo.
Integrais impróprios.
Teoremas fundamentais do Cálculo Diferencial e Aplicações
Teorema dos Valores Intermédios, Teoremas da Média e aplicações.
Regra de L’Hôpital.
Aproximação polinomial e Séries
Polinómio de Taylor. Séries numéricas e séries de potências.

Programa e Avaliação
Três testes (7,5 + 7,5 + 5 valores) permitindo dispensas parciais ou
total de exame;
Testes não obrigatórios. No entanto, se um aluno entregar um teste,
terá de obter 25 % da classificação para ser admitido ao seguinte.
Exame final.
O universo de suporte do Cálculo Diferencial e Integral, que vamos
estudar, é o conjunto dos números reais - R.
Estes números são os objectos matemáticos que se usam genericamente
para medir: quantificar grandezas como distâncias, comprimentos, áreas,
volumes, velocidade, ... - e no Cálculo desenvolvem-se ferramentas que
permitem dar resposta a necessidades muito concretas deste tipo.
Já após milénios de desenvolvimento, a abordagem moderna do Cálculo é
creditada a Newton e Leibniz (séc. XVII) que, nomeadamente,
relacionaram os conceitos de derivada e integral (medida de uma área).
Exercícios
1 Ordene os seguintes números reais:
1
4
, −1
2
, 1, −1, 2, π
4
, π
3
, eπ
, e−π
, log 1√
2
, log
√
2 , − cos 5π
12
, sen 5π
12
.
2 Determine o conjunto dos números reais x que verificam cada uma das condições:
a) 4x + 4 < 5x < 4x + 2 b) 3x2
+ 8x < 0 c) 3x(x − 1)2
(x − 3)3
≥ 0
d)
(x − 1)2
x2 − 16
≥ 0 e) −4 ≤ x2
≤ 1 f) −2 <
1
x
≤ 1
g) |2x + 3| = |x − 1| h) |x2
− x − 3| = 3 i) (x2 − 3)2 = 5
j) |x − 2x−1
| = 3 − x l) |2x2
+ x − 1| ≥ 5 m)
(x + 3)2
x2 + 3
≥ 1
n) |x − 1| = 1 − x o) |x − 2| ≤ |x + 3| p) −1 ≤ |x| < 6
q) 32x−1
=
√
3 r) log(1 − 3x) = 1 s) log(x2
− 4) = log(1 − 4x)
t) e
2−ln x
2 > 0 u) ex+1
≥ ex2
v) 1
2
x+1
≥ 1
2
x2
3 Mostre que, para quaisquer números reais a e b,
a) | |a| − |b| | ≤ |a − b| b) |2ab| ≤ a2
+ b2
(Em a), usar de forma conveniente a desigualdade triangular |x + y| ≤ |x| + |y|)
Exercícios
4 a) Mostre que, para cada y ≥ 0, a equação |x − 1| = y |x + 1| tem sempre solução
(na incógnita x). Dê exemplo de um valor de y para o qual a equação tenha mais
de uma solução.
b) Verifique que a função f : R {−1} → R+
0 definida por f (x) = |x−1|
|x+1|
é
sobrejectiva mas não é injectiva.
5 Verifique que a função g : R {2} → R {−2}
x → −2x+1
x−2
é invertível e determine a
função inversa g−1
.
6 Verifique quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas.
a) A soma de um número racional com um irracional é irracional.
b) O produto de um número racional por um irracional é irracional.
c) A soma de dois números irracionais é irracional.
d) O produto de dois números irracionais é irracional.
e) O quociente de dois números irracionais é irracional.
f) O quociente de um número racional por um irracional é irracional.

Representação decimal e completude
Em geral, o facto de toda a dízima x0, x1x2x3 . . . representar um número
real, está relacionado directamente com a completude de R:
A sucessão n
k=1
xk
10k
n≥1
é crescente e o conjunto dos seus termos,
as dízimas finitas correspondentes, é majorado (por 1, por exemplo);
logo, este conjunto tem um supremo, que se mostra facilmente ser o
limite da sucessão, e é por definição o número que admite a expansão
decimal 0, x1x2x3 . . ..
Por outro lado, se S ⊆ R é não vazio e majorado, a expansão decimal
y0, y1y2y3 . . . do seu supremo pode ser obtida indutivamente do
seguinte modo:
y0 = max{n ∈ Z | existe n, . . . ∈ S} (existe porque S é majorado)
y1 = max{k ∈ {0, 1, . . ., 9} | existe y0, k . . . ∈ S}
y2 = max{k ∈ {0, 1, . . ., 9} | existe y0, y1k . . . ∈ S}
y3 = max{k ∈ {0, 1, . . ., 9} | existe y0, y1y2k . . . ∈ S}
. . .
Representação decimal - dízimas periódicas e não periódicas
Finalmente, recorde-se que os números racionais são precisamente os que
admitem expansões em dízimas periódicas:
x0, x1 . . . xi (xi+1 . . . xi+p)
e existem algoritmos simples para passar da forma fraccionária para a
forma decimal e vice-versa.
Os irracionais são então aqueles cuja expansão decimal não é periódica.
Note-se que um número irracional, sendo o limite das correspondentes
dízimas finitas, pode ser sempre visto como o limite de uma sucessão de
números racionais, ou seja, aproximado com a precisão que se pretenda
por números racionais.
Introdução
O que são os números reais?
Mas, o que são os números reais, afinal?
Curiosamente, apesar de serem conceitos abstractos que servem de modelo
a grandezas muito “reais”, sendo usados como tal desde a antiga Grécia,
esta pergunta ocupou muitos grandes matemáticos do século XIX. Só no
fim desse século, como parte integrante de um grande movimento de
fundamentação rigorosa da Matemática, foi estabelecida uma formalização
do conceito de número real, como entidade matemática bem definida.
Mas uma abordagem destas questões terá de ficar para mais tarde, e só
em disciplinas mais avançadas serão desvendados todos os mistérios
envolvendo R.
Entretanto, para termos uma base de trabalho, admitimos como princípio
um conjunto de propriedades que caracterizam os números reais e toda a
estrutura matemática que lhes está associada, e que na maior parte é já
bem conhecida desde o Ensino Secundário.
A estrutura do conjunto dos números reais
Para o desenvolvimento dos conceitos e ferramentas do Cálculo Diferencial
e Integral (ex: limites, derivadas, integrais, ...) conta-se com uma
estrutura rica definida em R:
Uma estrutura algébrica, que permite operar com números reais;
Uma ordenação, compatível com as operações algébricas, que permite
comparar estas grandezas;
Uma propriedade, conhecida como completude, que garante a
possibilidade de medir, para qualquer unidade pré-definida (1), o
comprimento de qualquer segmento de recta com um número real.

Subconjuntos importantes
São já familiares as operações algébricas em R (adição, multiplicação,
subtracção, divisão, radiciação, potência, ...), bem como a ordenação
usual e respectivas propriedades.
Sabe-se também que R contém como subconjuntos importantes
N = {0, 1, 2, 3, . . .} (números naturais)
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} (números inteiros)
Q = {
m
n
: m, n ∈ Z, n ̸= 0} (números racionais)
e que há números reais que não são racionais - os irracionais - como, por
exemplo,
√
2, e e π.
!
1/2
A irracionalidade de
√
2
O Teorema de Pitágoras estabelece que, num triângulo rectângulo, a soma
dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do
comprimento da hipotenusa.
2
1
1
Podemos então pensar em
√
2 como o comprimento
da hipotenusa de um triângulo rectângulo cujos catetos
têm por comprimento 1. Será este um número racional?
Vejamos que não. Suponhamos, por redução ao absurdo, que existem
p, q ∈ N tais que
√
2 =
p
q
.
Sem perda de generalidade, podemos assumir que p e q são primos entre
si, isto é, p e q não têm nenhum factor em comum. Temos que
2 =
p2
q2
Representação decimal
Exemplos:
5
4
= 1, 25 = 1 + (2 × 10−1
) + (5 × 10−2
);
1
3
= 0, 333 . . .
notação
= 0, (3)
= (3 × 10−1
) + (3 × 10−2
) + (3 × 10−3
) + · · ·
Esta última expressão, uma “soma com um número infinito de parcelas”,
pode representar-se por
+∞
k=1
3
10k
e chama-se uma série; diz-se então que 1
3 é a soma desta série.
(As séries de números reais serão objecto de estudo, mais à frente, nesta disciplina)
Mas, que significado se atribui a esta “soma”? Precisamente,
1
3
= lim
n→+∞
n
k=1
3
10k
ou seja, 1
3 pode ser arbitrariamente aproximado pelas sucessivas dízimas
finitas:
1
3
≈ 0, 3 (erro < 0, 1)
1
3
≈ 0, 33 (erro < 0, 01)
1
3
≈ 0, 333 (erro < 0, 001)
· · ·
Ainda dizendo de outra forma, 1
3 é o supremo de todos os termos da
sucessão crescente n
k=1
3
10k
n≥1
= (0, 3; 0, 33; 0, 333; . . .).

Representação geométrica de R - a recta real
2 = sup S
S
“falha” racional
A completude de R corresponde
ao facto de a todo o ponto da
recta estar associado um número real.
A recta real funciona então como uma régua graduada capaz de medir o
comprimento de qualquer segmento de recta, com qualquer grau de
precisão pretendido.
Tanto os racionais como os irracionais estão distribuídos ao longo de toda
a recta real de uma forma densa. Isto quer dizer que entre dois quaisquer
reais há um racional e um irracional.
Esta afirmação percebe-se bem se tivermos em consideração a já familiar
representação dos números reais em forma de dízima.
É comum representarmos os números inteiros pela sua expansão decimal.
Por exemplo: 2138 = (2 × 103) + (1 × 102) + (3 × 101) + (8 × 100).
Quanto aos números reais não inteiros, é bem conhecido que também
podem ser expressos na forma de uma dízima. De facto, prova-se que:
toda a expressão da forma
x0, x1x2x3 . . . (x0 ∈ Z, x1, x2, . . . ∈ {0, . . . , 9})
define um único número real;
todo o número real x admite uma descrição x = x0, x1x2x3 . . . desta
forma.
Esta representação é única, excepto para os números que admitem uma
dízima que termina numa sequência infinita de 9’s: por exemplo, 0, 999 . . .
e 1, 000 . . . definem ambos o número natural 1.
A irracionalidade de
√
2
e, portanto,
p2
= 2q2
.
Daqui resulta que p é um número par (o produto de dois números ímpares
é um número ímpar). Ou seja, existe algum k ∈ N tal que
p = 2k
Substituindo em (1)
4k2
= 2q2
e, portanto,
q2
= 2k2
.
Isto implica que q é também um número par, o que é absurdo, visto que,
por hipótese, p e q não têm factores em comum.
Intervalos
Outro tipo de subconjuntos de R que ocupam um lugar de destaque são
os intervalos: I ⊆ R é um intervalo sse
∀a, b, c ∈ R, (a, b ∈ I ∧ a ≤ c ≤ b) ⇒ c ∈ I.
Podem ser da forma: ∅, {a}, ]a, b[, ]a, b], [a, b[, [a, b], ]a, +∞[, [a, +∞[,
] − ∞, b[, ] − ∞, b] ou R =] − ∞, +∞[.
A terminologia seguinte, embora seja aplicável em contextos mais gerais, é
já bem conhecida a respeito de intervalos:
Os intervalos dos tipos ∅, ]a, b[, ]a, +∞[, ] − ∞, b[ e R dizem-se abertos;
∅, [a, b], [a, +∞[, ] − ∞, b] e R dizem-se fechados;
e ]a, b] ou [a, b[ não são abertos nem fechados.

Subconjuntos limitados, majorados e minorados
Por outro lado, um intervalo, por exemplo, do tipo [a, b[ é limitado; um
intervalo como [a, +∞[ é limitado inferiormente mas não superiormente.
Em geral,
S ⊆ R diz-se limitado superiormente ou majorado sse existe a ∈ R tal
que a ≥ x para todo o x ∈ S; e um tal a diz-se um majorante de S.
S ⊆ R diz-se limitado inferiormente ou minorado sse existe a ∈ R tal
que a ≤ x para todo o x ∈ S; e um tal a diz-se um minorante de S.
S ⊆ R diz-se limitado quando é majorado e minorado.
Exemplos:
]0, 1] é majorado e o conjunto dos majorantes é [1, +∞[; é minorado e o
conjunto dos minorantes é ] − ∞, 0]; é portanto limitado.
N é minorado mas não majorado em R; não é limitado.
Supremo e ínfimo
Dados S ⊆ R não vazio e a ∈ R,
a é o supremo de S se a é um majorante de S e a ≤ M para todo o
majorante M de S;
a é o ínfimo de S se a é um minorante de S e m ≤ a para todo o
minorante m de S.
Por exemplo, sup ]0, 1] = 1 e inf ]0, 1] = 0.
É claro que o supremo e o ínfimo de um subconjunto S, caso existam, são
únicos. Se pertencerem a S, dizem-se o máximo e o mínimo de S,
respectivamente. O termo genérico extremo designa máximos e mínimos
indiscriminadamente.
Axioma do supremo
Usando o conhecimento empírico que temos dos reais, facilmente nos
convencemos que o supremo de um subconjunto majorado S ̸= ∅ de R
existe sempre: vemos que o conjunto dos majorantes de S é sempre um
intervalo fechado do tipo [a, +∞[ e este tem um mínimo, a = sup S.
No entanto, isto não é verdade em qualquer conjunto. Por exemplo,
[0,
√
2[ ∩ Q é não vazio e majorado em Q mas não tem supremo em Q.
De facto, esta é uma das possíveis formas de formular a já referida
completude de R e é a propriedade estrutural que distingue R de Q.
Admitimos então que em R é válido o seguinte princípio:
(Axioma do supremo)
Seja S ⊆ R não vazio.
Se S tem um majorante, então S tem supremo;
Se S tem um minorante, então S tem ínfimo.
Representação geométrica de R - a recta real
As propriedades de R tornam possível estabelecer uma correspondência
bĳectiva entre este conjunto e os pontos de uma recta, de forma que a
ordenação e a distância entre os números seja reflectida na posição relativa
dos respectivos pontos da recta. Em geral, representamos os pontos da
recta pelos números reais que lhe correspondem:
Recta Real
0 1 2< < <-1 2
R
+
R
-
ba
|a|
|b-a|
Aos intervalos de R correspondem segmentos de recta, semi-rectas ou toda
a recta real.

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